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  • DIRECCIN DE EDUCACIN ABIERTA Y A DISTANCIA Y VIRTUALIDAD

    ADMINISTRACIN DE EMPRESAS

    PROGRAMACIN LINEALMDULO EN REVISIN

  • CORPORACIN UNIVERSITARIA DEL CARIBE-CECAR

    DIVISIN DE EDUCACIN ABIERTA Y A DISTANCIA

    MDULO

    PROGRAMACION LINEAL

    SANTIAGO VERGARA NAVARRO INGENIERO INDUSTRIAL

    PROGRAMA DE ADMINISTRACIN DE EMPRESAS A DISTANCIA 2005

    REVI

    SIN

  • 3

    Pg.

    INTRODUCCION 7

    PRIMERA UNIDAD 10

    PRESENTACIN 11

    OBJETIVOS 12

    ATRVETE A OPINAR 13

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 14

    1. MATRICES Y DETERMINANTES 15

    1.1 ALGEBRA LINEAL 15

    1.2 MATRIZ 15

    1.3 CALCULO MATRICIAL 17

    1.3.1 Suma y Resta 17

    1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz 19

    1.3.3 Producto de Matrices 21

    1.4 MATRICES ESPECIALES 26

    1.4.1 Matriz Identidad (I) 26

    14.2 Matriz Nula 27

    1.4.3 Matriz Traspuesta 27

    1.4.4 Matriz Fila 28

    1.4.5 Matriz Columna 28

    1.4.6 Matriz Inversa 29

    1.5 DETERMINANTES 34

    1.5.1 Determinantes de Segundo Orden 35

    CONTENIDO

    REVI

    SIN

  • 4

    1.5.2 Determinantes de Tercer Orden 36

    1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes 38

    RESUMEN 43

    AUTO EVALUACIN N 1 44

    SEGUNDA UNIDAD 46

    PRESENTACIN 47

    OBJETIVOS 48

    ATRVETE A OPINAR 49

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 50

    2. PROGRAMACION 51

    2.1 PROGRAMACIN LINEAL (P. L) 51

    2.2 USOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL 51

    2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L 52

    2.3.1 Modelo de Maximizacin 52

    2.3.2 Modelo de Minimizacin 53

    2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS 53

    2.4.1 Entendimiento del Problema 54

    2.4.2 Definicin de Variables 54

    2.4.3 Establecer la Funcin objetivo 54

    2.4.4 Establecer las Restricciones 54

    2.4.5 Establecer la no negatividad 54

    EJEMPLOS 55

    RESUMEN 66

    AUTO EVALUACIN N0 2 67

    GLOSARIO DE TERMINOS 72

    REVI

    SIN

  • 5

    TERCERA UNIDAD 73

    PRESENTACIN 74

    OBJETIVOS 75

    ATRVETE A OPINAR 76

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 77

    3. METODOS DE SOLUCIN DE LA P. L 78

    3.1 MTODO GRFICO 78

    3.1.1 Procedimiento Grfico 78

    3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades 79

    3.1.1.2 Hallar intersectos 79

    3.1.1.3 Graficar cada Ecuacin Lineal 79

    3.1.1.4 Determinar el Area Comn 79

    3.1.1.5 Calcular el valor de la Funcin Objetivo 79

    EJEMPLOS 80

    3.2 MTODO SIMPLEX 90

    3.2.1 PROCEDIMIENTO SIMPLEX 90

    3.2.1.1 Estandarizar el Modelo de P.L 91

    3.2.1.2 Construir la Tabla Caracterstica 91

    3.2.1.3 Identificar la Variable que entra y la que sale 93

    EJEMPLOS 94

    RESUMEN 112

    AUTO EVALUACIN N 3 113

    GLOSARIO DE TERMINOS 115

    CUARTA UNIDAD 117

    PRESENTACIN 118

    REVI

    SIN

  • 6

    OBJETIVOS 119

    ATRVETE A OPINAR 120

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL CONOCIMIENTO 121

    4. EL PROBLEMA DUAL (P.D) 122

    4.1 DUALIDAD 122

    4.2 IMPORTANCIA TERICA DE LA DUALIDAD 122

    4.2.1 Relaciones entre el modelo Primal y el Dual 123

    4.2.2 Relaciones entre la solucin Dual y Primal 123

    4.3 IMPORTANCIA COMPUTACIONAL DE LA DUALIDAD 124

    EJEMPLOS 124

    4.4 ANLISIS DE SENSIBILIDAD 135

    EJEMPLOS 136

    RESUMEN 142

    AUTO EVALUACIN N 4 143

    GLOSARIO DE TERMINOS 145

    BIBLIOGRAFA 146

    EL AUTOR 147

    REVI

    SIN

  • 7

    El presente mdulo recoge lo bsico y necesario del Algebra y Programacin

    Lineal, ya que sta se constituye, hoy da, en elemento esencial para la

    formacin matemtica en los campos de la Ingeniera, Economa, Ciencias,

    Administracin y otras carreras afines; de all, que con la motivacin de la

    experiencia adquirida como profesor universitario y la inquietud de entregar

    una informacin inteligible para el lector con escasos conocimientos de la

    asignatura, haya recurrido a un lenguaje simple y elemental, sin descuidar el

    aspecto terico requerido por el lenguaje algebraico y la profundidad

    necesaria para que los estudiantes adquieran los conocimientos y habilidades

    bsicos para la solucin de problemas en los que estn involucrados los

    elementos matemticos de matrices, sistemas de ecuaciones lineales y

    modelos de programacin lineal.

    Por todo lo anterior, inicialmente se induce al alumno en el estudio de los

    elementos bsicos del Algebra Lineal, con el propsito de suministrarle la

    herramienta y tcnica necesaria para la solucin de modelos de Programacin

    Lineal, en los que intervienen racionalizacin de recursos y la consecucin de

    soluciones optimas (la mejor entre todas), que le permitan el desarrollo, la

    concepcin y el anlisis respectivo de dichos problemas.

    Desde esta concepcin metodolgica, se desarroll el modulo del modo ms

    prctico posible para que sirva al mismo tiempo como elemento de consulta a

    estudiantes de educacin presencial; por lo que, en el desarrollo de los

    INTRODUCCION

    REVI

    SIN

  • 8

    diferentes temas se aplica el mtodo inductivo, es decir, se plantea el

    problema particular y se ilustra su solucin con los clculos que por lo

    general realiza un estudiante con escasos conocimientos algebraicos.

    Este modulo est orientado de manea especial hacia el estudiante de

    educacin a distancia, quien no dispone de un profesor o de una buena

    biblioteca permanente; por lo tanto, se recomienda su estudio en el mismo

    orden establecido para cada unidad. Solo as podr adquirirse un buen manejo

    de los temas vistos en los captulos anteriores y obtenerse una mejor

    comprensin de los temas siguientes:

    De all que, al iniciar el estudio de cada unidad tenga en cuenta lo siguiente:

    Leer bien los objetivos de la unidad.

    Estudie con cuidado la informacin terica de cada unidad, analcela y

    disctala con sus compaeros de clases.

    Desarrolle la evaluacin presentada a final de cada unidad y en caso de

    dudas verifique los resultados con sus compaeros y posteriormente con

    su tutor.

    REVI

    SIN

  • 9

    A CHAGUY ALBERTO, mi hijo y nueva

    razn de ser. Que nuestra madre Naturaleza

    nos de vida y salud para hacerte un hombre de

    bien.

    REVI

    SIN

  • 10

    MATRICES Y DETERMINANTES

    Unidad 1

    REVI

    SIN

  • 11

    Para poder solucionar modelos de programacin lineal, se hace evidente

    apropiarse de una herramienta algebraica necesaria para ser aplicada en las

    tcnicas de solucin de dichos problemas o modelos, la cual es el estudio de

    las matrices y determinantes el que proporciona esa herramienta, que necesita

    ser mecanizada ya que, es cclica o repetitiva en su accionar.

    Es por todo esto, que estudiaremos las matrices y ciertas operaciones

    definidas sobre ellas, as como el valor numrico correspondiente a cada una

    de ellas (determinante), para su posterior aplicacin en la programacin

    lineal.

    PRESENTACION

    REVI

    SIN

  • 12

    1. Presentar en forma condensada los datos empresariales a travs de

    matrices.

    2. Proveer la herramienta algebraica de las matrices y determinantes, para su

    utilizacin en la solucin de problemas de programacin lineal.

    3. Verificar la utilidad de las matrices en la organizacin de carcter

    estadstico, til para la toma de decisiones empresariales.

    OBJETIVOS

    REVI

    SIN

  • 13

    Qu piensas que es el Algebra Lineal? Por favor defnela. 1. __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    2. Qu entiendes por matriz? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    3. Qu conoces acerca de los determinantes? __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    ATREVETE A OPINAR

    REVI

    SIN

  • 14

    A continuacin encontrar una serie de enunciados con cinco respuestas, de

    las cuales una sola es verdadera. Marque con una X la que usted considere

    correcta.

    1. El valor de la expresin -3 (-5) 6, es:

    a) -14 b) 2 c) 4 d) -4 e) 14

    2. El valor de X en la ecuacin 1 7 = 3 X, es:

    a) - 3 b) 3 c) 4 d) 6 e) - 9

    3. La fraccin generatriz de 0.25, es:

    a) 32 b)

    43 c)

    31 d)

    52 e)

    41

    4. El valor de la expresin )

    23(

    32

    51

    ++ , es:

    a) 2

    15 b) 3031

    c) 3130 d)

    1512

    e) 101

    5. El valor del cociente

    53/

    21

    , es:

    a) 65 b)

    51 c)

    56

    d) 103

    e) 65

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL

    CONOCIMIENTO

    REVI

    SIN

  • 15

    1. MATRICES Y DETERMINANTES 1.1 ALGEBRA LINEAL: Es una herramienta o tcnica algebraica utilizada

    por la programacin lineal (P.L) para darle solucin a sus modelos.

    1.2 MATRIZ: Se llama matriz a un conjunto de nmeros, funciones o ecuaciones ordenados en forma de filas horizontales y columnas

    verticales, encerrados entre corchetes.

    Las matrices se denotan por medio de letras maysculas, como A, B, C, Z.

    Forma general de una matriz:

    3...

    2...

    1...

    ....333231

    ....232221

    ....131211

    amamam

    aaaaaaaaa

    amn

    nanana

    .

    .

    .331

    Donde:

    m: representa el nmero de filas.

    n: representa el nmero de columnas.

    Ejemplos de matrices:

    m x n

    UUNNIIDD

    REVI

    SIN

  • 16

    A =

    935472501

    , B =

    tgcossenctang

    C =

    =+=+==+

    =+=

    )45()7)123()12(

    )32()0(

    yxyxyxyxyxyx

    El orden de una matriz viene dado por el nmero de filas y columnas y se le

    anota en la parte inferior derecha, as:

    A =

    935472501

    ; B =

    tgcossenctang

    8453

    2017

    A los miembros de una matriz se les denomina elementos de la matriz y

    ocupan un lugar especfico e inamovible dentro de la matriz, especificado por

    un subndice en su parte inferior (ver forma general), as:

    a11: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 1 con la columna 1.

    a12: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 1 con la columna 2.

    a23: Elemento ubicado en la interseccin de la fila 2 con la columna 3.

    Col 1 Col 2

    Col 3

    Fila 1 Fila 2 Fila 3

    3 x 3

    2 x 2

    2 x 4 REVI

    SIN

  • 17

    amn: Elemento ubicado en la interseccin de la fila m con la columna n.

    Las matrices en ste mdulo son esencialmente matrices reales. Es decir, sus

    elementos son nmeros reales y mximo poseern orden 3 x 3.

    1.3 CLCULO MATRICIAL (Operaciones con Matrices) 1.3.1 Suma y Resta

    Sean las matrices A y B, se denota la suma y resta de ellas A + B y se define

    as:

    A =

    22211211

    aaaa y B =

    22211211

    bbbb

    Entonces. A + B =

    22211211

    aaaa +

    22211211

    bbbb =

    2222212112121111

    babababa

    Es decir, sumar o restar dos o ms matrices, basta con sumar o restar sus

    elementos de posiciones similares.

    La suma o resta de dos o ms matrices de rdenes diferentes no est definida,

    lo cual significa que la suma o resta de matrices est definida solamente para

    matrices cuadradas (de igual orden).

    Ejemplos:

    1) Sean A =

    1221 y B =

    21

    31

    Se pide: A + B = ?

    REVI

    SIN

  • 18

    Solucin:

    A + B =

    =

    +++

    =

    +

    3150

    21103211

    2131

    1021

    2) Si A =

    23

    1 y B =

    231

    , calcule A B = ?

    Entonces: A B =

    =

    =

    46

    2

    2233)1(1

    231

    23

    1

    3) Sean A =

    223104

    012 y B =

    423110

    ; A + B = ?

    A + B: No est definida, ya que son matrices de rdenes diferentes.

    4) Sean A =

    261423

    ; B =

    263412

    y C =

    410221

    Calcular:

    a. A + B

    b. A B

    c. B A + C

    Solucin:

    REVI

    SIN

  • 19

    a. A + B = +

    261423

    =

    4124835

    263412

    b. A B =

    261423

    -

    =

    0020

    11

    263412

    c. B A + C =

    ++++++

    =

    +

    422166013244221132

    410221

    261423

    263412

    B A + C =

    412210

    1.3.2 Producto de un Escalar por una Matriz

    Al trabajar con matrices, los nmeros suelen denominarse escalares. A menos

    que se especifique lo contrario, los escalares sern nmeros reales. Se

    multiplica una matriz A por un escalar K al multiplicar por K cada elemento

    de A.

    El producto de K por A se denota K.A y se define como otra matriz cuyos

    elementos son los mismos de A multiplicados por K.

    Ejemplos:

    1. Sea : A =

    531442216

    y K = 31

    REVI

    SIN

  • 20

    Hallar K . A = ?

    K . A =

    =

    =

    3

    5131

    32

    34

    32

    34

    312

    )5).(31()3).(3

    1()1).(31(

    )2).(31()4).(3

    1()2).(31(

    )4).(31()1).(3

    1()6).(31(

    531242416

    .31

    2. Sean X =

    263241

    ; Y =

    214362

    y Z =

    201241

    Calcular:

    a. 3 . Z - 21 . Y

    b. 2.Y + 4.X - 31 .Z

    Solucin:

    a. 3.Z - 21 .Y = 3.

    214362

    .21

    201241

    3.Z - 21 .Y =

    =

    521

    129

    92

    121

    223

    31

    6036

    123

    b. 2.Y + 4.X - 31 .Z = -2.

    +

    201241

    .31

    263241

    .4214362

    REVI

    SIN

  • 21

    2.Y + 4.X - 31 .Z =

    +

    320

    31

    32

    34

    31

    824128164

    4286

    124

    2.Y + 4.X - 31 .Z =

    =

    31022

    311

    34

    38

    31

    320

    31

    32

    34

    31

    4224240

    1.3.3 Producto de Matrices Por ser esta la operacin ms complicada con matrices, la explicaremos

    directamente por medio de ejemplos, teniendo en cuenta que, para que el

    producto de matrices sea posible, se tiene que cumplir la siguiente condicin:

    El nmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nmero de filas

    de la segunda matriz y el resultado poseer las filas de la primera matriz y las

    columnas de a segunda matriz.

    Simblicamente: Amxn . Bnxp = Cmxp

    Si es posible Si: A2 x 3. B3 x 4 = C2 x 4

    Si es posible P3 x 4. Q4 x 2 = R3 x 2

    Si es posible

    Ejemplos:

    REVI

    SIN

  • 22

    1. Sean A =

    1432 y B =

    2301 ; A . B = ?

    A2 x 2 . B2 x 2 = C2 x 2 A . B =

    =

    22211211

    2301

    .1432

    aaaa ; nuestro

    compromiso ahora es calcular los valores de a11, a12, a21, a22.

    Clculo de a11 (1era fila de A por 1era columna de B):

    119

    Calculamos ahora a12 (1era fila de A por 2da columna de B):

    66

    Clculo de a21 (2da fila de A por 1ra columna de B):

    73

    Clculo de a22 (2da fila de A por 2da columna de B):

    22

    Entonces A.B =

    27611

    Calculamos ahora B2 x 2. A2 x 2 = D2 x 2

    1 2

    3 3

    2 a11 = 11

    0 0

    3 2

    2 a12 = 6

    por por

    por

    por

    1 4

    1 3

    4 a21 = 7

    por por

    0 0

    1 2

    4 a22 = 2

    por por

    Si es posible

    REVI

    SIN

  • 23

    B.A =

    =

    22211211

    1432

    2301

    aaaa

    Clculo de a11:

    20

    Clculo de a12:

    30

    Clculo de a21:

    148

    Clculo de a22:

    112

    Entonces: B.A =

    111432

    Con el ejemplo anterior hemos demostrado que:

    A.B B. A

    2 2

    0 4

    1 a11 = 2

    por por

    3 3

    0 1

    1 a12 = 3

    por por

    2 6

    2 4

    3 a21 = 14

    por por

    3 9

    2 1

    3 a22 = 11

    por por RE

    VISI

    N

  • 24

    2. Sean A =

    0524

    31 y B =

    1423 ; calcular A.B.

    Solucin:

    A3 x 2. B2 x 2 = C 3 x 2 =

    323122211211

    aaaaaa

    Si es posible

    A.B =

    ++++++(

    =

    1.02.5)4(0)3(51).2(2.4)4)(2()3.(41.32).1()4(3)3)(1

    1423

    0524

    314

    =

    ++++

    0100152881232123

    Entonces A.B =

    10156419

    3.

    212

    301

    111001242

    =

    663

    175

    3. Sean A =

    1432 ; B =

    2301 y C =

    340

    213

    Demostrar que: (A + B).C = A.C + B.C

    3 x 3 2 x 3 2 x 3

    REVI

    SIN

  • 25

    (A + B).C =

    +

    2301

    1432

    340

    213

    (A + B).C =

    3733

    340

    213 =

    231921

    15159

    A.C =

    1432

    =

    11812

    13146

    340

    213

    B.C =

    2301

    =

    12119

    213

    340

    213

    A.C + B.C =

    =

    +

    231921

    15159

    12119

    213

    11812

    13146

    4. Encuentre los valores de a, b, c, en la siguiente ecuacin matricial:

    4

    1cba = 2

    1a

    cb + 2

    aa

    54

    Solucin:

    +

    =

    a

    aa

    cbc

    ba210

    282222

    4444

    +++

    =

    aa

    acbc

    ba22102

    28244

    44

    De donde: 824 += ba (1)

    acb += 24 (2)

    1024 += ac (3)

    a224 = (4) a224 =

    Lo cual queda demostrado.

    REVI

    SIN

  • 26

    a26 =

    = a

    26 3=a 5

    Reemplazo (5) en (1): 82)3(4 += b

    8212 += b

    b2812 =

    = b24 2=b

    Reemplazo (5) en (3): 10)3(24 +=c

    1064 +=c

    = 44c =44c 1=c

    1.4 MATRICES ESPECIALES

    El estudio de las matrices especiales se limita a las ms comnmente usadas,

    para conocimiento del lector y para sus posibles aplicaciones futuras.

    1.4.1 Matriz Identidad (I)

    Es una matriz cuadrada (tiene el mismo nmero de filas y columnas) que

    tiene su diagonal principal formada de unos (1) y ceros (0) en las dems

    posiciones. Son ejemplos de matriz identidad las siguientes:

    REVI

    SIN

  • 27

    1001 ;

    100010001

    ;

    1000010000100001

    ;

    La matriz identidad cumple con: Sea A una matriz cuadrada, entonces

    A = A .

    1.4.2 Matriz Nula

    Es una matriz cuyos elementos son ceros.

    [ ]0 ;

    0000 ;

    000000000

    ;

    000000

    ;

    1.4.3 Matriz Traspuesta

    Sea A una matriz cualquiera (cuadrada o no), se llama traspuesta de A

    y se denota At, a la matriz cuyas filas de A son las columnas de At o

    cuyas columnas de A son las filas de At.

    Ejemplos:

    1. Sea A =

    1023 At =

    12

    03

    2. Sea B =

    672531

    Bt =

    623

    751

    2 x 2 3 x 3

    4 x 4 Diagonal principal

    2 x 2 2 x 2

    3 x 2 2 x 3

    REVI

    SIN

  • 28

    3. Sea C =

    825

    130 Ct =

    812350

    4. Sea D =

    3506107

    124 Dt =

    3615102074

    1.4.4 Matriz Fila

    Es la matriz que posee una sola fila.

    Ejemplos:

    1. A = [ ]026

    2. B = [ ]4150

    3. C = [ ]7

    1.4.5 Matriz Columna

    Es la matriz que posee una sola columna.

    Ejemplos:

    1. A =

    73

    2. B =

    4501

    3. C = [ ]7

    2 x 3 3 x 2

    3 x 3 3 x 3

    1 x 3

    1 x 4

    1 x 1

    2 x 1

    4 x 1

    1 x 1

    REVI

    SIN

  • 29

    1.4.6 Matriz Inversa

    Es una matriz que tiene propiedades similares a las del inverso de un nmero.

    Es decir, el inverso de 2 es 21 o 2-1.

    La inversa de una matriz A se denota A-1 y cumple con la propiedad: A-1.A =

    A. A-1 = I.

    Para obtener la inversa de una matriz A, pueden efectuarse operaciones con

    sus filas (horizontales o verticales), teniendo en cuenta que: A = A.I.

    Estas operaciones con las filas de A, son seleccionadas en forma arbitraria

    (pero con lgica) para convertir la matriz A en una matriz identidad.

    Todas las matrices no tienen inversa. Solamente para una matriz cuadrada

    puede definirse la inversa. Una matriz que no tiene inversa se denomina

    matriz singular, una matriz A es singular si al efectuar operaciones con sus

    filas llegamos a una fila nula (todos sus elementos son ceros).

    Si para una matriz existe una inversa, sta es nica.

    Ejemplos:

    Halle, si es posible, la inversa de las siguientes matrices:

    a. A =

    6442 , entonces para encontrar la inversa de A (A-1), se intenta

    resolver la ecuacin matricial A = A . I, para convertir la matriz A en una

    matriz identidad. Pero en la ecuacin A = A . I, vemos que A aparece a

    REVI

    SIN

  • 30

    ambos lados de la igualdad, por tal motivo se omitir el miembro izquierdo

    de la misma para evitar operaciones dobles, por lo que nos limitaremos

    solamente al miembro derecho: A.I.

    Es de anotar que la matriz I que multiplica a A debe ser del mismo orden de

    A.

    Entonces: A.I =

    6442

    1001

    Ahora, aplicando operaciones elementales con las filas, se intenta cambiar el

    producto A.I en la forma I.A-1, como sigue:

    1002

    16421

    21F

    12

    021

    2021

    211

    021

    1021

    211

    123

    1001

    Fila 1 Fila 2

    y se obtiene

    la nueva fila 1

    -4f1 + f2 y se obtiene la nueva fila 2

    22

    F y se obtiene

    la nueva fila 2

    -2f2 + f1 y se obtiene la nueva fila 1

    REVI

    SIN

  • 31

    Como ya se convirti a A en una matriz identidad, la matriz A es invertible y

    su inversa es:

    A-1 =

    211

    123

    , es decir, se cambi A.I por I.A-1.

    b. Sea B =

    112422641

    ; B-1 = ?

    Entonces:

    100010001

    112422641

    102012001

    1170860

    641

    167

    31

    061

    31

    032

    31

    35003

    4103

    201

    F1 = F1 Porque ya se tiene la unidad

    -2F1 + F2

    -2F1 + F3

    Para obtener la nueva fila 2

    Para obtener la nueva fila 3

    62

    F

    Para obtener la nueva fila 2

    -4F*2N + F1 Para obtener la nueva fila 1

    7F*2N + F3 Para obtener la nueva fila 3

    * F*2N Para obtener la nueva fila 2

    353

    353 FF =

    Para obtener la nueva fila 3

    REVI

    SIN

  • 32

    53

    107

    51

    54

    1011

    53

    52

    51

    51

    100010001

    Entonces B-1 =

    53

    107

    51

    54

    1011

    53

    52

    51

    51

    c. Demuestre que la siguiente matriz no tiene inversa.

    A =

    232213021

    Solucin:

    A.I =

    100010001

    232213021

    102013001

    270270021

    11107

    17

    307

    27

    1

    0007

    2107

    401

    34

    F*3N + F2 Para obtener la fila 2

    32

    F*3N + F1 Para obtener la nueva fila 1

    -3F1 + F2 para obtener la nueva fila 2 2F1 + F3 para obtener la nueva fila 3

    Para obtener la nueva fila 2 72

    F

    F2 + F1 para obtener la nueva fila 3

    -2F*2N + F1 para obtener la nueva fila 1

    REVI

    SIN

  • 33

    Observe que al sumar el segundo y tercer rengln, se obtiene un rengln de

    ceros en el lado izquierdo del producto A.I. Debido a esto, se concluye que

    no es posible reescribir A.I en la forma I.A-1. Esto significa que A no tiene

    inversa, es decir, es una matriz SINGULAR.

    Las inversas anteriormente calculadas, se pueden comprobar por medio de la

    propiedad: A.A-1 = I.

    d. Hallar si es posible, la inversa de la traspuesta de A =

    310201611

    Solucin: At =

    326101

    011

    Entonces: At.I =

    100010001

    326101

    011

    1

    106011001

    34011001

    142011010

    100110101

    -F1 + F2 para obtener la fila nueva F2 6F1 + F3 para obtener la nueva fila F3

    -1F3 para obtener la nueva F3 -F3 + F2 para obtener la nueva F2 -F3 + F1 para obtener la nueva F1

    F2 + F1 para obtener la nueva F1 4F2 + F3 para obtener la nueva F3 REVI

    SIN

  • 34

    142133132

    100010001

    ; entonces: (At)-1 =

    142133132

    1.5 DETERMINANTES

    A toda matriz cuadrada le corresponde un valor numrico como resultado de

    unas operaciones realizadas con sus diagonales, as:

    Sumatoria de los productos de las diagonales principales menos sumatoria de

    los productos de las diagonales secundarias, igual a un valor numrico.

    A este valor numrico es lo que se conoce como determinante de una matriz.

    El determinante de una matriz A es la misma matriz A, pero encerrada entre

    barras verticales en vez de corchetes y se denota as: det. A; A o A .

    En este mdulo se utilizar A .

    Entonces:

    Si A = 333231232221131211

    333231232221131211

    aaaaaaaaa

    Aaaaaaaaaa

    =

    = Valor Numrico.

    En el presente mdulo se estudiarn los determinantes de segundo y tercer

    orden, a saber:

    REVI

    SIN

  • 35

    1.5.1 Determinantes de Segundo Orden

    Son aquellos que poseen dos productos de dos elementos cada uno, uno

    positivo (el de su diagonal principal) y el otro negativo (el de su diagonal

    secundaria), as:

    Sea A =

    22211211

    aaaa A =

    22211211

    aaaa = a11.a22 a12.a21

    Ejemplos: calcular el determinante de las siguientes matrices:

    a) A =

    41

    22 ; b) B =

    4230 ; c) C =

    3142

    Solucin:

    a. A = 1028)1).(2(424122

    4122

    =+==

    =

    xA

    b. B = 660)23(404230

    4230

    ====

    xxB

    c. C = 1046)14()3(231

    4231

    42===

    =

    xC

    Diagonal secundaria

    Diagonal Primaria

    REVI

    SIN

  • 36

    1.5.2 Determinantes de Tercer Orden

    Son aquellos que poseen seis productos de tres elementos cada uno, tres

    positivos (el de sus diagonales principales) y tres negativos (el de sus

    diagonales secundarias).

    Para calcular el determinante de una matriz A3 x 3, se agregan la primera y la

    segunda columna o filas de A para formar las columnas o filas cuarta y

    quinta. Luego, el determinante de A se obtiene al sumar (o restar) los

    productos de sus seis diagonales, como se muestra:

    Sea A =

    333231232221131211

    aaaaaaaaa

    ; agregamos la 1ra y 2da filas

    =

    =

    232221131211333231232221131211

    333231232221131211

    aaaaaaaaaaaaaaa

    aaaaaaaaa

    A

    A =a11.a22.a33 + a21.a32.a13 + a31.a12.a23 (a13.a22.a31 + a23.a32.a11 +

    a33.a12.a21)

    Diagonales secundarias

    Diagonales Primarias

    Sumatoria de los productos de las diagonales principales Sumatoria de los productos de las diagonales secundarias

    REVI

    SIN

  • 37

    Lo anterior tambin es posible agregando la 1era y 2da columnas, como se

    muestra a continuacin:

    =

    =

    323133323122212322211211131211

    333231232221131211

    aaaaaaaaaaaaaaa

    Aaaaaaaaaa

    A

    =A a13.a21.a32 + a12.a23.a31 + a11.a22.a33 (a13.a22.a31 + a11.a23.a32 +

    a12.a21.a33)

    Como puede observarse, se llega al mismo resultado; por lo que es

    indiferente el mtodo que se utilice, de all que el lector escoger el que

    mejor le parezca.

    Ejemplos: calcular los determinantes de:

    a. A = )604(16120

    21

    12

    30

    14421

    12

    30

    144213120

    +++=

    =

    A

    224)2(4 ===A

    b. B = )4090(84200

    75

    32

    10

    24675

    32

    10

    246731520

    +++=

    =

    B

    Diagonales secundarias

    Diagonales primarias

    REVI

    SIN

  • 38

    19894104)94(104 =+==B

    c. C = )102(021

    31

    02

    11

    13

    114

    1102

    11

    13

    1

    1411

    011213

    1

    ++++=

    =

    C

    6173

    61)3(

    61

    ===C

    Es de anotar que, si el determinante de una matriz A es cero, quiere esto decir

    que A es una matriz singular, o sea que no posee inversa.

    1.5.3 Aplicaciones de los Determinantes

    Histricamente, el uso de los determinantes surgi de la identificacin de

    patrones especiales que ocurren en la solucin de sistemas de ecuaciones

    lineales.

    Para resolver un sistema de dos o tres ecuaciones con dos o tres incgnitas

    por determinantes, se aplica la regla de KRAMER, que dice: El valor de

    cada incgnita es una fraccin, cuyo denominador es el determinante

    formado con los coeficientes de las incgnitas (determinante del sistema: S )

    y cuyo numerador es el determinante que se obtiene sustituyendo en el

    determinante del sistema, la columna de los coeficientes de la incgnita que

    REVI

    SIN

  • 39

    se halla, por la columna de los trminos independientes de las ecuaciones

    dadas.

    Ejemplos: Resolver los siguientes sistemas, aplicando determinantes:

    1. 84414)2(221

    42642 ===

    ==+ xSYx

    8=S

    =

    =

    =

    =25

    820

    8812

    822

    46

    X 25=X

    =

    =

    =

    =41

    82

    864

    82162

    Y 41=Y

    2. 2062 =+ YX

    )000(602

    10

    16

    02

    10110

    16

    02

    101110062

    5 ++++=

    =

    ==+ SZY

    4=S

    44

    43026

    4)3000(6020

    4

    10

    16

    520

    10110

    16

    520

    =+

    =++

    =

    =X

    ZX =-1

    22 = YX

    REVI

    SIN

  • 40

    1=X

    4

    124

    2104

    )020(200104

    10

    520

    02

    11110

    520

    02

    =+

    =+++

    =

    = Y

    3=Y

    48

    42028

    4)0020(3002

    4

    520

    16

    02

    101520

    16

    02

    =

    =++++

    =

    = Z

    2=Z

    3. 3231

    +=+ ZYX

    1=YX

    11.41

    +=+ YYX

    Como el sistema no est preparado, hay que prepararlo, as:

    =+ ZYX 231 3

    REVI

    SIN

  • 41

    )102(021

    31

    02

    11

    13

    114

    1102

    11

    13

    1

    1411

    011213

    1

    1 ++++=

    =

    == SYX

    6173

    61

    == SS

    617251

    617

    2325

    617

    )1022(0213

    617

    02

    11

    13

    14111

    02

    11

    13

    =

    =

    ++++=

    =X

    9=X

    617368

    617

    1365

    617

    )302(02231

    617

    02

    13

    13

    1111102

    13

    13

    1

    =

    =

    +++=

    =Y

    8=Y ; en la ecuacin: 1141

    +=+ YZX , remplazo 8=Y y 9=X , entonces:

    911211)8(419 +=+=+ ZZ

    4=Z

    1141

    =+ ZYX RE

    VISI

    N

  • 42

    4. Cuales sern los valores de x, para que:

    0)1(2

    4)1(=

    +

    XX

    Solucin:

    0)2).(4()1).(1()(2

    4)1(=+=

    +

    XXX

    X

    0812 =x

    092 =x

    92 =x

    9=x TALLE

    3.=x

    REVI

    SIN

  • 43

    Una matriz de m x n es un arreglo rectangular de mn nmeros

    arreglados en m filas y n comunas.

    Sea A una matriz de m x n y B una matriz de n x p, entonces A x b es

    una matriz de m x p.

    Si A es una matriz de n x m, B es de m x p y C es de p x q, entonces A

    x (B x C) = (A x B) x C y tanto B x C como A x B son matrices de n x

    q.

    Si todos los productos estn definidos, entonces:

    A x (B + C) = A x B + A x C y (A + B) x C = A x C + B x C

    El determinante de una matriz A2x2 =

    2221

    1211

    aaaa est dado por:

    A = a11a22 a12a21

    El determinante de una matriz A3x3 =

    333231

    232221

    131211

    aaaaaaaaa

    est dado por.

    RESUMEN RE

    VISI

    N

  • 44

    a11 3231

    222113

    3331

    232112

    3332

    2322

    aaaa

    aaaaa

    aaaaa

    +

    1) Demuestre que B es la inversa de A:

    a. A =

    410010322

    ; B =

    032

    31

    138

    34

    135

    34

    b. A =

    3211 ; B =

    5

    15

    25

    15

    3

    2) Sean A =

    cbad y B =

    11

    11 ; cuales son los valores de a, b, c y d,

    para que A.B = B.A.

    3) Resolver el siguiente sistema aplicando determinantes:

    1443=+

    ZYX

    126

    =+ ZYX

    0282=

    ZYX

    AUTOEVALUACION No 1

    REVI

    SIN

  • 45

    4) Sea: A =

    339306633

    ; demuestre que [ ] tAA =

    5) Calcular la matriz A en la siguiente ecuacin matricial:

    -4

    =

    +

    173251043

    21

    201010432

    AA

    6) Calcular, si es posible, la inversa de:

    714402312

    REVI

    SIN

  • 46

    PROGRAMACION

    REVI

    SIN

  • 47

    Los conocimientos contenidos en el presente capitulo hacen posible la

    formulacin de unos modelos a travs de los cuales, el administrador puede

    lograr una mayor eficiencia y un mejor sistema productivo en el mundo

    empresarial moderno; sobre todo, cuando deba tomar decisiones que

    involucren racionalizacin de recursos para determinar as, el mejor curso de

    accin de un problema empresarial.

    Para la buena comprensin de este tema se hace necesario que el alumno

    diferencie lenguaje coloquial de lenguaje algebraico y sepa expresar

    oraciones en forma de lenguaje coloquial a expresiones en forma de lenguaje

    algebraico.

    Unidad 2

    PRESENTACION

    REVI

    SIN

  • 48

    Analizar situaciones reales en las que, relaciones entre actividades, requerimientos de recursos y la contribucin al objetivo revistan

    carcter lineal.

    Disear un modelo simblico de un problema cuyo enunciado se suministre.

    Diferenciar entre disponibilidad y requerimiento, para la asignacin y distribucin de recursos limitados.

    OBJETIVOS RE

    VISI

    N

  • 49

    Qu entiendes por Programacin Lineal? 1. ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    2.

    En qu campos crees que se ha utilizado la P. L.?

    ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    ATREVETE A OPINAR

    3.

    Qu entiendes por Maximizar y por Minimizar?

    ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    REVI

    SIN

  • 50

    A continuacin encontrars 5 expresiones en forma de lenguaje coloquial

    (palabras), por favor exprsalas en forma de lenguaje algebraico (ecuaciones

    o inecuaciones):

    EXPRESIONES MATEMATICAS

    EN FORMA DE LENGUAJE

    COLOQUIAL

    EN FORMA DE LENGUAJE

    ALGEBRAICO

    El doble de un nmero es catorce.

    La mitad de un nmero ms su triplo no debe

    exceder a cinco.

    El quntuplo de un nmero es diecisis menos

    el mismo nmero.

    El triplo de un nmero ms el doble de otro, al

    menos es ocho.

    La mitad de un nmero menos la quinta parte

    de otro, no debe ser mayor que dos.

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL

    CONOCIMIENTO

    REVI

    SIN

  • 51

    2. PROGRAMACIN 2.1 PROGRAMACIN LINEAL (P. L.)

    La palabra programacin es un sinnimo de planeacin y el adjetivo lineal

    significa que todas las funciones matemticas que se van a trabajar, son

    funciones lineales, es decir, que las variables tendrn como exponente la

    unidad.

    La Programacin Lineal trata la planeacin de las actividades de un

    organismo social para obtener un resultado optimo, esto es, el mejor entre

    muchos; as, la programacin lineal es una tcnica matemtica cuyo objetivo

    es la determinacin de soluciones optimas a los problemas econmicos en los

    que intervienen recursos limitados.

    2.2 USOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL La Programacin Lineal ha sido empleada con mucho xito en variados

    campos, a saber:

    En la industria de alimentos, para la obtencin de mezclas optimas de

    productos con requerimiento de un mnimo de elementos nutritivos.

    UUNNIIDD

    REVI

    SIN

  • 52

    En la industria qumica para efectos de control de la produccin.

    En la industria metalrgica, para la planificacin de la produccin y

    transporte.

    En finanzas para la toma de decisiones.

    2.3 PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS DE P. L.

    Plantear un problema de Programacin Lineal, implica llevar expresiones

    matemticas en forma de lenguaje coloquial a expresiones matemticas en

    forma de lenguaje algebraico.

    Los problemas que se pueden presentar dentro de la Programacin Lineal son

    de maximizacin de utilidades o de minimizacin de costos. La forma

    general de los modelos de problemas de Programacin Lineal son:

    2.3.1 Modelo de Maximizacin Objetivo a lograr { nn XCXCXCZMax ....... 2211 ++=

    Sujeciones o limitantes del objetivo

    +++

    ++++

    nnmnmm

    nn

    nn

    bxaxaxa

    bxaxaxabxaxaxa

    ...

    ...

    ...

    2211

    22222121

    11212111

    Condicin de no negatividad { 0...21 == nXXX

    Donde:

    Z: Funcin objetivo que se pretende maximizar.

    :..., 21 nCCC Coeficientes de utilidades o ganancias o ventas

    REVI

    SIN

  • 53

    :..., 21 nXXX Variables bsicas de trabajo.

    :..., 1211 mnaaa Coeficientes de usos de recursos.

    :..., 21 nbbb Disponibilidad de recursos limitados (trminos independientes).

    2.3.2 Modelo de Minimizacin

    Mn. Z = nn XCXCXC ...... 2211 ++

    Sujeto a: 11212111 ....... bxaxaxa nn +++

    22222112 ...... bxaxaxa nn +++

    . . .

    . . .

    . . . nmnmm baxaxa +++ ..... 2211

    0...21 == nXXX

    Donde:

    Z: Funcin que se pretende minimizar.

    :..., 21 nCCC Coeficientes de costos o gastos.

    :..., 21 nXXX Variables bsicas de trabajo.

    :..., 1211 mnaaa Coeficientes de usos de recursos.

    :..., 21 nbbb Disponibilidad de recursos limitados (trminos independientes).

    2.4 PROCEDIMIENTO PARA PLANTEAR PROBLEMAS

    REVI

    SIN

  • 54

    Para plantear modelos de problemas de programacin lineal, se sugieren los

    siguientes pasos:

    2.4.1 Entendimiento del problema Significa hacerse a una idea clara de lo que se quiere, es decir, identificar con

    exactitud si se trata de un problema de maximizacin o minimizacin; lo cual

    se logra leyendo bien el enunciado (releerlo s es necesario).

    2.4.2 Definicin de variables Significa que, hay que definir en forma clara y precisa las variables de

    trabajo o variables fsicas (tantas como sean necesarias o el problema

    amerite).

    2.4.3 Establecer la funcin objetivo Significa plantear en forma de ecuacin, el objetivo que se desea alcanzar

    (con las variables definidas y los coeficientes de costos o ganancias dados).

    2.4.4 Establecer las restricciones Significa formular las limitantes a que va ha estar sujeta la funcin objetivo,

    teniendo en cuenta el uso y la disponibilidad de recursos (pueden ser

    desigualdades o igualdades).

    REVI

    SIN

  • 55

    2.4.5 Establecer la no negatividad

    Significa darle el sentido de positividad a todas las variables que se tengan

    que trabajar, es decir, que todas sean mayores o iguales que cero ( 0 ).

    Si el lector sigue la anterior metodologa para formular modelos de

    programacin lineal, lo ms probable es que se le dificulte menos el

    planteamiento de los mismos, ya que, no existe una formula matemtica para

    establecer tales problemas; de all que no sea tarea fcil el plantear dichos

    modelos, porque ningn caso se parece a otro.

    Ejemplos

    1. Un camin puede transportar dos clases de artculos, A y B. Por cada

    unidad de A que transporte recibe $1500 y por cada unidad de B, $2000.

    El camin tiene una capacidad de 12m 3 y puede transportar carga que no

    exceda las 16 toneladas. Los volmenes de A y B son respectivamente 2 y

    3m 3. Los pesos unitarios de A y B son 4 y 3 toneladas respectivamente.

    Plantear el anterior problema como un modelo de programacin lineal.

    Solucin:

    Paso a: Entendimiento: El propietario del camin desea maximizar sus

    ganancias. Lo cual est implcito en el hecho de que el enunciado da los

    ingresos por cada tipo de artculo que se transporte.

    Paso b: Definicin de variables

    REVI

    SIN

  • 56

    Como son dos los tipos de artculos a transportar, sern dos las variables a

    definir, as:

    Sean: :1X Nmero de artculos del tipo A a transportar.

    :2X Nmero de artculos del tipo B a transportar.

    Paso c: Establecer la funcin objetivo

    Mx. Z = 1500 X1 + 2000 X2 Paso d: Establecer las restricciones

    De capacidad : 2 123 21 + XX

    De pesos: 1634 21 + XX

    Paso e: Establecer la no negatividad 021 =XX

    2. El hospital Regional de Sincelejo est tratando de determinar el nmero

    de comidas de pescado y de res que debe servir durante el mes venidero.

    El hospital necesita una comida para cada uno de los 30 das. Las comidas

    de pescado cuestan $200 cada una y las de res $250 cada una. Ambas

    comidas cumplen con las necesidades de protenas. Si se juzga el sabor en

    una escala de 1 a 10, el pescado obtiene un 5 y la res un 9.

    El hospital quiere alcanzar en el mes por lo menos 200 puntos en el sabor.

    Los requerimientos totales de vitaminas en le mes deben ser por lo menos

    300 unidades, de las cuales la comida de pescado proporciona 8 unidades

    y la de res 12 unidades.

    REVI

    SIN

  • 57

    Plantee como un modelo de programacin lineal.

    Solucin

    Entendimiento: Lo que pretende el hospital es minimizar los costos, ya

    que, el problema otorga coeficientes de los gastos de cada

    comida.

    Definicin de variables: Al ser dos tipos de comida, sern dos las variables a

    utilizar, as:

    Sean: :1X Nmero de comidas de pescado a servir durante el

    mes venidero.

    :2X Nmero de comidas de res a servir durante el mes

    venidero.

    Funcin objetivo: Mn. Z = 21 250200 XX +

    Restricciones: s.a.: 20095 21 + XX (sabor)

    300128 21 + XX (Vitaminas)

    1X + 2X = 30 (total de comidas servidas al mes)

    No negatividad: 021 = XX

    3. La asociacin de estudiantes de CECAR dispone de $100.000 y ha pensado invertir en dos negocios. El primero la reporta una utilidad de

    $25 mensuales y el segundo $40 mensuales, por cada $ 100 invertidos.

    Debido aciertas condiciones impuestas por la asamblea de socios, se debe

    REVI

    SIN

  • 58

    invertir al menos el 25% del capital en el primer negocio y no ms del

    50% en el segundo. Adems, la cantidad invertida en este ltimo no debe

    ser mayor a 3/2 veces la cantidad invertida en el primer negocio.

    Plantear el problema como un modelo de programacin lineal.

    Solucin

    Sean: :1X Cantidad de dinero a invertir en el primer negocio. :2X Cantidad de dinero a invertir en el segundo negocio.

    Mx. Z = +110025 X 2100

    40 X

    Mx. Z: 21 5

    241 XX +

    Mx. Z: 21 40.025.0 XX +

    S.a.: 1X + 2X 100.000

    1X 25.000

    2X 50.000

    2X 123 X

    123 X + 2X 0

    1X = 2X 0

    4. Se tienen dos centros de sacrificios de reces, uno en Valledupar y otro en Montera. Existen tres centros de consumo: Bucaramanga, Medelln y

    Barranquilla.

    REVI

    SIN

  • 59

    La siguiente tabla muestra los costos de transportar una tonelada de carne

    desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo. Formule un

    modelo de programacin lineal que permita determinar cuanta carne debe

    enviarse desde cada centro de sacrificio hasta cada centro de consumo.

    1 2 3 Disp

    (Ton) B /Manga M/delln B/quilla

    Valledupar (1)

    $800 $1.500 $950 1.300

    Montera (2)

    $1.900 $750 $1.300 3.000

    Req. (Ton) 1.000 700 600

    Solucin

    11X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Bucaramanga. 12X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Medelln. 13X : Toneladas de carne a enviar desde Valledupar a Barranquilla. 21X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Bucaramanga. 22X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Medelln. 23X : Toneladas de carne a enviar desde Montera a Barranquilla.

    O bien:

    jiX , : Toneladas de carne a enviar desde el centro de sacrificio i al centro de

    consumo j .

    Donde: i : 1,2

    j : 1,2,3

    Mn. Z = 232221131211 30075019009501500800 XXXXXX +++++

    C. Consumo

    C. Sacrificio

    REVI

    SIN

  • 60

    s.a: 131211 XXX ++ 1.300

    232221 XXX ++ 3.000

    11X + 21X 1.000

    +12X 22X 700

    +13X 23X 600

    0232221131211 ===== XXXXXX

    O bien: 0, jiX

    Donde: i : 1,2

    j : 1,2,3

    5. Una empresa produce dos artculos, A y B. La elaboracin de una unidad de A requiere $20 de mano de obra y cada unidad de B requiere $10. La

    materia prima requerida es de $100 y $300 respectivamente para A y B.

    La depreciacin del equipo es proporcional al volumen de produccin y se

    ha estimado en $5 por cada unidad de A y $1 por cada unidad de B. Se

    cuenta con una disponibilidad de $ 1.000.000 para salarios del periodo,

    $1.800.000 para materia prima y no se permite que el desgaste del

    equipo supere los $100.000. Respecto a las utilidades no hay certeza, se

    espera que estos sean:

    Utilidad de A Utilidad de B Probabilidad $8 $5 0.50 $5 $6 0.25 $7 $7 0.25

    Formule el anterior problema como un modelo de programacin lineal

    Solucin

    REVI

    SIN

  • 61

    1X : Cantidad de artculos de tipo A a producir durante el periodo. 2X : Cantidad de artculos de tipo B a producir durante el periodo.

    Mx. Z = ( )725.0525.085.0 xxx ++ . 1X + ( )725.0625.055.0 xxx ++ . 2X

    Mx. Z = 7 X1 + 5,75 x2

    s.a: +120X 210X 1.000.000

    +1100X 2300X 1.800.000

    +15X 2X 100.000

    021 =XX

    6. Una compaa tiene tres tipos de maquinas procesadoras, cada una de diferente velocidad y exactitud. La maquina tipo I puede procesar

    20piezas/hora, con una precisin de 99%; la tipo II, 15piezas/hora, con

    una precisin de 95%, y la tipo III, 10piezas/hora, con una precisin del

    100%. El funcionamiento de la tipo I cuesta $2/hora; el de la tipo II,

    $1.75/hora y el de la tipo III, $1.50/hora. Cada da (8horas) deben

    procesarse por lo menos 3500 piezas buenas y hay disponibles 8 maquinas

    tipo I; 10 tipo II y 20 tipo III. Cada error le cuesta $1 a la compaa.

    Formular como un modelo de programacin lineal.

    Solucin

    Clculos:

    Costo por hora, a partir del funcionamiento de cada maquina,

    incluyendo costos por errores:

    Tipo I: $2 + 20 (0.01) ($1) = $2.2

    REVI

    SIN

  • 62

    Tipo II: $1.75 + 15 (0.05) ($1) = $2.5

    Tipo III: $1.50 + 10 (0) ($1) = $1.5

    Cantidad de piezas buenas que produce cada maquina por hora:

    Tipo I: 20 (0.99) = 19.8 piezas buenas/hora

    Tipo II: 15 (0.95) = 14.25 piezas buenas/hora

    Tipo III: 10 (1) = 10 piezas buenas/hora

    Total de piezas buenas que deben producirse por hora:

    ./5.437/8

    /3500 horapiezasdahoras

    dapiezas=

    Entonces, sea:

    iX : Cantidad de maquinas tipo i que deben utilizarse

    =i 1,2,3

    Mn. Z = 321 5.15.22.2 XX ++

    s.a: 321 1025.148.19 XXX ++ 437.5

    1X 8

    2X 10

    3X 20 0321 == XXX

    7. Un fabricante produce tres modelos (I, II, III) de cierto producto. l utiliza dos tipos de materia prima (Ay B), de los cuales se dispone de 4000 y

    6000 unidades respectivamente. Los requisitos de materia prima por

    unidad de los tres modelos son:

    Materia prima Modelo I Modelo II Modelo III

    REVI

    SIN

  • 63

    A 2 3 5

    B 4 2 7

    El tiempo de mano de obra para cada unidad del modelo I es dos veces mayor

    que el del modelo II y tres veces mayor que el del modelo III. Toda la fuerza

    de trabajo de la fabrica puede producir el equivalente a 1500 unidades del

    modelo I.

    Un estudio del mercado indica que la demanda mnima de los tres modelos se

    200, 200, 150 unidades respectivamente. Supngase que la ganancia por

    unidad de los modelos I, II, III es $30, $20 y $50 respectivamente. Formular

    como un modelo de programacin lineal.

    Solucin

    1X : Numero de unidades a producir del modelo I

    2X : Numero de unidades a producir del modelo II

    3X : Numero de unidades a producir del modelo III

    Mx. Z = 321 502030 XXX ++

    s.a: 4000532 321 ++ XXX

    6000724 321 ++ XXX

    150031

    21

    313

    212

    321

    3131

    2121++

    ==

    ==XXX

    XXXX

    XXXX

    2001X

    2002X

    REVI

    SIN

  • 64

    1503X

    0321 == XXX

    8. Una empresa elabora dos productos, X y Y, para lo cual utiliza los materiales A y B. El producto X requiere una unidad del material A y una

    unidad del material B. El producto Y requiere tres unidades de A y una

    unidad de B.

    Las informaciones de los proveedores indican que deben comprarse como

    mnimo 300 unidades del material A y 200 del B.

    El departamento de maquinado puede elaborar 500 unidades del producto

    X o 600 del producto Y, o cualquier relacin de estos. El departamento de

    acabado dispone de un total de 2800 minutos de los cuales cada unidad de

    X consume cuatro y cada unidad de Y siete. El departamento de ventas

    informa que puede venderse a lo sumo 300 unidades del producto y.

    Formular como un modelo de programacin lineal, sabiendo que los

    costos de produccin ascienden a $12 y $8 para los productos X y Y

    respectivamente y los precios de venta son de $16 para el producto X y

    $12 para el producto Y.

    Solucin

    1X : Cantidad de productos X a elaborar.

    2X : Cantidad de productos Y a elaborar.

    REVI

    SIN

  • 65

    Utilidades = ventas costos

    Entonces:

    Mx. Z = ( )2121 8121216 XXXX ++

    Mx. Z = 2121 8121216 XXXX +

    Mx. Z = 21 44 XX +

    s.a: 3003 21 + XX

    20021 +XX

    La relacin: 600500

    2

    1 =XX

    Entonces, 21 .65 XX = 12 .5

    6 XX = ; Luego: 60056

    21 +XX 50065

    21 + XX

    280074 21 + XX

    3002X

    021 =XX

    REVI

    SIN

  • 66

    Para plantear un problema de P. L. se sugiere seguir los siguientes pasos:

    - Leer el enunciado hasta lograr su entendimiento.

    - Tabular la informacin suministrada.

    - Definir variables de trabajo.

    - Formular la funcin objetivo.

    - Establecer las restricciones.

    - Establecer la no negatividad.

    Todo problema de P. L. debe contener la condicin de no negatividad, omitirla sera dejar abierta la posibilidad de que una solucin ptima

    puede contener valores negativos.

    Los problemas que se pueden presentar en el estudio de la P. L. son de dos tipos, a saber: de maximizacin y de minimizacin.

    Del correcto entendimiento del enunciado de un problema de P. L., depender su correcta formulacin o no.

    RESUMEN RE

    VISI

    N

  • 67

    REVI

    SIN

  • 68

    1. La compaa PINTU-COSTA posee una pequea fbrica de pinturas que produce colorantes para exteriores e interiores de casas para su

    distribucin al mayoreo. Se utilizan dos materiales bsicos, A y B, para

    producir las pinturas. La disponibilidad mxima de A es de 6 toneladas

    diarias, la de B es de 8 toneladas por da. Los requisitos diarios de

    materias primas por toneladas de pinturas para exteriores e interiores

    se resumen en la siguiente tabla:

    Exterior Interior Disp. Mx.

    Materia prima A 1 2 6

    Materia prima B 2 1 8

    Un estudio del mercado ha establecido que la demanda diaria de la

    pintura para interiores no puede ser mayor que la de pintura para

    exteriores en ms de una tonelada. El estudio seala as mismo, que la

    demanda mxima para pintura de interiores esta limitada a dos

    toneladas diarias.

    Si el precio al mayoreo por tonelada es de $3000 para pintura de

    exteriores y $2000 para pintura de interiores, plantea el problema como

    un modelo de programacin lineal.

    2. Una fbrica de fertilizantes ha recibido un pedido de 1000 toneladas de

    un fertilizante que debe satisfacer las siguientes especificaciones:

    AUTOEVALUACION No 2

    REVI

    SIN

  • 69

    Cuando menos 20% de Nitrgeno.

    Cuando menos 30% de Potasio.

    Cuando menos 8% de Fsforo.

    La compaa ha adquirido cuatro fertilizantes bsicos a partir de los cuales

    puede fabricar sus pedidos especiales. Los porcentajes de Nitrgeno, Potasio

    y fosfato que contienen los fertilizantes bsicos son:

    Fertilizante porcentaje de

    Bsico Nitrgeno Potasio fosfato

    1 40 20 10

    2 30 10 5

    3 20 40 5

    4 5 5 20

    Los costos de los fertilizantes bsicos respectivos son: $16.000, $12.000,

    $15.000y $8.000 por tonelada.

    Plantee como un modelo de programacin lineal

    3. Usted es un alumno de Administracin de Empresas y se ha planteado la

    necesidad de maximizar la satisfaccin diaria que le produce la realizacin

    de una serie de actividades.

    Ha establecido la siguiente lista de actividades con sus diferentes grados de

    satisfaccin asociados, as:

    REVI

    SIN

  • 70

    ACTIVIDAD UNIDADES DE SATISFACCION

    1. Tomar una cerveza 4 2. Fumar un cigarrillo 2 3. Jugar un partido de softbol 7 4. Dar un paseo por la playa 3 5. Leer un libro importante 2 6. Dormir 4 Aunque usted quisiera realizar todas las actividades, cuenta con algunas

    limitaciones. Como es lgico solo dispone de 24 horas al da y las actividades

    consumen tiempo, as:

    Actividad 1 15 minutos Actividad 2 10 minutos Actividad 3 2 horas Actividad 4 1 hora Actividad 5 5 horas Actividad 6 60 minutos

    Adems, por la estrechez econmica en que sirve no le es posible tomar ms

    de 5 cervezas diarias; no puede fumar ms de cinco cigarrillos al da, por

    cuestiones de salud; no puede jugar ms de dos partidos de softbol diarios, por

    cansancio; no puede dar ms de dos paseos por la playa, por aburrimiento; no

    puede leer ms de dos libros al da por cansancio visual.

    En cuanto al sueo, usted sabe que no puede dormir ms de diez horas al da,

    ni menos de siete.

    Plantear el anterior problema como un modelo de programacin lineal.

    REVI

    SIN

  • 71

    4. Una compaa transportadora tiene 10 camiones con capacidad de 40000

    libras y 5 con capacidad de 30000 libras. Los camiones grandes tienen un

    costo de operacin de $30 por Km., y los ms pequeos de $25 por Km. En

    la prxima semana la compaa debe transportar 400000 libras de malta,

    para un recorrido de 800 Km.

    La posibilidad de otros compromisos, significa que por cada dos camiones

    pequeos mantenidos en reserva, debe quedarse por lo menos uno de los

    grandes.

    Formula un modelo de programacin lineal que le permita a la compaa

    saber, cual es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que deben

    movilizarse para transportar la malta.

    5. Una institucin financiera, se encuentra en el proceso de formular su

    poltica de prstamos para el prximo trimestre. Para este fin se asigna un

    total de $ 12.000.000. Siendo una institucin de servicios integrales, est

    obligada a otorgar prstamos a diversos clientes. La tabla que sigue seala los

    tipos de prstamos, la tasa de inters que cobra el banco y la posibilidad de

    que el cliente no cubra sus pagos, irrecuperables o incobrables:

    Tipo de prstamo Tasa de inters Probabilidad de incobrables Personal 0.140 0.10 Automvil 0.130 0.07 Casa-habitacin 0.120 0.03 Agrcola 0.125 0.05 Comercial 0.100 0.02

    REVI

    SIN

  • 72

    La competencia con otras instituciones financieras del rea requiere que el

    banco asigne cuando menos el 40% de los fondos totales a prstamos

    agrcolas y comerciales.

    Para dar asistencia a la industria de la habitacin en la regin, los prstamos

    para casa - habitacin debe ser igual cuando menos al 50% de los prstamos

    personales, para automvil y para casa - habitacin. El banco tiene as mismo

    una poltica establecida que especfica que la relacin global de pagos

    irrecuperables no puede ser superior a 0.04.

    Plantee el problema como un modelo de programacin lineal.

    REVI

    SIN

  • 73

    1) FUNCION OBJETIVO: Es una expresin cuantitativa de los valores que

    deben optimizarse. Puede ser deseable minimizar o maximizar esta funcin.

    2) LENGUAJE ALGEBRAICO: Es el planteamiento de un problema en

    forma de ecuaciones de igualdad o inecuaciones de desigualdad, como

    resultado de un lenguaje coloquial.

    3) LENGUAJE COLOQUIAL: Es el enunciado de un problema en forma

    de palabras que debe ser llevado a lenguaje algebraico.

    4) ORGANISMO SOCIAL: Es toda empresa (pblica o privada)

    conformada por personas que buscan un bien comn.

    GLOSARIO DE TERMINOS

    REVI

    SIN

  • 74

    METODOS DE SOLUCION DE LA

    P. L.

    Unidad 3

    REVI

    SIN

  • 75

    El presente capitulo nos proporciona las tcnicas de solucin para los modelos

    de programacin lineal, iniciando con la grfica de los mismos, que

    generalmente se emplea para resolver casos de dos variables, ya que resulta

    bastante difcil graficar en planos de tres variables e imposible hacerlo para

    cuatro o ms variables.

    Seguidamente se trata la tcnica algebraica Simplex, que a diferencia del

    mtodo grfico sirve para solucionar problemas de programacin lineal sin

    tener en cuenta el nmero de incgnitas. Ambos mtodos son herramientas

    muy eficientes, sencillas y exactas en la solucin de modelos de programacin

    lineal; por lo que, sus vigencias datan de muchos aos atrs.

    PRESENTACION

    REVI

    SIN

  • 76

    Explicar el empleo de la solucin grfica para resolver problemas de Programacin Lineal de dos variables.

    Definir los conceptos bsicos empleados para desarrollar la tcnica Simplex.

    Solucionar problemas de P. L. con dos o ms variables por el Mtodo Simplex.

    OBJETIVOS

    REVI

    SIN

  • 77

    ATREVETE A OPINAR

    1. Qu entiendes por Mtodo Grfico? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    2.

    Por qu piensas que no se pueden solucionar problemas de P. L. de dos o ms variables por el Mtodo Grfico?

    ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    3.

    Qu entiendes por el trmino simplex?

    ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

    REVI

    SIN

  • 78

    Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano: a) (3 , 5)

    b) (5 , 3)

    c) (-1 , 2)

    d) (3 , 4)

    e) (2 , -1)

    Obtener la grfica de cada una de las siguientes ecuaciones: a) 2 Y = 12

    b) 3 X + 2 Y = 18

    c) 3 X + 5 Y = 60

    Soluciona las siguientes operaciones algebraicas:

    a) 31

    43+

    b) 83

    65

    c) 221+

    d) 51

    301

    31

    +

    ACCIONES PARA CONSTRUIR EL

    CONOCIMIENTO

    REVI

    SIN

  • 79

    3. METODOS DE SOLUCION DE LA PROGRAMACION LINEAL

    3.1 MTODO GRFICO

    Si el modelo se restringe nicamente a dos variables, es posible representarlo

    y resolverlo grficamente; de all que, de lo que se trata es de obtener una

    grfica de todo el modelo dado (solucin factible), ya que cada restriccin

    define un rea que contiene un nmero infinito de puntos, la cual no excede la

    desigualdad y el conjunto de grficas (todas las restricciones) definen un rea

    comn a todo el modelo (interseccin de sentidos), la cual nos proporcionar

    la solucin optima del mismo.

    Cabe anotar que, todas las soluciones grficas de modelos de programacin

    lineal, se dan en el primer cuadrante del plano cartesiano (x, y o 21,XX ), tal

    como lo especifica la restriccin de no negatividad ( 021 =XX ).

    3.1.1 Procedimiento Grfico

    Para darle solucin a un problema de programacin lineal por el mtodo

    grfico, se requiere seguir los siguientes pasos:

    UUNNIIDD

    REVI

    SIN

  • 80

    3.1.1.1 Convertir las desigualdades en igualdades, reemplazando los

    signos y por el signo =. Este cambio genera ecuaciones de lnea recta, que

    permiten graficar en el plano (x, y).

    3.1.1.2 Hallar los intersectos (puntos de corte) con los ejes, partiendo del

    axioma que reza: dos puntos definen una recta, la cual lograremos

    igualando a cero cada variable por separado y obtendremos automticamente

    el valor de la otra.

    3.1.1.3 Graficar cada una de las ecuaciones lineales, dndoles el sentido

    que posean las desigualdades, utilizando flechas sobre las lneas rectas para

    representar la regin que debe considerarse como parte del espacio solucin.

    3.1.1.4 Determinar el rea comn, mediante la ayuda de las flechas sobre

    las lneas rectas y as poder ubicar la interseccin de los sentidos de las

    desigualdades.

    3.1.1.5 Calcular el valor de la funcin objetivo (solucin ptima), por

    medio de la sustitucin de cada uno de los vrtices de la zona comn en el

    objetivo a lograr: el ms grande, si se trata de un caso de maximizacin el

    ms pequeo, si se trata de un caso de minimizacin.

    Adems de la anterior metodologa, se le recomienda al lector utilizar hojas

    de papel milimetrado en la solucin grfica de los problemas de programacin

    lineal propuestos en el presente modulo y en los conseguidos en cualquier

    texto de programacin lineal e investigacin de operaciones.

    REVI

    SIN

  • 81

    EJEMPLOS

    Solucionar por el mtodo grfico los siguientes modelos de programacin

    lineal:

    1. Max. Z = 21 53 XX +

    s.a: 1X 4

    22X 12

    +13X 22X 18

    1X = 2X 0

    Solucin

    Paso a: Convertir desigualdades en igualdades

    41=X (1)

    122 2=X (2)

    1823 21 =+ XX (3)

    Paso b: Hallar los intersectos con los ejes

    En la ecuacin (1): 41=X Lnea recta paralela al eje 2X o Y

    En la ecuacin (2): 122 2=X ; 212

    2=X

    62=X Lnea recta paralela al eje 1X o X.

    En la ecuacin (3): 1823 21 =+ XX

    S ( ) 182030 21 =+= XX

    1820 2=+ X

    REVI

    SIN

  • 82

    182 2=X

    2

    182=X

    = 92X Tenemos el intersecto (0, 9).

    S ( ) 180230 12 =+= XX

    1803 1 =+X

    183 1=X

    3

    181=X

    = 61X tenemos el intersecto (6, 0).

    Paso c: Graficar las ecuaciones lineales.

    . 1

    5

    2 3 4 6

    7

    5

    6

    4

    3

    2

    1

    9

    8

    .

    . .

    . X1

    X2

    X1 4

    2X2 12

    P1

    P4 P3

    P2

    P5 (0,0) 3X1 + 2X2 18

    REVI

    SIN

  • 83

    Paso d: Determinar el rea comn

    La regin conformada por los vrtices p1, p2, p3, p4 y p5, es la

    interseccin de todos los sentidos de las desigualdades, es decir,

    es el rea comn donde estar la solucin del modelo.

    Paso e: Calcular el valor de la funcin objetivo

    El polgono de la grfica, est compuesto de 5 vrtices, as: ( )0,41P

    ( )3,42P

    ( )6,23P

    ( )6,04P

    ( )0,05P se descarta porque no maximiza nada.

    Cada uno de estos vrtices genera una solucin, reemplazndolos en la

    funcin objetivo, as: ( ) ( ) ( ) 1205430,4 11 =+=ZP ( ) ( ) ( ) 2735433,4 22 =+=ZP ( )6,23P ( ) ( ) 3665233 =+=Z ( )6,04P ( ) ( ) 3065034 =+=Z

    Como puede observarse, el valor ms grande que asume la funcin objetivo Z

    es de 36 y proviene del vrtice (2, 6), el cual se constituye en el punto ptimo

    de la siguiente solucin ptima:

    2*1 =X

    6*2 =X

    36* =Z

    REVI

    SIN

  • 84

    2. Mn. Z = 21 54 XX +

    s.a : 21 44 XX + 20 ; 21 44 XX + =20 (1)

    21 36 XX + 24 ; 21 36 XX + = 24 (2)

    21 58 XX + 40 ; 21 58 XX + = 40 (3)

    En la ecuacin (1): S ( ) 204040 21 =+= XX

    2040 2=+ X

    204 2=X

    420

    2=X

    ( )5,052 =X

    S ( ) 200440 12 =+= XX

    2004 1 =+X

    420204 11 == XX

    ( )0,551 =X

    En la ecuacin (2): S ( ) 243060 21 =+= XX

    2430 2=+ X

    324

    2=X

    ( )8,082 =X

    S ( ) 240360 12 =+= XX

    2406 1 =+X

    624246 11 == XX

    ( )0,441 =X

    REVI

    SIN

  • 85

    4X1 + 4X2 20

    En la ecuacin (3): S ( ) 405080 21 =+= XX

    4050 2=+ X

    405 2=X

    540

    2=X

    2X = )8,0(8

    S ( ) 400580 12 =+= XX

    4008 1 =+X

    408 1=X

    840

    1=X

    ( )0,551 =X

    . 1 5 2 3 4 6

    7

    5

    6

    4

    3

    2

    1

    9

    8 .

    .

    . . X1

    X2

    8X1 + 5X2 40 P1

    P3

    P2

    7 8

    6X1 + 3X2 24

    REVI

    SIN

  • 86

    ( ) ( ) ( ) 2005540,5 11 =+=ZP

    ( ) ( ) ( ) 2225342,3 22 =+=ZP

    ( ) ( ) ( ) 4085048,0 33 =+=ZP

    Como puede observarse el valor mnimo de Z es 20, entonces: La solucin

    ptima es:

    5*1 =X

    0*2 =X

    20* =Z

    3. Mx. Z = 21 23 XX +

    s.a: 21 22 XX + 16

    21 2XX + 12

    21 24 XX + 28

    21 XX = 0

    Solucin

    1622 21 =+ XX (1)

    122 21 =+ XX (2)

    2824 21 =+ XX (3)

    En la ecuacin (1)

    S ( ) 162020 21 =+= XX

    1620 2=+ X

    ( )8,082

    16162 222 === XXX

    REVI

    SIN

  • 87

    S ( ) 160220 12 =+= XX

    1602 1 =+X

    ( )0,882

    16162 111 === XXX

    En la ecuacin (2)

    S 12200 21 =+= XX

    ( )6,062

    12122 222 === XXX

    S ( ) 12020 12 =+= XX

    ( )0,1212120 11 ==+ XX

    En la ecuacin (3)

    S ( ) 282040 21 =+= XX

    2820 2=+ X

    ( )14,014228282 222 === XXX

    S ( ) 280240 12 =+= XX

    2804 1 =+X

    284 1=X

    428

    1 =X

    )0,7(71 =X

    REVI

    SIN

  • 88

    X1 + 2X2 12

    2X1 + 2X2 16

    ( ) ( ) 702370,7 11 =+=ZP

    ( ) ( ) 922362,6 22 =+=ZP

    ( ) ( ) 1242364,4 33 =+=ZP

    ( ) ( ) 962306,0 44 =+=ZP

    .

    1 5 2 3 4 6

    7

    5

    6

    4

    3

    2

    1

    9

    8

    . .

    . . X1

    X2

    4X1 + 2X2 28

    P1

    P4

    P2

    7

    8 9 10 11 12

    11

    14

    13

    10

    12

    P3

    REVI

    SIN

  • 89

    Solucin ptima, el valor ms grande de Z por tratarse de un problema de

    maximizacin:

    4*1 =X

    4*2 =X

    12* =Z

    4. Mx. Z = 21 23 XX +

    s.a: 21 XX + 20

    1X 15

    21 3XX + 45

    21 53 XX + 60

    21 XX = 0

    Solucin

    2021 =+XX (1)

    = 151X Recta paralela al eje 2X

    453 21 =+ XX (3)

    6053 21 =+ XX (4)

    En la ecuacin (1):

    S ( )20,0202000 221 ==+= XXX

    S ( )0,20202000 112 ==+= XXX

    En la ecuacin (3)

    S ( )15,01534545345300 22221 ====+= XXXXX

    S ( ) ( )0,454545030 112 ==+= XXX

    REVI

    SIN

  • 90

    En la ecuacin (4)

    S ( ) ( )12,012560605605030 22221 ====+= XXXXX

    S ( ) ( )0,20203

    60603600530 11112 ====+= XXXXX

    X2 - 3 X1 + 5 X2 60

    20 12 15 X1 15 P3 10 P2 X1 + 3 X2 45 5 P1 X1 - 20 5 10 15 20 45 X1 + X2 20

    ( ) ( ) ( ) 55521535,15 11 =+=ZP

    ( ) ( ) ( ) 6510215310,15 22 =+=ZP

    295

    2252

    2153

    225,

    215

    33

    =

    +

    =

    ZP

    El mayor valor de Z es 65, luego la solucin ptima es:

    15*1 =X

    10*2 =X

    Z * = 65

    REVI

    SIN

  • 91

    3.2 MTODO SIMPLEX El mtodo Simplex cuyo autor es GEORGE DANTZING, quien lo desarroll

    en 1947, es un algoritmo que, a diferencia del mtodo grfico, sirve para

    solucionar problemas de programacin lineal sin tener en cuenta el nmero de

    ecuaciones ni el de incgnitas.

    El algoritmo es un proceso en el que se repite un procedimiento sistemtico

    una y otra vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a

    cabo el procedimiento sistemtico, se realiza una iteracin.

    En consecuencia, el algoritmo Simplex sustituye un problema difcil por una

    serie de problemas fciles, mediante un procedimiento para iniciar

    (preparacin) y un criterio para determinar cuando detenerse (solucin ptima

    o resultado deseado).

    La idea general de este mtodo se puede describir como el procedimiento

    iterativo que parte del origen y en el que cada iteracin (paso) contiene la

    solucin de un sistema de ecuaciones y as seleccionar las variables que

    optimicen el valor de la funcin objetivo, obteniendo una nueva solucin a la

    que se aplica una prueba de optimalidad.

    3.2.1 Procedimiento Simplex Solucionar un modelo de programacin lineal por el mtodo simplex, implica

    seguir los siguientes pasos:

    REVI

    SIN

  • 92

    3.2.1.1 Estandarizar el modelo de P. L. (procedimiento inicial) Significa convertir las restricciones funcionales de desigualdad en

    restricciones de igualdad equivalente, lo cual se logra adicionando variables

    de holgura (Si), una por cada restriccin, para que represente el supervit. La

    estandarizacin del modelo de programacin lineal tambin tiene que ver con

    la funcin objetivo, por lo que debe agregarse a esta funcin todas las

    variables que aparecen como extras en las restricciones. Los coeficientes o

    contribuciones de las variables extras que deben aparecer en la funcin

    objetivo, tendrn valor de 0, para que no modifiquen o alteren el valor ptimo

    de la misma.

    3.2.1.2 Construir la tabla caracterstica

    Consiste en disponer todos los elementos del modelo ya estandarizado en

    forma tabular, as:

    Sea el siguiente modelo general de programacin lineal:

    Mx = nnXCXCXC +++ ...2211

    s.a: 11212111 .... bXAXAXA nn +++

    2222221 ... bXAXAXA nnx +++

    . . . .

    . . . . nnmnmm bXAXAXA +++ ...2221

    0iX

    ni ,..2,1=

    REVI

    SIN

  • 93

    TABLA CARACTERISTICA SIMPLEX

    jC 1C 2C . . . nC

    iC VB ib 1X 2X . . . nX i

    1C

    2C 1X

    2X 1b

    2b 11a

    21a 12a

    22a

    . . . na1

    . . . na2 1

    2

    nC nX nb 1ma 2ma . . . mna n

    jZ 0b 1Z 2Z . . . nZ

    jj ZC 11 ZC 22

    ZC nn

    ZC

    Definicin de la simbologa

    jC : Contribucin de todas las variables bsicas y no bsicas (coeficientes

    de las variables en la funcin objetivo).

    VB: Variables bsicas (siempre en la primera tabla sern las variables de

    holgura).

    iC : Contribucin de las variables bsicas.

    ib : Disponibilidad de recursos al comienzo y valor de las variables bsicas

    al final o sobrante de recurso.

    0b : Valor optimo de Z.

    jZ = ==

    n

    iiibCb

    10

    ==

    n

    iijij acZ

    1

    REVI

    SIN

  • 94

    nj ...2,1=

    jj ZC : Parmetro de optimizacin

    i : Parmetro de factibilidad (pauta para la variable que sale)

    ij

    ii a

    b=

    3.2.1.3 Variable que entra y la que sale (Criterios del Simplex)

    1) Multiplique por 1 a ambos lados la restriccin que tenga el signo ,

    esto hace que la restriccin cambie a .

    2) Determinar la columna y la fila pivote.

    Columna (variable entrante)

    Si no hay negativos en 1b , se selecciona el mayor de los positivos de

    ( jj ZC ).

    Si hay negativos en ib , se divide la fila ( jj ZC ) por la fila pivote,

    seleccionando el mayor valor absoluto de los negativos de : ..

    )(2 PF

    ZC jj= ,

    si todos son negativos; si todos son positivos, se escoge el mayor de ellos y

    si hay negativos y positivos, se selecciona el mayor positivo

    Fila (variable saliente)

    Si hay negativos en ib , seleccione el mayor valor absoluto de esos

    negativos.

    REVI

    SIN

  • 95

    Si no hay negativos en 1b , seleccione el menor de los positivos de: ..1 PCbi=

    En la interseccin de la variable que entra y la que sale se encuentra la celda

    pivote y en ella, el elemento pivote, en cual se necesita la unidad.

    3) Una vez se haga el intercambio (entrante saliente), se aplica el

    mtodo de eliminacin de GAUSS JORDAN para hacer iteracin

    Simplex.

    4) Revisar la columna b i , si hay negativos, pase al tem 2), sino, siga

    haciendo iteraciones.

    5) La solucin es ptima cuando todos los (c j - z j ) 0. (Prueba de

    optimalidad o criterio para detenerse).

    EJEMPLOS

    Resolver los siguientes modelos de programacin lineal por el mtodo

    simplex:

    1. Mx. Z = 21 2XX +

    s.a.: 21 3XX + 8

    21 XX + 4

    21 XX = 0

    Solucin

    REVI

    SIN

  • 96

    a) Estandarizacin:

    Mx. Z = 2121 002 SSXX +++

    s.a.: 121 3 SXX ++ = 8

    ++ 21 XX 2S = 4

    02121 === SSXX

    b) Tabla caracterstica

    0 jC 1 2 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 1

    0 1S 8 1 3 1 0 38

    0 2S 4 1 1 0 1 4

    jZ 0 0 0 0 0

    jj ZC 1 2 0 0

    Entrante (C.P)

    c) Variable que entra y variable que sale:

    En la tabla se puede apreciar:

    - La solucin no es optima, porque todos los jj ZC no son 0.

    - Al no haber negativos en ib , se selecciona para entrar el mayor

    positivo de los jj ZC . ( )2X

    - Se determin ..PC

    bii= y se seleccionar el menor positivo de ellos ( )1S .

    Saliente (F.P)

    REVI

    SIN

  • 97

    - En la interseccin de la C.P con la F.P. se encuentra el numero 3 o

    elemento PIVOTE. En l hay que hallar la unidad y un cero en la celda

    inferior (GAUSS-JORDAN).

    1 jC 1 2 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 1

    2 2X 38 31 1 31 0 8

    0 2S 34 32 0 - 31 1 2

    jZ 316 32 2 32 0

    jj ZC 31 0 - 32 0

    En esta nueva iteracin se observa:

    - La solucin no es ptima, porque todos los jj ZC no son 0 .

    - No hay negativos en ib , se seleccion para entrar el mayor de los

    positivos de jj ZC . ( )1X

    - Se calcul PC

    b.1

    1= y se escogi el menor positivo de ellos ( )2S .

    - En la interseccin de la C.P. con la F.P est el elemento pivote 32 . En

    l hay que hallar la unidad y un cero en la celda superior.

    VN FF 21 + para obtener la nueva F2

    31F para obtener la nueva F1

    REVI

    SIN

  • 98

    2 jC 1 2 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S

    2 2X 2 0 1 21 - 21

    1 1X 2 1 0 - 21 23

    jZ 6 1 2 21 21

    jj ZC 0 0 - 21 - 21

    En este paso podemos ver que:

    - Todos los jj ZC son 0 , luego la solucin es optima (el algoritmo se

    detiene)

    - La solucin ptima es:

    2*1 =X ; 2X = 2 ; 0*1 =S ; 0*2 =S ; 6* =Z

    2. Mx. Z = 21 23 XX +

    s.a 1X 4

    +1X 23X 15

    +12X 2X 10

    021 =XX

    a) Estandarizacin

    Max. Z = 32121 00023 SSSXX ++++

    s.a: +1X 1S = 4 +1X 23X + 2S = 15 212 XX + + 3S = 10 032121 ==== SSSXX

    VN FF 1231 + para obtener la nueva F1

    223 F para obtener la nueva F2

    REVI

    SIN

  • 99

    b) Tabla caracterstica

    0 jC 3 2 0 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1

    0 1S 4 1 0 1 0 0 4

    0 2S 15 1 3 0 1 0 15

    0 3S 10 2 1 0 0 1 5

    jZ 0 0 0 0 0 0

    jj ZC 3 2 0 0 0

    c) Variable entrante y variable saliente

    - No hay solucin optima porque todos los jj ZC no son 0 .

    - No hay negativos en ib , entonces entra el mayor positivo de los

    ( )1XZC jj .

    - PC

    b.1

    1= y se selecciona para salir el menor positivo ( )11 S .

    1 jC 3 2 0 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1

    3 1X 4 1 0 1 0 0

    0 2S 11 0 3 -1 1 0 11/3

    0 3S 2 0 1 -2 0 1 2

    jZ 12 3 0 3 0 0

    jj ZC 0 2 -3 0 0

    -F1 + F2 para obtener la nueva F2

    -2F1 + F3 para obtener la nueva F3

    -3F3 + F2 para obtener la nueva F2

    REVI

    SIN

  • 100

    En la tabla 1 se aprecia:

    - No hay solucin ptima, porque todos los jj ZC no son 0.

    - Entra el mayor positivo de los jj ZC , porque no hay negativos en ib .

    - Sale el menor positivo de PC

    bi.1

    =

    2 jC 3 2 0 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S 1

    3 1X 4 1 0 1 0 0 4

    0 2S 5 0 0 5 1 -3 1

    2 2X 2 0 1 -2 0 1 -1

    jZ 16 3 2 -1 0 2

    jj ZC 0 0 1 0 -2

    En la tabla 2 observamos que:

    - No hay solucin ptima ya que todos los jj ZC no son 0.

    - No hay negativos en ib , entonces entra el mayor positivo de los

    ( )1SZC jj .

    - Sale el menor positivo de PC

    b.1

    1= ( )2S

    Luego realizamos el intercambio de la variable entrante por la saliente, as:

    -F2N + F1V para obtener la nueva F1

    - 52F para obtener la nueva F2

    2F2N + F3V para obtener la nueva F3

    REVI

    SIN

  • 101

    3 jC 3 2 0 0 0

    iC VB ib 1X 2X 1S 2S 3S

    3 1X 3 1 0 1 - 51 53

    0 1S 1 0 0 0 51 - 53

    2 2X 4 0 1 0 52 - 51

    jZ 17 3 2 0 51 57

    jj ZC 0 0 0 - 51 - 57

    En esta interacin se llega a la solucin ptima, porque, todos los jj ZC 0.

    Entonces la solucin ptima es:

    3*1 =X ; 4*2 =X ; 1*1 =S ; 0*2 =S ; 0*3 =S ; 17* =Z

    Las variables 2S y 3S son ceros porque no aparecen en la columna VB.

    3. Mx. Z = 21 210 XX +

    s.a :