SOLUCIONARIO
ENSAYO MT- 024
EN
SC
ES
MT
024-A
15
V1
1. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Nmeros racionales
Habilidad Aplicacin
2
13
14
15 (Sumando)
2
7
14
15 (Dividiendo)
7
24
15 (Restando)
7
26
15 (Dividiendo)
26
137
26
7
26
130
26
75
2. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Nmeros racionales
Habilidad Aplicacin
El valor de x es:
...666,63
20 . Este valor redondeado a la centsima es 6,67.
El valor de y es:
75,44
19 . Este valor truncado a la dcima es 4,7.
Finalmente (x y) = 6,67 4,7 = 1,97
3. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Nmeros racionales
Habilidad Aplicacin
El hermano mayor recibir: 000.200.15
2 = 480.000
El hermano menor recibir: )000.480000.200.1(3
2 = 000.720
3
2 = 480.000
Finalmente el hermano del medio recibir:
1.200.000 (2 480.000) = 1.200.000 960.000 = 240.000
4. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad Aplicacin
xx
55
5 = 154
5
54
5
)51(5
5
555
x
xxxx
5. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad Aplicacin
Si quedaron 9
4de la muestra inicial luego de agregar el antisptico, entonces
9
5de las
bacterias murieron. Luego 12,51015
9
5=
10
12510
15
9
5= 5,62 10
15
9
1=
9
16,2510
16
6. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Nmeros racionales
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que si v = 3, w = 1 y z = 3 1 = 2.
II) Verdadera, ya que si z = 6,0 se tiene: 9
6=
3
2vv = 1. Luego w =
3
1.
III) Verdadera, ya que si w = 0,5, v = 0,53 =2
3 y z =
2
1
3
2 =
3
1
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
7. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Nmeros irracionales
Habilidad Aplicacin
log16 80 = log16 (516) = log16 5 + log16 16 = 5
3+ 1 =
5
8
8. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Nmeros irracionales
Habilidad ASE
Como todos los ndices de las races son distintos, se debe elevar al mnimo comn
mltiplo que en este caso es 12, luego:
a = 729333 6212
12
b = 256444 4312
123
c = 125555 3412
124
Finalmente, 125 < 256 < 729, por lo tanto c < b < a.
9. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Nmeros irracionales
Habilidad ASE
Considerando, logn a = x nx = a, se tiene:
I) Verdadera, ya que log3 a = x 3x = a. En este caso a = 16, entonces:
32 < 16 < 3
3. Por lo tanto, log3 16 est entre 2 y 3.
II) Falsa, ya que log4 a = x 4x = a. En este caso a = 65, entonces:
43 < 65 < 4
4. Por lo tanto, log4 65 est entre 3 y 4.
III) Verdadera, ya que log5 a = x 5x = a. En este caso a = 100, entonces:
52 < 100 < 5
3. Por lo tanto, log5 100 est entre 2 y 3.
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III tienen un valor entre 2 y 3.
10. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Nmeros irracionales
Habilidad ASE
Sea (a + b) = 5,6568, entonces:
(a + b) (a b) = a2 b2 (Reemplazando los datos del enunciado)
5,6568 (a b) = ( 2 )2 ( 18 )2
5,6568 (a b) = 2 18 (Truncamos a la dcima)
(a b) = 6,5
16
(a b) = 2,8
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que 2p = log
a
b. Si a > b la fraccin
a
b< 1, es decir, el argumento
del logaritmo sera menor a 1 y esto produce que 2p debera ser un nmero
negativo, lo cual no ocurre segn el enunciado donde se especifica que p es
positivo.
II) Verdadera, ya que al aplicar propiedades de logaritmos, se tiene:
p = 2
loglog ab
2p = log b log a
2p = log
a
b (Aplicando definicin de logaritmo)
102p
=
a
b
III) Falsa, ya que al desarrollar la expresin segn los datos de la afirmacin, se tiene:
2p = log
a
b (Reemplazando b = 2a)
2p = log
a
a2
2p = log 2 (Reemplazando log 2 = 0,3)
p = 2
3,0
p = 0,15
Por lo tanto, solo la afirmacin II es verdadera.
12. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad ASE
I) Falsa, ya que )21(7277147
II) Falsa, ya que )25(545
)25(5
25
25
25
5
25
5
III) Falsa, ya que 38 no se puede convertir en una sola raz debido a que hay una
adicin dentro de la raz.
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es verdadera.
13. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad Aplicacin
2
9
8
25 (Aplicando concepto de raz)
2
3
8
5
(Descomponiendo la raz)
2
2
2
3
22
5 (Igualando los denominadores)
22
6
22
5 (Restando)
4
2
2
2
22
1
22
1
14. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Potenciacin
Habilidad ASE
Todas las expresiones logartmicas estn en base 10, por lo tanto, aplicando la definicin
de logaritmo, se tiene:
log a = 2 102 = a 100 = a log b = 2 103 = b 1.000 = b log c = 2 105 = c 100.000 = c
(Racionalizando)
I) Falsa, ya que: log (a + b) = log c (Reemplazando los valores)
log (100 + 1.000) = log (100.000)
log (1.100) log (100.000)
II) Verdadera, ya que:
11
alog1
alog10log
alog10log
a
a3
000.1
a3
b
III) Verdadera, ya que:
00
0)1log(
0000.100
000.100log
0000.100
000.1100log
0log
c
ab
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
15. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Nmeros complejos
Habilidad Comprensin
En este caso el largo del rectngulo est representado por la componente real del nmero
complejo z, el cual es negativo. El ancho est representado por la componente imaginaria
del nmero complejo z, la cual es positiva.
Por lo tanto, el rea del rectngulo es largo ancho = Re(z) Im(z)
16. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Nmeros complejos
Habilidad Aplicacin
Si z = (1 i), entonces z2 = 12 2i + i2 = 1 2i 1 = 2i
Luego, el recproco se calcula:
(Reemplazando el valor de b)
(Aplicando la definicin de logaritmo)
(Aplicando propiedad de logaritmo)
(Reemplazando los valores de a, b y c)
(Desarrollando)
(Aplicando propiedad de logaritmo)
z 1
= 2
z
z=
242
4
2
)2(0
222
22
iiii
17. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Comprensin
Si P es la edad actual del padre, su edad hace diez aos se expresa como: P 10. Si H es la edad actual del hijo, su edad hace diez aos se expresa como: H 10.
Por lo tanto, la ecuacin que representa el enunciado es: P 10 = 15 (H 10).
18. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Trasformacin algebraica
Habilidad Aplicacin
De acuerdo a la figura, se pueden deducir las siguientes expresiones:
Para obtener el rea sombreada se resta el rea del rectngulo con el rea de los dos
cuadrados no sombreados.
rea rectngulo = largo ancho = (2x + 2) (x + 1)
= 2x2 + 2x + 2x + 2
= 2x2 + 4x + 2
rea cuadrado = x x = x2
Luego, al restar las reas se obtiene:
rea sombreada = rea rectngulo 2 (rea cuadrado)
rea sombreada = 2x2 + 4x + 2 2 x2
rea sombreada = 4x + 2 = 2 (2x + 1)
2
1
x
x x
x
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Trasformacin algebraica
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que: (4
x + 4
x)2 (Desarrollando el cuadrado de binomio)
(4x)2 + 2 4x 4x + (4x)2
42x
+ 2 + 42x
16x + 2 + 16
x
II) Verdadera, ya que
11
11
1
1
1
1
1
1
x
x
xx
x
x
x
x
x
x
III) Verdadera, ya que multiplicando por binomio con trmino comn se tiene:
4x3x = x x 12
Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas.
20. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Aplicacin
Si x corresponden a la cantidad de dulces, entonces la cantidad de dinero que tiene Ana,
se expresa como:
3x + 20 = 500 (Despejando x)
3x = 480
x = 160.
Luego, cada dulce cuesta $ 160, por lo tanto Luisa tiene en dinero:
2 160 20 = 320 20 = $ 300.
Finalmente, ambas tenan 500 + 300 = $ 800 antes que Ana comprara.
21. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Ecuaciones y sistemas de primer grado
Habilidad Comprensin
Ordenando los sistemas, se tiene:
A) x + 2y = 30
x + 2
y= 15 / 2 2x + y = 30
B) x 2y = 20
2x 4y = 40/ : 2 x 2y = 20
C) 2x + y = 30
x + 2
y= 15/ 2 2x + y = 30
D) x + 4y = 1
x = 2y x 2y = 0
E) 2x + 3y = 0 x y = 5
Luego, solo en la alternativa C las ecuaciones son iguales. Por lo tanto, ese sistema tiene
infinitas soluciones.
22. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Trasformacin algebraica
Habilidad Aplicacin
1
1
1
1
11
1
11
111
11
33
33
3
3
3
3
32
xx
x
xx
xxx
xx
x
x
xx
xx
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Ecuacin de segundo grado y funcin cuadrtica
Habilidad Aplicacin
Si L es el largo del rectngulo, entonces el ancho est representado por (L 25).
Planteando la ecuacin con respecto al rea del rectngulo, se tiene:
L (L 25) = 116 L
2 25L 116 = 0 (L 29) (L + 4) = 0
Luego, los valores para el largo del rectngulo son 29 o 4. Como se trata de una medida positiva L = 29, por lo tanto, A = L 25 = 29 25 = 4.
Finalmente, el permetro es 2L + 2A = 2 29 + 2 4 = 58 + 8 = 66.
24. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Ecuacin de segundo grado y funcin cuadrtica
Habilidad ASE
Para conocer la naturaleza de las soluciones de una ecuacin cuadrtica se debe calcular
el discriminante. En este caso, a = 1; b= 2; c = 2k + 1, entonces:
b2 4ac = ( 2)2 4 1 (2k + 1) (Reemplazando)
= 4 8k 4 (Desarrollando) = 8k
I) Falsa, ya que si k > 0 entonces el discriminante es negativo, por lo tanto las soluciones son complejas y distintas. Luego, para que las races sean reales y
distintas debe suceder:
8k > 0 (Dividiendo por 8, cambia el sentido de la desigualdad) k < 0
II) Verdadera, ya que al ser las soluciones reales e iguales se cumple que el discriminante, en este caso 8k, es igual a 0, entonces: 8k = 0 (Despejando k) k = 0
III) Falsa, ya que si k < 0 entonces el discriminante es positivo, por lo tanto las soluciones son reales y distintas. Luego, para que las races sean complejas y
distintas debe suceder:
8k < 0 (Dividiendo por 8, cambia el sentido de la desigualdad) k > 0
Por lo tanto, solo la afirmacin II es verdadera.
25. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia
Habilidad Comprensin
El antecesor de un nmero se expresa como: x 1 El sucesor de un nmero se expresa como: x + 1
Luego planteando el enunciado:
x 1 1 3 (x + 1 + 1) x 2 3 (x + 2) x 2 3x + 6
26. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia
Habilidad ASE
Separando la expresin 1
n
nm, se tiene:
0111 n
m
n
m
n
n
n
m
Para que el cuociente n
msea negativo, necesariamente m y n deben tener distintos signos.
27. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia
Habilidad Aplicacin
3x + 2 > 13x > 1 x > 3
1
2 x 3
5x 2
3
5 x
3
56 x
3
1
Por lo tanto, el intervalo solucin es [3
1, + [ representada en la alternativa D).
28. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia
Habilidad Aplicacin
La solucin de un sistema de inecuaciones corresponde a la interseccin de los intervalos
solucin de cada inecuacin.
Resolviendo la primera inecuacin, resulta x + 3 < 1 x < 1 3 x < 2
Luego, el primer intervalo solucin es
3
1
3
1
Resolviendo la segunda inecuacin, resulta 1 x 2 x 2 1 x 1 x 1
Luego, el segundo intervalo solucin es
Al hacer la interseccin entre ambos intervalos, es posible notar que el segundo de ellos
contiene al primero, lo que implica que por propiedades de conjuntos, la interseccin
entre ellos corresponde al conjunto menor.
Por lo tanto, el grfico que representa la solucin del sistema es
29. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Funcin afn y funcin lineal
Habilidad Comprensin
Como el gsfiter cobra $ 5.000 por la visita ms $ 18.000 por cada hora de trabajo,
entonces:
Por una hora cobra $ 5.000 + $ 18.000 1
Por dos horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 2
Por tres horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 3
Por a horas cobra $ 5.000 + $ 18.000 a
Por lo tanto, la funcin que representa el monto que cobrar el gsfiter, en pesos, para a
horas de trabajo es s(a) = 5.000 + 18.000a.
30. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Teora de funciones
Habilidad ASE
Para calcular g(f(x)) se debe reemplazar la funcin f en la funcin g. Luego:
g(f(x)) = g(x 4) = (x 4) = x 8x + 16
31. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Funcin exponencial, funcin logartmica y funcin raz cuadrada
Habilidad ASE
I) Verdadera, ya que el dominio corresponde a todos los valores reales de x que pueden
reemplazarse en h sin que la expresin se invalide. Como (x + 2) es positivo para
cualquier valor de x en los reales, entonces la expresin 22 x est definida para todos
los reales.
II) Falsa, ya que el recorrido corresponde a todos los valores reales que puede tomar h
cuando se reemplazan valores de x en el dominio. En este caso, x puede toma valores
desde 0 hasta +, por lo cual, la expresin 22 x puede tomar valores desde 2 hasta
+. Luego, el recorrido de h es el intervalo [ ,2 [.
III) Verdadera, ya que h(2) = 624222 y h( 2) =
62422)( 2
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.
32. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Funcin exponencial, funcin logartmica y funcin raz cuadrada
Habilidad Comprensin
Todas las alternativas indican que se trata de una funcin logartmica, por lo cual el
anlisis se restringir solo a este tipo de funcin.
La funcin logartmica representa grficamente con una lnea curva creciente cuando su
base es mayor que 1 y con una lnea curva decreciente cuando su base est entre 0 y 1.
Como el grfico mostrado corresponde a una lnea curva decreciente, entonces las
funciones posibles son j(x) = x2
1log y k(x) = x4
1log .
Como la funcin pasa por el punto (2, 1), entonces al evaluar la funcin en 2, el resultado debera ser 1. Reemplazando en las funciones posibles, resulta j(2) =
12log
2
1 y k(2) = 2
12log
4
1
. Por lo tanto, la funcin representada en el grfico es
j(x) = x2
1log
33. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Funcin exponencial, funcin logartmica y funcin raz cuadrada
Habilidad ASE
Al aplicar propiedades de potencias, resulta f(x) = xxxx
)( 5555
1 11
. Luego:
I) Falsa, ya que si la base de una funcin exponencial es mayor que 1, entonces la funcin
es creciente.
II) Falsa, ya que el punto (1, 0) no pertenece al eje de las ordenadas, sino al eje de las
abscisas.
III) Verdadera, ya que ambas expresiones son iguales, lo que se determin inicialmente.
Por lo tanto, solo la afirmacin III es verdadera.
34. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Ecuacin de segundo grado y funcin cuadrtica
Habilidad Aplicacin
Para determinar el valor mnimo de una funcin cuadrtica, se debe determinar el valor
de x donde ocurre, y luego evaluarlo en la funcin. En este caso, xv = 2
5
12
5
2
)(
a
b.
Luego, yv = f(xv) = 4
11
4
3650259
2
25
4
259
2
55
2
52
.
Por lo tanto, el valor mnimo que alcanza la funcin es 4
11.
35. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Desigualdades, inecuaciones y funcin potencia
Habilidad ASE
Para encontrar los intervalos de desigualdad entre dos funciones, se debe encontrar los
valores de x que cumplen con la desigualdad planteada. En este caso, 9x4 3x5.
Si x = 0, entonces las funciones son iguales. Si x 0, entonces se puede dividir por 3x4,
que por ser positivo no cambia el sentido de la desigualdad, quedando 3 x x 3.
Por lo tanto, la desigualdad planteada se cumple para el intervalo [ 3, +[.
36. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Aplicacin
El vector r tiene coordenadas ( 1, 5) y el vector s tiene coordenadas ( 3, 3). Luego, el triple de la suma entre r y s es 3(r + s) = 3(( 1, 5) + ( 3, 3)) = 3( 4, 2) = ( 12, 6).
37. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Aplicacin
El punto medio entre P y Q se calcula como
22
QPQP yy,
xxM . Como el valor de a
est relacionado con la coordenada x entonces se puede platear 2
QP
M
xxx
.
Reemplazando los valores dados, resulta
2
3
2
2
a
a
3
24
3
10
3
212
3
24
a
38. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Aplicacin
Si al aplicar el vector T(x, y) al punto C(5, 5) resulta ( 7, 12), entonces se puede plantear:
(5, 5) + (x, y) = ( 7, 12) (x, y) = ( 7, 12) (5, 5) = ( 7 5, 12 5) = ( 12, 7)
Luego, los vrtices A y B trasladados son, respectivamente:
A(3, 0) + T( 12, 7) = (3 12, 0 + 7) = ( 9, 7) B(7, 0) + T( 12, 7) = (7 12, 0 + 7) = ( 5, 7)
39. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Aplicacin
Si a un punto (x, y) se le realiza una simetra axial con respecto al eje X, resulta el punto
(x, y). Luego, si al punto (7, 3) se le realiza una simetra axial con respecto al eje X, resulta el punto (7, 3).
Si a este punto se le aplica el vector T( 9, 5), resulta el punto (7, 3) + ( 9, 5) = (7 9, 3 + 5) = ( 2, 2)
40. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Aplicacin
A) Verdadera, ya que cada diagonal del rombo lo divide en dos tringulos congruentes.
B) Verdadera, ya que las diagonales del rombo son bisectrices de sus ngulos interiores.
C) Verdadera, ya que las diagonales de un rombo se dimidian, o sea se cortan en su punto
medio.
D) Verdadera, ya que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre s.
E) Falsa, ya que no se indica que la diagonal AC sea igual a los lados. Por otro lado, si el
tringulo fuera equiltero, ocurrira que DBAC , que sera lo contrario que plantea el enunciado.
41. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Comprensin
Una rotacin de 150 en sentido horario corresponde a una rotacin negativa, y una
rotacin de 60 en sentido antihorario corresponde a una rotacin positiva. Luego, al
punto se le realiza una rotacin de ( 150 + 60) = 90, que es lo mismo que una rotacin positiva de 270.
Si a un punto (x, y) se le realiza una rotacin positiva de 270, resulta el punto (y, x). Luego, si al punto (4, 6) se le realiza una rotacin positiva de 270, resulta el punto ( 6, 4).
42. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Transformaciones isomtricas
Habilidad Aplicacin
El rea de un trapecio se calcula como la
semisuma de las bases, multiplicada por la altura.
En este caso, el rea queda hBPCR
2
Al determinar los puntos simtricos del tringulo,
como indica la figura, se puede calcular que BP = 4 y CR = 10. Adems, como la
distancia entre los segmentos BP y CR es 4, entonces h = 4.
2 5
4
Por lo tanto, el rea del trapecio BPRC es 2842
410
43. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Comprensin
Segn el teorema de Euclides, en un tringulo rectngulo, la medida de la altura que cae
sobre la hipotenusa es igual al producto de los catetos dividido por la hipotenusa. En este
caso, hipotenusa
alturaab
Segn el teorema de Pitgoras, la hipotenusa de un tringulo rectngulo es igual a la raz
cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos. En este caso,
22hipotenusa ba
Por lo tanto, la altura pedida se puede expresar como 22
alturaba
ab
44. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Aplicacin
Segn el teorema de Euclides, en un tringulo rectngulo la altura que caes sobre la
hipotenusa elevada al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa.
En este caso, queda TGFTHT 2
3 = 2(p 1)
p 1 = 2
9 = 4,5 p = 4,5 + 1 = 5,5
45. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Circunferencia
Habilidad Aplicacin
El ngulo interior a una circunferencia se calcula como la semisuma de los arcos que
subtiende. En este caso, 2
arco arco
ABDC , con arco DC = 80.
Si el ngulo ACB mide 60, entonces el arco AB mide 120. Luego, la medida de es
1002
12080 .
46. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Aplicacin
Como el punto T divide interiormente al trazo RS en la razn a:b entonces se puede
plantear
b
a
TS
RT .
Entonces, al despejar el trazo TS, queda RTa
b
47. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Aplicacin
Segn el teorema de Thales, en el tringulo ABC se cumple que
CB
AB
ED
AE
5
5
10
102
10
10
xxxx
ED
x
Luego, al despejar el trazo ED, resulta 5
5
x
x
48. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad Aplicacin
En la figura, segn el teorema de las cuerdas, se cumple que EDBEECAE , y segn
el teorema de la secante y la tangente, se cumple que OBODOA 2
.
Reemplazando los valores dados en la primera expresin, resulta
2 4 = 2x x 4 = x x = 2 BE = 4, ED = 2, OD = 14 y OB = 20
Reemplazando los valores encontrados en la segunda expresin, resulta
OA = 14 20 = 280 OA = 702280
49. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Circunferencia
Habilidad Aplicacin
El ngulo exterior a una circunferencia se calcula como la semidiferencia de los arcos que
subtiende. En este caso, 2
arcoarco AB CDCPD
.
Como la circunferencia completa mide 360, entonces arco CD = 903604
1 y arco
AB = 4836015
2. Luego,
21
2
42
2
4890CPD
50. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad ASE
En la configuracin de Euclides siempre se generan dos tringulos semejantes entre s y
semejantes al tringulo original. En este caso, BCD CAD BAC. Luego:
I) Verdadera, ya que la razn entre los permetros de dos tringulos semejantes es igual a
la razn entre sus lados homlogos. O sea, 1
2
AC
BC
P
P
CAD
BCD PBCD = 2 PCAD.
II) Verdadera, ya que la razn entre las reas de dos tringulos semejantes es igual al
cuadrado de la razn entre sus lados homlogos. O sea, 1
4
1
222
AC
BC
A
A
CAD
BCD
ABCD = 4 ACAD.
III) Verdadera, ya que ambos ngulos son el complemento del ngulo CBA.
Por lo tanto, las tres afirmaciones con verdaderas.
51. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad Comprensin
En una homotecia de razn menor que 1, ocurre que cada punto se proyecta hacia el otro
lado del centro de simetra, a una distancia mayor que la que recorri hasta dicho centro,
como muestra la figura.
Luego, el resultado corresponde a una
figura invertida con respecto a la original
y cuyas dimensiones son mayores que las
iniciales, como muestra la opcin A.
52. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad ASE
En este caso, m es la pendiente de la recta (que tiene que ver con su inclinacin con
respecto al eje X) y n es el coeficiente de posicin (que corresponde a su interseccin con
el eje Y). Luego:
I) Falsa, ya que si el coeficiente de posicin es 0, corresponde a una recta que pasa por el
origen, y si la pendiente es distinta de cero, corresponde a una recta que no es horizontal,
pero en ningn caso significa que sea paralela el eje Y (recta vertical).
II) Verdadera, ya que la pendiente 0 indica que no tiene inclinacin con respecto al eje X,
es decir, se trata de una recta horizontal.
III) Verdadera, ya que la pendiente positiva indica que la inclinacin es creciente con
respecto al eje X.
Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas.
53. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad Aplicacin
Una forma rpida de comprobar cul es el sistema correcto es reemplazar el punto (1, 7)
en las parejas de ecuaciones y comprobar que en ambas se verifica la igualdad. Luego:
A) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21 + 3, lo que es
falso, por lo cual el sistema no es el buscado.
B) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 1 + 4, lo que es
falso, por lo cual el sistema no es el buscado.
O
C) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21, lo que es
falso, por lo cual el sistema no es el buscado.
D) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 21 + 5, lo que es
verdadero. Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la segunda ecuacin, resulta 7 = 7(1 2), lo que es verdadero, por lo cual el sistema es el buscado.
E) Si se reemplaza con x = 1 e y = 7 en la primera ecuacin, resulta 7 = 31 + 3, lo que es
falso, por lo cual el sistema no es el buscado.
54. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad Aplicacin
Si a un punto (x, y) se le realiza una rotacin de 90, resulta el punto ( y, x). Luego, si al punto P(2, 6) se le realiza una rotacin de 90, resulta el punto P( 6, 2).
Si al punto Q(5, 4) se le aplica el vector T( 2, 7), resulta el punto (5, 4) + ( 2, 7) = (5 2, 4 + 7) = Q(3, 11)
La distancia entre dos puntos A y B se calcula como 22 )()( ABAB yyxxAB . En
este caso, resulta 299299)211())6(3( 22222 QP
55. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad Aplicacin
En la imagen se aprecia que la recta pasa por los puntos (0, a) y (b, 0). Para calcular la
pendiente de esta recta utilizaremos la frmula 12
12
xx
yym
. Sustituyendo:
b
a
b
am
0
0
Por lo tanto, la pendiente de la recta de la figura es b
a.
56. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad Comprensin
Como el punto ( 4, 3, 1) pertenece a la recta v(t) = (2, a, 1) + t(1, b, a), entonces existe un nmero t perteneciente a los reales, tal que:
( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + t(1, b, a)
Calculando:
( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + t(1, b, a) (Producto de vector con un escalar) ( 4, 3, 1) = (2, a, 1) + (t, bt, at) (Suma de vectores) ( 4, 3, 1) = (2 + t, a + bt, at 1)
Si dos vectores son iguales, entonces los componentes respectivos son iguales. Es decir:
(1) 4 = 2 + t , (2) 3 = a + bt y (3) 1 = at 1
(1) 4 = 2 + t (Despejando t) t = 6 (Sustituyendo en (3)) (3) 1 = 6a 1 (Despejando a) 6a = 2
a = 3
1 (Sustituyendo en (2))
(2) 3 = 3
1 6b (Despejando b)
6b = 3
1 3
6b = 3
91
6b = 3
10
b = 63
10
b = 9
5
Por lo tanto, b es igual a 9
5.
57. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Cuerpos geomtricos
Habilidad Comprensin
Sabemos que el volumen de un cilindro es igual al rea de la base multiplicada la altura,
es decir, hr 2 . Entonces:
A) Correcta, ya que si el radio aumenta al doble, entonces hrhrV 22 4)2( . Es
decir, el volumen aument en cuatro veces.
B) Incorrecta, ya que si el radio disminuye a la mitad, entonces
hrhr
V 22
4
1
2
. Es decir, el volumen disminuy a la cuarta parte.
C) Incorrecta, ya que si la altura disminuye a la mitad, entonces
hrh
rV 22
2
1
2
. Es decir, el volumen disminuy a la mitad.
D) Incorrecta, ya que si la altura aumenta al doble, entonces hrhrV 22 2)2( .
Es decir, el volumen aument al doble.
E) Incorrecta, ya que si el radio y la altura disminuyen a la mitad, entonces
hrhr
V 22
8
1
22
. Es decir, el volumen disminuyo a una octava parte.
58. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Cuerpos geomtricos
Habilidad Aplicacin
Como la figura representa a un trozo de papel que al
doblarlo forma un paraleleppedo, entonces este cuerpo
se compone de dos caras cuadradas y cuatro
rectngulos congruentes, cuyas reas respectivas son 16
cm2 y 32 cm
2. Por lo tanto, el volumen del
paraleleppedo ser igual al producto entre el rea basal
(Cuadrado) y la altura. Como el cuadrado tiene rea 16
cm2, entonces cada lado mide 4 cm, al igual que uno de
los lados del rectngulo. Luego, el lado del rectngulo
desconocido tiene una media de 8 cm.
Por lo tanto, el volumen del paraleleppedo ser:
V = 8 cm 4 cm 4 cm = 128 cm3
4 cm
8 cm
4 cm
4 cm
8 cm
59. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Datos
Habilidad Aplicacin
I) Verdadera, ya que las personas entre 18 y 23 aos abarcan al 60% de los participantes del grupo de teatro, contra un 40% que corresponden a aquellos
que tienen entre 24 y 29 aos.
II) Falsa, ya que las personas que tienen entre 24 y 26 aos corresponden al 30% de
la muestra, que en fraccin equivale a 10
3
100
30 , y no
3
1.
III) Verdadera, ya que: 3,22100
2230
100
1028302520224019
x .
Por lo tanto, solo I y III son verdadera.
60. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Datos
Habilidad ASE
El tercer cuartil es equivalente a decir el percentil 75, es decir, el dato bajo el cual se
encuentra el 75% de la muestra. Para esto es conveniente realizar una tabla de frecuencia
acumulada.
Como el dato que ocupa la posicin 80 es el dato
bajo el cual se encuentra el 100% de la muestra,
entonces por proporcin directa encontraremos la
posicin del dato correspondiente al percentil 75:
60100
758080
75
100
x
x
Es decir, que bajo el dato que ocupa la posicin
60 corresponde al tercer cuartil, dato que se
encuentra en el intervalo 51 60.
Cosecha
(ton)
N de
parcelas
Frecuencia
acumulada
1 10 5 5
11 20 6 11
21 30 11 22
31 40 20 42
41 50 17 59
51 60 21 80
61. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Datos
Habilidad ASE
Al pasar los datos representados en la grfica en una tabla, obtenemos:
I) Verdadera, ya que el intervalo [20, 30[ tiene una frecuencia igual a 7, siendo la mayor de todas las
frecuencias.
II) Falsa, ya que al ser 21 datos, la mediana ser aquel dato que ocupe la posicin nmero 11, dato que
encontramos en el intervalo [20, 30[.
III) Verdadera, ya que el nmero de calificaciones que
tienen a lo menos 20 son 16, y 21
16 es mayor que
4
3.
Por lo tanto, solo I y III son verdaderas.
62. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Datos
Habilidad ASE
Supongamos que n es un nmero par tal que nx 1 , 22 nx , 43 nx y 64 nx
sean los cuatro nmeros pares consecutivos. Para calcular la desviacin estndar, primero
debemos conocer el promedio de la muestra:
4
4321 xxxxx
(Sustituyendo)
4
)6()4()2(
nnnnx (Calculando)
4
124
nx (Simplificando)
3 nx
Luego, la desviacin estndar es igual a:
4
)()()()( 242
3
2
2
2
1 xxxxxxxx
4
))6()3(())4()3(())2()3(())3(( 2222
nnnnnnnn
4
)3()1(13 2222
Puntajes Frecuencia Frecuencia
acumulada
[0, 10[ 2 2
[10, 20[ 3 5
[20, 30[ 7 12
[30, 40[ 6 18
[40, 50] 3 21
49119
4
20
5
Luego, la desviacin estndar de la suma de cuatro nmeros pares consecutivos es
siempre 5 .
63. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Datos
Habilidad ASE
Supongamos que nx 1 , 12 nx , 23 nx , 34 nx y 45 nx son cinco nmeros
naturales consecutivos. Entonces:
5
54321 xxxxxx
(Sustituyendo)
5
)4()3()2()1(
nnnnnx (Calculando)
5
105
nx (Simplificando)
2 nx
Luego, la desviacin estndar es igual a:
5
)()()()()( 252
4
2
3
2
2
2
1 xxxxxxxxxx
5
))4()2(())3()2(())2()2(())1()2(())2(( 22222
nnnnnnnnnn
5
)2()1(012 22222
4
41014
4
10
2
5
Luego, es falso que 2 , ya que 2
5
2
5 .
64. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Datos
Habilidad Comprensin
Como Z es una variable de distribucin normal no tipificada, cuyo promedio () es 165 cm y desviacin estndar () 10 cm, y X es una variable de distribucin normal tipificada, entones para tipificar la variable Z:
ZX
Sustituyendo:
100
165
ZX
65. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Azar
Habilidad Comprensin
Como queremos ordenar diez bolitas en una fila, y hay letras que se repiten en las bolitas
(2 con letra S, 3 con letra M y 5 con letra K), entonces tenemos una permutacin con
repeticin.
!5!3!2
!10
!...!!!
!
rcba
nPR
66. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Azar
Habilidad ASE
Como se lanzan 4 veces una moneda, entonces usaremos el tringulo de Pascal para
analizar todos los casos posibles:
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Es decir, al lanzar 4 veces una moneda, en uno de los caso se obtienen 4 caras, en cuatro
de los casos se obtienen 3 caras y 1 sello, en seis de los casos se obtienen 2 caras y 2
sellos, en cuatro de los casos se obtienen 1 cara y 3 sellos, y en uno de los casos se
obtienen 4 sellos, dando un total de diecisis casos posibles. Luego:
I) Verdadera, ya que obtener a los ms 3 sellos implica que no se obtengan 4 sellos. Como en uno de los casos, de un total de diecisis, se obtienen 4 sellos,
entonces en quince de los posibles resultados se obtienen menos de 4 sellos.
Es decir, la probabilidad de obtener a lo ms 3 sellos es 16
15.
II) Falsa, ya que la probabilidad de obtener solo una cara es 16
4, mientras que la
probabilidad de obtener solo dos sellos es 16
6.
III) Falsa, ya que la probabilidad de obtener solo dos caras o solo un sello es igual a la probabilidad de obtener dos caras ms la probabilidad de obtener solo un
sello, es decir, 16
6+
16
4=
8
5
16
10 .
Por lo tanto, solo I es verdadera.
67. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Azar
Habilidad Aplicacin
Como al lanzar un dado se pueden obtener 6 posibles resultados, entonces la cantidad de
combinaciones posibles al lanzar dos dados es 36.
La probabilidad que la suma de sus caras sea 3 10 es igual a la probabilidad que sus
caras sumen 3 ms la probabilidad que sus caras sumen 10.
En solo dos casos las caras sumaran tres: cuando en el primer dado se obtenga un 1 y en
el segundo un 2, y cuando en el primero se obtiene un 2 y en el segundo un uno, es decir,
la probabilidad de que esto ocurra es 36
2.
Por otra parte, en solo tres casos las caras sumaran diez: cuando en la primera se obtiene
un 6 y en la segunda un 4, cuando en ambos se obtiene un 5, y cuando en el primero se
obtiene un 4 y en el segundo un 6. Es decir, la probabilidad que este evento ocurra es 36
3
Luego, la probabilidad que la suma de sus caras sea 3 10 es igual a 36
2+
36
3=
36
5.
68. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Azar
Habilidad Aplicacin
Al sumar la cantidad de elementos en la tabla, obtenemos:
La probabilidad de que al escoger un mueble este sea una silla contempornea o un
mueble antiguo es igual a la probabilidad de que el mueble sea una silla contempornea
(10 casos favorable) ms la probabilidad que el mueble sea antiguo (27 casos a favor). Es
decir:
48
37
48
27
48
10
Es decir, la probabilidad de escoger una silla contempornea o un mueble antiguo es 48
37.
69. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Azar
Habilidad Comprensin
Si la variable aleatoria x corresponde a la suma de los resultados al lanzar dos dados,
entonces x puede ser desde 2 (que es el mnimo resultado que se obtiene al sumar 1 ms
1) hasta 12 (que es el mximo resultado, obtenindose de 6 + 6). Como son 36 los
posibles resultados, entonces:
A) Falsa, ya que x puede ser 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 y 12.
B) Falsa, ya que en uno de los casos la suma es 2, por lo que P(x = 2) = 36
1.
C) Falsa, ya que P(x < 3) = P(x = 2), ya que es el nico valor que puede tomar x
siendo menor que 3. Por lo tanto P(x < 3) = 36
1.
D) Verdadera, ya que P(x > 2) = 1 P(x < 2) = 36
35
36
11 .
E) Falsa, ya que el intervalo ]2, 12] no considera el 2, y x si puede ser 2.
Tipos de muebles antiguo contemporneo Total
Silla 16 10 26
Mesa 4 2 6
Mesa de centro 5 5 10
Sof 2 4 6
Total 27 21 48
70. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Azar
Habilidad Aplicacin
Como tenemos 12 bolitas en la urna, donde 3 son rojas, 4 son violetas, 2 son azules y 3
son blancas, entonces la probabilidad de obtener una bolita blanca, una azul y una violeta,
siguiendo este orden, siendo las dos primeras extracciones con reposicin y la ltimo sin
reposicin es igual al producto de probabilidades:
72
1
12
4
12
2
12
3
Luego, la probabilidad de que estos eventos ocurran es 72
1.
71. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Azar
Habilidad ASE
Sabemos que la variable aleatoria x es el nmero
que se obtiene al extraer una bolita al azar. Al
agrupar todos los datos en una tabla de
frecuencia, tenemos:
I) Verdadera, ya que P(x = 10) y P(x = 11) es igual a la probabilidad que al extraer una
bolita al azar esta tenga un 10 y un 11, respectivamente. Por lo tanto, P(x = 10) = 30
7 y
P(x = 11) = 30
5. Luego P(x = 10) > P(x = 11).
II) Verdadera, ya que P(x = 6) es igual a la probabilidad que la bolita extrada tenga un 6,
es decir, P(x = 6) = 6
1
30
5 .
III) Verdadera, ya que P(x = 14) es igual a la probabilidad que la bolita extrada tenga un
14, es decir, P(x = 14) = 5
1
30
6 .
Luego, I, II y III son verdaderas.
Probabilidad de
obtener una bolita
blanca
Probabilidad de
obtener una bolita
azul, despus de la
primera reposicin
Probabilidad de
obtener una bolita
violeta, despus de la
segunda reposicin
Nmero Frecuencia
2 3
5 4
6 5
10 7
11 5
14 6
72. La alternativa correcta es E.
Unidad temtica Azar
Habilidad ASE
Al registrar los datos que entrega el enunciado en una tabla, tenemos:
Entonces:
I) Verdadera, ya que 6 bsico es el curso con mayor cantidad de mujeres, por lo tanto es mayor la probabilidad que al escoger una mujer, sea de este nivel.
II) Verdadera, ya que 7 bsico es el curso con mayor nmero de hombres entre los tres niveles, por lo tanto es mayor la probabilidad que el hombre escogido sea
de este curso.
III) Verdadera, ya que 8 bsico es el curso con mayor nmero de estudiantes entre los tres niveles, por lo tanto es mayor la probabilidad de que el(la) estudiante sea
de este nivel.
Luego, I, II y III son verdaderas.
73. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Azar
Habilidad Aplicacin
Como x es una variable aleatoria discreta en el intervalo [1, 5], entonces x puede ser 1, 2,
3, 4 5.
Al tener la funcin de distribucin, podremos saber cunto es la suma de la funcin de
probabilidad de 2 y la funcin de distribucin de 3:
f (1) = F(1) = 14
1 f(4) = F(4) F(3) =
14
5
7
3
14
11
f(2) = F(2) F(1) = 14
3
14
1
7
2 f(5) = F(5) F(4) =
14
3
14
111
f(3) = F(3) F(2) = 7
1
7
2
7
3
Por lo tanto, f(2) + f(3) = 14
5
7
1
14
3
6 7 8 Total
Hombres 2 8 6 16
Mujeres 10 3 7 20
Total 12 11 13 36
74. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Nmeros racionales
Habilidad ASE
(1) q2 es un nmero par. Con esta informacin s es posible concluir que q es un nmero par, ya que si el resultado de un nmero al cuadrado es par,
necesariamente la raz de este cuadrado debe ser par, ya que par par = par.
(2) (q + 3)2 es un nmero impar. Con esta informacin s es posible concluir que q es un nmero par, ya que si el resultado de un nmero al cuadrado es impar,
necesariamente la raz de este cuadrado debe ser impar, es decir, (q + 3) es impar,
por lo que q debe ser par para que (q + 3) sea impar.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por s sola.
75. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Transformaciones algebraicas
Habilidad ASE
(1) x = 3. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de la expresin del enunciado, ya que al sustituir en la expresin, el resultado que
obtiene est en trminos de y, y se desconoce el valor de esta variable.
(2) x + y = 5. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de la expresin del enunciado, ya que al despejar una de las variables y sustituirla en la
expresin, el resultado depende de alguna de las variables.
Con ambas juntas s es posible determinar el valor numrico de la expresin del
enunciado, ya que si x = 3 y x + y = 5, entonces y = 2. Entonces:
71
103
23
)23(23)(
yx
yxyx
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
76. La alternativa correcta es B.
Unidad temtica Funcin afn y lineal
Habilidad ASE
(1) Los grficos de f y g son perpendiculares entre s. Con esta informacin no es posible determinar el valor numrico de n, ya que al ser perpendiculares las rectas,
entonces el producto de las pendientes es 1, es decir, con este dato podemos conocer el valor de m y no as el valor de n.
(2) Los grficos de f y g se intersectan en el eje de las ordenadas. Con esta informacin s es posible determinar el valor numrico de n, ya que al
intersectarse en el eje de las ordenadas (eje Y), entonces ambas rectas tienen igual
coeficiente de posicin. Como el coeficiente de posicin de f es 2, entonces el valor de n es tambin 2.
Por lo tanto, la respuesta es: (2) por s sola.
77. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Geometra de proporcin
Habilidad ASE
(1) DCAD y ECBE . Con esta informacin s es posible concluir que los tringulos ABC y DEC son semejantes, ya que al ser estos segmentos congruentes
entre s, entonces D y E son puntos medios de los segmentos AC y BC
respectivamente, es decir, DE es una mediana del tringulo ABC. Como la
mediana es paralela a la base, los ngulos interiores de los tringulos ABC y DEC
son congruentes entre s, por lo tanto son semejantes.
(2) El segmento DE es mediana del tringulo ABC. Con esta informacin s es posible concluir que los tringulos ABC y DEC son semejantes, ya que al conocer la
mediana, podemos concluir congruencia de ngulos y proporcionalidad en las
medidas de los lados, es decir que los tringulos ABC y DEC efectivamente son
semejantes.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por s sola.
78. La alternativa correcta es A.
Unidad temtica Geometra analtica
Habilidad ASE
(1) m + n = 7. Con esta informacin s es posible afirmar que el punto (1, 7) pertenece a la recta y = mx + n, ya que si despejamos m en la ecuacin m + n = 7 y
sustituyndolo en la ecuacin de la recta, tenemos:
y = (7 n)x + n y = 7x nx + n
Luego, al reemplazar x = 1 en la ecuacin 7x nx + n, efectivamente y = 7. Es decir, el punto (1, 7) pertenece a la recta.
(2) m n = 3. Con esta informacin no es posible afirmar que el punto (1, 7) pertenece a la recta y = mx + n, ya que si despejamos m en la ecuacin m + n = 7 y
sustituyndolo en la ecuacin de la recta, tenemos:
y = (3 + n)x + n y = 3x + nx + n
Luego, al reemplazar x = 1 en la ecuacin y = 3x + nx + n, no podemos determinar
el valor de y ya que no conocemos el valor de n.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por s sola.
79. La alternativa correcta es C.
Unidad temtica Datos
Habilidad ASE
(1) x = 0,8. Con esta informacin no es posible determinar el curso ms homogneo, ya que para esto necesitamos comparar la desviacin estndar de los tres cursos y
solo conocemos la desviacin de dos de estos (curso B y curso C).
(2) y = 0,1. Con esta informacin no es posible determinar el curso ms homogneo, ya que, nuevamente, para esto necesitamos comparar la desviacin estndar de los
tres cursos y solo conocemos la desviacin de dos de estos (curso A y curso B).
Con ambas juntas s es posible determinar el curso ms homogneo, ya que
conocemos la desviacin de A, B y C, y el curso ms homogneo es aquel que
tiene la menor desviacin estndar, que en este caso es el curso A.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
80. La alternativa correcta es D.
Unidad temtica Azar
Habilidad ASE
(1) El menor de los nmeros de la lista es 21. Con esta informacin s es posible determinar la probabilidad de los dos nmeros escogidos sean primos, ya que al
ser treinta nmeros consecutivos, concluimos que estos son {21, 22, 23, , 50}, entre los cuales se encuentran los nmeros primos {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Como conocemos todos los casos posibles y los casos favorables, entonces s es
posible determinar la probabilidad.
(2) El mayor de los nmeros de la lista es 50. Con esta informacin s es posible determinar la probabilidad de los dos nmeros escogidos sean primos, ya que al
ser treinta nmeros consecutivos, concluimos que estos son {50, 49, 48, , 21}, entre los cuales se encuentran los nmeros primos {23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}.
Como conocemos todos los casos posibles y los casos favorables, entonces s es
posible determinar la probabilidad.
Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por s sola.
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