¿Qué y cómo aprenden nuestros estudiantes?

Área Curricular

5.° y 6.° grados de Educación Primaria

Matemática

VCiclo

Versión 2015

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MINISTERIO DE EDUCACIÓN Av. De la Arqueología, cuadra 2 - San Borja Lima, Perú Teléfono 615-5800 www.minedu.gob.pe Versión 1.0 Tiraje: 228 100 ejemplares

Elaboración:Nelly Gabriela Rodriguez Cabezudo, Giovanna Karito Piscoya Rojas, Pedro David Collanqui Díaz, Marisol Zelarayan Adauto. María Isabel Díaz Maguiña. SINEACE - Programa de Estándares de Aprendizaje: Gina Patricia Paz Huamán, Lilian Edelmira Isidro Cámac.

Colaboradores:Félix Rosales Huerta, Carlos Ramiro Febres Tapia, Elwin Contreras, Sonia Laquita, Alicia Veiga, José Raúl Salazar La Madrid, Isabel Torres Céspedes, Fernando Escudero, Rodrigo Valera, Andrea Soto.

Cuidado de ediciónFernando Carbajal Orihuela.

Corrección de estilo: Gustavo Pérez Lavado.

Ilustraciones: Gloria Arredondo Castillo.

Diseño y diagramación: David Crispín Cuadros.

Fotografías: Félix Rosales Huerta.

Impreso por:Metrocolor S.A.Av. Los Gorriones 350, ChorrillosLima, Perú © Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la reproducción de este material por cualquier medio, total o parcialmente, sin permiso expreso de los editores. Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú: Nº 2015-01453 Impreso en el Perú / Printed in Peru

En vista de que en nuestra opinión, el lenguaje escrito no ha encontrado aún una manera satisfactoria de nombrar a ambos géneros con una sola palabra, en este fascículo se ha optado por emplear términos en masculino para referirse a ambos géneros.

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Presentación........................................................................................................................... Pág. 5

Introducción .................................................................................................................................... 7

1. Fundamentos y definiciones .................................................................................................................... 8

1.1 ¿Por qué aprender matemática? .................................................................................................... 8

1.2 ¿Para qué aprender matemática? ................................................................................................ 10

1.3 ¿Cómo aprender matemática? ..................................................................................................... 12

2. Competencias y capacidades ............................................................................................................... 16

2.1 Competencias matemáticas .......................................................................................................... 18

1. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ...................................... 18

2. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ........................................................................................................ 20

3. Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización ....................................................................................................................... 22

4 . Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre .................................................................................................................. 24

2.2 Capacidades matemáticas .......................................................................................................... 25

Capacidad 1 : Matematiza situaciones ....................................................................................... 25

Capacidad 2 : Comunica y representa ideas matemáticas ..................................................... 26

Capacidad 3: Elabora y usa estrategias ..................................................................................... 28

Capacidad 4: Razona y argumenta generando ideas matemáticas ...................................... 29

2.3 ¿Cómo se desarrolla las competencias en el V ciclo? .............................................................. 30

2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ..................................... 30

2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio ....................................................................................................... 47

Índice

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2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización ................................................................................................. 58

2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre .................................................................................................................. 69

3. Orientaciones didácticas............................................................................................................... ........ 81

3.1 Estrategias para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad ................................................................................................................ 81

3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas .................................................................... 81

3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita ..................................................................... 86

3.1.3 Estrategias para la resolución de problemas ................................................................... 90

3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio Patrones con transformaciones geométricas ................................................................................................................................... 104

3.2.1 Cubriendo el plano con figuras mediante traslaciones ..................................................105

3.2.2 Estrategia para generalizar patrones ............................................................................... 107

3.2.3 Estrategia de resolución de problemas para problemas de equilibrio .......................... 111

3.2.4 Jugamos a las “vencidas” ...................................................................................................113

3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización .......................................................................115

3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van Hiele ...................................................115

3.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas ........................................................................121

3.4 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre ....................................................................124

3.4.1 Estrategias para resolver problemas estadísticos ............................................................124

3.4.2 Recursos para plantear experimentos aleatorios ..........................................................130

Referencias bibliográficas ...............................................................................................................................132

Anexo 1: Matrices de las cuatro competencias para el quinto grado de primaria .............................134

Anexo 2: Matrices de las cuatro competencias para el sexto grado de primaria. .............................143

Anexo 3: Mapas de Progreso............................................................................................................... ....152

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Las Rutas del Aprendizaje son orientaciones pedagógicas y didácticas para una enseñanza efectiva de las competencias de cada área curricular. Ponen en manos de nosotros, los docentes, pautas útiles para los tres niveles educativos de la Educación Básica Regular: Inicial, Primaria y Secundaria.

Presentan:

• Los enfoques y fundamentos que permiten entender el sentido y las finalidades de la enseñanza de las competencias, así como el marco teórico desde el cual se están entendiendo.

• Las competencias que deben ser trabajadas a lo largo de toda la escolaridad, y las capacidades en las que se desagregan. Se define qué implica cada una, así como la combinación que se requiere para su desarrollo.

• Los estándares de las competencias, que se han establecido en mapas de progreso.

• Los indicadores de desempeño para cada una de las capacidades, por grado o ciclos, de acuerdo con la naturaleza de cada competencia.

• Orientaciones didácticas que facilitan la enseñanza y el aprendizaje de las competencias.

Definiciones básicas que nos permiten entender y trabajar con las Rutas del Aprendizaje:

1. Competencia

Llamamos competencia a la facultad que tiene una persona para actuar conscientemente en la resolución de un problema o el cumplimiento de exigencias complejas, usando flexible y creativamente sus conocimientos y habilidades, información o herramientas, así como sus valores, emociones y actitudes.

La competencia es un aprendizaje complejo, pues implica la transferencia y combinación apropiada de capacidades muy diversas para modificar una circunstancia y lograr un determinado propósito. Es un saber actuar contextualizado y creativo, y su aprendizaje es de carácter longitudinal, dado que se reitera a lo largo de toda la escolaridad. Ello a fin de que pueda irse complejizando de manera progresiva y permita al estudiante alcanzar niveles cada vez más altos de desempeño.

2. Capacidad

Desde el enfoque de competencias, hablamos de «capacidad» en el sentido amplio de «capacidades humanas». Así, las capacidades que pueden integrar una competencia combinan saberes de un campo más delimitado, y su incremento genera nuestro desarrollo competente. Es fundamental ser conscientes de que si

Presentación

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bien las capacidades se pueden enseñar y desplegar de manera aislada, es su combinación (según lo que las circunstancias requieran) lo que permite su desarrollo. Desde esta perspectiva, importa el dominio específico de estas capacidades, pero es indispensable su combinación y utilización pertinente en contextos variados.

3. Estándar nacional

Los estándares nacionales de aprendizaje se establecen en los Mapas de progreso y se definen allí como «metas de aprendizaje» en progresión, para identificar qué se espera lograr respecto de cada competencia por ciclo de escolaridad. Estas descripciones aportan los referentes comunes para monitorear y evaluar aprendizajes a nivel de sistema (evaluaciones externas de carácter nacional) y de aula (evaluaciones formativas y certificadoras del aprendizaje). En un sentido amplio, se denomina estándar a la definición clara de un criterio para reconocer la calidad de aquello que es objeto de medición y pertenece a una misma categoría. En este caso, como señalan los mapas de progreso, se indica el grado de dominio (o nivel de desempeño) que deben exhibir todos los estudiantes peruanos al final de cada ciclo de la Educación Básica con relación a las competencias.

Los estándares de aprendizaje no son instrumentos para homogeneizar a los estudiantes, ya que las competencias a que hacen referencia se proponen como un piso, y no como un techo para la educación escolar en el país. Su única función es medir logros sobre los aprendizajes comunes en el país, que constituyen un derecho de todos.

4. Indicador de desempeño

Llamamos desempeño al grado de desenvoltura que un estudiante muestra en relación con un determinado fin. Es decir, tiene que ver con una actuación que logra un objetivo o cumple una tarea en la medida esperada. Un indicador de desempeño es el dato o información específica que sirve para planificar nuestras sesiones de aprendizaje y para valorar en esa actuación el grado de cumplimiento de una determinada expectativa. En el contexto del desarrollo curricular, los indicadores de desempeño se encuentran asociados al logro de una determinada capacidad. Así, una capacidad puede medirse a través de más de un indicador.

Estas Rutas del Aprendizaje se han ido publicando desde el 2012 y están en revisión y ajuste permanente, a partir de su constante evaluación. Es de esperar, por ello, que en los siguientes años se sigan ajustando en cada una de sus partes. Estaremos muy atentos a tus aportes y sugerencias para ir mejorándolas en las próximas reediciones, de manera que sean más pertinentes y útiles para el logro de los aprendizajes a los que nuestros estudiantes tienen derecho.

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El presente fascículo es la segunda versión de Rutas del Aprendizaje, mejorada y más completa, fruto del trabajo de investigación y validación en las aulas, del que tú formaste parte con tu opinión y tus sugerencias en los diversos talleres y eventos. Esta nueva versión te proporciona pautas para responder a dos preguntas fundamentales: ¿qué enseñar? y ¿cómo enseñar? El qué enseñar se relaciona con los contenidos y las capacidades, y el cómo enseñar, con la variedad de estrategias y recursos que te permitirán generar aprendizajes significativos en los niños.

Sin duda, la matemática cobra mayor significado y se aprende mejor cuando se aplica directamente a situaciones de la vida real. Nuestros estudiantes sienten mayor satisfacción cuando pueden relacionar cualquier aprendizaje matemático nuevo con algo que saben y con la realidad que los rodea. Esa es una matemática para la vida, donde el aprendizaje se genera en el contexto de las relaciones humanas y sus logros van hacia ellas.

Por otro lado, la sociedad actual requiere de ciudadanos reflexivos, críticos, capaces de asumir responsabilidades en su conducción, y la matemática debe ser un medio para ello, formando estudiantes con autonomía, conscientes de qué aprenden, cómo aprenden y para qué aprenden. En este sentido, es muy importante el rol del docente como agente mediador, orientador y provocador de formas de pensar y reflexionar durante las actividades matemáticas. Conscientes de esta responsabilidad, mediante el presente fascículo te brindamos una herramienta pedagógica orientadora para generar esos aprendizajes. Con tal fin, se adopta un enfoque centrado en la resolución de problemas desde el cual, a partir de una situación problemática, se desarrollan las capacidades matemáticas configurando el desarrollo de la competencia.

En el presente fascículo encontrarás:

Capítulo I: los fundamentos teóricos de por qué y para qué se aprende matemática, asumiendo la resolución de problemas como la centralidad del quehacer matemático.

Capítulo II: los elementos curriculares que permiten generar aprendizajes significativos, así como los estándares de aprendizaje que constituyen los hitos o las metas de aprendizaje a donde deben llegar los estudiantes al culminar el V ciclo.

Capítulo III: las orientaciones didácticas en cada una de las competencias que te guiarán para lograr los aprendizajes significativos en los estudiantes.

Finalmente, es necesario señalar que la intención del presente fascículo no es entregar recetas “aplicables” de manera directa y mecánica, sino proporcionar herramientas pedagógicas que, haciendo las adaptaciones convenientes, puedan servir para generar aprendizajes en los niños y así complementen y refuercen tu labor cotidiana.

Introducción

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Fundamentos y definiciones1.1.1 ¿Por qué aprender matemática?

Permite entender el mundo y desenvolvernos en él.

La matemática está presente en diversos espacios de la actividad humana, tales como actividades familiares, sociales, culturales o en la misma naturaleza. También se encuentra en nuestras actividades cotidianas. Por ejemplo, al comprar el pan y pagar una cantidad de dinero por ello, al trasladarnos todos los días al trabajo en determinado tiempo, al medir y controlar la temperatura de algún familiar o allegado, al elaborar el presupuesto familiar o de la comunidad, etc.

Las formas de la naturaleza y las regularidades que se presentan en ella pueden ser comprendidas desde las nociones matemáticas de la geometría y de los patrones. La matemática nos permite entenderlas, representarlas y recrearlas.

Asimismo, el mundo en que vivimos se mueve y cambia rápidamente; por ello, es necesario que nuestra sociedad actual demande una cultura matemática para aproximarse, comprender y asumir un rol transformador en el entorno complejo y global de la realidad. En este sentido, se requiere el desarrollo de habilidades básicas que nos permitan desenvolvernos en la vida cotidiana para relacionarnos con el entorno, con el mundo del trabajo, de la producción y del estudio.

9

De lo dicho se desprende que la matemática está incorporada en las diversas actividades de las personas, de tal manera que se ha convertido en clave esencial para poder transformar y comprender nuestra cultura y generar espacios que propicien el uso, reconocimiento y valoración de los conocimientos matemáticos propios.

En los pueblos originarios también se reconocen prácticas propias y formas de estructurar la realidad como, por ejemplo, agrupar objetos o animales en grupos de 2 o 3, adoptando un sistema de numeración binario o terciario. Ello nos conduce a la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas asumiendo un rol participativo en diversos ámbitos del mundo moderno, pues se requiere el ejercicio de la ciudadanía con sentido crítico y creativo. La matemática aporta en esta perspectiva cuando es capaz de ayudarnos a cuestionar hechos, datos y situaciones sociales, interpretándolas y explicándolas.

Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología, por lo tanto, para el desarrollo de las sociedades.

En la actualidad, las aplicaciones matemáticas ya no representan un patrimonio únicamente apreciable en la física, ingeniería o astronomía, sino que han desencadenado progresos espectaculares en otros campos científicos. Por ejemplo, especialistas médicos leen obras sobre la teoría de la información, los psicólogos estudian tratados de teoría de la probabilidad, etc. Así, existen muchas evidencias para que los más ilustres pensadores y científicos hayan aceptado sin reparos que en los últimos tiempos se ha vivido un intenso periodo de desarrollo matemático.

Diseñar y elaborar una cometa

es una actividad divertida y

mediante la cual se pueden

construir conocimientos

geométricos y de medida.

Fundamentos y definiciones

10

En este contexto, las ciencias se sirven de la matemática como medio de comunicación, pues hay un lenguaje común que es el lenguaje matemático para todas las civilizaciones por muy diferentes que sean, y este saber está constituido por las ciencias y la matemática. La razón está en que las leyes de la naturaleza son idénticas en todas partes. En este sistema comunicativo-representativo está escrito el desarrollo de las demás ciencias; gracias a él ha habido un desarrollo dinámico y combinado de la ciencia-tecnología que ha cambiado la vida del ciudadano moderno.

Al día de hoy, la necesidad de desarrollar competencias y capacidades matemáticas se ha hecho no solo indispensable, sino apremiante para el ejercicio de cualquier actividad científica en la que tanto ciencias como humanidades han recibido ya visiblemente su tremendo impacto.

Promueve una participación ciudadana que demanda toma de decisiones responsables y conscientes.

La formación de ciudadanos implica desarrollar una actitud problematizadora capaz de cuestionarse ante los hechos, los datos y las situaciones sociales; así como sus interpretaciones y explicaciones por lo que se requiere saber más allá de las cuatro operaciones y exige, en la actualidad, la comprensión de los números en distintos contextos, la interpretación de datos estadísticos, etc. El dominio de la matemática para el ejercicio de la ciudadanía requiere no solo conocer el lenguaje matemático y hechos, conceptos y algoritmos, que le permitirá interpretar algunas situaciones de la realidad relacionadas con la cantidad, forma, cambio o la incertidumbre, sino también procesos más complejos como la matematización de situaciones y la resolución de problemas (Callejo de la Vega, 2000).

En virtud de lo señalado, los niños deben aprender matemática porque:

Permite comprender el mundo y desenvolvernos adecuadamente en él.

Es la base para el progreso de la ciencia y la tecnología; por ende, para el desarrollo de las sociedades.

Proporciona las herramientas necesarias para desarrollar una práctica ciudadana responsable y consciente.

1.2 ¿Para qué aprender matemática?La finalidad de la matemática en el currículo es desarrollar formas de actuar y pensar matemáticamente en diversas situaciones, que permitan a los niños interpretar e intervenir en la realidad a partir de la intuición, el planteamiento de supuestos, conjeturas e hipótesis haciendo inferencias, deducciones, argumentaciones y demostraciones; comunicarse y otras habilidades, así como el desarrollo de métodos y actitudes útiles para ordenar, cuantificar y medir hechos y fenómenos de la realidad e intervenir conscientemente sobre ella.

11

El pensar matemáticamente es un proceso complejo y dinámico que resulta de la interacción de varios factores (cognitivos, socioculturales, afectivos, entre otros), el cual promueve en los niños formas de actuar y construir ideas matemáticas a partir de diversos contextos (Cantoral Uriza, 2000). Por ello, para pensar matemáticamente tenemos que ir más allá de los fundamentos de la matemática y la práctica exclusiva de los matemáticos, y tratar de entender que se trata de aproximarnos a todas las formas posibles de razonar, formular hipótesis, demostrar, construir, organizar, comunicar ideas y resolver problemas matemáticos que provienen de un contexto cotidiano, social, laboral, científico, etc.

En este sentido, se espera que los estudiantes aprendan matemática desde los siguientes propósitos:

La matemática es funcional. Se busca proporcionar las herramientas mate-máticas básicas para su desempeño en contexto social, es decir, en la toma de decisiones que orientan su proyecto de vida. Es de destacar aquí la contri-bución de la matemática a cuestiones tan relevantes como los fenómenos po-líticos, económicos, ambientales, de infraestructura, transportes o movimien-tos poblacionales.

La matemática es instrumental. Todas las profesiones requieren una base de conocimientos matemáticos y, en algunas, como en la matemática pura, en la física, en la estadística o en la ingeniería, la matemática es imprescindible.

En la práctica diaria de las ciencias se hace uso de la matemática. Los concep-tos con que se formulan las teorías científicas son esencialmente conceptos matemáticos. Por ejemplo, en el campo biológico, muchas de las caracterís-ticas heredadas en el nacimiento no se pueden prever de antemano: sexo, color de cabello, peso al nacer, estatura, etc. Sin embargo, la probabilidad permite describir estas características.

La matemática es formativa. El desenvolvimiento de las competencias mate-máticas propicia el desarrollo de capacidades, conocimientos, procedimien-tos y estrategias cognitivas, tanto particulares como generales, que promue-van un pensamiento abierto, creativo, crítico, autónomo y divergente.

Así, la matemática posee valores formativos innegables, tales como:

Desarrollar en los niños capacidades y actitudes para determinar hechos, establecer relaciones, deducir consecuencias y, en definitiva, potenciar su autonomía, su razonamiento, la capacidad de acción simbólica, el espíritu crítico, la curiosidad, la persistencia, la imaginación, la creatividad, la sistematicidad, etc.

La utilidad para promover y estimular el diseño, elaboración y apreciación de formas artísticas, a través del material concreto, así como el uso de gráficos y esquemas para elaborar y descubrir patrones y regularidades.

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Estimular el trabajo cooperativo, el ejercicio de la crítica, la participación y colaboración, la discusión y defensa de las propias ideas, y para asumir la toma conjunta de decisiones.

El desarrollo de capacidades para el trabajo científico, la búsqueda, identificación y resolución de problemas.

Las situaciones que movilizan este tipo de conocimiento, enriquecen a los niños al sentir satisfacción por el trabajo realizado al hacer uso de sus competencias matemáticas.

1.3 ¿Cómo aprender matemática?En diversos trabajos de investigación en antropología, psicología social y cognitiva, afirman que los estudiantes alcanzan un aprendizaje con alto nivel de significatividad

cuando se vinculan con sus prácticas culturales y sociales.

Por otro lado, como lo expresó Freudenthal1, esta visión de la práctica matemática escolar no está motivada solamente por la importancia de su utilidad, sino principalmente por reconocerla como una actividad humana; lo que implica que hacer matemática como proceso es más importante que la matemática como un producto terminado.

En este marco, se asume un enfoque centrado en la resolución de problemas con la intención de promover formas de enseñanza y aprendizaje a partir del planteamiento de problemas en diversos contextos. Como señaló Gaulin (2001), este enfoque adquiere importancia debido a que promueve el desarrollo de aprendizajes “a través de”, “sobre” y “para” la resolución de problemas.

1 La educación matemática realista (EMR) fue fundada por el profesor alemán Hans Freudenthal (1905-1990).

“A través de” la resolución de problemas inmediatos y del entorno de los niños, como vehículo para promover el desarrollo de aprendizajes matemáticos, orientados en sentido constructivo y creador de la actividad humana.

“Sobre” la resolución de problemas, que explicita el desarrollo de la comprensión del saber matemático, la planeación, el desarrollo resolutivo estratégico y metacognitivo, es decir, la movilidad de una serie de recursos y de competencias y capacidades matemáticas.

“Para” la resolución de problemas, que involucran enfrentar a los niños de forma constante a nuevas situaciones y problemas. En este sentido, la resolución de problemas es el proceso central de hacer matemática; asimismo, es el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad de la matemática con la realidad cotidiana.

El cambio fundamental

es pasar de un aprendizaje,

en la mayoría de los casos

memorístico de conocimientos

matemáticos (como supuestos

prerrequisitos para aprender

a resolver problemas), a un

aprendizaje enfocado en la

construcción de conocimientos

matemáticos a partir de la

resolución de problemas.

13

Actuar y pensar matemáticamente Resolución de

problemas

Enseñanza

Aprendizaje

Enfoque centrado en la resolución de

problemas

"A través de"

"Sobre la"

"Para la"

Sí, pero menos de 2.

¡Más de una!

Pero debe ser la misma cantidad para todos. ¿Cuántas nos tocan?

El enfoque centrado en la resolución de problemas orienta la actividad matemática en el aula, situando a los niños en diversos contextos para crear, recrear, investigar, plantear y resolver problemas, probar diversos caminos de resolución, analizar estrategias y formas de representación, sistematizar y comunicar nuevos conocimientos, entre otros.

La resolución de problemas como enfoque orienta y da sentido a la educación matemática, en el propósito que se persigue de desarrollar ciudadanos que “actúen y piensen matemáticamente” al resolver problemas en diversos contextos. Asimismo, orienta la metodología en el proceso de la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.

¡Tengo 9 galletas para compartir!

Las repartiremos entre los 6.

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Rasgos esenciales del enfoque

La resolución de problemas debe plantearse en situaciones de contextos diversos, pues ello moviliza el desarrollo del pensamiento matemático. Los estudiantes desarrollan competencias y se interesan en el conocimiento matemático, si le encuentran significado y lo valoran, y pueden establecer la funcionalidad matemática con situaciones de diversos contextos.

La resolución de problemas sirve de escenario para desarrollar competencias y capacidades matemáticas.

La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas. La resolución de problemas sirve de contexto para que los estudiantes construyan nuevos conceptos matemáticos, descubran relaciones entre entidades matemáticas y elaboren procedimientos matemáticos, estableciendo relaciones entre experiencias, conceptos, procedimientos y representaciones matemáticas.

Los problemas planteados deben responder a los intereses y necesidades de los niños. Es decir, deben presentarse retos y desafíos interesantes que los involucren realmente en la búsqueda de soluciones.

La resolución de problemas permite a los niños hacer conexiones entre ideas, estrategias y procedimientos matemáticos que le den sentido e interpretación a su actuar en diversas situaciones.

Un problema es un desafío,

reto o dificultad a resolver y

para el cual no se conoce de

antemano una solución.

Una situación se describe

como un acontecimiento

significativo, que le da

marco al planteamiento de

problemas con cantidades,

regularidades, formas,

etc. Por ello, permite dar

sentido y funcionalidad a las

experiencias y conocimientos

matemáticos que desarrollan

los estudiantes.

El cambio fundamental, entonces, para enseñar y aprender matemática radica en proponer a los niños, en cada sesión de clase, situaciones o problemas que los obliguen todo el tiempo a actuar y pensar matemáticamente.

Ejemplo: Dos hermanos, Koki y Sandra, compran un regalo que cuesta S/. 30. Koki puso los 3

5 de lo que costó. ¿Cuánto dinero puso Koki?

Observamos los gráficos que elabora un niño de clase para resolver el problema:

La barra representa el costo total: S/. 30.

El estudiante al resolver el problema pone en juego lo que sabe sobre la división y las fracciones. Este problema es el punto de partida para construir la noción de fracción de un conjunto.

Cada parte vale S/. 6.Tres partes valen S/. 18.

Dibujaré una barra para representar el precio y luego la dividiré en 5

partes iguales.

15

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16

Competencias y capacidades2.Los niños de hoy necesitan enfrentarse a los diferentes retos que demanda la sociedad, con la finalidad de que se encuentren preparados para superarlos tanto en la actualidad como en el futuro. En este contexto, la educación y las actividades de aprendizaje deben orientarse a que los estudiantes sepan actuar con pertinencia y eficacia en su rol de ciudadanos, lo cual involucra el desarrollo pleno de un conjunto de competencias, capacidades y conocimientos que faciliten la comprensión, construcción y aplicación de una matemática para la vida y el trabajo.

Los niños en la educación básica regular tienen un largo camino por recorrer para desarrollar competencias y capacidades, las cuales se definen como la facultad de toda persona para actuar conscientemente sobre una realidad, sea para resolver un problema o cumplir un objetivo, haciendo uso flexible y creativo de los conocimientos, las habilidades, las destrezas, la información o las herramientas que tengan disponibles y considere pertinentes a la situación (MINEDU, 2014).

Tomando como base esta concepción es que se promueve el desarrollo de aprendizajes en matemática explicitados en cuatro competencias. Estas, a su vez, se describen como el desarrollo de formas de actuar y de pensar matemáticamente en diversas situaciones, donde los niños construyen modelos, usan estrategias y generan procedimientos para la resolución de problemas, apelan a diversas formas de razonamiento y argumentación, realizan representaciones gráficas y se comunican con soporte matemático.

Según Freudenthal (citado por Bressan y otros, 2004), la matemática es pensada como una actividad; así, el actuar matemáticamente consistiría en mostrar predilección por:

Usar el lenguaje matemático para comunicar sus ideas o argumentar sus conclusiones, es

decir, para describir elementos concretos, referidos a contextos específicos de la matemática,

hasta el uso de variables convencionales y lenguaje funcional.

Cambiar de perspectiva o punto de vista y reconocer cuándo una variación en este aspecto

es incorrecta dentro de una situación o un problema dado.

Captar cuál es el nivel de precisión adecuado para la resolución de un problema dado.

Identificar estructuras matemáticas dentro de un contexto (si es que las hay) y abstenerse de

usar la matemática cuando esta no es aplicable.

Tratar la propia actividad matemática como materia prima para la reflexión, con miras a

alcanzar un nivel más alto de pensamiento.

17

De otro lado, pensar matemáticamente se define como el conjunto de actividades

mentales u operaciones intelectuales que llevan al estudiante a entender y dotar de

significado a lo que le rodea, resolver un problema sobre conceptos matemáticos,

tomar una decisión o llegar a una conclusión en los que están involucrados procesos

como la abstracción, justificación, visualización, estimación, entre otros (Cantoral, 2005;

Molina, 2006; Carretero y Ascencio, 2008).

Las competencias propuestas en la Educación Básica Regular se organizan sobre la base

de cuatro situaciones. La definición de estas se sostiene en la idea de que la matemática se

ha desarrollado como un medio para describir, comprender e interpretar los fenómenos

naturales y sociales que han motivado el desarrollo de determinados procedimientos

y conceptos matemáticos propios de cada situación (OECD, 2012). En este sentido, la

mayoría de países ha adoptado una organización curricular basada en estos fenómenos,

en la que subyacen numerosas clases de problemas, con procedimientos y conceptos

matemáticos propios de cada situación. Por ejemplo, fenómenos como la incertidumbre,

que pueden descubrirse en muchas situaciones habituales, necesitan ser abordados con

estrategias y herramientas matemáticas relacionadas con la probabilidad. Asimismo,

fenómenos o situaciones de equivalencias o cambios necesitan ser abordados desde el

álgebra; las situaciones de cantidades se analizan y modelan desde la aritmética o los

números; las de formas, desde la geometría.

Por las razones descritas, las competencias se formulan como actuar y pensar

matemáticamente a través de situaciones de cantidad; regularidad, equivalencia y

cambio; forma, movimiento y localización y gestión de datos e incertidumbre.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de

cantidad.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e

incertidumbre.

Actúa y piensa matemáticamente

en situaciones de forma,

movimiento y localización.

Actúa y piensa matemáticamente

en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio.

MATEMÁTICA

18

Matematiza situaciones

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

Expresar problemas

diversos en modelos

matemáticos relacionados con los números y las

operaciones.

Justificar y validar conclusiones,

supuestos, conjeturas e hipótesis

relacionadas con los números y las

operaciones.

Comunica y representa ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, comparación y estimación usando diversos recursos para resolver problemas.

Expresar el significado de los números y operaciones de manera oral y escrita, haciendo uso de representaciones y lenguaje matemático.

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de

cantidad.

2.1 Competencias matemáticasCOMPETENCIA

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad1

5

6

72 1

214

kg kg 12 kg

12 kg

kg 14 kg

14 kg

S/. 1 S/. 2 S/. 3 S/. 4

yogurt yogurt yogurt

yogurt yogurt yogurt yogurt

café

S/. 5

S/. 2

S/. 3

En la actualidad, la presencia de la información cuantitativa se ha incrementado de forma considerable. Este hecho exige al ciudadano construir modelos de situaciones en las que se manifiesta el sentido numérico y de magnitud, lo cual va de la mano con la comprensión del significado de las operaciones y la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación.

Actuar y pensar en situaciones de cantidad implica resolver problemas relacionados con cantidades que se pueden contar y medir para desarrollar progresivamente el sentido numérico y de magnitud, la construcción del significado de las operaciones, así como la aplicación de diversas estrategias de cálculo y estimación. Toda esta comprensión se logra a través del despliegue y la interrelación de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias para resolver problemas o al razonar y argumentar generando ideas matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.

19

S/. 1,00Kg

S/. 1,00Kg

S/. 3,00Kg

La necesidad de cuantificar y organizar lo que se encuentra en nuestro entorno nos

permite reconocer que los números poseen distinta utilidad en diversos contextos.

Treffers (citado por Jan de Lange) hace hincapié en la importancia de la capacidad

de manejar números y datos, y de evaluar las problemas y situaciones que implican

procesos mentales y de estimación en contextos del mundo real.

Por su parte, The International Life Skills Survey (Policy Research Initiative Statistics

Canada, 2000) menciona que es necesario poseer “un conjunto de habilidades,

conocimientos, creencias, disposiciones, hábitos de la mente, comunicaciones,

capacidades y habilidades para resolver problemas que las personas necesitan para

participar eficazmente en situaciones cuantitativas que surgen en la vida y el trabajo”.

Lo dicho anteriormente pone de manifiesto la importancia de promover aprendizajes

vinculados con el desarrollo de la aritmética asociada a la idea de cantidad, lo cual

implica lo siguiente:

Conocer los múltiples usos que les damos a los números naturales, fracciones y decimales.

Representar los números naturales, fracciones y decimales en sus variadas formas.

Realizar procedimientos como conteo, cálculo y estimación de cantidades.

Comprender las relaciones y las operaciones.

Comprender el sistema de numeración decimal con los números naturales y decimales.

Reconocer patrones numéricos en números de hasta seis cifras.

Utilizar números para representar atributos medibles de objetos del mundo real.

Comprender el significado de las operaciones con cantidades y magnitudes.

20

Matematiza situacionesComunica y representa ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

Actúa y piensa matemáticamente

en situaciones de regularidad, equivalencia y

cambio.

Asociar problemas diversos con modelos que

involucran patrones, igualdades,

desigualdades y relaciones.

Justificar y validar conclusiones,

supuestos, conjeturas e hipótesis respaldadas

en leyes que rigen patrones, propiedades

sobre la igualdad y desigualdad y las

relaciones de cambio.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo, estimación, usando diversos recursos, para resolver problemas.

Expresar el significado de patrones, igualdades, desigualdades y relaciones, de manera oral y escrita haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.

COMPETENCIA

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio2

En el entorno se producen múltiples relaciones temporales y permanentes que se presentan en los diversos fenómenos naturales, económicos, demográficos, científicos, entre otros. Estas relaciones influyen en la vida del ciudadano exigiéndole que desarrolle capacidades matemáticas para interpretarlos, describirlos y modelarlos (OCDE, 2012). La interpretación de los fenómenos supone comprender los diferentes tipos de cambio y reconocer cuándo se presentan con el propósito de utilizar modelos matemáticos para describirlos.

Actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica desarrollar progresivamente la interpretación y generalización de patrones, la comprensión y el uso de igualdades y desigualdades, y la comprensión y el uso de relaciones y funciones. Por lo tanto, se requiere presentar el álgebra no solo como una traducción del lenguaje natural al simbólico, sino también usarla como una herramienta de modelación de distintas situaciones de la vida real.

Las cuatro capacidades de esta competencia se definen de la siguiente manera:

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

21

x x

Ana Bressan (2010) menciona que el descubrimiento de las leyes que rigen patrones, y su reconstrucción con base en estas mismas leyes, cumple un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático. Ambas actividades están vinculadas estrechamente al proceso de generalización, que forma parte del razonamiento inductivo, entendido tanto como pasar de casos particulares a una propiedad común (conjetura o hipótesis), como transferir propiedades de una situación a otra. Asimismo, el estudio de patrones y la generalización de estos abren las “puertas” para comprender la noción de variable y de fórmula, así como para distinguir las formas de razonamiento inductivo y deductivo, y el valor de la simbolización matemática.

La competencia de Actuar y pensar matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio implica promover aprendizajes relacionados con el álgebra en el V ciclo:

Identificar, interpretar y representar regularidades que se reconocen en diversos contextos, incluidos los matemáticos.

Comprender que un mismo patrón se puede hallar en situaciones diferentes, ya sean físicas, geométricas, aleatorias, numéricas, etc.

Generalizar patrones y relaciones usando iconos y símbolos.

Interpretar y representar las condiciones de problemas, mediante igualdades o desigualdades.

Determinar valores desconocidos y establecer equivalencias entre expresiones numéricas y algebraicas.

Identificar e interpretar las relaciones entre dos magnitudes.

Analizar la naturaleza del cambio y modelar situaciones o fenómenos del mundo real mediante tablas y relaciones de proporcionalidad.

22

COMPETENCIA

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización3

En el mundo en que vivimos la geometría está presente en diversas manifestaciones de la cultura y la naturaleza. En nuestro alrededor podemos encontrar una amplia gama de fenómenos visuales y físicos, propiedades de los objetos, posiciones y orientaciones, representaciones de los objetos, su codificación y decodificación (PISA, 2012). Esto nos muestra la necesidad de tener percepción espacial, de comunicarnos en el entorno cotidiano haciendo uso de un lenguaje geométrico, así como de realizar medidas y vincularlas con otros aprendizajes matemáticos. En este sentido, aprender geometría proporciona a la persona, herramientas y argumentos para comprender el mundo; por ello, la geometría es considerada como la herramienta para el entendimiento y es la parte de las matemáticas más intuitiva, concreta y ligada a la realidad (Cabellos Santos, 2006).

Actuar y pensar en situaciones de forma, movimiento y localización implica desarrollar progresivamente el sentido de la ubicación en el espacio, la interacción con los objetos, la comprensión de propiedades de las formas y cómo se interrelacionan, así como la aplicación de estos conocimientos al resolver diversos problemas. Esto involucra el despliegue de las cuatro capacidades: matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias y razonar y argumentar generando ideas matemáticas.

Estas cuatro capacidades matemáticas se interrelacionan entre sí, para lograr que el estudiante sea capaz de desarrollar una comprensión profunda de las propiedades y relaciones entre las formas geométricas, así como la visualización, la localización y el movimiento en el espacio; todo lo cual permite resolver diversos problemas.

23

Matematiza situaciones

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

Comunica y representa ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de

forma, movimiento y localización.

Asociar problemas diversos con

modelos referidos a propiedades de las

formas, localización y movimiento en el

espacio.

Justificar y validar conclusiones,

supuestos, conjeturas e hipótesis respecto

a las propiedades de las formas, sus transformaciones

y localización en el espacio.

Planificar ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos de localización, construcción, medición y estimación, usando diversos recursos para resolver problemas.

Expresar las propiedades de las formas, localización y movimiento en el espacio, de manera oral y escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.

Esta forma de promover aprendizajes relacionados con la geometría involucra lo siguiente:

Usar relaciones espaciales al interpretar y

describir de forma oral y gráfica, trayectos y

posiciones de objetos y personas, para distintas

relaciones y referencias.

Construir y copiar modelos de formas

bidimensionales y tridimensionales, con

diferentes formas y materiales.

Expresar propiedades de figuras y cuerpos

según sus características, para que los

reconozcan o los dibujen.

Explorar afirmaciones acerca de características de las figuras y argumentar

su validez.

Estimar, medir y calcular longitudes, superficies y volumen usando unidades

arbitrarias y convencionales.

908070

6050

40

3020

100

180170

160

140

140

130120

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180180 0

24

Matematiza situaciones

Razona y argumenta generando ideas matemáticas

Comunica y representa ideas matemáticas

Elabora y usa estrategias

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre.

Asociar problemas diversos con

modelos estadísticos y

probabilísticos.

Justificar y validar conclusiones,

supuestos, conjeturas e

hipótesis respaldados en conceptos estadísticos y

probabilísticos.

Expresar el significado de conceptos estadísticos y probabilísticos de manera oral o escrita, haciendo uso de diferentes representaciones y lenguaje matemático.

Planificar, ejecutar y valorar estrategias heurísticas y procedimientos para la recolección y el procesamiento de datos y el análisis de problemas de incertidumbre.

COMPETENCIA

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre4

En la actualidad, nos encontramos en un contexto social cambiante e impredecible, donde la información, el manejo del azar y la incertidumbre juega un papel relevante. En este contexto, la información es presentada de diversas formas; por ejemplo, los resultados de las encuestas se presentan en diagramas y gráficos, motivo por el cual la estadística se convierte en una herramienta para comprender el mundo y actuar sobre él. De otro lado, también se presentan situaciones de azar, impredecibles y de incertidumbre en la que nos sentimos inseguros sobre cuál es la mejor forma de tomar decisiones, es por ello que la probabilidad se presenta como una herramienta matemática para fomentar el pensamiento aleatorio y estas nociones se desarrollarán de forma intuitiva e informal en el nivel primario.

Actuar y pensar en situaciones de gestión de datos e incertidumbre implica desarrollar progresivamente la comprensión sobre la recopilación y el procesamiento de datos, su interpretación y valoración, y el análisis de situaciones de incertidumbre. Esto involucra el despliegue de las capacidades de matematizar situaciones, comunicar y representar ideas matemáticas, elaborar y usar estrategias, razonar y argumentar generando ideas matemáticas a través de sus conclusiones y respuestas.

25

Capacidad 1: Matematiza situaciones

2.2 Capacidades matemáticas

Es la capacidad de expresar en un modelo matemático, un problema reconocido en una situación. En su desarrollo se usa, interpreta y evalúa el modelo matemático, de acuerdo con el problema que le dio origen. Por ello, esta capacidad implica:

Por ejemplo, un estudiante puede expresar un problema en un modelo de solución concreto, gráfico o simbólico.

La matematización destaca la relación entre las situaciones reales y la matemática, resaltando la relevancia del modelo matemático, el cual se define como un sistema que representa y reproduce las características de una situación del entorno. Este sistema está formado por elementos que se relacionan y por operaciones que describen cómo interactúan dichos elementos, haciendo más fácil la manipulación o el tratamiento de la situación (Lesh y Doerr, 2003).

Identificar características, datos, condiciones y variables del problema que permitan construir un sistema de características matemáticas (modelo matemático), de tal forma que reproduzca o imite el comportamiento de la realidad.

Usar el modelo obtenido estableciendo conexiones con nuevas situaciones en las que puede ser aplicable. Esto permite reconocer el significado y la funcionalidad del modelo en situaciones similares a las estudiadas.

Contrastar, valorar y verificar la validez del modelo desarrollado, reconociendo sus alcances y limitaciones.

Mery lleva tres bolsas de ropa a la lavandería, una grande, mediana y otra pequeña. La bolsa grande pesa 6,5 kg. La bolsa grande pesa igual que las otras dos bolsas. La bolsa mediana pesa 4,5 kg. ¿Cuántos kilogramos pesa la otra bolsa de ropa?

Modelo con balanzas

? + 4,5 kg = 6,5 kg

?: peso de la bolsa pequeña

Modelo con esquema

Peso de la bolsa grande

Peso de la bolsa pequeña

Peso de la bolsa mediana

Modelo con una operación

4,5 kg 6,5 kg? 4,5 kg

6,5 kg

?

26

1 Entendemos por representación escrita también lo gráfico y lo visual.

Capacidad 2: Comunica y representa ideas matemáticas

Dibujos e íconos.

Tablas, cuadros, gráficos de barras.

Estructurado: material Base Diez, ábaco, regletas de colores, balanza, etc.No estructurado: semillas, piedritas, palitos, tapas, chapas, etc.

Acciones motrices:juegos de roles y dramatización.

Símbolos, expresiones matemáticas.

Representación pictórica

Representación con material concreto

Representación gráfica

Representación simbólica

Representación vivencial

DIFERENTES FORMAS DE REPRESENTAR

Es la capacidad de comprender el significado de las ideas matemáticas y expresarlas de forma oral y escrita1 usando el lenguaje matemático y diversas formas de representación con material concreto, gráfico, tablas y símbolos, y transitando de una representación a otra.

La comunicación es la forma de expresar y representar información con contenido matemático, así como la manera en que se interpreta (Niss, 2002). Las ideas matemáticas adquieren significado cuando se usan diferentes representaciones y se es capaz de transitar de una representación a otra, de tal forma que se comprende la idea matemática y la función que cumple en diferentes situaciones.

Adaptación: Discover strategic young math students in completently using multiple representations de Anne Marshall (2010).

27

Por ejemplo: representamos 57,95 de diferentes maneras usando material concreto, gráfico o simbólico.

En los primeros grados de la educación primaria, el proceso de construcción del conocimiento matemático se vincula estrechamente con el proceso de desarrollo del pensamiento del niño. Este proceso comienza con un reconocimiento a través de su cuerpo interactuando con el entorno, y con la manipulación del material concreto; se va consolidando cuando el niño pasa a un nivel mayor de abstracción, al representar de manera pictórica y gráfica aquellas nociones y relaciones que fue explorando en un primer momento a través del cuerpo y los objetos. La consolidación del conocimiento matemático, es decir, de conceptos, se completa con la representación simbólica (signos y símbolos) de estos, a través del lenguaje matemático, simbólico y formal.

Para la construcción

del significado de los

conocimientos matemáticos

es recomendable que

los estudiantes realicen

diversas representaciones,

partiendo de aquellas que

son vivenciales hasta llegar

a las gráficas o simbólicas.

En forma concreta

Con billetes y monedas Con el ábaco

En forma gráfica

En forma simbólica

En el tablero de valor posicional: Con sumandos:

D U , d c

5 7 , 9 557 + +9

105

100

10 20 30 40 50 60

57,95 aproximadamente

28

Es la capacidad de planificar, ejecutar y valorar una secuencia organizada de estrategias y diversos recursos, entre ellos las tecnologías de información y comunicación, empleándolos de manera flexible y eficaz en el planteamiento y la resolución de problemas. Esto implica ser capaz de elaborar un plan de solución, monitorear su ejecución, pudiendo incluso reformular el plan en el mismo proceso con la finalidad de resolver el problema. Asimismo, implica revisar todo el proceso de resolución, reconociendo si las estrategias y herramientas fueron usadas de manera apropiada y óptima.

Las estrategias se definen como actividades conscientes e intencionales que guían el proceso de resolución de problemas; estas pueden combinar la selección y ejecución tanto de procedimientos matemáticos como de estrategias heurísticas, de manera pertinente y adecuada al problema planteado.

TRÁNSITO PARA LA ADQUISICIÓN DEL LENGUAJE MATEMÁTICO

Lenguaje coloquial

Lenguaje simbólico

Lenguaje técnico y formal

Capacidad 3: Elabora y usa estrategias

Es importante resaltar que en cada nivel de representación se evidencia ya un nivel de abstracción. Es decir, cuando el niño es capaz de transitar de un material concreto a otro, o de un dibujo a otro, va evidenciando que está comprendiendo las nociones y conceptos y los va independizando del tipo de material que está usando. Para representar un descuento del veinte por ciento de cien, podemos usar material Base Diez, o sino una cuadrícula de 10 x 10 en la que sombreamos 20 cuadritos de 100, también podemos utilizar una representación simbólica como fracción decimal ( 20

100 ) o

con un número decimal (0,20) o usando el símbolo % (20%).

El manejo y uso de las expresiones y símbolos que constituyen el lenguaje matemático, se va adquiriendo de forma gradual en el mismo proceso de construcción de conocimientos. Conforme el estudiante va experimentando o explorando las nociones y las relaciones, va expresándolas de forma coloquial al principio, para luego pasar al lenguaje simbólico y, finalmente, dar paso a expresiones más técnicas y formales que permitan expresar con precisión las ideas matemáticas y que además responden a una convención.

29

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31

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agosto septiembre

Calendario enero febrero marzo

abril mayo

diciembre

julio

octubre noviembre

junio

La capacidad Elabora y usa estrategias implica que los estudiantes:

Elaboren y diseñen un plan de solución.

Seleccionen y apliquen procedimientos y estrategias de diversos tipos (heurísticos, de cálculo mental o escrito).

Realicen una valoración de las estrategias, procedimientos y los recursos que fueron empleados; es decir, que reflexione sobre su pertinencia y si le fueron útiles.

Es la capacidad de plantear supuestos, conjeturas e hipótesis de implicancia matemática mediante diversas formas de razonamiento, así como de verificarlos y validarlos usando argumentos. Para esto, se debe partir de la exploración de situaciones vinculadas a las matemáticas, a fin de establecer relaciones entre ideas y llegar a conclusiones sobre la base de inferencias y deducciones que permitan generar nuevas ideas matemáticas.

La capacidad Razona y argumenta generando ideas matemáticas implica que el estudiante:

Explique sus argumentos al plantear supuestos, conjeturas e hipótesis. Observe los fenómenos y establezca diferentes relaciones matemáticas. Elabore conclusiones a partir de sus experiencias. Defienda sus argumentos y refute otros, sobre la base de sus conclusiones.

Capacidad 4: Razona y argumenta generando

ideas matemáticas

Profesora, una regleta rosada representa la mitad del

terreno, entonces la fracción es 1

2.

También dos regletas rojas son 24 .

Al simplificar equivale a 12

.

Maestra, yo encontré: 48 , pero al

simplificar equivale a 12

.

¿Cómo han resuelto el problema?

Usando tapas lo resolví más rápido.

Mi estrategia es más fácil. Explícame

cómo lo has resuelto tú.

¿Y si en vez de un cuarto hubiera sido

un quinto?Voy a intentar

resolverlo de otra manera para ver si

sale igual.

30

2.3 ¿Cómo se desarrollan las competencias en el V ciclo?

2.3.1 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

Los niños en este ciclo, se enfrentan a situaciones y problemas de contextos sociales y comerciales, por ejemplo a situaciones de compra-venta, de descuentos, problemas de reparto de cantidades, problemas en las que se informa de asuntos relacionados con cantidades expresados en millones, entre otros. Así mismo, tienen la necesidad de manejar con mayor precisión el peso de los objetos y orginizarse a nivel personal haciendo uso del tiempo.

Es por ello que en este ciclo, actuar y pensar matemáticamente en situaciones de cantidad implica que los estudiantes realicen acciones orientadas a matematizar situaciones al plantear relaciones y expresarlas en modelos de solución aditivos y multiplicativos con naturales, fracciones y decimales; comunicar y representar ideas matemáticas sobre el significado de los números naturales mayores de seis cifras, fracciones, decimales y porcentajes, y sobre las diferentes formas de representar estos números; elaborar y usar estrategias y procedimientos de cálculo escrito y mental para resolver problemas; y razonar y argumentar al establecer conjeturas sobre las propiedades de los números y operaciones. En este afán es importante la consolidación de ideas y conceptos fundamentales de la matemática, como el sistema de numeración decimal al trabajar con decimales hasta el centésimo.

Es importante mencionar que en este ciclo se da inicio al estudio de los decimales y porcentajes a partir de las fracciones decimales, pero además se relacionan los números decimales con el sistema de numeración decimal, lo cual significa un paso más hacia la noción de números racionales.

Karina 0,9 mPedro 1,5 mIván 1,2 mEsther 1,3 mIngrid 0,7 m

Talla de los estudiantes del grupo 1

31

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rale

s,

expr

esio

nes

deci

mal

es,

fracc

iona

rias

o po

rcen

taje

s,

y lo

s re

laci

ona

con

mod

elos

ad

itivo

s3 y

mul

tiplic

ativ

os4 .

Det

erm

ina

en q

ué o

tras

situ

acio

nes

es a

plic

able

. Des

crib

e,

utili

zand

o el

le

ngua

je

mat

emát

ico,

su

co

mpr

ensi

ón

sobr

e el

sig

nific

ado

de l

a eq

uiva

lenc

ia e

ntre

fra

ccio

nes,

de

cim

ales

y p

orce

ntaj

es y

la n

oció

n de

pot

enci

a; c

ompa

ra

y es

tima

la m

asa

de o

bjet

os e

n un

idad

es c

onve

ncio

nale

s,

y la

dur

ació

n de

eve

ntos

en

min

utos

y s

egun

dos.

Ela

bora

y

empl

ea d

iver

sas

repr

esen

taci

ones

de

una

mis

ma

idea

m

atem

átic

a,

con

gráf

icos

y

sím

bolo

s;

rela

cion

ándo

las

entre

sí.

Elab

ora

y ej

ecut

a un

pla

n or

ient

ado

a ex

perim

enta

r o

reso

lver

pro

blem

as, e

mpl

eand

o es

trate

gias

heu

rístic

as,

proc

edim

ient

os d

e cá

lcul

o y

estim

ació

n co

n po

rcen

taje

s us

uale

s5 y

núm

eros

nat

ural

es,

fracc

ione

s y

deci

mal

es;

estim

ar, m

edir

dire

cta

o in

dire

ctam

ente

la m

asa

de o

bjet

os

y la

dur

ació

n de

eve

ntos

; con

apo

yo d

e re

curs

os. C

ompa

ra

los

proc

edim

ient

os y

est

rate

gias

em

plea

das

en d

istin

tas

reso

luci

ones

. Est

able

ce c

onje

tura

s so

bre

proc

edim

ient

os,

prop

ieda

des

de lo

s nú

mer

os y

las

oper

acio

nes

traba

jada

s,

y la

s ju

stifi

ca u

sand

o ej

empl

os o

con

traej

empl

os

Dis

crim

ina

info

rmac

ión

e id

entif

ica

rela

cion

es n

o ex

plíc

itas

en s

ituac

ione

s re

ferid

as a

det

erm

inar

cuá

ntas

vec

es u

na

cant

idad

con

tiene

o e

stá

cont

enid

a en

otra

y a

umen

tos

o de

scue

ntos

suc

esiv

os,

y la

s ex

pres

a m

edia

nte

mod

elos

re

ferid

os a

ope

raci

ones

, m

últip

los

o di

viso

res,

aum

ento

s y

porc

enta

jes.

Sel

ecci

ona

y us

a el

mod

elo

más

per

tinen

te

a un

a si

tuac

ión

y co

mpr

ueba

si e

ste

le p

erm

itió

reso

lver

la.

Expr

esa

usan

do

term

inol

ogía

s,

regl

as

y co

nven

cion

es

mat

emát

icas

6 , su

com

pren

sión

sob

re l

as p

ropi

edad

es

de l

as o

pera

cion

es c

on n

úmer

os e

nter

os y

rac

iona

les,

y

varia

cion

es p

orce

ntua

les;

med

ir la

mas

a de

obj

etos

en

ton

elad

as y

la

dura

ción

de

even

tos

en d

écad

as y

si

glos

. El

abor

a y

empl

ea d

iver

sas

repr

esen

taci

ones

de

una

mis

ma

idea

mat

emát

ica

usan

do t

abla

s y

sím

bolo

s;

rela

cion

ándo

las

entre

sí.

Dis

eña

y eje

cuta

un

plan

orie

ntad

o a

la in

vest

igac

ión

y re

solu

ción

de

prob

lem

as e

mpl

eand

o es

trate

gias

heu

rístic

as,

proc

edim

ient

os p

ara

calc

ular

y

estim

ar c

on p

orce

ntaj

es,

núm

eros

ent

eros

, ra

cion

ales

y

nota

ción

exp

onen

cial

; est

imar

y m

edir

la m

asa,

el t

iem

po

y la

tem

pera

tura

con

uni

dade

s co

nven

cion

ales

; con

apo

yo

de d

iver

sos

recu

rsos

. Ev

alúa

ven

taja

s y

desv

enta

jas

de

las

estra

tegi

as,

proc

edim

ient

os m

atem

átic

os y

rec

urso

s us

ados

. For

mul

a y

just

ifica

con

jetu

ras

refe

ridas

a re

laci

ones

nu

mér

icas

o p

ropi

edad

es d

e op

erac

ione

s ob

serv

adas

en

situ

acio

nes

expe

rimen

tale

s; e

ide

ntifi

ca d

ifere

ncia

s y

erro

res

en u

na a

rgum

enta

ción

.

1 P

robl

emas

PA

EV: C

ambi

o 5

y 6,

Com

para

ción

e ig

uala

ción

3 y

4.

2 Pr

oble

mas

mul

tiplic

ativ

os (p

ropo

rcio

nalid

ad s

impl

e)3

Pro

blem

as P

AEV

: Com

para

ción

e ig

uala

ción

5 y

6.

4 P

robl

emas

mul

tiplic

ativ

os c

onoc

idos

com

o de

pro

duct

o ca

rtesi

ano.

5 (10

%, 2

0%, 2

5%, 5

0%, 7

5%)

6 C

onve

ncio

nes

mat

emát

icas

: p.e

j: co

nven

ir qu

e el

cer

o es

múl

tiplo

de

todo

s lo

s nú

mer

os.

Mat

riz:

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de c

antid

ad

32

1 (P

AEV

) Pro

blem

as a

ditiv

os d

e ca

mbi

o, c

ompa

raci

ón e

igua

laci

ón 5

y 6

.2

Pro

blem

as a

ditiv

os d

e do

s o

más

eta

pas

que

com

bine

n pr

oble

mas

de

com

bina

ción

- co

mbi

naci

ón, c

ombi

naci

ón-c

ambi

o, c

ombi

naci

ón -

com

para

ción

, com

bina

ción

–ig

uala

ción

, etc

.3

(PA

EV) P

robl

emas

adi

tivos

de

igua

laci

ón 3

y 4

.4

Pro

blem

as d

e va

rias

etap

as q

ue c

ombi

nen

prob

lem

as a

ditiv

os c

on p

robl

emas

mul

tiplic

ativ

os.

5 Pr

oble

mas

de

varia

s et

apas

que

com

bine

n pr

oble

mas

adi

tivos

con

pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

. Pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

de

com

bina

ción

-mul

tiplic

ació

n y

com

bina

ción

-div

isió

n o

prod

ucto

car

tesi

ano.

6 Po

r eje

mpl

o, s

ituac

ione

s du

ales

con

gan

anci

as-p

érdi

das,

ingr

esos

-rei

nteg

ros;

y s

ituac

ione

s re

lativ

as c

on te

mpe

ratu

ra, n

úmer

o de

índi

ces

y cr

onol

ogía

.

CO

MPE

TEN

CIA

: AC

TÚA

Y P

IEN

SA M

ATE

MÁ

TIC

AM

ENTE

EN

SIT

UA

CIO

NES

DE

CA

NTI

DA

D

MATEMATIZA SITUACIONES

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

úmer

os

natu

rale

s

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

de

una

etap

a1 , ex

pres

ándo

los

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

de

hast

a cu

atro

cifr

as.

Em

plea

un

mod

elo

de s

oluc

ión

aditi

va a

l pla

ntea

r o re

solv

er u

n pr

oble

ma

en s

u co

ntex

to.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on n

úmer

os

natu

rale

s

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es n

o ex

plíc

itas

en p

robl

emas

adi

tivos

de

una

eta

pa3 ,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

con

núm

eros

nat

ural

es.

U

sa u

n m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a en

su

cont

exto

.

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e do

s o

más

et

apas

con

núm

eros

nat

ural

es

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

adi

tivos

de

dos

o m

ás e

tapa

s2 que

co

mbi

nen

acci

ones

de

junt

ar-

junt

ar, j

unta

r-ag

rega

r-qu

itar,

junt

ar-c

ompa

rar,

junt

ar-ig

uala

r ex

pres

ándo

las

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

con

núm

eros

na

tura

les.

Prob

lem

as d

e va

rias

etap

as c

on

núm

eros

nat

ural

es

Pl

ante

a re

laci

ones

adi

tivas

y

mul

tiplic

ativ

as e

n pr

oble

mas

de

varia

s et

apas

4 que

com

bine

n ac

cion

es d

e ag

rega

r, qu

itar,

junt

ar, c

ompa

rar,

igua

lar,

repe

tir, r

epar

tir o

agr

upar

una

ca

ntid

ad; e

xpre

sánd

olas

en

un m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

y

mul

tiplic

ativ

a co

n nú

mer

os

natu

rale

s.

Prob

lem

as

de

varia

s et

apas

co

n nú

mer

os n

atur

ales

.

In

terp

reta

rela

cion

es a

ditiv

as

y m

ultip

licat

ivas

con

dat

os n

o ex

plíc

itos,

en

prob

lem

as d

e va

rias

etap

as5 ,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

que

com

bine

n la

s cu

atro

op

erac

ione

s co

n nú

mer

os

natu

rale

s.

Prob

lem

as c

on n

úmer

os e

nter

os

Re

cono

ce d

atos

y re

laci

ones

no

exp

lícita

s en

situ

acio

nes

dual

es y

rela

tivas

6 , al

exp

resa

r un

mod

elo

usan

do n

úmer

os

ente

ros

y su

s op

erac

ione

s.

Se

lecc

iona

un

mod

elo

rela

cion

ado

a nú

mer

os e

nter

os

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a en

situ

acio

nes

dual

es

y re

lativ

as.

33

1

Pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

sim

ple,

pro

blem

as d

e co

mpa

raci

ón-

ampl

ifica

ción

o c

ompa

raci

ón d

e la

la fo

rma

“vec

es m

ás q

ue”.

Prob

lem

as d

e or

gani

zaci

ones

rect

angu

lare

s.2

P

robl

emas

mul

tiplic

ativ

os d

e pr

opor

cion

alid

ad s

impl

e: d

e re

parto

no

exac

to,

anál

isis

del

resi

duo,

pro

blem

as d

e ite

raci

ón (“

Esto

y en

el n

úmer

o 23

8. D

oy s

altit

os p

ara

atrá

s de

12

en 1

2. ¿

A q

ué n

úme-

ro

lleg

o m

ás c

erca

no a

l 0?)

. Pro

blem

as d

e ut

iliza

ción

de

la re

laci

ón: D

= d

.q +

r, r

< d

3

(PA

EV) P

robl

emas

mul

tiplic

ativ

os d

e co

mpa

raci

ón q

ue re

quie

ran

redu

cir u

na m

agni

tud,

o c

ompa

rar d

e la

form

a “v

eces

men

os q

ue”.

4

Pro

blem

as d

e an

ális

is d

el re

sidu

o, p

robl

emas

de

utili

zaci

ón d

e la

rela

ción

: D =

d.q

+ r,

r <

d. P

robl

emas

par

a re

cons

truir

el r

esto

de

la d

ivis

ión.

5

Prob

lem

as r

ecur

sivo

s qu

e im

pliq

uen

por e

jem

plo:

un

cajó

n co

ntie

ne 6

caj

as c

on 6

est

uche

s de

6 lá

pice

s ca

da u

no. P

robl

emas

de

prod

ucto

s de

med

ida

que

impl

ique

n el

áre

a d

e un

cua

drad

o y

el

volu

men

del

cub

o.6

P

robl

emas

que

impl

ique

n el

uso

de

múl

tiplo

s y

divi

sore

s de

núm

eros

nat

ural

es, b

usca

r div

isor

es c

omun

es e

ntre

var

ios

núm

eros

o m

últip

los

com

unes

a v

ario

s nú

mer

os,

desc

ompo

sici

ón m

ultip

li-ca

ti- v

a de

un

núm

ero.

MATEMATIZA SITUACIONESC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o G

rado

Prim

er G

rado

de

Secu

ndar

ia

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

núm

eros

na

tura

les

O

rgan

iza

dato

s en

pro

blem

as1 ,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

mul

tiplic

ativ

o co

n nú

mer

os n

atur

ales

has

ta c

uatro

ci

fras.

Re

cono

ce d

atos

rele

vant

es

en p

robl

emas

2 y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

de

divi

sion

es e

xact

as e

inex

acta

s co

n nú

mer

os n

atur

ales

has

ta

con

cuat

ro c

ifras

.

Re

laci

ona

dato

s en

pro

blem

as3,

qu

e im

pliq

uen

acci

ones

de

redu

cir u

na c

antid

ad,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

de m

itad,

terc

ia, e

tc.

con

cant

idad

es d

e ha

sta

cuat

ro

cifra

s.

Re

laci

ona

un m

odel

o de

so

luci

ón m

ultip

licat

ivo

a pr

oble

mas

de

dive

rsos

co

ntex

tos.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

núm

eros

na

tura

les

In

terp

reta

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s en

pro

blem

as d

e di

visi

ón4 ,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de

solu

ción

con

núm

eros

nat

ural

es.

U

sa u

n m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

o m

ultip

licat

iva

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a.

Prob

lem

as d

e po

tenc

ia c

uadr

ada

ycú

bica

O

rden

a da

tos

en p

robl

emas

re

curs

ivos

y d

e pr

oduc

tos

de

med

idas

5 y lo

s ex

pres

a en

m

odel

os re

ferid

os a

l cua

drad

o y

cubo

de

un n

úmer

o na

tura

l.

A

plic

a m

odel

os re

ferid

os a

la

pot

enci

ació

n al

pla

ntea

r y

reso

lver

pro

blem

as

rela

cion

ados

con

la p

oten

cia

cuad

rada

y c

úbic

a.

Pote

ncia

ción

O

rden

a da

tos

de c

antid

ades

y

mag

nitu

des

en s

ituac

ione

s de

regu

larid

ad y

los

expr

esa

en m

odel

os re

ferid

os a

la

pote

ncia

ción

con

exp

onen

te

posi

tivo.

U

sa m

odel

os re

ferid

os a

la

pot

enci

ació

n al

pla

ntea

r y

reso

lver

pro

blem

as e

n si

tuac

ione

s de

regu

larid

ad.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as6 y

lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

rela

cion

ado

a m

últip

los

y di

viso

res

de u

n nú

mer

o.

A

plic

a m

odel

os re

ferid

os a

los

múl

tiplo

s y

divi

sore

s co

mun

es

de u

n nú

mer

o.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s

Re

cono

ce d

atos

y re

laci

ones

no

expl

ícita

s, y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o re

laci

onad

o a

múl

tiplo

s y

divi

sore

s.

Em

plea

el m

odel

o de

sol

ució

n m

ás p

ertin

ente

al r

esol

ver

prob

lem

as re

laci

onad

os a

m

últip

los

y di

viso

res.

34

MATEMATIZA SITUACIONESC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o G

rado

Prim

er G

rado

de

Secu

ndar

ia

Prob

lem

as c

on fr

acci

ones

Id

entif

ica

dato

s en

pro

blem

as1

que

impl

ique

n re

parti

r una

ca

ntid

ad e

n fo

rma

equi

tativ

a,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de

solu

ción

con

frac

cion

es u

sual

es

con

deno

min

ador

es 2

,4,8

,3,6

,5

y 10

.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on fr

acci

ones

Id

entif

ica

dato

s en

pro

blem

as2

que

impl

ique

n pa

rtir e

l tod

o o

la u

nida

d en

par

tes

igua

les,

ex

pres

ándo

los

en u

n m

odel

o de

so

luci

ón a

ditiv

o co

n fra

ccio

nes

usua

les.

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en

prob

lem

as d

e un

a et

apa3 ,

exp

resá

ndol

os e

n un

m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

con

fra

ccio

nes.

Em

plea

un

mod

elo

de

solu

ción

re

ferid

o a

las

fracc

ione

s co

mo

parte

todo

o re

parto

al p

lant

ear

o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

Prob

lem

as c

on fr

acci

ones

com

o re

parto

y

med

ida.

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

4 que

im

pliq

uen

repa

rtir,

med

ir lo

ngitu

des,

par

tir s

uper

ficie

s;

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de

solu

ción

con

frac

cion

es.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on fr

acci

ones

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en

prob

lem

as d

e un

a et

apa5 ,

exp

resá

ndol

os e

n un

m

odel

o de

sol

ució

n ad

itiva

con

fra

ccio

nes.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

fra

ccio

nes

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as6 ,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de

solu

ción

mul

tiplic

ativ

o de

una

fra

cció

n po

r un

natu

ral.

Em

plea

un

mod

elo

de

solu

ción

ad

itivo

o m

ultip

licat

ivo

con

fra

ccio

nes

al p

lant

ear o

reso

lver

un

pro

blem

a.

Prob

lem

as

con

fracc

ione

s co

mo

coci

ente

y c

omo

oper

ador

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as7

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de

solu

ción

con

frac

cion

es c

omo

coci

ente

.

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as8

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de

solu

ción

con

frac

cion

es c

omo

oper

ador

.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

fra

ccio

nes

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

mul

tiplic

ativ

o en

tre

fracc

ione

s.

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

en p

robl

emas

que

impl

ique

n re

parti

r, pa

rtir u

na lo

ngitu

d o

supe

rfici

e y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n de

div

isió

n en

tre u

na fr

acci

ón y

un

ente

ro.

Em

plea

un

mod

elo

de

solu

ción

ad

itivo

o m

ultip

licat

ivo

con

fracc

ione

s al

pla

ntea

r o re

solv

er

un p

robl

ema.

1 Pr

oble

mas

de

repa

rto e

n la

s cu

ales

el r

esto

se

repa

rta e

quita

tivam

ente

.2

Prob

lem

as q

ue im

pliq

uen

parti

r una

uni

dad

en p

arte

s ig

uale

s (n

oció

n de

frac

ción

com

o pa

rte to

do).

3 (P

AEV

) Pro

blem

as a

ditiv

os d

e ca

mbi

o o

com

para

ción

.4

Pro

blem

as d

e fra

ccio

nes

que

impl

ican

repa

rto, p

robl

emas

de

med

ida

que

impl

ique

n co

mpa

raci

ón d

e lo

ngitu

des

y ár

eas.

5 (P

AEV

) Pro

blem

as a

ditiv

os d

e ca

mbi

o, c

ompa

raci

ón e

igua

laci

ón.

6 Pr

oble

mas

mul

tiplic

ativ

os d

e pr

opor

cion

alid

ad s

impl

e de

repe

tició

n de

una

med

ida.

Pro

blem

as d

e ár

ea.

7

Prob

lem

as d

e fra

ccio

nes

que

impl

ican

reco

noce

r que

la fr

acci

ón e

s un

coc

ient

e: ¿

exis

te u

na n

úmer

o na

tura

l que

mul

tiplic

ado

por 6

, dé

com

o re

sulta

do 8

?¿Y

una

fracc

ión?

¿Cuá

l es

el re

sulta

do d

e di

vidi

r 8 e

ntre

6?.

8 Pr

oble

mas

de

fracc

ione

s co

mo

oper

ador

que

impl

ican

reco

noce

r la

fracc

ión

de u

n co

njun

to o

una

can

tidad

dis

cret

a (c

onju

nto

de o

bjet

os, p

or e

jem

plo:

¼ d

e 28

car

amel

os).

Prob

lem

as q

ue im

pliq

uen

la fr

acci

ón u

na c

antid

ad c

ontin

ua (u

na s

uper

ficie

, una

long

itud,

el t

iem

po, p

or e

jem

plo:

¼ d

e ho

ra, ¼

de

kiló

met

ro)

35

1 Pr

oble

mas

adi

tivos

de

una

o m

ás e

tapa

s qu

e im

pliq

uen

com

bina

r pro

blem

as d

e ca

mbi

o-ca

mbi

o, c

ambi

o-co

mbi

naci

ón, c

ambi

o-co

mpa

raci

ón, e

tc.;

con

núm

eros

dec

imal

es h

asta

el c

enté

sim

o.2

Prob

lem

a de

var

ias

etap

as q

ue im

pliq

uen

oper

acio

nes

com

bina

das

con

núm

eros

dec

imal

es h

asta

el c

enté

sim

o.3

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

sim

ple

de re

petic

ión

de u

na m

edid

a, d

e co

mpa

raci

ón d

e am

plifi

caci

ón y

redu

cció

n. P

robl

emas

de

área

s qu

e im

pliq

uen

med

idas

en

núm

eros

dec

ima-

les.

4

Prob

lem

as P

AEV

: Com

para

ción

e ig

uala

ción

5 y

6.

MATEMATIZA SITUACIONES

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on d

ecim

ales

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

en p

robl

emas

adi

tivos

1 , y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o de

so

luci

ón a

ditiv

o co

n de

cim

ales

ha

sta

el c

enté

sim

o.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

deci

mal

es

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

no e

xplíc

itas,

en

prob

lem

as d

e va

rias

etap

as2 ,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

aditi

vo q

ue c

ombi

nen

las

cuat

ro

oper

acio

nes

con

deci

mal

es.

Id

entif

ica

dato

s en

pro

blem

as3 ,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

mul

tiplic

ativ

o co

n de

cim

ales

.

Dec

imal

es

Re

cono

ce re

laci

ones

en

prob

lem

as a

ditiv

os d

e co

mpa

raci

ón e

igua

laci

ón4 c

on

deci

mal

es y

frac

cion

es, y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o.

U

sa m

odel

os a

ditiv

os c

on

deci

mal

es a

l pla

ntea

r y re

solv

er

prob

lem

as d

e co

mpa

raci

ón e

ig

uala

ción

.

Prop

orci

onal

idad

Re

cono

ce re

laci

ones

en

tre m

agni

tude

s en

pr

oble

mas

mul

tiplic

ativ

os d

e pr

opor

cion

alid

ad y

lo e

xpre

sa

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n.

U

sa m

odel

os re

ferid

os a

la

prop

orci

onal

idad

dire

cta

al

reso

lver

pro

blem

as.

Porc

enta

jes

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re

los

dato

s en

pro

blem

as,

expr

esán

dolo

s en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

con

por

cent

ajes

us

uale

s.

Em

plea

un

mod

elo

de s

oluc

ión

refe

rido

a po

rcen

taje

s us

uale

s al

cr

ear o

reso

lver

pro

blem

as.

Porc

enta

jes

Re

laci

ona

cant

idad

es y

m

agni

tude

s en

situ

acio

nes

y lo

s ex

pres

a en

mod

elos

de

aum

ento

s y

desc

uent

os

porc

entu

ales

.

U

sa u

n m

odel

o de

sol

ució

n ba

sado

en

aum

ento

s y

desc

uent

os p

orce

ntua

les

al

plan

tear

y re

solv

er p

robl

emas

.

C

ompr

ueba

si e

l mod

elo

usad

o o

desa

rrol

lado

per

miti

ó re

solv

er e

l pr

oble

ma.

36

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Núm

eros

nat

ural

es

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

los

núm

eros

nat

ural

es

en c

onte

xtos

de

la v

ida

diar

ia

(pes

o, ti

empo

, sue

ldos

, et

ique

tas,

etc

.).

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón d

e nú

mer

os d

e ha

sta

cuat

ro c

ifras

, en

la re

cta

num

éric

a y

en e

l ta

bler

o po

sici

onal

.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es d

e nú

mer

os h

asta

cua

tro c

ifras

en

form

a co

ncre

ta, p

ictó

rica,

gr

áfic

a y

sim

bólic

a1 .

Núm

eros

nat

ural

es

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

los

núm

eros

has

ta

seis

cifr

as e

n di

vers

os c

onte

xtos

de

la v

ida

diar

ia (s

ueld

os,

dist

anci

as, p

resu

pues

tos

com

unal

es y

regi

onal

es, a

foro

de

un

loca

l, et

c.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

de n

úmer

os h

asta

sei

s ci

fras

en fo

rma

conc

reta

, pic

tóric

a,

gráf

ica

y si

mbó

lica2 .

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

el

orde

n de

núm

eros

de

hast

a se

is

cifra

s.

Núm

eros

nat

ural

es

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

los

núm

eros

may

ores

de

sei

s ci

fras

en d

iver

sos

cont

exto

s de

la v

ida

diar

ia

(dis

tanc

ias,

pre

supu

esto

s,

prec

ios

de c

asas

, pre

mio

s de

lo

tería

, etc

.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es d

e nú

mer

os m

ayor

es d

e se

is c

ifras

en

form

a si

mbó

lica3 .

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

el

orde

n de

núm

eros

may

ores

de

seis

cifr

as.

Núm

eros

ent

eros

Ex

pres

a el

sig

nific

ado

del

sign

o de

l núm

ero

ente

ro e

n si

tuac

ione

s di

vers

as.

Ex

pres

a en

form

a gr

áfic

a y

sim

bólic

a la

s re

laci

ones

de

orde

n en

tre n

úmer

os e

nter

os

empl

eand

o la

rect

a nu

mér

ica.

Tiem

po y

pes

o

D

escr

ibe

la d

urac

ión,

est

imac

ión

y

com

para

ción

de

even

tos

usan

do a

ños,

mes

es, h

ora,

1/2

ho

ra o

1/4

de

hora

.

Ex

pres

a la

med

ida,

est

imac

ión

y la

com

para

ción

del

pes

o de

ob

jeto

s en

uni

dade

s of

icia

les

(gra

mo

y ki

logr

amo)

y fr

acci

ón

de u

na m

edid

a, c

omo

1/2

kg,

1/4

kg.

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

frac

cion

es u

sual

es

en c

onte

xtos

de

med

ida

(pes

o,

tiem

po, l

ongi

tud,

cap

acid

ad,

supe

rfici

e, e

tc.).

Tiem

po y

pes

o

D

escr

ibe

la d

urac

ión,

es

timac

ión

y co

mpa

raci

ón d

e ev

ento

s em

plea

ndo

min

utos

y

segu

ndos

.

Ex

pres

a la

med

ida,

est

imac

ión

y la

com

para

ción

del

pes

o de

ob

jeto

s en

uni

dade

s of

icia

les

(gra

mo

y ki

logr

amo)

usa

ndo

sus

equi

vale

ncia

s y

nota

cion

es.

Ex

pres

a la

med

ida

de la

te

mpe

ratu

ra e

n fo

rma

vive

ncia

l, co

ncre

ta, p

ictó

rica,

grá

fica

y si

mbó

lica.

Tiem

po y

pes

o

D

escr

ibe

la d

urac

ión,

est

imac

ión

y co

mpa

raci

ón d

e ev

ento

s em

plea

ndo

años

, déc

adas

y

sigl

os.

Ex

pres

a la

med

ida,

est

imac

ión

y la

com

para

ción

del

pes

o de

ob

jeto

s en

uni

dade

s of

icia

les

usan

do s

us e

quiv

alen

cias

y

nota

cion

es m

ás u

sual

es.

Ex

pres

a pr

oced

imie

ntos

de

med

ida

de p

eso

y te

mpe

ratu

ra,

entre

otro

s, c

on e

xpre

sion

es

deci

mal

es.

Mul

tiplic

ació

n y

divi

sión

Ex

pres

a m

edia

nte

ejem

plos

su

com

pren

sión

sob

re la

s pr

opie

dade

s de

la m

ultip

licac

ión

y di

visi

ón.

Div

isió

n

Ex

pres

a co

n su

s pr

opia

s pa

labr

as lo

que

com

pren

de d

el

prob

lem

a.

Ex

pres

a m

edia

nte

ejem

plos

su

com

pren

sión

sob

re la

s pr

opie

dade

s de

la d

ivis

ión.

Pote

ncia

ción

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, p

ictó

ricas

, grá

ficas

y

sim

bólic

as d

e la

pot

enci

a cu

adra

da y

cúb

ica

de u

n nú

mer

o na

tura

l.

Pote

ncia

ción

D

escr

ibe

las

cara

cter

ístic

as d

e la

po

tenc

iaci

ón, c

onsi

dera

ndo

su

base

y e

xpon

ente

con

núm

eros

na

tura

les.

Re

pres

enta

de

form

a gr

áfic

a y

sim

bólic

a la

s po

tenc

ias

con

expo

nent

es p

ositi

vos.

1 M

ater

ial c

oncr

eto

(ába

co, y

upan

a, m

oned

as y

bill

etes

), di

bujo

s, g

ráfic

os (r

ecta

num

éric

a) o

repr

esen

taci

ón s

imbó

lica

(núm

eros

, pal

abra

s, c

ompo

sici

ón y

des

com

posi

ción

adi

tiva

y m

ultip

licat

iva,

val

or

posi

cion

al e

n m

illar

es, c

ente

nas,

dec

enas

y u

nida

des)

.2

Mat

eria

l con

cret

o (á

baco

, mon

edas

y b

illet

es),

dibu

jos,

grá

ficos

(rec

ta n

umér

ica)

o re

pres

enta

ción

sim

bólic

a (n

úmer

os, p

alab

ras,

com

posi

ción

y d

esco

mpo

sici

ón a

ditiv

a y

mul

tiplic

ativ

a, v

alor

pos

icio

-na

l en

cent

ena,

dec

ena

y un

idad

de

mill

ar, c

ente

nas,

dec

enas

y u

nida

des)

.3

Sim

bólic

a (n

úmer

os, p

alab

ras,

com

posi

ción

y d

esco

mpo

sici

ón a

ditiv

a y

mul

tiplic

ativ

a, v

alor

pos

icio

nal e

n m

illon

es, c

ente

na, d

ecen

a y

unid

ad d

e m

illar

; cen

tena

s, d

ecen

as y

uni

dade

s).

37

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICASC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o G

rado

Prim

er G

rado

de

Secu

ndar

ia

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, g

ráfic

as y

sim

bólic

as1

de lo

s m

últip

los

y di

viso

res

de

un n

úmer

o, m

ínim

o co

mún

m

últip

lo y

máx

imo

com

ún

divi

sor.

Ex

pres

a el

sig

nific

ado

de

múl

tiplo

, div

isor

, núm

eros

pr

imos

, com

pues

tos

y di

visi

bles

.

U

tiliz

a la

crib

a de

Era

tóst

enes

pa

ra e

xpre

sar l

os n

úmer

os

prim

os y

com

pues

tos

infe

riore

s a

un n

úmer

o na

tura

l cua

lqui

era.

Frac

cion

es y

sus

ope

raci

ones

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

las

fracc

ione

s us

uale

s en

div

erso

s co

ntex

tos

de la

vid

a di

aria

(rec

etas

, med

idas

de

long

itud,

tiem

po, e

tc.).

Frac

cion

es y

sus

ope

raci

ones

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

las

fracc

ione

s en

di

vers

os c

onte

xtos

de

la v

ida

diar

ia (r

ecet

as, m

edid

as d

e lo

ngitu

d, c

apac

idad

, tie

mpo

, pr

ecio

s, e

tc.).

Frac

cion

es

El

abor

a di

vers

as

repr

esen

taci

ones

de

la fr

acci

ón

de u

n co

njun

to.

Re

pres

enta

el o

rden

de

fracc

ione

s y

deci

mal

es e

n la

re

cta

núm

eric

a.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, pic

tóric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a2 de

las

fracc

ione

s co

mo

parte

de

un to

do, c

omo

repa

rto, n

úmer

os m

ixto

s,

fracc

ione

s ho

mog

énea

s y

hete

rogé

neas

, fra

ccio

nes

usua

les

equi

vale

ntes

3 .

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, pic

tóric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a4 de

las

fracc

ione

s pr

opia

s, im

prop

ias,

núm

eros

m

ixto

s y

fracc

ión

de u

na

cant

idad

con

tinua

.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, g

ráfic

as y

sim

bólic

as

de lo

s si

gnifi

cado

s de

las

fracc

ione

s y

sus

oper

acio

nes

(div

isió

n).

O

rgan

iza

dato

s en

tabl

as

para

exp

resa

r rel

acio

nes

de

prop

orci

onal

idad

dire

cta

entre

m

agni

tude

s.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón

y or

den

de la

s fra

ccio

nes

usua

les

con

igua

l y d

istin

to

deno

min

ador

; con

mat

eria

l co

ncre

to y

grá

fico.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

or

den

de la

s fra

ccio

nes

prop

ias

y nú

mer

os m

ixto

s, c

on s

opor

te

conc

reto

y g

ráfic

o.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón

y or

den

de la

s fra

ccio

nes

deci

mal

es5 c

on s

opor

te c

oncr

eto

y gr

áfic

o.

Ex

pres

a la

s ca

ract

erís

ticas

de

las

fracc

ione

s eq

uiva

lent

es,

prop

ias

e im

prop

ias.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, pic

tóric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a de

los

sign

ifica

dos

de la

adi

ción

y s

ustra

cció

n co

n fra

ccio

nes

de ig

ual

deno

min

ador

.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, pic

tóric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a de

los

sign

ifica

dos

de la

adi

ción

y s

ustra

cció

n co

n fra

ccio

nes.

1 M

ater

ial c

oncr

eto

(obj

etos

, reg

leta

s de

col

ores

, bas

e di

ez),

pict

óric

o, g

ráfic

a (d

esco

mpo

sici

ones

rect

angu

lare

s, ta

bler

o ci

en, r

ecta

num

éric

a, d

iagr

amas

de

Venn

) y s

imbó

licas

.2

Mat

eria

l con

cret

o (re

glet

as d

e co

lore

s, ti

ras

de fr

acci

ones

equ

ival

ente

s, fr

acci

ones

equ

ival

ente

s ci

rcul

ares

, dob

lado

del

pap

el,),

dib

ujos

, grá

ficos

(fig

uras

, rec

ta n

umér

ica)

o re

pres

enta

ción

sim

bólic

a (n

úmer

os, p

alab

ras,

frac

cion

es m

enor

es y

may

ores

que

la u

nida

d).

3 Fr

acci

ones

equ

ival

ente

s co

n la

s fra

ccio

nes

usua

les

(den

omin

ador

es 2

,4,8

,3,6

,5 y

10.

Por

eje

mpl

o: ½

=2/

4=4/

8; 1

/3=

2/6;

1/5

=2/

10)

4

Mat

eria

l con

cret

o (re

glet

as d

e co

lore

s, ti

ras

de fr

acci

ones

equ

ival

ente

s lin

eale

s y

circ

ular

es),

dibu

jos,

grá

ficos

(rec

ta n

umér

ica)

o re

pres

enta

ción

sim

bólic

a (n

úmer

os, p

alab

ras,

not

ació

n de

frac

cion

es).

5 Fr

acci

ones

dec

imal

es s

on a

quel

las

cuyo

s de

nom

inad

ores

es

una

pote

ncia

de

10. P

or e

jem

plo:

1/1

0, 1

/100

, 1/1

000,

etc

.

38

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Núm

eros

dec

imal

es

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

los

deci

mal

es e

n di

vers

os c

onte

xtos

de

la v

ida

diar

ia (m

edid

as d

e lo

ngitu

d,

capa

cida

d, ti

empo

, etc

.) y

en

el s

iste

ma

mon

etar

io n

acio

nal

(bill

etes

y m

oned

as).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, grá

fica

y si

mbó

lica

de lo

s de

cim

ales

has

ta

el c

enté

sim

o y

de s

us

equi

vale

ncia

s.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

or

den

de lo

s de

cim

ales

has

ta e

l ce

ntés

imo

en la

rect

a nu

mér

ica,

en

el t

able

ro p

osic

iona

l y s

egún

el

val

or p

osic

iona

l de

sus

cifra

s.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, pic

tóric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a de

los

sign

ifica

dos

de la

adi

ción

y s

ustra

cció

n de

de

cim

ales

has

ta e

l cen

tési

mo.

Núm

eros

dec

imal

es

Ex

pres

a en

form

a or

al o

es

crita

, el u

so d

e lo

s nú

mer

os

deci

mal

es h

asta

el m

ilési

mo

y fra

cció

n de

cim

al e

n di

vers

os

cont

exto

s de

la v

ida

diar

ia

(rece

tas,

med

idas

muy

pe

queñ

as, e

tc.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, p

ictó

ricas

, grá

ficas

y

sim

bólic

as1 de

los

núm

eros

de

cim

ales

has

ta e

l milé

sim

o y

sus

equi

vale

ncia

s.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

or

den

de lo

s de

cim

ales

has

ta e

l m

ilési

mo

en la

rect

a nu

mér

ica,

en

el t

able

ro p

osic

iona

l y s

egún

el

val

or p

osic

iona

l de

sus

cifra

s.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, p

ictó

ricas

, grá

ficas

y

sim

bólic

as d

e lo

s si

gnifi

cado

s de

la m

ultip

licac

ión

o di

visi

ón

con

deci

mal

es.

Porc

enta

jes

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

porc

enta

jes

más

us

uale

s2 en

dive

rsos

con

text

os

de la

vid

a di

aria

(rec

etas

, di

stan

cias

, ofe

rtas,

etc

.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

s, p

ictó

ricas

, grá

ficas

y

sim

bólic

as3 d

e lo

s po

rcen

taje

s m

ás u

sual

es.

Porc

enta

jes

Re

pres

enta

aum

ento

s o

desc

uent

os p

orce

ntua

les

empl

eand

o di

agra

mas

o

gráf

icos

.

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

aum

ento

o d

escu

ento

po

rcen

tual

, exp

resa

ndo

el

sign

ifica

do d

el p

orce

ntaj

e.

ELABORA Y USA ESTRATEGIAS

Pr

opon

e un

a se

cuen

cia

de a

ccio

nes

orie

ntad

as a

ex

perim

enta

r o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pro

blem

as.

D

iseñ

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

la in

vest

igac

ión

y re

solu

ción

de

prob

lem

as.

Núm

eros

nat

ural

es

Re

aliz

a pr

oced

imie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar y

est

imar

co

n nú

mer

os n

atur

ales

has

ta

cuat

ro c

ifras

con

apo

yo d

e m

ater

ial c

oncr

eto.

Núm

eros

nat

ural

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar y

est

imar

o

redo

ndea

r con

núm

eros

na

tura

les.

Núm

eros

nat

ural

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a re

aliz

ar o

pera

cion

es c

on

núm

eros

ent

eros

.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

par

a re

solv

er

prob

lem

as c

on n

úmer

os

ente

ros.

1 M

ater

ial c

oncr

eto

(mat

eria

l bas

e di

ez, r

egle

tas)

, grá

fica

(ába

co, b

ase

diez

, cua

dríc

ula

de 1

0 x1

0, d

iagr

amas

de

tiras

) y s

imbó

lica

(tabl

ero

de v

alor

pos

icio

nal,

valo

r pos

icio

nal d

e su

s ci

fras,

0, 7

5 =

3/4

)2

Porc

enta

jes

usua

les:

1%

, 10%

, 20

%, 2

5%, 5

0%, 7

5%3

Mat

eria

l con

cret

o (m

ater

ial b

ase

diez

), gr

áfic

a (c

uadr

ícul

a de

10

x10,

dia

gram

as d

e tir

as) y

sim

bólic

a (n

otac

ión

y su

s eq

uiva

lenc

ias:

0, 7

5 =

3/4

= 7

5%)

39

ELABORA Y USA ESTRATEGIASC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o G

rado

Prim

er G

rado

de

Secu

ndar

ia

Tiem

po y

pes

o

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

y

recu

rsos

par

a m

edir,

es

timar

, com

para

r y c

alcu

lar

equi

vale

ncia

s al

reso

lver

pr

oble

mas

sob

re la

dur

ació

n de

l tie

mpo

y e

l pes

o de

los

obje

tos.

Tiem

po y

pes

o

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

med

ida,

est

imac

ión

y co

nver

sión

al

reso

lver

pro

blem

as q

ue

impl

ique

n es

timar

, med

ir di

rect

a o

indi

rect

amen

te e

l tie

mpo

y

peso

de

los

obje

tos.

Tiem

po y

pes

o

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

med

ida,

est

imac

ión

y co

nver

sión

al

reso

lver

pro

blem

as q

ue

impl

ique

n es

timar

, med

ir di

rect

a o

indi

rect

amen

te e

l tie

mpo

y

peso

de

los

obje

tos.

Núm

eros

nat

ural

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a re

aliz

ar o

pera

cion

es c

on

núm

eros

ent

eros

.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

par

a re

solv

er

prob

lem

as c

on n

úmer

os

ente

ros.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

núm

eros

nat

ural

es

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

com

o ha

cer u

n es

quem

a,

busc

ar re

gula

ridad

es, h

acer

an

alog

ías

al re

solv

er p

robl

emas

ad

itivo

s o

mul

tiplic

ativ

os d

e un

a o

varia

s et

apas

con

núm

eros

na

tura

les

con

cant

idad

es y

m

agni

tude

s (ti

empo

y p

eso)

.

Em

plea

pro

pied

ades

de

las

oper

acio

nes

y pr

oced

imie

ntos

o

estra

tegi

as d

e cá

lcul

o m

enta

l y

escr

ito p

ara

mul

tiplic

ar y

di

vidi

r núm

eros

nat

ural

es c

on

resu

ltado

s ha

sta

cuat

ro c

ifras

.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

núm

eros

nat

ural

es

Em

plea

pro

pied

ades

o la

je

rarq

uía

de la

s op

erac

ione

s co

mbi

nada

s co

n y

sin

paré

ntes

is c

on n

úmer

os

natu

rale

s, a

l res

olve

r pro

blem

as

aditi

vos

o m

ultip

licat

ivos

de

varia

s et

apas

.

Prob

lem

as d

e po

tenc

iaci

ón y

múl

tiplo

s y

divi

sore

s

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

al r

esol

ver

prob

lem

as re

laci

onad

os a

po

tenc

ias

cuad

rada

s y

cúbi

cas.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as,

el M

CD

y e

l mcm

par

a re

solv

er

prob

lem

as s

impl

es d

e m

últip

los

y di

viso

res

con

núm

eros

na

tura

les.

Em

plea

ope

raci

ones

de

mul

tiplic

ació

n en

tre p

oten

cias

de

una

mis

ma

base

al r

esol

ver

prob

lem

as.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

al r

esol

ver

prob

lem

as re

laci

onad

os a

po

tenc

ias

de b

ase

natu

ral y

ex

pone

nte

ente

ro.

Em

plea

el M

CD

y e

l mcm

pa

ra re

solv

er p

robl

emas

de

tradu

cció

n si

mpl

e y

com

plej

a co

n na

tura

les

y fra

ccio

nes.

Re

aliz

a pr

oced

imie

ntos

de

desc

ompo

sici

ón p

olin

ómic

a co

n m

últip

los

de lo

s nú

mer

os

natu

rale

s al

reso

lver

pro

blem

as.

Frac

cion

es

Re

aliz

a pr

oced

imie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar y

est

imar

co

n fra

ccio

nes

usua

les

y fra

ccio

nes

equi

vale

ntes

, con

ap

oyo

de m

ater

ial c

oncr

eto.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

o pr

oced

imie

ntos

1 par

a su

mar

y

rest

ar fr

acci

ones

usu

ales

co

n de

nom

inad

ores

igua

les

y di

fere

ntes

, y fr

acci

ones

mix

tas.

Frac

cion

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar y

ord

enar

con

fra

ccio

nes

y fra

cció

n de

cim

al.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

o pr

oced

imie

ntos

par

a su

mar

y

rest

ar a

l res

olve

r pro

blem

as

con

fracc

ione

s he

tero

géne

as o

fra

cció

n de

un

conj

unto

.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

(fr

acci

ones

equ

ival

ente

s y

algo

ritm

os) p

ara

sum

ar, r

esta

r y

mul

tiplic

ar fr

acci

ones

.

Frac

cion

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

o

estra

tegi

as d

e cá

lcul

o pa

ra

reso

lver

pro

blem

as c

on

fracc

ione

s.

1 Es

trate

gias

heu

rístic

as c

omo

hace

r una

sim

ulac

ión

con

mat

eria

l con

cret

o, d

obla

do d

el p

apel

, hac

er u

n es

quem

a, u

n di

bujo

. En

este

cic

lo s

e su

gier

e tra

baja

r la

adic

ión

y su

stra

cció

n de

frac

cion

es c

on

fracc

ione

s eq

uiva

lent

es c

on a

poyo

con

cret

o (re

glet

as d

e co

lore

s, ti

ras

de fr

acci

ones

equ

ival

ente

s, fr

acci

ones

circ

ular

es) y

grá

fico

para

pro

pici

ar la

com

pren

sión

con

sen

tido

sobr

e el

cál

culo

y e

vita

r la

mec

aniz

ació

n si

n re

flexi

ón.

40

ELABORA Y USA ESTRATEGIAS

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Núm

eros

dec

imal

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar,

estim

ar y

re

dond

ear n

úmer

os d

ecim

ales

al

ent

ero

más

pró

xim

o.

Em

plea

est

rate

gias

o re

curs

os

para

ubi

car y

est

able

cer

equi

vale

ncia

s en

tre u

na

fracc

ión,

fra

cció

n de

cim

al y

un

deci

mal

(1/1

0 =

0,1

; 35

/100

= 3

/10

+ 5

/10

0) y

ent

re

dife

rent

es u

nida

des

de lo

ngitu

d

(1 m

5 c

m =

1, 0

5 m

).

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as1 y

pr

oced

imie

ntos

o e

stra

tegi

as d

e cá

lcul

o pa

ra s

umar

y re

star

con

de

cim

ales

exa

ctos

y fr

acci

ones

de

cim

ales

.

Núm

eros

dec

imal

es

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar,

redo

ndea

r nú

mer

os d

ecim

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a lo

s dé

cim

os, c

enté

sim

os y

ubi

car

núm

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dec

imal

es e

ntre

dos

nú

mer

os d

ecim

ales

dad

os.

Em

plea

est

rate

gias

o re

curs

os

para

est

able

cer e

quiv

alen

cias

y

conv

ersi

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ent

re d

ecim

ales

, fra

cció

n de

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al, f

racc

ión

o po

rcen

taje

s y

entre

dife

rent

es

unid

ades

de

mas

a o

long

itud.

(0

,25

kg =

20/

100

+ 5

/10

0 =

25

/100

= 1

/4 k

g =

250

g)

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

o e

stra

tegi

as

de c

álcu

lo p

ara

sum

ar,

rest

ar, m

ultip

licar

y d

ivid

ir co

n de

cim

ales

exa

ctos

.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

al o

pera

r o

sim

plifi

car f

racc

ione

s y

deci

mal

es.

Em

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est

rate

gias

heu

rístic

as

para

reso

lver

pro

blem

as q

ue

com

bine

n cu

atro

ope

raci

ones

co

n de

cim

ales

y fr

acci

ones

.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

estim

ació

n co

n de

cim

ales

al

reso

lver

pro

blem

as.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

sim

plifi

caci

ón d

e fra

ccio

nes.

Em

plea

el f

acto

r de

conv

ersi

ón,

el m

étod

o de

redu

cció

n a

la

unid

ad y

la re

gla

de tr

es s

impl

e en

pro

blem

as re

laci

onad

os c

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prop

orci

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dire

cta.

H

alla

el t

érm

ino

desc

onoc

ido

de u

na p

ropo

rció

n ap

oyad

o en

recu

rsos

grá

ficos

y o

tros

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lver

pro

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as.

Porc

enta

je

Em

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est

rate

gias

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rístic

as2 ,

proc

edim

ient

os y

est

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gias

de

cálc

ulo

al re

solv

er p

robl

emas

co

n po

rcen

taje

s m

ás u

sual

es.

Em

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est

rate

gias

heu

rístic

as

para

reso

lver

pro

blem

as

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cion

ado

al a

umen

to o

de

scue

nto

porc

entu

al.

C

alcu

la e

l val

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e au

men

tos

o de

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ntos

por

cent

uale

s ap

oyad

o en

recu

rsos

grá

ficos

y

otro

s al

reso

lver

pro

blem

as.

C

ompr

ueba

su

proc

edim

ient

o o

estra

tegi

a y

el d

e su

s co

mpa

ñero

s y,

de

ser n

eces

ario

, lo

repl

ante

a.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

di

stin

tas

reso

luci

ones

.

Em

plea

la c

alcu

lado

ra p

ara

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lver

pro

blem

as y

ver

ifica

r su

s re

sulta

dos.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

di

stin

tas

reso

luci

ones

.

Ev

alúa

ven

taja

s y

desv

enta

jas

de la

s es

trate

gias

, pr

oced

imie

ntos

mat

emát

icos

y

recu

rsos

usa

dos

al re

solv

er e

l pr

oble

ma.

1 Es

trate

gias

heu

rístic

as c

omo

hace

r una

sim

ulac

ión

con

mat

eria

l con

cret

o, h

acer

un

esqu

ema,

rect

a nu

mér

ica.

2 H

acer

la s

imul

ació

n co

n m

ater

ial c

oncr

eto

com

o Ba

se D

iez;

hac

er u

n es

quem

a co

mo

la c

uadr

ícul

a de

10

× 1

0.

41

1 U

n co

ntra

ejem

plo

cons

iste

en

prop

oner

al e

stud

iant

e de

safío

s co

ntra

dict

orio

s qu

e tie

ne q

ue re

solv

er, c

ontra

rio a

las

idea

s m

atem

átic

as d

esar

rolla

das.

Por

eje

mpl

o: S

e pr

opon

e la

sig

uien

te a

firm

ació

n:

“Tod

os lo

s m

últip

los

de 2

ter

min

an e

n 2,

4 y

8”.

El c

ontra

ejem

plo

cons

iste

en

form

ular

una

exp

resi

ón q

ue m

uest

re q

ue la

afir

mac

ión

seña

lada

no

es v

álid

a. E

n es

te c

aso,

no

es v

erda

d pu

es 10

es

múl

tiplo

de

2 p

orqu

e 2

× 5

= 1

0 y

term

ina

en c

ero.

Un

cont

raej

empl

o ta

mbi

én p

erm

ite c

onst

ruir

defin

icio

nes,

exp

resa

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plos

que

no

cum

plen

con

la c

ondi

ción

o p

ropi

edad

est

udia

da.

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICASC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o G

rado

Prim

er G

rado

de

Secu

ndar

ia

Re

aliz

a co

njet

uras

a

parti

r de

más

de

un c

aso

expe

rimen

tado

u o

bser

vado

so

bre

las

rela

cion

es d

e or

den,

co

mpa

raci

ón y

equ

ival

enci

a en

tre fr

acci

ones

usu

ales

y lo

s di

fere

ntes

tipo

s de

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cion

es

(frac

ción

pro

pia,

impr

opia

, ho

mog

énea

y h

eter

ogén

ea).

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

obre

la

s re

laci

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de

orde

n,

com

para

ción

y e

quiv

alen

cia

entre

frac

cion

es y

dec

imal

es

hast

a el

cen

tési

mo.

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

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la

s re

laci

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de

orde

n,

com

para

ción

y e

quiv

alen

cia

entre

frac

cion

es, f

racc

ión

deci

mal

y d

ecim

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has

ta e

l m

ilési

mo.

Pr

opon

e co

njet

uras

refe

ridas

a

las

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cion

es d

e or

den

y pr

opie

dade

s de

núm

eros

en

tero

s.

Ju

stifi

ca c

on e

jem

plos

que

la

s op

erac

ione

s co

n nú

mer

os

ente

ros

se v

e af

ecta

do p

or e

l si

gno.

Ex

plic

a a

travé

s de

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mpl

os

las

dife

rent

es fo

rmas

de

repr

esen

tar u

n nú

mer

o de

cu

atro

cifr

as y

sus

equ

ival

enci

as

en c

ente

nas,

dec

enas

y

unid

ades

.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os

las

dife

rent

es fo

rmas

de

repr

esen

tar f

racc

ione

s us

uale

s y

fracc

ione

s eq

uiva

lent

es.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os y

co

ntra

ejem

plos

1 las

dife

rent

es

form

as d

e re

pres

enta

r un

núm

ero

natu

ral d

e se

is c

ifras

y

sus

equi

vale

ncia

s se

gún

su

valo

r pos

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nal.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os y

co

ntra

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plos

las

dife

rent

es

form

as d

e re

pres

enta

r fra

ccio

nes,

frac

cion

es d

ecim

ales

y

fracc

ione

s eq

uiva

lent

es.

Es

tabl

ece

dife

renc

ias

entre

fra

ccio

nes

prop

ias

e im

prop

ias,

he

tero

géne

as y

hom

ogén

eas.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os y

co

ntra

ejem

plos

las

dife

rent

es

form

as d

e re

pres

enta

r un

núm

ero

deci

mal

seg

ún s

u va

lor

posi

cion

al.

Ju

stifi

ca p

roce

dim

ient

os d

e ap

roxi

mac

ión

en n

úmer

os

deci

mal

es p

or e

xces

o, d

efec

to o

re

dond

eo.

Ju

stifi

ca q

ue a

l mul

tiplic

ar e

l nu

mer

ador

y d

enom

inad

or d

e un

a fra

cció

n po

r un

núm

ero

siem

pre

se o

btie

ne u

na fr

acci

ón

equi

vale

nte.

Ju

stifi

ca a

trav

és d

e ej

empl

os

que

a:b

= a

/b=

a x

1/b

; a/

b:n=

a/n

x b

(sie

ndo

a y

b y

n

n

úmer

os n

atur

ales

).

Es

tabl

ece

conj

etur

as re

spec

to a

lo

s m

últip

los

y di

viso

res

de u

n nú

mer

o.

Ju

stifi

ca c

uand

o un

núm

ero

es

múl

tiplo

o d

ivis

or d

el o

tro.

Pr

opon

e co

njet

uras

resp

ecto

a

los

núm

eros

div

isib

les

por 2

, 3,

5, 7

. 9, 1

1.

Ju

stifi

ca c

uand

o un

núm

ero

es

divi

sibl

e po

r otro

a p

artir

de

un

crite

rios

de d

ivis

ibili

dad.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os

con

apoy

o co

ncre

to o

grá

fico,

lo

s si

gnifi

cado

s so

bre

las

oper

acio

nes

de a

dici

ón y

su

stra

cció

n de

frac

cion

es.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os

con

apoy

o co

ncre

to o

grá

fico

la p

ropi

edad

dis

tribu

tiva

de la

m

ultip

licac

ión

con

núm

eros

na

tura

les.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os

con

apoy

o co

ncre

to, g

ráfic

o o

sim

bólic

o, lo

s si

gnifi

cado

s so

bre

las

oper

acio

nes

de a

dici

ón y

su

stra

cció

n co

n de

cim

ales

.

Es

tabl

ece

conj

etur

as re

spec

to a

la

s pr

opie

dade

s y

resu

ltado

s de

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pot

enci

a cu

adra

da y

cúb

ica

de u

n nú

mer

o na

tura

l.

Pr

opon

e co

njet

uras

resp

ecto

al

cam

bio

del s

igno

de

la b

ase

y el

exp

onen

te re

laci

onad

o a

la

pote

ncia

ción

.

Pr

opon

e co

njet

uras

refe

ridas

a

las

rela

cion

es d

e or

den

entre

po

tenc

ias

de b

ase

10 c

on

expo

nent

e en

tero

.

42

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

Gra

doPr

imer

Gra

do d

e Se

cund

aria

Pl

ante

a co

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uras

resp

ecto

a

la p

ropi

edad

fund

amen

tal d

e la

s pr

opor

cion

es a

par

tir d

e ej

empl

os.

Ju

stifi

ca la

dife

renc

ia e

ntre

el

conc

epto

de

una

razó

n y

una

prop

orci

onal

idad

a p

artir

de

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plos

.

Ex

plic

a el

pro

cedi

mie

nto

real

izad

o al

reso

lver

pro

blem

as

con

porc

enta

jes.

A

rgum

enta

los

proc

edim

ient

os

de c

álcu

lo s

obre

aum

ento

s y

desc

uent

os p

orce

ntua

les.

Ju

stifi

ca lo

s pr

oces

os d

e va

riaci

ón p

orce

ntua

l par

a re

solv

er p

robl

emas

.

Ex

plic

a su

s pr

oced

imie

ntos

y

resu

ltado

s en

la s

oluc

ión

de

prob

lem

as.

Ju

stifi

ca y

def

iend

e su

s ar

gum

ento

s o

conj

etur

as,

usan

do e

jem

plos

o

cont

raej

empl

os.

Ex

plic

a su

s pr

oced

imie

ntos

y

resu

ltado

s.

Ju

stifi

ca y

def

iend

e su

s ar

gum

ento

s o

conj

etur

as, u

sand

o ej

empl

os o

co

ntra

ejem

plos

.

43

Descripción y ejemplos de algunos indicadores.

Capacidad: Matematiza situaciones

Indicador de quinto grado:

Plantea relaciones entre los datos en problemas de una etapa*, expresándolos en un modelo de solución aditiva con fracciones.

*(PAEV) Problemas aditivos de cambio, comparación e igualación.

Descripción del indicador

Este indicador implica que el estudiante reconozca las fracciones que aparecen en el problema y lo que ocurre con estas. Si se agregan, si una es mayor que la otra, si una debe igualar a la otra, etc., de esa manera podrán establecer cómo se relacionan estas cantidades.

Las relaciones que pueden establecerse entre los datos pueden ser:

Cambio: Se agregan o quitan partes de la unidad o de una cantidad. La cantidad inicial se modifica.

Comparación: Se comparan dos fracciones conociendo que una cantidad tiene más que o menos que la otra.

Igualación: Se igualan fracciones considerando, cuánto debe quitar o agregar para igualar.

En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.

La definición de modelo como

“esquematización construida

con una multiplicidad de datos

de la experiencia o la realidad

proporciona una abstracción

satisfactoria de cómo funcionan

las cosas” (Castro y otros, 1995).

Ejemplo de indicador precisado:

Plantea relaciones entre los datos en problemas de cambio, expresándolas en un modelo de solución aditiva con fracciones.

La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran

y almacenan el agua en cilindros. David llenó 28 del

cilindro, su hijo Carlos los 38

. ¿Qué parte del cilindro falta llenar?

Algunas preguntas que ayudan al desempeño de los estudiantes son:

¿Qué es lo que te preguntan? ¿Qué información te dan? ¿Qué parte llenó Carlos? ¿Qué parte llenó David?. ¿Cuánto llenaron ambos? ¿Cómo expresamos estas acciones de manera gráfica?

44

Indicador de quinto grado:

Elabora representaciones concreta, gráfica y simbólica de los decimales hasta el centésimo y sus equivalencias.

Descripción del indicador

Observar este indicador implica que el estudiante realice el tránsito de las representaciones concretas, a las gráficas y simbólicas estableciendo equivalencias entre ellas.

En el siguiente ejemplo podemos evidenciar el indicador.

El estudiante puede registrar la información encontrada en el cartel:

Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas

A Pedro y su familia les gusta hacer deporte. Ellos vieron un afiche publicitario una caminata familiar. Pedro quedó intrigado con dos números que no comprendía 8.5 k y 10:00 a. m. ¿cuál es el significado de 8.5 k?

Ayuda a Pedro a entender que es lo que quiere decir la información.

Número encontrado Tipo de número/ el número

indica un(a)

Descripción ¿Para qué se utiliza en ese

contexto?

5a Ordinal Indica que es la quinta vez que se realiza un evento de este tipo.

8.5 k Medida de longitud Debe decir 8.5 km. Indica la distancia que se camina.

Representación con material Base diez.

Para el caso de los números decimales, las piezas del material Base diez tienen otros valores relativos:

Si los niños usan hasta los décimos, basta utilizar la barra como unidad y el cubito como décimo.

Si trabajan hasta centésimos, usarán la placa como unidad, la barra como décimo y el cubito como centésimo.

Si trabajan hasta milésimos, usarán el cubo como unidad, la placa como décimo, la barra como centésimo y el cubito como milésimo.

En muchas ocasiones, los estudiantes emplean

los números naturales para decir la fecha,

una dirección, un número telefónico, etc. En esta

actividad, los estudiantes buscarán números en textos

escritos de periódicos, revistas, encartes publicitarios,

que servirá de medio para reflexionar sobre su utilidad

y la importancia de los números en nuestra vida.

45

Indicador de quinto grado:

Emplea procedimientos para comparar y ordenar con fracciones y fracción decimal.

Usando material concreto

Usando la recta numérica

Usando representación simbólica

El tablero de valor posicional

De los gráficos anteriores se desprende la representación simbólica de 8,5. Usando fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta manera:

Con el material Base 10, la representación de 8 unidades, 5 décimos quedaría así:

De otro lado, si usamos regletas para las fracciones equivalentes,

observa que 510

es equivalente a 1

2

8 unidades 5 décimos

= 0,11

10

110

12

12

D U , d

8 , 5

En fracción decimal En expresión decimal

110

12

110

110

510

110

110

8,5 = 8 + 8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1

8,5 = 8 + = 8 + 0,5

8,5 = 8 + = 8,5

+ + + +

Capacidad: Elabora y usa estrategias

8,5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

46

Descripción del indicador Observar este indicador implica que el estudiante debe emplear diversas formas de afrontar el problema, usando sus saberes previos o investigando sobre nuevos procedimientos como por ejemplo: el aspa o la homogenización con la finalidad de comparar y ordenar fracciones. También puede utilizar representaciones gráficas.

El siguiente ejemplo de problema nos permite evidenciar algunos procedimientos que el estudiante realiza para resolver problemas.

La representación gráfica para comparar visualmente:

La homogenización por fracciones equivalentes:

Las nuevas fracciones homogenizadas tienen denominador 24

El método del aspa al comparar dos a dos:

Por lo que:

Luego:es la fracción menor.

Carolina tiene un terreno de forma rectangular, divide la mitad para sembrar hortalizas, la tercera parte de lo que queda para sembrar plantas medicinales. Y la cuarta parte del resto para sembrar hierbas aromáticas. ¿Cuál de los tres tipos de plantas tiene la mayor parte de terreno? ¿Cuál tiene la menor?

12

Hortalizas

Plantas medicinales

Hierbas aromáticas

La tercera parte de lo que queda es 13

de 12

= 13

x 12

= 16

Quedan 26

y la cuarta parte de 26

es 14

x 26

= 224

es decir 112

Siembra la mitad de hortalizas y

queda la mitad, es decir 12

Así:1

1216

12

224

424

1224

; ;=12

1224

12

12

=112

224

2

2

=16

424

4

4

112

12

224

1224

112

16

672

1272

16

12

212

612

112

16

112

12

12

112

16

16

12

47

2.3.2 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

El desarrollo de esta competencia: actuar y pensar en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio en el V ciclo de Primaria, implica que los estudiantes observen regularidades en las formas o en una secuencia numérica y que resuelvan problemas referidos a patrones de repetición geométricos cuya regla de formación responde a criterios geométricos de traslaciones o giros de cuartos y medias vueltas. También se busca que el estudiante avance en el camino de la generalización propia del álgebra, al encontrar reglas de formación de patrones numéricos o gráficos que dependa de la posición, como en el problema que se representa a continuación:

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4 Fig. 5

Número de posición que ocupa la figura 1 2 3 4 5 ...

1 x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 5 x 5 10 x 10

12 22 32 42 52 102

10

...

...

Cantidad de cuadrados expresados como una multiplicaciónCantidad de cuadrados expresados como una potencia cuadrada

Por otro lado, el desarrollo del pensamiento variacional se desarrolla en este ciclo a través de problemas donde los estudiantes identifican relaciones de proporcionalidad entre magnitudes. Por ejemplo, analizan la relación entre el dinero que se paga y la cantidad de kilogramos que se compran de un producto, entonces a mayor cantidad de kilogramos más se pagará. En estas situaciones identifican cómo cambian la magnitudes una con respecto de la otra, los datos se organizan en tablas simples y describen esta relación utilizando lenguaje matemático. Asimismo se presentan problemas de equivalencia, en estas, se expresan igualdades y términos desconocidos utilizando íconos y el signo igual (=). Por ejemplo los problemas de desigualdad o de equilibrio con balanzas u otros objetos, dan pie a problemas en los que se busca uno o más valores desconocidos o de encontrar varias equivalencias para una misma cantidad.

Peso(kg)

Precio (Nuevos

soles)

1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

triplica

duplica duplica

triplica

Tabla donde se expresa las relaciones de proporcionalidad.

Entonces, la cantidad de

cuadrados la hallo multiplicando lado

por lado.

48

A c

ontin

uaci

ón le

s pr

esen

tam

os u

na m

atriz

que

mue

stra

de

man

era

inte

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a el

est

ánda

r de

apr

endi

zaje

(Map

a de

pro

gres

o), a

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omo

los

indi

cado

res

de d

esem

peño

de

las

capa

cida

des

para

el d

esar

rollo

de

la c

ompe

tenc

ia e

n el

cic

lo.

Los

nive

les

de lo

s M

apas

de

prog

reso

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stra

n un

a de

finic

ión

clar

a y

cons

ensu

ada

de la

s m

etas

de

apre

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aje

que

debe

n se

r log

rada

s po

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os lo

s es

tudi

ante

s al

con

clui

r un

cicl

o o

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do d

eter

min

ado.

En

este

sen

tido

son

un re

fere

nte

para

la p

lani

ficac

ión

anua

l, el

mon

itore

o y

la e

valu

ació

n,

pues

nos

mue

stra

n el

des

empe

ño g

loba

l que

deb

en a

lcan

zar

nues

tros

estu

dian

tes

en c

ada

una

de la

s co

mpe

tenc

ias.

La

s m

atric

es c

on lo

s in

dica

dore

s de

des

empe

ño d

e la

s ca

paci

dade

s so

n un

apo

yo p

ara

dise

ñar n

uest

ras

sesi

ones

de

ense

ñanz

a ap

rend

izaj

e; s

on ú

tiles

tam

bién

par

a di

seña

r ins

trum

ento

s de

eva

luac

ión,

per

o no

nos

olv

idem

os q

ue e

n un

enf

oque

de

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pete

ncia

s, a

l fin

al, d

ebem

os g

ener

ar in

stru

men

tos

que

perm

itan

evid

enci

ar e

l des

empe

ño in

tegr

al d

e la

s m

ism

as. E

n re

sum

en, a

mbo

s in

stru

men

tos

nos

ayud

an

tant

o a

la p

lani

ficac

ión

com

o a

la e

valu

ació

n, p

ero

uno,

nos

mue

stra

des

empe

ños

más

aco

tado

s (in

dica

dore

s de

des

empe

ños)

, mie

ntra

s qu

e el

otro

nos

mue

stra

un

dese

mpe

ño

com

plej

o (m

apas

de

prog

reso

).H

emos

col

ocad

o el

niv

el a

nter

ior y

pos

terio

r al c

iclo

cor

resp

ondi

ente

par

a qu

e pu

edan

iden

tific

ar e

n qu

é ni

vel d

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sem

peño

se

encu

entra

cad

a un

o de

nue

stro

s es

tudi

ante

s, y

así

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seña

r act

ivid

ades

ade

cuad

as p

ara

cada

uno

de

ello

s.

ESTÁ

ND

ARE

S (M

apa

de P

rogr

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IV c

iclo

V ci

clo

VI c

iclo

Plan

tea

rela

cion

es e

ntre

los

dat

os e

n si

tuac

ione

s de

re

gula

ridad

, eq

uiva

lenc

ia y

cam

bio;

y l

a ex

pres

a co

n pa

trone

s de

re

petic

ión1

o pa

trone

s m

ultip

licat

ivos

, ig

uald

ades

co

n m

ultip

licac

ione

s y

rela

cion

es

de

cam

bio

entre

dos

mag

nitu

des.

Rel

acio

na e

l m

odel

o tra

baja

do

con

otra

s si

tuac

ione

s si

mila

res.

D

escr

ibe

con

leng

uaje

m

atem

átic

o su

co

mpr

ensi

ón

sobr

e pa

trone

s, e

quiv

alen

cias

y c

ambi

o. E

labo

ra y

em

plea

ta

blas

sim

ples

, gr

áfic

os y

sím

bolo

s. P

ropo

ne y

rea

liza

una

secu

enci

a de

acc

ione

s or

ient

adas

a e

xper

imen

tar

o re

solv

er

un

prob

lem

a em

plea

ndo

estra

tegi

as

heur

ístic

as,

proc

edim

ient

os p

ara

ampl

iar,

com

plet

ar o

cr

ear p

atro

nes,

enc

ontra

r equ

ival

enci

as c

on e

xpre

sion

es

mul

tiplic

ativ

as o

hal

lar

el v

alor

des

cono

cido

en

una

igua

ldad

m

ultip

lican

do

o di

vidi

endo

, es

tabl

ecer

eq

uiva

lenc

ias

entre

uni

dade

s de

med

ida

de u

na m

ism

a m

agni

tud,

con

apo

yo d

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ater

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oncr

eto.

Com

prue

ba

sus

proc

edim

ient

os y

est

rate

gias

. El

abor

a co

njet

uras

ba

sada

s en

exp

erie

ncia

s o

en re

laci

ones

mat

emát

icas

, y

las

just

ifica

usa

ndo

ejem

plos

Inte

rpre

ta

dato

s y

rela

cion

es

no

expl

icita

s en

si

tuac

ione

s de

re

gula

ridad

, eq

uiva

lenc

ia

y ca

mbi

o en

tre

dos

mag

nitu

des;

y

los

expr

esa

con

mod

elos

re

ferid

os a

pat

rone

s ge

omét

ricos

, pa

trone

s cr

ecie

ntes

y

decr

ecie

ntes

, ec

uaci

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, de

sigu

alda

des,

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prop

orci

onal

idad

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rect

a y

dete

rmin

a en

qu

é ot

ras

situ

acio

nes

es a

plic

able

. D

escr

ibe

utili

zand

o le

ngua

je

mat

emát

ico

acer

ca

de

su

com

pren

sión

so

bre

patro

nes,

ecu

acio

nes

y de

sigu

alda

des,

y r

elac

ione

s de

pr

opor

cion

alid

ad

dire

cta.

El

abor

a y

empl

ea

dive

rsas

re

pres

enta

cion

es d

e un

a m

ism

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ea m

atem

átic

a, c

on

tabl

as,

gráf

icos

y s

ímbo

los;

rel

acio

nánd

olas

ent

re s

í. El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar

o re

solv

er p

robl

emas

, em

plea

ndo

estra

tegi

as h

eurís

ticas

y

proc

edim

ient

os

para

co

mpl

etar

té

rmin

os

de

una

suce

sión

grá

fica

o nu

mér

ica

de a

cuer

do a

su

posi

ción

, si

mpl

ifica

r ex

pres

ione

s o

ecua

cion

es

empl

eand

o pr

opie

dade

s ad

itiva

s y

mul

tiplic

ativ

as

o es

tabl

ecer

eq

uiva

lenc

ias

entre

uni

dade

s de

una

mis

ma

mag

nitu

d;

con

apoy

o de

rec

urso

s; y

com

para

los

proc

edim

ient

os

y es

trate

gias

em

plea

das

en

dist

inta

s re

solu

cion

es.

Esta

blec

e co

njet

uras

sob

re re

gula

ridad

es, e

quiv

alen

cias

y

rela

cion

es e

ntre

dos

mag

nitu

des,

y la

s ju

stifi

ca u

sand

o ej

empl

os o

con

traej

empl

os.

Dis

crim

ina

info

rmac

ión

e id

entif

ica

varia

bles

y re

laci

ones

no

ex

plíc

itas

en

situ

acio

nes

dive

rsas

re

ferid

as

a re

gula

ridad

, eq

uiva

lenc

ia

o ca

mbi

o;

y la

s ex

pres

a co

n m

odel

os

refe

ridos

a

patro

nes

geom

étric

os2 ,

prog

resi

ones

ar

itmét

icas

, ec

uaci

ones

e

inec

uaci

ones

co

n un

a in

cógn

ita,

func

ione

s lin

eale

s y

rela

cion

es d

e pr

opor

cion

alid

ad i

nver

sa.

Sele

ccio

na y

usa

el

mod

elo

más

per

tinen

te a

una

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ació

n y

com

prue

ba s

i es

te

le

perm

itió

reso

lver

la.

Usa

te

rmin

olog

ías,

re

glas

y

conv

enci

ones

al

ex

pres

ar

su

com

pren

sión

so

bre

prop

ieda

des

y re

laci

ones

m

atem

átic

as

refe

ridas

a

prog

resi

ones

ar

itmét

icas

, ec

uaci

ones

lin

eale

s,

desi

gual

dade

s,

rela

cion

es

de

prop

orci

onal

idad

in

vers

a, fu

nció

n lin

eal y

afín

. Ela

bora

y e

mpl

ea d

iver

sas

repr

esen

taci

ones

de

una

mis

ma

idea

mat

emát

ica

con

tabl

as,

gráf

icos

, sí

mbo

los;

re

laci

onán

dola

s en

tre

sí.

Dis

eña

y ej

ecut

a un

pla

n or

ient

ado

a la

inv

estig

ació

n y

reso

luci

ón

de

prob

lem

as,

empl

eand

o es

trate

gias

he

urís

ticas

y p

roce

dim

ient

os p

ara

dete

rmin

ar l

a re

gla

gene

ral

de

una

prog

resi

ón

aritm

étic

a,

sim

plifi

car

expr

esio

nes

alge

brai

cas

empl

eand

o pr

opie

dade

s de

la

s op

erac

ione

s; c

on a

poyo

de

dive

rsos

recu

rsos

. Eva

lúa

vent

ajas

y d

esve

ntaj

as d

e la

s es

trate

gias

, pro

cedi

mie

ntos

m

atem

átic

os

y re

curs

os

usad

os.

Form

ula

y ju

stifi

ca

conj

etur

as

refe

ridas

a

rela

cion

es

entre

ex

pres

ione

s al

gebr

aica

s, m

agni

tude

s, o

reg

ular

idad

es o

bser

vada

s en

situ

acio

nes

expe

rimen

tale

s; e

iden

tific

a di

fere

ncia

s y

erro

res

en la

s ar

gum

enta

cion

es d

e ot

ros.

1 Pa

trone

s de

repe

tició

n qu

e co

mbi

nan

crite

rios

perc

eptu

ales

y d

e po

sici

ón.

2 Pa

trone

s ge

omét

ricos

que

se

gene

ran

al a

plic

ar re

flexi

ones

o g

iros.

Mat

riz:

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de re

gula

ridad

, equ

ival

enci

a y

cam

bio

49

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

MATEMATIZA SITUACIONESPa

trone

s de

repe

tició

n:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s el

emen

tos

de p

robl

emas

de

regu

larid

ad, y

las

expr

esa

en u

n pa

trón

de re

petic

ión

que

com

bine

un

crite

rio

geom

étric

o de

sim

etría

y c

riter

ios

perc

eptu

ales

de

colo

r y ta

mañ

o.

Pr

opon

e un

pat

rón

de re

petic

ión

que

com

bine

un

crite

rio

geom

étric

o de

sim

etría

y c

riter

ios

perc

eptu

ales

de

colo

r y ta

mañ

o.

Patro

nes

de re

petic

ión:

In

terp

reta

rela

cion

es e

n lo

s el

emen

tos

de p

robl

emas

de

regu

larid

ad y

los

expr

esa

en

un p

atró

n de

repe

tició

n qu

e co

mbi

ne u

n cr

iterio

geo

mét

rico

de tr

asla

ción

y u

n cr

iterio

pe

rcep

tual

de

colo

r.

Pr

opon

e pr

oble

mas

de

regu

larid

ad a

par

tir d

e pa

trone

s de

repe

tició

n qu

e co

mbi

nen

un

crite

rio g

eom

étric

o de

tras

laci

ón

y un

crit

erio

per

cept

ual d

e co

lor.

Patro

nes

de re

petic

ión:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

no e

xplíc

itas

en p

robl

emas

de

regu

larid

ad, e

xpre

sánd

olos

en

un

patró

n de

repe

tició

n ge

omét

rico

con

trasl

acio

nes

y gi

ros

de c

uarto

s y

med

ias

vuel

tas.

Pr

opon

e pr

oble

mas

de

regu

larid

ad a

par

tir d

e pa

trone

s de

repe

tició

n ge

omét

ricos

con

tra

slac

ione

s y

giro

s de

cua

rtos

y m

edia

s vu

elta

s.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Re

cono

ce re

laci

ones

en

prob

lem

as d

e re

gula

ridad

, ex

pres

ándo

los

en u

n pa

trón

que

com

bina

tran

sfor

mac

ione

s ge

omét

ricas

.

Pl

ante

a re

laci

ones

de

posi

ción

em

plea

ndo

un p

atró

n de

re

petic

ión

de v

aria

das

trans

form

acio

nes

geom

étric

as.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

Id

entif

ica

la re

gla

de fo

rmac

ión

de lo

s da

tos

en p

robl

emas

de

regu

larid

ad, e

xpre

sánd

olas

en

un

patró

n m

ultip

licat

ivo

con

núm

eros

de

hast

a cu

atro

cifr

as.

Pr

opon

e pa

trone

s ad

itivo

s o

mul

tiplic

ativ

os c

on n

úmer

os d

e ha

sta

cuat

ro c

ifras

.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

In

terp

reta

los

dato

s en

pr

oble

mas

de

regu

larid

ad

gráf

ica1 y

num

éric

a,

expr

esán

dola

s en

un

patró

n ad

itivo

con

núm

eros

nat

ural

es o

fra

ccio

nes.

C

rea

una

regu

larid

ad a

par

tir d

e un

pat

rón

aditi

vo c

on n

úmer

os

natu

rale

s.

Patro

nes

num

éric

os:

In

terp

reta

los

dato

s en

pr

oble

mas

de

regu

larid

ad

gráf

ica2 ,

expr

esán

dola

s en

un

patró

n ad

itivo

o m

ultip

licat

ivo

o co

n po

tenc

ias,

que

dep

ende

de

la p

osic

ión

del e

lem

ento

.

C

rea

una

regu

larid

ad g

ráfic

a a

parti

r de

un p

atró

n nu

mér

ico.

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

ícita

s en

tre d

atos

num

éric

os

en s

ituac

ione

s de

regu

larid

ad

que

perm

itan

expr

esar

la re

gla

de fo

rmac

ión

de u

na p

rogr

esió

n

aritm

étic

a.

A

soci

a re

glas

de

form

ació

n de

pr

ogre

sion

es a

ritm

étic

as c

on

situ

acio

nes

afin

es.

Igua

ldad

es:

Id

entif

ica

dato

s y

rela

cion

es e

n pr

oble

mas

de

equi

vale

ncia

, ex

pres

ándo

los

en u

na ig

uald

ad

con

ícon

os (c

on a

dici

ón,

sust

racc

ión,

mul

tiplic

ació

n o

divi

sión

).

Ecua

cion

es:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

en p

robl

emas

de

equi

vale

ncia

o

equi

librio

, exp

resá

ndol

os e

n ec

uaci

ones

sim

ples

de

la fo

rma:

a

±

= b

.

Ecua

cion

es:

In

terp

reta

los

dato

s y

varia

bles

en

pro

blem

as d

e eq

uiva

lenc

ia y

eq

uilib

rio, e

xpre

sánd

olos

en

las

igua

ldad

es3

y ec

uaci

ones

.

M

odifi

ca u

na e

cuac

ión

al

plan

tear

o re

solv

er o

tros

prob

lem

as.

Ecua

cion

es:

C

odifi

ca c

ondi

cion

es d

e ig

uald

ad

cons

ider

ando

exp

resi

ones

al

gebr

aica

s al

exp

resa

r mod

elos

re

laci

onad

os a

ecu

acio

nes4 c

on

una

incó

gnita

.

U

sa m

odel

os re

ferid

os a

ec

uaci

ones

line

ales

al p

lant

ear o

re

solv

er p

robl

emas

.

1 C

onfig

urac

ione

s pu

ntua

les,

arr

eglo

s, fi

gura

s, e

tc.

2 Si

tuac

ione

s de

regu

larid

ad c

on c

onfig

urac

ione

s pu

ntua

les

o pa

trone

s gr

áfic

os d

e cr

ecim

ient

o: c

reci

mie

ntos

de

cuad

rado

s, á

rea

de c

ubos

api

lado

s, e

tc.

3 Se

gún

God

ino

en s

u lib

ro R

azon

amie

nto

Alg

ebra

ico;

hay

tres

tipo

s de

igua

ldad

: las

que

se

refie

ren

a un

a id

entid

ad o

pro

pied

ad (

a +

(b ×

c) =

a ×

b +

a ×

c),

a un

a ec

uaci

ón (a

+

= b

) o a

una

fó

rmul

a (á

rea

de u

n re

ctán

gulo

= la

rgo

× a

ncho

)4

Con

coe

ficie

ntes

frac

cion

ario

s y

ente

ros.

AC

TÚA

Y P

IEN

SA E

N S

ITU

AC

ION

ES D

E RE

GU

LARI

DA

D, E

QU

IVA

LEN

CIA

Y C

AM

BIO

50

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

MATEMATIZA SITUACIONESD

esig

uald

ades

:

In

terp

reta

los

dato

s y

varia

bles

en

una

situ

ació

n de

des

equi

librio

o

desi

gual

dad

y la

s ex

pres

a en

m

odel

os re

laci

onad

os a

una

in

ecua

ción

sen

cilla

, por

eje

mpl

o de

la fo

rma:

a <

x o

a +

x >

b

M

odifi

ca u

na d

esig

uald

ad

al p

lant

ear o

reso

lver

otro

s pr

oble

mas

.

C

odifi

ca c

ondi

cion

es d

e de

sigu

alda

d co

nsid

eran

do

expr

esio

nes

alge

brai

cas

al

expr

esar

mod

elos

rela

cion

ados

a

inec

uaci

ones

line

ales

1 con

una

in

cógn

ita.

A

soci

a m

odel

os re

ferid

os a

in

ecua

cion

es li

neal

es c

on

situ

acio

nes

afin

es.

Cam

bio:

Re

coge

dat

os e

xper

imen

tale

s de

do

s m

agni

tude

s en

pro

blem

as

de v

aria

ción

y lo

s re

laci

ona

en

tabl

as s

impl

es.

Cam

bio:

In

terp

reta

los

dato

s en

pr

oble

mas

de

varia

ción

ent

re

dos

mag

nitu

des,

exp

resá

ndol

os

en u

na re

laci

ón d

e pr

opor

cion

alid

ad d

irect

a us

ando

ta

blas

.

Prop

orci

onal

idad

:

In

terp

reta

los

dato

s en

una

si

tuac

ión

de v

aria

ción

ent

re d

os

mag

nitu

des,

exp

resá

ndol

os e

n un

a re

laci

ón d

e pr

opor

cion

alid

ad

dire

cta.

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

icita

s en

situ

acio

nes

de

varia

ción

al e

xpre

sar m

odel

os

rela

cion

ados

a p

ropo

rcio

nalid

ad

y fu

ncio

nes

linea

les2 .

A

soci

a m

odel

os re

ferid

os a

la

pro

porc

iona

lidad

dire

cta

y la

s fu

ncio

nes

linea

les

con

situ

acio

nes

afin

es.

D

eter

min

a en

qué

otro

s pr

oble

mas

es

aplic

able

el m

odel

o .

C

ompr

ueba

si e

l mod

elo

usad

o o

desa

rrol

lado

per

miti

ó re

solv

er

la s

ituac

ión.

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Patro

nes:

U

tiliz

a le

ngua

je m

atem

átic

o pa

ra d

escr

ibir

la re

gula

ridad

en

los

patro

nes

geom

étric

os y

nu

mér

icos

.

Patro

nes:

U

tiliz

a le

ngua

je m

atem

átic

o pa

ra

expr

esar

el c

riter

io g

eom

étric

o (tr

asla

ción

) que

inte

rvie

ne e

n el

pa

trón

y la

regl

a de

form

ació

n cr

ecie

nte

del p

atró

n nu

mér

ico.

Patro

nes:

U

tiliz

a le

ngua

je m

atem

átic

o pa

ra e

xpre

sar l

os c

riter

ios

geom

étric

os (c

on tr

asla

cion

es

y gi

ros)

que

inte

rvie

nen

en la

fo

rmac

ión

del p

atró

n y

la re

gla

de fo

rmac

ión

crec

ient

e de

l pa

trón

num

éric

o.

D

escr

ibe

usan

do té

rmin

os

adec

uado

s de

tran

sfor

mac

ione

s ge

omét

ricas

.

Ex

plic

a el

des

arro

llo d

e un

pat

rón

geom

étric

o.

Re

cono

ce e

xpre

sion

es g

ráfic

as

y si

mbó

licas

que

exp

resa

n tra

nsfo

rmac

ione

s ge

omét

ricas

en

pat

rone

s ge

omét

ricos

.

Ex

plic

a el

des

arro

llo d

e un

a pr

ogre

sión

arit

mét

ica

empl

eand

o el

térm

ino

n-és

imo,

ín

dice

del

térm

ino,

razó

n o

regl

a de

form

ació

n.

Em

plea

dia

gram

as y

esq

uem

as

tabu

lare

s pa

ra re

cono

cer u

na

razó

n co

nsta

nte.

1 C

on c

oefic

ient

es fr

acci

onar

ios

y en

tero

s.2

Con

coe

ficie

ntes

ent

eros

.

51

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Igua

ldad

es:

Re

pres

enta

una

igua

ldad

co

n va

lore

s co

noci

dos

o de

scon

ocid

os c

on íc

onos

, de

form

a co

ncre

ta, g

ráfic

a y

sim

bólic

a (c

on e

xpre

sion

es d

e m

ultip

licac

ión

y di

visi

ón) y

el

sign

o “=

”).

Ecua

cion

es:

Re

pres

enta

el v

alor

des

cono

cido

de

una

igua

ldad

con

ícon

os.

Ecua

cion

es y

des

igua

ldad

es:

Re

pres

enta

el v

alor

des

cono

cido

de

una

ecu

ació

n co

n le

tras.

Re

pres

enta

una

des

igua

ldad

co

n m

ater

ial c

oncr

eto,

grá

fico

y si

mbó

lico.

Ex

pres

a co

ndic

ione

s de

eq

uilib

rio y

des

equi

librio

a p

artir

de

inte

rpre

tar d

atos

y g

ráfic

as

de s

ituac

ione

s qu

e im

plic

an

ecua

cion

es e

inec

uaci

ones

de

prim

er g

rado

.

Repr

esen

ta la

s so

luci

ones

de

inec

uaci

ones

line

ales

de

la

form

a x

> a

o x

< a

, ax

> b

o

ax <

b.

Ex

pres

a un

a in

ecua

ción

com

o un

inte

rval

o o

rayo

en

la re

cta

num

éric

a.

Prob

lem

as d

e ca

mbi

o:

Des

crib

e la

rela

ción

de

cam

bio

entre

dos

mag

nitu

des.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Ex

pres

a la

s re

laci

ones

de

prop

orci

onal

idad

de

dos

mag

nitu

des.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

U

tiliz

a ta

blas

o g

ráfic

os e

n el

pl

ano

carte

sian

o, p

ara

expr

esar

la

pro

porc

iona

lidad

dire

cta

entre

do

s m

agni

tude

s.

D

escr

ibe

el c

ompo

rtam

ient

o de

una

func

ión

linea

l afín

ex

amin

ando

su

inte

rcep

to c

on

los

ejes

, su

pend

ient

e, d

omin

io y

ra

ngo.

D

eter

min

a un

a fu

nció

n lin

eal

a pa

rtir d

e la

pen

dien

te y

su

punt

o de

inte

rcep

to c

on e

l eje

de

coor

dena

das.

Es

tabl

ece

cone

xion

es e

ntre

la

s re

pres

enta

cion

es g

ráfic

as,

tabu

lare

s y

sim

bólic

as d

e un

a fu

nció

n lin

eal.

ELABORAY USA ESTRATEGIAS

Pr

opon

e un

a se

cuen

cia

de a

ccio

nes

orie

ntad

as a

ex

perim

enta

r o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pro

blem

as.

D

iseñ

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

la in

vest

igac

ión

y re

solu

ción

de

prob

lem

as.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Em

plea

alg

unas

est

rate

gias

he

urís

ticas

par

a am

plia

r o

crea

r pat

rone

s de

repe

tició

n ge

omét

ricos

, usa

ndo

mat

eria

l co

ncre

to.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as1

para

am

plia

r o c

rear

pat

rone

s de

repe

tició

n ge

omét

ricos

de

tras

laci

ón y

crit

erio

s pe

rcep

tual

es.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

para

am

plia

r o c

rear

pat

rone

s de

re

petic

ión

geom

étric

os, u

sand

o m

ater

ial c

oncr

eto.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Re

aliz

a tra

nsfo

rmac

ione

s ge

omét

ricas

par

a ha

llar

la p

osic

ión

y la

exp

resi

ón

geom

étric

a en

pro

blem

as.

Patro

nes

aditi

vos:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cont

eo o

de

cálc

ulo

para

am

plia

r, en

cont

rar e

l tér

min

o in

term

edio

o c

rear

pat

rone

s ad

itivo

s, u

sand

o m

ater

ial

conc

reto

, rec

urso

s, in

cluy

endo

el

uso

de la

cal

cula

dora

.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

Empl

ea p

roce

dim

ient

os

de c

álcu

lo p

ara

ampl

iar,

enco

ntra

r el t

érm

ino

inte

rmed

io

o cr

ear p

atro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

, usa

ndo

mat

eria

l co

ncre

to, r

ecur

sos,

incl

uyen

do e

l us

o de

la c

alcu

lado

ra.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

co

n fra

ccio

nes

y na

tura

les:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

para

am

plia

r o c

rear

pa

trone

s ad

itivo

s co

n fra

ccio

nes

y nú

mer

os n

atur

ales

, inc

luye

ndo

el u

so d

e la

cal

cula

dora

.

Re

aliz

a pr

oced

imie

ntos

par

a ha

llar t

érm

ino

k-es

imo,

índi

ce

del t

érm

ino,

razó

n o

regl

a de

form

ació

n co

n nú

mer

os

natu

rale

s.

Empl

ea e

stra

tegi

as h

eurís

ticas

al

reso

lver

pro

blem

as d

e pr

ogre

sión

arit

mét

ica.

Re

aliz

a pr

oced

imie

ntos

pa

ra

halla

r té

rmin

o n-

ésim

o,

índi

ce

del

térm

ino,

ra

zón

o re

gla

de

form

ació

n co

n nú

mer

os n

atur

ales

de

una

pro

gres

ión

aritm

étic

a.

Empl

ea

estra

tegi

as

heur

ístic

as

al

reso

lver

pr

oble

mas

de

un

a pr

ogre

sión

arit

mét

ica.

1 T

abla

s, e

mpe

zar p

or a

trás.

52

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

ELABORAY USA ESTRATEGIAS

Igua

ldad

es:

Em

plea

mat

eria

l con

cret

o y

gráf

ico

para

enc

ontra

r eq

uiva

lenc

ias

o lo

s va

lore

s de

scon

ocid

os d

e un

a ig

uald

ad

con

mul

tiplic

ació

n.

Em

plea

est

rate

gias

y

proc

edim

ient

os m

ultip

licat

ivos

, la

rela

ción

inve

rsa

entre

la

mul

tiplic

ació

n y

la d

ivis

ión,

la

prop

ieda

d co

nmut

ativ

a de

la

mul

tiplic

ació

n, p

ara

reso

lver

si

tuac

ione

s de

equ

ival

enci

a o

igua

ldad

o h

alla

r un

valo

r de

scon

ocid

o co

n ex

pres

ione

s ad

itiva

s y

mul

tiplic

ativ

as.

Ecua

cion

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

por

ta

nteo

, sus

tituc

ión

o ag

rega

ndo,

qu

itand

o o

repa

rtien

do p

ara

enco

ntra

r el v

alor

o lo

s va

lore

s de

scon

ocid

os d

e un

a ig

uald

ad o

ec

uaci

ón.

Em

plea

pro

pied

ades

de

las

igua

ldad

es (s

umar

, res

tar,

mul

tiplic

ar o

div

idir

en a

mbo

s la

dos

de la

igua

ldad

) par

a ha

llar

el té

rmin

o de

scon

ocid

o de

una

ig

uald

ad.

A

plic

a la

pro

pied

ad d

istri

butiv

a de

la m

ultip

licac

ión

resp

ecto

de

la a

dici

ón p

ara

form

ular

ig

uald

ades

.

Ecua

cion

es y

des

igua

ldad

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

por

ta

nteo

, sus

tituc

ión

o ag

rega

ndo,

qu

itand

o o

repa

rtien

do p

ara

enco

ntra

r el v

alor

o lo

s va

lore

s ec

uaci

ón, o

de

una

inec

uaci

ón.

Em

plea

pro

pied

ades

y la

si

mpl

ifica

ción

de

térm

inos

al

reso

lver

una

ecu

ació

n.

Em

plea

pro

pied

ades

y té

cnic

as

de s

impl

ifica

ción

1 par

a ob

tene

r la

sol

ució

n en

pro

blem

as d

e ec

uaci

ones

line

ales

.

Em

plea

recu

rsos

grá

ficos

pa

ra re

solv

er p

robl

emas

de

ecua

cion

es li

neal

es.

Em

plea

pro

pied

ades

y té

cnic

as

de s

impl

ifica

ción

par

a ob

tene

r la

sol

ució

n en

pro

blem

as d

e in

ecua

cion

es li

neal

es.

Prob

lem

as d

e ca

mbi

o:

Em

plea

esq

uem

as,

proc

edim

ient

os d

e co

mpa

raci

ón

y op

erac

ione

s pa

ra e

ncon

trar

rela

cion

es n

umér

icas

ent

re d

os

mag

nitu

des.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Em

plea

est

rate

gias

de

ensa

yo y

err

or, e

xper

imen

taci

ón, t

abla

s, re

cojo

de

dato

s u

oper

acio

nes

para

reso

lver

pro

blem

as d

e re

laci

ones

de

cam

bio

o de

pr

opor

cion

alid

ad.

Em

plea

est

rate

gias

par

a re

solv

er

prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad,

y fu

nció

n lin

eal c

on c

oefic

ient

es

ente

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53

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS C

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Ju

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ca y

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iend

e ar

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stifi

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tura

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empl

os.

54

Descripción y ejemplos de algunos indicadores

Indicador de sexto grado

Interpreta los datos y variables en una situación de desequilibrio o desigualdad y las expresa en modelos relacionados a una inecuación sencilla, por ejemplo de la forma: a < x o a + x > b .

Capacidad: Matematiza situaciones

Descripción del indicador

Interpretar los datos y variables implica reconocer las cantidades y los valores desconocidos, establecer las relaciones entre ellas identificando la cantidad mayor o menor y determinar las condiciones de desigualdad o desequilibrio. Un problema de desequilibrio con balanzas (cuando uno de los platillos está más abajo que otro) está referido a que en uno de los brazos se encuentra concentrada la mayor cantidad de objetos. De otro lado, también se puede presentar situaciones donde se puedan establecer equivalencias o condiciones de desigualdad, cuando por ejemplo una persona es más fuerte que la otra o tiene más o menos objetos que otro.

El uso de la variable (letras) en este tipo de problemas actúa como incógnita para representar el valor desconocido. Por ejemplo, en esta situación de juego de canicas con Paco y Miguel, uno de ellos reconoce que tiene menos canicas que el otro.

En este ejemplo se pueden realizar las siguientes preguntas para interpretar los datos y el valor desconocido.

¿Cuáles son los datos o los valores conocidos? ¿Puedes reconocer la cantidad desconocida? ¿Quién la tiene? ¿Qué relación hay entre las dos cantidades que tienen Paco y Miguel?, ¿Quién tiene

mayor o menor cantidad, cómo te diste cuenta de ello? ¿Cuáles serían las afirmaciones que se pueden desprender del problema?

Paco, ¡tengo 8 canicas!

Miguel, tienes más canicas que yo.

¿Cuántas canicas puede tener Paco en la bolsa?

55

Indicador de sexto grado

Emplea procedimientos de cálculo para ampliar, completar o crear patrones numéricos, cuya regla de formación depende de la posición del elemento, con números naturales, fracciones o decimales.

Capacidad: Elabora y usa estrategias

Descripción del indicador

Los procedimientos de cálculo que pueden emplear los estudiantes para resolver problemas con patrones numéricos, están referidos a encontrar relaciones aditivas y/o multiplicativas entre la posición de la figura y la cantidad de elementos. Estas relaciones la pueden encontrar por ensayo y error o descomponiendo los resultados en función de la cantidad de elementos y la posición de la figura.

Veamos el siguiente ejemplo:

Este problema lo podemos expresar en un modelo con una balanza o con una expresión simbólica usando íconos o una letra para expresar la cantidad desconocida.

¿Cuántos palillos son necesarios para formar el dibujo situado en la 4ª posición? ¿Y para formar el dibujo que estuviera en la posición 10?, ¿y para la posición 20?

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4

8 > + 2

Miguel tiene 8 canicas

Miguel tiene más canicas que Paco

PacoMiguel

+ 2 < 8

Paco tiene una bolsa y 2 canicas

Paco tiene menos canicas que Miguel

56

Para resolver el problema se puede seguir construyendo la tabla, hasta llegar a la figura 10 y la figura 20, pero sería un procedimiento largo.

¿De qué otra manera se puede predecir la cantidad de palitos?

Se podrían generar relaciones aditivas o multiplicativas de tal manera que el resultado sea expresado en función de la posición de la figura.

Así por ejemplo: podríamos ensayar operaciones para que resulte 3 y usando para operar los números de la posición de la figura: Así para que resulte 3, tenemos que usar en la operación necesariamente 1; para que resulte 5, debemos de usar 2 y así sucesivamente. También podemos organizar las operaciones en una tabla horizontal:

Así tenemos que :

En la figura 1, hay 3 palillos En la figura 2, hay 5 palillos En la figura 3, tiene 7 palillos En la figura 4, tiene 9 palillos

Podemos organizar esta información en una tabla vertical.

Figura 1 2 3 4 5 6 10 20

Cantidad de palillos 3 5 7 9 11 13 ? ?

Ensayo 1 con adición 1 + 1 + 1 2 + 2 + 1 3 + 3 + 1 4 + 4 + 1 5 + 5 + 1 6 + 6 + 1 10 + 10 + 1 20 + 20 + 1

Ensayo 2 con

multiplicación y adición

2 x 1 + 1 2 x 2 + 1 2 x 3 + 1 2 x 4 + 1 2 x 5 + 1 2 x 6 + 1 2 x 10 + 1 2 x 20 + 1

Posición de la figura

Cantidad de palillos

1 3

2 5

3 7

4 9

5 11

57

Indicador de sexto grado

Justifica sus conjeturas sobre la predicción de algunos términos no conocidos de un patrón geométrico (con traslación y giros).

Capacidad: Razona y argumenta generando ideas matemáticas

Descripción

El estudiante da explicaciones válidas respecto de sus predicciones sobre la figura que se encuentra en una posición más adelante sin necesidad de completar el patrón. Por ejemplo:

¿Qué figura está en la posición 25? ¿Por qué?

El estudiante explica que esta secuencia se forma cuando cada elemento del núcleo de repetición da giros de ¼ de vuelta. Además, que el núcleo de repetición tiene cuatro elementos y que cada cuatro posiciones se repite, entonces al avanzar de 4 en 4, se evidencia que en la posición 25 comienza el núcleo nuevamente, por tanto, la primera figura es la que corresponde.

Yo creo que en la posición 25 está la figura con el triángulo rojo a la derecha y el amarillo a la izquierda.

1.er giro 2.do giro 3.er giro 4.to giro

58

2.3.3 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

Desarrollar esta competencia en el V Ciclo implica que los niños actúen y piensen matemáticamente al proponerles que resuelvan problemas geométricos de diversos contextos vinculados con las formas tri y bidimensionales; problemas referidos al movimiento o las transformaciones geométricas como la traslación y rotación de figuras.

Los estudiantes en este ciclo matematizan situaciones a partir de una experiencia vivencial con su entorno para expresar la realidad o los objetos que hay en ella en formas tridimensionales o bidimensionales que construyen con mayor precisión. Asimismo aplican movimientos y transformaciones a las figuras, las cuales se trasladan, rotan, se amplían o reducen. También comunican y representan las ideas geométricas relacionadas con las formas y sus propiedades empleando lenguaje matemático, así el uso del lenguaje geométrico será necesario cuando quieran comunicar posiciones, describir e identificar a los objetos, indicar oralmente los movimientos. La adquisición del lenguaje geométrico se produce a partir de su utilidad para resolver problemas y es en el marco de estos problemas que surge la necesidad de usar expresiones cada vez más precisas y formales.

Los estudiantes en este ciclo también elaboran y usan estrategias al construir formas mediante el plegado, recortado y el dibujo, miden la longitud, capacidad y superficie de los objetos, construyen figuras que se trasladan y rotan, usando instrumentos de dibujos y diversos materiales. En este proceso también es necesario que razonen y argumenten con el objetivo de construir o generar nuevas ideas geométricas al elaborar conjeturas sobre las propiedades de las formas y verificarlas. Al explicar sus procedimientos y resultados consolidarán lo que aprendieron.

Recuerdas qué forma

tenía?

Si las miras desde arriba, hay 3 piezas que se ven iguales.

59

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men

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lo

s pr

oced

imie

ntos

y e

stra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es. E

labo

ra c

onje

tura

s so

bre

rela

cion

es e

ntre

pr

opie

dade

s de

las

form

as g

eom

étric

as tr

abaj

adas

y la

s ju

stifi

ca u

sand

o ej

empl

os o

con

traej

empl

os.

Dis

crim

ina

info

rmac

ión

e id

entif

ica

rela

cion

es

no

expl

ícita

s de

situ

acio

nes

refe

ridas

a a

tribu

tos,

loca

lizac

ión

y tra

nsfo

rmac

ión

de o

bjet

os, y

los

expr

esa

con

mod

elos

re

ferid

os

a fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es

com

pues

tas,

re

laci

ones

de

pa

rale

lism

o y

perp

endi

cula

ridad

, po

sici

ones

y

vist

as

de

cuer

pos

geom

étric

os2 .

Sele

ccio

na

y us

a el

m

odel

o m

ás

perti

nent

e a

una

situ

ació

n y

com

prue

ba s

i es

te l

e pe

rmiti

ó re

solv

erla

. Ex

pres

a us

ando

ter

min

olog

ía,

regl

as y

con

venc

ione

s m

atem

átic

as s

u co

mpr

ensi

ón s

obre

pro

pied

ades

de

form

as b

idim

ensi

onal

es y

trid

imen

sion

ales

3 , án

gulo

s,

supe

rfici

es y

vol

úmen

es, t

rans

form

acio

nes

geom

étric

as;

elab

oran

do d

iver

sas

repr

esen

taci

ones

de

una

mis

ma

idea

m

atem

átic

a us

ando

gr

áfic

os

y sí

mbo

los;

y

las

rela

cion

a en

tre s

í. D

iseñ

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

la in

vest

igac

ión

y re

solu

ción

de

prob

lem

as, e

mpl

eand

o es

trate

gias

heu

rístic

as y

pro

cedi

mie

ntos

com

o ca

lcul

ar

y es

timar

med

idas

de

ángu

los

y di

stan

cias

en

map

as,

supe

rfici

es b

idim

ensi

onal

es c

ompu

esta

s y

volú

men

es

usan

do

unid

ades

co

nven

cion

ales

; ro

tar,

ampl

iar,

redu

cir

form

as

o te

sela

r un

pl

ano,

co

n ap

oyo

de

dive

rsos

rec

urso

s.

Eval

úa v

enta

jas

y de

sven

taja

s de

la

s es

trate

gias

, pro

cedi

mie

ntos

mat

emát

icos

y r

ecur

sos

usad

os.

Form

ula

y ju

stifi

ca c

onje

tura

s so

bre

rela

cion

es

entre

pro

pied

ades

de

form

as g

eom

étric

as tr

abaj

adas

; e

iden

tific

a di

fere

ncia

s y

erro

res

en la

s ar

gum

enta

cion

es

de o

tros.

1 Tr

iáng

ulos

, cua

drilá

tero

s, á

ngul

os, c

írcul

os, c

ircun

fere

ncia

s, p

rism

as y

pirá

mid

es.

2 Pr

ism

a, p

irám

ide,

círc

ulo,

cili

ndro

3 Po

lígon

os, p

rism

a, p

irám

ide,

círc

ulo,

cili

ndro

, rec

tas

para

lela

s, p

erpe

ndic

ular

es y

sec

ante

s.

Mat

riz:

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de fo

rmas

, mov

imie

nto

y lo

caliz

ació

n

60

1 Tr

iáng

ulo,

rect

ángu

lo, c

uadr

ado,

rom

bo

MATEMATIZA SITUACIONES

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

prop

ieda

des

en

los

obje

tos

del e

ntor

no

segú

n su

s la

dos

para

lelo

s y

perp

endi

cula

res,

la fo

rma

de

sus

cara

s o

sus

base

s y,

los

rela

cion

a co

n p

rism

as re

ctos

.

Re

laci

ona

los

pris

mas

rect

os

con

su p

roye

cció

n v

ista

des

de

abaj

o, d

esde

arr

iba

o de

sde

un

cost

ado.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Re

cono

ce e

lem

ento

s y

prop

ieda

des

de

los

obje

tos

segú

n su

s ca

ras,

bas

es, a

ltura

, su

perfi

cie

late

ral y

los

rela

cion

a co

n p

rism

as.

Re

laci

ona

un p

rism

a co

n cu

bos

y su

s di

fere

ntes

vis

tas.

Se

lecc

iona

la e

stru

ctur

a de

l só

lido

con

cubo

s, p

ara

reso

lver

un

pro

blem

a de

con

stru

cció

n de

pr

ism

as.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Pl

ante

a re

laci

ones

resp

ecto

a

los

elem

ento

s y

prop

ieda

des

de

las

caja

s o

cubo

s y

los

rela

cion

a co

n lo

s pr

ism

as y

pirá

mid

es.

Re

laci

ona

una

form

a tri

dim

ensi

onal

con

sus

di

fere

ntes

vis

tas.

Se

lecc

iona

el d

esar

rollo

o

las

plan

tilla

s de

las

form

as

tridi

men

sion

ales

par

a re

solv

er

un p

robl

ema

de c

onst

rucc

ión

de

pris

mas

y p

irám

ides

.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

icita

s en

tre fi

gura

s en

si

tuac

ione

s de

con

stru

cció

n de

cue

rpos

, y la

s ex

pres

a un

m

odel

o ba

sado

s en

pris

mas

re

gula

res,

irr

egul

ares

y

cilin

dros

.

U

sa m

odel

os re

ferid

os a

cu

bos,

pris

mas

y c

ilind

ros

al

plan

tear

y re

solv

er p

robl

emas

de

pro

yecc

ión

o co

nstru

cció

n de

cu

erpo

s.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

cara

cter

ístic

as d

e lo

s ob

jeto

s de

su

ento

rno

segú

n su

s la

dos,

áng

ulos

, par

alel

ism

o o

perp

endi

cula

ridad

y lo

exp

resa

en

un

mod

elo

basa

do e

n pa

rale

logr

amos

.

U

sa u

n m

odel

o ba

sado

en

para

lelo

gram

os a

l pla

ntea

r o

reso

lver

un

prob

lem

a.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s ge

omét

ricas

ex

plic

itas

seg

ún s

u pe

rímet

ro

y ár

ea e

n ob

jeto

s y

supe

rfici

es

de s

u en

torn

o, e

xpre

sánd

olos

en

un

mod

elo

basa

do e

n cu

adril

áter

os y

triá

ngul

os.

A

plic

a la

s pr

opie

dade

s de

lo

s cu

adril

áter

os o

triá

ngul

os

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s ge

omét

ricas

en

obj

etos

y s

uper

ficie

s de

su

ent

orno

, exp

resá

ndol

os

en fi

gura

s ge

omét

ricas

bi

dim

ensi

onal

es (c

írcul

o ci

rcun

fere

ncia

, pol

ígon

os

regu

lare

s ha

sta

10 la

dos)

A

plic

a la

s pr

opie

dade

s de

la

s fig

uras

bid

imen

sion

ales

al

pla

ntea

r o r

esol

ver u

n pr

oble

ma.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

O

rgan

iza

med

idas

, ca

ract

erís

ticas

y p

ropi

edad

es

geom

étric

as d

e fig

uras

y

supe

rfici

es, y

las

expr

esa

un

mod

elo

refe

rido

a fig

uras

po

ligon

ales

1 .

Em

plea

el m

odel

o m

ás

perti

nent

e re

laci

onad

o pa

ra

plan

tear

o re

solv

er s

ituac

ione

s re

laci

onad

as a

figu

ras

polig

onal

es y

sus

pro

pied

ades

.

AC

TÚA

Y P

IEN

SA E

N S

ITU

AC

ION

ES D

E FO

RMA

S, M

OVI

MIE

NTO

S Y

LOC

ALIZ

AC

IÓN

61

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

MATEMATIZA SITUACIONES

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

Id

entif

ica

las

refe

renc

ias

nece

saria

s en

situ

acio

nes

de

loca

lizac

ión

y de

spla

zam

ient

os,

en e

l ent

orno

esc

olar

, ex

pres

ándo

los

en u

n cr

oqui

s ap

oyad

o en

cua

dríc

ulas

y

coor

dena

das.

Em

plea

un

croq

uis

con

cuad

rícul

as c

on c

oord

enad

as

al re

solv

er p

robl

emas

de

loca

lizac

ión.

Ve

rific

a si

el c

roqu

is e

mpl

eado

co

rres

pond

e a

la re

alid

ad y

pe

rmite

loca

lizar

o d

espl

azar

se

con

prec

isió

n.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

O

rgan

iza

dato

s re

spec

to a

la

loca

lizac

ión

de lu

gare

s y

desp

laza

mie

nto

de lo

s ob

jeto

s en

la lo

calid

ad, e

xpre

sánd

olos

en

un

croq

uis

usan

do p

unto

s ca

rdin

ales

en

un s

iste

ma

de

coor

dena

das.

Em

plea

un

sist

ema

de

coor

dena

das

con

punt

os

card

inal

es a

l res

olve

r pro

blem

as

de lo

caliz

ació

n.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

no e

xplíc

itas

resp

ecto

a la

lo

caliz

ació

n de

luga

res

o de

spla

zam

ient

o de

obj

etos

en

la

loca

lidad

exp

resá

ndol

os e

n un

cr

oqui

s en

el p

rimer

cua

dran

te

del p

lano

car

tesi

ano.

Em

plea

el p

lano

car

tesi

ano

al re

solv

er p

robl

emas

de

loca

lizac

ión.

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

ícita

s ba

sado

s en

med

idas

de

form

as, d

espl

azam

ient

o y

ubic

ació

n de

cue

rpos

, par

a ex

pres

ar m

apas

o p

lano

s a

esca

la.

U

sa m

apas

o p

lano

s a

esca

la

al p

lant

ear y

reso

lver

una

si

tuac

ión.

Sim

etría

y tr

asla

ción

:

Id

entif

ica

cond

icio

nes

y ca

ract

erís

ticas

rele

vant

es e

n pr

oble

mas

de

desp

laza

mie

nto,

ex

pres

ándo

los

en u

n m

odel

o de

tras

laci

ón d

e fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es e

n un

a cu

adríc

ula

de c

oord

enad

as.

Re

cono

ce la

tras

laci

ón d

e un

a fig

ura

en o

tros

prob

lem

as.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

Id

entif

ica

cond

icio

nes

y ca

ract

erís

ticas

de

los

obje

tos

de s

u en

torn

o, e

xpre

sánd

olos

en

un

mod

elo

de a

mpl

iaci

ón

y re

ducc

ión

de fi

gura

s en

un

plan

o cu

adric

ulad

o.

A

plic

a la

am

plia

ción

y re

ducc

ión

de fi

gura

s a

otro

s pr

oble

mas

si

mila

res.

Rota

ción

:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es n

o ex

plíc

itas

en o

bjet

os d

el e

ntor

no,

al e

labo

rar u

n m

odel

o ba

sado

en

la ro

taci

ón (e

n un

cua

rto d

e vu

elta

y m

edia

vue

lta) d

e fig

uras

en

un

plan

o cu

adric

ulad

o.

A

plic

a la

s tra

nsfo

rmac

ione

s ge

omét

ricas

de

sim

etría

, tra

slac

ión,

am

plia

ción

y

redu

cció

n a

otro

s pr

oble

mas

si

mila

res.

Re

cono

ce re

laci

ones

no

expl

ícita

s, e

n si

tuac

ione

s de

re

cubr

imie

nto

de s

uper

ficie

s, a

l el

abor

ar u

n m

odel

o ba

sado

en

trans

form

acio

nes1 .

U

sa u

n m

odel

o ba

sado

en

trans

form

acio

nes

isom

étric

as

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a.

D

eter

min

a en

qué

otro

s pr

oble

mas

, es

aplic

able

el m

odel

o.

Com

prue

ba s

i el m

odel

o us

ado

o de

sarr

olla

do p

erm

itió

reso

lver

el

pro

blem

a.

1 Ro

tar,

ampl

iar y

redu

cir.

62

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

form

as

tridi

men

sion

ales

seg

ún s

us

elem

ento

s (c

aras

late

rale

s,

aris

tas,

vér

tices

, bas

es).

C

onst

ruye

figu

ras

tridi

men

sion

ales

con

dife

rent

es

mat

eria

les

conc

reto

s y

a pa

rtir

de u

na p

lant

illa.

C

onst

ruye

figu

ras

tridi

men

sion

ales

en

form

a co

ncre

ta, a

par

tir d

e in

stru

ccio

nes

escr

itas

y or

ales

.

D

escr

ibe

la e

stim

ació

n y

la

com

para

ción

de

la m

edid

a de

ca

paci

dad

en fr

acci

ones

de

litro

, ga

lone

s.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Ex

pres

a la

s pr

opie

dade

s y

elem

ento

s de

cub

os o

pr

ism

as, n

ombr

ándo

los

apro

piad

amen

te.

Re

pres

enta

grá

ficam

ente

la

s di

fere

ntes

vis

tas

bidi

men

sion

ales

que

tien

e un

a fo

rma

tridi

men

sion

al.

C

onst

ruye

figu

ras

tridi

men

sion

ales

en

form

a co

ncre

ta (o

rigam

i mod

ular

), a

parti

r de

su m

edid

a e

inst

rucc

ione

s es

crita

s y

oral

es.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Ex

pres

a la

med

ida

del á

rea

late

ral y

tota

l del

pris

ma

y la

pirá

mid

e en

uni

dade

s co

nven

cion

ales

a p

artir

de

sus

plan

tilla

s o

rede

s.

Ex

pres

a la

med

ida

del v

olum

en

de c

ubos

y p

rism

as e

n un

idad

es

patró

n (c

ubito

s de

1 c

m3 ,

estru

ctur

as d

e 1

m3 ).

Re

pres

enta

la m

edid

a de

l vo

lum

en d

el c

ubo

y de

l pris

ma

rect

o re

ctan

gula

r, co

n m

ater

ial

conc

reto

(mat

eria

l Bas

e D

iez)

y

gráf

ico.

C

onst

ruye

pris

mas

y p

irám

ides

co

n m

ater

ial c

oncr

eto

(orig

ami

mod

ular

, pla

ntill

as),

gráf

ico

(pap

el is

omét

rico)

usa

ndo

inst

rum

ento

s de

dib

ujo;

a

parti

r de

indi

caci

ones

sob

re s

u m

edid

a o

su fo

rma.

Ex

plic

a lo

que

com

pren

de s

obre

la

rela

ción

ent

re e

l vol

umen

y

la m

edid

a de

cap

acid

ad d

e lo

s ob

jeto

s.

D

escr

ibe

pris

mas

regu

lare

s y

cilin

dro

en fu

nció

n de

l núm

ero

y fo

rma

de la

s ca

ras,

el n

úmer

o de

vér

tices

y e

l núm

ero

de

aris

tas.

D

escr

ibe

el d

esar

rollo

en

el

plan

o de

pris

mas

tria

ngul

ares

y

rect

angu

lare

s, c

ubos

y c

ilind

ros.

G

rafic

a el

des

arro

llo d

e pr

ism

as,

cubo

s y

cilin

dros

, vis

tas

de

dife

rent

es p

osic

ione

s.

63

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

cara

cter

ístic

as d

e lo

s po

lígon

os y

par

alel

ogra

mos

, se

gún

su n

úmer

o de

lado

s y

vérti

ces,

nom

brán

dolo

s ad

ecua

dam

ente

(triá

ngul

os,

cuad

rilát

eros

, pen

tágo

nos,

etc

.).

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(sog

as, g

eopl

ano,

etc

.) y

gráf

ica

(en

cuad

rícul

as),

dife

rent

es

form

as b

idim

ensi

onal

es q

ue

tiene

n el

mis

mo

perím

etro

.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(sog

as, g

eopl

ano,

orig

ami,

et

c.) y

grá

fica

(en

cuad

rícul

as)

dife

rent

es re

ctán

gulo

s,

cuad

rado

s, ro

mbo

s y

rom

boid

es

con

el m

odel

o pr

esen

te y

au

sent

e.

C

onst

ruye

par

alel

ogra

mos

se

gún

indi

caci

ones

ora

les

y es

crita

s.

D

escr

ibe

la e

stim

ació

n y

la

com

para

ción

de

la m

edid

a de

la lo

ngitu

d, p

erím

etro

, su

perfi

cie

de la

s fig

uras

a

parti

r de

unid

ades

arb

itrar

ias

o co

nven

cion

ales

.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s bá

sica

s de

los

cuad

rilát

eros

y tr

iáng

ulos

con

re

spec

to a

sus

lado

s y

ángu

los

y di

agon

ales

, par

alel

ism

o y

perp

endi

cula

ridad

.

D

escr

ibe

la c

onst

rucc

ión

de

form

as b

idim

ensi

onal

es a

pa

rtir d

e su

s el

emen

tos

o pr

opie

dade

s.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(tang

ram

, geo

plan

o, o

rigam

i) y

gráf

ica

(en

cuad

rícul

as, m

alla

de

pun

tos)

, cua

drilá

tero

s y

trián

gulo

s, d

ados

la m

edid

a de

su

s la

dos,

áng

ulos

, el p

erím

etro

o

el á

rea.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

prop

ieda

des

y re

laci

ones

del

círc

ulo

y la

ci

rcun

fere

ncia

y d

e lo

s po

lígon

os

regu

lare

s se

gún

sus

lado

s y

sus

ángu

los.

C

onst

ruye

la c

ircun

fere

ncia

us

ando

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

C

onst

ruye

pol

ígon

os re

gula

res

en fo

rma

conc

reta

(orig

ami,

tiras

de

mec

ano,

etc

.) y

en fo

rma

gráf

ica.

Re

pres

enta

grá

ficam

ente

fo

rmas

bid

imen

sion

ales

en

el

plan

o ca

rtesi

ano,

así

com

o su

s am

plia

cion

es y

redu

ccio

nes.

Ex

pres

a la

med

ida

de

supe

rfici

e us

ando

uni

dade

s co

nven

cion

ales

(km

2 , m

2 )

Ex

pres

a la

med

ida

de d

ista

ncia

s m

uy la

rgas

, usa

ndo

unid

ades

co

nven

cion

ales

(km

)

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

rela

cion

es d

e pa

rale

lism

o y

perp

endi

cula

ridad

en

form

as b

idim

ensi

onal

es

(triá

ngul

o, re

ctán

gulo

, cua

drad

o y

rom

bo) y

s

us p

ropi

edad

es

usan

do te

rmin

olog

ías,

regl

as y

co

nven

cion

es m

atem

átic

as.

Ex

pres

a la

s re

laci

ones

y

dife

renc

ias

entre

áre

a y

perím

etro

de

políg

onos

re

gula

res.

Re

pres

enta

pol

ígon

os re

gula

res

sigu

iend

o in

stru

ccio

nes

y us

ando

la re

gla

y el

com

pás.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

D

escr

ibe

ruta

s o

ubic

acio

nes,

us

ando

com

o re

fere

ntes

obj

etos

y

luga

res

cerc

anos

o p

or lo

s qu

e de

be p

asar

.

El

abor

a cr

oqui

s, m

apas

us

ando

refe

rent

es p

aral

elos

, pe

rpen

dicu

lare

s y

oblic

uos,

pa

ra u

bica

r obj

etos

y e

xpre

sar

ruta

s.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

D

escr

ibe

ruta

s de

de

spla

zam

ient

o en

guí

as,

plan

os d

e ci

udad

es u

tiliz

ando

re

fere

ntes

esp

acia

les

y ot

ras

refe

renc

ias.

G

rafic

a en

un

plan

o cu

adric

ulad

o la

pos

ició

n de

un

obje

to.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

D

escr

ibe

ruta

s de

de

spla

zam

ient

o en

guí

as,

plan

os d

e ci

udad

es u

tiliz

ando

re

fere

ntes

esp

acia

les

y ot

ras

refe

renc

ias.

G

rafic

a en

el p

lano

car

tesi

ano

la p

osic

ión

de u

n lu

gar u

sand

o pu

ntos

car

dina

les.

Ex

pres

a la

s di

stan

cias

y

med

idas

de

plan

os o

map

as

usan

do e

scal

as.

64

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICAS

Sim

etría

:

D

escr

ibe

las

rela

cion

es

de l

a tra

slac

ión

de fi

gura

s ge

omét

ricas

pla

nas

y el

refle

jo

de u

na fi

gura

a p

artir

del

eje

de

sim

etría

ver

tical

y h

oriz

onta

l.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(geo

plan

o),

gráf

ica

(en

cuad

rícul

a), l

a tra

slac

ión

de

figur

as g

eom

étric

as p

lana

s y

el re

flejo

de

una

figur

a a

parti

r de

l eje

de

sim

etría

ver

tical

u

horiz

onta

l.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

D

escr

ibe

la tr

ansf

orm

ació

n de

am

plia

ción

y re

ducc

ión

de u

na

figur

a en

el p

lano

cua

dric

ulad

o.

C

onst

ruye

de

una

mis

ma

figur

a do

s o

más

am

plia

cion

es

o re

ducc

ione

s en

un

plan

o cu

adric

ulad

o o

en e

l pla

no

carte

sian

o.

Tran

sfor

mac

ione

s ge

omét

ricas

:

D

escr

ibe

la ro

taci

ón d

e un

a fig

ura

en e

l pla

no c

uadr

icul

ado

o en

el p

lano

car

tesi

ano.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(geo

plan

o), g

ráfic

a y

sim

bólic

a (p

ares

ord

enad

os)

trasl

acio

nes,

re

flexi

ones

y g

iros

(cua

rtos

y m

edia

s vu

elta

s) d

e fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es; y

rela

cion

a lo

s tre

s tip

os d

e re

pres

enta

ción

.

D

escr

ibe

las

cara

cter

ístic

as

de la

s tr

ansf

orm

acio

nes

de

rota

ción

, am

plia

ción

y re

ducc

ión

con

figur

as g

eom

étric

as p

lana

s.

G

rafic

a la

rota

ción

, am

plia

ción

y

redu

cció

n de

figu

ras

polig

onal

es

regu

lare

s pa

ra re

cubr

ir un

a su

perfi

cie

plan

a.

ELABORAY USA ESTRATEGIAS

El

abor

a o

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pro

blem

as.

D

iseñ

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

la in

vest

igac

ión

y re

s

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

cuer

pos

geom

étric

os, f

igur

as

con

el m

odel

o au

sent

e se

gún

sus

ángu

los

y la

sim

etría

, us

ando

div

erso

s m

ater

iale

s.

U

sa d

iver

sos

reci

pien

tes

com

o ja

rras

, env

ases

de

bote

llas,

re

cipi

ente

s gr

adua

dos,

par

a m

edir,

com

para

r y e

stim

ar la

ca

paci

dad

de lo

s re

cipi

ente

s.

U

sa in

stru

men

tos

de m

edic

ión

(cin

ta m

étric

a y

regl

as

grad

uada

s) y

uni

dade

s co

nven

cion

ales

par

a m

edir

y co

mpa

rar l

ongi

tude

s y

dist

anci

as c

orta

s.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

cuer

pos

geom

étric

os y

dib

ujar

fig

uras

seg

ún s

us v

ista

s,

usan

do d

iver

sos

mat

eria

les,

in

stru

men

tos

de d

ibuj

o.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

para

enc

ontra

r el á

rea

de u

na s

uper

ficie

del

pris

ma

y el

vol

umen

de

un p

rism

a cu

adra

ngul

ar o

rect

angu

lar e

n un

idad

es a

rbitr

aria

s.

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

estim

ar y

m

edir

el v

olum

en e

n un

idad

es

arbi

traria

s (p

.ej:

cubi

tos)

y

la c

apac

idad

de

obje

tos

y re

cipi

ente

s en

litro

s y

mili

litro

s.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

políg

onos

seg

ún s

us

cara

cter

ístic

as y

pro

pied

ades

, us

ando

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as,

recu

rsos

grá

ficos

y o

tros,

pa

ra re

solv

er p

robl

emas

de

perím

etro

y á

rea

de tr

iáng

ulo,

re

ctán

gulo

, cua

drad

o, ro

mbo

.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as y

y

proc

edim

ient

os p

ara

halla

r el

área

, per

ímet

ro y

ubi

car c

uerp

os

en m

apas

o p

lano

s a

esca

la,

con

recu

rsos

grá

ficos

y o

tros.

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

65

ELABORAY USA ESTRATEGIAS

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

U

sa u

nida

des

patró

n (c

artó

n,

cartu

lina,

etc

.) qu

e m

idan

un

met

ro c

uadr

ado

para

de

term

inar

cuá

ntas

uni

dade

s cu

adra

das

nece

sita

par

a cu

brir

supe

rfici

es d

e fig

uras

bi

dim

ensi

onal

es

U

sa e

stra

tegi

as q

ue im

plic

an

traza

r el r

ecor

rido

de lo

s vé

rtice

s de

las

form

as b

idim

ensi

onal

es,

utili

zar r

ecor

tes

de fi

gura

s de

pa

pel,

para

tras

lada

rla s

obre

un

cuad

ricul

ado.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Em

plea

div

erso

s m

ater

iale

s y

recu

rsos

par

a co

nstru

ir o

dibu

jar

figur

as b

idim

ensi

onal

es.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

com

o co

mpo

ner o

rota

r fig

uras

, es

trate

gias

de

cont

eo d

e cu

adra

dito

s o

com

posi

ción

de

triá

ngul

os p

ara

calc

ular

el

área

de

para

lelo

gram

os y

los

trape

cios

a p

artir

del

áre

a de

l re

ctán

gulo

.

C

alcu

la e

l áre

a de

l triá

ngul

o a

parti

r del

áre

a de

l rec

táng

ulo.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

y di

buja

r fig

uras

seg

ún s

us v

ista

s y

la ro

taci

ón, u

sand

o di

vers

os

mat

eria

les,

inst

rum

ento

s de

di

bujo

.

U

sa re

curs

os, i

nstru

men

tos

de m

edic

ión

(cin

ta m

étric

a) y

un

idad

es c

onve

ncio

nale

s pa

ra

med

ir y

com

para

r lon

gitu

des

y di

stan

cias

muy

gra

ndes

.

Em

plea

est

rate

gias

que

impl

ican

co

rtar l

a fig

ura

en p

apel

y

reac

omod

ar la

s pi

ezas

, div

idir

en c

uadr

itos

de 1

cm

2 y e

l uso

de

oper

acio

nes

para

det

erm

inar

el

área

y e

l per

ímet

ro d

e fig

uras

bi

dim

ensi

onal

es.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

políg

onos

seg

ún s

us

prop

ieda

des

y ca

ract

erís

ticas

us

ando

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as,

recu

rsos

grá

ficos

y o

tros,

pa

ra re

solv

er p

robl

emas

de

perím

etro

y á

rea

del t

riáng

ulo,

re

ctán

gulo

, cua

drad

o, ro

mbo

.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

par

a ha

llar

el á

rea,

per

ímet

ro, v

olum

en,

reco

noce

r car

acte

rístic

as

prop

orci

onal

es y

ubi

car c

uerp

os

en m

apas

o p

lano

s a

esca

la

con

recu

rsos

grá

ficos

y o

tros.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

Em

plea

est

rate

gias

o re

curs

os

para

ubi

car c

on p

reci

sión

un

obj

eto

en u

n pl

ano

cuad

ricul

ado.

Tras

laci

ón:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

trasl

adar

un

a fig

ura

sobr

e un

pla

no

carte

sian

o.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cál

culo

y re

laci

ones

de

prop

orci

onal

idad

par

a am

plia

r o

redu

cir u

na fi

gura

.

Rota

ción

:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

rota

r fig

uras

a p

artir

de

sus

vérti

ces,

incl

uyen

do e

l uso

de

inst

rum

ento

s co

mo

com

pás,

tra

nspo

rtado

r.

Re

aliz

a tra

nsfo

rmac

ione

s de

ro

tar,

ampl

iar y

redu

cir,

con

figur

as e

n un

a cu

adríc

ula

al re

solv

er p

robl

emas

, con

re

curs

os g

ráfic

os y

otro

s.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y e

stra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Ev

alúa

ven

taja

s y

desv

enta

jas

de la

s es

trate

gias

, pr

oced

imie

ntos

mat

emát

icos

y

recu

rsos

usa

dos

al re

solv

er e

l pr

oble

ma.

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re

cuál

es s

on la

s ca

ract

erís

ticas

ge

omét

ricas

com

unes

de

las

form

as t

ridim

ensi

onal

es.

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s us

ando

eje

mpl

os s

obre

los

proc

edim

ient

os a

plic

ados

en

pro

blem

as d

e cá

lcul

o de

ca

paci

dad

con

unid

ades

pat

rón.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

s ca

ract

erís

ticas

sem

ejan

tes

geom

étric

as d

e lo

s pr

ism

as.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re lo

s pr

oced

imie

ntos

mat

emát

icos

a

aplic

ar e

n la

sol

ució

n de

pr

oble

mas

de

cálc

ulo

de

volu

men

.

Ju

stifi

ca la

rela

ción

ent

re la

cl

asifi

caci

ón d

e pr

ism

as s

egún

su

bas

e co

n la

cla

sific

ació

n de

po

lígon

os s

egún

el n

úmer

o de

la

dos.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

obre

la

rela

ción

ent

re e

l áre

a la

tera

l y e

l ár

ea to

tal d

e lo

s pr

ism

as.

Es

tabl

ece

sem

ejan

zas

y di

fere

ncia

s en

tre lo

s pr

ism

as y

la

s pi

rám

ides

.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

re

laci

ón e

ntre

el v

olum

en y

la

capa

cida

d.

Pr

opon

e co

njet

uras

sob

re

prop

ieda

des

de p

rism

as

regu

lare

s y

el c

ilind

ro.

Ju

stifi

ca la

rela

ción

ent

re la

s ár

eas

de s

us b

ases

y s

uper

ficie

s la

tera

les

del c

ubo,

pris

mas

y

cilin

dro.

Ex

plic

a co

mo

varía

las

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cion

es e

ntre

los

elem

ento

s de

pris

mas

y c

ilind

ros

al o

bten

er

desa

rrol

los

de e

stos

cue

rpos

.

66

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICASFo

rmas

bid

imen

sion

ales

:

Just

ifica

sus

con

jetu

ras

usan

do e

jem

plos

sob

re lo

s pr

oced

imie

ntos

apl

icad

os

en p

robl

emas

de

cálc

ulo

de p

erím

etro

, sup

erfic

ie y

ca

paci

dad

con

unid

ades

pat

rón.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re

cuál

es s

on la

s ca

ract

erís

ticas

ge

omét

ricas

com

unes

de

las

form

as b

idim

ensi

onal

es

El

abor

a co

njet

uras

sob

re lo

s pr

oced

imie

ntos

a a

plic

ar e

n el

cá

lcul

o de

per

ímet

ro, s

uper

ficie

y

capa

cida

d co

n un

idad

es

patró

n.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Es

tabl

ece

sem

ejan

zas

y di

fere

ncia

s en

tre c

uadr

ado

y re

ctán

gulo

, ent

re c

uadr

ado

y ro

mbo

, etc

.

Elab

ora

conj

etur

as s

obre

la

s pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

y tr

iáng

ulos

.

Expl

ica

con

ejem

plos

y

cont

raej

empl

os la

s ca

ract

erís

ticas

de

los

cuad

rado

s, re

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gulo

s,

rom

bos,

triá

ngul

o re

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gulo

y

equi

láte

ro, e

tc.

Es

tabl

ece

dife

renc

ias

entre

el

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a y

el p

erím

etro

de

una

figur

a.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

re

laci

ón e

ntre

per

ímet

ro y

áre

a de

form

as b

idim

ensi

onal

es,

entre

áre

as d

e cu

adril

áter

os y

tri

ángu

los

Es

tabl

ece

conj

etur

as y

las

verif

ica

sobr

e la

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ción

ent

re

el ra

dio

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met

ro d

e la

ci

rcun

fere

ncia

.

Esta

blec

e ca

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erís

ticas

se

mej

ante

s en

los

políg

onos

re

gula

res.

Pr

opon

e co

njet

uras

refe

ridas

a

las

prop

ieda

des

de p

rism

as

regu

lare

s y

el c

ilind

ro.

Ju

stifi

ca la

rela

ción

ent

re e

l ár

ea d

e su

perfi

cie

de p

rism

as

y ci

lindr

os c

on la

s ár

eas

de s

us

base

s y

supe

rfici

es la

tera

les

del

cubo

, pris

mas

y c

ilind

ro.

Ex

plic

a co

mo

varía

las

rela

cion

es e

ntre

los

elem

ento

s de

pris

mas

y c

ilind

ros,

al

obte

ner d

esar

rollo

de

esto

s cu

erpo

s.

Pl

ante

a co

njet

uras

par

a de

term

inar

per

ímet

ro y

áre

a de

fig

uras

pol

igon

ales

(triá

ngul

o,

rect

ángu

lo, c

uadr

ado

y ro

mbo

).

Just

ifica

sus

gen

eral

izac

ione

s so

bre

el n

úmer

o de

dia

gona

les

traza

das

desd

e un

vér

tice,

nú

mer

o de

triá

ngul

os e

n qu

e se

des

com

pone

un

políg

ono

regu

lar,

sum

a de

áng

ulos

in

tern

os y

ext

erno

s.

Just

ifica

la p

erte

nenc

ia o

no

de

una

figur

a ge

omét

rica

dada

a

una

clas

e de

term

inad

a de

cu

adril

áter

o.

Just

ifica

las

varia

cion

es e

n el

pe

rímet

ro, á

rea

y vo

lum

en

debi

dos

a un

cam

bio

en la

es

cala

en

map

as y

pla

nos.

Ex

plic

a qu

é m

edid

as y

si

tuac

ione

s so

n y

no s

on

afec

tada

s po

r el c

ambi

o de

es

cala

.

Tras

laci

ón:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re e

l pr

oced

imie

nto

para

repr

esen

tar

trasl

acio

nes

de fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es e

n cu

adríc

ulas

.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

re

laci

ón e

ntre

la a

mpl

iaci

ón

y re

ducc

ión

con

la

prop

orci

onal

idad

.

Rota

ción

:

Expl

ica

el p

roce

dim

ient

o us

ado

para

con

stru

ir fig

uras

y ro

tarla

s.

Pl

ante

a co

njet

uras

ace

rca

de

la s

emej

anza

de

dos

figur

as a

l re

aliz

ar s

obre

est

as ro

taci

ones

, am

plia

cion

es y

redu

ccio

nes

en

el p

lano

.

Expl

ica

com

o al

guna

s tra

nsfo

rmac

ione

s pu

eden

co

mpl

etar

par

tes

ause

ntes

en

figur

as g

eom

étric

as.

Cua

rto g

rado

Qui

nto

grad

oSe

xto

grad

oPr

imer

gra

do d

e se

cund

aria

67

Descripción y ejemplos de algunos indicadores

Descripción del indicador

Observar este indicador implica que el estudiante debe graficar las diferentes vistas que tienen las caras o vistas de una forma tridimensional u objetos de su entorno, como sólidos, maquetas, etc.

Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas

Indicador de quinto grado Representa gráficamente las diferentes vistas que tiene una forma tridimensional.

Veamos un ejemplo en el que se evidencia el indicador:

Ejemplo de indicador precisado:

Representa gráficamente la vista superior que tiene una forma tridimensional (maqueta).

En la siguiente maqueta se tiene un jardín interior en forma de L y dos construcciones. Se tiene que mostrar el área construida y el área libre.

Algunas preguntas que ayudan a que el niño muestre este desempeño:

¿Qué forma tiene el terreno de la maqueta? Dibújalo. ¿Desde dónde tienes que mirar la maqueta para ver el área construida y el terreno

libre? ¿Cómo se ve si la miras desde arriba?

68

Indicador de quinto grado Usa estrategias para construir cuerpos geométricos y dibujar figuras según sus vistas, usando diversos materiales e instrumentos de dibujo.

Descripción del indicador

Observar este indicador implica que el estudiante construya cuerpos con el modelo presente o ausente y los reproduzca, tomando como base los datos dados; usando para ello diversas estrategias como abrir cajas para observar plantillas o sus desarrollos, copiar las plantillas de los cuerpos en una cartulina y utilizar recursos como papel cuadriculado, reglas y escuadras.

Capacidad: Elabora y usa estrategias

Veamos un ejemplo que puede evidenciar el indicador.

Ejemplo de indicador precisado:

Usa estrategias para construir prismas, usando diversos materiales e instrumentos de dibujo.

Construye una cajita de 8 cm de largo, 4 cm de ancho y 4 cm de altura para guardar tu borrador, tajador y otros, y así no perderlos y mantener ordenado tu espacio de trabajo.

Completa el desarrollo de la cajita en la cuadrícula. Utiliza regla y escuadra.

Copia el desarrollo en una cartulina y construye la cajita.

1 cm

1 cm

¿Qué estrategia utilizaré?

Puedo mirar el modelo de otras cajas y copiar su desarrollo

y adaptarlo al mío.

69

2.3.4 Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

El desarrollo de esta competencia posibilita a las personas ocuparse del diseño de estudios referidos al análisis de datos recogidos y la predicción o toma de decisiones a partir de los resultados obtenidos.

Para desarrollar esta competencia en el V ciclo, los estudiantes se enfrentarán a problemas en los que será necesario plantearse preguntas apropiadas y coherentes con un tema de estudio, las cuales además se presentan con posibles respuestas. Esto es así cuando el estudiante es capaz de restringir el recojo de los datos a la información que se necesita para la resolución del problema.

El contexto para los temas de estudio en este ciclo se amplía por el hecho de que los estudiantes también son capaces de recopilar datos de fuentes indirectas, es decir, no solo mediante las encuestas y cuestionarios, sino también de libros, revistas, diarios y otras fuentes escritas o virtuales.

La elaboración de tablas de frecuencia, tablas de doble entrada, de gráficos de barras, gráficos de puntos, gráficos lineales; implica el reconocimiento de cuáles son las variables cuyos datos has sido recogidos y la relación entre ellas. En este ciclo, comienza a cobrar importancia el tipo de gráfico que se elija para modelar la situación; en ese sentido, se usan los gráficos de líneas para ver tendencias de comportamiento de los datos, los de barra para visualizar la comparación entre los datos y los de puntos para visualizar por ejemplo, si los datos están por encima o debajo de la moda o el promedio.

La lectura de la información que se ha obtenido en los gráficos realizados requiere de la movilización de la capacidad de los estudiantes de Comunicar y representar, al describir la información y hacer comparaciones para responder las preguntas del problema planteado. De igual modo, a partir de la lectura de la información los estudiantes pueden hacer supuestos y predicciones.

Asimismo, para el desarrollo de esta competencia en el V ciclo, se presenta a los estudiantes situaciones de incertidumbre y experimentos aleatorios en los que los estudiantes utilizan la probabilidad para cuantificar la ocurrencia de un suceso.

Revistas

Cuentos

Leyenda:VENTA DE REVISTAS Y CUENTOS

GRÁFICO LINEAL

Vent

a (e

n m

iles)

Mes

0

5

Marzo Abril Mayo Junio

10

15

20

25

30

¿Cuál es la tendencia de venta de las

revistas?

70

ESTÁ

ND

ARE

S (M

apa

de P

rogr

eso)

IV c

iclo

V ci

clo

VI c

iclo

Plan

tea

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s de

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acio

nes

de s

u en

torn

o es

cola

r, lo

s or

gani

za e

n ta

blas

, bar

ras

sim

ples

, pi

ctog

ram

as c

on e

scal

as o

med

iant

e la

noc

ión

de m

oda.

D

escr

ibe

con

leng

uaje

m

atem

átic

o su

co

mpr

ensi

ón

sobr

e, l

a fre

cuen

cia

y m

oda

de u

n co

njun

to d

e da

tos,

la

co

mpa

raci

ón

de

dato

s en

pi

ctog

ram

as

o ba

rras

do

ble

agru

pada

s, s

uces

os m

ás o

men

os p

roba

bles

que

ot

ros1 .

Elab

ora

y em

plea

re

pres

enta

cion

es

med

iant

e gr

áfic

os d

e ba

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dob

les

o pi

ctog

ram

as2 ,

y sí

mbo

los.

Pr

opon

e y

real

iza

una

secu

enci

a de

acc

ione

s or

ient

adas

a

expe

rimen

tar

o so

luci

onar

un

prob

lem

a em

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ndo

estra

tegi

as

o pr

oced

imie

ntos

pa

ra

reco

pila

r da

tos

cuan

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ivos

y h

alla

r el d

ato

que

más

se

repi

te; c

on a

poyo

de

mat

eria

l con

cret

o. C

ompr

ueba

sus

pro

cedi

mie

ntos

y

estra

tegi

as. E

labo

ra c

onje

tura

s ba

sada

s en

exp

erie

ncia

s o

rela

cion

es e

ntre

dat

os y

las

expl

ica,

o ju

stifi

ca u

sand

o ej

empl

os.

Inte

rpre

ta lo

s da

tos

en d

iver

sas

situ

acio

nes,

los

orga

niza

en

ta

blas

de

fre

cuen

cia

y lo

s ex

pres

a m

edia

nte,

va

riabl

es c

ualit

ativ

as o

cua

ntita

tivas

dis

cret

as, l

a m

edia

ar

itmét

ica

o la

pro

babi

lidad

de

un s

uces

o. D

eter

min

a en

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e ot

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situ

acio

nes

son

aplic

able

s.

Des

crib

e ut

iliza

ndo

leng

uaje

m

atem

átic

o su

co

mpr

ensi

ón

sobr

e la

s pr

egun

tas

y po

sibl

es r

espu

esta

s pa

ra u

na

encu

esta

, la

info

rmac

ión

cont

enid

a en

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as y

grá

ficos

, el

sig

nific

ado

de l

a m

edia

arit

mét

ica

y la

med

iana

de

un g

rupo

de

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s, l

os r

esul

tado

s de

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ació

n al

eato

ria y

la

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abili

dad

de u

n ev

ento

. El

abor

a y

empl

ea d

iver

sas

repr

esen

taci

ones

de

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s m

edia

nte

gráf

icos

de

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s o

de p

unto

s y

la p

roba

bilid

ad c

omo

fracc

ión

o co

cien

te;

rela

cion

ándo

las

entre

sí.

Elab

ora

y ej

ecut

a un

pla

n or

ient

ado

a re

copi

lar

dato

s a

travé

s de

un

a en

cues

ta,

orga

niza

rlos

y pr

esen

tarlo

s; d

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min

ar

la m

edia

; de

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inar

tod

os l

os p

osib

les

resu

ltado

s de

un

exp

erim

ento

ale

ator

io;

calc

ular

la

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abili

dad

de

un e

vent

o co

mo

una

fracc

ión;

con

apo

yo d

e re

curs

os.

Com

para

los

pro

cedi

mie

ntos

y e

stra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es. E

stab

lece

con

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ras

basa

das

en e

xper

ienc

ias

o re

laci

ones

ent

re d

atos

y l

as j

ustif

ica

usan

do e

jem

plos

o c

ontra

ejem

plos

.

Dis

crim

ina

y or

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za d

atos

de

dive

rsas

situ

acio

nes

y lo

s ex

pres

a m

edia

nte

mod

elos

que

invo

lucr

an v

aria

bles

cu

alita

tivas

, cua

ntita

tivas

dis

cret

as y

con

tinua

s, m

edid

as

de te

nden

cia

cent

ral y

la p

roba

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ad. S

elec

cion

a y

usa

el m

odel

o m

ás p

ertin

ente

a u

na s

ituac

ión

y co

mpr

ueba

si

este

le p

erm

itió

reso

lver

la. E

xpre

sa u

sand

o te

rmin

olog

ía,

regl

as y

con

venc

ione

s m

atem

átic

as s

u co

mpr

ensi

ón

sobr

e da

tos

cont

enid

os e

n ta

blas

y g

ráfic

os e

stad

ístic

os,

la p

ertin

enci

a de

un

gráf

ico

a un

tip

o de

var

iabl

e y

las

prop

ieda

des

bási

cas

de

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abili

dade

s.

El

abor

a y

empl

ea

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rsas

re

pres

enta

cion

es

usan

do

tabl

as

y gr

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os;

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cion

ándo

las

entre

sí

. D

iseñ

a y

ejec

uta

un

plan

or

ient

ado

a la

in

vest

igac

ión

y re

solu

ción

de

pr

oble

mas

, us

ando

es

trate

gias

he

urís

ticas

y

proc

edim

ient

os m

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átic

os p

ara

reco

pila

r y

orga

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r da

tos

cuan

titat

ivos

di

scre

tos

y co

ntin

uos,

ex

traer

la

m

uest

ra a

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oria

de

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obla

ción

, cal

cula

r m

edid

as d

e te

nden

cia

cent

ral,

la d

ispe

rsió

n de

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os m

edia

nte

el

rang

o, d

eter

min

ar p

or e

xten

sión

y c

ompr

ensi

ón s

uces

os

sim

ples

y

com

pues

tos,

y

calc

ular

la

pr

obab

ilida

d m

edia

nte

frecu

enci

as r

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ivas

; co

n ap

oyo

de m

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ial

conc

reto

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recu

rsos

. Ev

alúa

ve

ntaj

as

y de

sven

taja

s de

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s es

trate

gias

, pr

oced

imie

ntos

m

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átic

os

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curs

os u

sado

s. F

orm

ula

y ju

stifi

ca c

onje

tura

s re

ferid

as

a re

laci

ones

ent

re l

os d

atos

o v

aria

bles

con

teni

das

en

fuen

tes

de

info

rmac

ión,

ob

serv

adas

en

si

tuac

ione

s ex

perim

enta

les;

e id

entif

ica

dife

renc

ias

y er

rore

s en

una

ar

gum

enta

ción

.

1 El

est

udia

nte

indi

ca in

tuiti

vam

ente

si u

n su

ceso

es

más

pro

babl

e o

men

os p

roba

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que

otro

.2

Pict

ogra

mas

con

esc

ala.

A c

ontin

uaci

ón le

s pr

esen

tam

os u

na m

atriz

que

mue

stra

de

man

era

inte

grad

a el

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ánda

r de

apr

endi

zaje

(Map

a de

pro

gres

o), a

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omo

los

indi

cado

res

de d

esem

peño

de

las

capa

cida

des

para

el d

esar

rollo

de

la c

ompe

tenc

ia e

n el

cic

lo.

Los

nive

les

de lo

s M

apas

de

prog

reso

mue

stra

n un

a de

finic

ión

clar

a y

cons

ensu

ada

de la

s m

etas

de

apre

ndiz

aje

que

debe

n se

r log

rada

s po

r tod

os lo

s es

tudi

ante

s al

con

clui

r un

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o o

perio

do d

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ado.

En

este

sen

tido

son

un re

fere

nte

para

la p

lani

ficac

ión

anua

l, el

mon

itore

o y

la e

valu

ació

n,

pues

nos

mue

stra

n el

des

empe

ño g

loba

l que

deb

en a

lcan

zar

nues

tros

estu

dian

tes

en c

ada

una

de la

s co

mpe

tenc

ias.

La

s m

atric

es c

on lo

s in

dica

dore

s de

des

empe

ño d

e la

s ca

paci

dade

s so

n un

apo

yo p

ara

dise

ñar n

uest

ras

sesi

ones

de

apre

ndiz

aje;

son

útil

es ta

mbi

én p

ara

dise

ñar i

nstru

men

tos

de e

valu

ació

n, p

ero

no n

os o

lvid

emos

que

en

un e

nfoq

ue

de c

ompe

tenc

ias,

al f

inal

, deb

emos

gen

erar

inst

rum

ento

s qu

e pe

rmita

n ev

iden

ciar

el d

esem

peño

inte

gral

de

las

mis

mas

. En

resu

men

, am

bos

inst

rum

ento

s no

s ay

udan

tant

o a

la

plan

ifica

ción

com

o a

la e

valu

ació

n, p

ero

uno,

nos

mue

stra

des

empe

ños

más

aco

tado

s (in

dica

dore

s de

des

empe

ños)

, mie

ntra

s qu

e el

otro

nos

mue

stra

un

dese

mpe

ño c

ompl

ejo

(map

as d

e pr

ogre

so).

Hem

os c

oloc

ado

el n

ivel

ant

erio

r y p

oste

rior a

l cic

lo c

orre

spon

dien

te p

ara

que

pued

an id

entif

icar

en

qué

nive

l de

dese

mpe

ño s

e en

cuen

tra c

ada

uno

de n

uest

ros

estu

dian

tes,

y a

sí

dise

ñar a

ctiv

idad

es a

decu

adas

par

a ca

da u

no d

e el

los.

Mat

riz:

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de g

estió

n de

dat

os e

ince

rtid

umbr

e

71

MATEMATIZA SITUACIONESC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o gr

ado

Prim

er g

rado

de

secu

ndar

ia

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Plan

tea

rela

cion

es e

ntre

los

dato

s (c

uant

itativ

os d

iscr

etos

y

cual

itativ

os) e

n si

tuac

ione

s en

co

ntex

to e

scol

ar, e

xpre

sánd

olos

en

tabl

a de

dob

le e

ntra

da o

gr

áfic

o de

bar

ras

sim

ples

con

es

cala

.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Inte

rpre

ta d

atos

y re

laci

ones

(h

asta

dos

var

iabl

es c

ualit

ativ

as

o cu

antit

ativ

as d

iscr

etas

) en

dive

rsos

pro

blem

as e

stad

ístic

os,

y lo

s ex

pres

a en

tabl

as d

e do

ble

entra

da, g

ráfic

os d

e ba

rras

do

bles

o g

ráfic

os d

e pu

ntos

.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Inte

rpre

ta lo

s da

tos

y re

laci

ones

no

exp

lícita

s en

div

ersa

s si

tuac

ione

s y

los

expr

esa

en

una

tabl

a de

dob

le e

ntra

da,

diag

ram

as d

e ár

bol o

grá

ficos

lin

eale

s.

Sele

ccio

na e

l mod

elo

gráf

ico

esta

díst

ico

más

ade

cuad

o al

pl

ante

ar y

reso

lver

situ

acio

nes.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Org

aniz

a da

tos

en v

aria

bles

cu

alita

tivas

en

situ

acio

nes

que

expr

esan

cua

lidad

es o

ca

ract

erís

ticas

y p

lant

ea u

n m

odel

o de

grá

fico

de b

arra

s y

circ

ular

es.

Se

lecc

iona

el m

odel

o gr

áfic

o es

tadí

stic

o al

pla

ntea

r y re

solv

er

situ

acio

nes

que

expr

esan

ca

ract

erís

ticas

o c

ualid

ades

.

Org

aniz

a da

tos

en v

aria

bles

cu

antit

ativ

as e

n si

tuac

ione

s de

fre

cuen

cia

de e

vent

os d

e su

co

mun

idad

y p

lant

ea u

n m

odel

o ba

sado

en

hist

ogra

mas

de

frecu

enci

a re

lativ

a.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Iden

tific

a to

dos

los

posi

bles

re

sulta

dos

de u

na s

ituac

ión

alea

toria

y lo

s re

sulta

dos

favo

rabl

es d

e un

eve

nto,

ex

pres

ando

su

prob

abili

dad

com

o fra

cció

n.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Iden

tific

a to

dos

los

posi

bles

re

sulta

dos

de u

na s

ituac

ión

alea

toria

y lo

s re

sulta

dos

favo

rabl

es d

e un

eve

nto,

ex

pres

ando

su

prob

abili

dad

com

o co

cien

te.

O

rden

a da

tos

al re

aliz

ar

expe

rimen

tos

sim

ples

o d

e ev

ento

s qu

e ex

pres

ar u

n m

odel

o qu

e ca

ract

eriz

an la

pr

obab

ilida

d de

eve

ntos

y e

l es

paci

o m

uest

ral.

Pl

ante

a y

resu

elve

situ

acio

nes

refe

ridas

a e

vent

os a

leat

orio

s a

parti

r de

cono

cer u

n m

odel

o re

ferid

o a

la p

roba

bilid

ad.

72

COMUNICA Y REPRESENTA IDEAS MATEMÁTICASC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o gr

ado

Prim

er g

rado

de

secu

ndar

ia

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Re

aliz

a pr

egun

tas

rele

vant

es p

ara

reco

ger

dato

s re

laci

onad

os c

on e

l te

ma

de e

stud

io y

apo

rta

con

suge

renc

ias

a la

s pr

egun

tas

form

ulad

as p

or s

us

com

pañe

ros.

D

escr

ibe

info

rmac

ión

cont

enid

a en

cua

dros

de

dobl

e en

trada

, pi

ctog

ram

as, g

ráfic

os d

e ba

rras

do

bles

agr

upad

as.

O

rgan

iza

los

dato

s en

tabl

as y

lo

s re

pres

enta

en

gráf

icos

de

barr

as.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Re

aliz

a pr

egun

tas

rele

vant

es

para

un

tem

a de

est

udio

y s

us

posi

bles

opc

ione

s de

resp

uest

a a

travé

s de

enc

uest

as.

D

escr

ibe

info

rmac

ión

no

expl

ícita

con

teni

da e

n ta

blas

, gr

áfic

os d

e ba

rras

dob

les,

gr

áfic

os d

e pu

ntos

, apo

rtand

o a

las

expr

esio

nes

de lo

s de

más

O

rgan

iza

los

dato

s en

tabl

as

y lo

s re

pres

enta

en

gráf

ico

de b

arra

s do

bles

o g

ráfic

o de

pu

ntos

.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Re

aliz

a pr

egun

tas

rele

vant

es

para

un

tem

a de

est

udio

y s

us

posi

bles

opc

ione

s de

resp

uest

a a

travé

s de

enc

uest

as.

D

eter

min

a la

tend

enci

a de

un

conj

unto

de

dato

s a

parti

r de

su

gráf

ico

Re

pres

enta

de

dife

rent

es

form

as u

n co

njun

to d

e da

tos,

em

plea

ndo

gráf

icos

es

tadí

stic

os.

Su

gier

en p

regu

ntas

par

a el

cu

estio

nario

de

una

encu

esta

pr

esen

tada

aco

rde

al p

ropó

sito

pl

ante

ado.

Ex

pres

a in

form

ació

n pr

esen

tada

en

cua

dros

, tab

las

y gr

áfic

os

esta

díst

icos

par

a da

tos

no

agru

pado

s ap

orta

ndo

a la

s ex

pres

ione

s de

los

dem

ás.

Em

plea

dife

rent

es g

ráfic

os

esta

díst

icos

par

a m

ostra

r dat

os

no a

grup

ados

y a

grup

ados

de

var

iabl

es e

stad

ístic

as y

sus

re

laci

ones

.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

Ex

pres

a el

sig

nific

ado

de la

m

oda

de u

n co

njun

to d

e da

tos.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

D

escr

ibe

el c

ompo

rtam

ient

o de

un

grup

o de

dat

os, u

sand

o co

mo

refe

renc

ia la

mod

a de

l co

njun

to d

e da

tos.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

Ex

pres

a lo

que

com

pren

de

sobr

e el

sig

nific

ado

de la

med

ia

aritm

étic

a y

la m

edia

na d

e un

gr

upo

de d

atos

con

eje

mpl

os y

ap

oyo

gráf

ico.

D

escr

ibe

el c

ompo

rtam

ient

o de

un

grup

o de

dat

os, u

sand

o co

mo

refe

renc

ia la

med

ia

aritm

étic

a y

la m

oda

del

conj

unto

de

dato

s.

Ex

pres

a in

form

ació

n y

el

prop

ósito

de

cada

una

de

las

med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l pa

ra d

atos

no

agru

pado

s y

agru

pado

s ap

orta

ndo

a la

s ex

pres

ione

s de

los

dem

ás.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

D

escr

ibe

la o

curr

enci

a de

ac

onte

cim

ient

os c

otid

iano

s us

ando

las

expr

esio

nes:

seg

uro,

po

sibl

e e

impo

sibl

e.

Re

gist

ra lo

s da

tos

en ta

blas

a

parti

r de

expe

rimen

tos

alea

torio

s co

n da

dos

o m

oned

as.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

U

tiliz

a ex

pres

ione

s co

mo

"más

pr

obab

le",

"men

os p

roba

ble"

pa

ra c

ompa

rar l

a oc

urre

ncia

de

dos

suce

sos

prov

enie

ntes

de

la

mis

ma

situ

ació

n al

eato

ria.

Re

gist

ra lo

s da

tos

en d

iagr

ama

de á

rbol

par

tir d

e ex

perim

ento

s al

eato

rios.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Ex

pres

a lo

que

com

pren

de

sobr

e la

pro

babi

lidad

de

un

even

to o

suc

eso

con

apoy

o de

ej

empl

os y

usa

ndo

leng

uaje

m

atem

átic

o.

Re

gist

ra e

n un

a ta

bla

o di

agra

ma

de á

rbol

, los

re

sulta

dos

de u

n ex

perim

ento

al

eato

rio.

Ex

pres

a co

ncep

tos

y re

laci

ones

ent

re e

xper

imen

to

dete

rmin

ístic

o y

alea

torio

, es

paci

o m

uest

ral y

suc

esos

, pr

obab

ilida

d, u

sand

o te

rmin

olog

ías

y no

taci

ones

ap

orta

ndo

a la

s ex

pres

ione

s de

lo

s de

más

.

Re

pres

enta

con

dia

gram

a de

l ár

bol u

na s

erie

de

suce

sos

y ha

lla e

l esp

acio

mue

stra

l de

un e

xper

imen

to a

leat

orio

par

a ex

pres

arlo

por

ext

ensi

ón o

por

co

mpr

ensi

ón.

73

ELABORAY USA ESTRATEGIASC

uarto

gra

doQ

uint

o gr

ado

Sext

o gr

ado

Prim

er g

rado

de

secu

ndar

ia

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Pr

opon

e id

eas

para

reco

ger y

or

gani

zar d

atos

cua

litat

ivos

o

cuan

titat

ivos

en

situ

acio

nes

de

su e

ntor

no fa

mili

ar y

esc

olar

.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

reco

lecc

ión

de d

atos

a p

artir

de

pre

gunt

as o

rale

s y

escr

itas,

en

cues

tas,

regi

stro

de

hech

os,

etc.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Pl

ante

a un

a se

cuen

cia

orde

nada

de

acci

ones

que

de

man

dan

reco

ger y

org

aniz

ar

dato

s cu

alita

tivos

o c

uant

itativ

os.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

reco

lecc

ión

de d

atos

com

o fu

ente

s de

info

rmac

ión

indi

rect

as (r

ecor

tes

de p

erió

dico

, en

carte

s de

sup

erm

erca

do,

revi

stas

, lec

tura

s, e

tc.)

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Pl

ante

a un

a se

cuen

cia

orde

nada

de

acci

ones

que

de

man

dan

reco

ger y

org

aniz

ar

dato

s cu

alita

tivos

o c

uant

itativ

os.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

reco

lecc

ión

de d

atos

com

o fu

ente

s de

info

rmac

ión

indi

rect

as (r

ecor

tes

de p

erió

dico

, en

carte

s de

sup

erm

erca

do,

revi

stas

, lec

tura

s, e

tc.)

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Re

cole

cta

dato

s cu

antit

ativ

os

disc

reto

s y

cont

inuo

s o

cual

itativ

os o

rdin

ales

y

nom

inal

es d

e su

aul

a po

r m

edio

de

la e

xper

imen

taci

ón o

in

terr

ogac

ión

o en

cues

tas.

O

rgan

iza

dato

s en

grá

ficos

de

barr

as y

circ

ular

es.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

O

rden

a lo

s da

tos

de m

ayor

a

men

or fr

ecue

ncia

par

a ha

llar l

a m

oda.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

C

alcu

la la

mod

a de

un

grup

o de

da

tos

orde

nand

o lo

s da

tos

en

tabl

as d

e fre

cuen

cia

o gr

áfic

os

de b

arra

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l:

D

eter

min

a la

med

ia d

e un

gr

upo

de d

atos

usa

ndo

oper

acio

nes

de ig

uala

ción

de

valo

res

o el

alg

oritm

o de

la

med

ia.

Se

lecc

iona

la m

edid

a de

te

nden

cia

cent

ral a

prop

iada

pa

ra re

pres

enta

r un

conj

unto

de

dato

s.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Em

plea

mat

eria

l con

cret

o y

la

vivi

enci

ació

n pa

ra re

cono

cer

suce

sos

o fe

nóm

enos

que

son

se

guro

s, p

osib

les

o im

posi

bles

.

Re

gist

ra e

n un

a ta

bla

la

frecu

enci

a de

ocu

rren

cia

de

even

tos

o fe

nóm

enos

.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Re

gist

ra e

n un

a ta

bla

la

frecu

enci

a de

ocu

rren

cia

de lo

s ev

ento

s o

fenó

men

os.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

C

alcu

la la

pro

babi

lidad

de

un

even

to p

or m

edio

de

la re

gla

de L

apla

ce. (

coci

ente

ent

re c

aso

favo

rabl

es y

el t

otal

de

caso

s)

D

eter

min

a po

r ext

ensi

ón

y co

mpr

ensi

ón e

l esp

acio

m

uest

ral.

Re

cono

ce s

uces

os s

impl

es

rela

cion

ados

a u

na s

ituac

ión

alea

toria

.

C

alcu

la la

pro

babi

lidad

por

la

regl

a de

Lap

lace

.

RAZONA Y ARGUMENTA GENERANDO IDEAS MATEMÁTICAS

Ex

pres

a su

s co

nclu

sion

es

resp

ecto

a la

info

rmac

ión

obte

nida

.

To

ma

deci

sion

es o

ela

bora

re

com

enda

cion

es s

obre

el t

ema

en e

stud

io y

las

just

ifica

.

Ju

stifi

ca lo

s pr

oced

imie

ntos

del

tra

bajo

est

adís

tico

real

izad

o y

la

dete

rmin

ació

n de

la d

ecis

ión(

es)

para

dat

os n

o ag

rupa

dos.

Ju

stifi

ca s

us p

redi

ccio

nes

sobr

e la

tend

enci

a de

l co

mpo

rtam

ient

o de

los

dato

s, a

pa

rtir d

el g

ráfic

o lin

eal.

Ju

stifi

ca s

us p

redi

ccio

nes

sobr

e la

tend

enci

a de

l co

mpo

rtam

ient

o de

los

dato

s, a

pa

rtir d

el g

ráfic

o lin

eal.

Ex

pres

a su

s co

ncus

ione

s re

spec

to a

la in

form

ació

n ob

teni

da.

A

rgum

enta

pro

cedi

mie

ntos

pa

ra h

alla

r la

med

ia, m

edia

na y

m

oda

de d

atos

no

agru

pado

s,

la m

edid

a m

ás re

pres

enta

tiva

de u

n co

njun

to d

e da

tos

y su

im

porta

ncia

en

la to

ma

de

deci

sion

es.

Ex

plic

a co

n ej

empl

os

basá

ndos

e en

exp

erie

ncia

s co

ncre

tas

si u

n su

ceso

es

segu

ro, p

osib

le o

impo

sibl

e

El

abor

a su

pues

tos

sobr

e la

oc

urre

ncia

de

suce

sos

con

lo m

ás p

roba

ble

y m

enos

pr

obab

le, b

asad

as e

n ex

perie

ncia

s co

ncre

tas.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re e

l re

sulta

do d

e un

exp

erim

ento

al

eato

rio, b

asán

dose

en

expe

rienc

ias

conc

reta

s

C

ompa

ra p

roba

bilid

ades

de

dist

into

s ev

ento

s, s

in c

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larla

s.

Pr

opon

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njet

uras

ace

rca

del

resu

ltado

de

un e

xper

imen

to

alea

torio

bas

ado

en s

uces

os

sim

ples

o c

ompu

esto

s.

74

Descripción y ejemplos de algunos indicadores

Indicador de quinto grado

Interpreta datos y relaciones (hasta dos variables cualitativas o cuantitativas discretas) en diversos problemas estadísticos, y los expresa en tablas de doble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos.

Capacidad: Matematiza situaciones

Descripción del indicador

Interpretar datos en primer lugar implica tener claro el tema de estudio y cómo los datos recogidos se relacionan con este tema. Asimismo, se debe tener en cuenta qué tipo de datos son los que se han recogido (cualitativos o cuantitativos).

Algunas definiciones que se debe conocer son las siguientes:

Frecuencia: es la cantidad de veces que se repite un dato. Por ejemplo: 5 niños dijeron que les gusta los gatos.

Variables cualitativas: Expresan categorías, cualidades, características o modalidad que nos permite hacer agrupamientos. Por ejemplo: deporte favorito, color, fruta o mascota que más les gusta, número de orden en una premiación (primero, segundo, tercero…), etc.

Variables cuantitativas discretas: Expresan cantidades que se puedan contar. Por ejemplo: el número de hermanos, el número de años, la cantidad de ventas diarias, cantidad de personas, etc.

Asimismo, en un problema se pueden recoger datos correspondientes a dos variables cualitativas o cuantitativas. Por ejemplo: día preferido para el deporte (cualitativa) y sexo (cualitativa), número de años (cuantitativa) y sexo (cualitativa), o edad (cuantitativa) y número de hermanos (cuantitativa).

Ejemplo de indicador precisado:

Identifica datos cuantitativos en problemas estadísticos en contexto escolar, expresándolos en tablas de doble entrada.

Expresar en tablas de doble entrada, gráficos de barras dobles o gráficos de puntos implica tener en cuenta cuáles son las variables, sus relaciones y sus frecuencias.

Variable cualitativadeporte

Variable cualitativasexo

- Vóley- Atletismo- Ciclismo

- Masculino- Femenino

Variable cuantitativaedad

Variable cualitativasexo

8910

- Masculino- Femenino- Masculino

Los datos lo constituyen los valores

de la variable.

Por ejemplo variable mascotaPueden tomar distintos valores:- perro.- gato.- loro, etc.

75

El siguiente ejemplo promueve el desarrollo de la capacidad:

Se aplicó una encuesta a todos los alumnos del 5.° grado para saber sobre las preferencias de los niños por los deportes más comunes. Esta informacion se tomará en cuenta para abrir talleres en el colegio.

Los niños y niñas tenemos distintos gustos y

preferencias. A algunos nos gusta hacer deportes, a

otros ver películas; por ejemplo, a mí me gusta salir

a montar bicicleta.En el colegio a algunos chicos le gusta la

Matemática pero a otros les gusta Comunicación...

Lo bueno es que son muchas las actividades que

podemos hacer de acuerdo con nuestros intereses;

lo importante es respetar nuestras diferencias,

aceptándonos como somos.

Para matematizar hay que reconocer lo siguiente:

Las variables o las categorías sobre las cuales hay que recolectar los datos. La población a quién se aplicará la encuesta. El objetivo de la recolección de datos. ¿Cuáles son los posibles valores de la variable? ¿Qué tipo de organizador usaré para ordenar la información? ¿Es conveniente separar la información en niños y niñas?

Así se podría registrar los tipos de datos sobre los cuales hay que investigar:

Conociendo la información podríamos organizar los datos en una tabla de doble entrada.

Variabledeporte

Variable sexo

Ciclismo

Básquet

Atletismo

Masculino

Femenino

Deportes practicado

por los niñosRecuento de datos

Ciclismo

Básquet

Atletismo

Deportes practicado

por las niñasRecuento de datos

Vóley

Natación

Atletismo

76

Indicador de sexto grado

Selecciona el modelo gráfico-estadístico más adecuado al plantear y resolver problemas.

Descripción del indicador

El desempeño descrito en este indicador implica que los estudiantes deben, en primer lugar, saber qué información se necesita obtener de los gráficos, para responder a las preguntas o interrogantes del problema. Por ejemplo, si la información que se necesita está relacionada con comparar las frecuencias de los datos, entonces puede usar un gráfico de barras; si los datos están organizados en cuadros de doble entrada, las barras pueden ser dobles o triples; si lo que se quiere es comparar cómo han cambiado los datos a lo largo de un período de tiempo es conveniente usar los gráficos lineales, etc.

Una heladería desea saber cuántos helados vende diariamente para hacer un presupuesto de inversión para los próximos meses. Además, quiere saber qué día de la semana es el que vende más. Para ello, todos los días anota la cantidad de helados en una lista. ¿Qué día vende más helados? ¿Cuántos helados vende al día?

Presentamos un ejemplo:

Para resolver el problema el estudiante reconoce que necesita comparar los datos para saber qué días vende más helados. Para ello, puede utilizar un gráfico de barras ya que en él se visualizan mejor las diferencias entre la cantidad (frecuencia) de helados por día. Pero, además, también necesita ver el promedio de la semana y en el gráfico de barras es posible ver la menor y la mayor cantidad de helados vendidos y se puede intuir que el promedio estará entre estas dos cantidades (frecuencias). Con un cálculo posterior puede determinarse el promedio y con el gráfico se sabrá que días vende más que el promedio y qué días menos.

En este gráfico puedo ver que el promedio debe estar entre 25 y 45 helados por día.

Días

L M M J V S D0

5

10

15

20

25

30

35

4045

50

Can

tidad

de

hela

do

Venta de helados en la semana

77

Descripción del indicador

Al analizar la información que brindan los gráficos, los estudiantes son capaces de expresar cómo se comportan los datos en un periodo de tiempo. Para ello, deben tener en cuenta aumentos o bajas en las cantidades (frecuencias), en qué tiempos se dan estas bajas o aumentos, si estas bajas o aumentos se mantienen constantes o se intercalan, etc.

Veamos cómo en el ejemplo anterior es posible determinar la tendencia de los datos. Algunas preguntas que el docente puede realizar para mediar el desempeño de los estudiantes son:

Capacidad: Comunica y representa ideas matemáticas

Indicador de sexto grado Determina la tendencia de un conjunto de datos a partir de su gráfico.

¿Qué pasa con la cantidad de helados vendidos al inicio de la semana? ¿Qué pasa el fin de semana? ¿Por qué crees que el fin de semana se vende más? ¿Crees que este comportamiento se repita en todas la semanas? ¿Puedes decir cómo es el comportamiento de los datos?

Días de la semana

Lunes0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Can

tidad

de

hela

do

Martes Jueves Viernes Sábado DomingoMiércoles

Venta de helados en la semana

78

Descripción del indicador

El estudiante puede utilizar ambos procedimientos para el cálculo de la media aritmética de un conjunto de datos.

Veamos un ejemplo:

Capacidad: Elabora y usa estrategias

Indicador de sexto grado Determina la media de un grupo de datos usando operaciones de igualación de valores o el algoritmo de la media.

Urpi quiere calcular su promedio de tiempo de las últimas carreras de entrenamiento que realizó. Ella participará en un campeonato de atletismo de 100 metros planos. Ayúdale a calcular su promedio.

0

5

lunes martes miércoles jueves viernes sábado domingo

10

15

20

25

30

35

40

45

50Venta de helado en la semana

Días de la semana

Can

tidad

de

hela

do

Esta información también puede ser presentada en un gráfico lineal.

79

Descripción del indicador

Observar este indicador implica que el estudiante debe suponer de manera intuitiva; es decir, dar por adelantado un resultado ante un hecho o fenómeno, de manera vivencial o usando material concreto, de tal forma expresa que existen sucesos en los cuales podemos asegurar que van o no a ocurrir, mientras que en otros podemos decir que tienen más o menos probabilidad de suceder. Por ello, se debe buscar situaciones donde el estudiante pueda decir:

Es probable que ocurra. Es imposible que ocurra. Es seguro que ocurra. Es más probable que ocurra. Es menos probable que ocurra.

Capacidad: Razona y argumenta generando ideas

Indicador de quinto grado Elabora supuestos sobre la ocurrencia de sucesos con lo más probable y menos probable, basadas en experiencias concretas.

matemáticas.

Usando el algoritmo de la media aritmética:

Primero, sumo todos mis tiempos. Después,

divido el resultado entre la cantidad de

entrenamientos.

Puedo jugar a las cartas y preguntar:

¿Es posible que se pueda sacar un rey

de corazones?

Media = = 2224 + 20 + 23 + 22 + 215

Usando operaciones de igualación de valores:

Mi promedio es alrededor de 22

segundos.

Resto y sumo para igualar mis tiempos.

Carreras de entrenamiento

Tiem

po (S

)

1.° 2.° 3.° 4.° 5.°0

5

10

15

20

2522

Tiempo registrado en los entrenamientos

1.°carrera

2.°carrera

3.°carrera

4.°carrera

5.°carrera

Tiempo (segundos) 24 20 23 22 21

80

Los estudiantes al vivenciar la situación con sus cubos de colores, pueden registrar lo que pasa al lanzar cada dado y luego de muchas jugadas (alrededor de 20), poder predecir por qué es más probable que salga un color u otro.

Luego de la experimentación podrán también expresar situaciones imposibles que sucedan o que sean menos probables de ocurrir.

Hilmer, Marisol y Carolina juegan con cubos de colores. Ellos han acordado que si logran adivinar el color que tendrá la cara superior después de lanzar el cubo, ganarán un premio.

Mi cubo tiene 5 caras rojas y

1 cara azul.

Mi cubo tiene las 4 caras

amarillas y 2 caras rojas.

El mío tiene 2 caras verdes y 4 caras rojas.

Marisol Carolina Hilmer

En quinto grado aún no cuantifican la probabilidad mediante la definición clásica como razón entre casos favorables y casos posibles.

Veamos un ejemplo:

3. Orientaciones didácticas

81

En este apartado vamos a presentar una selección de recursos para que sirvan como medio para plantear y resolver problemas relacionados con las cantidades y los números. No es una clasificación estricta, sino una lluvia de ideas y un abanico de posibilidades para que los docentes tengan caminos por donde investigar y desarrollar el trabajo cotidiano.

En todos los casos los estudiantes comunican y representan las ideas matemáticas sobre lo que comprenden sobre el número, las fracciones y los decimales, empleando lenguaje matemático apropiado; elaboran y usan estrategias al resolver los problemas u operaciones usando diferentes procedimientos o algoritmos y razonan y argumentan el porqué de sus resultados.

3.1 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

3.1.1 Recursos para plantear y resolver problemas

Juegos

Recursos TIC Prensa

82

B I N G O4 17 40 59 69

10 24 41 58 68

2 26 48 71

3 28 35 52 62

7 21 49 66 65

B I N G O14 16 44 50 698 26 39 51 687 18 42 712 27 38 55 626 30 44 60 65

B I N G O5

24 34 50 69

15 16 33 51 68

729

42 71

925 38 55 62

722 44 60 65

1. Juegos

El juego tiene mucho atractivo para los niños y lo convierte en uno de los mayores motores de motivación en la integración de los alumnos para la marcha de la clase. Escoger un buen juego es como escoger un buen problema, pues debe ser el punto de partida para que los niños y niñas actúen y piensen matemáticamente al aplicar o construir conceptos matemáticos.

Incluimos algunos juegos como: el bingo, rompecabezas, cartas y los juegos numéricos como "Atraviesa el panal" o la "Estrella numérica".

Descripción

Es un juego para toda la clase. Se pueden utilizar los cartones de bingo normales

o construidos por los alumnos y los padres de familia. Las bolas del bingo serían

tarjetas con operaciones o problemas, cuyos resultados son los distintos números

que aparecen en las tarjetas.

Un estudiante elige una tarjeta del montón colocado boca abajo en la mesa;

se plantea una operación o un problema y los estudiantes hacen los cálculos y

tachan o colocan una ficha en la tarjeta del bingo, hasta conseguir BINGO (cartón

lleno o solo una fila.

Variantes del bingo

• Bingo de fracciones equivalentes.

• Bingo de equivalencia entre fracciones,

decimales o porcentajes.

Descripción

Es un juego individual o para grupos pequeños. Consiste en construir varias

cuadrículas. Se resuelve el rompecabezas uniendo las piezas por los lados donde

aparezca la operación y el resultado correspondiente a las dos operaciones serán

equivalentes.

A los estudiantes se les entrega una copia del rompecabezas desordenado, para

que ellos lo recorten y peguen correctamente en su cuaderno. Ejemplos de estos

rompecabezas lo podemos encontrar en los libros de Antonieta de Ferro o en la

página web http://www.actiludis.com/?p=19294.

Bingo

Rompecabezas

83

Descripción

Es un juego por parejas.

Se desarrolla sobre un tablero de forma de panal, con fichas o tapas de dos

colores distintos para cada jugador. Cada uno, por turno elige dos números

del rectángulo, realiza la operación y, si encuentra el resultado sobre el tablero,

coloca una de sus fichas. Gana el jugador que consiga unir mediante una línea

(recta o quebrada), dos bordes opuestos del panal.

Variantes del panal

• Operaciones combinadas.

• Potencias cuadradas y cúbicas.

• Operaciones equivalentes.

Descripción

Es un juego formado por 51 barajas o naipes; de los cuales 48, tienen numeradas

los números desde el 1 hasta el 48 y 3 comodines, para el valor que le asigne el

jugador en cada jugada. Las reglas del juego son:

• Un jugador por turno, reparte cuatro cartas a cada jugador y descubre una

boca arriba: será la llamada “carta muestra”. El resto de las cartas lo coloca

boca abajo en la mesa.

• Comienza el juego el jugador situado a la derecha del que reparte las cartas. Y

comienza diciendo, por ejemplo: “divisores de… [aquí menciona el número que

corresponde a la carta muestra]”. Puede colocar una sola carta a la derecha o

a la izquierda de la carta muestra, siempre que tenga algún divisor en común

con ella (divisor que tiene que explicitar al colocarla); asimismo, puede colocar

la carta hacia arriba o hacia abajo de la carta muestra si, respectivamente, es

múltiplo o divisor de esta.

• Si no tiene ninguna carta que satisfaga las condiciones del punto anterior, roba una

del montón y la coloca si puede. Si no, pasa el turno al jugador de su derecha.

Variantes del rompecabezas

• Rompecabezas de operaciones combinadas,

de operaciones con fracciones, de potencia

cuadrada y cúbica, de porcentajes usuales, etc.

Atraviesa el panal

Barajas de múltiplos y divisores

100 0,4 5 1 12,5

40 6,25 20 2,5 40

2,5 8 0,16 16 250

2 0,5 2 6,25 0,05

0,02 50 0,4 0,01 100

ATRAVIESA EL PANALCON MULTIPLICACIONES O

DIVISIONES

0,5 40,25 10

25

84

El jugador siguiente procede de la misma manera, pero puede hacerlo con

cualquiera de las dos cartas que haya en los extremos horizontales de la

cadena que se vaya formando.

El ganador del juego es el primer jugador que coloca todas sus cartas o el

que menos cartas tenga en su poder cuando ya nadie pueda colocar cartas.

Si la carta “muestra” que aparece es un número primo, las dificultades de

colocar cartas son mayores. En ese caso, además de las posibilidades

descritas, se pueden colocar debajo de la carta muestra, y tapadas por

ella, cartas que representen a otros números primos. (Esta regla puede

no explicitarse, y únicamente ponerse en circulación cuando un grupo de

jugadores –que puede ser toda la clase– comente que hay algunos números

que hacen más difícil el juego, y se llegue a caracterizar que esos son los

números primos).

2. Prensa

La prensa escrita y la televisiva invaden los hogares peruanos diariamente. Los niños tienen que acercarse a ella de manera crítica hacia los diferentes tipos de medios y evaluar la influencia en su formación.

A continuación algunas actividades:

Búsqueda de números:

Se pide a los estudiantes que busquen números naturales mayores que cinco

cifras e indiquen su significado: si son números que expresan una medida de

longitud, peso, dinero, etc. o si son números para contar o codificar.

Se les pide buscar números decimales y las situaciones o contextos en los que

son utilizados.

Se les pide representar de diversa forma usando material concreto, gráfico, según

su valor posicional y empleando descomposiciones aditivas y multiplicativas

(1 245 = 1 000 + 200 + 40 + 5 = 1 × 1 000 + 2 × 100 + 4 × 10 + 5).

Los estudiantes pueden redondear, ordenar y comparar los números.

Se plantean y resuelven problemas aditivos o multiplicativos con números

naturales, decimales o fracciones a partir de la situación encontrada.

Comparar medidas:

Se buscan objetos que pesen más que el niño, o se comparan los pesos entre los

diversos objetos.

Se buscan objetos que midan más o menos que el niño.

Se pide que clasifiquen los objetos y formen subconjuntos con ellos.

85

Problemas con el tiempo

Revisar anuncios de viajes y plantear preguntas y problemas a partir de la duración

y costo del viaje.

Revisar los horarios de la programación televisiva o de cine, estimar los tiempos

que pasan viendo televisión.

Establecer horarios para ver televisión, ir al cine, practicar deportes, realizar una

actividad cultural.

Ordenar las temperaturas en diferentes ciudades del Perú y del mundo, desde el

lugar más frío al de más calor.

Máncora Disney San Andrés

LOS MEJORES DESTINOS PARA EL 2015

3 días / 2 noches 4 días / 3 noches 4 días / 3 noches

DesdeUSD 139

S/. 431

DesdeUSD 454S/. 1,408

DesdeUSD 669S/. 2,074

3. Recursos TIC

Las herramientas relacionadas con la tecnología ofrecen hoy en día una amplia y variada gama, donde el docente podrá crear experiencias de aprendizaje enriquecidos para que los estudiantes la perciban como una ciencia experimental y exploratoria.

La calculadora para plantear y resolver problemas

Se malogró la tecla 5: ¿puedes multiplicar 45 x 8, sin usar la tecla 5?

Se malogró la tecla 2: ¿puedes sumar estos decimales 0.25 + 1.75 sin usar esta tecla?

¿Qué procedimientos puedes emplear para hallar el cociente y el residuo de

152 ÷ 5? ¿Qué conocimientos se ponen en juego?

Recursos digitales

En la página web de la Junta de Andalucía y el Gobierno de Canarias encontrarás recursos donde los niños podrán experimentar con los conceptos matemáticos.

http://agrega.juntadeandalucia.es/visualizar/es/es-an_2010032613_9081245/null

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/fracciones/

html/recuerda.html

86

En la Biblioteca Nacional de Manipuladores Virtuales de la Universidad de Utah (NLVM) encontrarás interesantes softwares donde los niños podrán experimentar con material concreto e instrumentos, las operaciones matemáticas y además de manipuladores como el geoplano, mosaicos y balanzas para desarrollar otras competencias matemáticas.

3.1.2 Investigamos números en la prensa escrita

Descripción

Esta actividad consiste en explorar en los diferentes medios escritos los diferentes

usos de los números que aparecen en los avisos publicitarios, en las noticias, etc.

Por lo que constituye un buen recurso para relacionar las cantidades y los números

en contextos reales y reflexionar sobre su utilidad e importancia en nuestra vida.

Los diferentes números que aparecen en los afiches (naturales, fracciones o

decimales), constituyen un punto de partida para desarrollar comprensivamente

los números.

Relación con las capacidades e indicadores

El propósito de esta actividad está relacionado con que los estudiantes comuniquen

y representen al expresar de forma oral o escrita el uso de los números decimales

en contextos de la vida diaria, como medida, además de representar en forma

concreta, gráfica y simbólica los decimales hasta el centésimo; también razonan

y argumentan al conjeturar sobre las diferentes formas de representar un número

decimal.

Aplicación de la estrategia

Plantearemos esta situación a los estudiantes a partir de un afiche publicitario

donde se observen números decimales.

http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html

87

EsSalud promueve campañas para una vida saludable, por ello convoca a la

comunidad a fin de realizar una caminata familiar, en ella pueden participar los

abuelos, padres e hijos.

Pedro está leyendo el afiche que muestra el recorrido de la caminata y no entiende

qué quiere decir 8.5 k. Ayúdale a entender esta información.

http://prensa-oficial-estado.deperu.com/2012/12/manana-se-realiza-la-5-caminata.html

Paso 1: Identificar los usos de los números

Realiza preguntas para interpretar la información que hay en el afiche:

¿ De qué se trata?

¿Quién lo promueve?

¿Qué datos hay? Reconoce los símbolos y sus significados.

Registra los datos en una tabla, describe los usos de los números.

En este caso se encontró los números para expresar la medida del tiempo y longitud

y el número como ordinal.

2012: señala el año en que se realiza la caminata.

5.° es un número ordinal que indica que es la quinta vez que se realiza el evento

y al parecer es cada año, lo que les puede llevar a inferir: ¿en qué año se realizó

la primera caminata?, ¿Cuántos años tenían ustedes?

8.5 k: señala la distancia que se recorrerá en la caminata. En las noticias siempre

van a aparecer errores como éste. El símbolo correcto de kilómetro es km. La

distancia que habría que caminar es 8 kilómetros y medio.

10:00 a. m. señala que la hora de inicio de la caminata es a las diez de la mañana.

8888

110

= 0,1Con el material

Base Diez, la

representación de 8

unidades 5 décimos

quedaría así:

8 unidades 5 décimos

Uso de los números

El número según Fuson,

citado en Chamorro

(2006) distingue siete

contextos:

Tres contextos

matemáticos: cardinal,

ordinal y medida.

Dos contextos social y

utilitario: secuencia y

conteo.

Contexto simbólico

(números mágicos,

cálculos).

Contexto no numérico

(etiquetas, DNI).

Paso 2: Representamos el número decimal de diversas formas

Representamos 8,5 con material concreto (Base Diez, el ábaco y las regletas)

Con las regletas, podemos observar que 510

es equivalente a 12

.

12

12

110

510

Número encontrado

El número se usa como: Descripción:

5.° OrdinalIndica que es la quinta vez que se

realiza un evento de este tipo.

8.5 k Medida de longitudIndica la distancia total de la caminata.

Su escritura correcta es 8, 5 km.

Registra en la siguiente tabla la información encontrada, por ejemplo:

89

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8,5

Representamos en forma gráfica (recta numérica).

Representamos en forma simbólica (tablero de valor posicional, fracción

decimal y expresión decimal).

D Decenas

UUnidades

, ddécimos

8 , 5

En fracción decimal En expresión decimal

8,5 = 8 + + + + +110

110

110

110

110

= 8 +

= 8,5

0,5510

12

8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1

Observa que en el afiche se escribe el número decimal con punto, esta es

una notación válida para escribir una expresión decimal. También en las

calculadoras se hace uso del punto.

¿Cuál es el significado de 8,5 km? La distancia a recorrer se representa así:

8 km + 12

km, se lee 8 kilómetros y medio.

Solicita a los estudiantes que formulen números decimales y realicen sus

variadas representaciones.

Pide a los estudiantes que expresen el significado sobre lo que comprenden de

los números decimales.

¿Los centésimos y los milésimos se representarían de la misma forma con el

material Base Diez? Solicita que elaboren afirmaciones respecto a ello y que

luego comprueben sus afirmaciones con material concreto.

De los gráficos anteriores se desprende la presentación simbólica de 8,5. Usando

fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta

manera.

8,5 = 8 +

8,5 = 8 +

8988

110

= 0,1Con el material

Base Diez, la

representación de 8

unidades 5 décimos

quedaría así:

8 unidades 5 décimos

Uso de los números

El número según Fuson,

citado en Chamorro

(2006) distingue siete

contextos:

Tres contextos

matemáticos: cardinal,

ordinal y medida.

Dos contextos social y

utilitario: secuencia y

conteo.

Contexto simbólico

(números mágicos,

cálculos).

Contexto no numérico

(etiquetas, DNI).

Paso 2: Representamos el número decimal de diversas formas

Representamos 8,5 con material concreto (Base Diez, el ábaco y las regletas)

Con las regletas, podemos observar que 510

es equivalente a 12

.

12

12

110

510

Número encontrado

El número se usa como: Descripción:

5.° OrdinalIndica que es la quinta vez que se

realiza un evento de este tipo.

8.5 k Medida de longitudIndica la distancia total de la caminata.

Su escritura correcta es 8, 5 km.

Registra en la siguiente tabla la información encontrada, por ejemplo:

89

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

8,5

Representamos en forma gráfica (recta numérica).

Representamos en forma simbólica (tablero de valor posicional, fracción

decimal y expresión decimal).

D Decenas

UUnidades

, ddécimos

8 , 5

En fracción decimal En expresión decimal

8,5 = 8 + + + + +110

110

110

110

110

= 8 +

= 8,5

0,5510

12

8,5 = 8 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1

Observa que en el afiche se escribe el número decimal con punto, esta es

una notación válida para escribir una expresión decimal. También en las

calculadoras se hace uso del punto.

¿Cuál es el significado de 8,5 km? La distancia a recorrer se representa así:

8 km + 12

km, se lee 8 kilómetros y medio.

Solicita a los estudiantes que formulen números decimales y realicen sus

variadas representaciones.

Pide a los estudiantes que expresen el significado sobre lo que comprenden de

los números decimales.

¿Los centésimos y los milésimos se representarían de la misma forma con el

material Base Diez? Solicita que elaboren afirmaciones respecto a ello y que

luego comprueben sus afirmaciones con material concreto.

De los gráficos anteriores se desprende la presentación simbólica de 8,5. Usando

fracciones decimales y descomposiciones aditivas se podría representar de esta

manera.

8,5 = 8 +

8,5 = 8 +

90

Autores como Polya, Burton, Mason, Stacey y Shoenfield sugieren pautas para la

resolución de problemas. Los siguientes pasos (García, 1992) se basa en los modelos

de los autores.

Pasos de la estrategia

1. Comprender el problema

Lee el problema despacio.

¿De qué trata el problema?

¿Cómo lo dirías con tus propias palabras?

¿Cuáles son los datos? ¡Lo que conoces! ¿Cuál es la incógnita? ¡Lo que buscas!

¿Cuáles son las palabras que no conoces en el problema?

¿Encuentras relación entre los datos y la incógnita?

Si puedes haz un esquema o dibujo de la situación.

3.1.3 Estrategias para la resolución de problemas

Paso 3: Realizando conversiones de kilómetros a metros

Observa la relación entre las distancias de una fila a otra y completa los

espacios en blanco.

Tabla 2 Tabla 3

Distancia(km)

Distancia(m)

1 1 000

121418

La mitad

La mitad

En las tablas se observa las relaciones que se establecen entre unidades de

una misma magnitud. Así en la tabla 1 las dos primeras medidas se relacionan

con la segunda a través del doble; de otro lado si multiplico por 5 a un kilómetro

y por 5 a 1 000 metros, obtendré 5 000 metros. En la tabla 2, para obtener los

valores desconocidos relacionados con la distancia en metros, se establece

una relación de mitad, cuarta, octava o dividir entre 2, 4 y 8.

Distancia(km)

Distancia(m)

1 1 500

2

6

8

1212121212

x 2

Tabla 1

Distancia(km)

Distancia(m)

1 1 000

2 2 000

5

8

x 2x 2

91

2. Concebir un plan o diseñar una estrategia

¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?

¿Podrías plantear el problema de otra forma?

Imagínate un problema parecido pero más sencillo.

Supón que el problema ya está resuelto ¿Cómo se relaciona la situación de llegada con la de partida?

¿Utilizas todos los datos cuando haces el plan?

3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia

Al ejecutar el plan, compruebas cada uno de los pasos.

¿Puedes ver claramente que cada paso es el correcto?

Antes de hacer algo, piensa: ¿qué consigo con esto?

Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que haces y para que lo haces.

Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo.

4. Reflexionar sobre el proceso seguido

Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has averiguado

Fíjate en la solución ¿te parece que lógicamente es posible?

¿Puedes comprobar la solución?

¿Puedes hallar alguna otra solución?

Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que has hallado.

Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y plantear nuevos problemas.

Orientaciones para el planteamiento de problemas

El verdadero problema es aquel que pone a los estudiantes en una situación nueva,

ante la cual no disponen de procedimientos inmediatos para su resolución. Por ende,

un problema se define en cuanto a su relación con el sujeto que lo enfrenta y no en

cuanto a sus propiedades intrínsecas; es un reactivo que involucra a los estudiantes en

una actividad orientada a la abstracción, la modelación, la formulación, la discusión,

etc. (Isoda y Olfos, 2009).

Un buen problema para la clase es aquel accesible a la mayor parte de los estudiantes

y cuya resolución admite varios métodos o caminos, tanto intuitivos como formales. Si

bien el proceso de exploración es lento, lleva a una comprensión más profunda (Isoda

y Olfos, 2009).

92

Ejercicio Problema

Según las acciones

La actividad es simple y reproductiva.Aplican un algoritmo, una fórmula, conocimientos ya adquiridos.

Requiere un tiempo de la comprensión de la situación.Diseñar estrategias y desarrollarlas.Evaluar sus resultados y consecuencias.

Cantidad y calidad

Resolver una gran cantidad de ejercicios no garantiza ser un buen resolutor de problemas.

Los buenos resolutores invierten tiempo en dos procesos: la comprensión y la metacognición o evaluación de sus resultados.

Desarrollo de capacidades

Replican conocimientos aprendidos.

Los desafía y los motiva a investigar, experimentar, hallar regularidades y desarrollar estrategias de resolución.

Desarrollo de cualidades personales

Reproducir conocimientos, procedimientos, técnicas y métodos genera con el tiempo pasividad en los estudiantes.

Despierta una alta motivación y participación por querer resolver el problema.Movilizan experiencias previas y conocimientos adquiridos.Hacen supuestos, experimentan, trazan planes y, por último, sienten la satisfacción de haber solucionado el problema.

¿Cómo diferenciar un problema de un ejercicio?

Veamos el siguiente cuadro:

93

Aplicación de la estrategia

La casa de David no tiene agua potable. Ellos compran y almacenan cilindros con agua. David llenó 2

8 del cilindro, y su hijo Carlos los 3

8.

¿Qué parte del cilindro falta llenar?

Descripción

A partir de este problema aditivo, se aplicará los cuatros pasos para resolver

problemas.

Relación con las capacidades e indicadores

Al resolver este problema los estudiantes matematizan al plantear relaciones entre

los datos en problemas de una etapa, expresándolos en un modelo de solución

aditiva con fracciones, comunican lo que comprenden respecto a la adición de

fracciones y razonan y argumentan al explicar sus procesos y resultados.

Paso 1: Comprender el problema

1. ¿De qué trata el problema?

De la forma como almacenan agua David y su familia y se quiere averiguar cuánto les falta para llenar el cilindro, dado que David y su hijo Carlos ya echaron una cierta cantidad.

2. ¿Cuáles son las acciones que realizan David y Carlos?

Agregan agua al cilindro.

3. ¿Qué te solicita el problema?

Hallar lo que falta para llenar totalmente el cilindro con agua.

Paso 2: Concebir un plan o diseñar una estrategia

1. ¿Este problema es parecido a otro que ya conoces?

Este problema ya es conocido, pues se ha trabajado antes en los primeros grados, pues la acción que se realiza es agregar.

2. ¿Cómo podría plantear el problema?

Se podría utilizar regletas de fracciones, realizar un dibujo del cilindro o un rectángulo o al plantear el problema, usaré todos.

94

Paso 3: Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia

Planteando el modelo con un esquema y una operación

Dependiendo del modelo de solución se aplicará la estrategia, que puede ser:

completando a la unidad, contando las partes pintadas, aplicando el algoritmo

de la adición con fracciones homogéneas.

Paso 4: Reflexionar sobre el proceso seguido

Luego de plantear el modelo de solución y la estrategia, fíjate si los datos

corresponden al problema.

¿La solución 58

es lógicamente posible? Si es posible, pues las cantidades

iniciales fueron menores al resultado.

Formula otros problemas parecidos a partir del resultado.

Problemas aritméticos de una etapa (PAEV)

Los problemas aritméticos nos muestran las diferentes situaciones de la realidad en las cuales se aprecia fenómenos que responden al campo aditivo (adición y sustracción) o al campo multiplicativo (multiplicación o división).

En este ciclo se desarrollarán también otros problemas aditivos de una etapa o de un solo paso que por su formulación o estructura sintáctica, son de mayor complejidad como los problemas de comparación 5 y 6. Estos problemas para su resolución solo se requiere de una operación y se resuelven por medio de la adición o la sustracción.

Asimismo también se desarrollarán problemas aditivos de varias etapas con naturales, fracciones y decimales y problemas de varias etapas que requieren de utilizar varias operaciones combinadas para su resolución. Estos problemas pueden ser de contexto real –ocurren efectivamente en la realidad– o factibles de producirse.

Planteando el modelo de solución con regletas.

Planteando el modelo de solución con un gráfico rectangular.

Lo que llenó Carlos

Lo que llenó David

David Carlos

El cilindro

¿?

28

38

+ =28

28

+ 38

+

nada ?estado inicial estado final

95

B. Problemas de igualación

Estos problemas presentan las siguientes características:

En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”.

En este problema se trata de igualar dos cantidades.

Comparación 5 (CM5)

Problema en la que se quiere averiguar la cantidad referente conociendo la comparada y la diferencia en más de ésta.

Julio mide 1,3 m y mide 0,12 m más que Fernanda. ¿Cuánto mide Fernanda?

Modelo de solución

Comparación 6 (CM6)

Se quiere averiguar la cantidad referente conociendo, la comparada y la diferencia en menos de ésta.

Miguel pesa 48,5 kg, y pesa 9 kg menos que José. ¿Cuánto pesa José?

1,3¿?

Julio Fernanda

+ 0,12

48,5 kg

Miguel José

Describiremos los problemas aditivos-sustractivos con números naturales y decimales, sugeridos para el V ciclo, en los cuales se darán sugerencias sobre los tipos de modelos de solución planteados con material concreto, pictórico y gráfico.

A. Problemas de comparación con decimales

Estos problemas presentan las siguientes características:

En estos problemas se comparan dos cantidades y se establece una relación de comparación entre ellas. Los datos son las cantidades y la diferencia que existe entre ellas. Dado que una cantidad se compara con otra, una cantidad es el referente y la otra cantidad es la comparada, es decir, la cantidad que se compara con respecto al referente.

A continuación, se describen los problemas para el V ciclo.

1. Problemas aditivos de una etapa

- 9

¿?

96

Igualación 3 (IG3)

Se conoce la primera cantidad y lo que hay que añadir a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la segunda cantidad.Sugerido para 5.° grado.

Juan tiene S/. 1 700 de ahorros. Si Rebeca ganara S/. 600, tendría lo mismo que Juan. ¿Cuánto dinero tiene Rebeca?

Igualación 4 (IG4)

Se conoce la cantidad del primero y lo que hay que quitar a la segunda para igualarla con la primera. Se pregunta por la cantidad del segundo.Sugerido para 5.° grado.

Una empresa A gana S/. 41 700 en un año. Si otra empresa B gasta S/. 8 760, tendría ganancias como la primera ¿Cuánto de ganancia en total tiene la empresa B?

Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta conseguir hacerla igual a la otra.

Surgen 6 tipos de problemas.

A continuación, describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.

Juan

1 700

?

Rebeca

600

41 700

8 760

Gana

Gasta

Empresa A Empresa B

Ganan-cia de

Empre-sa A

97

C. Problemas de igualación (IG 5, IG6) con decimales

Estos problemas presentan las siguientes características:

En el enunciado se incluyen las palabras “tantos como”, “igual que”

En este problema se trata de igualar dos cantidades.

Se actúa en una de las cantidades aumentándola o disminuyéndola hasta conseguir hacerla igual a la otra.

Es al mismo tiempo un problema de cambio y otro de comparación, pues una de las cantidades se modifica creciendo o disminuyendo para ser igual a la otra cantidad.

Surgen 6 tipos de problemas.

A continuación describiremos los problemas sugeridos para el V ciclo.

Igualación 5 (IG 5)

Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (añadiendo o en más), debiéndose averiguar la cantidad que sirve de referente.

Flavio gana S/. 645,56, si le dieran S/. 122,34 más, ganaría lo mismo que Ernesto. ¿Cuánto gana Ernesto?

Igualación 6 (IG 6)

Se conoce la cantidad a igualar y la igualación (quitando o en menos), debiéndose averiguar la cantidad que sirve de referente.

El 5.° A recaudó S/. 25,4 en la venta de papas rellenas. Si gastara S/. 3,80 tendría lo mismo que el 5.° B. ¿Cuánto dinero tiene el 5.° B?

¿?

-3,8

122,34

645,56

ErnestoFlavio

S/. 25,4

5.° A 5.° B

¿?

98

1. Problemas de comparación en más o "veces más que"

Problemas de estructura multiplicativa de una etapa de multiplicación o división

1. Problemas de comparación en más o de la forma “veces más que”.

Multiplicación- Comparación en más o amplificación

Quinto grado

División-partitiva-comparación en más.

División agrupación-comparación en más.

2. Problemas de comparación en menos o de la forma “veces menos que”

Multiplicación-comparación en menos Sexto grado

División partición en menos.

División cuotición en menos.

3. Problemas de combinación o producto cartesiano

Combinación-multiplicación o producto cartesiano

Sexto grado

Combinación-división o producto cartesiano

Multiplicación comparación en más

División partitiva comparación en más.

División agrupacióncomparación en más.

Dada una primera cantidad (multiplicando)

Otra cantidad, que es las veces que otro la tiene de más (multiplicador, de diferente naturaleza que el multiplicando).

Se pregunta por la cantidad ampliada (producto)de la misma naturaleza que el multiplicando.

Dada una cantidad (dividendo).

Otra cantidad, que es las veces que tiene de más (divisor). Esta cantidad es de distinta naturaleza.

Se pregunta por la cantidad reducida (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Se dan dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor)

Se pregunta por la cantidad de veces (cociente) que la mayor contiene a otra.

José ahorró S/. 25,5. Mariela tiene ahorrado cuatro veces más dinero que él. ¿Cuánto dinero tiene Mariela?

Mariela tiene S/. 102, que es cuatro veces más que el dinero de José. ¿Cuánto dinero tiene José?

Mariela ahorró S/. 102 y José ahorró S/. 25,50. ¿Cuántas veces más ahorró Mariela que José?

Modelo de solución Modelo de solución Modelo de solución

?S/.25.50

Mariela tiene 4 veces más

Josécantidad referente

Marielacantidad ampliada

S/.25.50José

Mariela ?

x 4S/. 102Mariela

José ?

: 4S/. 102Mariela

José S/.25.50

?

Marielacantidad referente

Josécantidad reducida

S/. 102

?

4 veces más

S/.25.50

S/. 102

JoséMariela

¿Cuántas veces más?

99

2. Problemas de comparación en menos o de la forma "veces menos que"

3. Problemas de combinación o producto cartesiano

Multiplicación comparación en menos

División partitiva comparación en menos

División agrupacióncomparación en menos

Dada una primera cantidad (multiplicando)

Otra cantidad, que es las veces que otro la tiene de menos (multiplicador, de diferente naturaleza que el multiplicando).

Se pregunta por la cantidad ampliada (producto)de la misma naturaleza que el multiplicando.

Dada una cantidad (dividendo).

Otra cantidad, que es las veces que tiene de menos (divisor). Esta cantidad es de distinta naturaleza.

Se pregunta por la cantidad reducida (cociente) de la misma naturaleza que el dividendo.

Se dan dos cantidades de la misma naturaleza (dividendo y divisor)

Se pregunta por la cantidad de veces (cociente) que una es menor que la otra.

Un elefante al nacer pesa en promedio 118 kg. Su peso es cincuenta y tres veces menos que cuando es adulto. ¿Cuánto pesa un elefante adulto?

Un elefante adulto pesa 6 254 kg. Un elefante bebé pesa cincuenta y tres veces menos que un elefante adulto. ¿Cuánto pesa un elefante bebé?

Un elefante adulto pesa 6 254 kg. Un elefante bebé pesa 118 kg. ¿Cuántas veces menos pesa el elefante bebé que el elefante adulto?

Modelo de solución Modelo de solución Modelo de solución

En estos tipos de problemas se combinan dos cantidades determinadas, para formar una tercera. Estas cantidades se combinan uno a uno, con independencia de su orden de colocación.

?118 kg

Pesa 53 veces menos que

Elefante bebécantidad referente

Elefante adultocantidad ampliada

118 kgElefante bebé

Elefante adulto ?

x 536 254 kg

Elefante bebé

Elefante adulto

?

: 536 254 kg

Elefante bebé

Elefante adulto

118 kg

?

6 254 kg

6 254 kg

? 118 kg

Pesa 53 veces menos que

¿Cuántas veces menos?

Elefante adultocantidad referente

Elefante adultoElefante bebécantidad reducida

Elefante bebé

Combinación multiplicación Combinación división

Dadas dos cantidades de distinta naturaleza (multiplicando y multiplicador), se pregunta por el número de combinaciones posibles (producto).

Dada una cantidad (dividendo) y el número de combinaciones (divisor), se pregunta por la otra cantidad que se combina (cociente).

¿De cuántas formas distintas se pueden combinar 2 blusas y 3 faldas?

Se pueden combinar de 6 formas distintas faldas y blusas. Si hay 3 faldas, ¿cuántas blusas son necesarias?

?formas

Hay 6formas

?blusas

blusa roja

blusa amarilla

100

Problemas de reparto

En estos problemas se pretende analizar si es posible seguir repartiendo lo que queda y además seguir repartiendo en forma equitativa.

Estos problemas se conectan con los conocimientos previos de los niños con respecto a la división, por lo que la “estrategia” de resolución es la división entre números naturales. Analizar lo que sobra, lleva necesariamente a que los niños sigan repartiendo, por lo que aparecerá de manera espontánea el concepto de fracción, donde ya los números naturales no son pertinentes para dar la respuesta.

Problemas:

1. Reparte 23 chocolates entre 5 de tus compañeros en forma equitativa. ¿De cuántas formas diferentes puedes hacerlo? Busca otros repartos que sean equivalentes a este.

2. Para decorar las bancas de la capilla se necesitan trozos de 14

m de cinta. Cada niño compró rollos de cinta distintos. Margarita con su rollo pudo cortar 8 trozos; Fernando, 6 y Joaquín, 5. A ninguno de los niños le sobró cinta. ¿Cuál era la longitud de cinta de cada uno?

Problemas con fracciones

El sentido de enseñar los números racionales se debió a que se necesitaba resolver problemas que no podían ser dilucidados con los números naturales. Los números naturales y los racionales tienen características diferentes, por lo que en los primeros ciclos de la Educación Básica implica ciertas rupturas con lo que se aprendió respecto a los números naturales, y esto ya lo torna complejo. Por ejemplo, en los primeros grados se tiene la certeza que 2 es menor que 3 y esta misma característica no se puede emplear con las fracciones al indicar, por ejemplo que 1

2 es menor que 1

3. ¿Cómo

hacer comprender a los niños que esta afirmación es errónea y que ya no funciona como en los números naturales?

En tal sentido, se sugiere enseñar las fracciones en problemas de contexto real, que impliquen expresar repartos, medidas o relaciones entre las partes y el todo. En el enfoque de resolución de problemas se cambia la organización de enseñar por contenidos en forma aislada y desconectada por la enseñanza de las fracciones a partir de problemas; así, los conceptos de fracción y su denominación, fracciones mixtas y equivalentes aparecerán de forma natural y relacionada, por lo que su aprendizaje queda garantizado y será duradero. Enseñar las fracciones de forma separada o aislada, puede resultar más sencillo, pero es superficial y menos duradero, porque se olvida fácilmente aquello que no aparece relacionado dentro de una organización y donde las distintas nociones aparecen desconectadas.

101

Dos modelos de solución, del problema 1 donde se observa el reparto de las cantidades, la partición de la unidad y también el modelo numérico.

Estos problemas favorecen la aparición simultánea de fracciones mayores y menores que el entero, y con iguales y distintos denominadores, lo que permite salir de la lógica, según la cual es necesario enseñar primero un tipo de fracciones (por ejemplo, los menores que la unidad) para recién después utilizar otras.

Según esta lógica, se permite ir configurando un entramado que vincule unas fracciones con otras, que pueda ir complejizándose y creciendo. Por ejemplo, al poder establecer conexiones entre medios y cuartos, octavos y medios, quintos y décimos, tercios y sextos, para ir ampliando progresivamente de repertorio de fracciones usuales a otras fracciones con otros denominadores. Se corrobora que a partir de un problema se pueden desarrollar varios conceptos matemáticos con referencia a la fracción y que están interrelacionados, por lo que permite un aprendizaje significativo y duradero.

Problemas de medida

En estos problemas se utilizarán las fracciones para medir longitudes. Se proponen situaciones de medición, donde la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto por medir, para provocar la necesidad de fraccionar la unidad.

1. Este pedazo de soga que tiene 3 cm es la quinta parte de una soga. ¿Cuánto mide la soga completa?

2. ¿Cuál de las dos áreas sombreadas es mayor? Justifica tu respuesta.

4 + +12

110

4 + +12

110

4 + +12

110

4 + +12

110

4 + +12

110

20 + 2 +12

12

510

Lo que sobra lo divido en 5 partes

y le doy a cada uno 110

más

15

3 cm

?

3. Busca una estrategia para colorear 5/8 y justifica tu respuesta.

Solución

102

Problemas de fracción como operador

1. En el último examen, 23

de los 36 alumnos aprobaron el examen. ¿Cuántos aprobaron el examen?

El todo es 36 y se divide en tres grupos. Cada grupo está formado por 12 estudiantes.

2. En un salón de 30 estudiantes las dos terceras partes son mujeres; de los varones, la mitad son de Lima. ¿Cuántos estudiantes son de Lima?

3. Un avión tiene que recorrer 450 km. Hizo su primera escala a los 150 km. ¿Qué parte del recorrido le falta realizar?

Mitad, tercia y cuarta de una fracción

1. Hoy compraron una pizza para el almuerzo y sobró 14

. Por la tarde, José se comió la mitad de lo que sobró. ¿Qué parte de la pizza se comió José?

2. Susana tiene una bolsa de caramelos y le da a su hermana 2/3 del total. A la vez, su hermana le da a su mamá la mitad de lo que le dio su Susana. ¿Qué parte de los caramelos recibió su mamá?

36

36 : 3 = 12

Modelo gráfico

Modelo con una operación

12 12

M V

10 105

13

13

450 km

?

150

sobró 14

del gráfico

de =12

14

18

Por la tarde se comió la mitad de lo que sobró

Con una operación

x =12

14

18

103

Fracciones en la recta numérica

1. En una carrera de postas de 100 metros planos, la pista está marcada en tramos iguales, como muestra la figura.

Inés está en la marca B, ¿qué fracción del total del camino recorrió? ¿Y cuántos metros?

Wilma se encuentra a los 80 metros de la salida, ¿en qué punto está?

Cuando Gladys esté en los 3/5 de la pista, ¿en qué punto estará?

Problemas con dinero y números decimales

Los problemas donde intervienen soles y céntimos constituyen un buen punto de partida para abordar los números decimales, en tanto permiten relacionar inicialmente este contenido con prácticas sociales extraescolares que resultan familiares a los estudiantes. De otro lado, también es necesario que esos conocimientos se vayan desprendiendo de los contextos particulares para alcanzar un mayor grado de generalidad. Por ejemplo se podrían plantear los siguientes problemas:

Problemas donde se pueda componer una cantidad de dinero con nuevos soles y céntimos y dar composiciones equivalentes para una misma cantidad. Por ejemplo: pagar de diferentes maneras S/. 2,25 con monedas de 5, 10, 20 y 50 céntimos.

Si el padrino de un bautizo tiene en su bolsa de monedas: 15 monedas de 10 céntimos, 7 monedas de 20 céntimos, 13 monedas de 50 céntimos, ¿cuánto dinero tiene en total?

Problemas aditivos que hagan referencia a precios en nuevos soles.

Problemas de reparto de dinero. Por ejemplo, repartir 1 nuevo sol y 50 céntimos entre 2 niños.

A B C DSalida Llegada

150céntimos

1,501 nuevo sol

y 50 céntimos

104

Patrones con transformaciones geométricas

En los frisos o guardas que figuran en los mantos o en nuestra vestimenta, están relacionados con los patrones de repetición que implican una transformación geométrica. Construir un patrón o una secuencia implica reconocer la unidad mínima o la figura que se repite y a la cual se le aplica una traslación, reflexión o rotación.

También se pueden construir mosaicos con las unidades de repetición o teselas, como las que se muestran a continuación:

Transformaciones de reflexión: El mosaico es armado con el simétrico de la pieza mostrada.

Transformaciones de traslación: Son movimientos directos sin cambios.

Transformaciones de rotación:Estos patrones se forman cuando el núcleo de formación dan giros de ¼ de vuelta ( 90°), de ½ vuelta ( 180°) o vuelta completa ( 360°)

3.2 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

Teselado por reflexión

Teselado por traslación

3.er giro

2.do giro1.er giro

Unidad mínima de repetición

105

Observamos que al cuarto giro, la figura queda en la misma posición de inicio. Es importante observar que al realizarse el giro o rotación de la figura, hay que considerar un punto de referencia.

Recuerdan que las traslaciones son movimientos directos de las piezas para continuar con el patrón sin que se realicen cambios de ninguna naturaleza, simplemente, se trasladan en forma paralela, a la misma distancia y en la misma dirección.

Descripción

Los estudiantes cubrirán una superficie con figuras geométricas, donde construirán las piezas del patrón a repetirse por traslación. Es importante que vivencien la experiencia de elaborarlas y pintarlas con los colores que deseen.

Deberán pensar en formular un núcleo de repetición, considerando una combinación de colores de las figuras, las cuales se repetirán en la formación del patrón, una vez identificado el núcleo a ser repetido, este solamente será desplazado.

Relación con las capacidades e indicadores

En esta actividad los estudiantes tendrán la oportunidad de matematizar situaciones al interpretar datos y relaciones en problemas de regularidad, expresándolos en un patrón de repetición geométrico con traslaciones, también comunican y representan ideas matemáticas referidas a expresar el criterio geométrico que interviene en el patrón utilizando lenguaje matemático apropiado (se traslada, el núcleo o la unidad que se repite es…). En este proceso además elaboran y usan estrategias de ensayo y error o una tabla, para ampliar o crear patrones de repetición.

3.2.1. Cubriendo el plano con figuras mediante traslaciones

Materiales:

Cartulina.

Regla, escuadra, compás.

Lápiz, borrador.

Tijeras.

Plumones, colores.

Diseños de figuras o papeles decorativos

106

Desarrollo:

La docente debe tener en cuenta que en los últimos grados, la enseñanza de la geometría debe trascender el nivel perceptivo, propiciando la descripción de las características que permiten analizar propiedades de las figuras.

Paso 1:

Los estudiantes, organizados en grupos de trabajo, diseñan las figuras con papeles de colores, las cuales van a ser trasladadas. Las figuras también puede ser diseñadas en hojas bond, y posteriormente, coloreadas.

Paso 2:

Proceden a armar el patrón, teniendo en cuenta el núcleo de formación diseñado.

Con esta actividad se espera que los estudiantes comprendan que solo trasladando figuras en el plano podemos formar patrones. Es importante que observen que en los mosaicos se visualiza una simetría traslacional, que estas traslaciones conservan la misma distancia y una misma dirección.

Algunos mosaicos que los estudiantes pueden presentar:

107

Descripción de la estrategia

Según Mason (citado por Butto y Rojano, 2004) la generalidad es fundamental para desarrollar el pensamiento matemático y algebraico y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones o regularidades, que favorecen la generalización.

Esta estrategia consiste en cuatro pasos y permitirá la generalización, proceso importante para desarrollar el pensamiento matemático y algebraico. La generalización en el álgebra es fundamental para desarrollar la abstracción y puede ser desarrollada a partir del trabajo con patrones.

El propósito

Los estudiantes tendrán la oportunidad de: matematizar al encontrar un elemento desconocido de la secuencia, identificando el núcleo de formación del patrón. Elaborar y usar estrategias heurísticas (organizando información en tablas). Razonar y argumentar al justificar la regla de formación, preparándolos para la generalización.

Comunican y describen lo vivenciado con material concreto, el cual les facilita construir y representar la idea de rotación del elemento que gira.

Pasos de la estrategia

Se propone desarrollar cuatro etapas y se puede resumir así:

Paso 1: Percibir un patrón, a partir de la sucesión de figuras, pudiendo surgir preguntas matemáticas, por ejemplo: ¿cuál sería la regla de formación o el núcleo que se repite para reconocer el patrón? El primer encuentro con el álgebra es partir de la identificación y comunicación de patrones o de relaciones, a través de las semejanzas o diferencias.

Paso 2: Expresar un patrón, descubrir cuál es el patrón para uno mismo o para otro. Es necesario decirlo para que luego se pueda reflexionar sobre él.

Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática, transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos; lo cual permite la verificación de la regla.

Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla de formación tenga validez se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.

3.2.2 Estrategia para generalizar patrones

Los patrones considerados como una sucesión de signos orales, gestuales, gráficos, etc., que se construyen siguiendo una regla ya sea de repetición (el núcleo se repite de forma periódica) o de recurrencia (cada término puede ser expresado en función de los anteriores). En todo patrón se aprecia una estructura de base o un núcleo el da origen a la regla o ley de formación.

Patrones o secuencias se pueden usar indistintamente. Otros autores usan el término patrón para designar estrictamente el núcleo de la secuencia. (Bressan y Bogisic, 1996).

108

Aplicación de la estrategia

Problema 1:

Paso 1: Percibir un patrón

Los estudiantes comprenden el problema respondiendo las siguientes interrogantes: ¿Qué tiene que hacer el albañil? ¿Cómo se sabe qué pieza es la que continúa? ¿Han identificado el núcleo de formación? ¿Puedes señalarlo en la imagen? ¿Qué relaciones has identificado? ¿Crees que es un patrón con simetría? ¿Por qué? ¿Cómo crees que puedes determinar la posición de la pieza n.º 96 si solo se muestran 9 piezas?

Los estudiantes tendrán en cuenta los giros de cada pieza que forma el patrón. Para ello tienen que preparar sus materiales, probar dichos giros (cuartos de vuelta y repro-ducirlos en forma gráfica para ir construyendo el núcleo). Los movimientos que realiza-rán les permitirá identificar la cantidad de veces que tiene que girar la pieza (mayólica) hasta formar el núcleo que repite.

También pueden experimentar la reproducción de lo solicitado, conforme al modelo presentado.

Ensayan en forma concreta (con piezas de cartulina) para probar los giros de cada pieza.

Construyen la cenefa (friso) en una tira de cartulina con las piezas que construyeron, según la posición obtenida en cada giro. Luego se darán cuenta que construirla de esta manera es muy laboriosa y es necesario otra forma más económica de llegar a la pieza n.º 96. Por lo tanto, los estudiantes asumen el reto de encontrar esta respuesta. ¿Cómo podemos averiguar la posición de esta pieza?

Paso 2: Expresar un patrón.

Para expresar cuál es el patrón a sí mismo o a otra persona, es necesario decirlo para que luego se pueda reflexionar sobre él. Al reproducir el patrón se darán cuenta que se repite cada 4 piezas, por lo que el núcleo o regla de formación del patrón es el siguiente:

Decorando un aula

Un albañil está decorando con cenefas, un aula de educación inicial de 5 años de una institución educativa. Aún no ha terminado el trabajo, pero para continuar con la tarea, el albañil tiene que resolver algunos problemas: ¿En qué posición tendrá que colocar la siguiente mayólica? ¿Cuánto gira la pieza en cada movimiento? ¿En qué posición tendrá que colocar la pieza n.º 96?

109

Pueden numerar las piezas (1.ª, 2.ª, 3.ª, 4.ª) que constituye el núcleo del patrón, para luego organizar estos datos en una tabla.

Paso 3: Registrar un patrón. Este paso hace visible el lenguaje de la matemática, transitando desde los dibujos, a los íconos, letras o símbolos. Esto permite la verificación de la regla.

Se les pide a los estudiantes que observen y que centren su atención en los casilleros pintados de amarillo.

Se promueve el análisis y la reflexión de estas observaciones: ¿Cómo son estos números? ¿Son múltiplos de algún número? ¿Cuál es la diferencia entre estas cantidades? ¿En qué columna se ubican las decenas? ¿Hay algún parecido entre el 20 y el 40? ¿En qué columna se ubican estos últimos? ¿Cada cuántas filas aparecen las decenas 20, 40? ¿Y las decenas 10, 30, 50?

Se les pide que cuenten las filas que hay después del 10 y del 30, de igual modo, entre el 20 y el 40. Se espera que los estudiantes respondan que hay 5 filas. Esta es una regularidad encontrada en la tabla.

1.° 2.° 3.° 4.°

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

17 18 19 20

21 22 23 24

25 26 27 28

29 30 31 32

33 34 35 36

37 38 39 40

41 42 43 44

45 46 47 48

49 50 51 52

110

Estas decenas se encuentran en dos columnas: las decenas 10, 30, 50 en la segunda columna y las decenas 20, 40 en la cuarta columna. Esta es otra regularidad. Si seguimos la secuencia: 10, 30, 50, __ , __ , qué decenas continúan.

Con estas observaciones en la tabla, los estudiantes se dan cuenta que el número de pieza solicitado se ubicará en la segunda columna.

Una vez ubicada la posición 90, van contando y haciendo las siguientes relaciones:

Sabemos que el núcleo del patrón consta de 4 piezas, por lo tanto, la pieza n.º 96 se ubica en la cuarta columna.

Teniendo la ubicación de la pieza n.° 96 en la cuarta columna, los estudiantes se fijan en qué posición se encuentran las piezas de esta columna, que corresponde al n.° 96.

Las otras respuestas que deben dar los estudiantes corresponde a la pieza que continúa en el patrón presentado, que es la siguiente: y los giros que han dado las piezas en el patrón son de un cuarto de vuelta.

Paso 4: Probar la validez de las fórmulas. Para que una regla tenga validez, se debe probar de diferentes formas; por ejemplo, mediante su aplicación en otros casos.

Otra forma de encontrar la fórmula es dividir 96 ÷ 4 = 24; y 24 es la última pieza del grupo de 4, por lo que podemos llegar a la pieza n.° 96 en la cuarta columna.

¿Podrían encontrar la posición de la pieza n.° 123, sin usar la tabla?

Finalmente, los estudiantes argumentan y justifican sus respuestas.

91 3.ª columna

92 4.a columna

93 1.ª columna

94 2.ª columna

95 3.ª columna

96 4.ª columna

111

Descripción

A partir de un problema, establecerán equivalencias entre estos objetos buscando mantener en equilibrio una balanza.

El propósito: El propósito de la actividad es que los niños matematicen situaciones al identificar datos y relaciones de equivalencia; razonen y argumenten al elaborar y argumentar supuestos sobre las igualdades durante la simulación de pesaje de diversos objetos manteniendo el equilibrio en una balanza. Comunican y representan ideas matemáticas al expresar igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.

Materiales:

Balanzas simuladas, siluetas de esferas, cilindros y cubos.

3.2.3 Estrategia de resolución de problemas para problemas de equilibrio

Pasos de la estrategia

1. Comprensión del problema

Presenta el problema garantizando que todos los estudiantes lean:

Asegura la comprensión del problema presentado mediante preguntas: ¿De qué trata el problema? Explica con tus propias palabras. ¿Cuáles son las condiciones del problema?, ¿qué representan en el problema la balanza A?, ¿la balanza B?, ¿la balanza C?, ¿qué tenemos que averiguar?

¿Qué objetos equilibran la balanza D, asumiendo

que los objetos de formas iguales tienen igual peso?

balanza A balanza B

?

balanza C balanza D

112

2. Concebir un plan o diseñar una estrategia

Propicia que los estudiantes diseñen o adapten una estrategia a través de preguntas: ¿Cómo podemos resolver este problema?, ¿alguna vez han resuelto un problema igual o similar?, ¿podemos utilizar algún material para resolver este problema?. Una de las estrategias utilizadas por los estudiantes debe ser la simulación con material concreto.

3. Llevar a cabo el plan o ejecutar la estrategia

Acompaña cada operación matemática de una explicación contando lo que haces y para qué lo haces. Cuando tropieces con una dificultad que te deja bloqueado, vuelve al principio, reordena las ideas y prueba de nuevo. Luego, propicie a representar su solución mediante símbolos o formas geométricas.

Una forma de resolver el problema podría ser:

Haciendo uso de las siluetas simulamos la informaciòn de la balanza B y la Balanza C para establecer otras relaciones:

En la balanza C se tiene que, equivale

y en la balanza B, equivale

De esas dos afirmaciones podemos establecer una nueva información. Reemplazamos en la balanza C, siluetas de tres cilindros, por dos cubos y una esfera.

Obtenemos que

En la nueva relación, para que no se altere la equivalencia, extraemos objetos similares en ambos brazos de la balanza (dos cubos de cada brazo de la balanza)

La nueva relación que se obtiene es:

Esta relación es la que nos piden determinar en la balanza D, por lo tanto la respuesta al problema es: el peso de una esfera y un cilindro es igual al peso de un cubo.

4. Reflexionar sobre el proceso seguido

Lee de nuevo el enunciado y comprueba que lo que te pedían es lo que has averiguado. Fíjate en la solución, ¿te parece que lógicamente es posible? ¿Puedes comprobar la solución? ¿Puedes hallar alguna otra solución?. Acompaña la solución con una explicación que indique claramente lo que has hallado. Utiliza el resultado obtenido y el proceso que has seguido para formular y plantear nuevos problemas.

equivale

equivale

equivale

equivale

113

3.2.4 Jugamos a las “vencidas”

Pasos de la estrategia

1. En el patio de la escuela o en un ambiente amplio y libre, forme dos o más grupos mixtos de estudiantes, dependiendo de la cantidad de asistentes. Entregue una soguilla a cada pareja de grupos e indíqueles que jugarán a las vencidas para determinar qué grupo es el más fuerte. Gana el grupo que logra hacer pasar sobre la marca en el piso a un integrante del otro grupo.

2. Luego de experimentar el juego, pregunte a los grupos: ¿Quién ganó?, ¿cómo podríamos hacer que el juego termine en empate? Promueve que los estudiantes lleguen a la conclusión de que podrían agregar o quitar integrantes en los grupos, para obtener el equilibrio de fuerzas.

3. Motiva a que investiguen diferentes formas de obtener empate en el juego de las vencidas. Estos resultados serán escritos en una hoja, por ejemplo:

La fuerza de dos niños es igual a la fuerza de tres niñas. La fuerza de Jimmy y Edwin equivale a la fuerza de Ethel, Sisa y Betty juntas.

4. En el aula, conversa con los estudiantes sobre las equivalencias encontradas y propicie a que cada una de sus anotaciones las transcriban en una tabla, haciendo uso de símbolos matemáticos, dibujos o figuras geométricas.

LENGUAJE ESCRITO LENGUAJE ICÓNICO- SIMBÓLICO

La fuerza de dos niños equivale a la fuerza de tres niñas.

2 = 3

O 2H = 3MH: hombresM: mujeres

Equivale : Niños : Niñas

… … …

Descripción

Los estudiantes jugarán a “las vencidas” con soguillas para determinar igualdades e equivalencias entre la fuerza de grupos de niños y niñas o grupos mixtos.

Relación de las capacidades con los indicadores

Los estudiantes desarrollarán la capacidad de matematizar, al identificar datos y relaciones de equivalencia mediante un juego vivencial, los cuales serán expresados mediante igualdades en forma concreta , gráfica y simbólica, haciendo uso de expresiones aditivas, multiplicativas y del signo “=”.

Materiales:

Soguillas de 4 metros, hojas cuadriculadas, lápiz.

114

6. Plantea un reto. Que resuelvan el siguiente problema:

7. Enfatiza la resolución haciendo uso de los 4 pasos para resolver un problema. Los estudiantes podrían simularlo haciendo uso de material concreto.

Asegura que los estudiantes comprendan, expliquen y justifiquen cada una de sus propuestas.

5. Dialoga con los estudiantes sobre equivalencia e igualdad.

ALGO NO ESTÁ BIEN

Supongamos que:

Cada niña puede tirar tan fuerte como cualquiera de sus compañeras.

Cada niño varón puede tirar tan fuerte como cualquiera de su compañeros.

Es posible descubrir que la siguiente información no es confiable pues hay una contradicción en ella, ¿podrías indicar en qué consiste tal contradicción?

Cuatro niños empatan con cinco niñas.

Un niño y dos niñas empatan con el tío Juan.

Tío Juan y dos niñas empatan con los cuatro niños.

115

Desarrollar esta competencia en este ciclo implica que los estudiantes se relacionen con las formas, el movimiento y la localización de los cuerpos, desde su propia experiencia, desde su percepción, su construcción, reproducción y designación de los objetos geométricos. También se espera que se relacionen con la geometría dinámica frente a la geometría estática (de tiza y pizarra) presentando las formas desde diferentes posiciones y vistas; se relacionen con una geometría interfigural e intrafigural frente a la geometría exfigural propia de la enseñanza tradicional, haciendo explícitas las relaciones de una figura y las que tiene esta figura con las otras; una geometría que tenga en cuenta el carácter inductivo, deduciendo e infiriendo las propiedades geométricas, a partir de ejemplos concretos de construcción y visualización.

Los estudiantes del V ciclo participarán en actividades que impliquen matematizar objetos del entorno para expresarlos en un modelo relacionado con prismas, pirámides, cilindros, cuadriláteros, triángulos y polígonos; expresar la ubicación de un objeto en un croquis, empleando puntos cardinales en un sistema de coordenadas e identificar características de los objetos por ampliación, reducción y rotación en un cuarto de vuelta y media vuelta. Asimismo, se espera que comunique y represente ideas matemáticas con las nociones arriba mencionadas; también se espera que empleen diversas estrategias para la construcción de las formas y las transformaciones y razonen y argumentan cuando expresan sus conjeturas sobre las propiedades geométricas de los formas bi y tridimensionales y sus transformaciones.

El modelo de Van Hiele ha sido elaborado por la escuela holandesa por los profesores Van Hiele. El modelo consta de dos componentes: de los niveles de razonamiento y las fases de aprendizaje. En el fascículo del III ciclo se han descrito las fases de aprendizaje, las cuales también serán usadas en este ciclo.

Descripción

Los niños observarán las siguientes fotos de edificaciones de su localidad y se les pedirá que hagan una réplica usando el material concreto y formas como prismas y pirámides.

3.3 Orientaciones para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de forma, movimiento y localización

3.3.1 Estrategias para aprender geometría según Van Hiele

APLICACIÓN 1 : Construyen casas y edificios con prismas y pirámides

116

Contextualiza esta actividad con las casas

o edificaciones de tu comunidad, de tu

región o tu ciudad.

Fotografía 1: casita andina

Tomada de: http://www.artelista.comFotografía 2Maqueta de principales edificios de la ciudad de MadridTomada de: http://yair.es/multimedia/datos/Edificios_matematicos_011920_170610_1602.pdf

Materiales:

Poliedros desarmables, 1 bolsa de sorbetes (cañitas), tijeras. Fotos de edificios o edificaciones de su localidad.

Relación con las capacidades e indicadores

Estas actividades propician que los niños matematicen al identificar características y propiedades y poder expresarlas en prismas o pirámides; comuniquen y representen ideas matemáticas al expresar, usando lenguaje matemático, los elementos y propiedades de los prismas y pirámides, y representar estos sólidos usando diversos materiales concretos; elaboren estrategias al construir los cuerpos geométricos y razonen y argumenten cuando establecen conjeturas sobre las propiedades geométricas o explican y argumentan el resultados de sus respuestas o sus construcciones.

1.a fase: discernimiento o información

Los estudiantes se familiarizan con los materiales sin recibir indicaciones del docente, solo manipulándolos. Esto les permite concentrarse exclusivamente en lo que hacen y, también, descubrir propiedades matemáticas por sí mismos.

Realiza preguntas para que expresen las propiedades y características de los materiales y de las fotografías.

En esta fase se espera que los estudiantes expresen lo que saben sobre los elementos o las características de los objetos relacionándolos con algunos nombres geométricos que conocen.

Al estar en el nivel 1 de reconocimiento, por ejemplo, al usar los poliedros, se darán cuenta de que están formados por cuadrados, triángulos equiláteros y pentágonos. Podrán mencionar los elementos de estas figuras como vértices, lados y ángulos.

Matematizan cuando

identifican características

geométricas en las edificaciones y las relacionan con prismas o

pirámides.

117

2.a fase: orientación dirigida

Se propone una secuencia graduada de actividades a construir y explorar orientadas a la construcción de las ideas matemáticas. En este caso, se proponen las siguientes actividades. Se sugiere que todos los alumnos pasen por la experiencia de construir los prismas y pirámides con ambos materiales.

El grupo que tiene los poliedros une las piezas para construir las edificaciones de la zona. Los estudiantes se podrán dar cuenta que las casitas están compuestas por dos cuerpos diferentes, pero con una característica en común.

Construir las edificaciones con los sorbetes o cañitas requiere de mayor tiempo y de destrezas motoras más finas pues en la elaboración tienen que pensar en la forma de unir las cañitas. Esto lo pueden hacer con lana o creando soportes de enlaces o puentes entre dos cañitas con otro sorbete, introduciéndolas dentro de ambas cañitas. También tienen que decidir de qué tamaños serán las cañitas para obtener el prisma o la pirámide deseada.

Construir una réplica de la ciudad con edificaciones distintas con material reciclado o construido con plantillas de los prismas con cartulina.

En esta fase se debe orientar a que los estudiantes determinen las características de los cuerpos que componen una casita o un edificio. Y que, por ejemplo, en el tejado de la casita sus caras laterales tienen forma rectangular; y tiene otras dos caras paralelas en forma de triángulo. Orientar para identificar las caras y aristas paralelas y perpendiculares. Pregunta: ¿en qué otras formas encontramos caras paralelas y perpendiculares.

De las edificaciones de las fotos podrían decir que tienen forma de cajas o de prismas.

Que algunos edificios se parecen porque son prismas, pero algunos tienen otra forma en la punta; podrían decir que se trata de una pirámide o mencionar también la forma de sus bases.

Haz que realicen un cuadro con las características de los objetos.

Figura tridimensional (nombre)

Dibujo Características

Figura bidimensional (nombre)

Dibujo Características

Elaboran estrategias

al determinar cómo construirán las edificaciones

usando diversos materiales

concretos.Comunican y representan

lo que saben sobre los

prismas y pirámides.

118

3.a fase: explicitación

Una vez realizadas las experiencias, los estudiantes expresan sus resultados y comentarios. Durante esta fase, estructuran en esquemas o gráficos el sistema de relaciones halladas, y lo expresan usando su propio lenguaje.

Como todavía no se conoce el nombre de los prismas o pirámides, se sugiere que se le ponga letras: el "cuerpo A" o "B".

A partir de las construcciones se pide que completen el cuadro con los elementos de los prismas y las pirámides.

4.a fase: orientación libre

Los estudiantes podrán aplicar los conocimientos adquiridos de forma significativa a situaciones distintas a las presentadas, pero con estructura comparable. Esta fase proporciona la práctica adecuada para aplicar los conceptos adquiridos que han sido formados.

Construir otros prismas y pirámides con bases diferentes, usando material concreto (palitos y plastilina) con y sin el modelo presente, es decir, con o sin presencia del cuerpo geométrico.

Que construyan prismas y pirámides a partir de instrucciones orales y escritas.

Que construyan edificaciones a partir de sus vistas usando cubitos. Esta actividad también ayudaría para propiciar la noción de volumen y área lateral y total.

Esta es la vista de un prisma desde arriba, constrúyelo usando plastilina o cañitas o plantillas.

Dibujo Vértices Aristas Caras

Cuerpo A

Cuerpo B

Construido con cubescape (http://www.themaninblue.com/experiment/Cubescape/)

119

5.a fase: integración

En esta fase los estudiantes están preparados para asimilar el nombre matemático de los objetos, así como para entender los signos, los símbolos y las operaciones. En las fases anteriores trabajaron con el concepto, pero en ningún momento se les dio el nombre ni se les mostró un gráfico o un símbolo. Es aquí donde se estudian las propiedades de la estructura abstracta.

¿En qué se parecen y en qué se diferencian los prismas y las pirámides?

¿Qué pasaría si la base del edificio que has construido cambia? ¿Sigue siendo un prisma?

Solicita que completen el cuadro con el nombre de los prismas o pirámides según sus bases.

Razonan y argumentan cuando establecen conjeturas sobre las diferencias y semejanzas de los prismas y pirámides

Nombre del prisma

Dibujo Vértices Aristas Caras

Prisma ….

Prisma ….

Descripción

Los niños desarmarán varias cajas y construirán otros modelos o plantillas similares, observarán por qué figuras geométricas planas están constituidas las plantillas o las redes.

Materiales

Cajas de distintos modelos en forma de cubos, prismas y piramides, hojas cuadriculadas, cartulina, goma y tijeras.

Aplicación 2: Construyen prismas, pirámides y cilindros a partir de sus plantillas

120

Fases:

Información Los niños desarman las cajas o los envases y observan sus características y propiedades, miden la longitud de sus lados. Registran lo observado.

Orientación dirigida

Se explica que el objetivo de la actividad es que observen las plantillas de las cajas u otros envases con formas de prismas para que construyan otras similares, pero que obtengamos siempre el mismo cuerpo. También el objetivo es que hallen el área total de estos sólidos.

Reproducen las plantillas en hojas cuadriculadas de 1 cm de lado y expresan el área total en cuadraditos y luego en cm.

Realizan otros modelos de plantillas para el cubo, prisma rectangular, cilindro o la pirámide.

Explicitación Expresan las características de las plantillas del cubo, prisma o pirámide usando su propio lenguaje y lo que ya conocen de estos cuerpos geométricos. Expresan las condiciones para que se puedan conectar las caras de las plantillas y obtener un cuerpo geométrico.

Explican los procedimientos que usaron para el hallar el área total del cubo, prisma o pirámide e intercambian experiencias con otros grupos.

Incorporan a su vocabulario nuevas palabras geométricas.

Orientación libre

Se entrega un material fotocopiable de los diferentes desarrollos de un cubo, prisma, cilindro o pirámide para que determinen cuáles corresponden.

Expresan las condiciones que debe tener la plantilla para que pueda ser un buen modelo para construir un cuerpo geométrico.

Integración Se hacen explícitas las ideas matemáticas construidas:

Características y elementos de los prismas, cilindros o pirámides.

Diferencias y semejanzas entre estos cuerpos geométricos.

Clasificación de los prismas y pirámides por el número de lados.

Características o propiedades que deben tener las plantillas de los cuerpos y calculan el área lateral contando los cuadraditos o empleando el procedimiento de cálculo de áreas.

121

3.3.2 Recursos para enseñar las figuras planas

GeoplanoTangram

Mecano

Doblado de papel

El material didáctico juega un papel fundamental en la enseñanza-aprendizaje de la geometría. Para usar este material, el aula se debe convertir en un laboratorio donde los niños experimenten, manipulen y construyan relaciones geométricas a partir del material.

Los materiales por sí solos no hacen la clase, se debe pensar en problematizar al estudiante seleccionando las tareas que se presentarán haciendo uso de los recursos didácticos.

http://www.eweb.unex.es/eweb/ljblanco/CD%20materiales/imagenes/mecano/Mecano%205.jpg

Mecanos

Los mecanos son varillas que permiten construir diversos polígonos y entender las propiedades de diversos conceptos matemáticos como líneas abiertas y cerradas, construcción de polígonos, reconocimiento de formas geométricas, clasificación de los polígonos, transformación de unos polígonos en otros mediante la movilidad de sus lados, ángulos, composición y descomposición de figuras.

122

Actividades

1. Construye una figura cerrada con tus mecanos.

2. Construye una figura cerrada con el menor número de tiras.

3. Construye triángulos con tiras iguales y decir ¿cuánto miden sus lados?

4. Construir triángulos con dos lados iguales y uno diferente.

5. Es posible construir un triángulo con tres varillas cuyas dimensiones sean 10 cm, 12 cm y 25 cm. Construye con ellas un triángulo. ¿Qué sucede?

6. Construye 3 varillas cuyas dimensiones sean 10 cm, 12 cm y 20 cm. Construye con ellas un triángulo. ¿Qué sucede? ¿Qué puedes concluir?

7. Con ayuda de tus mecanos construye diversos cuadriláteros.

Actividades

1. Construye una figura y amplíala al doble o redúcela a la mitad.

2. Construye una figura y traslada según se indica.

Estirar al doble

Encoger a la mitad

3 unidades a la derecha 3 unidades hacia abajo1 unidad a la derecha

3 unidades hacia arriba

Geoplano

En la mayoría de las escuelas públicas del país cuentan con geoplanos; hay que aprovechar su potencialidad para trabajar diversos conceptos geométricos como las figuras planas, simetría, traslación, ampliación y reducción, área y perímetro, potencia cuadrada y también conceptos de números como fracciones, noción de multiplicación.

123

3. Construye una figura simétrica e indica su eje de simetría.

Eje de simetría

Eje de simetría

Tangram

Juego de rompecabezas formado por 7 piezas. Con este juego se puede problematizar con los estudiantes la composición de diferentes clases de polígonos, al mismo tiempo que se estudian polígonos con áreas o perímetros iguales. Asimismo estudiar los ángulos, compararlos, ordenarlos. Se desarrolla la suma y la igualdad, el paralelismo y la perpendicularidad; ordenar piezas por áreas, medir las piezas usando la pieza menor; las relaciones de adición y sustracción entre piezas. El tangram no es un solo un recurso potente para la geometría sino también para los números para calcular fracciones equivalentes.

Doblado de papel

Haciendo dobleces al papel podemos construir variados objetos, animales o personas y desarrollar o aplicar muchas ideas y conceptos matemáticos, como noción de rectas, ángulos, relaciones entre líneas y ángulos, suma de ángulos de un triángulo, área, construcción de polígonos, simetrías, construcción de poliedros. También con esta entretenida actividad podemos desarrollar la psicomotricidad fina, así como la percepción espacial y otras habilidades como escuchar indicaciones.

Actividades

1. Construye un cuadrado con dos piezas y otro cuadrado con todas las piezas.

2. ¿Cuántos rectángulos puedes construir con solo 3 piezas?

3. Construye un rectángulo con 5 piezas.

4. Construye un rectángulo con todas las piezas.

5. Construye dos trapecios con todas las piezas.

124

1. Cuando se arma un cerdito a partir de un cuadrado de papel permitirá que:

• Los niños interpreten mensajes, códigos, gráficos e incorporan vocabulario matemático en su descripción. Por ejemplo: el cuadrado lo doblamos por la mitad y este otra vez por la mitad y hemos obtenido un rectángulo. Del cuarto al sexto paso se construye una nueva figura que es el trapecio.

• Realiza las siguientes preguntas para determinar sus relaciones y características: ¿por qué es diferente el trapecio del rectángulo, en qué se parece con el rectángulo y con el cuadrado, ¿cómo son sus lados? Tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. ¿Cuántos ángulos tiene? ¿cómo son sus ángulos? ¿cómo demostrarías que sus lados no paralelos son iguales?, para ello pueden superponer el papel y luego medir sus lados con regla o con una regleta de color.

Según GAISE1 la resolución de problemas estadísticos es un proceso de investigación que involucra cuatro pasos:

Paso 1: Formular preguntas, que implica aclarar el problema en cuestión y formular una o más preguntas que pueden ser respondidas con datos.

Paso 2: Recopilar datos, que implica diseñar un plan para recopilar datos apropiados y emplear el plan para recogerlos.

Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.

Paso 4: interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y relacionarlos con el problema planteado.

1 Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-k–12 curriculum framework. Authors, Christine Franklin. 2007 by American Statistical Association Alexandria.

3.4 Estrategias para el desarrollo de la competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

3.4.1 Estrategias para resolver problemas estadísticos

Tomado de http://en.origami-club.com/

125

APLICACIÓN 1 : ¿Cómo cuidamos el agua en nuestra escuela?

Descripción

La siguiente actividad se genera ante una problemática particular de la escuela debido a la escasez de agua. Se sabe que el agua es un recurso vital, ningún ser vivo podría sobrevivir sin agua. Cada vez se habla más que la población aumenta vertiginosamen-te y que el agua se va a agotar. Si estamos entre los países con más recursos hidro-biológicos, ¿por qué somos uno de los países más vulnerables con el cambio climático y con la escasez de agua? Se orienta sobre la necesidad de reflexionar sobre el uso inadecuado del agua en la escuela y tomar medidas para ahorrar.

Relación de las capacidades con los indicadores

El propósito de las actividades es que los niños matematicen una situación al identificar datos estadísticos a partir de una lectura o de los datos recolectados en el aula o en la escuela. Comunican y representan al expresar sus ideas sobre datos, variables, grá-ficos, moda, media aritmética y de cómo presentan los datos de modo que al primer golpe de vista reflexionen sobre la situación que viven con respecto al uso y cuidado. Luego, elaboran estrategias para decidir cómo organizar y representar la información recogida en tablas y gráficos estadísticos. Razonan y argumentan con base en el es-tudio estadístico realizado, al dar propuestas sobre cómo cuidar el agua, apoyando y promoviendo programas e ideas para su cuidado.

Paso 1: Formular preguntas

El docente junto con los niños aclaran el problema en cuestión.

Propicie la reflexión sobre el tema para que los estudiantes estén motivados y se involucren con el tema. Proporcione artículos sobre la problemática del agua en su localidad o en su región, por ejemplo, que lean la siguiente noticia:

POBRES SIN AGUA. En conversación con Perú.21, Abel Cruz, coordinador de esta organización, reveló que a nivel nacional son alrededor de 10 millones de personas que no cuentan con un servicio de agua potable ni sistema de desagüe y alcantarillado.

Aseguró que en los pueblos más alejados de Huancavelica, Cusco y Ayacucho los habitantes consumen el agua de los riachuelos. “Ese líquido no es potable, por lo tanto no siempre es saludable”, señaló.

Explicó que en el caso de la capital, los asentamientos humanos de distritos como San Martín de Porres, Ancón, Ventanilla, Carabayllo y Villa el Salvador, concentran la mayor cantidad de ciudadanos que no cuentan con el líquido elemento. “Los pobladores de las periferias de Lima muchas veces sacan de los pozos o la compran a 2 o 2,5 soles el cilindro de 200 litros”.

Publicado en Perú 21, 22 de marzo de 2010.

126

Permite que los niños analicen esta información:

Propicia la reflexión entre los estudiantes para que formulen preguntas a través de una lluvia de ideas y luego seleccionen la más apropiada e identifican cuáles se contestan con palabras y cuáles con números.

Por ejemplo:

En la segunda pregunta, surge otra: ¿Cómo podemos cuantificar la cantidad de agua que consumimos? ¿cómo lo comprobamos? ¿qué podríamos hacer? ¿cómo podemos realizar una experiencia para observar lo que consumimos, desde el mo-mento que nos levantamos hasta que nos vamos a dormir?

Determina las diferencias entre los datos cuantitativos; estos pueden ser realizados por medición o por conteo.

Determina cuáles de esas preguntas permite recoger datos.

N.° pregunta N.° preguntaPosibles

respuestas

La respuesta es con

números o palabras

Variable

(cuantitativa o cualitativa)

1¿Tienes agua

potable?Sí

NoPalabra Cualitativa

2 ¿Cuántos litros consumes de agua al día?

Haz un cálculo aproximado.

5 litros10 litros15 litros20 litros

Más de 20 y menos de 50

litrosMás de 50 y

menos de 100

Número Cuantitativa

Tres de cada cuatro ciudadanos del planeta dispone solo de 50 litros de agua al día, el mínimo necesario para una calidad de vida razonable es de 80 litros por persona al día. En cambio, en el llamado mundo desarrollado se consume un promedio de 250 litros por persona y al día.

127

Paso 2: Recopilar y registrar datos

Una vez seleccionadas las preguntas, propicia que redacten una encuesta. Por ejemplo:

Ordena los datos por categorías. Cada pregunta puede generar un cuadro de organización distinto.

Por ejemplo:

Grado de estudios: ________ Edad: ______ Hombre Mujer

1. ¿Sabes de dónde viene el agua que bebemos en la casa o en el colegio?

Sí No

2. ¿Cuántos vasos de agua tomas al día?

1 2 3 4 5 Más de 5

3. ¿Cuántas veces te lavas las manos? ____

4. ¿Qué haces mientras te lavas las manos?

Mantengo abierto el caño porque no me demoro en enjabonarme.

Cierro el caño mientras me enjabono las manos.

5. ¿Avisas al responsable cuando encuentras caños, tanques de inodoros o mangueras estropeadas?

Nunca A veces A menudo Siempre

6. ¿Cuántas veces te lavas los dientes? ____

7. ¿Qué haces mientras te lavas los dientes?

Mantengo abierto el caño porque no me demoro en cepillarme.

Cierro el caño mientras me cepillo los dientes.

8. ¿Cuántos litros de agua consumes en un día? Haz un cálculo aproximado.

de 50 a 10 L de 10 a 20 L de 20 a 50 L de 50 a 100 L

TABLA 1 : cantidad de vasos que se consumen por día

N° vasos*Cantidad de alumnos

Recuento (palotes)Total

(frecuencia absoluta)

1

2

3

4

5

Más de 5

*Considerar en los vasos de agua que se consumen: los vasos de refrescos, sopas, jugos, etc.

128

Determinen a quiénes van a encuestar, es decir, cuál será la población. De esa población encuestarán a todos o solo una muestra representativa, es decir, solo a una cantidad determinada ¿Cómo seleccionar esa muestra?, ¿hay una técnica?

Paso 3: Análisis de datos, que implica seleccionar una gráfica o métodos numéricos apropiados y utilizar estos métodos para analizar los datos.

Comprueban que en la tabla, el total de respuestas corresponde al total de encuestados.

A partir de la tabla 1 se procede a realizar otros gráficos. Para este ciclo se recomienda una tabla de doble entrada, diagramas de árbol o gráficos lineales, pero se pueden incluir otros ya aprendidos en anteriores ciclos como diagrama de barras, pictogramas.

En este ciclo también es propicio calcular el porcentaje, la moda y media aritmética a partir de los datos obtenidos y poder realizar el análisis de estos datos.

Para dar mayor soporte a su investigación, solicita a los estudiantes que empleen procedimientos de recolección de datos de diversas fuentes de información indirectas, recortes de periódico, encartes de supermercado, revistas, lecturas, visita a instituciones de la región como ANA (Autoridad Nacional del Agua) del Ministerio de Agricultura, Sedapal, municipios, bibliotecas, resultados de la COP 20, ONG, etc.

¿Sabes de dónde viene el agua que tomamos?

Respuesta Cantidad Porcentaje

SÍ 24 30%

NO 56 70%

Total 80 100%

70

60

50

40

30

20

10

0Sí No

¿Sabes de dónde viene el agua que tomamos?

Son 16 encuestas.3 toman 4 vasos al día.

Pinto 3 cuadraditos y sigo pintando hasta completar las 16 encuestas.

Porc

enta

je (%

)

Respuesta

129

Paso 4: Interpretar resultados, que implica comprender los resultados del análisis y relacionarlos con el problema planteado

Los estudiantes reflexionan y comentan a través de algunas preguntas. Por ejemplo:

• Antes de realizar la investigación, ¿sabías cómo cuidar el agua en la escuela?

• Al saber cuánto de agua consumes, puedes ser más consciente en su ahorro y cuidado?

Es muy importante que los estudiantes repasen el proceso que realizaron para desarrollar su investigación:

• ¿Cómo hicieron para saber qué datos necesitaban y cómo los iban a conseguir?

• ¿Cómo recolectaron los datos? ¿Cómo los organizaron? ¿Cómo los representaron? ¿les fue útil esta representación? ¿por qué?

• ¿Les sirvió presentar los datos en porcentajes? ¿Por qué?

• ¿Todos los grupos trabajaron con los mismos datos? ¿Comprobaste los resultados? ¿A tus compañeros y compañeras de grupo les salió igual? ¿por qué?

Evalúan la importancia de la estadística en el estudio de una situación concreta de su realidad.

• La investigación que han realizado sobre el agua, ¿les ha servido? ¿para qué? ¿Las opiniones que dan ahora respecto a este tema, les parece que tienen fundamento? Expliquen a su grupo.

• El estudio realizado, ¿te ha planteado retos que debes asumir? ¿por qué?

Promueven costumbres de cuidado del agua en su familia y generan nuevos hábitos. Elaboran carteles con sus propuestas:

¡Ahorra agua!

Cierra el caño y la ducha mientras te lavas los dientes o enjabonas tus manos o tu cuerpo mientras te bañas.

¡Ahorra agua!

Regar las plantas temprano en la mañana o en la tarde cuando ya se ocultó el sol.

¡Ahorra agua!

Constata que los caños y el inodoro no goteen. Avisa siempre a la

persona responsable de su cuidado.

¡Ahorra agua!

No uses el inodoro como basurero.

http://cambioclimatico.minam.gob.pe/que-podemos-hacer/tips-sobre-el-cambio-climatico/

130

Del mismo modo, que hay materiales para los números y la geometría también es necesario contar con materiales para generar y plantear experimentos aleatorios asociados a las probabilidades. A continuación algunas sugerencias de materiales y propuesta de actividades.

3.4.2 Recursos para plantear experimentos aleatorios

Dados

Juego de cartasMonedas

RuletasBolas de

diferentes colores

Dados

Existen dados de diferentes formas: los cúbicos, tetraédricos, dodecaédricos, etc. Con ellos puedes generar experimentos aleatorios para determinar la probabilidad.

Actividad: Al lanzar dos dados, ¿qué parejas de números podemos obtener?, ¿Cuántas son en total?

Propiciar que el niño experimente libremente, para que pueda descubrir las propiedades matemáticas al respecto.

Permite que registren los datos de diferentes formas: tablas, diagrama de árbol, etc.

Que socialicen los resultados.

Generar la construcción de los sucesos en pares ordenados: (2,5), (5,2).

Realiza otras preguntas: ¿qué posibilidades tenemos de sacar como suma 1?, ¿qué posibilidades tenemos de sacar como suma un número comprendido entre 2 y 12 incluidos?

Estas pregunta dan lugar a suceso imposible y suceso seguro.

131

Juego de cartas

Actividad 1: ¿Cuál de las siguientes experiencias se consideran como aleatorias y cuáles no:

Sacar una carta y observar si es de corazones.

Todas las cartas son reyes.

Si saco una carta es seguro que sea menor que 12.

Bolas de diferentes colores

Actividad 1: En una caja hay 4 bolas rojas, 3 verdes y 2 blancas. ¿Cuántas bolas se deben sacar sucesivamente para estar seguro de obtener una bola de cada color?

Actividad 2: En una bolsa tenemos 10 bolas, de las cuales 2 son blancas, 4 azules, 3 verdes y una negra. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?, ¿cuál es la probabilidad de sacar una bola azul?

Monedas

Actividad 1: Se lanza una moneda tres veces seguidas:

¿Es seguro sacar cara?

¿Es seguro sacar sello?

Experimenta varias veces.

¿Cuál es la probabilidad de obtener más resultados con cara?

Actividad 2: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar una moneda al aire?

Actividad 3: ¿Cuáles son todos los posibles sucesos al lanzar dos monedas al aire?

Ruletas

Actividad 1: Construye ruletas con dos, tres, cuatro o más sectores con colores distintos y otra con dos colores iguales.

Actividad 2: En la ruleta de la derecha:

¿Es seguro caer en un color?

¿Qué es más probable?

¿Cuál es la probabilidad de caer en un color en una ruleta de 5 sectores, donde 2 sectores son rojo, 2 amarillos y uno es blanco?

12

3

4567

8

910

132

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AN

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1: M

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134

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n si

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El

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pes

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135

Com

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1: A

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Prob

lem

as a

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repa

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tiplic

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mas

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tiplic

ativ

os c

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úmer

os

natu

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s:

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terp

reta

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cion

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U

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acid

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de la

s fra

ccio

nes

prop

ias

y nú

mer

os m

ixto

s, c

on s

opor

te

conc

reto

y g

ráfic

o.

Elab

ora

repr

esen

taci

ones

con

cret

a,

pict

óric

a, g

ráfic

a y

sim

bólic

a de

los

sign

ifica

dos

de la

mul

tiplic

ació

n co

n fra

ccio

nes.

Prob

lem

as c

on fr

acci

ones

:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar y

ord

enar

con

frac

cion

es

y fra

ccio

nes

deci

mal

es.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

o p

roce

dim

ient

os p

ara

sum

ar y

re

star

al

reso

lver

pro

blem

as c

on

fracc

ione

s he

tero

géne

as o

frac

ción

de

un

conj

unto

.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

(fra

ccio

nes

equi

vale

ntes

y a

lgor

itmos

) par

a su

mar

, re

star

y m

ultip

licar

fra

ccio

nes.

Prob

lem

as c

on fr

acci

ones

:

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

obre

las

rela

cion

es d

e or

den,

com

para

ción

y

equi

vale

ncia

ent

re fr

acci

ones

y

deci

mal

es h

asta

el c

enté

sim

o.

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os y

co

ntra

ejem

plos

las

dife

rent

es

form

as d

e re

pres

enta

r fra

ccio

nes,

fra

ccio

nes

deci

mal

es y

frac

cion

es

equi

vale

ntes

.

Es

tabl

ece

dife

renc

ias

entre

fra

ccio

nes

prop

ias

e im

prop

ias,

he

tero

géne

as y

hom

ogén

eas.

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

frac

cion

es:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

9 , ex

pres

ándo

los

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n

mul

tiplic

ativ

o de

una

frac

ción

por

un

nat

ural

.

Em

plea

un

mod

elo

de

solu

ción

ad

itivo

o m

ultip

licat

ivo

con

fra

ccio

nes

al p

lant

ear o

reso

lver

un

prob

lem

a.

7 Pr

oble

mas

de

fracc

ione

s qu

e im

plic

an re

parto

, pro

blem

as d

e m

edid

a qu

e im

pliq

uen

com

para

ción

de

long

itude

s y

área

s.8

(PA

EV) P

robl

emas

adi

tivos

de

cam

bio,

com

para

ción

e ig

uala

ción

. 9

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

sim

ple

de re

petic

ión

de u

na m

edid

a. P

robl

emas

de

área

.10

M

ater

ial c

oncr

eto

(regl

etas

de

colo

res,

tira

s de

frac

cion

es e

quiv

alen

tes

linea

les

y ci

rcul

ares

), di

bujo

s, g

ráfic

os (r

ecta

num

éric

a) o

repr

esen

taci

ón s

imbó

lica

(núm

eros

, pal

abra

s, n

otac

ión

de fr

acci

ones

).

137

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on d

ecim

ales

:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es e

n pr

oble

mas

adi

tivos

11, y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n ad

itivo

co

n de

cim

ales

has

ta e

l cen

tési

mo.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on d

ecim

ales

:

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de lo

s de

cim

ales

en

dive

rsos

co

ntex

tos

de la

vid

a di

aria

(m

edid

as d

e lo

ngitu

d, c

apac

idad

, tie

mpo

, etc

.).y

en e

l sis

tem

a m

onet

ario

nac

iona

l (bi

llete

s y

mon

edas

).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, grá

fica

y si

mbó

lica d

e lo

s de

cim

ales

has

ta e

l cen

tési

mo

y de

su

s eq

uiva

lenc

ias.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

or

den

de lo

s de

cim

ales

has

ta e

l ce

ntés

imo

en la

rect

a nu

mér

ica,

en

el t

able

ro p

osic

iona

l y s

egún

el

valo

r pos

icio

nal d

e su

s ci

fras.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

pi

ctór

ica,

grá

fica

y si

mbó

lica

de

los

sign

ifica

dos

de la

adi

ción

y

sust

racc

ión

de d

ecim

ales

has

ta e

l ce

ntés

imo.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on d

ecim

ales

:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar,

estim

ar y

re

dond

ear n

úmer

os d

ecim

ales

al

ente

ro m

ás p

róxi

mo.

Em

plea

est

rate

gias

o re

curs

os p

ara

ubic

ar y

est

able

cer e

quiv

alen

cias

en

tre u

na fr

acci

ón,

fracc

ión

deci

mal

y u

n de

cim

al (

1 10 =

0,1;

35

100

=

3 10 +

5 100) y

ent

re d

ifere

ntes

unid

ades

de

long

itud

(1 m

5 c

m =

1, 0

5 m

).

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as12

y

proc

edim

ient

os o

est

rate

gias

de

cálc

ulo

para

sum

ar y

rest

ar c

on

deci

mal

es e

xact

os y

frac

cion

es

deci

mal

es.

Prob

lem

as a

ditiv

os c

on d

ecim

ales

:

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os

con

apoy

o co

ncre

to, g

ráfic

o o

sim

bólic

o, lo

s si

gnifi

cado

s so

bre

las

oper

acio

nes

de a

dici

ón y

su

stra

cció

n co

n de

cim

ales

.

D

eter

min

a en

qué

otro

s pr

oble

mas

es

apl

icab

le e

l mod

elo.

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pr

oble

mas

.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Em

plea

la c

alcu

lado

ra p

ara

reso

lver

pro

blem

as y

ver

ifica

r sus

re

sulta

dos.

Ju

stifi

ca y

def

iend

e su

s ar

gum

ento

s o

conj

etur

as, u

sand

o ej

empl

os o

co

ntra

ejem

plos

.

Ex

plic

a su

s pr

oced

imie

ntos

y

resu

ltado

s.

11

Prob

lem

as a

ditiv

os d

e un

a o

más

eta

pas

que

impl

ique

n co

mbi

nar p

robl

emas

de

cam

bio-

cam

bio,

cam

bio-

com

bina

ción

, cam

bio-

com

para

ción

, etc

.; c

on n

úmer

os d

ecim

ales

has

ta e

l cen

tési

mo.

12 E

stra

tegi

as h

eurís

ticas

com

o ha

cer u

na s

imul

ació

n co

n m

ater

ial c

oncr

eto,

hac

er u

n es

quem

a, re

cta

num

éric

a.

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

138

Com

pete

ncia

2: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

regu

larid

ad, e

quiv

alen

cia

y ca

mbi

o

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Patro

nes

de re

petic

ión:

In

terp

reta

rela

cion

es e

n lo

s el

emen

tos,

de

prob

lem

as d

e re

gula

ridad

y lo

s ex

pres

a en

un

patró

n de

repe

tició

n qu

e co

mbi

ne

un c

riter

io g

eom

étric

o de

tras

laci

ón

y un

crit

erio

per

cept

ual d

e co

lor.

Pr

opon

e pr

oble

mas

de

regu

larid

ad

a pa

rtir d

e pa

trone

s de

repe

tició

n qu

e co

mbi

nen

un c

riter

io

geom

étric

o de

tras

laci

ón y

un

crite

rio p

erce

ptua

l de

colo

r.

Patro

nes

de re

petic

ión:

U

tiliz

a le

ngua

je m

atem

átic

o pa

ra

expr

esar

el c

riter

io g

eom

étric

o (tr

asla

ción

) que

inte

rvie

ne e

n el

pa

trón

y la

regl

a de

form

ació

n cr

ecie

nte

del p

atró

n nu

mér

ico.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as13

para

am

plia

r o c

rear

pat

rone

s de

repe

tició

n ge

omét

ricos

de

trasl

ació

n y

crite

rios

perc

eptu

ales

.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s so

bre

los

térm

inos

no

cono

cido

s de

l pat

rón

a re

gla

de fo

rmac

ión

crec

ient

e o

cons

tant

e de

los

patro

nes

aditi

vos

con

núm

eros

nat

ural

es o

fra

ccio

nes.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

In

terp

reta

los

dato

s en

pro

blem

as

de re

gula

ridad

grá

fica14

y n

umér

ica,

ex

pres

ándo

las

en u

n pa

trón

aditi

vo c

on n

úmer

os n

atur

ales

o

fracc

ione

s.

C

rea

una

regu

larid

ad a

par

tir d

e un

pat

rón

aditi

vo c

on n

úmer

os

natu

rale

s.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

para

am

plia

r o c

rear

pat

rone

s ad

itivo

s co

n fra

ccio

nes

y nú

mer

os

natu

rale

s, in

cluy

endo

el u

so d

e la

ca

lcul

ador

a.

Patro

nes

aditi

vos

y m

ultip

licat

ivos

:

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s so

bre

los

térm

inos

no

cono

cido

s en

pat

rone

s

mul

tiplic

ativ

os c

on n

úmer

os

natu

rale

s o

fracc

ione

s.

13 S

imul

ació

n, ta

blas

, em

peza

r por

atrá

s.14

C

onfig

urac

ione

s pu

ntua

les,

arr

eglo

s, fi

gura

s, e

tc.

139

Ecua

cion

es:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es e

n pr

oble

mas

de

equi

vale

ncia

o

equi

librio

, exp

resá

ndol

os e

n

ecua

cion

es s

impl

es d

e la

form

a

ax ±

b=

c

Ecua

cion

es:

Re

pres

enta

el v

alor

des

cono

cido

de

una

igua

ldad

con

ícon

os.

Ecua

cion

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

por

tant

eo,

sust

ituci

ón o

agr

egan

do, q

uita

ndo

o re

parti

endo

, par

a en

cont

rar e

l va

lor o

los

valo

res

desc

onoc

idos

de

una

igua

ldad

o e

cuac

ión.

Em

plea

pro

pied

ades

de

las

igua

ldad

es (s

umar

, res

tar,

mul

tiplic

ar o

div

idir

en a

mbo

s la

dos

de la

igua

ldad

) par

a ha

llar

el té

rmin

o de

scon

ocid

o de

una

ig

uald

ad.

A

plic

a la

pro

pied

ad d

istri

butiv

a de

la m

ultip

licac

ión

resp

ecto

de

la

adic

ión

para

form

ular

igua

ldad

es.

Ecua

cion

es:

Ju

stifi

ca y

def

iend

e su

s ar

gum

enta

cion

es, u

sand

o ej

empl

os, s

obre

los

proc

edim

ient

os

usad

os p

ara

reso

lver

pro

blem

as

de ig

uald

ades

.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

In

terp

reta

los

dato

s en

pro

blem

as

de v

aria

ción

ent

re d

os m

agni

tude

s,

expr

esán

dolo

s en

una

rela

ción

de

prop

orci

onal

idad

dire

cta

usan

do

tabl

as.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Ex

pres

a la

s re

laci

ones

de

prop

orci

onal

idad

de

dos

mag

nitu

des.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Em

plea

est

rate

gias

de

ensa

yo y

er

ror,

expe

rimen

taci

ón, t

abla

s,

reco

jo d

e da

tos

u op

erac

ione

s pa

ra

reso

lver

pro

blem

as d

e re

laci

ones

de

cam

bio

o de

pro

porc

iona

lidad

.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s, u

sand

o ej

empl

os p

ara

afirm

ar q

ue d

os

mag

nitu

des

soin

dire

ctam

ente

pr

opor

cion

ales

.

Co

mpa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Em

plea

la c

alcu

lado

ra p

ara

reso

lver

pr

oble

mas

y v

erifi

car s

us re

sulta

dos.

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pr

oble

mas

.

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s us

ando

ej

empl

os y

con

traej

empl

os.

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

140

Com

pete

ncia

3: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

form

a, m

ovim

ient

o y

loca

lizac

ión

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Re

cono

ce e

lem

ento

s y

prop

ieda

des

de

los

obje

tos

segú

n su

s ca

ras,

ba

ses,

altu

ra, s

uper

ficie

late

ral y

los

rela

cion

a co

n p

rism

as.

Re

laci

ona

una

cons

trucc

ión

con

cubo

s y

sus

dife

rent

es v

ista

s.

Se

lecc

iona

la e

stru

ctur

a de

l só

lido

con

cubo

s, p

ara

reso

lver

un

pro

blem

a de

con

stru

cció

n de

pr

ism

as.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Ex

pres

a la

s pr

opie

dade

s y

elem

ento

s de

cub

os o

pris

mas

no

mbr

ándo

los

apro

piad

amen

te.

Re

pres

enta

grá

ficam

ente

las

dife

rent

es v

ista

s bi

dim

ensi

onal

es

que

tiene

una

form

a tri

dim

ensi

onal

.

C

onst

ruye

figu

ras

tridi

men

sion

ales

en

form

a co

ncre

ta (o

rigam

i m

odul

ar),

a pa

rtir d

e su

med

ida

e in

stru

ccio

nes

escr

itas

y or

ales

.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

cuer

pos

geom

étric

os y

dib

ujar

fig

uras

seg

ún s

us v

ista

s, u

sand

o di

vers

os m

ater

iale

s e

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

s ca

ract

erís

ticas

sem

ejan

tes

de lo

s pr

ism

as.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re lo

s pr

oced

imie

ntos

mat

emát

icos

a

aplic

ar e

n la

sol

ució

n de

pro

blem

as

de c

álcu

lo d

e vo

lum

en.

Ju

stifi

ca la

rela

ción

ent

re la

cl

asifi

caci

ón d

e pr

ism

as s

egún

su

bas

e c

on la

cla

sific

ació

n de

po

lígon

os.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s ge

omét

ricas

ex

plíc

itas

seg

ún s

u pe

rímet

ro y

ár

ea e

n ob

jeto

s y

supe

rfici

es d

e su

ent

orno

, exp

resá

ndol

os e

n un

m

odel

o ba

sado

en

cuad

rilát

eros

y

trián

gulo

s.

A

plic

a la

s pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

o tr

iáng

ulos

al p

lant

ear

o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s bá

sica

s de

los

cuad

rilát

eros

y tr

iáng

ulos

con

re

spec

to a

sus

lado

s y

ángu

los

y di

agon

ales

, par

alel

ism

o y

perp

endi

cula

ridad

.

D

escr

ibe

la c

onst

rucc

ión

de fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es a

par

tir d

e su

s el

emen

tos

o pr

opie

dade

s.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(tang

ram

, geo

plan

o, o

rigam

i) y

gráf

ica

(en

cuad

rícul

as, m

alla

de

punt

os),

cuad

rilát

eros

y tr

iáng

ulos

, da

dos

la m

edid

a de

sus

lado

s,

ángu

los,

el p

erím

etro

o e

l áre

a.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Em

plea

div

erso

s m

ater

iale

s y

recu

rsos

par

a co

nstru

ir o

dibu

jar

figur

as b

idim

ensi

onal

es.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

com

o co

mpo

ner o

rota

r fig

uras

, es

trate

gias

de

cont

eo d

e cu

adra

dito

s o

com

posi

ción

de

trián

gulo

s pa

ra c

alcu

lar e

l áre

a de

pa

rale

logr

amos

y lo

s tra

peci

os a

pa

rtir d

el á

rea

del r

ectá

ngul

o.

C

alcu

la e

l áre

a de

l triá

ngul

o a

parti

r de

l áre

a de

l rec

táng

ulo.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Es

tabl

ece

sem

ejan

zas

y di

fere

ncia

s en

tre c

uadr

ado

y re

ctán

gulo

, ent

re

cuad

rado

y ro

mbo

, etc

.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

s pr

opie

dade

s de

los

cuad

rilát

eros

y

trián

gulo

s.

Ex

plic

a co

n ej

empl

os y

co

ntra

ejem

plos

las

cara

cter

ístic

as

de lo

s cu

adra

dos,

rect

ángu

los,

ro

mbo

s, tr

iáng

ulo

rect

ángu

lo y

eq

uilá

tero

, etc

Es

tabl

ece

dife

renc

ias

entre

el á

rea

y el

per

ímet

ro d

e un

a fig

ura.

141

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

O

rgan

iza

dato

s re

spec

to a

la

loca

lizac

ión

de lu

gare

s y

desp

laza

mie

nto

de lo

s ob

jeto

s en

la

loca

lidad

, exp

resá

ndol

os e

n un

cr

oqui

s us

ando

pun

tos

card

inal

es

en u

n si

stem

a de

coo

rden

adas

.

Em

plea

un

sist

ema

de c

oord

enad

as

con

punt

os c

ardi

nale

s al

reso

lver

pr

oble

mas

de

loca

lizac

ión.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

D

escr

ibe

ruta

s de

des

plaz

amie

nto

en g

uías

, pla

nos

de c

iuda

des

utili

zand

o re

fere

ntes

esp

acia

les

y ot

ras

refe

renc

ias.

G

rafic

a en

un

plan

o cu

adric

ulad

o la

po

sici

ón d

e un

obj

eto.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

Id

entif

ica

cond

icio

nes

y ca

ract

erís

ticas

de

los

obje

tos

de

su e

ntor

no, e

xpre

sánd

olos

en

un

mod

elo

de a

mpl

iaci

ón y

redu

cció

n de

figu

ras

en u

n pl

ano

cuad

ricul

ado.

A

plic

a la

am

plia

ción

y re

ducc

ión

de

figur

as a

otro

s pr

oble

mas

sim

ilare

s.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

D

escr

ibe

la tr

ansf

orm

ació

n de

am

plia

ción

y re

ducc

ión

de u

na

figur

a en

el p

lano

cua

dric

ulad

o.

C

onst

ruye

de

una

mis

ma

figur

a do

s o

más

am

plia

cion

es o

redu

ccio

nes

en u

n pl

ano

cuad

ricul

ado

o en

el

plan

o ca

rtesi

ano.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

y re

laci

ones

de

prop

orci

onal

idad

pa

ra a

mpl

iar o

redu

cir u

na fi

gura

.

Am

plia

ción

y re

ducc

ión:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

rela

ción

en

tre la

am

plia

ción

y re

ducc

ión

con

la p

ropo

rcio

nalid

ad.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

El

abor

a o

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pr

oble

mas

.

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

142

Com

pete

ncia

4 :

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de g

estió

n de

dat

os e

ince

rtidu

mbr

e

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Prob

lem

as c

on d

atos

:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

(has

ta d

os v

aria

bles

cua

litat

ivas

o

cuan

titat

ivas

dis

cret

as) e

n di

vers

os

prob

lem

as e

stad

ístic

os y

los

expr

esa

en ta

blas

de

dobl

e en

trada

, grá

ficos

de

bar

ras

dobl

es o

grá

ficos

de

punt

os.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Re

aliz

a pr

egun

tas

rele

vant

es p

ara

un te

ma

de e

stud

io y

sus

pos

ible

s op

cion

es d

e re

spue

sta,

a tr

avés

de

encu

esta

s.

D

escr

ibe

info

rmac

ión

no e

xplíc

ita

cont

enid

a en

tabl

as,

gráf

icos

de

barr

as d

oble

s, g

ráfic

os d

e pu

ntos

.

O

rgan

iza

los

dato

s en

tabl

as y

los

repr

esen

ta e

n gr

áfic

o de

bar

ras

dobl

es o

grá

fico

de p

unto

s.

D

escr

ibe

el c

ompo

rtam

ient

o de

un

gru

po d

e da

tos,

usa

ndo

com

o re

fere

ncia

la m

oda

de u

n co

njun

to

de d

atos

.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Pl

ante

a un

a se

cuen

cia

orde

nada

de

acc

ione

s qu

e de

man

dan

reco

ger y

org

aniz

ar d

atos

cu

alita

tivos

o c

uant

itativ

os.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

reco

lecc

ión

de d

atos

com

o fu

ente

s de

info

rmac

ión

indi

rect

as

(reco

rtes

de p

erió

dico

, enc

arte

s de

su

perm

erca

do, r

evis

tas,

lect

uras

, et

c.).

C

alcu

la la

mod

a de

un

grup

o de

da

tos

orde

nand

o lo

s da

tos

en

tabl

as d

e fre

cuen

cia.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Ju

stifi

ca s

us p

redi

ccio

nes

sobr

e la

te

nden

cia

del c

ompo

rtam

ient

o de

lo

s da

tos,

a p

artir

del

grá

fico

linea

l.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Id

entif

ica

todo

s lo

s po

sibl

es

resu

ltado

s de

una

situ

ació

n al

eato

ria y

los

resu

ltado

s fa

vora

bles

de

un

even

to, e

xpre

sand

o su

pr

obab

ilida

d co

mo

fracc

ión.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

U

tiliz

a ex

pres

ione

s co

mo

"más

pr

obab

le",

"men

os p

roba

ble"

par

a co

mpa

rar l

a oc

urre

ncia

de

dos

suce

sos

prov

enie

ntes

de

la m

ism

a si

tuac

ión

alea

toria

.

Re

gist

ra lo

s da

tos

en d

iagr

ama

de á

rbol

a p

artir

de

expe

rimen

tos

alea

torio

s.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

Re

gist

ra e

n un

a ta

bla

la fr

ecue

ncia

de

ocu

rren

cia

de lo

s ev

ento

s o

fenó

men

os.

Prob

lem

as a

leat

orio

s:

El

abor

a su

pues

tos

sobr

e la

oc

urre

ncia

de

suce

sos

con

lo

más

pro

babl

e y

men

os p

roba

ble,

ba

sada

s en

exp

erie

ncia

s co

ncre

tas.

143

Com

pete

ncia

1: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

can

tidad

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta

idea

s m

atem

átic

asEl

abor

a y

usa

estra

tegi

asRa

zona

y a

rgum

enta

gen

eran

do

idea

s m

atem

átic

as

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pr

oble

mas

.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Em

plea

la c

alcu

lado

ra p

ara

reso

lver

pro

blem

as y

ver

ifica

r sus

re

sulta

dos.

Ju

stifi

ca y

def

iend

e su

s ar

gum

ento

s o

conj

etur

as, u

sand

o ej

empl

os o

co

ntra

ejem

plos

.

Prob

lem

as d

e va

rias

etap

as c

on n

úmer

os

natu

rale

s:

In

terp

reta

rela

cion

es a

ditiv

as

y m

ultip

licat

ivas

con

dat

os n

o ex

plíc

itos,

en

prob

lem

as d

e va

rias

etap

as1 ,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

que

com

bine

n la

s cu

atro

ope

raci

ones

con

nú

mer

os n

atur

ales

.

Núm

eros

nat

ural

es:

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de lo

s nú

mer

os m

ayor

es d

e se

is c

ifras

en

dive

rsos

con

text

os

de la

vid

a di

aria

(dis

tanc

ias,

pr

esup

uest

os, p

reci

os d

e ca

sas,

pr

emio

s de

lote

ría, e

tc.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es d

e nú

mer

os m

ayor

es d

e se

is c

ifras

en

form

a si

mbó

lica2 .

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

el o

rden

de

núm

eros

may

ores

de

seis

cifr

as.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a re

aliz

ar o

pera

cion

es c

on n

úmer

os

natu

rale

s.

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

y pr

oced

imie

ntos

par

a re

solv

er

prob

lem

as c

on n

úmer

os n

atur

ales

.

Tiem

po y

pes

o:

D

escr

ibe

la d

urac

ión,

est

imac

ión

y co

mpa

raci

ón d

e ev

ento

s em

plea

ndo

años

, déc

adas

y s

iglo

s.

Ex

pres

a la

med

ida,

est

imac

ión

y la

co

mpa

raci

ón d

el p

eso

de o

bjet

os

en u

nida

des

ofic

iale

s us

ando

sus

eq

uiva

lenc

ias

y no

taci

ones

más

us

uale

s.

Tiem

po y

pes

o:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

med

ida,

est

imac

ión

y co

nver

sión

al

reso

lver

pro

blem

as q

ue

impl

ique

n es

timar

, med

ir di

rect

a o

indi

rect

amen

te e

l tie

mpo

y p

eso

de

los

obje

tos.

1 Pr

oble

mas

de

varia

s et

apas

que

com

bine

n pr

oble

mas

adi

tivos

con

pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

. Pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

de

com

bina

ción

-mul

tiplic

ació

n y

com

bina

ción

-div

isió

n o

pro

duct

o ca

rtesi

ano.

2 Si

mbó

lica

(núm

eros

, pal

abra

s, c

ompo

sici

ón y

des

com

posi

ción

adi

tiva

y m

ultip

licat

iva,

val

or p

osic

iona

l en

mill

ones

, cen

tena

, dec

ena

y un

idad

de

mill

ar; c

ente

nas,

dec

enas

y u

nida

des)

.

AN

EXO

2: M

ATRI

CES

DE

LAS

CU

ATRO

CO

MPE

TEN

CIA

S

P

ARA

EL

SEX

TO G

RAD

O D

E PR

IMA

RIA

144

3 Pr

oble

mas

recu

rsiv

os q

ue im

pliq

uen

por e

jem

plo:

un

cajó

n co

ntie

ne 6

caj

as c

on 6

est

uche

s de

6 lá

pice

s ca

da u

no. P

robl

emas

de

prod

ucto

s de

med

ida

que

impl

ique

n el

áre

a de

un

cuad

rado

y e

l vo

lum

en d

el c

ubo.

4 Pr

oble

mas

que

impl

ique

n el

uso

de

múl

tiplo

s y

divi

sore

s de

núm

eros

nat

ural

es, b

usca

r div

isor

es c

omun

es e

ntre

var

ios

núm

eros

o m

últip

los

com

unes

a v

ario

s nú

mer

os, d

esco

mpo

sici

ón

mul

tiplic

ativ

a de

un

núm

ero.

5 M

ater

ial c

oncr

eto

(obj

etos

, reg

leta

s de

col

ores

, bas

e di

ez),

pict

óric

o, g

ráfic

a (d

esco

mpo

sici

ones

rect

angu

lare

s, ta

bler

o ci

en, r

ecta

num

éric

a, d

iagr

amas

de

Venn

) y s

imbó

licas

.6

Prob

lem

as d

e fra

ccio

nes

que

impl

ican

reco

noce

r que

la fr

acci

ón e

s un

coc

ient

e: ¿

exis

te u

na n

úmer

o na

tura

l que

mul

tiplic

ado

por 6

, dé

com

o re

sulta

do 8

?¿Y

una

fracc

ión?

¿Cuá

l es

el re

sulta

do d

e di

vidi

r 8 e

ntre

6?.

7

Prob

lem

as d

e fra

ccio

nes

com

o op

erad

or q

ue im

plic

an re

cono

cer l

a fra

cció

n de

un

conj

unto

o u

na c

antid

ad d

iscr

eta

(con

junt

o de

obj

etos

, por

eje

mpl

o: ¼

de

28 c

aram

elos

). Pr

oble

mas

que

impl

ique

n la

frac

ción

una

can

tidad

con

tinua

(una

sup

erfic

ie, u

na lo

ngitu

d, e

l tie

mpo

, por

eje

mpl

o: ¼

de

hora

, ¼ d

e ki

lóm

etro

)8

Frac

cion

es d

ecim

ales

son

aqu

ella

s cu

yos

deno

min

ador

es e

s un

a po

tenc

ia d

e 10

. Por

eje

mpl

o: 1

/10,

1/1

00, 1

/100

0, e

tc.

Prob

lem

as d

e po

tenc

ia c

uadr

ada

y cú

bica

:

O

rden

a da

tos

en p

robl

emas

re

curs

ivos

y d

e pr

oduc

to d

e m

edid

as3 y

los

expr

esa

en m

odel

os

refe

ridos

al c

uadr

ado

y cu

bo d

e un

nú

mer

o na

tura

l.

A

plic

a m

odel

os re

ferid

os a

la

pote

ncia

ción

al

plan

tear

y re

solv

er

prob

lem

as re

laci

onad

os c

on la

po

tenc

ia c

uadr

ada

y cú

bica

.

Prob

lem

as d

e po

tenc

ia c

uadr

ada

y cú

bica

:

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

pi

ctór

ica,

grá

fica

y si

mbó

lica

de la

po

tenc

ias

cuad

rada

s y

cúbi

cas

de

un n

úmer

o na

tura

l.

Prob

lem

as d

e po

tenc

ia c

uadr

ada

y cú

bica

:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as a

l re

solv

er p

robl

emas

rela

cion

ados

a

pote

ncia

s cu

adra

da y

cúb

ica.

Prob

lem

as d

e po

tenc

ia c

uadr

ada

y cú

bica

Es

tabl

ece

conj

etur

as re

spec

to a

la

s pr

opie

dade

s y

resu

ltado

s de

la

pote

ncia

cua

drad

a y

cúbi

ca d

e un

nú

mer

o na

tura

l.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

4 y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

rela

cion

ado

a m

últip

los

y di

viso

res

de u

n nú

mer

o.

A

plic

a m

odel

os re

ferid

os a

los

múl

tiplo

s y

divi

sore

s co

mun

es d

e un

núm

ero.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s:

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

gr

áfic

a y

sim

bólic

a5 de

los

múl

tiplo

s y

divi

sore

s de

un

núm

ero,

m

ínim

o co

mún

múl

tiplo

y m

áxim

o co

mún

div

isor

.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as,

el M

CD

y e

l mcm

par

a re

solv

er

prob

lem

as s

impl

es d

e m

últip

los

y di

viso

res

con

núm

eros

nat

ural

es.

Múl

tiplo

s y

divi

sore

s

Es

tabl

ece

conj

etur

as re

spec

to a

los

múl

tiplo

s y

divi

sore

s de

un

núm

ero.

Ju

stifi

ca c

uand

o un

núm

ero

es

múl

tiplo

o d

ivis

or d

el o

tro

Prob

lem

as c

on fr

acci

ones

com

o co

cien

te y

co

mo

oper

ador

:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

6 exp

resá

ndol

os

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n co

n fra

ccio

nes

com

o co

cien

te.

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

7 exp

resá

ndol

os

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n co

n fra

ccio

nes

com

o op

erad

or.

Frac

cion

es y

dec

imal

es:

El

abor

a di

vers

as re

pres

enta

cion

es

sobr

e la

frac

ción

de

un c

onju

nto.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es

conc

reta

, grá

fica

y si

mbó

lica

de

los

sign

ifica

dos

de la

frac

ción

y s

us

oper

acio

nes

(div

isió

n).

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

ord

en

de la

s fra

ccio

nes

deci

mal

es8 c

on

sopo

rte c

oncr

eto

y gr

áfic

o.

Frac

cion

es y

dec

imal

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

o

estra

tegi

as d

e cá

lcul

o pa

ra

reso

lver

pro

blem

as c

on fr

acci

ones

.

Frac

cion

es y

dec

imal

es

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

obre

las

rela

cion

es d

e or

den,

com

para

ción

y

equi

vale

ncia

ent

re fr

acci

ones

, fra

cció

n de

cim

al y

dec

imal

es h

asta

el

milé

sim

o.

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

145

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Prob

lem

as m

ultip

licat

ivos

con

frac

cion

es:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en p

robl

emas

, exp

resá

ndol

os

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n

mul

tiplic

ativ

o en

tre fr

acci

ones

.

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es e

n pr

oble

mas

que

impl

ique

n re

parti

r, pa

rtir u

na lo

ngitu

d o

supe

rfici

e y

los

expr

esa

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n de

div

isió

n en

tre u

na fr

acci

ón y

un

ente

ro.

Em

plea

un

mod

elo

de

solu

ción

ad

itivo

o m

ultip

licat

ivo

con

fracc

ione

s al

pla

ntea

r o re

solv

er u

n pr

oble

ma.

Pr

oble

mas

adi

tivos

y m

ultip

licat

ivos

con

de

cim

ales

:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es n

o ex

plíc

itas,

en

prob

lem

as d

e va

rias

etap

as9 ,

y lo

s ex

pres

a en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

aditi

vo q

ue

com

bine

n la

s cu

atro

ope

raci

ones

co

n de

cim

ales

.

Id

entif

ica

dato

s en

situ

acio

nes10

, ex

pres

ándo

los

en u

n m

odel

o de

sol

ució

n m

ultip

licat

ivo

con

deci

mal

es.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

deci

mal

es:

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de

los

núm

eros

dec

imal

es

hast

a el

milé

sim

o y

fracc

ión

deci

mal

en

dive

rsos

con

text

os d

e la

vid

a di

aria

(rec

etas

, med

idas

m

uy p

eque

ñas,

etc

.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

pi

ctór

ica,

grá

fica

y si

mbó

lica11

de

núm

eros

dec

imal

es h

asta

el

milé

sim

o y

sus

equi

vale

ncia

s.

D

escr

ibe

la c

ompa

raci

ón y

ord

en

de lo

s de

cim

ales

has

ta e

l milé

sim

o en

la re

cta

num

éric

a, e

n el

ta

bler

o po

sici

onal

y s

egún

el v

alor

po

sici

onal

de

sus

cifra

s.

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

pi

ctór

ica,

grá

fica

y si

mbó

lica

de lo

s si

gnifi

cado

s de

la, m

ultip

licac

ión

o di

visi

ón c

on d

ecim

ales

.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

deci

mal

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

par

a co

mpa

rar,

orde

nar,

redo

ndea

r nú

mer

os d

ecim

ales

a lo

s dé

cim

os,

cent

ésim

os y

ubi

car n

úmer

os

deci

mal

es e

ntre

dos

núm

eros

de

cim

ales

.

Em

plea

est

rate

gias

o re

curs

os

para

est

able

cer e

quiv

alen

cias

y

conv

ersi

ones

ent

re d

ecim

ales

, fra

cció

n de

cim

al, f

racc

ión

o

porc

enta

jes

y en

tre d

ifere

ntes

un

idad

es d

e m

asa

o lo

ngitu

d.

(0,2

5 kg

= 2

010

0 +

5 100 =

25 100

=

1 4 k

g =

250

g)

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as12

y p

roce

dim

ient

os o

est

rate

gias

de

cál

culo

par

a su

mar

, res

tar,

mul

tiplic

ar y

div

idir

con

deci

mal

es

exac

tos.

Prob

lem

as a

ditiv

os y

mul

tiplic

ativ

os c

on

deci

mal

es:

Ex

plic

a a

travé

s de

eje

mpl

os y

co

ntra

ejem

plos

las

dife

rent

es

form

as d

e re

pres

enta

r un

núm

ero

deci

mal

seg

ún s

u va

lor p

osic

iona

l.

9 Pr

oble

mas

adi

tivos

de

varia

s et

apas

con

núm

eros

dec

imal

es h

asta

el c

enté

sim

o.10

Pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

sim

ple

de re

petic

ión

de u

na m

edid

a, d

e co

mpa

raci

ón d

e am

plifi

caci

ón y

redu

cció

n. P

robl

emas

de

área

s qu

e im

pliq

uen

med

idas

en

núm

eros

de

cim

ales

.11

Mat

eria

l con

cret

o (m

ater

ial b

ase

diez

, reg

leta

s), g

ráfic

a (á

baco

, bas

e di

ez, c

uadr

ícul

a de

10

x10,

dia

gram

as d

e tir

as) y

sim

bólic

a (ta

bler

o de

val

or p

osic

iona

l, va

lor p

osic

iona

l de

sus

cifra

s, 0

, 75

= 3

/4)

12 E

stra

tegi

as h

eurís

ticas

com

o ha

cer u

na s

imul

ació

n co

n m

ater

ial c

oncr

eto,

hac

er u

n es

quem

a, re

cta

num

éric

a.

146

Porc

enta

jes:

Pl

ante

a re

laci

ones

ent

re lo

s da

tos

en s

ituac

ione

s, e

xpre

sánd

olos

en

un

mod

elo

de s

oluc

ión

con

po

rcen

taje

s us

uale

s.

Em

plea

un

mod

elo

de s

oluc

ión

refe

rido

a po

rcen

taje

s us

uale

s al

cr

ear o

reso

lver

pro

blem

as.

Porc

enta

jes:

Ex

pres

a en

form

a or

al o

esc

rita,

el

uso

de p

orce

ntaj

es m

ás u

sual

es13

en

div

erso

s co

ntex

tos

de la

vid

a di

aria

(rec

etas

, dis

tanc

ias,

ofe

rtas,

et

c.).

El

abor

a re

pres

enta

cion

es c

oncr

eta,

pi

ctór

ica,

grá

fica

y si

mbó

lica14

de

porc

enta

jes

más

usu

ales

.

Porc

enta

jes:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as15

, pr

oced

imie

ntos

y e

stra

tegi

as d

e cá

lcul

o al

reso

lver

pro

blem

as c

on

porc

enta

jes

más

usu

ales

.

Porc

enta

jes:

Ex

plic

a el

pro

cedi

mie

nto

real

izad

o al

reso

lver

pro

blem

as c

on

porc

enta

jes.

C

ompr

ueba

si e

l mod

elo

usad

o pe

rmiti

ó re

solv

er e

l pro

blem

a.

13 P

robl

emas

adi

tivos

de

varia

s et

apas

con

núm

eros

dec

imal

es h

asta

el c

enté

sim

o.14

Pro

blem

as m

ultip

licat

ivos

de

prop

orci

onal

idad

sim

ple

de re

petic

ión

de u

na m

edid

a, d

e co

mpa

raci

ón d

e am

plifi

caci

ón y

redu

cció

n. P

robl

emas

de

área

s qu

e im

pliq

uen

med

idas

en

núm

eros

de

cim

ales

.15

Hac

er la

sim

ulac

ión

con

mat

eria

l con

cret

o, h

acer

un

esqu

ema

com

o la

cua

dríc

ula

de 1

0 ×

10.

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

147

Com

pete

ncia

2: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

regu

larid

ad, e

quiv

alen

cia

y ca

mbi

o

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

El

abor

a y

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

reso

lver

pr

oble

mas

.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Em

plea

la c

alcu

lado

ra p

ara

reso

lver

pro

blem

as y

ver

ifica

r sus

re

sulta

dos.

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s, u

sand

o ej

empl

os y

con

traej

empl

os.

Patro

nes

de re

petic

ión:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es

no e

xplíc

itas

en s

ituac

ione

s de

re

gula

ridad

, exp

resá

ndol

os e

n un

pa

trón

de re

petic

ión

geom

étric

o co

n tra

slac

ione

s y

giro

s de

cua

rtos

y m

edia

s vu

elta

s.

Pr

opon

e si

tuac

ione

s de

regu

larid

ad

a pa

rtir d

e pa

trone

s de

repe

tició

n ge

omét

ricos

con

tras

laci

ones

y

giro

s de

cua

rtos

y m

edia

s vu

elta

s.

Patro

nes

de re

petic

ión:

U

tiliz

a le

ngua

je m

atem

átic

o pa

ra

expr

esar

los

crite

rios

geom

étric

os

(con

tras

laci

ones

y g

iros)

que

in

terv

iene

n en

la fo

rmac

ión

del

patró

n y

la re

gla

de fo

rmac

ión

crec

ient

e de

l pat

rón

num

éric

o.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Em

plea

est

rate

gias

heu

rístic

as

para

am

plia

r o c

rear

pat

rone

s de

re

petic

ión

geom

étric

os,

usan

do

mat

eria

l con

cret

o.

Patro

nes

de re

petic

ión:

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s so

bre

la

pred

icci

ón d

e al

guno

s té

rmin

os

no c

onoc

idos

de

un p

atró

n ge

omét

rico

(con

tras

laci

ón y

giro

s).

Patro

nes

aditi

vos

o m

ultip

licat

ivos

:

In

terp

reta

los

dato

s en

pro

blem

as

de re

gula

ridad

num

éric

a y

gráf

ica16

, ex

pres

ándo

las

en u

n pa

trón

aditi

vo

o m

ultip

licat

ivo

o co

n po

tenc

ias,

qu

e de

pend

e de

la p

osic

ión

del

elem

ento

.

C

rea

una

regu

larid

ad g

ráfic

a a

parti

r de

un p

atró

n nu

mér

ico.

Patro

nes

aditi

vos

o m

ultip

licat

ivos

:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

para

am

plia

r, co

mpl

etar

o c

rear

pa

trone

s nu

mér

icos

y g

ráfic

os,

cuya

regl

a de

form

ació

n de

pend

e de

la p

osic

ión

del e

lem

ento

, con

nú

mer

os n

atur

ales

, fra

ccio

nes

o de

cim

ales

.

Patro

nes

aditi

vos

o m

ultip

licat

ivos

:

Ju

stifi

ca s

us c

onje

tura

s so

bre

los

térm

inos

no

cono

cido

s en

pat

rone

s nu

mér

icos

-grá

ficos

.

16 S

ituac

ione

s de

regu

larid

ad c

on c

onfig

urac

ione

s pu

ntua

les

o pa

trone

s gr

áfic

os d

e cr

ecim

ient

o: c

reci

mie

ntos

de

cuad

rado

s, á

rea

de c

ubos

api

lado

s, e

tc.

148

17

Segú

n G

odin

o en

su

libro

Raz

onam

ient

o A

lgeb

raic

o; h

ay tr

es ti

pos

de ig

uald

ad: l

as q

ue s

e re

fiere

n a

una

iden

tidad

o p

ropi

edad

( a

+ (b

× c

) = a

× b

+ a

× c

), a

una

ecua

ción

(a +

=

b) o

a u

na

fórm

ula

( áre

a de

un

rect

ángu

lo =

larg

o ×

anc

ho)

Ecua

cion

es:

In

terp

reta

los

dato

s y

varia

bles

en

pro

blem

as d

e eq

uiva

lenc

ia

y eq

uilib

rio, e

xpre

sánd

olos

en

ecua

cion

es o

igua

ldad

es17

.

M

odifi

ca u

na e

cuac

ión

o ig

uald

ad

al p

lant

ear o

reso

lver

otro

s pr

oble

mas

.

Ecua

cion

es:

Re

pres

enta

el v

alor

des

cono

cido

de

una

ecu

ació

n co

n le

tras.

Ecua

cion

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

por

tant

eo,

sust

ituci

ón o

agr

egan

do, q

uita

ndo

o re

parti

endo

par

a en

cont

rar

el v

alor

o lo

s va

lore

s de

una

ec

uaci

ón, o

de

una

inec

uaci

ón.

Em

plea

pro

pied

ades

de

sim

plifi

caci

ón d

e té

rmin

os a

l re

solv

er u

na e

cuac

ión.

Ecua

cion

es:

Ju

stifi

ca y

def

iend

e ar

gum

enta

cion

es p

ropi

as y

de

otro

s, u

sand

o ej

empl

os, s

obre

el

pro

cedi

mie

nto

utili

zado

par

a re

solv

er p

robl

emas

de

igua

ldad

es

o de

sigu

alda

des.

Des

igua

ldad

es:

In

terp

reta

los

dato

s y

varia

bles

en

una

situ

ació

n de

des

equi

librio

o

desi

gual

dad

y la

s ex

pres

a en

m

odel

os re

laci

onad

os a

una

in

ecua

ción

sen

cilla

, por

eje

mpl

o de

la

form

a: a

< x

o

a

+ x

> b

M

odifi

ca u

na d

esig

uald

ad

al p

lant

ear o

reso

lver

otro

s pr

oble

mas

.

Des

igua

ldad

es:

Re

pres

enta

una

des

igua

ldad

co

n m

ater

ial c

oncr

eto,

grá

fico

y si

mbó

lico.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

In

terp

reta

los

dato

s en

una

si

tuac

ión

de v

aria

ción

ent

re d

os

mag

nitu

des,

exp

resá

ndol

os e

n un

a re

laci

ón d

e pr

opor

cion

alid

ad

dire

cta.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

U

tiliz

a ta

blas

o g

ráfic

os e

n el

pl

ano

carte

sian

o, p

ara

expr

esar

la

prop

orci

onal

idad

dire

cta

entre

dos

m

agni

tude

s.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Em

plea

est

rate

gias

de

ensa

yo y

er

ror,

expe

rimen

taci

ón, t

abla

s,

reco

jo d

e da

tos

u op

erac

ione

s pa

ra re

solv

er p

robl

emas

de

rela

cion

es d

e ca

mbi

o o

de

prop

orci

onal

idad

.

Prob

lem

as d

e pr

opor

cion

alid

ad:

Ju

stifi

ca y

def

iend

e ar

gum

enta

cion

es p

ropi

as y

de

otro

s, u

sand

o ej

empl

os, p

ara

afirm

ar q

ue d

os m

agni

tude

s so

n di

rect

amen

te p

ropo

rcio

nale

s.

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

149

Com

pete

ncia

3: A

ctúa

y p

iens

a m

atem

átic

amen

te e

n si

tuac

ione

s de

form

a, m

ovim

ient

o y

loca

lizac

ión

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Pl

ante

a re

laci

ones

resp

ecto

a lo

s el

emen

tos

y pr

opie

dade

s de

las

caja

s o

cubo

s y

los

rela

cion

a co

n lo

s pr

ism

as y

pirá

mid

es.

Re

laci

ona

una

form

a tri

dim

ensi

onal

co

n su

s di

fere

ntes

vis

tas.

Se

lecc

iona

el d

esar

rollo

o

las

plan

tilla

s de

las

form

as

tridi

men

sion

ales

par

a re

solv

er

un p

robl

ema

de c

onst

rucc

ión

de

pris

mas

y p

irám

ides

.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Ex

pres

a la

med

ida

del á

rea

late

ral

y to

tal d

el p

rism

a y

la p

irám

ide

en

unid

ades

con

venc

iona

les

a pa

rtir

de s

us p

lant

illas

o re

des.

Ex

pres

a la

med

ida

del v

olum

en

de c

ubos

y p

rism

as e

n un

idad

es

patró

n (c

ubito

s de

1 c

m3 ,

estru

ctur

as d

e 1

m3 ).

C

onst

ruye

pris

mas

y p

irám

ides

co

n m

ater

ial c

oncr

eto

(orig

ami

mod

ular

, pla

ntill

as),

gráf

ico

(pap

el

isom

étric

o) u

sand

o in

stru

men

tos

de d

ibuj

o; a

par

tir d

e in

dica

cion

es

sobr

e su

med

ida

o su

form

a.

Repr

esen

ta la

med

ida

del v

olum

en

del c

ubo

y de

l pris

ma

rect

o re

ctan

gula

r, co

n m

ater

ial c

oncr

eto

(mat

eria

l bas

e di

ez) y

grá

fico.

Ex

plic

a lo

que

com

pren

de s

obre

la

rela

ción

ent

re v

olum

en y

la m

edid

a de

cap

acid

ad d

e lo

s ob

jeto

s.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

cálc

ulo

para

enc

ontra

r el á

rea

de u

na

supe

rfici

e de

l pris

ma

y el

vol

umen

de

un

pris

ma

cuad

rang

ular

o

rect

angu

lar e

n un

idad

es

arbi

traria

s.

Usa

est

rate

gias

par

a es

timar

y

med

ir el

vol

umen

en

unid

ades

ar

bitra

rias

(cub

itos)

y la

cap

acid

ad

de o

bjet

os y

reci

pien

tes

en li

tros

y m

ililit

ros.

Form

as tr

idim

ensi

onal

es:

Es

tabl

ece

conj

etur

as s

obre

la

rela

ción

ent

re e

l áre

a la

tera

l y e

l ár

ea to

tal d

e lo

s pr

ism

as.

Es

tabl

ece

sem

ejan

zas

y di

fere

ncia

s en

tre lo

s pr

ism

as y

las

pirá

mid

es.

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

re

laci

ón e

ntre

el v

olum

en y

la

capa

cida

d.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

Id

entif

ica

cara

cter

ístic

as y

pr

opie

dade

s ge

omét

ricas

en

obje

tos

y su

perfi

cies

de

su

ento

rno,

exp

resá

ndol

os e

n fig

uras

ge

omét

ricas

bid

imen

sion

ales

(c

írcul

o ci

rcun

fere

ncia

, pol

ígon

os

regu

lare

s ha

sta

10 la

dos)

.

Apl

ica

las

prop

ieda

des

de la

s fig

uras

bid

imen

sion

ales

al p

lant

ear

o re

solv

er u

na s

ituac

ión.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

D

escr

ibe

las

prop

ieda

des

y re

laci

ones

del

círc

ulo

y la

ci

rcun

fere

ncia

y d

e lo

s po

lígon

os

regu

lare

s se

gún

sus

lado

s y

sus

ángu

los.

C

onst

ruye

la c

ircun

fere

ncia

usa

ndo

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

C

onst

ruye

pol

ígon

os re

gula

res

en

form

a co

ncre

ta (o

rigam

i, tir

as d

e m

ecan

o, e

tc.)

y en

form

a gr

áfic

a.

Repr

esen

ta g

ráfic

amen

te

form

as b

idim

ensi

onal

es e

n el

pl

ano

carte

sian

o, a

sí c

omo

sus

ampl

iaci

ones

y re

ducc

ione

s.

Expr

esa

la m

edid

a de

sup

erfic

ie

usan

do u

nida

des

conv

enci

onal

es

(km

2 , m

2 ).

Expr

esa

la m

edid

a de

dis

tanc

ias

muy

larg

as,

usan

do u

nida

des

conv

enci

onal

es (k

m).

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

cons

truir

y di

buja

r fig

uras

seg

ún s

us v

ista

s y

la ro

taci

ón, u

sand

o di

vers

os

mat

eria

les,

inst

rum

ento

s de

dib

ujo.

Usa

recu

rsos

, ins

trum

ento

s de

m

edic

ión

(cin

ta m

étric

a) y

uni

dade

s co

nven

cion

ales

par

a m

edir

y co

mpa

rar l

ongi

tude

s y

dist

anci

as

muy

gra

ndes

.

Empl

ea e

stra

tegi

as q

ue im

plic

an

corta

r la

figur

a en

pap

el y

re

acom

odar

las

piez

as, d

ivid

ir en

cua

drito

s de

1 c

m2 y

el u

so d

e op

erac

ione

s pa

ra d

eter

min

ar e

l ár

ea y

el p

erím

etro

de

figur

as

bidi

men

sion

ales

.

Form

as b

idim

ensi

onal

es:

El

abor

a co

njet

uras

sob

re la

re

laci

ón e

ntre

per

ímet

ro y

áre

a de

form

as b

idim

ensi

onal

es, e

ntre

ár

eas

de c

uadr

iláte

ros

y tri

ángu

los.

Es

tabl

ece

conj

etur

as y

las

verif

ica

sobr

e la

rela

ción

ent

re e

l rad

io y

el

diám

etro

de

la c

ircun

fere

ncia

.

Esta

blec

e ca

ract

erís

ticas

se

mej

ante

s en

los

políg

onos

re

gula

res.

150

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

In

terp

reta

dat

os y

rela

cion

es n

o ex

plíc

itas

resp

ecto

a la

loca

lizac

ión

de lu

gare

s o

desp

laza

mie

nto

de o

bjet

os e

n la

loca

lidad

ex

pres

ándo

los

en u

n cr

oqui

s en

el

prim

er c

uadr

ante

del

pla

no

carte

sian

o.

Em

plea

el p

lano

car

tesi

ano

al

reso

lver

situ

acio

nes

de lo

caliz

ació

n.

Ubi

caci

ón y

des

plaz

amie

nto:

D

escr

ibe

ruta

s de

des

plaz

amie

nto

en g

uías

, pl

anos

de

ciud

ades

ut

iliza

ndo

refe

rent

es e

spac

iale

s y

otra

s re

fere

ncia

s.

G

rafic

a en

el p

lano

car

tesi

ano

la p

osic

ión

de u

n lu

gar u

sand

o pu

ntos

car

dina

les.

Rota

ción

:

Inte

rpre

ta d

atos

y re

laci

ones

no

expl

ícita

s en

obj

etos

del

ent

orno

, al

ela

bora

r un

mod

elo

basa

do e

n la

rota

ción

(en

un c

uarto

de

vuel

ta

y m

edia

vue

lta) d

e fig

uras

en

un

plan

o cu

adric

ulad

o.

A

plic

a la

s tra

nsfo

rmac

ione

s ge

omét

ricas

de

sim

etría

, tra

slac

ión,

am

plia

ción

y re

ducc

ión

a ot

ros

prob

lem

as s

imila

res.

Rota

ción

:

D

escr

ibe

la ro

taci

ón d

e un

a fig

ura

en e

l pla

no c

uadr

icul

ado

o en

el

plan

o ca

rtesi

ano.

Re

pres

enta

en

form

a co

ncre

ta

(geo

plan

o), g

ráfic

a y

sim

bólic

a (p

ares

ord

enad

os)

trasl

acio

nes,

re

flexi

ones

y g

iros

(cua

rtos

y m

edia

s vu

elta

s) d

e fo

rmas

bi

dim

ensi

onal

es; y

rela

cion

a lo

s tre

s tip

os d

e re

pres

enta

ción

.

Rota

ción

:

U

sa e

stra

tegi

as p

ara

rota

r fig

uras

a

parti

r de

sus

vérti

ces,

incl

uyen

do

el u

so d

e in

stru

men

tos

com

o co

mpá

s, tr

ansp

orta

dor.

Rota

ción

:

Ex

plic

a el

pro

cedi

mie

nto

usad

o pa

ra c

onst

ruir

figur

as y

rota

rlas.

D

eter

min

a en

qué

otro

s pr

oble

mas

es

apl

icab

le e

l mod

elo.

El

abor

a o

ejec

uta

un p

lan

orie

ntad

o a

expe

rimen

tar o

re

solv

er p

robl

emas

.

C

ompa

ra lo

s pr

oced

imie

ntos

y

estra

tegi

as e

mpl

eada

s en

dis

tinta

s re

solu

cion

es.

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

151

Com

pete

ncia

4 :

Act

úa y

pie

nsa

mat

emát

icam

ente

en

situ

acio

nes

de g

estió

n de

dat

os e

ince

rtidu

mbr

e

Mat

emat

iza

situ

acio

nes

Com

unic

a y

repr

esen

ta id

eas

mat

emát

icas

Elab

ora

y us

a es

trate

gias

Razo

na y

arg

umen

ta g

ener

ando

id

eas

mat

emát

icas

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Inte

rpre

ta lo

s da

tos

y re

laci

ones

no

expl

ícita

s en

div

ersa

s si

tuac

ione

s y

los

expr

esa

en u

na ta

bla

de d

oble

en

trada

, dia

gram

as d

e ár

bol o

gr

áfic

os li

neal

es.

Se

lecc

iona

el m

odel

o gr

áfic

o es

tadí

stic

o m

ás a

decu

ado

al

plan

tear

y re

solv

er p

robl

emas

.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Real

iza

preg

unta

s re

leva

ntes

par

a un

tem

a de

est

udio

y s

us p

osib

les

opci

ones

de

resp

uest

a a

travé

s de

en

cues

tas.

D

eter

min

a la

tend

enci

a de

un

conj

unto

de

dato

s a

parti

r de

su

gráf

ico.

Re

pres

enta

de

dife

rent

es fo

rmas

un

con

junt

o de

dat

os, e

mpl

eand

o gr

áfic

os e

stad

ístic

os.

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Plan

tea

una

secu

enci

a or

dena

da

de a

ccio

nes

que

dem

anda

n re

coge

r y o

rgan

izar

dat

os

cual

itativ

os o

cua

ntita

tivos

.

Em

plea

pro

cedi

mie

ntos

de

reco

lecc

ión

de d

atos

com

o fu

ente

s de

info

rmac

ión

indi

rect

as

(reco

rtes

de p

erió

dico

, enc

arte

s de

su

perm

erca

do, r

evis

tas,

lect

uras

, et

c.).

Prob

lem

as c

on d

atos

:

Tom

a de

cisi

ones

o e

labo

ra

reco

men

daci

ones

sob

re e

l tem

a en

est

udio

y la

s ju

stifi

ca.

Ex

pres

a su

s co

nclu

sion

es re

spec

to

a la

info

rmac

ión

obte

nida

.

Med

idas

de

tend

enci

a ce

ntra

l :

Expr

esa

lo q

ue c

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ANEXO 3: MAPAS DE PROGRESO DE LAS COMPETENCIAS Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad

II CI

CLO

/ 5 a

ños

Identifica situaciones referidas a agregar o quitar objetos y las asocia con nociones aditivas1 . Expresa con su propio lenguaje sobre agrupar objetos por características perceptuales, ordenar2 hasta 5 objetos, ordenar objetos en una fila y señalar hasta el quinto lugar, comparar la duración de eventos cotidianos usando “antes” o “después”, comparar de manera cuantitativa colecciones de objetos usando algunos términos matemáticos o cuantificadores: “más que”, “menos que”, “pocos”, “ninguno” y “muchos”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone acciones para experimentar o resolver situaciones de manera vivencial y con apoyo de material concreto; emplea estrategias y procedimientos como agrupar, agregar y quitar objetos hasta 5, contar hasta 10 objetos, y comparar el peso3 de dos objetos, con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

III CI

CLO

/ 1.o y

2.o d

e pr

mar

ia Identifica datos en situaciones referidos a acciones de juntar, separar, agregar, quitar, igualar o comparar cantidades y los expresa en modelos de solución aditivas4, doble y mitad. Expresa los criterios para clasificar objetos en grupos y subgrupos, ordenar números naturales hasta 100, estimar y comparar la duración de eventos, empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos o cuantificadores “todos”, “algunos” y “ninguno”. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas de doble entrada y en forma simbólica. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos como estimar, contar y ordenar cantidades hasta 100, medir y comparar la masa de objetos con unidades arbitrarias; con apoyo de material concreto. Comprueba los procedimientos y estrategias usados. Elabora supuestos y explica el porqué de sus afirmaciones, procedimientos o resultados con ejemplos.

IV C

ICLO

/ 3.o y

4.o d

e pr

mar

ia

Plantea relaciones entre los datos en situaciones que combinan una o más acciones de agregar, combinar, igualar, comparar, repetir o repartir una cantidad, y los expresa con modelos aditivos o multiplicativos con números naturales y fracciones usuales. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre: reagrupar con criterios distintos, ordenar números naturales hasta millares, medir la masa de objetos en gramos y kilogramos, medir la duración de eventos en horas, medias horas o cuartos de hora, el significado de la noción de división y fracción, problemas aditivos5 y multiplicativos6; los representa mediante tablas de doble entrada y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo mental y escrito, conteo, orden con cantidades de hasta cuatro cifras; estimar, medir y comparar la masa de objetos y la duración de eventos empleando unidades convencionales, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas trabajadas y las justifica usando ejemplos.

1 Problemas PAEV: Cambio 1 y 2. 2 Seriación 3 Coloquialmente se dice peso cuando nos referimos a la masa de un objeto, pero lo formal es decir masa. 4 Problemas PAEV: Cambio 3 y 4, Combinación 2, y Comparación e igualación 1 y 2. 5 Problemas PAEV: Cambio 5 y 6, Comparación e igualación 3 y 4. 6 Problemas multiplicativos (proporcionalidad simple) 7 Problemas PAEV: Comparación e igualación 5 y 6. 8 Problemas multiplicativos conocidos como de producto cartesiano. 9 10%, 20%, 25%, 50%, 75%.

V CI

CLO

/ 5.o y

6.o d

e pr

mar

ia

Interpreta datos y relaciones no explicitas de situaciones diversas referidas a una o varias acciones de comparar e igualar dos cantidades con números naturales, expresiones decimales, fraccionarias o porcentajes, y los relaciona con modelos aditivos7 y multiplicativos8. Determina en que otras situaciones es aplicable. Describe, utilizando el lenguaje matemático, su comprensión sobre el significado de: la equivalencia entre fracciones, decimales y porcentajes y la noción de potencia; compara y estima la masa de objetos en unidades convencionales, y la duración de eventos en minutos y segundos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas, procedimientos de cálculo y estimación con porcentajes usuales9 y números naturales, fracciones y decimales; estimar, medir directa o indirectamente la masa de objetos y la duración de eventos; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre procedimientos, propiedades de los números y las operaciones trabajadas y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

152

VI C

ICLO

/ 1.o y

2.o d

e se

cund

aria

Discrimina información e identifica relaciones no explícitas en situaciones referidas a determinar cuántas veces una cantidad contiene o está contenida en otra y aumentos o descuentos sucesivos, y las expresa mediante modelos referidos a operaciones, múltiplo o divisores, aumentos y porcentajes. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas10, su comprensión sobre las propiedades de las operaciones con números enteros y racionales, y variaciones porcentuales; medir la masa de objetos en toneladas y la duración de eventos en décadas y siglos. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática usando tablas y símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas empleando estrategias heurísticas, procedimientos para calcular y estimar con porcentajes, números enteros, racionales y notación exponencial; estimar y medir la masa, el tiempo y la temperatura con unidades convencionales; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones numéricas o propiedades de operaciones observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.

VII C

ICLO

/ 3.o ,

4.o y

5.o

de s

ecun

daria Relaciona datos de diferentes fuentes de información referidas a situaciones sobre magnitudes, números grandes y

pequeños, y los expresa en modelos referidos a: operaciones con números racionales e irracionales, notación científica, tasas de interés simple y compuesto. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre las propiedades de los números irracionales, notación científica, tasa de interés. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemáticas, usando símbolos y tablas. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para calcular y estimar tasas de interés, operar con números expresados en notación científica, determinar la diferencia entre una medición exacta o aproximada; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones referidas a conceptos y propiedades de los números racionales, las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten el uso de sus conocimientos matemáticos.

DEST

ACAD

O

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las relaciones o restricciones de situaciones referidas a determinar cantidades expresadas mediante logaritmos; y las expresa mediante operaciones en diferentes sistemas numéricos y una combinación de modelos financieros. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: propiedades de los números y las operaciones en los sistemas numéricos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y las propiedades de los números y operaciones en los diferentes sistemas numéricos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros..

10 Convenciones matemáticas: por ejemplo, convenir que el cero es múltiplo de todos los números.

153

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio

II CI

CLO

/ 5 a

ños Reconoce patrones de repetición1 en secuencias sonoras, de movimientos o perceptuales. Expresa con su propio lenguaje

patrones y relaciones entre objetos de dos colecciones. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos o dibujos. Propone y realiza acciones para experimentar o resolver una situación de manera vivencial y con material concreto, emplea estrategias y procedimientos propios para ampliar, completar o crear patrones con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

III CI

CLO

/ 1.o y

2.o d

e pr

mar

ia

Identifica datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio, y las expresa con patrones de repetición2 y patrones aditivos, igualdades que contienen adiciones y sustracciones. Describe patrones, equivalencias y relaciones empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos. Realiza representaciones haciendo uso de su cuerpo, materiales concretos, dibujos, tablas simples y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones para experimentar o resolver un problema, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias agregando o quitando cantidades3 o para hallar un valor desconocido, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos o resultados. Elabora supuestos basados en lo observado en experiencias concretas y los explica usando ejemplos similares.

IV C

ICLO

/ 3.o y

4.o d

e pr

mar

ia Plantea relaciones entre los datos en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio; y la expresa con patrones de repetición4 o patrones multiplicativos, igualdades con multiplicaciones y relaciones de cambio entre dos magnitudes. Relaciona el modelo trabajado con otras situaciones similares. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre patrones, equivalencias y cambio. Elabora y emplea tablas simples, gráficos y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema empleando estrategias heurísticas, procedimientos para ampliar, completar o crear patrones, encontrar equivalencias con expresiones multiplicativas o hallar el valor desconocido en una igualdad multiplicando o dividiendo, establecer equivalencias entre unidades de medida de una misma magnitud, con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o en relaciones matemáticas y las justifica usando ejemplos.

V CI

CLO

/ 5.o y

6.o d

e pr

mar

ia

Interpreta datos y relaciones no explicitas en situaciones de regularidad, equivalencia y cambio entre dos magnitudes; y los expresa con modelos referidos a patrones geométricos, patrones crecientes y decrecientes, ecuaciones, desigualdades, y proporcionalidad directa y determina en qué otras situaciones es aplicable. Describe utilizando lenguaje matemático acerca de su comprensión sobre: patrones, ecuaciones y desigualdades, y relaciones de proporcionalidad directa. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática, con tablas, gráficos y símbolos; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a experimentar o resolver problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para completar términos de una sucesión gráfica o numérica de acuerdo a su posición, simplificar expresiones o ecuaciones empleando propiedades aditivas y multiplicativas o establecer equivalencias entre unidades de una misma magnitud; con apoyo de recursos; y compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas sobre regularidades, equivalencias y relaciones entre dos magnitudes, y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1 Patrones de repetición con un criterio perceptual (color,forma,tamaño,grosor).2 Patrones de repetición con dos criterios perceptuales.3 Equivalencias con igualdades que involucran adiciones y sustracciones con cantidades hasta 20.4 Patrones de repetición que combinan criterios perceptuales y de posición.

154

VI C

ICLO

/ 1.o y

2.o d

e se

cund

aria

Discrimina información e identifica variables relaciones no explícitas en situaciones diversas referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a patrones geométricos5, progresiones aritméticas, ecuaciones e inecuaciones con una incógnita, funciones lineales y relaciones de proporcionalidad inversa. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Usa terminologías, reglas y convenciones al expresar su comprensión sobre propiedades y relaciones matemáticas referidas a: progresiones aritméticas, ecuaciones lineales, desigualdades, relaciones de proporcionalidad inversa, función lineal y afín. Elabora y emplea diversas representaciones de una misma idea matemática con tablas, gráficos, símbolos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para determinar la regla general de una progresión aritmética, simplificar expresiones algebraicas empleando propiedades de las operaciones; con apoyo de diversos recursos y TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre expresiones algebraicas, magnitudes, o regularidades observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en las argumentaciones de otros.

VII C

ICLO

/ 3.o ,

4.o y

5.o

de s

ecun

daria

Relaciona datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a diversas situaciones de regularidades, equivalencias, y relaciones de variación; y las expresa en modelos de: sucesiones6 con números racionales e irracionales, ecuaciones cuadráticas, sistemas de ecuaciones lineales, inecuaciones lineales con una incógnita, funciones cuadráticas o trigonométricas7. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas las relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: sucesiones, ecuaciones, funciones cuadráticas o trigonométricas, inecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Elabora y relaciona representaciones de una misma idea matemática usando símbolos, tablas y gráficos. Diseña un plan de múltiples etapas orientadas a la investigación o resolución de problemas, empleando estrategias heurísticas y procedimientos para generalizar la regla de formación de progresiones aritméticas y geométricas, hallar la suma de sus términos, simplificar expresiones usando identidades algebraicas y establecer equivalencias entre magnitudes derivadas; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación del plan. Formula conjeturas sobre generalizaciones y relaciones matemáticas; justifica sus conjeturas o las refuta basándose en argumentaciones que expliciten puntos de vista opuestos e incluyan conceptos, relaciones y propiedades de los sistemas de ecuaciones y funciones trabajadas.

DEST

ACAD

O

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a regularidad, equivalencia o cambio; y las expresa con modelos referidos a sumatorias notables, sucesiones convergentes o divergentes, idea de límite, funciones exponenciales, logarítmicas y periódicas y ecuaciones exponenciales. Formula modelos similares a los trabajados y evalúa la pertinencia de la modificación realizada a un modelo, reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas, relaciones entre propiedades y conceptos referidos a: los sistemas de inecuaciones lineales, ecuaciones exponenciales y funciones definidas en tramos. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña un plan orientado a la investigación o la solución de problemas, empleando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas o procedimientos de: interpolar, extrapolar o calcular el valor máximo o mínimo de sucesiones y sumatorias notables, plantear sistemas de inecuaciones lineales y exponenciales y definir funciones por tramos. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones elaborando relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática; las justifica con demostraciones y produce argumentos matemáticos para convencer a otros.

5 Que se generan al aplicar reflexiones o giros.6 Considerar progresión aritmética y geométrica.7 Función seno y coseno.

155

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

II CI

CLO

/ 5 a

ños

Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

III CI

CLO

/ 1.o y

2.o d

e pr

mar

ia

Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos, el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.

IV C

ICLO

/ 3.o y

4.o d

e pr

mar

ia

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica o justifica usando ejemplos.

V CI

CLO

/ 5.o y

6.o d

e pr

mar

ia

Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1 Pictogramas sin escala. 2 El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro. 3 Pictogramas con escala.

156

VI C

ICLO

/ 1ro

y 2

do d

e se

cund

aria

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.

VII C

ICLO

/ 3ro

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y 5

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ria

Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.

DEST

ACAD

O

4 Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.

157

Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de gestión de datos e incertidumbre

II CI

CLO

/ 5 a

ños

Identifica datos de situaciones de su interés y los registra con material concreto en listas, tablas de conteo y pictogramas1. Expresa con sus propias palabras lo que comprende sobre la información contenida en las listas, tablas de conteo y pictogramas y la ocurrencia de sucesos cotidianos. Representa los datos empleando material concreto, listas, tablas de conteo o pictogramas. Propone acciones, estrategias o procedimientos propios para recopilar y registrar datos cualitativos con apoyo de material concreto. Explica el porqué de sus afirmaciones en base a su experiencia.

III CI

CLO

/ 1.o y

2.o d

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mar

ia

Identifica datos en situaciones de su entorno familiar o de aula, los organiza en listas o tablas simples o de doble entrada y los expresa mediante pictogramas sin escala, gráficos de barras. Expresa empleando lenguaje cotidiano y algunos términos matemáticos, lo que comprende sobre: la información contenida en tablas simples, de doble entrada o gráficos, el significado de la posibilidad o imposibilidad de sucesos cotidianos, y preguntas para recoger datos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o resolver un problema, empleando estrategias o procedimientos para recopilar, organizar y presentar datos, con apoyo de material concreto. Elabora supuestos referidos a características que se repiten en las actividades realizadas y los explica usando ejemplos similares.

IV C

ICLO

/ 3.o y

4.o d

e pr

mar

ia

Plantea relaciones entre los datos de situaciones de su entorno escolar, los organiza en tablas, barras simples, pictogramas con escalas o mediante la noción de moda. Describe con lenguaje matemático su comprensión sobre, la frecuencia y moda de un conjunto de datos, la comparación de datos en pictogramas o barras doble agrupadas, sucesos más o menos probables que otros . Elabora y emplea representaciones mediante gráficos de barras dobles o pictogramas, y símbolos. Propone y realiza una secuencia de acciones orientadas a experimentar o solucionar un problema empleando estrategias o procedimientos para recopilar datos cuantitativos y hallar el dato que más se repite; con apoyo de material concreto. Comprueba sus procedimientos y estrategias. Elabora conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las explica o justifica usando ejemplos.

V CI

CLO

/ 5.o y

6.o d

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mar

ia

Interpreta los datos en diversas situaciones, los organiza en tablas de frecuencia y los expresa mediante, variables cualitativas o cuantitativas discretas, la media aritmética o la probabilidad de un suceso. Determina en que otras situaciones son aplicables. Describe utilizando lenguaje matemático su comprensión sobre: las preguntas y posibles respuestas para una encuesta, la información contenida en tablas y gráficos, el significado de la media aritmética y la mediana de un grupo de datos, los resultados de una situación aleatoria y la probabilidad de un evento. Elabora y emplea diversas representaciones de datos mediante gráficos de líneas o de puntos y la probabilidad como fracción o cociente; relacionándolas entre sí. Elabora y ejecuta un plan orientado a recopilar datos a través de una encuesta, organizarlos y presentarlos; determinar la media; determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; calcular la probabilidad de un evento como una fracción; con apoyo de recursos. Compara los procedimientos y estrategias empleadas en distintas resoluciones. Establece conjeturas basadas en experiencias o relaciones entre datos y las justifica usando ejemplos o contraejemplos.

1 Pictogramas sin escala. 2 El estudiante indica intuitivamente si un suceso es más probable o menos probable que otro. 3 Pictogramas con escala.

158

VI C

ICLO

/ 1ro

y 2

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cund

aria

Discrimina y organiza datos de diversas situaciones y los expresa mediante modelos que involucran, variables cualitativas, cuantitativas discretas y continuas, medidas de tendencia central y la probabilidad. Selecciona y usa el modelo más pertinente a una situación y comprueba si este le permitió resolverla. Expresa usando terminología, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre: datos contenidos en tablas y gráficos estadísticos, la pertinencia de un gráfico a un tipo de variable y las propiedades básicas de probabilidades. Elabora y emplea diversas representaciones usando tablas y gráficos; relacionándolas entre sí. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación y resolución de problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos para recopilar y organizar datos cuantitativos discretos y continuos, calcular medidas de tendencia central, la dispersión de datos mediante el rango, determinar por extensión y comprensión sucesos simples y compuestos, y calcular la probabilidad mediante frecuencias relativas; con apoyo de material concreto y recursos TIC. Evalúa ventajas y desventajas de las estrategias, procedimientos matemáticos y recursos usados. Formula y justifica conjeturas referidas a relaciones entre los datos o variables contenidas en fuentes de información, observadas en situaciones experimentales; e identifica diferencias y errores en una argumentación.

VII C

ICLO

/ 3ro

, 4do

y 5

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sec

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Interpreta y plantea relaciones entre datos provenientes de diferentes fuentes de información, referidas a situaciones que demandan caracterizar un conjunto de datos, y los expresa mediante variables cualitativas o cuantitativas, desviación estándar, medidas de localización y la probabilidad de eventos. Analiza los alcances y limitaciones del modelo usado, evalúa si los datos y condiciones que estableció ayudaron a resolver la situación. Expresa usando terminologías, reglas y convenciones matemáticas su comprensión sobre relaciones entre: población y muestra, un dato y el sesgo que produce en una distribución de datos, y espacio muestral y suceso, así como el significado de la desviación estándar y medidas de localización. Realiza y relaciona diversas representaciones de un mismo conjunto de datos seleccionando la más pertinente. Diseña y ejecuta un plan de múltiples etapas para investigar o resolver problemas, usando estrategias heurísticas y procedimientos matemáticos de recopilar y organizar datos, extraer una muestra representativa de la población, calcular medidas de tendencia central y la desviación estándar y determinar las condiciones y restricciones de una situación aleatoria y su espacio muestral; con apoyo de diversos recursos y TIC. Juzga la efectividad de la ejecución o modificación de su plan. Formula conjeturas4 sobre posibles generalizaciones en situaciones experimentales estableciendo relaciones matemáticas; las justifica o refuta basándose en argumentaciones que expliciten sus puntos de vista e incluyan conceptos y propiedades de los estadísticos..

Analiza datos de variadas fuentes de información, define las variables, relaciones o restricciones de situaciones referidas a caracterizar un conjunto de datos, y expresarlos mediante coeficiente de variación y probabilidad condicional. Formula modelos similares a los trabajados, y evalúa la pertinencia de la modificación de un modelo reconociendo sus alcances y limitaciones. Expresa usando lenguaje matemático su comprensión sobre las relaciones entre medidas descriptivas, el significado del coeficiente de variación, y la probabilidad condicional. Relaciona representaciones de ideas matemáticas e identifica la representación más óptima. Diseña y ejecuta un plan orientado a la investigación o resolución de problemas, usando un amplio repertorio de recursos TIC, estrategias heurísticas y procedimientos de: recopilar y organizar datos de diversas variables, aplicar técnicas de muestreo, extraer la muestra aleatoria de la población y calcular la probabilidad condicional. Evalúa la eficacia del plan en función de la optimización de los recursos, procedimientos y estrategias que utilizó. Formula hipótesis sobre generalizaciones y relaciones entre conceptos y procedimientos de diferentes dominios de la matemática, y las justifica con demostraciones y a través de argumentos matemáticos para convencer a otros.

DEST

ACAD

O

4 Tener en cuenta que el razonamiento probabilístico y estadístico no es exacto como en matemáticas. Por lo tanto, en general las conjeturas que se puedan establecer no serán demostradas con rigor, serán afirmaciones con un grado de validez, porque se trata de elegir representantes de un sistema de datos (media, mediana, moda), o cuantificar la posibilidad (probabilidad teórica, empírica, etc.) pero que detrás de ello está la noción de incertidumbre.

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