Download - Resolucion de Programacio Lineal Por Metodo Simplex

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EL METODO SIMPLEX

INVESTIGACIN DE OPERACIONES IIng. Csar Canelo Sotelo

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EL MTODO SIMPLEX El algoritmo del simplex provee una

metodologa rpida y efectiva para resolver problemas de programacin lineal.

El mtodo simplex es un mtodo que llega a la solucin ptima a travs de iteraciones sucesivas.

Comienza una solucin bsica factible inicial y sucesivamente obtiene soluciones que ofrecen mejores valores para la funcin objetivo.

En cada iteracin el mtodo proporciona un indicador que evala la optimalidad de la solucin encontrada, este indicador es el que nos permite identificar la solucin ptima.

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CONVERSIN DE UN PL A LA FORMA ESTNDAR

Antes de poder utilizar el algoritmo simplex para resolver un PL, ste se debe convertir en un problema equivalente en el cual todas las restricciones son ecuaciones y todas las variables son no negativas. Se dice que un PL en esta forma est en la forma estndar.

Para convertir un PL en la forma estndar, cada restriccin de desigualdad se debe reemplazar por una restriccin de igualdad.

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Por ejemplo, se tiene el siguiente PL: Max Z = 4x1 + 3x2 s. a. : x1 + x2

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As se convierte en el siguiente PL:Max Z = 4x1 + 3x2

s. a. : x1 + x2 + s1 = 40 2x1 + x2 + s2 = 60 x1, x2, s1, s2 >= 0

Obsrvese que el PL est en la forma estndar.

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En resumen, si la i-sima restriccin de un PL es una restriccin = 0.

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Para ilustrar cmo una restriccin >= se puede convertir en una restriccin de igualdad, consideramos el siguiente PL: Min Z = 50x1 + 20x2 + 30x3 + 80x4 s. a. : 400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 >= 500 3x1 + 2x2 >= 6 2x2 + 2x2 + 4x3 + 4x4 >= 10 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 >= 8 x1, x2, x3, x4 >= 0

Para convertir la i-sima restriccin >= en una restriccin de igualdad, se define una variable de exceso o excedente ei.

Se define ei como la cantidad con la cual la i-sima restriccin se satisface en exceso.

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El PL resultante en la forma estndar es: Min Z = 50x1 + 20x2 + 30x3 + 80x4 s. a. : 400x1 + 200x2 + 150x3 + 500x4 - e1 = 500 3x1 + 2x2 - e2 = 6 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 - e3 = 10 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 - e4 = 8

x1, x2, x3, x4, e1, e2, e3, e4 >= 0

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En resumen, si la i-sima restriccin de un PL es una restriccin >=, entonces se puede convertir en una restriccin de igualdad al restar una variable de exceso ei en la i-sima restriccin y aadir la restriccin de signo ei >= 0.

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SOLUCIN FACTIBLE BSICA

Suponga que se ha convertido un PL con m restricciones en la forma estndar. Si se supone que la forma estndar contiene n variables (denominadas por conveniencia x1, x2, , xn), la forma estndar de tal PL es:

Max o Min Z = c1x1 + c2x2 + + cnxn s. a. : a11x1 + a12x2 + + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn = b2 . . . . . . . . . . . . am1x1 + am2x2 + + amnxn = bm xi >= 0 ( i = 1, 2, , n)

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VARIABLES BSICAS Y VARIABLES NO BSICAS

Considere un sistema Ax=b de m ecuaciones lineal y n variables (suponga n>=m).

DEFINICIN Una solucin bsica para Ax=b se obtiene haciendo n-m variables iguales a cero, y luego se determinan los valores de las m variables restantes. As se asume que al hacer las n-m variables iguales a cero se llega a los valores nicos para las m variables restantes, o que, en forma equivalente, las columnas para las m variables restantes son linealmente independientes.

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Con el objeto de hallar una solucin bsica para AX=b, primero se escoge un conjunto de n-m variables (las variables no bsicas, VNB) y se iguala cada una de las variables a cero. Luego se encuentran los valores de las n-(n-m)=m variables restantes (las variables bsicas, VB) que satisfacen a AX=b.

Es evidente que las elecciones distintas de variables no bsicas dan como resultado diferentes soluciones bsicas.

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Para ilustrar, se tiene el siguiente sistema de dos ecuaciones y tres variables:

x1 + x2 = 3 - x2 + x3 = -1 Se empieza por escoger un conjunto de 3-

2=1 (3 variables, 2 ecuaciones) variables no bsicas. Por ejemplo, si VNB={x3}, entonces, VB={x1, x2}. Los valores de las variables bsicas se obtienen haciendo x3 =0 y resolviendo

x1 + x2 = 3 -x2 = -1 Se encuentra que x1=2, x2=1, x3=0. Es una solucin bsica. Si se escogen diferentes VNB se obtienen

diferentes soluciones bsicas. Algunos conjuntos de m variables no originan una solucin bsica.

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SOLUCIONES FACTIBLESDEFINICINCualquier solucin bsica de un PL en la

cual todas las variables son no negativas es una solucin bsica factible (SBF). Por tanto, para el PL del ejemplo, las soluciones bsicas: x1=2, x2=1, x3 =0 y x1=0, x2=3 y x3 =2 son soluciones bsicas factibles. Pero la solucin bsica: x1 = 3, x2 = 0, x3 = -1 no es una solucin bsica factible (porque x3 < 0).

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SOLUCIONES FACTIBLESTEOREMA Un punto en la regin factible de un PL es

un punto extremo si y slo si es una solucin bsica factible para un PL.

Sea S la regin factible de un PL en la forma estndar. Un punto P es un punto extremo de S si para todos los segmentos de recta que contienen a P y estn contenidos por completo en S, P es un punto terminal. Esto da como resultado que los puntos extremos de la regin factible de un PL y las soluciones bsicas factibles de un PL sean en realidad lo mismo.

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SOLUCIONES FACTIBLESEjemplo para ilustrar la

correspondencia entre puntos extremos y soluciones bsicas factibles sealadas en el Teorema 1. Max z = 4x1 + 3x2 s. a. : x1 + x2 = 0

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SOLUCIONES FACTIBLESX

2

X1

Reginfactible

A

B

CF

E

D

Puntos extremos de la regin factible:B = (0, 40), C = (30, 0), E = (20, 20) y F = (0,0)

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SOLUCIONES FACTIBLES

Correspondencia entre soluciones factibles y vrtices (puntos extremos).Variables

bsicasVariables no

bsicasSoluciones factibles

bsicasCorrespondencia a vrtice

(punto extremo)

x1, x2 s1, s2 s1=s2=0, x1=x2=20 E

x1, s1 x2, s2 x2=s2=0, x1=30, s1=10

C

x1, s2 x2, s1 x2=s1=0, x1=40, s2=-20

No es SBF porque s2 < 0A

x2, s1 x1, s2 x1=s2=0, s1=-20, x2=60

No es SBF porque s1 < 0D

x2, s2 x1, s1 x1=s1=0, x2=40, s2=20

B

s1, s2 x1, x2 x1=x2=0, s1=40, s2=60

F

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SOLUCIONES FACTIBLESX

2

X1

Reginfactible

A

B

CF

E

D

Soluciones en los puntos extremos de la regin factible.

(0,40)

(0,0)

(20,20)

(30,0)

(40,0)

(0,60)

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SOLUCIONES BASICAS FACTIBLES ADYACENTES

DEFINICINPara cualquier PL con m restricciones, se

dice que dos soluciones bsicas factibles son adyacentes si sus conjuntos de variables bsicas tienen m-1 variables bsicas en comn. En el ejemplo, dos soluciones bsicas factibles sern adyacentes si tienen 2-1=1 variable bsica en comn. Por tanto la SBF en el punto E de la fig. es adyacente a la SBF en el punto C. De manera intuitiva podemos comprobar que dos SBF son adyacentes si comparten una misma restriccin.

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SOLUCIONES BSICAS FACTIBLES ADYACENTES

Pasos que sigue el algoritmo del simplex para resolver un PL de maximizacin:

1) Se encuentra una SBF para el PL, a esta SBF se le llama SBF inicial. En general, la SBF ms reciente se denomina SBF actual, por lo que al principio del problema la SBF inicial es la SBF inicial.

2) Se determina si la SBF actual es una solucin ptima para el PL. Si no es as, entonces se determina una SBF adyacente que tenga un mejor valor para Z.

3) Se retorna al paso 2, y se usa la SBF nueva como SBF actual.

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EL MTODO SIMPLEX EN FORMA TABULAR

La forma tabular del mtodo simplex registra slo la informacin esencial, en forma muy compacta:1) Los coeficientes de las variables en la

funcin objetivo (Cj).2) Las constantes del lado derecho de las

restricciones (bi).3) La variable bsica correspondiente en

cada ecuacin.4) Una matriz de coeficientes de

transformacin A compuesta de dos sub-matrices:

4.1 Coeficientes tecnolgicos de las variables de decisin.

4.2 Vectores unitarios correspondientes a las variables bsicas.

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EL MODELO PL EN FORMA ESTANDAR

Max Z = C1X1 + C2X2 + + CnXn + Cn+1Xn+1++ Cn+mXn+m

s. a. : a11X1 + a12X2 + . . . + a1nXn + Xn+1 = b1 a21X1 + a22X2 + . . . + a2nXn + Xn+2 = b2 . . . . . . . . . . . . . . . am1X1 + am2X2 + . . . + amnXn + Xn+m = bm

Xj >= 0 , j = 1, 2, , n, n+1, , n+m

Este modelo PL en forma estndar (modelo aumentado) es el que se lleva al tablero simplex.

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EL TABLERO SIMPLEXCj C1 C2 . . . Cn Cn+1 . . . Cn+m

Ck Xk b X1 X2 . . . Xn Xn+1 . . . Xn+m

Cn+1Cn+2 . . . . . . . . .Cn+m

Xn+1Xn+2 . . .. . .. . .

Xn+m

b1b2

. . .. . .. . .bm

a12a21. . . . . .. . .am1

a12a22 . . .. . .. . .am2

. . . . . . . . .. . .. . .. . .

a1na2n . . . . . .. . .amn

10

. . . . . .. . .0

. . . . . .. . .. . .. . . 0

0 0 . . .. . .. . . 1

Zj Z Z1 Z2 . . . Zn Zn+1 . . . Zn+m

Cj - Zj C1-Z1 C2-Z2 . . . Cn-Zn Cn+1 Zn+1

. . . Cn+m Zn+m

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DEFINICIONES Todo modelo de programacin lineal,

luego de habrsele agregado las variables de holgura y/o exceso, se convierte en un sistema de ecuaciones con n variables y m ecuaciones, siendo n>m , en donde las m restricciones del modelo dan origen a las m ecuaciones del sistema.

Una solucin de tal sistema es un vector n-dimensional que satisface la relacin Ax= b.

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DEFINICIONES Solucin bsica.- Es aquella solucin en

la que (nm) variables se han igualado a cero y los valores de las m variables restantes se han determinado resolviendo las m ecuaciones con m variables. Una solucin de este tipo puede tener como mximo m componentes no nulos.

Solucin bsica no degenerada.- Es una solucin bsica que tiene exactamente m componentes no nulos.

Solucin bsica degenerada.- Es una solucin bsica que tiene menos de m componentes distintos de cero.

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PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES

El problema de programacin lineal consiste en hallar el vector columna X que es solucin de:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 (1) . . . . . . . . . . . . ..

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm que haga mximo a:

z = c1x1 + c2x2 + . . . + cnxn (2) y de tal manera que las variables Xj estn sujetas a las condiciones: xj >= 0 ; j= 1, 2, ..., n

(3)

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EL MTODO SIMPLEXEn las ecuaciones (1), se supone que:

Algunas de las restricciones pueden haber sido desigualdades antes de que les fueran sumadas o restadas nuevas variables para convertirlas en ecuaciones.

Todas las bi >= 0, lo cual puede requerir que algunas de las ecuaciones deba multiplicarse por 1.

n > m, y A es de orden mxn. La funcin (2) es la funcin objetivo, se

observar que se ha definido el problema general de programacin lineal como un problema de maximizacin, que es el problema que se presenta ms frecuentemente en la prctica.

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EL MTODO SIMPLEXTEOREMA 1Dado un problema de programacin

lineal, en el cual no puedan existir soluciones bsicas factibles degeneradas y en el que se ha formado una solucin bsica factible en funcin de las m primeras variables, puede formarse una nueva solucin bsica factible introduciendo la variable xk, tal que k > m, si al menos un elemento de la k-sima columna de la matriz reducida es positivo.

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EL TABLERO SIMPLEX

Cj C1 C2 . . . Cn Cn+1 . . . Cn+m

Ck Xk b X1 X2 . . . Xn Xn+1 . . . Xn+m

Cn+1Cn+2 . . . . . . . . .Cn+m

Xn+1Xn+2 . . .. . .. . .

Xn+m

b1b2

. . .. . .. . .bm

a12a21. . . . . .. . .am1

a12a22 . . .. . .. . .am2

. . . . . . . . .. . .. . .. . .

a1na2n . . . . . .. . .amn

10

. . . . . .. . .0

. . . . . .. . .. . .. . . 0

0 0 . . .. . .. . . 1

Zj Z Z1 Z2 . . . Zn Zn+1 . . . Zn+m

Cj - Zj C1-Z1 C2-Z2 . . . Cn-Zn Cn+1 Zn+1

. . . Cn+m Zn+m

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LA SOLUCIN PTIMA

Cada solucin tiene un valor y la funcin objetivo controla cul de las muchas soluciones es la ptima. Si aplicamos el teorema 1 podemos, efectivamente, encontrar dicha solucin ptima.

TEOREMA 2Dado un problema de programacin

lineal en el cual son imposibles las soluciones bsicas factibles degeneradas, en el que la solucin ptima es nica y donde pueden formarse soluciones bsicas factibles adicionales, la solucin mxima debe ser una solucin factible.

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ELECCIN DE LA VARIABLE BSICA QUE SALE

Si se sabe de qu tipo es la solucin ptima y cmo generar una solucin de tal ndole a partir de otra, se necesita una regla que permita decidir qu variable se debe introducir en la nueva solucin. TEOREMA 3

Supongamos que tenemos un problema de programacin lineal y una solucin bsica factible del mismo. Si existe una variable Xk para la cual se puede realizar el clculo de mediante su propia regla, se puede generar otra solucin que aumente el valor de la funcin objetivo en un valor determinado de antemano.

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Por el teorema 1, tenemos que: = min bi / aik , para

todo aik >0 Y por el teorema 2 tenemos que:

z = z + (ck zk)

Puesto que estamos tratando de encontrar la solucin mxima, es lgico exigir que Z > Z . Ya que Z depende de la variable Xk que elegimos, es lgico tambin requerir que k se elija de forma que el cambio del valor de la solucin, Z Z, resulte tan grande como sea posible, como quiera que esto no sucede normalmente, es necesario el clculo de todas las posibles. En vez de hacer esto, el mtodo usual consiste en determinar como variable que formar parte de la nueva solucin, la que satisface

Ck Zk = max ( Cj Zj) Esta es la regla llamada del ascenso

ms rpido.

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EL ALGORITMO DEL SIMPLEXEl algoritmo del Simplex presupone que

ya se ha hallado una solucin bsica factible en el momento de iniciar las iteraciones. El procedimiento detallado para hallar la solucin ptima del problema general de programacin lineal de maximizacin es el siguiente:

1. Calculamos Cj Zj para cada variable que no est en la presente solucin.

a) Si para al menos un j, Cj Zj es positivo y si al menos un aij para este j es positivo, entonces existe una mejor solucin factible. b) Si para un j, Cj Zj es positivo, pero los aij para este j son no positivos, entonces la funcin objetivo no est acotada. c) Si Cj Zj es no positivo para todo j, entonces la solucin ptima se ha encontrado.

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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX2. Si estamos en el caso 1(a), identificamos la variable que da el mayor Cj Zj como Xk ( es la columna pivote). Llamamos Xr a la variable que se reducira a cero al aplicar la regla del (es la fila pivote). El elemento ark se llama elemento pivote.

3. Dividimos la r-sima fila por ark (elemento pivote), para reducir a 1 el correspondiente elemento de ark en la tabla siguiente. Efectuamos luego las operaciones de fila que reducirn a cero todos los otros aik .

4. Repetimos los pasos 1, 2 y 3 hasta que en alguna tabla se cumpla la condicin 1(c). Entonces se ha obtenido la solucin ptima.

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EL ALGORITMO DEL SIMPLEX La teora del mtodo simplex asegura que

la solucin hallada en cada paso tiene un valor mayor, o al menos igual, que el de la solucin anterior. Puesto que el nmero de soluciones bsicas del sistema de ecuaciones es finito, el algoritmo debe converger hacia la solucin ptima en un nmero finito de iteraciones.

La experiencia ha demostrado que el nmero de iteraciones que deben efectuarse en la mayora de los problemas que se encuentran en la prctica, oscila entre m y 2m .

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UN PROBLEMA DE MAXIMIZACIN

El tipo ms sencillo de problema con el que se trabaja en programacin lineal es el de maximizacin, en el que todas las restricciones son de tipo menor o igual que.

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PROBLEMA

Una empresa cuenta con 1000 toneladas del mineral b1, 2000 toneladas del mineral b2 y 500 toneladas del b3. A partir de dichos minerales pueden extraerse y fundirse los productos metlicos 1, 2 y 3. Los requerimientos de fabricacin sobre los productos son los siguientes:

Una tonelada del producto 1 requiere 5 toneladas de mineral b1, 10 de b2 y 10 de b3. Una tonelada del producto 2 requiere 5 toneladas de mineral b1, 8 de b2 y 5 de b3. Una tonelada del producto 3 requiere 10 toneladas de mineral b1, 5 de b2 y nada de b3.

El fabricante obtendr $100 de ganancia por tonelada del producto 1, $200 por tonelada del producto 2 y $50 por tonelada del producto 3.

Se requiere determinar cuntas toneladas de cada producto que deben fabricarse, a partir de los minerales aprovechables, para obtener las mximas ganancias de la operacin.

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PROBLEMAEn este problema de programacin

lineal, las variables funcionales o de decisin son X1, X2 y X3, que representan las unidades a fabricar de los productos o niveles de actividad.

El problema es encontrar el vector X que hace mxima a la funcin objetivo:

Z = 100x1 + 200x2 + 50x3

y que satisface las restricciones:

5x1 + 5x2 + 10x3

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PROBLEMA

Puesto que cada una de las restricciones es del tipo menor o igual, debemos sumar nuevas variables no negativa, variables de holgura, para obtener:

5x1 + 5x2 + 10x3 + s1 = 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 + s2 = 2000

10x1 + 5x2 + s3 = 500

Vemos inmediatamente que este problema tiene una solucin bsica inicial:

s1 = 1000;s2 = 2000;s3= 500

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TABLA SIMPLEX INICIAL

Cj 100 200 50 0 0 0

Ck Xk b X1 X2 X3 S1 S2 S3

000

S1S2S3

10002000500

51010

585

1050

100

010

001

Zj 0 0 0 0 0 0 0

Cj-Zj 100 200 50 0 0 0

1000/5 = 2002000/8 = 250500/5 = 100

Variable bsica entrante: X2

Variable bsica quesale: S3

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PROBLEMA DE MAXIMIZACIN CON RESTRICCIONES DADAS POR

IGUALDADES

Consideremos el siguiente problema de programacin lineal, en el que las variables funcionales o de decisin son X1, X2 y X3, que representan las unidades a fabricar de los productos 1, 2 y 3.

El problema es encontrar el vector X que hace mxima a la funcin objetivo:

Z = 100x1 + 200x2 + 50x3

y que satisface las restricciones:

5x1 + 5x2 + 10x3

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PROBLEMA DE MAXIMIZACIN CON RESTRICCIONES DADAS POR

IGUALDADESConsiderando las variables de

holgura en la primera y tercera restriccin, tenemos:

5x1 + 5x2 + 10x3 + s1 = 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 = 2000

10x1 + 5x2 + s2 = 500

Este sistema no tiene una solucin bsica inicial, y por lo tanto no se cumplen las condiciones para empezar el algoritmo del simplex.

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VARIABLES ARTIFICIALES

Para corregir esta situacin, se introduce una variable artificial en la segunda restriccin, para obtener:

5x1 + 5x2 + 10x3 + s1 = 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 + a1 = 2000

10x1 + 5x2 + s2 = 500

Ahora se tiene la solucin bsica inicial s1=1000; a1 = 2000; s2 = 500.

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VARIABLES ARTIFICIALES

Entonces, una variable artificial en una restriccin cumple el papel de variable bsica en su restriccin. A pesar de que se ha corregido el problema para que tenga la forma correcta para empezar el algoritmo, esta no es una solucin factible. Las variables artificiales representan productos imaginarios, por lo que cualquier valor que tome a1 no satisface la segunda restriccin.

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EL MTODO DE PENALIZACIN

Dejamos a1 en el sistema de forma que se pueda empezar el algoritmo, pero intentaremos sacarla de ste asignndole un coeficiente en la funcin objetivo igual a M. La funcin objetivo se convierte entonces en:

Z = 100x1 + 200x2 + 50x3 Ma1

Si Z se debe maximizar, a1 debe dejar la solucin y por lo tanto debe hacerse igual a cero, puesto que M se considera un nmero muy grande, tan grande que puede dominar a los dems nmeros que aparecen en el problema. El hecho de penalizar a la variable artificial en la funcin objetivo con un coeficiente M, se conoce como el mtodo de la penalizacin.

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En general, cuando el modelo en la forma estndar para el mtodo simplex contiene variables artificiales, stas se deben penalizar en la funcin objetivo con un coeficiente M:

- Ma1 Maximizacin

+ Ma2 Minimizacin

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Cuando se realiza el algoritmo simplex en un problema que contiene variables artificiales, se puede llegar a uno de tres casos posibles:

1) Antes de obtener la tabla simplex en la cual todos los cj zj

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3) Se obtiene una tabla simplex en la cual todos los (cj zj)

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PROBLEMA DE MAXIMIZACIN CON RESTRICCIONES FORMADA POR DESIGUALDADES MAYOR O IGUAL

QUE

Continuaremos con el problema que se viene tratando, pero alterado de forma tal que se requiere que se usen al menos 1000 tons. de la materia prima b2. Este requerimiento convierte la segunda restriccin del problema es una restriccin tipo mayor o igual que, esto da lugar al siguiente modelo PL :

5x1 + 5x2 + 10x3 = 1000

10x1 + 5x2

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QUE

Haciendo los clculos apropiados, sumando variables de holgura a la 1ra y 3ra restricciones y restando una variable de exceso a la 2da restriccin, obtenemos:

5x1 + 5x2 + 10x3 + s1 = 1000

10x1 + 8x2 + 5x3 e2 = 1000

10x1 + 5x2 + s3 = 500

Que es el conjunto de ecuaciones que el vector solucin X debe satisfacer a la vez que hace mximo la funcin objetivo:

Z = 100x1 + 200x2 + 50x3

No se tiene una solucin bsica inicial factible, puesto que si hacemos x1=x2=x3=0, obtenemos s1=1000, e2= 1000, s3=500. Aqu la variable de exceso e2, que fue restada en la segunda restriccin para convertir la desigualdad en igualdad, no cumple con la restriccin de no-negatividad, lo que da lugar a una solucin bsica inicial no factible.

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QUE

Para tener una solucin inicial bsica factible, es necesario aadir una variable artificial a la segunda restriccin. En la funcin objetivo esta variable artificial estar penalizado con el coeficiente M, as:

Max Z = 100x1 + 200x2 + 50x3 Ma1

s. a.:

5x1 + 5x2 + 10x3 + s1 = 1000 10x1 + 8x2 + 5x3 e2 + a1 = 1000

10x1 + 5x2 + s3 = 500

x1, x2, x3, s1, e2, s3, a1 >= 0

Este s es un problema con solucin factible, el mtodo simplex da para este problema la siguiente solucin: x1=0, x2=100, x3=50, e2=50, Z=22,500.

Se cumple la segunda restriccin con demasa o exceso, es decir el requerimiento de usar por lo menos 1000 tons. del mineral b2 se cumple, pues se usan 1050 tons., el exceso de 50 sobre el lmite mnimo impuesto lo absorbe la variable de exceso e2.

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METODO SIMPLEX PARA PROBLEMA DE MINIMIZACIN

El tablero simplex para un problema de minimizacin se dispone en la misma forma que para un problema de maximizacin. Las diferencias en el problema de minimizacin son:

1) El valor de la solucin decrece conforme avanzan las iteraciones.

2) En cada iteracin se selecciona como variable bsica entrante, aquella cuyo valor cj zj sea el ms negativo. Para la variable bsica saliente se sigue el mismo criterio de maximizacin.

3) La solucin ptima se alcanza cuando se tienen todos los

cj zj >= 0.

Un problema de minimizacin puede ser resuelto como un problema de maximizacin, aplicando la regla:

Min Z = Max ( Z)

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RESMEN

Tipo de

restriccin Variable que se aumenta

< = + s1 (holgura)

= + a1 (artificial)

> = - e1 + a2 (exceso y artificial)

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EL MTODO DE DOS FASES

Cuando se trabaja con variables artificiales, puede suceder que los coeficientes de la funcin objetivo tengan valores muy grandes, y que por lo tanto el valor de M no sea suficientemente grande para estar seguro que las variables artificiales van a tender a salir de la base y que en un cierto nmero de iteraciones vamos a llegar a un resultado correcto.

El mtodo de dos fases, es una tcnica para trabajar con variables artificiales.

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El mtodo de dos fases desarrolla el algoritmo del simplex en dos fases:

1ra Fase

Se formula una funcin objetivo artificial Z*, en la que se asigna Cj=0 a todas las variables, a excepcin de las variables artificiales a las que se les asigna un Cj=-1 para problemas de maximizacin y Cj=+1 para problemas de minimizacin. Se aplica el mtodo simplex, y despus de cierto nmero de iteraciones, se llega a uno de los siguientes casos:

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a) Antes de obtener la ltima tabla simplex, las ai, salen de la base. Entonces se ha obtenido una solucin bsica factible al problema. Se pasa a la 2da fase para obtener la solucin ptima.

b) Se obtiene la ltima tabla simplex, y las ai estn en la base pero con valor cero. Entonces se ha obtenido una solucin bsica factible al problema, pero puede existir redundancia en las restricciones originales. Se pasa a la 2da fase con las ai como variables bsicas con valor cero.

c) Se obtiene la ltima tabla simplex, pero las ai estn en la base con valor positivo. Se concluye que el problema no tiene solucin factible.

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2da Fase

a) La primera tabla simplex de la 2da fase es la ltima tabla simplex de la 1ra fase, en la que se colocan los verdaderos Cj de todas las variables.

b) Se recalculan las filas (Zj) y (Cj-Zj) de la tabla simplex y se continan las iteraciones hasta obtener la solucin ptima.

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CASOS ESPECIALES CON EL MTODO SIMPLEX

Con el mtodo simplex se puede detectar los siguientes casos especiales: Soluciones ptimas alternativas. Solucin No Acotada. Solucin No Factible. Solucin Degenerada.

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VALORES (CJ-Zj) IGUALES AL SELECCIONAR LA VARIABLE QUE

INGRESA Tratndose de un problema de

maximizacin, para elegir la variable que entra, si al examinar los indicadores (Cj-Zj) todos los valores de la fila son cero o negativas, entonces se tiene la solucin ptima, en caso contrario se elegir como la variable que ingresa a la base aquella que tiene el indicador (Cj-Zj) ms positivo. En caso de empate (dos o ms Cj-Zj con igual valor) se elige arbitrariamente cualquiera de las variables para que ingrese a la base.

Por convencin y para trabajar ordenadamente, se selecciona la variable que corresponde a la columna del extremo izquierdo.

Cuando hay empate en el indicador (Cj-Zj) la variable no elegida para ingresar a la base, ser la que tendr la prioridad para ingresar en la siguiente iteracin.

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VALORES (CJ-Zj) IGUALES AL SELECCIONAR LA VARIABLE QUE

INGRESA A LA BASE

Cj

Ck Xk b X1 X2 X3 S1 S2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Zj

Cj - Zj 0 3 0 3 -1

Variable elegida para ingresar a la base

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VALORES DE COCIENTES IGUALES AL SELECCIONAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA

BASE Si la variable que va ingresar a la

base es la que corresponde a la columna j, y al calcular el cociente = bi/aij, para cada aij>0, se obtiene empate en el cociente mnimo, puede elegirse como variable que sale de la base a cualquiera de las variables que empatan en el cociente mnimo. Por convencin, se selecciona la variable que est en la parte superior.

Cuando hay empate en el cociente min, la siguiente solucin ser una solucin degenerada.

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VALORES DE COCIENTES IGUALES AL SELECCIONAR LA VARIABLE QUE SALE DE LA

BASE

Cj

Ck Xk b X1 X2 X3

S1

X1

S3

Cj-Zj

2

5

2

S1 es la variable seleccionada para salir de la base.En la siguiente solucin S3 tambin tendr valor cero.

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SOLUCIONES PTIMAS ALTERNATIVAS (MULTIPLES)

Se dice que un programa lineal que tiene dos o ms soluciones ptimas, tiene soluciones ptimas alternativas.

En la solucin grfica, se reconocen los ptimos alternativos, cuando la recta de la F.O. es paralela a una de las rectas de las restricciones limitantes.

Cuando se utiliza el mtodo simplex, no es posible saber que un programa lineal tiene ptimos alternativos sino hasta que se obtiene la solucin ptima.

Un PL tiene soluciones ptimas alternativas, si el indicador (Cj-Zj) es igual a cero para una o ms variables no bsicas.

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SOLUCIONES PTIMAS ALTERNATIVAS

Cj 6 10 0 0

Ck Xk b X1 X2 S1 S2

010

S1X2

43

19/53/5

01

10

-2/5 1/5

Zj 30 6 10 0 2

Cj-Zj 0 0 0 - 2

La variable no bsica X1 tiene el indicador (Cj Zj)=0.Se puede obtener una solucin ptima alternativa haciendo otra iteracin, en la que ingresar X1 comonueva variable bsica.

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SOLUCIN NO ACOTADA (ILIMITADA)

Para un PL de maximizacin, se dice que un programa lineal es no acotado, si se puede hacer que el valor de la solucin sea infinitamente grande sin violar ninguna de las restricciones.

Los problemas de maximizacin con ganancias ilimitadas no se dan en la prctica, por ello cuando se presenta el no acotamiento, por lo general se debe a un error en la formulacin del modelo del problema.

El mtodo simplex identifica en forma automtica cualquier no acotamiento antes de llegar a la tabla simplex final. Es imposible el clculo del cociente debido a que el vector en la columna j tiene todos los aij

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SOLUCIN NO ACOTADA (ILIMITADA)

Cj 20 10 0 0 -M

Ck Xk b X1 X2 X3 X4 a1

200

X1X4

25

10

01

-10

01

10

Zj 40 20 0 -20 0 20

Cj - Zj 0 10 20 0 -M-20

Solucin No Acotada. El vector correspondiente a la columnaX3 est formado por aij

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SOLUCIN NO FACTIBLE

Esta condicin ocurre cuando no existe solucin para el programa lineal que satisfaga todas las restricciones, incluyendo las de no-negatividad. Si se usa el mtodo grfico, ello significa que no existe regin factible.

El mtodo simplex reconoce la no factibilidad, cuando se ha llegado a obtener una solucin que no puede mejorarse, pero una o ms variables artificiales siguen estando en la solucin con valor positivo.

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SOLUCIN NO FACTIBLE

Cj -1 -1 0 0 -M

Ck Xk b X1 X2 S1 S2 a1

-1-M

X1a1

12

10

1-2

1-4

0-1

01

Zj -2M-1 -1 2M-1 4M-1 M -M

Cj - Zj 0 -2M 1-4M -M 0

Todos los (Cj Zj)

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SOLUCIN DEGENERADA

Se dice que una solucin es degenerada si una o ms variables bsicas tienen valor cero.

La degeneracin se previene cuando hay empate en el cociente min al determinar la variable bsica que saldr de la base.

A diferencia de los problemas no acotados y los no factibles, la ocurrencia de la solucin degenerada no impide que se alcance la solucin ptima. Una solucin degenerada es una solucin factible.

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SOLUCIN DEGENERADA

Cj 1 3 0 0 M M

Ck Xk b X1 X2 S1 S2 a1 a2

1 X1 1 1 1 -1 0 1 0

0 S2 0 0 -1 -2 1 2 -1

Zj 1 1 1 -1 0 1 0

Cj - Zj 0 2 1 0 M-1 M

Solucin degenerada. La variable bsica S2 =0

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G R A C I A S

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