5 Las Funciones Trigonométricas
Sección 5.2 (parte 2)
Funciones Trigonométricas de
Angulos y aplicaciones
Razones trigonométricas de otros ángulos
Podemos extender
las definiciones
expuestas de la
funciones
trigonométricas a
ángulos que no son
agudos si colocamos
el plano cartesiano
dentro de un círculo
con el Origen en el
Centro.
radio
Razones trigonométricas de otros ángulos
• Consideremos un radio,
que se rota en la
dirección positiva (en
contra de las manecillas
del reloj).
• Al detener la rotación, se
forma un ángulo central,
θ cuyo lado terminal
interseca el círculo en
algún punto (x, y).
• El arco interceptado
tiene la misma medida
que el ángulo central θ
θ
Trigonometría del círculo
Primer Cuadrante
Los valores de las funciones trigonométricas son positivos.
Trigonometría del círculo (cont)
Segundo Cuadrante
Algunos valores de las funciones trigonométricas son positivos y otros negativos.
RESUMEN:
Si θ es un ángulo en posición estándar en un sistema
de coordenadas rectangulares y P(x, y) es un punto
sobre el lado terminal de θ (distinto al origen) tal que
d(O, P) = r = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 entonces,
Trigonometría del círculo (cont)
Nota: Se entiende que si ocurre un 0 en el denominador, la función trigonométrica correspondiente NO estará definida.
Ejemplo
• Si θ es un ángulo en
posición estándar en un
sistema de
coordenadas
rectangulares y si
P(–15, 8) está en el lado
terminal de θ,
determinar los valores
de las seis funciones
trigonométricas de θ.
Solución (cont) • Aplicando la definición de las funciones
trigonométricas para x = –15, y = 8, primeramente
debemos determinar r.
Ejemplo
determine los valores
de las seis funciones
trigonométricas de θ.
y = -0.25x
El lado terminal de θ
(un ángulo en
posición estándar)
está en el 4to
cuadrante y coincide
con la recta
y = -0.25x ,
Solución (cont.) • Como el lado terminal de θ
está en el cuadrante IV,
comenzamos buscando un
punto que pertenece a la
recta en ese cuadrante.
• Si sustituimos en y = -0.25x
x=4 entonces y = –1, y por lo
tanto P(4, –1) está en el lado
terminal de θ.
• Aplicamos las definiciones
trigonométricas con
x = 4, y = -1,
P(4, -1)
r = 𝑥2 + 𝑦2 = 16 + 1 = 17
P(4, -1)
Solución (cont.) 𝐬𝐢𝐧 𝜽 =
𝒚
𝒓=
−𝟏
𝟏𝟕
𝐭𝐚𝒏 𝜽 =𝒚
𝒙=
−𝟏
𝟒
𝐬𝐞𝒄 𝜽 =𝒓
𝒙=
𝟏𝟕
𝟒
P (4, -1)
cos θ =x
r=
4
17
csc 𝜃 =𝑟
𝑦=
17
−1= − 17
co𝑡 𝜃 =𝑥
𝑦=
4
−1= −4
=−𝟒 𝟏𝟕
𝟏𝟕 =
− 𝟏𝟕
𝟏𝟕
Ejemplo • Si sin θ = ⅗ y tan θ < 0, use identidades
para hallar las otros valores
trigonométricos.
• Solución De los signos, concluimos
que el ángulo está en el cuadrante II.
• Usando la relación sin2 θ + cos2 θ = 1 y
el hecho de que el coseno es
negativo en el segundo cuadrante
podemos determinar que: