REVISMÁTICA

ESTA SEMANA TRATAREMOS EL TEMA DE IDENTIDADES

15 de julio 2010

Identidades trigonométricas

En matemáticas, las identidades trigonométricas verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).Estas identidades, son útiles siempre que se precise simplificar expresiones que incluyen funciones trigonométricas. Otra aplicación importante es el cálculo de integrales indefinidas de funciones no-trigonométricas: se suele usar una regla de sustitución con una función trigonométrica, y se simplifica entonces la integral resultante usando identidades trigonométricas.

costan

sen

sen

coscot

csc

1sen

sec

1cos

cos

1sec

sen

1csc

Identidades Básicas

Identidades Recíprocas

sen

sen

1csc

csc

1

cos

1sec

sec

1cos

tan

1cot

cot

1tan

costan

sen

sen

coscot

Estas identidades se cumplen para cualquier ángulo para el cual el denominador no sea cero.

Relaciones Pitagóricas

22

22

22

csccot1

sec1tan

1cos

sen

a

b

c

222 cba

2

2

2

2

2

2

cc

cb

ca

1cb

ca

22

De acuerdo al Teorema de Pitágoras

dividiendo entre 2c

de donde

Identidades Trigonométricas

1cos22 sen

por tanto

1seccos

1cos

1cosseccos

sec

1)1)(1( sensen

21)1)(1( sensensen

2

2

sec

1

cos

Ejemplo 2

Verifica la siguiente identidad

Solución

Solución

Usando las identidades reciprocas

Identidades trigonométricas

-

(x,y)

(x,-y)

senysen

ysen

)(

cos)cos(

cos

x

x

tan

cos)cos(

)()tan(

sensen

Identidades trigonométricas

90-

90+

(x,y)

x

ysen

cos

cos)90( sen

cos)90( sen

sen )90cos(

sen )90cos(

(x,y)(-x,y)

(-x,-y)

180-

180+

sensen )180(

sensen )180(

cos)180cos(

cos)180cos(

(-y, x)

Identidades para la mitad de un ángulo

sencoscossen)(sen

sensencoscos)cos(

tantan1tantan

)tan(

2

cos1

2

sen

2

cos1

2cos

sen

sen cos1

cos1cos1

cos1

2tan

Ejemplo 3 Verifica la siguiente identidad

cos22 sensen

)(2 sensen

cos2

coscos

sen

sensen

Ejemplo 4

Verifica la siguiente identidad

2212cos senSolución

)cos(2cos

2

22

22

21

)1(

cos

coscos

sen

sensen

sen

sensen

Solución

Identidades Pares-Impares

sin(− x)= − sin x cos(− x) = cos x tan(− x) = − tan x

csc(− x)= − csc x sec(− x) = sec x cot(− x) = − cot x

Teorema del coseno

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos no rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.El teorema relaciona un lado de un triángulo con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

Teorema del senoEn trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces