universidad de pamplona
SISTEMAS LOGICOS
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO PROPOSICIONAL
Leidy Estefania López Blanco
CESAR PRADADOCENTE
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CUCUTA2012
TABLA DE CONTENIDO
1. La Lógica1.1 Diferentes acepciones del término «lógica» Ciencia argumentativa y propedéutica Ciencia del pensar Ciencia formal1.2 La lógica informal
Sistemas lógicos
1.3 Lógicas clásicas
Lógica proposicionalo Deducción natural
Lógica de primer orden
Lógica de segundo orden
1.4 Lógicas no clásicas
Lógica difusa
Lógica relevante
Lógica cuántica
Lógica no monotónica
Lógica intuicionista
1.5 Lógicas modales
Lógica modal
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Lógica deóntica
Lógica temporal
Lógica epistémica
Lógica doxástica Lógica por defecto
Lógica demostrativa
Lógica difusa
Lógica difusa en inteligencia artificial
Lógica intensional
Lógica proposicional
Lógica intuicionista
Lógica libre
Lógica paraconsistente
Lógica plurivalente
Lógica producto
Lógica polivalente y doble negación
Lógica retractable
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La Lógica
La lógica es una ciencia formal que estudia los principios de
la demostración e inferencia válida. La palabra deriva del griego antiguo λογική (logike),
que significa «dotado de razón, intelectual, dialéctico, argumentativo», que a su vez
viene de λόγος (logos), «palabra, pensamiento, idea, argumento, razón o principio».
La lógica examina la validez de los argumentos en términos de su estructura,
(estructura lógica), independientemente del contenido específico del discurso y de
la lengua utilizada en su expresión y de los estados reales a los que dicho contenido se
pueda referir.
Esto es exactamente lo que quiere decir que la lógica es una ciencia «formal».
Tradicionalmente ha sido considerada como una parte de la filosofía. Pero en su
desarrollo histórico, a partir del final del siglo XIX, y su formalización simbólica ha
mostrado su íntima relación con las matemáticas; de tal forma que algunos la
consideran como Lógica matemática.
En el siglo XX la lógica ha pasado a ser principalmente la lógica simbólica.
Un cálculo definido por unos símbolos y unas reglas de inferencia.1 Lo que ha permitido
un campo de aplicación fundamental en la actualidad: la informática.
Hasta entonces la lógica no tuvo este sentido de estructura formal estricta. La
tradición aristotélica y estoica,2 mantuvo siempre una relación con los argumentos del
lenguaje natural, concediendo por tanto a los argumentos una transmisión de
contenidos verdaderos. Por ello aun siendo formales, no eran formalistas.3
Hoy, tras los progresos científicos relativos a la lingüística, y el
concepto semántico de verdad en su relación con el lenguaje,4 tal relación se trata bajo
un punto de vista completamente diferente.
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La formalización estricta ha mostrado las limitaciones de la lógica tradicional
interpretada actualmente como una particularidad de la lógica de clases.5
Diferentes acepciones del término «lógica»
Ciencia argumentativa y propedéutica
El término «lógica», se encuentra en los antiguos peripatéticos y estoicos como una teoría de la argumentación o argumento cerrado;6 De este modo la forma argumentativa responde al principio de conocimiento que supone que representa adecuadamente la realidad. Por ello, sin perder su condición de formalidad, no son formalistas y no acaban de desprenderse de las estructuras propias del lenguaje.3
Con el nombre de Dialéctica, en la Edad Media, la Lógica mantiene la condición de ciencia propedéutica. Así se estudia en la estructura de las enseñanzas del Trivium como una de las artes liberales.
En la Edad Moderna la lógica tradicional aristotélica adquiere un nuevo enfoque en las interpretaciones racionalistas de Port Royal, en el siglo XVII, pero tampoco supusieron un cambio radical en el concepto de la Lógica como ciencia.
Ciencia del pensar
Los filósofos racionalistas, sin embargo, al situar el origen de la reflexión filosófica en la conciencia, aportaron, a través del desarrollo del análisis como método científico del pensar,8 los temas que van a marcar el desarrollo de la lógica formal. Son de especial importancia la idea de Descartes de una Mathesis universalis9 y de Leibniz que, con su Characteristica Universalis supone la posibilidad de un lenguaje universal, especificado con precisión matemática sobre la base de que la sintaxis de las palabras debería estar en correspondencia con las entidades designadas como individuos o elementos metafísicos, lo que haría posible un cálculo o computación mediante algoritmo en el descubrimiento de la verdad.
Aparecen los primeros intentos y realizaciones de máquinas de cálculo, (Pascal, Leibniz) y, aunque su desarrollo no fue eficaz, sin embargo la idea de una Mathesis Universal o Característica Universal, es el antecedente inmediato del desarrollo de la lógica simbólica a partir del siglo XX.
La palabra «lógica» ha sido utilizada como lógica trascendental por Kant, en el sentido de investigar los conceptos puros a priori del entendimiento o categorías trascendentales.
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Hegel considera la lógica dentro del absoluto como proceso dialéctico del Absoluto, entendido éste como Principio Absoluto, Espíritu Absoluto, y Sujeto, como Sujeto Absoluto. La lógica, la epistemología y la ontología van unidas y son expuestas en la filosofía entendida ésta como Sistema Absoluto.
Ciencia formal
En el último tercio del siglo XIX la Lógica va a encontrar su transformación más profunda de la mano de las investigaciones matemáticas y lógicas, junto con el desarrollo de la investigación de las estructuras profundas del lenguaje, la lingüística, convirtiéndose definitivamente en una ciencia formal.
La lógica informal
En el lenguaje cotidiano, expresiones como «lógica» o «pensamiento lógico», aporta también un sentido alrededor de un «pensamiento lateral» comparado, haciendo los contenidos de la afirmación coherentes con un contexto, bien sea del discurso o de una teoría de la ciencia, o simplemente con las creencias o evidencias transmitidas por la tradición cultural.
Del mismo modo existe el concepto sociológico y cultural de lógica como, p.e. «la lógica de las mujeres», «lógica deportiva», etc. que, en general, podríamos considerar como «lógica cotidiana» - también conocida como «lógica del sentido común».
En estas áreas la «lógica» suele tener una referencia lingüística en la pragmática.
Un argumento en este sentido tiene su «lógica» cuando resulta convincente, razonable y claro; en definitiva cuando cumple una función de eficacia. La habilidad de pensar y expresar un argumento así corresponde a la retórica, cuya relación con la verdad es una relación probable.
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SISTEMAS LÓGICOS
Existe un debate sobre si es correcto hablar de una lógica, o de varias lógicas, pero en el siglo XX se han desarrollado no uno, sino varios sistemas lógicos diferentes, que capturan y formalizan distintas partes del lenguaje natural. Se podría definir a un sistema lógico como un conjunto de cosas, que nos ayudan en la toma de decisiones que sean lo más convenientemente posible.
Un sistema lógico está compuesto por:
1. Un conjunto de símbolos primitivos (el alfabeto, o vocabulario).2. Un conjunto de reglas de formación (la gramática) que nos dice cómo
construir fórmulas bien formadas a partir de los símbolos primitivos.3. Un conjunto de axiomas o esquemas de axiomas. Cada axioma debe ser una
fórmula bien formada.4. Un conjunto de reglas de inferencia. Estas reglas determinan qué fórmulas
pueden inferirse de qué fórmulas. Por ejemplo, una regla de inferencia clásica es el modus ponens, según el cual, dada una fórmula A, y otra fórmula A → B, la regla nos permite afirmar que B.
Estos cuatro elementos completan la parte sintáctica de los sistemas lógicos. Sin embargo, todavía no se ha dado ningún significado a los símbolos discutidos, y de hecho, un sistema lógico puede definirse sin tener que hacerlo. Tal tarea corresponde al campo llamado semántica formal, que se ocupa de introducir un quinto elemento:
5. Una interpretación formal. En los lenguajes naturales, una misma palabra puede significar diversas cosas dependiendo de la interpretación que se le dé. Por ejemplo, en el idioma español, la palabra «banco» puede significar un edificio o un asiento, mientras que en otros idiomas puede significar algo completamente distinto o nada en absoluto. En consecuencia, dependiendo de la interpretación, variará también el valor de verdad de la oración «el banco está cerca». Las interpretaciones formales asignan significados inequívocos a los símbolos, y valores de verdad a las fórmulas.
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Lógicas clásicas
Los sistemas lógicos clásicos son los más estudiados y utilizados de todos, y se caracterizan por incorporar ciertos principios tradicionales que otras lógicas rechazan. Algunos de estos principios son: el principio del tercero excluido, el principio de no contradicción, el principio de explosión y la monoticidad de la implicación. Entre los sistemas lógicos clásicos se encuentran:
Lógica proposicional
La lógica proposicional es la parte de la lógica que estudia la formación
de proposiciones complejas a partir de proposiciones simples, y la inferencia de
proposiciones a partir de proposiciones, pero sin tener en cuenta la estructura interna
de las proposiciones más simples.
Una lógica proposicional es un sistema formal cuyos elementos más simples
representan proposiciones, y cuyas constantes lógicas, llamadas conectivas,
representan operaciones sobre proposiciones, capaces de formar otras proposiciones
de mayor complejidad.
Introducción
Considérese el siguiente argumento:
1. Mañana es miércoles o mañana es jueves.2. Mañana no es jueves.3. Por lo tanto, mañana es miércoles.
Es un argumento válido. Quiere decir que es imposible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Esto no quiere decir que la conclusión sea verdadera. Si las premisas son falsas, entonces la conclusión también podría serlo. Pero si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también lo es. La validez de este argumento no se debe al significado de las expresiones «mañana es miércoles» y «mañana es jueves», porque éstas podrían cambiarse por otras y el argumento permanecer válido. Por ejemplo:
1. Está soleado o está nublado.2. No está nublado.
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3. Por lo tanto, está soleado.
En cambio, la validez de estos dos argumentos depende del significado de las expresiones «o» y «no». Si alguna de estas expresiones se cambiara por otra, entonces podría ser que los argumentos dejaran de ser válidos. Por ejemplo:
1. Ni está soleado ni está nublado.2. No está nublado.3. Por lo tanto, está soleado.
Las expresiones de las que depende la validez de los argumentos se llaman constantes lógicas. La lógica proposicional estudia el comportamiento de algunas de estas expresiones, llamadas conectivas lógicas. En cuanto a las expresiones como "está nublado" o "mañana es jueves", lo único que importa de ellas es que tengan un valor de verdad. Es por esto que se las remplaza por simples letras, cuya intención es simbolizar una expresión con valor de verdad cualquiera. A estas letras se las llama variables proposicionales, y en general se toman del alfabeto latino, empezando por la letra p, luego q, r, s, etc. Así, los dos primeros argumentos de esta sección podrían rescribirse así:
1. p o q2. No q3. Por lo tanto, p
Y el tercer argumento, a pesar de no ser válido, puede rescribirse así:
1. Ni p ni q2. No q3. Por lo tanto, p
Conectivas lógicas
A continuación hay una tabla que despliega todas las conectivas lógicas que ocupan a la lógica proposicional, incluyendo ejemplos de su uso en el lenguaje natural y los símbolos que se utilizan para representarlas.
Conectiva
Expresión en ellenguaje natural
Ejemplo
Símbolo eneste artículo
Símbolosalternativos
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Negación no No está lloviendo.
Conjunción y Está lloviendo y está nublado.
Disyunción o Está lloviendo o está soleado.
Condicional material
si... entonces
Si está soleado, entonces es de día.
Bicondicional si y sólo siEstá nublado si y sólo si hay nubes visibles.
Negación conjunta
ni... ni Ni está soleado ni está nublado.
Disyunción excluyente
o bien... o bien
O bien está soleado, o bien está nublado.
En la lógica proposicional, las conectivas lógicas son tratados como funciones de verdad. Es decir, como funciones que toman conjuntos de valores de verdad y devuelven valores de verdad. Por ejemplo, la conectiva lógica no es una función que si toma el valor de verdad V, devuelve F, y si toma el valor de verdad F, devuelve V. Por lo tanto, si se aplica la función no a una letra que represente una proposición falsa, el resultado será algo verdadero. Si es falso que «está lloviendo», entonces será verdadero que «no está lloviendo».
El significado de las conectivas lógicas no es nada más que su comportamiento como funciones de verdad. Cada conectiva lógica se distingue de las otras por los valores de verdad que devuelve frente a las distintas combinaciones de valores de verdad que puede recibir. Esto quiere decir que el significado de cada conectiva lógica puede ilustrarse mediante una tabla que despliegue los valores de verdad que la función
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devuelve frente a todas las combinaciones posibles de valores de verdad que puede recibir.
Negación Conjunción Disyunción Condicional Bicondicional
Límites de la lógica proposicional
La maquinaria de la lógica proposicional permite formalizar y teorizar sobre la validez de una gran cantidad de argumentos. Sin embargo, también existen argumentos que son intuitivamente válidos, pero cuya validez no puede ser probada por la lógica proposicional. Por ejemplo, considérese el siguiente argumento:
1. Todos los hombres son mortales.2. Sócrates es un hombre.3. Por lo tanto, Sócrates es mortal.
Como este argumento no contiene ninguna de las conectivas «no», «y», «o», etc., según la lógica proposicional, su formalización será la siguiente:
1. p2. q3. Por lo tanto, r
Pero esta es una forma de argumento inválida, y eso contradice nuestra intuición de que el argumento es válido. Para teorizar sobre la validez de este tipo de argumentos, se necesita investigar la estructura interna de las variables proposicionales. De esto se ocupa la lógica de primer orden. Otros sistemas formales permiten teorizar sobre otros tipos de argumentos. Por ejemplo la lógica de segundo orden, la lógica modal y la lógica temporal.
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Deducción natural
La deducción natural es una aproximación a la teoría de la demostración en la que se
busca capturar la manera en que las personas razonan naturalmente al construir
demostraciones.1 2 En vez de contar con unos pocos axiomas a los que se aplican
unas pocas reglas de inferencia, la deducción natural propone vaciar la lista de axiomas
y ampliar la de reglas de inferencia, introduciendo dos reglas para cada constante
lógica: una para introducirla y otra para eliminarla.2 Una demostración se construye
partiendo de supuestos y aplicando las reglas para llegar a la conclusión deseada.
La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones
sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en
1934-1935.2
Reglas de inferencia
Conectivas
Conectiva
Nombre de la regla
Abreviación
Formalización Cálculo de secuentes
Introducción de la negación(véase reducción al absurdo)
Eliminación de la negación
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Introducción de la conjunción
Eliminación de la conjunción
Introducción de la disyunción
Eliminación de la disyunción(véase silogismo disyuntivo)
Introducción del condicional material(véase teorema de la deducción)
Eliminación del condicional material(véase modus ponens)
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Introducción del bicondicional
Eliminación del bicondicional
Cuantificadores
Sea a una constante de individuo y t un término. Sea A (b/c) el resultado de remplazar todas las apariciones de b en A por c. Luego:
Cuantificador
Nombre de la regla AbreviaciónFormalización
Cálculo de secuentes
Introducción del cuantificador universal
Eliminación del cuantificador universal
Introducción del cuantificador existencial
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Eliminación del cuantificador existencial
Demostraciones
A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1 Supuesto.
2 Desde (1) por introducción de la disyunción.
3 Desde (1) y (2) por introducción de la conjunción.
4 Desde (3) por eliminación de la conjunción.
5 Resumen de (1) hasta (4).
6 Desde (5) por introducción del condicional. Q.E.D.
Ejemplo más complejo
En esta sección se presenta una demostración de una de las leyes de Morgan. La misma dice:
Dado que la conectiva principal es un bicondicional, la estrategia será demostrar
que y que , para luego poder introducir el bicondicional (por medio de la regla de introducción del bicondicional). Para obtener cada una de estas subfórmulas, cuyas conectivas principales son
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condicionales materiales, se debe suponer el antecedente e intentar derivar el consecuente.
A demostrar:
Paso Fórmula Razón
1 Supuesto.
2 Supuesto.
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6 Supuesto.
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12 Supuesto.
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15 Supuesto.
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Lógica de primer orden
La lógica de primer orden, también llamada lógica de predicados o cálculo de
predicados, es un sistema formal diseñado para estudiar la inferencia en los lenguajes
de primer orden.1 Los lenguajes de primer orden son, a su vez, lenguajes
formales con cuantificadores que alcanzan sólo a variables de individuo, y con
predicados y funciones cuyos argumentos son sólo constantes o variables de
individuo.2
La lógica de primer orden tiene el poder expresivo suficiente para definir a
prácticamente todas las matemáticas.
Introducción
Como el desarrollo histórico y las aplicaciones de la lógica de primer orden están muy ligados a la matemática, en lo que sigue se hará una introducción que contemple e ilustre esta relación, tomando ejemplos tanto de la matemática como del lenguaje natural. Primero se introducen cada uno de los conceptos básicos del sistema, y luego se muestra cómo utilizarlos para analizar argumentos.
Predicados
Un predicado es una expresión lingüística que puede conectarse con una o varias otras expresiones para formar una oración.3 Por ejemplo, en la oración «Marte es un planeta», la expresión «es un planeta» es un predicado que se conecta con la expresión «Marte» para formar una oración. Y en la oración «Júpiter es más grande que Marte», la expresión «es más grande que» es un predicado que se conecta con dos expresiones, «Júpiter» y «Marte», para formar una oración.
Cuando un predicado se conecta con una expresión, se dice que expresa una propiedad (como la propiedad de ser un planeta), y cuando se conecta con dos o más expresiones, se dice que expresa una relación (como la relación de ser más grande que). La lógica de primer orden no hace ningún supuesto, sin embargo, sobre si existen o no las propiedades o las relaciones. Sólo se ocupa de estudiar el modo en que hablamos y razonamos con expresiones lingüísticas.
En la lógica de primer orden, los predicados son tratados como funciones. Una función es, metafóricamente hablando, una máquina que recibe un conjunto de cosas, las procesa, y devuelve como resultado una única cosa. A las cosas que entran a las funciones se las llama argumentos,4 y a las cosas que salen, valores o imágenes. Considérese por ejemplo la siguiente función matemática:
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f(x) = 2x
Esta función toma números como argumentos y devuelve más números como valores. Por ejemplo, si toma el número 1, devuelve el número 2, y si toma el 5, devuelve el 10. En la lógica de primer orden, se propone tratar a los predicados como funciones que no sólo toman números como argumentos, sino expresiones como «Marte», «Mercurio» y otras que se verán más adelante. De este modo, la oración «Marte es un planeta» puede transcribirse, siguiendo la notación propia de las funciones, de la siguiente manera:
Planeta (Marte)
O, más abreviadamente:
P (m)En la matemática existen además funciones que toman varios argumentos. Por ejemplo:
F(x, y) = x + y
Esta función, si toma los números 1 y 2, devuelve el número 3, y si toma el -5 y el -3, devuelve el -8. Siguiendo esta idea, la lógica de primer orden trata a los predicados que expresan relaciones, como funciones que toman dos o más argumentos. Por ejemplo, la oración «Caín mató a Abel» puede formalizarse así:
Mató (Caín, Abel)
O abreviando:
M(c, a)
Este procedimiento puede extenderse para tratar con predicados que expresan relaciones entre muchas entidades. Por ejemplo, la oración «Ana está sentada entre Bruno y Carlos» puede formalizarse:
S(a, b, c)
Constantes de individuo
Una constante de individuo es una expresión lingüística que refiere a una entidad. Por ejemplo «Marte», «Júpiter», «Caín» y «Abel» son constantes de individuo. También lo son las expresiones «1», «2», etc., que refieren a números. Una entidad no tiene que existir para que se pueda hablar acerca de ella, de modo que la lógica de primer orden
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tampoco hace supuestos acerca de la existencia o no de las entidades a las que refieren sus constantes de individuo.
Variables de individuo
Además de las constantes de individuo que hacen referencia a entidades determinadas, la lógica de primer orden cuenta con otras expresiones, las variables, cuya referencia no está determinada. Su función es similar a la de las expresiones del lenguaje natural como «él», «ella», «esto», «eso» y «aquello», cuyo referente varía con el contexto. Las variables generalmente se representan con letras minúsculas cerca del final del alfabeto latino, principalmente la x, y y z. Del mismo modo, en la matemática, la x en la función f(x) = 2x no representa ningún número en particular, sino que es algo así como un espacio vacío donde pueden insertarse distintos números. En conclusión, podemos representar una expresión como «esto es antiguo» con la expresión:
Antiguo(x)
O abreviadamente:
A(x)
Es evidente, sin embargo, que hasta que no se determine a qué refiere la x, no es posible asignar un valor de verdad a la expresión «esto es antiguo», del mismo modo que hasta que no se determine un número para la x en la función f(x) = 2x, no será posible calcular ningún valor para la función.
Por supuesto, al igual que con las constantes de individuo, las variables sirven también para formalizar relaciones. Por ejemplo, la oración «esto es más grande que aquello» se formaliza:
G(x, y)
Y también pueden combinarse constantes de individuo con variables. Por ejemplo en la oración «ella está sentada entre Bruno y Carlos»:
S(a, b, c)
Cuantificadores
Considérese ahora la siguiente expresión matemática:
X > 3
Esta expresión no es ni verdadera ni falsa, y parece que no lo será hasta que no remplacemos a la x por algún número cualquiera. Sin embargo, también es posible dar un valor de verdad a la expresión si se le antepone un cuantificador. Un cuantificador es una expresión que afirma que una condición se cumple para un cierto número de
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individuos.5 En la lógica clásica, los dos cuantificadores más estudiados son el cuantificador universal y el cuantificador existencial.5 El primero afirma que una condición se cumple para todos los individuos de los que se está hablando,5 y el segundo que se cumple para al menos uno de los individuos.5 Por ejemplo, la expresión "para todo x" es un cuantificador universal, que antepuesto a "x < 3", produce:
Para todo x, x < 3
Esta es una expresión con valor de verdad, en particular, una expresión falsa, pues existen muchos números (muchos x) que son mayores que tres. Anteponiendo en cambio la expresión "para al menos un x", un cuantificador existencial, se obtiene:
Para al menos un x, x < 3
La cual resulta ser una expresión verdadera.
Adviértase ahora, sin embargo, que el valor de verdad de las dos expresiones anteriores depende de qué números se esté hablando. Si cuando se afirma "para todo x, x < 3", se está hablando sólo de los números negativos, por ejemplo, entonces la afirmación es verdadera. Y si al afirmar "para al menos un x, x < 3" se está hablando solamente de los números 3, 4 y 5, entonces la afirmación es falsa. En lógica, a aquello de lo que se está hablando cuando se usa algún cuantificador, se lo llama el dominio de discurso.6
Esta maquinaria puede adaptarse fácilmente para formalizar oraciones con cuantificadores del lenguaje natural. Tómese por caso la afirmación "todos son amigables". Esta oración puede traducirse así:
Para todo x, x es amigable.
Y una oración como "alguien está mintiendo" puede traducirse:
Para al menos un x, x esta mintiendo.
También es frecuente traducir esta última oración así:
Existe al menos un x, tal que x está mintiendo.
A continuación se formalizan ambas oraciones, introduciendo a la vez la notación especial para los cuantificadores:
Para todo x, x es amigable. ∀x A(x)Existe al menos un x, tal que x está mintiendo. ∃x M(x)
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Lógica de segundo orden
Una lógica de segundo orden es una extensión de una lógica de primer orden en la que
se añaden variables para propiedades, funciones y relaciones, y cuantificadores que
operan sobre esas variables.1 Así se expande el poder expresivo del lenguaje sin tener
que agregar nuevos símbolos lógicos.1 Por ejemplo, en una lógica de primer orden es
posible decir "esta esmeralda es verde", pero no es posible decir "el verde es un color",
porque una lógica de primer orden sirve para hablar acerca de individuos (como esta
esmeralda), pero no acerca de propiedades (como verde). En cambio, una lógica de
segundo orden no tiene esa limitación, y por lo tanto permite escribir:
Además, una lógica de segundo orden también puede cuantificar sobre propiedades.
Gracias a eso puede expresar, por ejemplo, que todo individuo o tiene una propiedad o
no la tiene:
O el principio de identidad de los indiscernibles:2
Sin embargo, lo que se gana en poder expresivo se pierde en meta teoría. Existen
propiedades meta teóricas generalmente consideradas deseables que las lógicas de
segundo orden no tienen y las lógicas de primer orden sí. Por ejemplo, las lógicas de
segundo orden (con semántica estándar) son incompletas.3 Quiere decir que no puede
haber ningún sistema deductivo finito a partir del cual se puedan demostrar todas las
verdades lógicas expresables en el lenguaje.3 Esto es: el conjunto de las verdades del
sistema es mayor que el conjunto de las verdades demostrables en el sistema. Esto se
debe a que las lógicas de segundo orden tienen el poder expresivo suficiente para ser
afectadas por los teoremas.
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Lógicas no clásicas
Los sistemas lógicos no clásicos son aquellos que rechazan uno o varios de los principios de la lógica clásica. Algunos de estos sistemas son:
Lógica difusa: Es una lógica plurivalente que rechaza el principio del tercero excluido y propone un número infinito de valores de verdad.
Lógica relevante: Es una lógica para consistente que evita el principio de explosión al exigir que para que un argumento sea válido, las premisas y la conclusión deben compartir al menos una variable proposicional.
Lógica relevante
La lógica relevante, también llamada lógica de relevancia, es toda lógica perteneciente
a una de las familias de lógicas sub-estructurales no clásicas que impone ciertas
restricciones en la implicación.
La lógica relevante fue propuesta en 1928 por el filósofo ruso Iván Orlov (1886 - circa
1936) en un escrito estrictamente matemático titulado "The Logic of Compatibility of
Propositions" publicado en Matematicheskii Sbornik.
Objetivos
El objetivo de la lógica relevante es capturar los aspectos de la implicación que son ignorados por el operador del condicional material en la lógica clásica veritativo-funcional. Esta idea no es nueva: Clarence Irving Lewis propuso el condicional estricto, sobre la base que la lógica clásica sostiene, por ejemplo, que una falsedad implica cualquier proposición. Por lo tanto "Si yo soy el Papa, entonces 2 + 2 = 5 es verdadero". Pero claramente aunque yo fuera el Papa, 2 + 2 seguiría sin ser 5. Por lo tanto la relación de implicación debe ser necesaria.
Algunos otros problemas subsisten incluso después que se eliminan las paradojas de la implicación material. Anderson y Belnap (ver abajo) enumeran varias "paradojas de
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estricta aplicación": por ejemplo, una contradicción todavía implica cualquier cosa, y cualquier cosa implica una tautología. Lo que no resulta intuitivo es que la implicación - como normalmente se usa dicho término - requiere que exista algún tipo de conexión en la substancia del tema entre premisas y la conclusión.
Características
La diferencia entre lógica clásica y la relevante es que en esta última la semántica requiere que el antecedente y el consecuente de una implicación sean relacionados de manera relevante. En términos de una restricción sintáctica para el cálculo proposicional, es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas. En un cálculo predicativo, la relevancia requiere que se compartan las variables y constantes entre las premisas y la conclusión. Esto puede ser asegurado (junto con otras condiciones más estrictas) por ejemplo colocando ciertas restricciones a las reglas del sistema de deducción natural.
En particular, una deducción natural en estilo de Fitch puede ser adaptada para introducir la relevancia introduciendo etiquetas en el extremo final de cada línea de una derivación indicando las premisas “relevantes”. El cálculo mediante el estilo de Gentzen puede ser modificado eliminando las reglas de debilitamiento que permiten la introducción de fórmulas arbitrarias en el lado derecho o izquierdo de las secuencias "sequents".
La idea básica de la implicación relevante aparece en la lógica medieval, y algún trabajo pionero fue hecho por Ackermann, Moh, y Church hacia 1950. Sobre la base del trabajo de ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (con otros) escribió el trabajo maestro sobre el tema, "Entailment: The Logic of Relevance and Necessity" hacia 1970. Ellos trataron sistemas de implicación y sistemas de relevancia, donde el sistema de implicación se supone es relevante y necesario.
Una característica notable de las lógicas relevantes es que son lógicas paraconsistentes: la existencia de una contradicción no causará una explosión. Esto se deriva del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra del proposicional o del predicado con el consecuente no puede ser verdad.
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Lógica cuántica:
Desarrollada para lidiar con razonamientos en el campo de la mecánica cuántica; su característica más notable es el rechazo de la propiedad distributiva.
Lógica cuántica
En física, la lógica cuántica es el conjunto de reglas algebraicas que rigen las
operaciones para combinar y los predicados para relacionar proposiciones asociadas a
acontecimientos físicos que se observan a escalas atómicas.
Ejemplos de tales proposiciones son aquellas relativas al momento lineal o a
la posición en el espacio de un electrón. La lógica cuántica puede considerarse como
un sistema formal paralelo al cálculo proposicional de la lógica clásica, donde en esta
última, las operaciones para combinar proposiciones son las conectivas lógicas y los
predicados entre proposiciones son equivalencia e implicación. La lógica cuántica fue
creada con el propósito de tratar matemáticamente las anomalías relativas a
la medición, como el principio de incertidumbre, en la mecánica cuántica. Éstas surgen
por la medición simultánea de observables complementarios en escalas atómicas.
La expresión "lógica cuántica" también se refiere a la rama interdisciplinaria de física,
matemática, lógica y filosofía que estudia el formalismo y las bases empíricas de estas
reglas algebraicas. Vale salientar que la lógica cuántica es una disciplina científica
independiente y con objetivos diferentes de la informática cuántica, aunque ambas
dependen, por supuesto, de la física cuántica.
Introducción
El concepto de lógica cuántica fue propuesto originalmente por Garrett Birkhoff y John von Neumann en 1936. Tal como fue propuesto por estos autores, la lógica cuántica se fundamenta en la idea que el retículo de proyecciones ortogonales en un espacio de Hilbert es la estructura que corresponde en la mecánica cuántica al reticulado de proposiciones en la física clásica.
La tesis que la lógica cuántica es la lógica apropiada para el raciocinio de manera
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Lógica no monotónica
Una lógica no monotónica, o lógica no monótona, es un sistema lógico cuya
relación de consecuencia lógica es no monotónica. La mayoría de los sistemas
lógicos tienen una relación de consecuencia monotónica, lo que quiere decir que
el agregar una fórmula a una teoría nunca se produce una reducción de su
conjunto de consecuencias. Intuitivamente, la monotonicidad indica que el
agregar nuevos conocimientos no se reduce el conjunto de las cosas conocidas.
Simbólicamente:
Si , entonces
Donde A es una fórmula cualquiera y y son conjuntos de fórmulas
cualesquiera.
Una lógica monotónica no puede manejar varios tipos de razonamiento tales
como el razonamiento por defecto (los hechos pueden ser conocidos únicamente
por la incertidumbre o carencia de evidencia de lo contrario), el razonamiento
abductivo (los hechos sólo se deducen en calidad de explicaciones probables), el
razonamiento acerca del conocimiento (la ignorancia de un hecho debe ser
retractada cuando el hecho sea conocido), y la revisión de creencias (nuevo
conocimiento puede contradecir creencias anteriores, obligando a revisarlas).
Estas limitaciones son un inconveniente en gran cantidad de problemas que se
presentan en inteligencia artificial, que tienen un carácter no monótono.
Razonamiento por defecto
El razonamiento de sentido común muchas veces establece conclusiones a partir de información parcial, que luego se revisan o se desechan cuando se obtiene nueva información relevante. Por ejemplo, si de un determinado animal se sabe que es un ave, y no se conoce nada más, se puede asumir que es capaz de volar. No obstante, este hecho debe ser retractado si después se sabe que ese determinado animal es un pingüino. Este ejemplo muestra que una lógica que modele el razonamiento por defecto no debe ser monotónica. Las lógicas que formalizan razonamiento por defecto pueden ser divididas tajantemente en dos categorías: lógicas capaces de manejar suposiciones arbitrarias por defecto (lógica por defecto, lógica retractable, y answer set programming) y lógicas que
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formalizan la específica suposición por defecto de que los hechos que no se saben verdaderos pueden ser asumidos como falsos por defecto (closed world assumption y circunscripción).
Las lógicas por defecto permiten representar proposiciones como "si x es un ave, entonces x puede volar, a menos que haya algo que lo contradiga". Para ello se amplia la lógica de primer orden introduciendo un operador modal M (es modal ya que indica una modalidad de verdad), y se establece un mecanismo de mantenimiento de coherencia –generalmente traducido como mantenimiento de verdad (truth maintenance)- que permite eliminar el supuesto en cuanto se presente un hecho que lo invalide.
Razonamiento abductivo
El razonamiento abductivo es el sistema que deriva las explicaciones más probables de los hechos conocidos. Una lógica abductiva no puede ser monotónica porque las explicaciones más probables no son necesariamente las correctas. Por ejemplo, la explicación más probable de ver el pasto mojado es que ha llovido; sin embargo, esta explicación debe ser retractada cuando se sepa que la causa real de que el pasto estuviera mojado era un rociador. En tanto que la primera explicación (llovió) es retractada debido a la adición de información (se activó un rociador), cualquier lógica que modele explicaciones es no monotónica.
Razonamiento acerca del conocimiento
Si una lógica incluye fórmulas que significan que algo no es conocido, esta lógica no puede ser monotónica. De hecho, aprender algo que antes no era conocido lleva a el reemplazo de la fórmula que especificaba que esa parte de conocimiento no es conocida. Este segundo cambio (un reemplazo causada por una adición) viola la condición de monotonicidad. La lógica acerca del conocimiento es la lógica autoepistémica.
Revisión de creencias
La revisión de creencias es el sistema que permite cambiar las creencias para alojar una nueva que puede ser inconsistente con las anteriores. En el supuesto de que la nueva creencia es correcta, algunas de las anteriores deben ser retractadas para mantener la consistencia. Esta retractación como respuesta a la adición de una nueva creencia hace que cualquier lógica para la revisión de creencias sea no monotónica. El enfoque de la revisión de creencias es alternativo para las lógicas paraconsistentes, las cuales más que intentar remover la inconsistencia la toleran.
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Lógica intuicionista:
Enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo de las transformaciones de las proposiciones.
Lógicas modales
Las lógicas modales están diseñadas para tratar con expresiones que califican la verdad de los juicios. Así por ejemplo, la expresión «siempre» califica a un juicio verdadero como verdadero en cualquier momento, es decir, siempre. No es lo mismo decir «está lloviendo» que decir «siempre está lloviendo».
Lógica modal
Trata con las nociones de necesidad, posibilidad, imposibilidad y contingencia.Lógica modal
Una lógica modal es un sistema formal que intenta capturar el comportamiento
deductivo de algún grupo de operadores modales.1 Los operadores modales son
expresiones que califican la verdad de los juicios.1 Por ejemplo, en la oración "es
necesario que 2+2=4", la expresión "es necesario que" es un operador modal que
califica de necesaria a la verdad del juicio "2+2=4".
En un sentido más restringido, sin embargo, se llama lógica modal al sistema formal
que se ocupa de las expresiones "es necesario que" y "es posible que".1 Este artículo
trata exclusivamente sobre este sistema formal. Otros sistemas de lógica modal
conocidos son la lógica deóntica, la lógica temporal, la lógica epistémica y la lógica
doxástica.
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Vocabulario
La lógica modal sólo agrega dos símbolos al vocabulario de la lógica proposicional: el símbolo , que representa la expresión del lenguaje natural "es necesario que", y el símbolo , que representa la expresión "es posible que". Ambos símbolos se prefijan a proposiciones, de modo que se lee "es necesario que p", y se lee "es posible que p". Además, en la lógica modal clásica, ambos símbolos son interdefinibles por medio del otro y de la negación; así:
Esto implica que en principio, sólo es necesario tomar uno de los dos símbolos como primitivo, ya que el otro puede ser definido a partir de éste y del vocabulario de la lógica proposicional. En general, el símbolo que se toma como primitivo es el de necesidad. Estas interdefiniciones son paralelas a las de los cuantificadores en la lógica de primer orden:
Las razones de este pararelismo resultarán más claras en la sección de semántica de mundos posibles.
Gramática
La gramática nos indica qué secuencias de signos del vocabulario están bien construidas. A estas secuencias se las llama fórmulas bien formadas. La gramática de la lógica modal es igual a la de la lógica proposicional, excepto que añade una regla para los operadores modales, la cual ya fue indicada informalmente en la sección anterior:
Si es una fórmula bien formada, entonces también lo es.
Algunos ejemplos de fórmulas bien formadas del lenguaje serán, por lo tanto:
Reglas de inferencia
La regla de inferencia más propia de la lógica modal se llama N (o regla de Necesitación), y dice que si una fórmula es un teorema, entonces "es necesario que " también es un teorema. En otros términos:
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A esta regla hay que sumarle, por supuesto, el modus ponens heredado de la lógica proposicional.
Axiomas
Cuáles deben ser los axiomas de la lógica modal es algo muy debatido. Diferentes conjuntos de axiomas permiten demostrar diferentes teoremas, y por lo tanto los axiomas que se eligen muchas veces dependen de los teoremas que se quieren demostrar, y de la posición filosófica que se defiende.
La siguiente es una lista de algunos de los axiomas más conocidos:
Nombre Axioma Lectura informal
KSi es necesario que impliques , entonces si es necesario, también lo es.
T (o M) Si es necesario que , entonces sea el caso.
4Si es necesario que , entonces sea necesario que sea necesario.
5Si es posible que , entonces sea necesario que sea posible.
BSi es el caso, entonces es necesario que sea posible.
Lógica deóntica:
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Se ocupa de las nociones morales de obligación y permisibilidad.Lógica deóntica
La lógica deóntica es un tipo de lógica modal usada para analizar formalmente las
normas o las proposiciones que tratan acerca de las normas.
Introducción
Normas son, por ejemplo, los significados de las siguientes frases: "¡te ordeno que te calles, grosero!", "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar", "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento".
A partir del operador O que significa "obligatorio" es posible calificar actos o proposiciones como obligatorios. Por ejemplo, el acto "pagar impuestos" que representaremos con el símbolo p, puede ser obligatorio: Op. O bien, la proposición "los impuestos se pagan" cuyo símbolo será p*, puede ser obligatoria: Op*. Algunos lógicos piensan que las normas resultantes no son ni verdaderas ni falsas, sino válidas o inválidas.
A partir del operador de obligación y de la negación lógica (que se escribe ¬) es posible definir los operadores de prohibición (Ph) y de permisión (P):
Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p
Lo anterior se lee: "(Obligatorio p) si y solamente si (prohibido no p) si y solamente si (no permitido no p)".
Pérdida de significado
La lógica deóntica estándar expresaría los ejemplos dados antes a través del lenguaje simplificado que acabamos de mencionar, aunque cierta información o matiz se pierdan: "¡te ordeno que te calles, grosero!" se expresaría diciendo simplemente "obligatorio callarse" u "obligatorio que haya silencio"; "prohibido el paso; perro agresivo puede atacar" se expresaría diciendo "prohibida la conducta de entrar" o "prohibido que haya alguien adentro"; "todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" se expresaría diciendo "permitido el acto de expresar el propio pensamiento" o "permitido que sea expresado el propio pensamiento".
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Algunos lenguajes deónticos más complejos pueden expresar rigurosamente nociones asociadas, como el concepto de sanción o amenaza de sanción (evocada en el ejemplo del perro) o el concepto de derecho individual (como el ejemplo del derecho a la libre expresión de las ideas).
El operador de facultad se define: Fp ≡ Pp ^ P¬p
Lo anterior se lee: "(Facultativo p) si y solamente si (Permitido p y permitido no p)".
El operador de facultad parece más adecuado para expresar el último de los ejemplos. "Todo ser humano es libre de expresar su pensamiento" quedaría: "es facultativa la conducta de expresar el propio pensamiento" o "es facultativo que sea expresado el propio pensamiento" o, lo que es lo mismo, "están permitidas ambas conductas: expresar y no expresar el propio pensamiento".
Tabla de equivalencias
Op ≡ Ph¬p ≡ ¬P¬p
O¬p ≡ Php ≡ ¬Pp
¬O¬p ≡ ¬Php ≡ Pp
¬Op ≡ ¬Ph¬p ≡ P¬p
El operador F no permite definir a los otros operadores por sí solo.
Los axiomas fundamentales del sistema estándar de lógica deóntica son:
Principio de permisión:
Pp v P¬p
Se lee: “acerca de todo acto (o de toda proposición concerniente a un acto), o bien éste está permitido o bien está permitida su negación”.
Principio de distribución deóntica:
P(p v q) ≡ Pp v Pq
Se lee: “el enunciado según el cual la disyunción de dos actos está permitida equivale, a su vez, a la disyunción de dos enunciados: el que afirma que el primer acto está permitido y el que afirma que el segundo acto está permitido".
Este último axioma se escribe a veces:
O(p ^ q) ≡ Op ^ Oq
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Lógica temporal:
Abarca operadores temporales como «siempre», «nunca», «antes», «después», etc.Lógica temporal
La lógica temporal es una extensión de la lógica modal, la cual es prácticamente usada
en sistema de reglas, donde esta presente el tiempo. Existe una cierta relación con
otras variedades de lógica, por ejemplo, la lógica modal. Su estudio tiene importancia
en la parte de la informática hasta nuestros días.
Por ejemplo, tomemos la sentencia: "Tengo hambre"; aunque su significado es
independiente del tiempo, el valor de verdad o falsedad de la misma puede variar con el
tiempo en un determinado sistema que incluya acciones de comer; así, en función del
sistema, algunas veces será cierta y otras falsa, aunque nunca será cierta y falsa
simultáneamente.
Historia
La lógica temporal fue estudiada por Aristóteles, en algunos de sus escritos hay expresiones que guardan una cierta analogía con la lógica temporal de primer orden; es de esta manera como aparecen expresiones con cuantificadores existenciales y cuantificadores universales
Sistemas basados en lógica temporal
En lógica temporal aparecen los mismos operadores que en una lógica de primer orden, junto con otros nuevos, entre los que se pueden encontrar: Siempre, algunas veces y nunca.
Algunos sistemas lógicos basados en lógica temporal son: Lógica computacional en árbol (Computacional tree logic, CTL), lógica linear temporal (Linear temporal logic, LTL) yLógica temporal de intervalos (Interval temporal logic, ITL). Lógica de acciones temporal (Temporal Logic of Actions, TLA).
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Lógica epistémica: Es la lógica que formaliza los razonamientos relacionados con el conocimiento.
Lógica epistémica
La lógica epistémica es un campo de la lógica modal que se ocupa del razonamiento
sobre el conocimiento. Mientras que la epistemología posee una larga tradición
filosófica que se origina en la Grecia Antigua, la lógica epistémica es un desarrollo
mucho más reciente con aplicaciones en numerosos campos, tales
como filosofía, ciencia computacional teórica, inteligencia
artificial, economía y lingüística. Mientras que los filósofos a partir de Aristóteles han
discutido la lógica modal, y los filósofos medievales tales como Ockham yDuns
Scotus desarrollaron numerosas observaciones, fue C.I. Lewis quién en 1912 realizó el
primer tratamiento simbólico y sistemático de este tema. El tema continuó madurando,
alcanzando su forma moderna en 1963 a partir del trabajo de Kripke.
Durante la década de 1950 se publicaron numerosos trabajos que mencionaban al
pasar una lógica del conocimiento, pero es recién el trabajo de von Wright titulado An
Essay in Modal Logic publicado en 1951 el que es reconocido como el documento
fundacional. No fue sino hasta 1962 en que Hintikka, escribe Knowledge and Belief, el
primer trabajo extenso en que sugiere utilizar modalidades para capturar la semántica
del conocimiento en vez de utilizar las premisas aléticas con que típicamente se
desarrolla la lógica modal. Si bien este trabajo sentó las bases del tema, desde
entonces se han realizado numerosas investigaciones y avances. Por ejemplo, la lógica
epistémica ha sido recientemente combinada con algunas ideas tomadas de la lógica
dinámica para crear una lógica de las comunicaciones públicas y una lógica de
actualización de producto, que intentan modelar las sutilezas epistémicas de las
conversaciones. Los trabajos fundacionales en este campo son los realizados por
Plaza, van Benthem, y Baltag, Moss, y Solecki.
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Modelo estándar de mundos posibles
La mayoría de los intentos de modelar el conocimiento se han basado en el modelo de los mundos posibles. Para poder proceder, se debe dividir el conjunto de mundos posibles entre aquellos que son compatibles con el conocimiento de un agente, y aquellos que no lo son. Si bien esta discusión se centra básicamente en realizar esta tarea utilizando el enfoque basado en la lógica, vale la pena mencionar el otro método primario que se utiliza que es el tratamiento basado en eventos. En esta aplicación en particular los eventos son conjuntos de mundos posibles, y el conocimiento es un operador sobre los eventos. Si bien las estrategias están relacionadas, existen dos importantes diferencias entre ellas:
El modelo matemático subyacente del tratamiento basado en la lógica son las estructuras de Kripke, mientras que el tratamiento basado en los eventos utiliza las estructuras de Aumann.
En el tratamiento basado en eventos las fórmulas lógicas no se utilizan de ninguna forma, mientras que en el método basado en la lógica utiliza el sistema de la lógica modal.
Típicamente, el tratamiento basado en la lógica ha sido utilizado en los campos de la filosofía, la lógica y la inteligencia artificial, mientras que el tratamiento basado en eventos es más comúnmente utilizado en campos como la teoría de juegos y economía matemática. En el método basado en la lógica, se han construido una sintaxis y una semántica utilizando el lenguaje de la lógica modal, que se describe a continuación.
Sintaxis
El operador modal básico de la lógica epistémica, normalmente escrito con el símbolo K, se puede interpretar como significando "se sabe que", "es necesario desde un punto de vista epistémico que", o "es inconsistente con lo que sabemos que no". Si esta representando el conocimiento de más de un agente, entonces se agregan subíndices al operador ( , , etc.) para indicar cual es el agente al que se esta haciendo referencia. De forma tal que significa "el agente sabe que ." El dual de K, que estaría en la misma relación con K que es a , no posee un símbolo específico, pero puede ser representado como , lo que se lee como " no sabe que no " o " es posible". " no sabe si " puede ser expresado como .
De forma tal de poder utilizar las nociones de conocimiento común y conocimiento distribuido, se pueden agregar tres operadores modales adicionales al lenguaje. Ellos son , que se lee "todo agente en el grupo G sabe"; , que se lee "es un conocimiento en posición de todo agente en G"; y , que se lee "es conocimiento
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distribuido a todo agente en G". Si es una fórmula de nuestro lenguaje, entonces también lo son , , y . De la misma manera en que se puede omitir el subíndice luego de cuando hay un solo agente, el subindice luego de los operadores modales , , y puede ser omitido cuando el grupo es un conjunto de agentes.
Lógica doxástica:
Es la lógica que trata con los razonamientos acerca de las creencias.
La lógica doxástica (del griego antiguo δόξα, doxa, "creencia") es una lógica modal que
se ocupa del razonamiento acerca de las creencias. Típicamente, una lógica doxástica
utiliza la expresión para significar "el razonador c cree que p es verdadero", y el
conjunto se refiere al conjunto de creencias de c.
Existe un paralelismo completo entre los razonadores que creen en proposiciones y los
sistemas matemáticos que demuestran proposiciones. Utilizando la lógica doxástica, se
puede expresar el equivalente epistémico del teorema de la incompletitud de Gödel,
como también el teorema de Löb, y otros resultados metamatemáticos.1
Tipos de razonadores
Razonador preciso: Un razonador c es preciso si no cree en ninguna proposición falsa (axioma modal T).1 2
Razonador impreciso: Un razonador c es impreciso si existe al menos una proposición en la que cree y que no es verdadera.1 2
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Razonador presumido: Un razonador c es presumido, si cree que no es impreciso. Un razonador presumido necesariamente incurre en una imprecisión.1 2
Razonador consistente: Un razonador c es consistente si no cree en una proposición y su negación (axioma modal D).1 2
Razonador normal: Un razonador c es normal si siempre que cree p, cree también que cree p (axioma modal 4).1 2
Razonador peculiar: Un razonador c es peculiar si existe alguna proposición p en la que cree, pero también cree que no cree p. Si bien un razonador peculiar puede parecer un fenómeno psicológico extraño, un razonador peculiar es necesariamente impreciso pero no necesariamente inconsistente.1 2
Razonador regular: Un razonador c es regular si su creencia es distributiva sobre las operaciones lógicas (axioma modal K).1 2
Razonador reflexivo: Un razonador c es reflexivo si para toda proposición p existe una proposición q tal que el
razonador cree que . Y por lo tanto si un razonador reflexivo del tipo 4 cree que , entonces también creerá p. Este es un paralelismo del teorema de Löb para razonadores.1 2
Razonador inestable: Un razonador c es inestable si existe alguna proposición p en la que c cree que cree, pero realmente no cree. Este es un fenómeno tan extraño como la peculiaridad. Sin embargo, un razonador inestable no necesariamente es inconsistente.1 2
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Razonador estable: Un razonador c es estable si no es inestable. O sea si para todo p, si cree que cree p entonces cree p. Notar que la estabilidad es lo opuesto de la normalidad.1 2
Razonador modesto: Un razonador c es modesto si para toda proposición p cree que sólo si cree p. Un razonador modesto nunca cree a menos que crea p. Por el teorema de Löb, todo razonador reflexivo del tipo 4 es modesto.1 2
Razonador raro: Un razonador c es raro si es del tipo G y cree que es inconsistente, ¡pero se equivoca en su creencia!2
Razonador tímido: Un razonador c es tímido si no cree en una proposición porque cree que creer en ésta implica creer en una contradicción.2
Niveles incrementales de raciocinio
Razonador de tipo 1: Un razonador c es del tipo 1 si posee un conocimiento completo de la lógica proposicional. Es decir, si cree en toda tautología (axioma modal N), y si su conjunto de creencias está lógicamente cerrado mediante modus ponens. Si c cree que p y que p implica q, entonces también cree que q (axioma modal K). En este sentido es equivalente al sistema modal K.1 2 3
Razonador de tipo 1*: Un razonador c es del tipo 1* si cree en todas las tautologías, si su conjunto de creencias está lógicamente cerrado mediante
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modus ponens, y si para todo par de proposiciones p y q, si cree que p implica q, entonces cree que si cree p, entonces también cree q. Un razonador del tipo 1* posee un poco más de auto conciencia que un razonador del tipo 1.1 2
Razonador de tipo 2: Un razonador c es del tipo 2 si es del tipo 1 y si para todo p y q cree (correctamente) que si cree tanto que p como que p implica q, entonces creerá q. Por ser del tipo 1, c cree en la
proposición lógicamente equivalente: . En otras palabras, un razonador de tipo 2 sabe que sus creencias son cerradas bajo modus ponens.1 2
Razonador de tipo 3: Un razonador c es del tipo 3 si es del tipo 2 y además es un razonador normal.1 2
Razonador de tipo 4: Un razonador c es del tipo 4 si es del tipo 3 y también cree que es normal.1 2 3
Razonador de tipo G: Un razonador c es del tipo G si es del tipo 4 y además cree que es modesto.1 2
Incompletitud de Gödel e indecisión doxástica
Sea un razonador preciso al que se le encomienda la tarea de asignar un valor de verdad a una proposición que se le presenta. Existe una proposición frente a la cual el razonador deberá permanecer indeciso para siempre o perder su precisión. Una solución es la proposición:
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Lógica por defecto
La lógica por defecto es una lógica no monotónica propuesta por Raymond Reiteró para
formalizar el razonamiento con hipótesis por defecto.
La lógica por defecto puede expresar hechos como "de forma predeterminada, algo es
cierto", por el contrario, la lógica estándar sólo puede expresar que algo es cierto o que
algo es falso. Esto es un problema porque el razonamiento con frecuencia implica que
los hechos son ciertos en la mayoría de los casos, pero no siempre. Un ejemplo clásico
es el siguiente: "las aves suelen volar". Esta regla puede expresarse en lógica estándar,
ya sea por "todas las aves vuelan", que es incompatible con el hecho de que los
pingüinos no vuelan, o por "todas las aves que no son pingüinos y no son avestruces
y ... vuelan ", que exige que se determinen todas las excepciones a la regla. La lógica
por defecto apunta a la formalización de las reglas de inferencia como esta sin
mencionar explícitamente todas sus excepciones.
Lógica demostrativa
La lógica demostrativa es una lógica modal, en la que el operador caja (o "necesidad")
es interpretado significando 'debe ser demostrado que'. El aspecto que se desea
capturar es la noción de un predicado de demostración de una teoría
formal razonablemente rica, tal como la aritmética de Peano.
Existen varias lógicas demostrativas, algunas de las cuales están tratadas en la
literatura en la sección de referencias. El sistema básico es generalmente llamado GL
(porGödel-Löb) o L o K4W. El mismo se puede obtener agregando la versión modal
del teorema de Löb a la logica K (o K4). El tema fue desarrollado por Robert M.
Solovay en 1976. Desde entonces el principal investigador del tema ha sido George
Boolos. Los siguientes especialistas han realizado contribuciones significativas al tema:
Sergei Artemov, Lev Beklemishev, Giorgi Japaridze, Dick de Jongh, Franco Montagna,
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Vladimir Shavrukov, Albert Visser entre otros. Las lógicas de
interpretabilidad constituyen extensiones naturales de la lógica demostrativa
Lógica difusa
La lógica difusa o lógica heuristica se basa en lo relativo de lo observado como posición
diferencial. Este tipo de lógica toma dos valores aleatorios, pero contextualizados y
referidos entre sí. Así, por ejemplo, una persona que mida 2 metros es claramente una
persona alta, si previamente se ha tomado el valor de persona baja y se ha establecido
en 1 metro. Ambos valores están contextualizados a personas y referidos a una medida
métrica lineal.
Funcionamiento
La lógica difusa se adapta mejor al mundo real en el que vivimos, e incluso puede comprender y funcionar con nuestras expresiones, del tipo "hace mucho calor", "no es muy alto", "el ritmo del corazón está un poco acelerado", etc.
La clave de esta adaptación al lenguaje, se basa en comprender los cuantificadores de nuestro lenguaje (en los ejemplos de arriba "mucho", "muy" y "un poco").
En la teoría de conjuntos difusos se definen también las operaciones de unión, intersección, diferencia, negación o complemento, y otras operaciones sobre conjuntos (ver también subconjunto difuso), en los que se basa esta lógica.
Para cada conjunto difuso, existe asociada una función de pertenencia para sus elementos, que indican en qué medida el elemento forma parte de ese conjunto difuso. Las formas de las funciones de pertenencia más típicas son trapezoidal, lineal y curva.
Se basa en reglas heurísticas de la forma SI (antecedente) ENTONCES (consecuente), donde el antecedente y el consecuente son también conjuntos difusos, ya sea puros o resultado de operar con ellos. Sirvan como ejemplos de regla heurística para esta lógica (nótese la importancia de las palabras "muchísimo", "drásticamente", "un poco" y "levemente" para la lógica difusa):
SI hace muchísimo calor ENTONCES aumentó drásticamente la temperatura. SI voy a llegar un poco tarde ENTONCES aumento levemente la velocidad.
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Los métodos de inferencia para esta base de reglas deben ser simples, veloces y eficaces. Los resultados de dichos métodos son un área final, fruto de un conjunto de áreas solapadas entre sí (cada área es resultado de una regla de inferencia). Para escoger una salida concreta a partir de tanta premisa difusa, el método más usado es el delcentroide, en el que la salida final será el centro de gravedad del área total resultante.
Las reglas de las que dispone el motor de inferencia de un sistema difuso pueden ser formuladas por expertos, o bien aprendidas por el propio sistema, haciendo uso en este caso de redes neuronales para fortalecer las futuras tomas de decisiones.
Los datos de entrada suelen ser recogidos por sensores, que miden las variables de entrada de un sistema. El motor de inferencias se basa en chips difusos, que están aumentando exponencialmente su capacidad de procesamiento de reglas año a año.
Un esquema de funcionamiento típico para un sistema difuso podría ser de la siguiente manera:
En la figura, el sistema de control hace los cálculos con base en sus reglas heurísticas, comentadas anteriormente. La salida final actuaría sobre el entorno físico, y los valores sobre el entorno físico de las nuevas entradas (modificado por la salida del sistema de control) serían tomadas por sensores del sistema.
Por ejemplo, imaginando que nuestro sistema difuso fuese el climatizador de un coche que se autorregula según las necesidades: Los chips difusos del climatizador recogen los datos de entrada, que en este caso bien podrían ser la temperatura y humedad simplemente. Estos datos se someten a las reglas del motor de inferencia (como se ha comentado antes, de la forma SI... ENTONCES... ), resultando un área de resultados. De esa área se escogerá el centro de gravedad, proporcionándola como salida. Dependiendo del resultado, el climatizador podría aumentar la temperatura o disminuirla dependiendo del grado de la salida.
Lógica intencional
La lógica intencional es un sistema formal en donde los aspectos intencionales
del lenguaje pueden ser representados.1
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Para entender lo que son estos aspectos intencionales, considérese el siguiente famoso
ejemplo: "la estrella matutina" y "la estrella vespertina" son dos expresiones que los
antiguos utilizaban para referir a la misma cosa: el planeta Venus. Sin embargo, los
antiguos no sabían que la estrella matutina es idéntica a la estrella vespertina, y
descubrirlo llevó muchos siglos de observación astronómica. De modo que la afirmación
"la estrella matutina es la estrella vespertina" no es una afirmación obvia. En cambio, la
afirmación "el planeta Venus es el planeta Venus" sí es una afirmación obvia. ¿Cuál es
la diferencia entre ambas afirmaciones, dado que ambas dicen de la misma cosa que
es idéntica a si misma? ¿Por qué una es obvia y la otra no? La diferencia puede
expresarse diciendo que si bien "la estrella matutina" y "la estrella vespertina" designan
la misma cosa, lo hacen de manera distinta.2 A la cosa designada se la llama
la extensión de la expresión, mientras que al modo de designarla, se la llama
su intensión.
Diferentes tipos de expresiones tienen diferentes tipos de extensiones e intensiones.
Cuando se trata de nombres propios, la extensión es la entidad a la cual designan. Por
ejemplo, la extensión del nombre "Aristóteles" es Aristóteles. En el caso de
los predicados, la extensión es el conjunto de entidades sobre las cuales se aplican con
verdad. Por ejemplo, la extensión del predicado "la estrella matutina" es un conjunto de
una sóla entidad, el planeta Venus, y la del predicado "planeta del sistema solar" es:
Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno. Las oraciones
con valor de verdad también tienen una extensión: su valor de verdad (0 o 1).
Determinar cuál es la intensión de cada tipo de expresiones es parte de la tarea de la
lógica intencional.
En algunos contextos, remplazar una expresión por otra con la misma extensión
conserva el valor de verdad de lo que se está diciendo. En la oración "Aristóteles fue el
estudiante más eminente de Platón", si la expresión "Aristóteles" se reemplazo por otra
con la misma extensión, entonces el valor de verdad de la oración se conserva. Por
ejemplo: "el maestro más eminente de Alejandro Magno fue el estudiante más eminente
de Platón". Contextos donde la verdad de las oraciones depende sólo de la extensión
de las expresiones se llaman extensionales. En cambio, los contextos intencionales son
aquellos donde la sustitución de una expresión por otra con la misma extensión no
garantiza la conservación del valor de verdad. Por ejemplo, si la oración "Juan sabe que
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Aristóteles fue el estudiante más eminente de Platón" es verdadera, eso no implica que
"Juan sabe que el maestro más eminente de Alejandro Magno fue el estudiante más
eminente de Platón" también lo sea. Esto muestra que los contextos que involucran
al conocimiento son contextos intencionales.
La distinción entre extensión e intensión también ha sido introducida con otros
nombres: denotación y connotación por John Stuart Mill,
y referencia y sentido por Gottlob Frege.
No debe confundirse a la intensión con la intención, que es otro concepto filosófico.
La lógica intensional puede entenderse como proveyendo una teoría del significado
para cierto rango de expresiones.
Lógica proposicional
La semántica formal estándar de la lógica proposicional es simplemente una función
que asigna valores de verdad a las proposiciones (¿atómicas?). Dado que los valores
de verdad son la extensión de las proposiciones, la semántica estándar de la lógica
proposicional es una semántica extensional. Para construir una semántica intensional,
se introduce una función que asigna a cada proposición el conjunto de mundos posibles
donde esa proposición es verdadera.
Lógica intuicionista
La lógica intuicionista, o lógica constructivista, es el sistema lógico originalmente
desarrollado por Arend Heyting para proveer una base formal para el proyecto
intuicionista deBrouwer. El sistema enfatiza las pruebas, en vez de la verdad, a lo largo
de las transformaciones de las proposiciones.
La lógica intuicionista rechaza el principio del tercero excluido, pero conserva
el principio de explosión. Esto se debe a una observación de Brouwer de que si
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enfatizamos las pruebas en vez de la verdad, entonces en los conjuntos infinitos el
principio del tercero excluido falla cuando se aplica a una proposición para la que no
existe demostración ni de su verdad ni de su falsedad. En los conjuntos finitos siempre
es posible verificar si una proposición es cierta o falsa; en los infinitos, no.
Lógica libre
La lógica libre (del inglés Free logic) es un sistema lógico sin presupuestos
existenciales. Esto es, sus teoremas son válidos en todos los dominios, incluyendo el
dominio vacío.
Fue propuesta por primera vez en la década del cincuenta. Karel Lambert, uno de sus
fundadores, fue quien acuñó el término. De acuerdo con Lambert, la expresión "lógica
libre" es una abreviación de "libre de suposiciones de existencia con respecto a sus
términos, generales o singulares".
Lógica paraconsistentes
Una lógica paraconsistentes es un sistema lógico que intenta tratar
las contradicciones en forma atenuada. Alternativamente, la lógica paraconsistentes es
un campo de la lógica que se ocupa del estudio y desarrollo de sistemas lógicos
paraconsistentes (o "tolerantes a la inconsistencia"). (En este artículo el término es
utilizado en ambas acepciones.)
Las lógicas tolerantes a la inconsistencia existen por lo menos desde 1910 (y es posible
argumentar que muchísimo antes, por ejemplo en los escritos de Aristóteles); sin
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embargo, la palabra paraconsistentes ("más allá de la consistencia") recién fue acuñada
en 1976, por el filósofo peruano Francisco Miró Quesada.1
Definición
En lógica clásica (como también en lógica intuitiva y muchos otros tipos de lógicas), las contradicciones lo implican todo. Esta curiosa característica, conocida como el principio de explosión o ex contradictione sequitur quodlibet ("a partir de una contradicción, se puede deducir cualquier cosa"), se puede expresar formalmente como
donde representa una consecuencia lógica. Por lo tanto si una teoría contiene una única inconsistencia, resulta trivial— esto es que toda expresión se entiende como un teorema. La característica distintiva de una lógica paraconsistente es que rechaza el principio de explosión. Por lo tanto a diferencia de la lógica clásica y otros tipos de lógicas, las lógicas paraconsistentes pueden ser usadas para formalizar teorías inconsistentes no triviales.
Las lógicas paraconsistentes son más débiles que las lógicas clásicas
Debe destacarse que las lógicas paraconsistentes en general son más débiles que las lógicas clásicas; o sea es posible realizar a partir de ellas una menor cantidad de inferencias. (Hablando estrictamente, una lógica paraconsistente puede validar inferencias que no son válidas según formatos clásicos, aunque esto solo ocurre esporádicamente. El punto importante es que una lógica paraconsistente nunca puede ser la extensión de una lógica clásica, es decir, validar todo aquello que es posible validar mediante una lógica clásica.) En ese sentido, la lógica paraconsistente es más "conservativa" o "cautelosa" que una lógica clásica.
Personalidades destacadas
Personalidades destacadas en la historia y /o el desarrollo de la lógica paraconsistente son:
Alan Ross Anderson (EE. UU., 1925–1973). Uno de los fundadores de la lógica de relevancia, un tipo de lógica paraconsistente.
F. G. Asenjo (Argentina) Diderik Batens (Bélgica) Nuel Belnap (EE. UU., b. 1930). Trabajó con Anderson en lógica de relevancia. Jean-Yves Béziau (Francia/Suiza, b. 1965). Ha escrito en forma extensa sobre las
características estructurales generales y bases filosóficas de las lógicas paraconsistentes.
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Guillermo Páramo Rocha (Colombia) Antropólogo que ha propuesto el análisis de las mitologías como formas de lógica paraconsistente.
Ross Brady (Australia) Bryson Brown (Canadá) Walter Carnielli (Brasil) Newton da Costa (Brasil, b. 1929). Uno de los primeros en desarrollar sistemas
formales de lógica paraconsistente. Itala M. L. D'Ottaviano (Brasil) J. Michael Dunn (EE. UU.). Destacado en lógica de relevancia. Stanisław Jaśkowski (Polonia). Uno de los primeros en desarrollar sistemas
formales de lógica paraconsistente. R. E. Jennings (Canadá) David Kellogg Lewis (USA, 1941–2001). Crítico de la lógica paraconsistente. Jan Łukasiewicz (Polonia, 1878–1956) Robert K. Meyer (EE. UU./Australia) Chris Mortensen (Australia). Ha escrito numerosos trabajos sobre matemáticas
paraconsistente. Val Plumwood [formerly Routley] (Australia, b. 1939). Colaborador asiduo de Sylvan. Graham Priest (Australia). Probablemente el más firma defensor actual de la lógica
paraconsistente. Francisco Miró Quesada (Perú). Acuñó la expresión "lógica paraconsistente". Peter Schotch (Canadá) B. H. Slater (Australia). Otro tenaz crítico de la lógica paraconsistente. Richard Sylvan [formerly Routley] (Nueva Zelanda/Australia, 1935–1996).
Destacado en logica de relevancia y colaborador frecuente con Plumwood yPriest. Nicolai A. Vasiliev (Rusia, 1880–1940). Primero en construir una lógica tolerante a
contradicción (1910).
Lógica plurivalente
Una lógica plurivalente o lógica polivalente es un sistema lógico que rechaza el principio
del tercero excluido de las lógicas bivalentes y admite más valores de verdad que los
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tradicionales verdadero y falso.1 Distintas lógicas plurivalentes pueden admitir distintas
cantidades de valores de verdad: desde tres, hasta infinito.
Origen
Las lógicas polivalentes se difundieron especialmente a partir de los trabajos de los filósofos polacos Jan Łukasiewicz y Emil Post y sus relaciones con la física cuántica, pero fueron expuestas anteriormente, con diferentes enfoques, por Hegel, Hugh MacColl, Charles Sanders Peirce y Nicolai A. Vasiliev. Stephen Kleene elaboró las tablas de verdad para un sistema de lógica trivalente. Un ejemplo para ilustrar la trivalenecia en física ha sido la paradoja del gato de Schrödinger.
Variantes
Pueden considerarse como polivalentes:
la lógica dialéctica de Hegel la lógica trivalente para valores infinitos de Łukasiewicz la lógica modal, especialmente los modelos de Kripke, que definen tres modelos de
verdad: lo verdadero, lo falso y lo problemático la lógica difusa de Zadeh, que enfatiza en la incertidumbre y es una lógica de
la probabilidad la lógica polivalente de Gödel, a partir de su teorema de la incompletitud la lógica intuicionista desarrollada por Brouwer, que restringe la validez de la lógica
clásica a lo demostrable la logica producto, tetravalente
La lógica trivalente como la del universo de los modelos de Kripke que contienen tres "mundos" posibles. Otras lógicas se proponen como polivalentes o n-valentes, de mundos o un número infinito de "mundos" posibles.
Lógica retractable
La lógica retractable es una lógica no monotónica propuesta por Donald Nute para
formalizar el razonamiento retractable. En esta lógica hay tres tipos diferentes de
proposiciones:
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Reglas estrictas: especifican que un hecho siempre es consecuencia de otro
Reglas de retractación: especifican que un hecho típicamente es consecuencia de
otro
Subcotización de retractores: especifican excepciones a las reglas de retractación
Puede darse un orden de prioridad entre las reglas de retratación y los retractores.
Durante el proceso de la deducción, las reglas estrictas son siempre aplicadas,
mientras que una regla retractable puede aplicarse sólo si no hay un retractador de una
mayor prioridad que especifique que no debe.
Sin embargo, lo que se gana en poder expresivo se pierde en metateoría. Existen
propiedades metateóricas generalmente consideradas deseables que las lógicas de
segundo orden no tienen y las lógicas de primer orden sí. Por ejemplo, las lógicas de
segundo orden (con semántica estándar) son incompletas.3 Quiere decir que no puede
haber ningún sistema deductivo finito a partir del cual se puedan demostrar todas las
verdades lógicas expresables en el lenguaje.3 Esto es: el conjunto de las verdades del
sistema es mayor que el conjunto de las verdades demostrables en el sistema. Esto se
debe a que las lógicas de segundo orden tienen el poder expresivo suficiente para ser
afectadas por losteoremas de incompletitud de Gödel.
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