Sistemas de ecuaciones lineales

Silvio Reggiani

Algebra y Geometrıa Analıtica II (LCC)FCEIA - UNR

30 de noviembre de 2016

Estudiaremos sistema de m ecuaciones (lineales) con nincognitas x1, x2, . . . , xn

A11x1 + A12x2 + · · ·+ A1nxn = y1

A21x1 + A22x2 + · · ·+ A2nxn = y2

... (S)

Am1x1 + Am2x2 + · · ·+ Amnxn = ym

El sistema (S) se puede representar matricialmente

(S) ⇐⇒ AX = Y

A =

A11 A12 · · · A1n

A21 A22 · · · A2n

......

. . ....

Am1 Am2 · · · Amn

matriz de coeficientes

X =

x1

x2

...xn

vector incognita

Y =

y1

y2

...ym

terminos independientes

1 Una solucion del sistema (S) es una n-upla (x1, x2, . . . , xn)tal que AX = Y .

2 El sistema (S) se dice homogeneo si y1 = y2 = · · · = ym = 0

3 Un sistema homogeneo siempre admite la solucionx1 = x2 = · · · = xn = 0, llamada la solucion trivial

4 ... aunque podrıa tener soluciones no triviales

Definicion

Dos sistemas

AX = Y (S1)

A′X = Y ′ (S2)

con A,A′ ∈ Fm×n, Y ,Y ′ ∈ Fm×1 se dicen equivalentes si tienenlas mismas soluciones. O sea, toda solucion de (S1) es solucion de(S2) y viceversa.

Ejercicio

Esto efectivamente define una relacion de equivalencia en elconjunto de todos los sistemas de m ecuaciones con n incognitas.

Idea de trabajo: para resolver un sistema AX = Y pasamos a unsistema equivalente que sea mas facil de resolver.

Ejemplo

Encontrar las soluciones de

2x1 − x2 + x3 = 0

x1 + 3x2 + 4x3 = 0(S1)

Sumamos −2 veces la 2da ecuacion a la primera

−7x2 − 7x3 = 0

x1 + 3x2 + 4x3 = 0(S2)

Multiplicamos la 1ra ecuacion por −1/7

x2 + x3 = 0

x1 + 3x2 + 4x3 = 0(S3)

Ejemplo (cont.)

Sumamos −3 veces la 1ra ecuacion a la 2da

x2 + x3 = 0

x1 + x3 = 0(S4)

Los sistemas (S1), (S2), (S3), (S4) son equivalentes

Solucion: x1 = x2 = −x3, o mas precisamente, el conjunto desoluciones del sistema (S1) es

{(−x3,−x3, x3) : x3 ∈ F}

¿Como podemos formalizar este procedimiento para aplicarloa otros sistemas lineales?

Operaciones de eliminacion

Pasamos de un sistema (S) a un sistema (S’) sumando a la i-esimaecuacion α veces la k-esima ecuacion (con k 6= i)

Si la i-esima y la k-esima ecuacion de (S) son

Ai1x1 + Ai2x2 + · · ·+ Ainxn = yi

Ak1x1 + Ak2x2 + · · ·+ Aknxn = yk ,

entonces la i-esima ecuacion de (S’) es

(Ai1+αAk1)x1+(Ai2+αAk2)x2+· · ·+(Ain+αAkn)xn = yi+αyk

Luego, los sistemas (S) y (S’) son equivalentes

Se llaman operaciones de eliminacion porque eligiendo αapropiado se pueden ir eliminando incognitas.

Operaciones de escalamiento

Se pasa de un sistema (S) a un sistema (S’) multiplicando lai-esima ecuacion por un escalar α 6= 0

Si la i-esima ecuacion de (S) es

Ai1x1 + Ai2x2 + · · ·+ Ainxn = yi ,

la i-esima ecuacion de (S’) es

αAi1x1 + αAi2x2 + · · ·+ αAinxn = αyi ,

Luego (S) y (S’) son equivalentes

Operaciones de intercambio

Pasamos de un sistema (S) a un sistema (S’) intercambiandodos ecuaciones

Estos dos sistemas son trivialmente equivalentes

Esta operacion tiene importancia cuando trabajamos con larepresentacion matricial

Pregunta

Si el sistema (S) se representa matricialmente por AX = Y , ¿cuales la representacion matricial del sistema (S’)? (En donde (S’)se obtuvo aplicando alguna de las operaciones anteriores.)

Operaciones elementales por filas (OEF)

Sea A una matriz con m filas. Definimos tres tipos de OEF sobre A

Tipo I Se multiplica la fila r por un escalar α 6= 0

Tipo II Se suma a la fila r , α veces la fila s, con r 6= s

Tipo III Se intercambia la fila r con la fila s

Mas precisamente, una OEF e sobre A devuelve la matriz e(A)dada por

Tipo I e(A)ij =

{Aij , i 6= r

αArj , i = r

Tipo II e(A)ij =

{Aij , i 6= r

Arj + αAsj , i = r

Tipo III e(A)ij =

Aij , i 6= r , s

Asj , i = r

Arj , i = s

Observacion

Las OEF tambien se pueden aplicar a vectores columna de tamanom (o sea, con m filas)

Teorema

Sean A ∈ Fm×n, Y ∈ Fm×1. Si e es una OEF entonces los sistemas

AX = Y , e(A)X = e(Y )

son equivalentes.

Definicion

Sean A,B ∈ Fm×n. Se dice que B es equivalente por filas a A sise puede pasar de A a B por una sucesion finita de OEF.

Ejercicio

Equivalencia por filas es una relacion de equivalencia en Fm×n.

Corolario

Si B es equivalente por filas a A, entonces los sistemas

AX = 0, BX = 0

son equivalentes.

Dem.

Existen OEF e1, e2, . . . , ek tales que B = ek(· · · e2(e1(A)))

Toda solucion de AX = 0 es solucion de BX = 0. En efecto,

AX = 0 =⇒ e1(A)X = 0

e1(A)X = 0 =⇒ e2(e1(A))X = 0

. . .

. . . =⇒ · · · =⇒ ek(· · · e2(e1(A)))X = BX = 0

Toda solucion de BX = 0 es solucion de AX = 0. En efecto,

B equivalente por filas a A =⇒ A equivalente por filas a B.

Luego el argumento anterior tambien sirve para demostraresto.

Ejemplo

Resolver el sistema (homogeneo)

2x1 − x2 + 3x3 + 2x4 = 0

x1 + 4x2 − x4 = 0

2x1 + 6x2 − x3 + 5x4 = 0

(S)

El sistema (S) se representa matricialmente como AX = 0 endonde

A =

2 −1 3 21 4 0 −12 6 −1 5

Aplicamos OEF sobre A para pasar a un sistema equivalentemas facil de resolver

Ejemplo (cont.)

A =

2 −1 3 21 4 0 −12 6 −1 5

f1→f1−2f2−−−−−−−→Tipo II

0 −9 3 41 4 0 −12 6 −1 5

f3→f3−2f2−−−−−−−→

Tipo II

0 −9 3 41 4 0 −10 −2 −1 7

f3→− 12f3−−−−−−→

Tipo I

0 −9 3 41 4 0 −10 1 1

2 −72

f2→f2−4f3−−−−−−−→

Tipo II

0 −9 3 41 0 −2 130 1 1

2 −72

f1→f1+9f3−−−−−−−→Tipo II

0 0 152 −55

21 0 −2 130 1 1

2 −72

f1→ 2

15f1−−−−−→

Tipo I

0 0 1 −113

1 0 −2 130 1 1

2 −72

f2→f2+2f1−−−−−−−→Tipo II

0 0 1 −113

1 0 0 173

0 1 12 −5

3

f3→f3− 1

2f1−−−−−−−→

Tipo II

0 0 1 −113

1 0 0 173

0 1 0 −53

=: R

Ejemplo (cont.)

El sistema AX = 0 es equivalente a RX = 0

O sea, es equivalente a

x3 −11

3x4 = 0

x1 +17

3x4 = 0

x2 −5

3x4 = 0

Puedo poner todo en funcion de x4

x1 = −17

3x4 x2 =

5

3x4 x3 =

11

3x4

Sol ={

(−173 c, 5

3 c , 113 c , c) : c ∈ F

}= {(−17c , 5c , 11c , 3c) : c ∈ F}

Matrices elementales

Sea e una OEF que aplica sobre matrices con m filas. La matrizelemental asociada a e es E = e(I ) en donde I es la matrizidentidad m ×m.

Ejemplo (m = 4)

e = ”f2 ↔ f4” E =

1 0 0 00 0 0 10 0 1 00 1 0 0

e = ”f3 → αf3” E =

1 0 0 00 1 0 00 0 α 00 0 0 1

e = ”f1 → f1 + αf4” E =

1 0 0 α0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

Teorema

Sea e una OEF y sea E = e(Im) su correspondiente matrizelemental. Entonces para toda A ∈ Fm×n vale

e(A) = EA

Dem.

Hay tres casos segun el tipo de OEF. Haremos la prueba paraoperaciones Tipo I y II, dejando como ejercicio las del Tipo III.

Dem. (cont.)

Tipo I

e = ”fr → αfr”, α 6= 0,

E = e(I ) =

{δij , i 6= r

αδrj , i = r

(EA)ij =m∑

k=1

EikAkj =

m∑k=1

δikAkj = Aij , i 6= r

m∑k=1

αδrkAkj = αArj , i = r

Luego EA = e(A)

Dem. (cont.)

Tipo II

e = ”fr → fr + αfs”, r 6= s

E = e(I ) =

{δij , i 6= r

δrj + αδsj , i = r

Calculamos (EA)ij para i 6= r

(EA)ij =m∑

k=1

EikAkj =m∑

k=1

δikAkj = Aij

Calculamos (EA)rj

(EA)rj =m∑

k=1

ErkAkj =m∑

k=1

(δrk + αδsk)Akj

=m∑

k=1

δrkAkj + α

m∑k=1

δskAkj = Arj + αAsj

Dem. (cont.)

(EA)ij =

{Aij , i 6= r

Arj + αAsj , i = r

Luego (EA) = e(A)

Observacion importante

Las matrices elementales son invertibles.

Dem 1 El determinante de una matriz elemental es siempreno nulo (¿por que?), y por lo tanto la matriz resultainvertible.

Dem 2 Las OEF son “invertibles”.

Tipo I

e = ”fr → αfr”, α 6= 0, E =

1 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

...0 0 · · · α · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 1

e−1 = ”fr →1

αfr”, E−1 =

1 0 · · · 0 · · · 00 1 · · · 0 · · · 0...

.... . .

......

...0 0 · · · 1

α · · · 0...

......

.... . .

...0 0 · · · 0 · · · 1

Tipo II

e = ”fr → fr + αfs”, r 6= s, e−1 = ”fr → fr − αfs”

Por ejemplo

E =

1 0 0 0 00 1 0 α 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

E−1 =

1 0 0 0 00 1 0 −α 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1

Tipo III

e = ”fr ↔ fs” =⇒ e−1 = e

E−1 = E

Por ejemplo

E =

1 0 0 00 0 1 00 1 0 00 0 0 1

= E−1

Comentario

Las matrices que son su propia inversa se llaman involutivas.

Matrices escalon reducidas por filas (ERF)

Definicion

Una matriz A ∈ Fm×n se dice reducida por filas (RF) si

El 1er elemento no nulo de cada fila no nula es igual a 1

Toda columna que contenga el 1er elemento de una fila nonula tiene sus demas elementos iguales a 0

Ejemplo

¿Son RF las siguientes matrices?1 0 0 00 1 −1 00 0 1 0

no,

0 2 11 0 −30 0 0

no,

1 0 −1 00 1 2 00 0 0 1

sı,

1 0 00 1 00 0 1

sı.

Definicion

Una matriz A ∈ Fm×n se dice escalon reducida por filas (ERF)si

A es reducida por filas

Toda fila nula de A esta debajo de todas las filas no nulas

Si 1, 2, . . . , r son las filas no nulas de A y el primer elementono nula de la fila i esta en la columna ki , entoncesk1 < k2 < · · · < kr .

Estas matrices son muy importantes porque un sistema linealrepresentado por una matriz ERF ya viene resuelto.

Ejemplo

0 1 0 21 0 −1 30 0 0 0

RF pero no ERF

1 0 −1 30 0 0 00 1 0 2

RF pero no ERF

1 0 −1 30 1 0 20 0 0 0

ERF

Ejemplo

A =

0 1 −3 0 12

0 0 0 1 20 0 0 0 0

ERF

El sistema lineal (homogeneo) asociado AX = 0 es

x2 − 3x3 +1

2x5 = 0

x4 + 2x5 = 0

x1, x3, x5 son parametros libres

x2, x4 se pueden poner en funcion de x1, x3, x5

Sol ={

(x1, 3x3 − 12 x5, x3,−2x5, x5) : x1, x3, x5 ∈ F

}

Teorema

Toda matriz A ∈ Fm×n es equivalente por filas a una matriz ERF.En otras palabras, existes matrices elementales E1,E2, . . . ,Ek talesque

EkEk−1 · · ·E2E1A

es ERF.

Dem.

Ejercicio (intentar hacer un programa que devuelva la forma ERFde una matriz A).

Ejemplo

Resolver el sistema

x1 + x2 − x4 = 0

2x1 + x3 − x4 = 0

x2 − 2x3 − 3x4 = 0

(S)

Ejemplo (cont.)

A =

1 1 0 −12 0 1 −10 1 −2 −3

f2→f2−2f1−−−−−−−→

1 1 0 −10 −2 1 10 1 −2 −3

f2↔f3−−−−→

1 1 0 −10 1 −2 −30 −2 1 1

f1→f1−f2−−−−−−→

1 0 2 20 1 −2 −30 −2 1 1

f3→f3+2f1−−−−−−−→

1 0 2 20 1 −2 −30 0 −3 −5

f3→− 13f3−−−−−−→

1 0 2 20 1 −2 −30 0 1 5

3

f1→f1−2f3−−−−−−−→

1 0 0 −43

0 1 −2 −30 0 1 5

3

f2→f2+2f3−−−−−−−→

1 0 0 −43

0 1 0 13

0 0 1 53

Ejemplo (cont.)

Luego el sistema (S) es equivalente al sistema

x1 −4

3x4 = 0

x2 +1

3x4 = 0

x3 +5

3x4 = 0

(S’)

cuyo conjunto de soluciones es

Sol =

{(4

3c ,−1

3c ,−5

3c , c

): c ∈ F

}= {(4c ,−c ,−5c , 3c) : c ∈ F}

Ejercicio

En el ejemplo anterior, encontrar matrices elementales E1, . . . ,Ek

tales que Ek · · ·E1A es ERF.

Teorema

Si A ∈ Fm×n con m < n entonces el sistema homogeneo AX = 0admite una solucion no trivial. En otras palabras, un sistemahomogeneo con mas incognitas que ecuaciones tiene una solucionno trivial.

Dem.

A es equivalente por filas a una matriz R ERF

Sean 1, . . . , r las filas no nulas de R

r ≤ m < n

Sean k1, . . . kr las columnas de R en donde aparece el 1erelemento no nulo de las filas 1, . . . , r

xk1 , . . . , xkr se pueden escribir como combinacion lineal de losotros parametros

Para cada eleccion de xi , con i 6= k1, . . . , kr se obtiene unasolucion de AX = 0

Resolucion de sistemas no homogeneos

Para resolver un sistema lineal (no homogeneo)

AX = Y

debemos aplicar al vector de los terminos independientes cada unade las OEF que aplicamos a A para llevarla a su forma ERF.

Para ello es conveniente pasar a la matriz ampliada A′ que seobtiene agregando a A la columna Y , y luego aplicar las OEFdirectamente sobre A′

Ejemplo

Resolver el sistema

x1 − 2x2 + x3 = 1

−2x1 + 4x2 − 2x3 = 7(S)

En forma matricial AX = Y tenemos

A =

(1 −2 1−2 4 −2

)Y =

(17

)Llevamos a la forma ERF

A′ =

(1 −2 1 1−2 4 −2 7

)f2→f2+2f1−−−−−−−→

(1 −2 1 10 0 0 9

)Luego el sistema (S) es equivalente a

x1 − 2x2 + x3 = 1

0 = 9 ¡No tiene solucion!

Recordemos la terminologıa que se usa para clasificar los sistemasde ecuaciones lineales de acuerdo a sus conjuntos de soluciones.

Sistema incompatible No existe solucion

Sistema compatible Hay dos casos:

Determinado Existe una unica solucionIndeterminado Existe mas de una solucion

Observacion

Si F = Q, R o C, un sistema compatible indeterminado tieneinfinitas soluciones.

Ejemplo

Resolver el sistema

x1 − 2x2 + x3 = 1

−2x1 + 4x2 − 2x3 = −2(S)

A′ =

(1 −2 1 1−2 4 −2 −2

)f2→f2+2f1−−−−−−−→

(1 −2 1 10 0 0 0

)Luego, el sistema (S) es equivalente al sistema

x1 − 2x2 + x3 = 1

0 = 0 compatible indeterminado

Sol = {(1 + 2x2 − x3, x2, x3) : x2, x3 ∈ F}= { (1, 0, 0)︸ ︷︷ ︸

Sol de AX = Y

+ (2x2 − x3, x2, x3)︸ ︷︷ ︸Sol de AX = 0

: x2, x3 ∈ F}

Teorema

Consideremos el sistemaAX = Y (S)

con A ∈ Fm×n, Y ∈ Fm×1 y sea X0 una solucion de (S) (o sea, X0

es tal que AX0 = Y ). Entonces el conjunto de soluciones de (S) es

Sol = {X0 + Xh : Xh es solucion de AX = 0}.

O sea, toda solucion de (S) se escribe como una solucion particularmas una solucion del sistema homogeneo.

Dem.

AXh = 0 =⇒ A(X0 + Xh) = AX0 + AXh = AX0 + 0 = Y

X0 + Xh es solucion de (S)

Recıprocamente, si AX = Y escribimos X = X0 + (−X0 + X )

Notar que A(−X0 + X ) = −AX0 + AX = −Y + Y = 0

Luego Xh := −X0 + X es solucion del sistema homogeneo

Ejemplo

Encontrar a, b tales que el sistema

x1 + 2x2 − x3 = a

2x1 + 4x2 − 2x3 = b + 1

−3x1 − 6x2 + 3x3 = a + b + 1

(S)

tenga solucion.

1 2 −1 a2 4 −2 b + 1−3 −6 3 a + b + 1

→ 1 2 −1 a

0 0 0 −2a + b + 10 0 0 4a + b + 1

Luego, obtenemos un sistema lineal en a, b que nos da lascondiciones para que el sistema (S) sea compatible

−2a + b = −1

4a + b = −1(S’)

Ejemplo (cont.)

(−2 1 −14 1 −1

)→(−2 1 −10 3 −3

)→(−2 1 −10 1 −1

)→(−2 0 00 1 −1

)→(

1 0 00 1 −1

)Luego a = 0, b = −1 y el sistema (S) es equivalente a

x1 + 2x2 − x3 = 0

cuyo conjunto de soluciones es

Sol = {(−2x2 + x3, x2, x3) : x2, x3 ∈ F}.

Sistemas cuadrados

Teorema

Sea A ∈ Fn×n. Son equivalentes:

1 A es invertible;

2 el sistema homogeneo AX = 0 tiene solucion unica (lasolucion trivial X = 0);

3 el sistema AX = Y tiene solucion unica para cada Y ∈ Fn×1.

Dem.

(1) =⇒ (2)

A invertible =⇒ existe A−1 tal que A−1A = I

AX = 0 =⇒ X = IX = A−1AX = A−10 = 0

(1) =⇒ (3)

AX = Y =⇒ X = A−1Y (la solucion es unica)

Dem. (cont.)

(3) =⇒ (2) Trivial, tomando Y = 0

(2) =⇒ (1)

Sea R la forma ERF de A

R es triangular superior

AX = 0 tiene solucion unica =⇒ RX = 0 tiene solucionunica =⇒ R = I (si la ultima fila de R fuera nula, podemosponer una incognita en funcion de las demas)

Luego A es equivalente por filas a R = I

Luego existen matrices elementales E1,E2, . . . ,Ek tales que

Ek · · ·E2E1A = I

Por tanto A−1 = Ek · · ·E2E1

Muy importante

La demostracion del teorema anterior nos da un metodo eficientepara calcular la inversa de una matriz A tal que det A 6= 0.

det A 6= 0 =⇒ A es equivalente por filas a I

Si e1, e2, . . . , ek son las OEF que aplicamos a A para llevarla aI , y Ei es la matriz identidad, entonces

A−1 = Ek · · ·E2E1 = ek(· · · e2(e1(I )))

En palabras: si aplicamos a la matriz identidad las mismasOEF que le aplicamos a A para llegar a I , lo que seobtiene es la matriz inversa A−1

Ejemplo

Encontrar la matriz inversa de A =

1 12

13

12

13

14

13

14

15

Ejemplo (cont.)

1 12

13 1 0 0

12

13

14 0 1 0

13

14

15 0 0 1

1 12

13 1 0 0

0 112

112 −1

2 1 013

14

15 0 0 1

1 12

13 1 0 0

0 112

112 −1

2 1 0

0 112

445 −1

3 0 1

1 12

13 1 0 0

0 112

112 −1

2 1 0

0 0 1180

16 −1 1

1 12

13 1 0 0

0 1 1 −6 12 0

0 0 1 30 −180 180

1 12 0 −9 60 −60

0 1 0 −36 192 −180

0 0 1 30 −180 180

1 0 0 9 −36 30

0 1 0 −36 192 −180

0 0 1 30 −180 180

A−1 =

9 −36 30

−36 192 −180

30 −180 180

Ejercicio

Verdadero o Falso: la matriz

A =

11

2· · · 1

n

1

2

1

3· · · 1

n + 1

......

. . ....

1

n

1

n + 1· · · 1

2n − 1

es invertible y A−1 tiene coeficientes enteros.

Eliminacion Gaussiana

Es un metodo para llevar A ∈ Fn×n a su forma ERF

1 Ir a la 1ra columna no nula de A. Si el 1er elemento es cerointercambiamos la 1ra fila con alguna fila que tenga unelemento no nulo en esa columna (si no, lo dejamos comoesta)

2 Obtener ceros debajo de este elemento usando OEF de tipo II

3 Aplicar el mismo procedimiento a la submatriz que se obtienequitando la 1ra fila y la 1ra columna no nulas

4 Hacer unos en los 1ros elementos no nulos de cada fila no nulausando OEF tipo II y ceros arriba de estos usando OEF tipo II

Complejidad

n∑k=1

2k(k − 1) +n∑

k=1

k = 2n∑

k=1

k2 −n∑

k=1

k

=n(n + 1)(2n + 1)

6− n(n + 1)

2

≈ n3

3, n→∞

Observacion

El problema de calcular el determinante de una matriz n × ntiene una complejidad de n3/3 si usamos eliminaciongaussiana para pasar a una matriz triangular superior (hay querecordar que OEF tipo I y III hicimos porque estas cambian eldeterminante)

Si lo hacemos por definicion la complejidad es n!� n3/3

Ejemplo

Resolver el sistema

2x + y − z = 8

−3x − y + 2z = −11

−2x + y + 2z = −3

(S)

Usamos eliminacion gaussiana:

Ejemplo (cont.)

2 1 −1 8−3 −1 2 −11−2 1 2 −3

Tipo II−−−−→

2 1 −1 80 1

212 1

0 2 1 5

Tipo II−−−−→

2 1 −1 80 1

212 1

0 0 −1 1

Tipo I−−−−−→f3→−f3

2 1 −1 80 1

212 1

0 0 1 −1

Tipo II−−−−→

2 1 0 70 1

2 0 32

0 0 1 −1

Tipo I−−−−→f2→2f2

2 1 0 70 1 0 30 0 1 −1

Tipo II−−−−→

2 0 0 40 1 0 30 0 1 −1

Tipo I−−−−−→f1→ 1

2f1

1 0 0 20 1 0 30 0 1 −1

Ejemplo (cont.)

Luego, el sistema tiene solucion unica x1 = 2, x2 = 3, x3 = −1

Ademas, las cuentas que hicimos nos permiten calcular facilmenteel determinante de la matriz A de coeficientes del sistema (S):

A es equivalente por filas a la matriz identidad I

Para pasar de A a I usando OEF hicimos

OEF Tipo II (no cambian el determinante)3 OEF Tipo I: e1 = ”f1 → −f1”, e2 = ”f2 → 2f2”,e3 = ”f3 → 1

2f3”

No hicimos OEF Tipo III

Luego

1 = det I = det(e3(e2(e1(A)))) =1

2· 2 · (−1) det A

y por endedet A = −1

Aplicacion a determinantes

Definicion

Una matriz A ∈ Fn×n se dice

no-singular si el sistema homogeneo AX = 0 tiene solucionunica. O sea, AX = 0 =⇒ X = 0

singular si no es no-singular. O sea, existe 0 6= X ∈ Fn×1 talque AX = 0

Observacion importante

Sigue de los resultados anteriores que

A no-singular ⇐⇒ det A 6= 0 (pues ser no-singular esequivalente a ser invertible)

A singular ⇐⇒ det A = 0

El objetivo de esta seccion es probar el siguiente resultado

Teorema

Dadas A,B ∈ Fn×n, se tiene

det(AB) = (det A)(det B).

Antes de dar la prueba necesitamos algunos lemas previos

Lema

Sea E ∈ Fn×n una matriz elemental asociada a una OEF e.Entonces

1 e = ”fr → αfr” =⇒ det E = α, α 6= 0

2 e = ”fr → fr + αfs” =⇒ det E = 1, r 6= s

3 e = ”fr ↔ fs” =⇒ det E = −1, r 6= s

Dem.

Sigue de las propiedades del determinante, pues E = e(I ).

Lema

Sea E una matriz elemental. Entonces para toda A ∈ Fn×n vale

det(EA) = (det E )(det A).

Dem.

Por hipotesis E = e(I ) para alguna OEF e. Tenemos que analizartres casos de acuerdo a si e es Tipo I, II o III.

Tipo I

e = ”fr → αfr”, α 6= 0

det(EA) = det(e(A)) = α det A (prop. del determinante)

(det E )(det A) = α det A (lema previo)

det(EA) = (det E )(det A).

Tipo II y III hacerlo como ejercicio.

Dem. del teorema

Distinguimos dos casos:

A singular.

Si B es singular entonces existe X 6= 0 tal que

BX = 0 =⇒ ABX = 0 =⇒ AB es singular

=⇒ 0 = det(AB) = (det A)︸ ︷︷ ︸=0

(det B)

Si B es no singular, entonces B es invertible. Como A essingular, existe X 6= 0 tal que AX = 0 =⇒ AB(B−1X ) = 0con B−1X 6= 0. Luego AB es singular y por ende det(AB) = 0

En cualquiera de los dos casos 0 = det(AB) = (det A)(det B)

Dem. del teorema (cont.)

A no-singular

AX = 0 =⇒ X = 0

A es equivalente por filas a la matriz identidad

Existen matrices elementales E1,E2, . . . ,Ek tales que

Ek · · ·E2E1A = I

A = E−11 E−1

2 · · ·E−1k y E−1

i tambien es una matriz elemental

Por el Lema, det A = (det E−11 )(det E−1

2 ) · · · (det E−1k )

AB = E−11 E−1

2 · · ·E−1k B

Por el Lema

det(AB) = (det E−11 )(det E−1

2 ) · · · (det E−1k )(det B)

= (det A)(det B)

Regla de Cramer

Teorema (Cramer)

Sea A ∈ Fn×n una matriz invertible. Entonces la (unica) soluciondel sistema AX = Y esta dada por

xi =det Ai

det A,

donde Ai es la matriz que se obtiene de A reemplazando la i-esimacolumna por el vector Y

Dem.

Como A es no-singular, resulta invertible y por ende, X = A−1Y .La demostracion usa la expresion para A−1 en terminos de lamatriz adjunta.

A−1 =1

det Aadj A, (adj A)ij = (−1)i+j det A(j |i)

Dem. (cont.)

xi = (A−1Y )i =1

det A((adj A)Y )i1

=1

det A

n∑j=1

(adj A)ijyj

=1

det A

n∑j=1

(−1)i+j yj︸︷︷︸(Ai )ji

det A(j |i)︸ ︷︷ ︸Ai (j |i)

=1

det A

n∑j=1

(−1)i+j(Ai )ji det Ai (j |i)︸ ︷︷ ︸detAi , desarrollo por la columna i

=det Ai

det A

Ejemplo

Resolver el sistema

ax + by = u

cx + dy = v

en donde ad − bc = 0.

Aplicamos la regla de Cramer

x =1

det A

∣∣∣∣u bv d

∣∣∣∣ =ud − bv

ad − bc

y =1

det A

∣∣∣∣a uc v

∣∣∣∣ =av − uc

ad − bc