Libro guía:
Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.
Notas de clase realizadas por:
J. Walt Oler Texas Tech University
Traducidas y modificadas por:
M. Ing. Jónatan Pozo PalaciosUniversidad Politécnica Salesiana
Métodos de energía
Métodos de energía
11 - 2
- Energía de deformación.
- Densidad de energía de deformación.
- Energía elástica de deformación para esfuerzos normales.
- Carga de impacto.
- Diseño para carga de impacto.
- Trabajo y energía bajo una carga única.
- Deflexión bajo una carga única por el método de trabajo energía.
- Trabajo y energía bajo varias cargas.
- Teorema de Castigliano.
- Deflexión por el teorema de Castigliano.
Ejemplos de aplicación de métodos de energía
11 - 3
Atenuador de impactos para un formula SAE
Ejemplos de aplicación de métodos de energía
11 - 4
Atenuador de impactos para un formula SAE
Ejemplos de aplicación de métodos de energía
11 - 5
Impacto frontal de un vehículo contra un poste
Energía de deformación
11 - 6
• Una barra uniforme es sometida a una carga que incrementa lentamente.
• El trabajo elemental realizado por la carga P mientras la barra se estira una pequeña distancia dx es:
el cual es igual al área de ancho dx bajo el diagrama esfuerzo deformación.
elementaldxPdU trabajo
• El trabajo total hecho por una carga para una
deformación x1,
1
0
x
dxPU
11212
121
0
1
xPkxdxkxUx
• En el caso de una deformación elástica,
trabajo total = energía de
deformación
Densidad de energía de deformación
11 - 7
• Para eliminar los efectos del tamaño, evaluar la energía de deformación por unidad de volumen,
ndeformació deenergía de densidaddu
L
dx
A
P
V
U
x
x
1
1
0
0
• Cuando se deja de aplicar la carga en el material el esfuerzo regresa a cero, pero existe una deformación permanente. Sólo se recupera la energía de deformación representada por el área triangular.
• El resto de la energía se disipa en el material en forma de calor.
• La densidad de la energía de deformación, es igual al área bajo la curva hasta el punto
Densidad de energía de deformación
11 - 8
• La energía de deformación resultado de seleccionar R es el módulo de tenacidad.
• La energía por unidad de volumen requerida para causar la ruptura de un material es relacionada con su ductilidad y su resistencia última.
• Si el esfuerzo se mantiene dentro del limite proporcional,
E
EdEu x 22
21
21
01
1
• La densidad de la energía de deformación que resulta de hacer Y es el módulo de resiliencia.
aresilienci de moduloE
u YY
2
2
Ejercicios
11 - 9
Determine el módulo de resiliencia para cada uno de los siguientes metales:
Energía de deformación elástica para esfuerzos normales
11 - 10
• En un elemento con una distribución de esfuerzos no uniforme,
ndeformacio de totalenergia lim0
dVuU
dV
dU
V
Uu
V
• Para valores de u < uY , i.e., debajo del limite proporcional,
ndeformació de elástica energía 2
2
dVE
U x
• Bajo carga axial, dxAdVAPx
L
dxAE
PU
0
2
2
AE
LPU
2
2
• Para una barra de sección transversal uniforme,
Ejercicio
11 - 11
Ejercicio
11 - 12
Ejercicio
11 - 13
En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos son del mismo material y tienen la sección transversal indicada. Determine la energía de deformación de la armadura cuando se aplica la carga P.
Energía de deformación elástica para esfuerzos normales
11 - 14
I
yMx
• Para una viga sometida a una carga de flexión,
dVEI
yMdV
EU x
2
222
22
• Haciendo dV = dAdx,
dxEI
M
dxdAyEI
MdxdA
EI
yMU
L
L
A
L
A
0
2
0
22
2
02
22
2
22
• Para una viga en voladizo con una carga en el extremo,
EI
LPdx
EI
xPU
PxM
L
62
32
0
22
Problema de muestra 11.2
11 - 15
a) Tomando en cuenta únicamente esfuerzos normales debidos a flexión, determine la energía de deformación de la viga para la carga mostrada.
b) Evalué la energía de deformación conociendo que la viga es de un perfil W10x45, P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3 ft, b = 9 ft, y E = 29x106 psi.
SOLUCIÓN:
• Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa.
• Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación.
• Aplicar las condiciones particulares para evaluar la energía de deformación.
• Desarrolle un diagrama de la distribución momento flector.
Problema de muestra 11.2
11 - 16
SOLUCIÓN:
• Determine las reacciones en A y B del diagrama de cuerpo libre de la viga completa.
L
PaR
L
PbR BA
• Desarrollar un diagrama de distribución del momento flexionante.
vL
PaMx
L
PbM 21
Problema de muestra 11.2
11 - 17
vL
PaM
xL
PbM
2
1
BD, Tramo
AD, Tramo
43 in 248ksi1029
in. 108in. 36a
in. 144kips45
IE
b
LP
• Integrar sobre el volumen de la viga para encontrar la energía de deformación.
baEIL
baPbaab
L
P
EI
dxxL
Pa
EIdxx
L
Pb
EI
dvEI
Mdx
EI
MU
ba
ba
2
2223232
2
2
0
2
0
2
0
22
0
21
6332
1
2
1
2
1
22
EIL
baPU
6
222
in 144in 248ksi 10296
in 108in 36kips4043
222
U
kipsin 89.3 U
Carga de impacto
11 - 18
• Considerar una barra que es golpeada en su extremo con un cuerpo de masa m que se mueve con una velocidad v0.
• La barra se deforma por la carga de impacto. Los esfuerzos llegan a un valor máximo m y luego desaparecen.
• Para determinar el esfuerzo máximo m
- Asumir que la energía cinética se transfiere completamente a la estructura, 2
021 mvUm
- Asumir que el diagrama esfuerzo deformación obtenido de un ensayo quasi - estático también es válido para una carga de impacto.
dVE
U mm 2
2
• El valor máximo de la energía de deformación,
• Para el caso de una barra uniforme,
V
Emv
V
EUmm
202
Ejemplo 11.06
11 - 19
Un cuerpo de masa m y velocidad v0 golpea el extremo de la barra no uniforme BCD. Sabiendo que el diámetro de la porción BC es dos veces el diámetro de la porción CD, Determine el valor máximo del esfuerzo normal en la barra.
SOLUCIÓN:
• Debido al cambio en diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme.
• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto.
• Evaluar el máximo esfuerzo resultante de la carga estática Pm.
Ejemplo 11.06
11 - 20
SOLUCIÓN:
• Debido al cambio de diámetro, la distribución de esfuerzos normales no es uniforme.
E
VdV
E
mvU
mm
m
22
22
202
1
• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto.
L
AEUP
AE
LP
AE
LP
AE
LPU
mm
mmmm
5
16
16
5
8
2
2
2 222
• Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm
AL
Emv
AL
EU
A
P
m
mm
20
5
8
5
16
Ejemplo 11.07
11 - 21
Un bloque de peso W se deja caer de una altura h en el extremo libre de una viga en voladizo. Determinar el valor máximo del esfuerzo en la viga.
SOLUCIÓN:
• El esfuerzo normal varía linealmente a lo largo de la viga, también varía linealmente a lo largo de la sección transversal.
• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma energía de deformación que el impacto.
• Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm
Ejemplo 11.07
11 - 22
SOLUCIÓN:
• Los esfuerzos normales varían linealmente a lo largo de la viga, también varían a lo largo de la sección transversal.
E
VdV
E
WhU
mm
m
22
22
• Encontrar la carga estática Pm que produce la misma enegía de deformación que la carga de impacto. Para una viga en voladizo,
3
32
6
6
L
EIUP
EI
LPU
mm
mm
• Evaluar el esfuerzo máximo resultante de la carga estática Pm
2266
cIL
WhE
cIL
EU
I
LcP
I
cM
m
mmm
Ejercicio
11 - 23
Diseño para cargas de impacto
11 - 24
• Para el caso de una barra uniforme,
V
EUmm
2
V
EU
VLcccLcIL
cIL
EU
mm
mm
24
//
6
412
4124
412
2
• Para el caso de una viga en voladizo,
El esfuerzo máximo se reduce por:
• uniformidad de esfuerzos• bajo módulo de elasticidad con
alta resistencia a la cedencia.• gran volumen
• Para el caso de una barra no uniforme,
V
EU
ALLALAV
AL
EU
mm
mm
8
2/52/2/4
5
16
Trabajo y energía para una carga única
11 - 25
• Previamente se encontró la energía de deformación al integrar la densidad de energía sobre el volumen. Para una barra uniforme,
AE
LPdxA
E
AP
dVE
dVuU
L
22
2
21
0
21
2
• La energía de deformación puede ser determinada por el trabajo de una carga P1,
1
0
x
dxPU
• Para una deformación elástica,
11212
121
00
11
xPxkdxkxdxPUxx
• Conociendo la relación entre fuerza y desplazamiento,
AE
LP
AE
LPPU
AE
LPx
2
211
121
11
Trabajo y energía para una carga única
11 - 26
• La energía de deformación puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de cargas individuales,
EI
LP
EI
LPP
yPdyPUy
63
321
31
121
1121
0
1
• Carga transversal en una viga
EI
LM
EI
LMM
MdMU
2
211
121
1121
0
1
• Momento flexionante
Ejercicio
11 - 27
El collar D es liberado de la posición de reposo con la ubicación mostrada en la figura y es detenido por una pequeña placa colocada en la barra ABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual los esfuerzos máximos en la porción BC son de 125MPa.
Trabajo y energía bajo varias cargas
11 - 28
• La deflexión de una viga elástica sometida a dos cargas concentradas,
22212122212
21211112111
PPxxx
PPxxx
• Aplicando las cargas en diferente orden se tiene 2
11112212
22221 2 PPPPU
• Las expresiones de la energía de deformación deben ser equivalentes. Se tiene que (Teorema reciproco de Maxwell).
22222112
21112
1 2 PPPPU
• Calcular la energía de deformación en la viga al evaluar el trabajo realizado al aplicar lentamente la carga P1 y a continuación la carga P2,
Teorema de Castigliano
11 - 29
22222112
21112
1 2 PPPPU
• La energía de deformación para una estructura elástica sometida a dos cargas concentradas,
• Derivando con respecto a las cargas,
22221122
12121111
xPPP
U
xPPP
U
• Teorema de Castigliano: Para una estructura elástica sometida a n cargas, la deflexión xj del punto de aplicación de Pj puede ser expresado como
and j
jj
j M
U
P
Ux
Deflexión por el teorema de Castigliano
11 - 30
• La aplicación del teorema de Castigliano se simplifica si la diferenciación con respecto a la carga Pj se realiza antes de la integración para obtener la energía de deformación U.
• En el caso de una viga,
L
jjj
L
dxP
M
EI
M
P
Uxdx
EI
MU
00
2
2
Ejercicio
11 - 31
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