Download - Solucionario - Examen de Cálculo

Marcelo De Jesús Delgado Del Carpio CUI: 20140525 Ingeniería ElectrónicaCálculo en varias variables

EXAMEN “D”:

Capítulo 6, Sección 2 (Página 570)

Ejercicio 11:

Calcule la integral doble de la función f (x , y ) dada sobre el rectángulo Q.

f ( x , y )=x2 y exy ,Q=[ 0,1 ]∗[0,1]

Solución:

∫0

1

∫0

1

x2 ye xydydx

∫0

1

x2 .[∫01

ye xydy ]dxIntegrando por partes:

∫ y exy dy

u= y dv=exy dy

du=dy v=1x. exy

¿>∫ y exy dy=¿ yx. e

xy

−1x.∫e xydy ¿

¿ yx. exy

− 1x2 . e

xy+C

¿exy .( yx− 1x2 )+C

Volviendo a la integral:

∫0

1

x2 .[exy .( yx− 1x2 )]0

1

dx

∫0

1

x2 .[ex .( 1x− 1x2 )+ 1

x2 ]dx∫0

1

(x . ex−ex+1 )dx

[ex ( x−1 )−ex+x ]01


3−e∴


Ejercicio 12:

Calcular la integral triple indicada.

∭Ω

(x e y+ ye z )dxdydz

Donde Ω es la región limitada por los planos x=0 , y=0 , z=0 , y=1−x , z=1

Solución:

1. Graficamos la región Ω:

2. Integramos sobre la región Ω:

∫0

1

∫0

1− x

∫0

1

(xe y+ y ez )dzdydx

∫0

1

∫0

1− x

[zx e y+ y ez ]01dydx

∫0

1

∫0

1− x

(xe y+ ye− y )dydx


∫0

1

[ xe y+ y2

2(e−1 )]

0

1−x

dx

∫0

1

[ xe y+ y2

2(e−1 )]

0

1−x

dx

∫0

1

(x e1− x+(1−x)2

2(e−1 )−x)dx

[e1− x (−1−x )−(1−x )3

6(e−1 )− x

2

2 ]0

1

76. e−8

3∴


Ejercicio 16:

Calcule la integral triple indicada.

∭Ω

(x2+ y2 )dxdydz

Donde la región es:Ω=( x , y , z )∨x2+ y2≤1, x≥0 , y ≥0 ,−1≤ z≤1

Solución:

1. Graficamos la región Ω:

2. Llevamos a coordenadas cilíndricas:x=r cosθy=rsin θz=z

y

x

z


J=r(Jacobiano)3. Según la región:

0≤ r≤1

0≤θ≤ π2

−1≤z ≤14. Reemplazando y multiplicando por el jacobiano:

∫−1

1

∫0

1

∫0

π2

r3dθdrdz

∫−1

1

∫0

1

r3 [θ ]0π2 drdz

π2∫−1

1

∫0

1

r3drdz

π8∫−1

1

[r4 ]01dz= π

8 ∫−1

1

dz=π8

[z ]−11

= π4

∴