Universidad de Costa Rica
Instituto Tecnológico de Costa Rica
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
CÁLCULO I Valor: 58 puntos. Tiempo máximo: 3 horas.
Sábado 21 de junio de 2014 INSTRUCCIONES GENERALES
Antes de contestar lea cuidadosamente las instrucciones y los enunciados de las preguntas.
Utilice únicamente bolígrafo de tinta indeleble azul o negra para resolver este examen. Trabaje con el mayor orden y aseo posible. Si alguna respuesta o procedimiento está
desordenado, éste no se calificará. Recuerde que sólo puede utilizar calculadora que únicamente efectúe las operaciones
básicas. No se permite el uso de calculadora científica de ningún tipo. La prueba debe resolverse individualmente.
1. Calcule los siguientes límites utilizando la Regla de L´Hopital:
a) 11
1lim
x
xx
Note que
1lim
11
1
x
xx , entonces se procede de la siguiente manera:
.limlim11
1
111 lnlimln
1
1
1
x
x
x xx
x
x
xeex Ahora calculamos
00
1)ln(limln
11limlnlim
11
1
1
1
xxx
xx
xx
x
x. Por L´Hopital
11lim1
1
lim1
)ln(lim111
x
xxx
xxx. Entonces
eex x
x
1lim 11
1
1
.
b)
xx
xx3
lim2
.
Note que
xx
xx3
lim2
, por L’Hopital se tiene que
3ln3
12lim3
lim2
xxxx
xxx al
evaluar se vuelve a tener la forma
, por lo tanto de acuerdo con L’Hopital
03ln3ln3
2lim3ln312lim
xxxx
x
2. Sea RIf 1,1: , )1()1( ff , además f es continua en todo su dominio, ¿se puede
asegurar con certeza que 1,1 c tal que 0)(' cf ? Justifique y dé un ejemplo. (5 puntos)
El teorema de Rolle establece que si f es una función que satisface:
f es continua en ba, f es derivable en ba, )()( bfaf
Entonces bac , tal que 0)(' cf . No obstante para la función dada no se asegura que sea derivable en 1,1 , entonces no se puede asegurar que
1,1 c tal que 0)(' cf . Por ejemplo si RIf 1,1: y
xxf )( . Note que )1()1( ff y f es continua en su dominio, no obstante f no es derivable en 0x .
3. La curva cuya ecuación está dada por 922 yxyx se presenta a continuación
Demuestre que las rectas tangentes a la curva en los puntos de intersección con el eje y son paralelas. (5 puntos)
)2(2'
2)2('0'2'2'9'
922
22
yxxyy
xyyxyyyxyyx
yxyxyxyx
Luego:
21
21
63
63
320023
320023
)3,0(')3,0('
yy
Como )3,0('y y )3,0(' y definen el valor de las pendientes de las rectas tangentes a la curva en los puntos donde interseca al eje y, y se probó que )3,0(')3,0(' yy , por lo tanto las rectas tangentes a la curva en )3,0( y en )3,0( son paralelas.
4. Considere una función f tal que 3 2 1
)(
x
xxf , donde 3 42
2
13
3)('
x
xxf ,
3 72
2
19
92)(''
x
xxxf ,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim1
xfx
,
)(lim xfx
y 0)(lim x
xfx
. Con base en esta información:
a) Determine el máximo dominio de f .
1,1 RID f .
b) Halle las coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica de f con los ejes.
Intersección con el eje x, 0013 2
xx
x. Entonces el punto de intersección tiene
coordenadas 0,0 .
c) Determine la ecuación de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, si las hay.
Con base en la información dada se tiene que: Las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 1x y 1x . No hay asíntotas horizontales. Como la ecuación de la asíntota oblicua es bmxy , donde
01lim3 2
x
xx
mx
, entonces se concluye que no hay asíntota oblicua.
d) Determine los intervalos de monotonía. Halle los extremos relativos.
3 42
2
13
3)('
x
xxf , donde 3030)(' 2 xxxf y )(' xf se
indefine si 1x , entonces
32 x + - - - + 42 1x + + + + +
)(' xf
+
-
-
-
+
f es creciente en 3, y ,3 .
f es decreciente en 1,3 , 1,1 y 3,1
Entonces hay un mínimo relativo en
3 2
3,3 y un máximo relativo en
3 23,3
e) Determine los intervalos donde f es cóncava hacia arriba y donde es cóncava hacia
abajo. Establezca las coordenadas de los puntos de inflexión. (7 puntos)
2
723
2 9''( )
9 1
x xf x
x
92 x + - - - - + 72 1x + + - - + + -2 x + + + - - -
)(' xf
+
-
+
-
+
-
f es cóncava hacia abajo en 1,3 , 1,0 y ,3 .
f es cóncava hacia arriba en 3, , 0,1 y 3,1 .
Entonces las coordenadas de los puntos de inflexión son 0,0 ,
23,3 y
23,3 .
f) Construya la gráfica de f donde se detallen cada uno de los aspectos anteriores.
(5 puntos)
5. Un objeto tiene forma de cilindro circular recto. Conforme se calienta, su altura disminuye a razón de 0,005 centímetros por minuto y su radio aumenta a razón de 0,0001 centímetros por minutos. ¿Con qué rapidez está cambiando el volumen del objeto, cuando este alcanza los 40 centímetros de altura y los 1,5 centímetros de radio? (5 puntos)
)(thh , altura que depende del tiempo, donde min
005,0 cmdtdh
)(trr , radio que depende del tiempo, donde min
0001,0 cmdtdr
)(tVV , volumen que depende del tiempo, donde dtdV es lo que debemos determinar.
0376,0'
005,00001,0400001,05,12'
'́'2'2
2
2
VV
hrhrrVhrV
Por tanto el volumen cambia a razón de min
0376,0'3cmV
6. Se va a construir una tubería desde una refinería a través de un pantano hasta tanques de almacenamiento como se muestra en la figura adjunta. El costo de construcción es de $25000 por cada milla que se construya sobre el pantano y $20000 por cada milla que se construya sobre tierra. Explique de qué manera debe construirse la tubería para que el costo de producción sea mínimo.
De acuerdo con la figura se tiene que El costo de la tubería por tierra está dado por 200004 x El costo de la tubería por tierra está dado por 1625000 2 x Entonces la función que modela la situación es El costo de la tubería por tierra está dado por RIf 4,0:
162500020000800001625000)4(20000)( 22 xxxxxf , luego
162
22500020000)('2
x
xxf , para hallar puntos críticos se considera
x
x
xxx
xx
xx
xf
3169
2569256
2516165164
162500020000
0)('
2
2
22
2
2
Note que 4,03
16
Luego como f es continua en 4,0 , entonces por el teorema del valor extremo f alcanza un mínimo en ese intervalo,
180000)0( f
35,141221)4( f Por tanto la tubería debe construirse directamente desde la refinería hasta los tanques a través del pantano para que el costo sea mínimo.
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