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MECÁNICA VECTORIAL(ESTÁTICA).CAPÍTULO 3: CUERPOS RÍGIDOS.
SISTEMAS EQUIVALENTES DEFUERZAS.
REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DEFUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Octubre de 2015.
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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3.5.- REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS A UNA FUERZA Y UN PAR.Cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un
sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O.
El sistema equivalente fuerza-par está definido por las ecuaciones
F R (11)
)( F r M M O RO (12)
las cuales expresan que la fuerza R se obtiene sumando todas las fuerzas del sistema,
mientras que el momento del vector de par resultante RO M , denominado momento
resultante del sistema, se obtiene sumando los momentos de todas las fuerzas del sistema
con respecto a O.Una vez que un sistema de fuerzas dado se ha reducido a una fuerza y un par que actúa en
el punto O, dicho sistema puede reducirse a una fuerza y un par actuando en cualquier otro
punto O´. Mientras que la fuerza resultante permanecerá inalterada, el nuevo momento
resultante RO M ´ será igual a la suma de R
O M y el momento con respecto a O´de la fuerza R
unida a O. Entonces se tiene
R s M M R RO 0` (13)
Sistemas equivalente de fuerzas.Dos sistemas de fuerzas son equivalentes si pueden ser reducidos al mismo sistema fuerza-
par en un punto dado O.
Dos sistemas de fuerzas F 1, F 2, F 3,… y F 1´, F 2´, F 3´,… que actúan sobre el mismo cuerpo
rígido son equivalentes si, y sólo si, respectivamente, las sumas de las fuerzas y las sumas
de los momentos con respecto a un punto dado O de las fuerzas de los dos sistemas son
iguales.
´ F F (14)
OO M M ´ (15)
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Ejemplo 3.48. Ejemplo 3.8 del Beer-Johnston. Novena Edición.Una viga de 4.80 m de longitud está sujeta a las
fuerzas mostradas en la figura. Redúzcase el sistema
de fuerzas dado a: a) un sistema equivalente fuerza-
par en A, b) un sistema equivalente fuerza-par en B y
c) una sola fuerza o resultante.
Solución.
Sistema equivalente fuerza-par en A.
Fuerzas individuales (N):
j F 1501 j F 6002 j F 1003 j F 2504
Fuerza resultante:
4321 F F F F F R
)250()100()600()150( j j j j F R
j F R 600
a) Suma de momentos en el punto A.
)8.4(250)8.2(001(1.6)600)0(150 A R
M
N.m1880 A R
M
b) Suma de momentos en el punto B.
)0(250)2(001(3.2)600)8.4(150 B R
M
N.m1000 B R
M
Este resultante también puede obtenerse mediante:
R R R F r M M A B
N600m8.4 N.m1880 B R
M
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N.m1000 B R
M
c) Una sola fuerza o resultante.
j F R 600 Punto de ubicación de la fuerza resultante.
x F M R R A
x6001880
m13.3 x medidos desde el punto A.
En este caso para el cálculo del punto de aplicación de la resultante se tomó como
referencia el punto A, pero también puede realizarse este cálculo tomando como referencia
el punto B.
Ejemplo 3.49. Ejemplo 4.3 del Hibbeler. Décima Edición. Página 117.
Determine el momento resultante de las cuatrofuerzas que actúan sobre la barra mostrada en la
figura.
Solución.
Enfoque escalar.
)º30cos34(40)30ºsen3(20)0(60)2(50 O M
N.m92.333O M
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Ejemplo 3.50. Ejemplo 4.5 del Hibbeler. Décima Edición. Página 125.
Tres fuerzas actúan sobre la barra mostradaen la figura. Determine el momento
resultante que generan con respecto a O y
calcule los ángulos coordenados de
dirección del eje de momento.
Solución.
El momento resultante en el punto O está dado por:
332211 F r F r F r M O R
Vector posición.
Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los
puntos A y B:
)0.5,0( A )2,5,4( B
El vector de posición para cada fuerza es: jr 51 jr 52 k jir 2543
Fuerzas individuales (lb):
k ji F 2040601
j F 502
k ji F 3040803
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Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).
304080
254
0500
050
204060
050
k jik jik ji
M O R
)2404070()0()300100( k jik i M O R
lb.ft)604030( k ji M O R
Módulo del momento resultante: lb.ft10.78O R
M
Dirección del momento resultante: º41.67 º80.120 º80.39
Ejemplo 3.51. Ejemplo 4.14 del Hibbeler. Décima Edición. Página 164.
Reemplace las fuerzas que actúan sobre la pieza
mostrada en la figura por una fuerza resultante y un
momento de par equivalentes actuando en el punto A.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura (a). Se descompuso la fuerza F 2 de 400 N
en sus componentes rectangulares.
a) b)
Fuerzas individuales (N):
i F 1001
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ji ji F 84.28284.28245ºsen400º45cos4002
j F 6003
Fuerza resultante:321 F F F F R
)600()84.28284.282()100( j jii F R
N)84.88284.382( ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N28.962 R F
Dirección de la fuerza resultante: º56.66
Suma de momentos en el punto A.
)4.0(600)3.0(º45cos400(0.8)45ºsen400)0(100 A R
M
N.m13.551 A R
M
En la figura b) se muestra la fuerza resultante actuando en el punto A y el momento
resultante en el punto A.
Ejemplo 3.52. Problema 2/9 del Meriam.
Determinar la resultante de las cuatro
fuerzas y un par que actúan sobre la placa
mostrada.
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Ejemplo 3.53. Problema 4.5 del Bedford.
Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican
a la llave como se muestra. Si se requiere un
momento de 50 N.m para aflojar la tuerca,
cual es el valor necesario de F?
Solución.
Respuesta: 81.1 N.
Ejemplo 3.54. Ejemplo 3.10 del Beer-Johnston. Novena Edición.
Tres cables están unidos a una ménsula,
como se muestra en la figura. Reemplace
las fuerzas que ejercen los cables por un
sistema equivalente fuerza-par en A.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. También se ilustran los vectores posición
para la determinación del momento de cada fuerza.
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321 F F F F R
)200600300()23.1039600()11.70711.707( k ji jik i F R
N)11.50723.43911.1607( k ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N52.1741 R F
Dirección de la fuerza resultante: º66.22 º39.75 º93.106
Par resultante en A (Suma de momentos en el punto A).
332211 F r F r F r M A R
200600300
05.00075.0
023.1039600
01.01.0
11.707011.707
05.00075.0
k jik jik ji
M A R
)4530()92.163()68.17( k ik j M A R
N.m)92.11868.1730( k ji M A R
Módulo del par resultante: N.m91.123 A R
M
Dirección del par resultante: º99.75 º80.81 º32.16
Ejemplo 3.55. Ejemplo 4.15 del Hibbeler. Décima Edición. Página 165.
Un miembro estructural está sometido al momento de
un par M y a las fuerzas F 1 y F 2. Reemplace este
sistema por una fuerza resultante equivalente y el
momento de un par actuando en su base, en el punto
O.
Solución.
Momento resultante en el punto O.
2211 F r F r M M C RO
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Momento en el punto C.
k j M C )(500)(500 53
54
k j M C 300400
Momento debido a las fuerzas individuales.
Vector posición.
Para definir el vector posición de todas las fuerzas, se requieren las coordenadas de los
puntos B y C.
)1,1.0,15.0( B )1,0,0(C
El vector de posición para cada fuerza es:
k jir B 1.015.0 k r C
Fuerzas individuales (N):
k F 8001
CBu F F 22 uCB: vector unitario de la dirección de la fuerza.
Vector CB: jiCB 1.015.0 Módulo del vector CB: 1802.0CB
ji ji
F 48.16672.2491802.0
1.015.03002
Fuerza resultante:
21 F F F R
)48.16672.249()800( jik F R
N)80048.16672.249( k ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N44.854 R F
Dirección de la fuerza resultante: º99.106 º76.78 º44.159
Par resultante en O (Suma de momentos en el punto O).
80000
100
048.16672.249
11.015.0300400
k jik ji
k j M O R
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)0()72.24948.166(300400 jik j M O R
N.m)30072.64948.166( k ji M O R
Módulo del par resultante: N.m75.734 A R M
Dirección del par resultante: º10.103 º16.152 º90.65
Ejercicios propuestos.105. Una viga de 4 m de longitud se somete a una variedad de cargas. a) Reemplace cada
tipo de carga por un sistema equivalente fuerza-par en el extremo A de la viga. b) ¿Cuáles
de las cargas son equivalentes?
(a)(b)
(c)(d)
(e)
(f)
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(g) (h)
Respuesta: a) F R = 600 N ↓, M = 1000 N.m; b) F R = 600 N ↓, M = – 900 N.m; c) F R = 600 N
↓, M = 900 N.m; d) F R = 400 N ↑, M = 900 N.m; e) F R = 600 N ↓, M = – 200 N.m; f) F R =
600 N ↓, M = 800 N.m; g) F R = 1000 N ↓, M = 1000 N.m; F R = 600 N ↓, M = 900 N.m; b)
Cargas c y h.
106. Una viga de 4 m de longitud se carga de la forma
mostrada en la figura. Determine qué carga del
problema 105 es equivalente a esta carga.
Respuesta: Carga f.
107. Determine la fuerza sencilla equivalente y la distancia desde el punto A hasta su línea
de acción para la viga y la carga de a) del problema 105b, b) del problema 105d, c) del problema 105e.
108. Cinco sistemas fuerza-par diferentes
actúan en las esquinas de la placa de metal,
que se ha moldeado en la forma que se
muestra en la figura. Determine cuál de
estos sistemas es equivalente a una fuerza
i F lb)10(
y a un par de momentok j M lb.ft)15(lb.ft)15( ubicado en el
origen.
Respuesta: Sistema fuerza-par en D.
109. Los pesos de dos niños sentados en los extremos
A y B de un balancín son 84 lb y 64 lb,
respectivamente. Determine dónde debe sentarse un
tercer niño si la resultante de las fuerzas de los pesos de
los tres niños debe pasar por C, y si se sabe que el peso
del tercer niño es a) 60 lb, b) 52 lb.
Respuesta: a) 2.00 ft a la derecha de C; b) 2.31 ft a la
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derecha de C.
110. Tres lámparas de escenario se colocan
sobre el tubo mostrado en la figura. El peso
de las lámparas en A y B es de 4.1 lb,
mientras que la lámpara en C pesa 3.5 lb. a)
Si in25d ., determine la distancia desde
D hasta la línea de acción de la resultante de
los pesos de las tres lámparas. b) Determine
el valor de d si la resultante de los pesos
debe pasar por el punto medio del tubo.
Respuesta: a) 39.6 in a la derecha de D; b)33.1 in.
111. Una viga soporta tres cargas de
magnitud dada y una cuarta carga cuya
magnitud está en función de la posición. Si
b = 1.5 m y las cargas se deben reemplazar
por una sola fuerza equivalente, determine
a) el valor de a tal que la distancia desde elsoporte A hasta la línea de acción de la
fuerza equivalente sea máxima, b) la
magnitud de la fuerza equivalente y su
punto de aplicación sobre la viga.
112. El engrane C está rígidamente unido al brazo AB.
Si las fuerzas y los pares mostrados se pueden reducir a
una sola fuerza equivalente en A, determine dichafuerza equivalente y la magnitud del par M.
Respuesta: F R = 72.4 lb, 81.9º, M = 206 lb.ft.
Otras reducciones de un sistema de fuerzas.
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Cuando R = 0, el sistema fuerza-par se reduce a un vector de par RO M . Entonces, el sistema
de fuerzas dado puede ser reducido a un solo par, que recibe el nombre de par resultante
del sistema.Un sistema fuerza-par en O puede ser reemplazado por una sola fuerza R que actúa a lo
largo de una nueva línea de acción si R y RO M son mutuamente perpendiculares. Por tanto,
los sistemas de fuerzas que pueden ser reducidos a una sola fuerza o resultante, son
aquellos sistemas para los cuales la fuerza R y el vector de par RO M son mutuamente
perpendiculares. Aunque, en general , esta condición no se cumplirá para sistemas de
fuerzas en el espacio, si se cumplirá para sistemas constituidos por 1) fuerzas concurrentes,
2) fuerzas coplanares o 3) fuerzas paralelas. Estos tres casos se estudiarán en formaseparada.
1) Fuerzas concurrentes.
Las fuerzas concurrentes están aplicadas en el mismo punto y, por tanto, pueden ser
sumadas directamente para obtener su resultante R. Por consiguiente, éstas siempre se
reducen a una sola fuerza.
2) Las fuerzas coplanares actúan en el mismo plano, el cual se puede suponer que es el
plano de la figura. La suma R de las fuerzas del sistema también estará en el plano de la
figura, mientras que el momento de cada fuerza con respecto a O y, por consiguiente, el
momento resultante RO M , serán perpendiculares a dicho plano. De esta forma, el sistema
fuerza-par en O está constituido por una fuerza R y por un vector de par RO M que son
mutuamente perpendiculares. Estas fuerzas pueden reducirse a una sola fuerza R, moviendo
R en el plano de la figura hasta que su momento con respecto a O sea igual a RO M . La
distancia desde O hasta la línea de acción de R es
R M d RO / (16)
Punto de aplicación de la fuerza resultante.
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Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F 1 de 500 N en
sus componentes rectangulares.
Fuerzas individuales (N):
ji ji F 0.43325060ºsen500º60cos5001
j F 2002
i F 1003
Fuerza resultante: 321 F F F F R
)100()200()0.433250( i j ji F R
N)0.233350( ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N5.420 R F
Dirección de la fuerza resultante: º53.33
Suma de momentos en el punto E.
)5.0(100(2.5)200)4(60ºsen500 E R
M
N.m05.1182 E R
M
Punto de acción de la resultante.
El momento resultante en E es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto ( x) de la viga.
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05.1182233 d
m07.5d
La fuerza resultante del sistema de fuerzas actúa a 5.07 m del punto E.
Comentario: El punto de aplicación de la fuerza resultante se puede determinar también
considerando la suman de momentos con respecto al punto A.
Ejemplo 3.58. Ejemplo 4.17 del Hibbeler. Décima Edición. Página 171.
La grúa mostrada en la figura está sometida
a tres fuerzas coplanares. Reemplace esta
carga por una fuerza resultante equivalente y
especifique en qué punto la línea de acción
de la resultante intersecta la columna AB y
el pescante BC.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descompuso la fuerza F 2 de 400 N en
sus componentes rectangulares.
Fuerzas individuales (N):
i F 1751
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j F 602
ji ji F 200150)(250)(25054
53
3
Fuerza resultante: 321 F F F F R
)200150()60()175( ji ji F R
lb)260325( ji F R
Módulo de la fuerza resultante: lb20.416 R F
Dirección de la fuerza resultante: º66.38
Suma de momentos en el punto A.
)8(200)11(150(3)60)5(175 A R
M
lb.ft745
A R M
Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto ( x, y) del plano.
x y 260325745
Intersección entre la línea de acción de la resultante y la columna AB ( 0 x )
)0(260325745 y
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ft29.2 y
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el pescante BC ( 11 y )
x260)11(325745
ft88.10 x
Ejemplo 3.59. Problema 4.121 del Hibbeler. Décima Edición. Página 177.
Reemplace la carga sobre la estructura por
una sola fuerza resultante. Especifique
dónde intersecta su línea de acción al
miembro CD, medida esta intersección
desde el extremo C.
Solución.
Las fuerzas se han designado como en la figura. Se descomponen las fuerzas F 1 de 500 N y
F 3 de 250 N en sus componentes rectangulares.
Fuerzas individuales (N):
ji ji F 01.43325060ºsen500º60cos5001
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j F 3002
ji ji F 150200)(250)(25053
54
3
Fuerza resultante: 321 F F F F R
)150200()300()01.433250( ji j ji F R
N.m)01.883450( ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N06.991 R F
Dirección de la fuerza resultante: º00.63
Suma de momentos en el punto C.
Obsérvese que se está aplicando un momento de 400 N.m en sentido antihorario (+) en el
punto C. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre
este mismo punto.
)6(150)0(200)3(300(1)01.433)2(250400 C R
M
N.m01.2333C R
M
Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en C es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto ( x, y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto C.
x y 01.88345001.2333
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro CD ( 0 y )
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x01.883)0(45001.2333
m64.2 y
Intersección entre la línea de acción de la resultante y el miembro AB ( 1
x ))1(01.88345001.2333 y
m22.3 y
Ejemplo 3.60. Problema 4.140 del Bedford.
El soporte se somete a tres fuerzas y un par.
Si Ud representa este sistema por una fuerza
F, cual es F?, y dónde su línea de acción seintersecta con el eje x?
Solución.
Se designan los puntos correspondientes a cada aplicación de la fuerza.
Fuerzas individuales.
i F B 200 i F C 400 j F D 180
Fuerza resultante: 321 F F F F R
)180()400()200( jii F R
N)180200( ji F R
Módulo de la fuerza resultante: N07.269 R F
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Dirección de la fuerza resultante: º98.41
Suma de momentos en el punto A.
Obsérvese que se está aplicando un momento de 180 N.m en sentido antihorario (+) en el
punto D. Este momento se debe sumar a los momentos de las fuerzas individuales sobre
este mismo punto.
65.01806.04002.0200140 A R
M
N.m57 A R
M
Línea de acción de la resultante.
El momento resultante en A es equivalente al momento ejercido por la única fuerza en un
punto ( x, y) del plano considerando como el origen del sistema de coordenadas el punto A.
x y 18020057 Intersección entre la línea de acción de la resultante y el eje x ( 0 y )
x180)0(20057
m317.0 y
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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Ejemplo 3.61. Problema 3.114 del Beer-Johnston. Octava Edición.Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de
la superficie del elemento C, ejerce una
fuerza F constante y perpendicular a la
superficie. a) Reemplace F con un sistema
equivalente fuerza-par en el punto D. b)
Para b = 1 ft, h = 2 ft, determine el valor de
x para el cual el momento del sistema
equivalente fuerza-par en D es máximo.
Respuesta: F R = F ,
xh
b
2tan
21 ,
F xhb
xbh xbh M
224
3222
4
)/(2)2(
; b) 0.354
ft.
Solución.
a) El módulo de la fuerza resultante es F R = F . Su dirección es normal a la curva2 xk y .
Ecuación de la curva.
Determinación de k .
Para b x , h y . Al sustituir en la ecuación de la curva:
2bk h
2b
hk
La ecuación de la curva es: 22 x
b
h y .
Fuerza.
La dirección de la fuerza es)(
1tan
x y
Al derivar la ecuación de la curva:
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xb
h y
2
2
xb
h2
2
1tan
xh
b
2tan
2
Sabiendo que xh
b
2tan
2
, se tiene que222
2
)2()(sen
xhb
b
y
222 )2()(
2cos
xhb
xh
.
La fuerza queda expresada como:
F j xhb
bi
xhb
xh F
224
2
224 44
2
Momento.
F r M
Vector posición trazado desde el punto D hacia cualquier punto sobre la línea de
acción de la fuerza aplicada en C.Coordenadas del punto D: ),0( h D
Coordenadas del punto de aplicación de la fuerza:
22
, xb
h xC
Vector posición: jh xb
hi xr
2
2
Momento.
F j xhb
bi xhb
xh jh xb
hi x M
224
2
224
2
244
2
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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F xhb
h xb
h xh
xhb
xb M
224
2
2
224
2
4
2
4
F xhb
xhb
xh xb
M
224
2
2
322
4
22
F xhb
xbh xbh M
224
3222
4
)/(2)2(
b) Para b = 1 ft, h = 2 ft:
F x
x x M
2
3
161
87
Para un valor máximo de M :
0 xd
M d
2/32
42
)161(
256247
x
x x
xd
M d
0)161(
2562472/32
42
x
x x
0256247 42 x x
Al resolver la ecuación anterior:
812 x
De donde:
81 x
354.0 x ft
El momento máximo correspondiente es:
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)(81
max M M
F M 6
21
max
F M 2247.1max
Ejercicios propuestos.
113. Reemplace el sistema de fuerzas que actúa sobre
la estructura por una fuerza y un momento de par
resultante equivalentes que actúen en el punto A.
114. Un par de magnitud M = 54 lb.in y las tres
fuerzas mostradas en la figura se aplican a una
ménsula angular. a) Encuentre la resultante de este
sistema de fuerzas. b) Localice los puntos donde la
línea de acción de la resultante interseca a la línea
AB y a la línea BC.
Respuesta: a) 34 lb, 28.0º; b) AB: 11.64 in a laizquierda de B, BC: 6.20 in debajo de B.
Figura Problemas 114 y 115.
115. Un par M y las tres fuerzas mostradas en la figura se aplican a una ménsula angular.
Encuentre el momento del par si la línea de acción de la resultante del sistema de fuerzas
debe pasar a través de a) del punto A, b) del punto B, c) del punto C.
Respuesta: a) 42.8 lb.in; b) 240 lb.in; c) 0.
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116. Reemplace la carga sobre el marco por una solafuerza resultante. Especifique dónde interseca su línea
de acción, medida desde A, al miembro AB.
117. Una armadura resiste las cargas mostradas en la
figura. Determine la fuerza equivalente a las fuerzas
que actúan sobre la estructura y el punto de
intersección de su línea de acción la línea que pasa por
los puntos A y G.
Respuesta: 773 lb, 79.0º, 9.54 ft a la derecha de A.
118. Las poleas A y B se montan sobre la ménsula
CDEF. La tensión en cada lado de las dos bandas es la
que se muestra en la figura. Reemplace las cuatro
fuerzas por una sola fuerza equivalente y determine
dónde se interseca su línea de acción con el borde
inferior del soporte.
119. Cuatro cuerdas que se encuentran
atadas a una caja ejercen las fuerzas que se
muestran en la figura. Si las fuerzas deben
remplazarse por una sola fuerza equivalente
aplicada en un punto sobre la línea AB,determine a) la fuerza equivalente y la
distancia desde A hasta el punto de
aplicación de la fuerza si º30 , b) el
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Respuesta: a) 0.365 m arriba de G; b) 0.227 m a la
derecha de G.
123. Retome el problema 122, y ahora suponga que P = 60 N.
Respuesta: a) 0.299 m arriba de G; b) 0.259 m a la derecha de G.
124. Un motor de 32 lb se monta sobre el peso.
Encuentre la resultante del peso y las fuerzas ejercidas
sobre la banda, y determine el punto donde la línea de
acción de la resultante interseca con el piso.
125. Cuando el seguidor AB rueda a lo largo de la
superficie del elemento C, ejerce una fuerza constante
y perpendicular a la superficie. a) Reemplace F por un
sistema equivalente fuerza-par en el punto D obtenido
al dibujar la perpendicular desde el punto de contacto
hasta el eje x. b) Para m1a y m2b , determine el
valor de x para el cual el momento del sistema
equivalente fuerza-par en D es máximo.
Respuesta: F R = F ,
xb
a
2tan
21 ,
224
2
32
4
2
xba
a
x xb F
M
;
b) 0.369 m.
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Ejemplo 3.62. Ejemplo 3.11 del Beer-Johnston. Novena Edición.
Una losa de cimentación cuadrada soportalas cuatro columnas mostradas en la figura.
Determine la magnitud y el punto de
aplicación de la resultante de las cuatro
cargas.
Solución.
El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
kips20kips8kips12kips40 R F
j F R kips)80(
Momento resultante en el origen.
0200
1004
080
5010
0120
0010
k jik jik ji
M O R
)80200()8040()120( k ik ik M O R
kips.ft)280240( k i M O R
Punto de aplicación de la resultante.
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08000280240
z x
k ji
k i
k xi z k i 8080280240
z 80240 x80280
ft00.3 z ft50.3 x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)00.3,0,50.3(
Ejemplo 3.63. Ejemplo 4.18 del Hibbeler. Décima Edición. Página 172.La losa que aparece en la figura está
sometida a cuatro fuerzas paralelas.
Determine la magnitud y la dirección de una
fuerza resultante equivalente al sistema dado
de fuerzas y localice su punto de aplicación
sobre la losa.
Solución.
El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
N600 N100 N400 N500 R F
k F R N)1400(
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Momento resultante en el origen.
60000
008
10000
056
40000
0100
k jik jik ji
M O R
)4800()600500()4000( j jii M O R
N.m)42003500( ji M O R
Punto de aplicación de la resultante.
140000
042003500
y x
k ji
ji
j xi y ji 1400140042003500
y14003500 x14004200
m50.2 y m00.3 x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en m)0,50.2,00.3(
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Ejemplo 3.64. Ejemplo 4.19 del Hibbeler. Décima Edición. Página 173.
Tres fuerzas paralelas actúan sobre el bordede la placa circular de cubierta en la figura.
Determine la magnitud y la dirección de una
fuerza resultante equivalente al sistema dado
de fuerzas y localice su punto de aplicación,
P, sobre la placa.
Solución.
El sistema de fuerzas se reduce a un sistema fuerza-par en el origen del sistema de
coordenadas O.
Fuerza resultante.
lb150lb200lb300 R F
k F R N)650(
Momento resultante en el origen.
15000
0º45cos845ºsen8
20000
080
30000
008
k jik jik ji
M O R
)53.84853.848()1600()2400( jii j M O R
lb.ft)47.155147.751( ji M O R
Punto de aplicación de la resultante.
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65000
047.155147.751
y xk ji
ji
j xi y ji 65065047.155147.751
y65047.751 x65047.1551
ft16.1 y ft39.2 x
El punto de aplicación de la fuerza resultante se encuentra en ft)0,16.1,39.2(
Ejemplo 3.65. Ejemplo 2/16 del Meriam.
Determinar la resultante de la fuerza y par
que actúan sobre el sólido rectangular.
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Solución.
Ejemplo 3.66. Ejemplo 2/18 del Meriam.
Reemplace las dos fuerzas y el par por una
fuerza única R aplicada en A y el par
correspondiente.
Solución.
Ejercicios propuestos.
126. Cuatro fuerzas se aplican al componente de
máquina ABDE como se muestra en la figura.
Reemplace estas fuerzas por un sistema equivalente
fuerza-par en A.
Respuesta: N)2500.50420( k ji F R ,
N.m)228.30( k j M .
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127. Dos poleas de 150 mm de diámetro se
montan sobre el eje en línea AD. Las
bandas de las poleas B y C están contenidas
en planos verticales paralelos al plano yz .
Reemplace las fuerzas de las bandas
mostradas por un sistema fuerza-par
equivalente en A.
Respuesta: N)339420( k j F R ,
N.m)9.1099.1631125( k ji M .
128. Al usar un sacapuntas manual, un
estudiante ejerce sobre éste las fuerzas y el
par que se muestran en la figura. a)
Determine las fuerzas ejercidas en B y en C
si se sabe que las fuerzas y el par son
equivalentes a un sistema fuerza-par en A
que consta de la fuerza
k j Ri R y lb)7.0(lb)6.2( y el par
k ji M M x R
A lb.ft)72.0()lb.ft0.1( . b)
Encuentre los valores correspondientes de
R y y M x.
Respuesta: a) lb)50.2( i B ,
lb)700.047.21000.0( k jiC ; b)
lb47.2 y F , lb.ft360.1 x M .
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129. Una paleta sostenida mediante un berbiquí se
utiliza para apretar un tornillo en A. a) Determine las
fuerzas ejercidas en B y C, si se sabe que estas fuerzas
son equivalentes a un sistema fuerza-par en A que
consiste en k R j Ri R z y N)30( y
i M R A N.m)12( . b) Encuentre los valores
correspondientes de R y y R z . c) Determine la
orientación de la ranura en la cabeza del tornillo para la
cual es menos probable que la paleta se resbale, si el
berbiquí se encuentra en la posición mostrada.
Respuesta: a) N)80( k F B ,
N)0.400.30( k i F C ; b) 0 y R F , N0.40 z R F ,
c) Cuando la ranura está en la posición vertical.
130. Un mecánico usa una llave tipo pata de gallo para
aflojar un perno ubicado en C. El mecánico sostiene el
maneral por los puntos A y B, ejerciendo sobre éstos
puntos las fuerzas que se muestran en la figura. Si se
sabe que estas fuerzas son equivalentes a un sistema
fuerza-par en C que consta de la fuerza
k iC )lb4(lb)8( y el par i M C )lb.in360( ,
determine las fuerzas aplicadas en A y B cuando
lb2 z A .
Respuesta: lb)00.20.36600.1( k ji A ,
lb)00.20.3660.9( k ji B .
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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131. Un puntal ajustable BC se utiliza para colocar una
pared en posición vertical. Si el sistema fuerza-par que
se ejerce sobre la pared es tal que R = 21.2 lb y M =
13.25 lb.ft, encuentre un sistema fuerza-par equivalente
en A.
132. Un mecánico reemplaza el sistema de escape de un automóvil al asegurar firmemente
el convertidor catalítico FG a sus ménsulas de montaje H e I para después ensamblar de
manera holgada los mofles y los tubos de escape. Para colocar el tubo de salida AB, lo
empuja hacia adentro y hacia arriba en A mientras lo jala hacia abajo en B. a) Reemplace el
sistema de fuerzas dado por un sistema fuerza-par equivalente en D. b) Determine si el tubo
CD tiende a rotar en el sentido de las manecillas del reloj o en el sentido inverso en relación
con el mofle DE, según lo observa el mecánico.
Figura Problemas 132 y 133.
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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Respuesta: a) N)0.504.28( k j F R , N)13.20.2456.8( k ji M ; b) En contra de
las manecillas del reloj.
133. Para el sistema de escape del problema 132, a) reemplace el sistema de fuerzas dado
por un sistema fuerza-par equivalente en F, donde el tubo de escape está conectado con el
convertidor catalítico, b) determine si el tubo EF tiende a rotar en el sentido de las
manecillas del reloj o en el sentido inverso, según lo observa el mecánico.
Respuesta: a) N)0.504.28( k j F R , N)13.20.244.42( k ji M ; b) En contra de
las manecillas del reloj.
134. El cabezal del taladro radial originalmente estaba
colocado con el brazo AB paralelo al eje z , mientrasque la broca y el portabrocas estaban colocados
paralelos al eje y. El sistema se rotó 25º respecto del eje
y y 20º alrededor de la línea de centros del brazo
horizontal AB, hasta que quedó en la posición
mostrada. El proceso de taladrado comienza al
encender el motor y rotar la manivela hasta que la
broca entra en contacto con la pieza de trabajo.
Reemplace la fuerza y el par ejercidos por el taladro
por un sistema equivalente fuerza-par en el centro O de
la base de la columna vertical.
135. Tres niños se encuentran parados en la balsa de
5×5 m. Si el peso de los niños que están parados en A,
B y C es de 375, 260 y 400 N, respectivamente,
determine la magnitud y el punto de aplicación de laresultante de los tres pesos.
Respuesta: 1035 N, a 2.57 m de OG y 3.05 m de OE.Figura Problemas 135 y 136.
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
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136. Tres niños se encuentran parados en la balsa de 5×5 m. Los pesos de los niños que
están parados en A, B y C son de 375 N, 260 N, y 400 N, respectivamente. Si un cuarto
niño que pesa 425 N se sube a la balsa, determine dónde debe estar parado si los otros niños
permanecen en la posición mostrada y si la línea de acción de la resultante del peso de los
cuatro niños debe pasar por el centro de la balsa.
Respuesta: 2.32 m de OG y 1.165 m de OE.
137. Una base de concreto que tiene forma de
hexágono regular con lados de 12 ft soporta cuatro
cargas sobre sus columnas, como se muestra en la
figura. Determine la magnitud de las cargas adicionales
que deben aplicarse en B y F si la resultante de las seis
cargas debe pasar por el centro de la base.
138. Un grupo de estudiantes carga la plataforma de un
tráiler de 2×3.3 m con dos cajas de 0.66×0.66×0.66 m
y con una caja de 0.66×0.66×1.2 m. Cada una de las
cajas se coloca en la parte posterior del tráiler, de tal
forma que quedan alineadas con la parte trasera de los
costados del tráiler. Determine la carga mínima que los
estudiantes deben colocar en una caja adicional de
0.66×0.66×1.2 m y el sitio en el tráiler donde deben
asegurarla si ninguna parte de las cajas debe salirse de
los costados. Además, suponga que cada caja está
cargada uniformemente y que la línea de acción de la
resultante del peso de las cuatro cajas pasa por el punto
de intersección de las líneas centrales y el eje deltráiler. (Sugerencia: Tomen en cuenta que las cajas
pueden colocarse sobre sus extremos o sobre sus
costados).
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Capítulo 3. Cuerpos rígidos. Sistemas equivalentes de fuerza. Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par.
BIBLIOGRAFÍA.
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ingenieros. Estática, 8a ed., McGraw-Hill/Interamericana Editores, S.A de C.V, México,
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Hibbeler, R. C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 10 ed., Pearson Education de
México, S.A de C.V. México, 2004.Hibbeler, R.C, Mecánica vectorial para ingenieros. Estática, 11 ed., Pearson Education de
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Meriam, J. L y L. G. Kraige. Statics. Seventh Edition. John Wiley & Sons, Inc. Estados
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