SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
SOLUCIONARIO: SECCIONES CÓNICAS PRIMERA PARTE
I. Expresar la ecuación en forma canónica y graficarla.
1. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟔 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 6 = 0
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 4
Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 2
C: centro de la circunferencia
2. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 − 15 = 0
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25
Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 5
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
3. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟔𝒚 + 𝟏𝟎 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 1)2 − 1 + (𝑦 + 3)2 − 9 + 10 = 0
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 0
Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 0
4. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟔𝒚 − 𝟏 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Dividimos entre 3 a todo
𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑦 −1
3= 0
Complete cuadradados para x e y.
𝑥2 + (𝑦 − 1)2 − 1 = 0
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 3)2 = 25
Según esto: 𝐶(1; −3) , 𝑟 = 5
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
5. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Dividimos entre 2 a todo
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 − 𝑦 −3
2= 0
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 1/2)2 −1
4+ (𝑦 −
1
2)
2
−1
4− 3/2 = 0
(𝑥 − 1/2)2 + (𝑦 −1
2)
2
= 2
Según esto: 𝐶(1/2; 1/2) , 𝑟 = √2
6. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Dividimos entre 4 a todo
𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 +𝑦
2−
1
4= 0
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 1/2)2 −1
4+ (𝑦 +
1
4)
2
−1
16− 1/4 = 0
(𝑥 − 1/2)2 + (𝑦 − 1/4)2 = 9/16
Según esto: 𝐶(1
2; −1/4) , 𝑟 = 3/4
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
7. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 + 𝟒𝟎𝒚 − 𝟕 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Dividimos entre 4 a todo
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 +5𝑦
2−
7
16= 0
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 + 1/2)2 −1
4+ (𝑦 +
5
4)
2
−25
16− 7/16 = 0
(𝑥 +1
2)
2
+ (𝑦 +5
4)
2
=9
4
Según esto: 𝐶(−1
2; −5/4) , 𝑟 = 3/2
8. 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Complete cuadradados para x e y.
(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 3 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 2
Según esto: 𝐶(2; −1) , 𝑟 = √2
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
II. Representa la gráfica de la ecuación dada
9. 𝒙𝟐
𝟐𝟓+
𝒚𝟐
𝟏𝟔= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 5
𝑏 = 4
𝑐 = 3
Centro (0,0)
Eje mayor horizontal
10. 𝒙𝟐
𝟗+
𝒚𝟐
𝟒= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 3
𝑏 = 2
𝑐 = √5
Centro (0,0)
Eje mayor horizontal
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
11. 𝒙𝟐
𝟏𝟔+
𝒚𝟐
𝟐𝟓= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 5
𝑏 = 4
𝑐 = 3
Centro (0,0)
Eje mayor vertical
12. 𝒙𝟐
𝟒+
𝒚𝟐
𝟗= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 3
𝑏 = 2
𝑐 = √5
Centro (0,0)
Eje mayor vertical
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
13. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 RESOLUCIÓN:
Dando la forma canonica.
𝑥2/9 + 𝑦2/16 = 1
Identificamos:
𝑎 = 4
𝑏 = 3
𝑐 = √7
Centro (0,0)
Eje mayor vertical
14. 𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 = 𝟔 RESOLUCIÓN:
Dando la forma canonica.
𝑥2/3 + 𝑦2/2 = 1
Identificamos:
𝑎 = √3
𝑏 = √2
𝑐 = 1
Centro (0,0)
Eje mayor horizontal
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
15. 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏 RESOLUCIÓN:
Dando la forma canonica.
𝑥2/(1
4) + 𝑦2/1 = 1
Identificamos:
𝑎 = 1
𝑏 = 1/2
𝑐 = √3/4
Centro (0,0)
Eje mayor vertical
16. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒚𝟐 = 𝟏 RESOLUCIÓN:
Dando la forma canonica.
𝑥2/1 + 𝑦2/(1/16) = 1
Identificamos:
𝑎 = 1
𝑏 = 1/4
𝑐 = √15/4
Centro (0,0)
Eje mayor horizontal
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
17. (𝒙−𝟏)𝟐
𝟐𝟓+
(𝒚+𝟐)𝟐
𝟏𝟔= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 5
𝑏 = 4
𝑐 = 3
Centro (1,-2)
Eje mayor horizontal
18. (𝒙+𝟓)𝟐
𝟒+
(𝒚−𝟑)𝟐
𝟗= 𝟏
RESOLUCIÓN:
Identificamos:
𝑎 = 3
𝑏 = 2
𝑐 = √5
Centro (-5,3)
Eje mayor vertical
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
19. 𝟒𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟗𝒚 + 𝟒 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Expresamos en su forma canónica
(𝑥 − 1)2
0.56+
(𝑦 + 1/2)2
0.25= 1
Identificamos:
𝑎 = 3/4
𝑏 = 1/√2
𝑐 = √17/4
Centro (1,-1/2)
Eje mayor horizontal
20. 𝟏𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒚𝟐 + 𝟗𝟔𝒙 + 𝟑𝟔𝒚 + 𝟑𝟔 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Expresamos en su forma canónica
(𝑥 + 3)2
9+
(𝑦 + 2)2
16= 1
Identificamos:
𝑎 = 4
𝑏 = 3
𝑐 = √7
Centro (-3,-2)
Eje mayor vertical
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
21. 𝟒𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Expresamos en su forma canónica
(𝑥 + 3)2
9+
(𝑦 + 2)2
16= 1
Identificamos:
𝑎 = 4
𝑏 = 3
𝑐 = √7
Centro (-3,-2)
Eje mayor vertical
22. 𝟗𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟑𝟔𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟑𝟏 = 𝟎
RESOLUCIÓN:
Expresamos en su forma
canónica
(𝑥 − 2)2
1+
(𝑦 + 1)2
9/4= 1
Identificamos:
𝑎 = 4
𝑏 = 3
𝑐 = √13/2
Centro( 2,1)
Eje mayor vertical
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
23. 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒚𝟐 − 𝟏𝟖𝒙 + 𝟖𝒚 + 𝟏𝟗 = 𝟎 RESOLUCIÓN:
Expresamos en su forma canónica
(𝑥 − 3)2
4+
(𝑦 + 1)2
3= 1
Identificamos:
𝑎 = 2
𝑏 = √3
𝑐 = 1
Centro( 2,1)
Eje mayor horizontal
24. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟏, 𝟐), (−𝟏, 𝟐)𝒚 (𝟐, 𝟏)
RESOLUCIÓN: Evaluando cada punto: (1,2): (1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2…(1) (−1,2): (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2 …(2) (2,1): (2 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = 𝑟2…(3) Encontrems el centro 𝑐(ℎ, 𝑘) Con: (1) = (2) (1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2
(1 − ℎ)2 − (1 + ℎ)2 = 0 4ℎ = 0 → ℎ = 0 Con: (2)=(3) (−1 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2
= (2 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 1 + 2ℎ + ℎ2 + 4 − 4𝑘 + 𝑘2 = 4 − 4ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 6ℎ = 2𝑘 como ℎ = 0 → 𝑘 = 0 Centro 𝐶(0,0) La ecuacion se reduce a.
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ahora encontramos r , con (1,2)
12 + 22 = 𝑟2
𝑟 = √5 ∴ 𝑬 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟓
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
25. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟒, 𝟑), (−𝟐, −𝟓)𝒚 (𝟓, 𝟐)
RESOLUCIÓN:
Evaluando cada punto:
(4,3): (4 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 𝑟2…(1)
(−2, −5): (−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2 = 𝑟2 …(2)
(5,2): (5 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2 = 𝑟2…(3)
Encontremos el centro 𝑐(ℎ, 𝑘)
Con: (1) = (2)
(4 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = (−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2
16 − 8ℎ + ℎ2 + 9 − 6𝑘 + 𝑘2 = 4 + 4ℎ + ℎ2 + 25 + 10𝑘 + 𝑘2
16𝑘 + 12ℎ = −4
4𝑘 + 3ℎ = −1…(*)
Con: (2)=(3)
(−2 − ℎ)2 + (−5 − 𝑘)2 = (5 − ℎ)2 + (2 − 𝑘)2
4 + 4ℎ + ℎ2 + 25 + 10𝑘 + 𝑘2 = 25 − 10ℎ + ℎ2 + 4 − 4𝑘 + 𝑘2
14𝑘 + 14ℎ = 0
ℎ = −𝑘…(**)
Luego: (**) en …(*)
−4ℎ + 3ℎ = −1
→ ℎ = 1 , 𝑘 = −1
Centro 𝐶(1, −1)
La ecuación se reduce a.
(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 1)2 = 𝑟2
Ahora encontramos r , con (4,3)
(4 − 1)2 + (3 + 1)2 = 𝑟2
9 + 16 = 𝑟2
𝑟 = 5
∴ 𝑬 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
26. Hallar ecuación de circunferencia que pasa por: (𝟒, 𝟏), (𝟔, 𝟑) 𝒚 𝒓 = √𝟏𝟎
RESOLUCIÓN:
Con: (x − ℎ)2 + (y − 𝑘)2 = r2
Evaluando cada punto para encontrar 𝐶(ℎ, 𝑘) :
(4,1): (4 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = 10…(1)
(6,3): (6 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2 = 10 …(2)
Con: (1) = (2)
(4 − ℎ)2 + (1 − 𝑘)2 = (6 − ℎ)2 + (3 − 𝑘)2
16 − 8ℎ + ℎ2 + 1 − 2𝑘 + 𝑘2 = 36 − 12ℎ + ℎ2 + 9 − 6𝑘 + 𝑘2
4ℎ + 4𝑘 = 28
ℎ + 𝑘 = 7 de aquí: 𝑘 = 7 − ℎ… (*)
Luego (*) en desarrollo de (2)
(6 − ℎ)2 + (3 − 7 + ℎ)2 = 10
36 − 12h + ℎ2 + 9 + 16 − 8ℎ + ℎ2 = 10
2ℎ2 − 10ℎ + 42 = 0
Factorizando queda:
(ℎ − 7)(ℎ − 3) = 0 → ℎ1 = 7 , ℎ2 = 3
Con esto (*):
ℎ1 = 7 , 𝑘1 = 0 → 𝐶1 = (7,0)
ℎ2 = 3 , 𝑘2 = 4 → 𝐶1 = (3,4)
Que son dos circunferencias de ecuaciones:
𝐶1 = (7,0)
𝑬𝟏: (𝒙 − 𝟕)𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎
𝐶1 = (3,4)
𝑬𝟐: (𝒙 − 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟒)𝟐 = 𝟏𝟎
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
27. Escribir la ecuación de la elipse: 𝑪(𝟒, 𝟓) , eje mayor vertical de 8 unidades y eje menor
6 unidades.
RESOLUCIÓN:
Datos:
Centro: 𝐶(4,5)
𝑎 = 4
𝑏 = 3
𝑐 = √7
∴ 𝑬𝟏: (𝒙 − 𝟒)𝟐
𝟗+
(𝒚 − 𝟓)𝟐
𝟏𝟔= 𝟏
28. Escribir la ecuación de la elipse: 𝑪(−𝟐, 𝟏) , eje mayor horizontal de 4 unidades y eje
menor 2 unidades.
RESOLUCIÓN:
Datos:
Centro: 𝐶(−2,1)
𝑎 = 2
𝑏 = 1
𝑐 = √3
∴ 𝑬𝟏: (𝒙 + 𝟐)𝟐
𝟒+
(𝒚 − 𝟏)𝟐
𝟏= 𝟏
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
29. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎
RESOLUCIÓN:
Primeramente grafique: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
Completamos cuadrados:
(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 1 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 , de aquí: 𝐶(2, −1) , 𝑟 = 2
Es una circunferencia y por el signo ≤ se graficará
con una línea continua, que indica que dicho
puntos de la la circunferencia es parte de la
solución.
Luego, la solución de:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎
Son todos los puntos de la circunferencia y los que
están dentro de ella.
30. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 > 𝟎
RESOLUCIÓN: Primeramente grafique: 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
Completamos cuadrados:
(𝑥 − 2)2 − 4 + (𝑦 + 1)2 − 1 + 1 = 0
(𝑥 − 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 4 , de aquí: 𝐶(2, −1) , 𝑟 = 2
Es una circunferencia y por el signo > se graficará
con una línea discontinua, que indica que dicho
puntos de la circunferencia no es parte de la
solución.
Luego, la solución de:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 ≤ 𝟎
Son todos los puntos fuera de la circunferencia.
SOLUCIONARIO MY MATHE: Secciones Cónicas
http/:wilfredysumateenmymathe.blogspot.com
1
31. Representa el conjunto de todos los puntos tales que: (𝒙 + 𝟑)𝟐 + (𝒚 − 𝟏)𝟐 < 𝟗 ,
RESOLUCIÓN:
Primeramente grafique: (𝑥 + 3)2 + (𝑦 − 1)2 = 9
Con: 𝐶(−3,1) , 𝑟 = 3
Es una circunferencia y por el signo < se
graficará con una línea discontinua, que
indica que dicho puntos de la circunferencia
no es parte de la solución.
Luego, la solución de:
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟏 < 𝟗
Son todos los puntos dentro de la
circunferencia.
Con el tiempo tu perseverancia mostrará tu grandeza (Wdd)
Top Related