2lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Contenidos:
Conceptos de sistema.
Definiciones de sistemas.
Modelacin y programacin
Conceptos de simulacin (terminal y no terminal)
Uso de la simulacin, tcnicas de simulacin, tipos de modelos.
Uso de modelos y sus aplicaciones.
Simulacin de sistemas discretos.
Unidad 1: Teora de sistemas
Objetivos Especficos:
Definir conceptos de Teora de sistemas.
Reconocer las componentes de un modelo, para llevar a cabo un proceso de simulacin.
Aplicar tcnicas para la construccin de modelos conceptuales.
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Estado
Sistema
Evento
Entidades Entidad: Objeto de inters en el sistema
Atributo: Propiedad de una entidad
Actividad: Conjunto predefinido de acciones durante
un perodo de tiempo
Recurso: Objeto que permite entregar servicio
Estado del sistema: Conjunto de variables que
describen el sistema en un determinado momento
Evento: Ocurrencia instantnea que puede estar
asociada a un cambio en el estado del sistema
Ambiente del sistema: Regin que se encuentra afuera
de los lmites del sistema.
Parmetros
Ambiente del sistema
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Como Ingenieros tendremos que modelar sistemas, con el propsito de:
Mejorar una situacin determinada
Predecir resultados
Disear (si no existe)
Medir y Controlar
A veces es posible jugar con el sistema, pero usualmente es imposible hacerlo
Interrumpe operacin
Es Caro
No existe
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Una abstraccin o simplificacin de un sistema usada como substituto del sistema mismo
Permite probar un gran rango de ideas
Equivocarse en el computador es mejor que hacerlo en la vida real!
Los modelos deben ser vlidos!
Cmo estudiar un sistema? SISTEMA
Experimentar
Con el sistema
Experimentar
con modelo
Modelo
Fsico
Modelo
Matemtico
Solucin
AnalticaSimulacin
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Estticos versus dinmicos
Importa el tiempo?
Cambio continuo versus cambio discreto
Cambia el estado del sistema en forma continua?
Cambia tanto como para considerar tiempo real?
Determinstico versus estocstico
Hay incertidumbre en el sistema?
Simulacin discreta
Modelos dinmicos, de cambio discreto, estocsticos
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Si el modelo es simple, use tcnicas tradicionales(Investigacin operativa) Respuestas nicas y exactas (y,a veces, ptimas)
A veces requieren simplificar demasiado para poderresolver -- validez?
Muchos sistemas complejos requieren modelos complejospara dar respuestas vlidas -- se necesita simular
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Caractersticas deseables de un modelo
Simples: construccin y comprensin
Precisos: no ambiguos
Rigurosos: idealmente formales
Documentables: presentables
Grficos: uso predominante de grafos
Jerarquizables: organizacin por niveles de abstraccin
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Herramienta que permite sacar conclusiones sobre el
comportamiento dinmico de un sistema estudiando un modelo
computacional del mismo.
Es un trmino muy amplio, en realidad un conjunto de enfoques
para analizar problemas
Requiere MODELOS -- problemas de validez
No es una solucin analtica
No obtiene resultados exactos (malo)
Permite modelos complicados y realsticos (bueno)
Consistentemente calificada como la tcnica de modelacin
matemtica ms til
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Industria: asignacin de recursos, inventarios, programas de produccin
Necesidades de personal y/o equipo
Salud - Sala de urgencia, salas de operaciones, flujo de pacientes
Telecomunicaciones
Fuerzas armadas
Poltica pblica (desastres)
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Evaluar el comportamiento de un sistema bajo condiciones diferentes de operacin
Dada una medida de comportamiento para el sistema, determinar la mejor poltica de operacin del sistema comparando diferentes alternativas (escenarios)
Objetivos
Alcance
Construir modelos en un computador
Anlisis de procesos como punto de partida
Validar el modelo contra la vida real
Usar modelo para experimentar diferentes escenarios
Sacar inferencias acerca de posibles cambios en el sistema
Sin modificar el sistema
Sin construirlo (si no existe)
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Trabajar el sistema como se espera? (evaluacin y prediccin).
Porqu no trabaja el sistema? (determinacin de cuellos de botella y optimizacin).
Cules son los estndares para medir desempeo? (determinacin de estndares y metas)
Cul es la mejor alternativa? (comparacin, anlisis de sensibilidad, qu pasa si...?).
Preguntas Tpicas
Resultados Esperados
Medidas tpicas del comportamiento de un sistema
Utilizacin de recursos: ocioso, ocupado, en reparacin, no disponible.
Tiempo de espera: en cola, bloqueado, esperando servicio
Tiempo de ciclo: flujo total, por rea, por recurso
Tasa de produccin: por producto, rea, turno
Comportamiento contra programa
Sobretiempo
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Hardware barato y rpido -- todo tipo de empresas
Se usa en las fases de diseo, operacin y control
Flexible, analiza sistemas como realmente son.
Situaciones inciertas y no-estacionarias
Evaluacin de RIESGOS
Extrapolacin y prediccin, cuellos de botella artificiales, datos artificiales
Una gran experiencia de enseanza y aprendizaje
Ventajas
Desventajas
No obtiene respuestas exactas, slo estimaciones
Respuestas aleatorias - anlisis estadstico (los mtodos tradicionales no sirven) y
diseo de experimentos
Caro (tiempo analista y tiempo cliente)
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 2 3 4 5 6 7 80
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 4
Sistemas Discretos
Variable de estado cambia en intervalos discretos de
tiempo
Sistemas Continuos
Variable de estado cambia continuamente como
funcin del tiempo
Mtodo Numrico
Utiliza procedimientos computacionales para
resolver modelos matemticos
Mtodo Analtico
Utiliza matemtica deductiva para definir el sistema
y resolver
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Estocsticos
Determinsticos
DinmicoEsttico
Tiempo Discreto
Tiempo Continuo
Simulacin esttica: Simulacin Montecarlo,
representa un sistema en un punto particular de
tiempo.
Simulacin dinmica: representa los cambios
del sistema a travs del tiempo
Simulacin determinstica: no contiene
variables aleatorias. Variables conocidas
entregaran salidas conocidas.
Simulacin estocstica: V.A de entrada
entregaran salidas como V.A. Estimacin
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Tipo de modelo: Discreto, Estocstico, Dinmico
Variables de estado: Cajeros ocupados, nmero de clientes en la fila, tiempo
de espera, entre otras.
Tipo de modelo: Discreto, Estocstico, Esttico
Variables de estado: Cara o sello.
Tipo de modelo: Continuo, determinstico, dinmico
Variables de estado: Presin
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15 minutos
Exponer el resultado
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Embotelladora
Laboratorio
Celulosa
Bodegas
Puerto
Aeropuerto
Fluidos
Imagenologa
Unidad de emergencia
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Llegada de
entidades
Salida entidades
terminadas
Cola (FIFO) Entidades en servicio
4567
Objetivo General:
Estimar produccin esperada en el periodo T, medida en nmero de partes terminadas.
Unidad de tiempo: arbitraria, pero
sea consistente (la simulacin no sabe)
sea razonable (interpretacin, error redondeo)
Se pueden usar diferentes pero deben declararse
Chequear las unidades al momento de especificar inputs
Declarar las unidades bases de tiempo (base time units) para clculos internos, outputs
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lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 24
Llegada de
entidades
Salida entidades
terminadas
Cola (FIFO) Entidades en servicio
4567
Tiempo medio entre llegadas = 1 minutos
Tiempo medio de servicio = 0.99 minutos
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
Density Function Plot
X-Value
f(x)
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Inicialmente (tiempo = 0) vaco y servidor no ocupado
Unidad de tiempo: minutos
Ejemplo de parmetros:
Tiempos de llegada: 0.4, 1.6, 2.1, 3.8, 4.0, 5.6, 5.8
Tiempos entre llegadas: 0.4, 1.2, 0.5, 1.7, 0.2, 1.6, 0.2..
Tiempos de servicio: 2.0, 0.7, 0.2, 1.1, 3.7 0.6
Servidor nico.
Simular la operacin del sistema durante 20 minutos de operacin (tiempo simulado).
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Di: Demora en cola del cliente/parte i
ti: Tiempo de ocurrencia del evento i
Ai: Tiempo de llegada del cliente i respecto de (i-1)
Si: Tiempo de servicio del cliente i
N: Nmero de partes que completaron su espera en cola
Q(t): Nmero de clientes en cola en el instante t
B(t): Estado del servidor en instante t (variable binaria 0/1)
T: Tiempo total de simulacin
q(n): Nmero promedio de clientes en cola
(n): Tasa promedio de ocupacin del servidor
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lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 28
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 29
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 30
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 31
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 32
Produccin total de partes durante la corrida (P) Tiempo promedio de espera de las partes en cola:
Tiempo mximo de espera de las partes en cola:
N
DN
i
i1
N = no. de partes que terminan espera en cola
Di = tiempo de espera en cola de la parte i
Conocido: D1 = 0 (porqu?)
N > 1 (porqu?)
max, ,i N
iD1
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Nmero promedio en el tiempo de partes en cola:
Nmero mximo de partes en cola:
Flujo medio y mximo de partes (tiempo en el sistema o tiempo de ciclo)
Q(t) = nmero de partes en cola
en el instante t.
20
Q(t)dt0_____________
20
)(max200
tQt
F P FiiP
i Pi
1
1, max
, ,Fi = tiempo ciclo parte i
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 34
Utilizacin de la mquina (proporcin de tiempo ocupado)
Muchas otras posibles (sobrecarga de informacin?)
20
B(t)dt0_____________
20
B(t)= 0, 1 dependiendo si el servidor est ocupado o no
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin 35
Estimaciones Educadas
Tiempo promedio entre llegadas =
0.83 minutos
Tiempo promedio de servicio = 1.38
minutos
Modelo no explotar (tasa servicio > tasa de
llegadas)
Teora de colas Requiere supuestos adicionales sobre el modelo. Modelo simple: M/M/1
Tiempos entre llegadas ~ exponenciales Tiempos de servicio ~ exponenciales, indep. de llegadas E(servicio) < E(llegadas) Estado estacionario (largo plazo, para siempre) Resultados analticos exactos; e.g., tiempo promedio de espera
en cola:
s = E(tiempo de servicio)
a = E(tiempo entre llegadas)
Problemas: vlidez, estimacin de promedios, marco de tiempo
Normalmente til como una primera aproximacin.
S
A S
2
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1. Variables de estado
2. Estado del sistema
3. Reloj de simulacin
4. Lista de eventos
5. Indicadores de desempeo
6. Contadores estadsticos
7. Programa principal
8. Rutina de inicializacin
9. Rutina de sincronizacin
10. Rutina de eventos
11. Rutina generadora de reportes
15 intervals of width 0.2 between 0 and 3 1 - Weibull
2 - Lognormal 3 - Exponential
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Density/Histogram Overplot
Interval Midpoint
De
ns
ity
/Pro
po
rtio
n
0.10 0.50 0.90 1.30 1.70 2.10 2.50 2.90
Componentes de un sistema de simulacin
discreta
37lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Componentes de un modelo de simulacin
discreta
Entidades
Atributos
Variables globales
Recursos
Colas
Acumuladores estadsticos
Eventos
Reloj de simulacin
38lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Entidades y Atributos Entidades
Entidades son los objetos dinmicos de la simulacin
Generalmente son creadas, se mueven dentro del sistema y luego se retiran
La mayora de las entidades representan elementos reales
Personas
Materias primas
Vehculos
Documentos
etc.
Atributos
Un atributo es una caracterstica de una entidad
Los atributos se acoplan a las entidades y se mueven con ellas
Un atributo en una caracterstica para todas las entidades pero con un valor especfico que difiere entre una entidad y otra
Tambin llevan el nombre de variables locales39lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Tipo de Entidad Atributo Valor del atributo
Automvil Color Caf
Automvil Color Rojo
Cliente Sexo Femenino
Paciente Sangre Grupo 4
40
Entidades y Atributos
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Variables
Tambin llamadas variables globales
Una variable es una pieza de informacin que define el estado del sistema en un momento dado
Pueden haber muchas variables en un modelo
Son independientes de las entidades pero si pueden ser modificados por las entidades
Si pensamos en los atributos como una etiqueta que se pega en una entidad que se mueve dentro de una casa, una variable es equivalente a escribir en una muralla
ejemplo
Nmero de clientes dentro del sistema
Tamao de una cola
etc.
41lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Recursos Los recursos representan elementos que son solicitados por las entidades
Equipos
Personal
etc.
Las entidades toman un recurso cuando este esta disponible y lo liberan cuando terminan de usarlo
Una entidad puede requerir uno o varios recursos a la vez dependiendo de la situacin
Proceso Entidad Recursos Requerimiento
Operacin bancaria Cliente Cajero nico
Operacin en una mquina Material
(pieza)
Operario
Mquina
Simultaneo
Atencin Mdica Paciente Enfermera
Camilla
Mdico
Secuencial
42lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Colas Lugar donde las entidades esperan por un recurso que est ocupado con
otra entidad
Ejemplo
Sala de espera (hospital)
Fila frente a un cajero (banco)
Bodega (fbrica)
Inventario en proceso frente a una mquina
43
Acumuladores Estadsticos Variables que llevan registros de medidas de efectividad del sistema
Ejemplo:
Tiempo total que las entidades llevan en cola
El mayor tiempo que una entidad permaneci en cola
El tiempo total que un servidor (recurso) estuvo ocupado
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Eventos
Un evento en un acontecimiento que ocurre en un instante del tiempo de simulacin y cambia el estado del sistema.
El evento puede cambiar, atributos, variables o acumuladores estadsticos.
Ejemplo:
Llegada de una entidad al sistema
Comienzo de servicio
Finalizacin de servicio
Salida de la entidad del sistema
44lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Reloj de Simulacin
El valor correspondiente al tiempo de simulacin es mantenido en una variable llamada reloj de simulacin.
El tiempo no transcurre continuamente, avanza de evento en evento.
Dado que nada ocurre entre cada evento no es necesario desperdiciar tiempo real.
El reloj de simulacin trabaja en conjunto con el calendario de eventos
En el calendario de eventos se almacena la hora en que cada evento debe ocurrir
El reloj de simulacin revisa cual es el prximo evento en la lista y avanza hasta la hora que est programada su ocurrencia
45lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Acumuladores Estadsticos
Variables que miran (watch) lo que pasa
Dependen de la ejecucin de la medida de output deseada
Pasivos en el modelo no participan, slo miran
En los diferentes software hay varias automticas, otras pueden ser programadas
Al final de la experimentacin se usan para calcular el output definitivo
46lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Dinmica de los eventos discretos:
El Event-Scheduling World View
Identifica eventos caractersticos
Decide la lgica para cada evento con el fin de:
Realizar cambios de estado (state changes) para cada tipo de evento
Observar estadsticas
Actualizar tiempos de eventos futuros.
Mantiene un reloj, clock, y un calendario de eventos futuros (event calendar)
Salto de un evento al otro, procesa, observa estadsticas, actualiza el calendario de eventos
Se debe especificar una regla de detencin (stopping rule)
A menudo se utilizan lenguajes multipropsito (C++, Matlab, FORTRAN, etc.)
47lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Sistema de Procesamiento Simple Llegada (Arrival) de una nueva entidad al sistema
Actualiza acumuladores estadsticos time-persistent.
rea bajo Q(t)
Mx de Q(t)
rea bajo B(t)
Marca tiempo de llegada con tiempo actual
Si la mquina est ociosa:
Inicie procesamiento (Partida por horario (schedule departure)), Cambiar a ocupada, Contabilizar tiempo de espera en cola (0)
Adems (mquina ocupada (machine is busy)):
Al haber una pieza al final de la cola, incremente la variable longitud de cola (increasequeue-length variable)
Programar el prximo evento de llegada (Schedule the next arrival event)
48lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Sistema de Procesamiento Simple Salida (cuando un servicio es completado)
Incrementar nmero de productos en el acumulador estadstico
Computar & contar tiempo en el sistema (ahora tiempo de llegada)
Actualizar tiempos estadsticos (como en un arrival event)
Si la cola est no-vaca:
Tomar la primera pieza fuera de la cola, computar & contar su tiempo de espera en cola, iniciar servicio (schedule departure event)
Adems (cola vaca):
Determina la mquina como desocupada (Nota: No habr evento de partida programado en el calendario de eventos futuros, el cual se organiza como usted desee)
49lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Sistema de Procesamiento Simple El Fin
Actualizar estadsticas (para finalizar la simulacin)
Computar la medida de ejecucin final de las salidas (output) usando valores actuales (= final) de acumuladores estadsticos
Despus cada evento, el registro del calendario de eventos es removido para ver qu tiempo es y qu hacer a continuacin
Todo debe volver a inicializarse
50lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Aleatoridad Lo de antes fue slo una replica una muestra de tamao uno (no muy valiosa)
Se hicieron 5 replicas en total (IID):
51lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
Intervalos de confianza para valores
esperados:
En general, X tn -1,1- / 2s / n(se asume normalidad?)
Para una produccin total esperada,
3.80 (2.776)(1.64 / 5) = 3.80 2.04
Pasos de una Simulacin
Formulacin del Problema
Construir un Modelo Conceptual y Obtener
Informacin/Datos
Es Vlido el Modelo Conceptual?
Construir el Modelo
Verif. y Validar Mod. Programado?
Disear, Conducir y Analizar Experimentos
Documentar e Informar los Resultados de la Simulacin
Si
Si
No
No
1
2
3
4
5
6
7
25-50% del trabajo
52lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
53
Generacin de Nmeros Aleatorios
Los nmeros aleatorios son observaciones independientes tomadas de una distribucin uniforme entre 0 y 1 (0,1).
Propiedad: Uniformidad e Independencia
Variables aleatorio son observaciones independientes tomadas desde una distribucin especfica.
Una vez que se ha escogido la distribucin que mejor se acomoda a los datos de entrada, la simulacin comenzar agenerar muestras aleatorias desde esa distribucin.
Esto se realiza generando nmeros aleatorias y aplicando tcnicas de transformacin.
1;1)(
;10;)(
;00)(
12/1;5.0)(
.;0
;10;1)(
2
xxF
xxxF
xifxF
xE
elsewhere
xifxf
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
54
Mtodos de Generacin de Muestras
Mtodo de Transformacin Inversa
Mtodo de Aceptacin/Rechazo
Mtodo Composicin
Empleo de propiedades especiales
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
55
Mtodo de Transformacin Inversa
Dos pasos:
Generar 1 o mas muestras de nmeros a travs de una U(0,1)
Transformar la muestra de uniformes en una nueva muestra con la distribucin deseada, por ejemplo x = F-1(r),
Donde
r = muestra aleatoria
F-1 = la distribucin inversa de la muestra deseada
x = la muestra deseada
lvaro Cepeda Ortiz, [email protected], Taller de Simulacin
56
Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa
Discreta
Considere la funcin de distribucin de probabilidades discreta que describe el nmero de clientes, x, en un grupo que entra a un restaurant
x: 1 2 3 4 5 or more
probabilidad: .1 .4 .1 .3 .1
Para generar una muestra de esta distribucin usando el mtodo de la
transformacin inversa:
Paso 1: Encuentre una funcin de distribucin acumulada, F (x), para la
variable aleatoria en cuestin
Paso 2: generar la inversa de F, F-1(r)
57
Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa
Discreta
0.1
0.5
F(x)
x
1 2 3
0.6
0.9
4 5
Paso 3: Generar una secuencia de nmeros aleatorios (independientes, unifrme
idnticamente distribuidos [0,1]). Ejemplo : ri: .23 .71 .54
Paso 4: entonces xi=F-1(ri). Los xis son las variaciones
aleatorias.
x1 = F-1(r1) = F
-1(.23) = 2
x2 = F-1(r2) = F
-1(.71) = 4
x3 = F-1(r3) = F
-1(.54) = 3
Nota: si r.v. es continua (0
58
Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa Continua
Considere la funcin de distribucin de probabilidades continua, x, la que
entrega el tiempo (minutos) requerido para reparar una mquina
particular:
Utilizar el mtodo de transformacin inversa para generar nmeros aleatorios.
f x
x
x
x
( )
0 for 0,
.003x for 0 10,
0 for 10 .
2
f x( )
10 x
59
Ejemplo Mtodo de Transformacin Inversa
Continua
Paso1: encuentre la funcin de distribucin acumulada, F (x), para la variable
aleatorio en anlisis, donde:
Paso 2: Encontrar la inversa de F(x).
Paso 3: Generar una secuencia de nmeros aleatorios (independientes,
uniforme idnticamente distribuidos [0,1].
Ejemplo: ri: .21 .52 .34 .07 .92 .62
Paso 4: Defina xi = F-1(ri). Los xis son las variaciones aleatorias.
F(x) (X x) f(y)dy
.x
. x
x
Pr
0 0033
0 0013
3
x1
3 1000 0 21 594 ( )( . ) .
60
Funcin Exponencial
2221
//
, tambin que Note
011)(01
)(
=
teetFteetf tttt
)ln()1ln(1
tiene,Se
)1ln(y )1( Entonces
1)( Sea
rrt
rter
etFr
t
t
Pasos: 1. Generar ri
2. Calcular ti = - ln (ri)
3. Repetir como sea necesario
Otras Distribuciones
f tb a
a t b F tt a
b a
r F tt a
b at a b a r
( )( )
; ( )
( ) ( )
1
Let then
Uniform
Weibull
f t t e t
F t e r t r
t
t
( )
( ) , ln
/
//
1
1
0
1 1hence
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