Funciones de Rn en Rm
Son funciones de la forma
miRxxxFY
REXFXFXFXF
REYYYY
RDxxxX
XFYRERDF
nii
m
m
m
m
n
n
mn
,,2,1 ,,,
)(,),(),()(
,,,
,,,
)(/:
21
21
21
21
30/10/2013 1NOLAN JARA JARA
Funciones de Rn en Rm
Ejemplo para n=2 y m=3
cos,,cos/:
3,22,3/:
32
32
sensensenRRD
trtrtrRRD
,FF
tr,FF
30/10/2013 2NOLAN JARA JARA
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE Rn EN Rm
Decimos que es derivable en p=(x1 ,x2 ,,xn)DRn
Si existen las mxn derivadas parciales
para i = 1; ;m, y j = 1; ; n.
)(/: XFYRERDFSea mn
F
nnj
i RDxxxPPx
F
,,, )( 21
30/10/2013 3NOLAN JARA JARA
DERIVADAS PARCIALES DE FUNCIONES DE Rn EN Rm
ESTA DEFINIDA POR LA MATRIZ JACOBIANA
)()()(
)()()(
)()()(
)(FD
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
P
n
mmm
n
n
30/10/2013 4NOLAN JARA JARA
JACOBIANO DE TRANSFORMACION DE:Rn Rn
niRxxxFY
REXFXFXFXF
REYYYY
RDxxxX
XFYRERDFSi
nii
n
n
n
n
n
n
nn
,,2,1 ,,,
)(,),(),()(
,,,
,,,
)(/:
21
21
21
21
F
30/10/2013 5NOLAN JARA JARA
JACOBIANO DE TRANSFORMACIONLA MATRIZ JACOBIANA DE :Rn Rn
Es una matriz cuadrada de orden n.
)()()(
)()()(
)()()(
)(FD
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
P
n
nnn
n
n
F
30/10/2013 6NOLAN JARA JARA
JACOBIANO DE TRANSFORMACIONESTA DEFINIDA POR EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ JACOBIANA DE
:Rn Rn
)()()(
)()()(
)()()(
)(FJ
21
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
Px
FP
x
FP
x
F
P
n
nnn
n
n
F
30/10/2013 7NOLAN JARA JARA
CAMPO DE UNA MAGNITUD
es la regin del espacio donde una magnitud est definiday tiene un valor.TIPOS:
Campo escalar: cuando la magnitud definida es un escalar
Campo vectorial: cuando la magnitud definida es una magnitud vectorial
En general, en cada punto P del campo el valor de la magnitud depende de las coordenadas del punto P y del tiempo t.
Si el valor de la magnitud no depende del tiempo t se dice que el campo es estacionario. Entonces las funciones son unvocas y continuas.
30/10/2013 8NOLAN JARA JARA
Campo escalar
(Grfico = superficie)
Campo vectorial (Grfico = flechas)
30/10/2013 9NOLAN JARA JARA
n
n
n
n
n
xxx
Px
fP
x
fP
x
fPf
xxxPenCde clasees
xxxfwRRDf
,,,
)(,),(),()(
,,,
),,,(/:
21
21
21
1
21
EL VECTOR GRADIENTEEN GENERAL SI,
30/10/2013 10NOLAN JARA JARA
El gradiente es un Campo Vectorial
Se halla a Campos escalares
yxf
yxyxf
yxfzRRDf
,
22),(
),(/:
22
2
EL VECTOR GRADIENTE
30/10/2013 11NOLAN JARA JARA
30/10/2013 NOLAN JARA JARA 12
CAMPOS VECTORIALESSON FUNCIONES DE LA FORMA
otencial funcion pes llamadaRRf
servativotorial con campo veces llamadoFPfPFSi
xxxP
PFPFPFPFRERDF
n
n
n
nn
:
)()(
,,,
)(,),(),()(/:
21
21
CAMPOS VECTORIALESLneas de flujo
y)(x,(x,y))(x,y);F(F(x,y)F 21
30/10/2013 13NOLAN JARA JARA
DIVERGENCIADEFINICIN
z
F
y
F
x
Fdiv
321F F
30/10/2013 14NOLAN JARA JARA
)),,(),,,(),,,((),,(F /:F 32133 zyxFzyxFzyxFzyxRRDSea
DIVERGENCIA
Qu es? Un campo escalar.
A quin se halla? A campos vectoriales en general.
30/10/2013 15NOLAN JARA JARA
n
i i
in
x
FFR/R:DF
1
,,,, nRR:DF nn 321
DIVERGENCIASignificado de la Divergencia
Si representa el flujo de un fluido, entonces la
divergencia , representa la tasa de expansin por
unidad de volumen bajo el flujo del fluido.
Si la div( )0 se est expandiendo.
Si la div( )=0 es incompresible.
Conforme el fluido se mueve el volumen (rea) de control se comprime, expande o queda igual.
Si la div( )=0 para todo punto del dominio el campo se llama incompresible.
30/10/2013 16NOLAN JARA JARA
F
F
F
F
F
ROTACIONALDEFINICIN
30/10/2013 17NOLAN JARA JARA
)),,(),,,(),,,((),,(F /:F 32133 zyxFzyxFzyxFzyxRRD
321
FFF
zyx
kji
FxFRot
ROTACIONAL
Qu es? Un campo vectorial
A quin se halla? A campos vectoriales tridimensionales.
No se puede hallar a campos bidimensionales? Si, considerando su tercera componente cero.
33: DF
33: DF
30/10/2013 18NOLAN JARA JARA
ROTACIONALSignificado del Rotacional
Si representa el flujo de un fluido, entonces el
rotacional, en un punto, es el doble del vector
velocidad angular de un cuerpo rgido que gira como el
fluido cerca de ese punto.
Si el rot( )=(0,0,0) en un punto significa que el
fluido no tiene rotaciones en ese punto, es decir no
tiene remolinos. Una rueda con aspas rgidas en el
fluido se mover con el fluido pero no girar alrededor
de su eje.
Si rot( )=(0,0,0) para todo punto del dominio, el
campo se llama irrotacional.30/10/2013 19NOLAN JARA JARA
F
F
F
EJEMPLO
22: DF
0,0,0F1F
0,),(F
xyx
30/10/2013 20NOLAN JARA JARA
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