Unidad IV

“Sistemas de Ecuaciones

Lineales”

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.-

CONTENIDOS

1.- Ecuación de la Recta.-

2.- Ecuación Punto – Pendiente de la recta.-

3.- Pendiente de una recta.-

3.1. Rectas horizontales y verticales.-

3.2. Ecuación de la recta horizontal.-

3.3. Ecuación de la recta vertical.-

4.- Ecuaciones de una recta.-

4.1. Ecuación principal, general y canónica.-

5.- Sistemas de Ecuaciones lineales.-

6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales.-

6.1. Método de Sustitución, De igualación y reducción.-

7.- Regla de CRAMER.-

8.- Sistemas y Soluciones.-

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES : U-IV.-

1.- Ecuación de la recta.-

Definición:

Se llama Ecuación de una recta a la ecuación asociada a una

función afín. Todos los puntos que pertenecen a la recta asociada

a dicha función satisfacen su ecuación , es decir, si se reemplazan

en ella los valores de la abscisa y la ordenada de un punto que

pertenece a ella , se obtiene la igualdad. O sea ,

Ejemplos:

nm;

13xy 2xy xy 10

nmxy

En la figura n 1 , se

puede observar una

Ecuación de la recta

graficada en el plano

cartesiano.-

“Por lo tanto , se dice que un punto satisface una ecuación si, al

reemplazar en ella sus variables x e y por los valores de la abscisa

y la ordenada del punto , se obtiene una igualdad.- En el ejemplo

anterior, el punto P satisface la ecuación y = 2x-1 , mientras que

los puntos Q y R no la satisfacen ”

“Por lo tanto, solo los puntos A y C pertenecen a la recta, o sea

, satisfacen la Ecuación ” .-

1.1. Propiedades de la Ecuación de la recta:

¿ Como se grafica en el plano cartesiano la Ecuación de una recta?

Sea la Ecuación de la recta de la forma

1.1.1.- Características de la Ecuación de la recta:

m : Pendiente de la recta.-

n : Coeficiente de Posición.-

“PENDIENTE DE LA RECTA ( m ) ”

“La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación que tiene esta ,

respecto al eje de las abscisas, medido en sentido contrario a las agujas

del reloj.- Se puede obtener la pendiente de una recta en el plano cartesiano teniendo presente solo dos puntos cualquiera de la recta,

o sea” :

nmxy

)(21

21

12

12 atgxx

yy

xx

yy

x

ym

)(21

21

12

12 atgxx

yy

xx

yy

x

ym

¿ Cual es la pendiente de la recta de la figura n 1 ?

126

37

12

12

xx

yym

Conceptualmente, la pendiente se conoce como el resultado del

cuociente entre la diferencia de cada par de puntos asociada a su

Ordenada y a su Abscisas ( diferencia del valor de las abscisas), o sea:

2.- Ecuación de la recta conocida su pendiente un punto de ella:

La ecuación de una recta que pasa por el punto y cuya

Pendiente es m es:

),( 11 yxp

)( 11 xxmyy

Observación: No es posible determinar la ecuación de una recta

conociendo solo un punto de ella, ya que por un punto se pueden

trazar infinitas rectas .-

Ejercicios : Página 241 del libro taller de Matemáticas.-

1.- NO 2.- SÍ 3.- SÍ 4.- SÍ 5.- NO

6.- NO

ACTIVIDAD.-

1.- Realiza los ejercicios de la página 74 y 75 del libro “Taller de

Matemáticas ”.- Desde el ejercicio1 al 42.-

_______________________________________________________

PUNTOS COLINEALES

Tres o mas puntos se dicen Colineales si pertenecen a la misma

recta .- Para verificar si tres o más puntos ,

y , son colineales , es decir pertenecen a la misma

recta , basta verificar solamente que la pendiente de PQ , QR y

RP sean iguales, es decir:

11, yxP 22 , yxQ

33, yxR

13

13

23

23

12

12

xx

yy

xx

yy

xx

yy

3.- PENDIENTE DE UNA ECUACIÓN DE RECTA:

3.1.- Rectas Horizontales y Verticales.-

Para determinar la ecuación de una recta horizontal o vertical ,

se considerarán las rectas de la figura n 1 :

Donde el punto A es un punto dado fijo.-

A ( 6,2)

3.2.- Ecuación de la recta horizontal.-

3.2.- Ecuación de la recta Vertical.-

En general, la ecuación de una recta vertical se representa

mediante la siguiente expresión:

“Y la pregunta es la siguiente, ¿ Estoy en condiciones de graficar una

Ecuación de una Recta ? ”

1.- Construimos un plano cartesiano.-

2.- Tomamos un valor cualquiera para x, y lo reemplazamos en la

ecuación de la recta a graficar.- Por lo tanto , ya tenemos un

primer punto de la recta.-

3.- Tomamos un segundo valor punto para x, y lo reemplazamos en

la ecuación de la recta a graficar.- Por lo tanto, tenemos un

segundo punto de la recta , distinto del primero.-

4.- Ahora ubico los puntos en el plano cartesiano y trazo una línea

recta por los puntos.-

5.- La grafica obtenida es la ecuación de la recta trazada en el

plano cartesiano.-

¿ Como saber donde la ecuación de la recta corta al eje

de la abscisas ?

¿ Como graficar la Ecuación de la siguiente recta ?

32xy

Ejercicios : Página 243 del libro de Matemáticas.-

462135 mmmmmm

4.- Ecuaciones de una recta.-

4.1. Ecuación Principal:

La ecuación de la recta representada por la siguiente expresión

recibe el nombre de “Ecuación Principal”, donde m representa el

valor de la pendiente y n el coeficiente de posición ( corte en el eje

de las ordenadas).-

Ejemplos

nmxy

32

1xy 3y

4.2. Ecuación General:

La ecuación de la recta representada por la siguiente expresión

Con A, B y C constantes y B distinto de cero , recibe el nombre de

Ecuación General de la Recta .-

Observación:

0cByAx

Ejemplos :

4.3. Ecuación Canónica:

Ejemplo:

Ejercicios.-

Preparando la P.S.U.-

Ejercicios

En Resumen:

Ejercicios

ACTIVIDAD

1.- Realizar los ejercicios de la página 75 y 76

del libro “Taller de Matemáticas ”.-

Desde el ejercicio 43 al 68.-

Distancia entre un punto y una recta recta del plano

Desarrollo:

34

2

34

2

53

11523

22d

5.- Sistemas de Ecuaciones lineales o Ecuaciones de primer

grado con dos incógnitas:

Definición:

“Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones

con varias incógnitas.- Una solución al sistema corresponde a un

valor para cada incógnita, de modo que al reemplazarlas en las

ecuaciones se satisface la igualdad”.-

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y ,

tiene las siguientes representaciones :

Ejemplos:

Observación: Las soluciones del sistema de expresan como pares

ordenados ( x , y )

Actividad con Nota Acumulativa.-

1.- Libro Taller de Matemáticas – Pág. 76 - 77 – Desde el ejercicio

85 – 105.-

Geométricamente ………..

6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Método de Sustitución

Ejemplo:

Desarrollo:

Ejercicios:

Actividad con nota Acumulativa:

1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 78 – Desde el ejercicio 115

al 142.-

6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Método de Igualación

Ejemplo:

Método de Igualación

Método de IgualaciónEjemplo:

Ejercicios:

Actividad con nota Acumulativa:

1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 79 – Desde el ejercicio 143

al 168.-

6.- Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Método de Reducción

Ejemplo:

Geométricamente…………..

Ejercicios:

Actividad con nota Acumulativa:

1.- Libro ; Taller de Matemáticas – Pág. 80-81 – Desde el ejercicio

169 al 197.-

Método de Cramer

Gabriel Cramer - (31 de julio de 1704 - 4 de enero de

1752) fue un matemático suizo nacido en Ginebra.-

La regla de cramer utiliza determinantes para resolver sistemas de

ecuaciones de primer grado con igual número de ecuaciones y de

incógnitas. Para calcular el determinante principal se utiliza la siguiente

expresión:

Dado el siguiente Sistema de Ecuación lineales ,

Método de Cramer 1.- Calcular el determinante principal del sistema:

2.- Se calculan los determinantes de la incógnitas que se obtienen a a partir deldeterminante principal , remplazando los coeficientes de la incógnitacorrespondiente por los términos libres del sistema, es decir :

3.- Encontrar la solución del sistema mediante la siguiente expresión :

Soluciones y Gráficos