Download - Programación Lineal

Transcript
Page 1: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

1

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es una técnica de modelización matemática desarrollada a partir de la década de 1930. Desde entonces, se ha aplicado con frecuencia

en los procesos de toma de decisión de numerosos ámbitos económicos y productivos, como la planificación de empresa y la ingeniería industrial.

La programación lineal es una herramienta que ha

permitido el ahorro de miles de millones de dólares en el

mundo empresarial o de los negocios, pues en esencia

permite asignar recursos limitados entre actividades

competitivas en forma óptima o de la mejor manera

posible. Permite elegir el nivel de ciertas actividades que

compiten por escasos recursos necesarios para

realizarlas. Se puede determinar la cantidad de recursos

que consumirá cada una de las actividades elegidas. La

variedad de situaciones a las que se puede aplicar es muy grande, y va desde la

producción de distintos tipos de artefactos que hay que fabricar para obtener la

ganancia óptima hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de

un país; también tiene aplicación en diferentes campos de la sociedad, como en los

aeropuertos, en el campo de la medicina, para el diseño de una terapia de radiación,

por ejemplo. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la

necesidad de asignar recursos a las actividades eligiendo los niveles óptimos de las

mismas. Se considera el desarrollo de la Programación Lineal como uno de los

avances científicos más importantes de mediados del siglo XX.

UN POCO DE HISTORIA

A lo largo de la historia es frecuente encontrarse con la colaboración entre

científicos y militares con el fin de dictaminar la decisión óptima en la batalla. Es

por esto que muchos expertos consideran el inicio de la Investigación Operativa en

el siglo III A.C., durante la II Guerra Púnica, con el análisis y solución que

Arquímedes propuso para la defensa de la ciudad de Siracusa, sitiada por los

romanos. Entre sus inventos se encontraban la catapulta, y un sistema de espejos

con el que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del

sol.

Page 2: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

2

En 1503, Leonardo Da Vinci participó como ingeniero en la guerra contra Pisa ya

que conocía técnicas para realizar bombardeos, construir barcos, vehículos

acorazados, cañones, catapultas, y otras máquinas bélicas.

Otro antecedente de uso de la Investigación Operativa se debe a F. W.

Lanchester, quien hizo un estudio matemático sobre la potencia balística de las

fuerzas opositoras y desarrolló, a partir de un sistema de ecuaciones

diferenciales, la Ley Cuadrática de Combate de Lanchester, con la que era posible

determinar el desenlace de una batalla militar. Thomas Edison también hizo uso de

la Investigación Operativa, contribuyendo en la guerra antisubmarina, con sus

grandes ideas, como la protección anti-torpedos para los barcos.

Pero no se considera que haya nacido una nueva ciencia llamada Investigación

Operativa o Investigación de Operaciones

hasta la II Guerra Mundial, durante la atalla de

Inglaterra, donde la Fuerza Aérea Alemana, es decir la Luftwaffe, estaba sometiendo a los

británicos a un duro ataque aéreo ya que estos

tenían una capacidad aérea pequeña, aunque

experimentada en el combate. El gobierno

británico, buscando algún método para

defender su país, convocó a varios científicos

de diversas disciplinas para tratar de resolver

el problema de sacar el máximo beneficio de

los radares de que disponían. Gracias a su trabajo determinando la localización

óptima de las antenas y la mejor distribución de las señales consiguieron duplicar la

efectividad del sistema de defensa aérea. El nombre de Investigación de

Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la

actividad de investigar operaciones (militares).

Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos

británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar

investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas,

los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron

problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización

efectiva del equipo electrónico. Al término de la guerra y atraídos por los buenos

resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales

empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la

resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del

tamaño y la complejidad de las industrias.

Page 3: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

3

1. GRÁFICA DE INECUACIONES

1.1. Regiones del plano determinadas por rectas

La gráfica de una recta de ecuación y = ax + b divide al plano en dos regiones: una

formada por los puntos que satisfacen la inecuación y < ax + b, y otra formada

por los puntos que satisfacen la inecuación y > ax + b.

Si se trata de una inecuación en sentido estricto (>, <), no incluye a los

puntos de la recta que limitan al semiplano.

Si es una inecuación en sentido amplio (≥, ≤), los puntos de la recta también

son soluciones de la inecuación.

1.2. Gráfica de una inecuación lineal

A continuación se detalla el procedimiento a seguir para graficar una inecuación

lineal en el plano cartesiano: Se traza la recta de la ecuación y = ax + b

Se toma un punto de cada uno de los semiplanos determinados por la recta y

se comprueba si verifican la inecuación dada

Se sombrea el semiplano correspondiente al punto donde se verifica la

inecuación

Ejemplo 1

Traza la gráfica de la inecuación: x + y ≤ -2

Solución:

Trazamos la gráfica de la ecuación

x + y = -2 , hallando los puntos donde la

recta corta a los ejes.

Si x = 0 y = -2 Si y = 0 x = -2

La recta la trazamos continua porque

forma parte de la solución. Ahora

sustituyendo los valores de las

coordenadas del origen en la inecuación

se obtiene: 0 + 0 = 0 ≥ -2 es falso,

por lo que se concluye que el origen de

coordenadas no pertenece al conjunto

solución como tampoco el semiplano que

lo contiene, entonces sombreamos el

semiplano inferior.

Page 4: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

4

Ejemplo 2

Traza la gráfica de la inecuación: 3y – 2x < 6

Solución:

Trazamos la gráfica de la ecuación

3y – 2x = 6, hallando los puntos donde

la recta corta a los ejes.

Si x = 0 y = 2 Si y = 0 x = -3

La recta la trazamos punteada porque

no forma parte de la solución. El punto

(0; 0) se encuentra en el semiplano

inferior; y 3(0) – 2(0) = 0 < 6 es

verdadero, por lo tanto, sombreamos el

semiplano inferior.

1.2. Gráfica de un sistema de inecuaciones lineales

Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es la reunión de dos o más

inecuaciones lineales con dos incógnitas.

Ejemplo 3

Resuelve el siguiente sistema de

inecuaciones lineales:

x 2y 3

2x y 1

Solución:

Trazamos la gráfica de cada una de las

ecuaciones; para lo cual calculamos los

valores de las coordenadas de dos de

sus puntos:

x + 2y = 3: (0; 3/2) y (3; 0)

2x - y = 1: (0; -1) y (1/2; 0)

Si sustituimos x = 0 e y = 0 en x + 2y >

3, se obtiene -3 > 0: falsedad; por lo

que la solución para esta inecuación es

el conjunto de puntos del semiplano que

no incluye al origen.

Si sustituimos x = 0 e y = 0 en 2x - y >

1, se obtiene -1 < 0: verdad; por lo que

la solución para esta inecuación es el

conjunto de puntos del semiplano que

incluyen al origen.

El conjunto solución del sistema es la

intersección de los semiplanos –

solución hallados individualmente (la

región sombreada)

Page 5: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

5

Ejemplo 4

Resuelve el siguiente sistema de

inecuaciones lineales:

x 3y 7

3x 2y 1

4x y 17

Solución:

Lo primero que debemos hacer es

trazar la gráfica de cada una de las

ecuaciones.

Basta con hallar las coordenadas de

dos de los puntos para cada una de

ellas:

x + 3y = 7: (0; 7/3) y (7; 0)

3x - 2y = -1: (0; 1/2) y (-1/3; 0)

4x + y = 17: (3; 5) y (17/4; 0)

El conjunto solución es el interior del

triángulo sombreado, sin incluir ninguno

de los lados. Para aclarar mejor la

solución debemos calcular las

coordenadas de los vértices del

triángulo, lo cual se consigue

resolviendo los tres sistemas:

x 3y 7

3x 2y 1

x 3y 7

4x y 17

3x 2y 1

4x y 17

Para el primer sistema la solución es

(1; 2), para el segundo (4; 1) y para el

tercero (3; 5).

La solución del sistema de inecuaciones

es, en resumen, el interior del

triángulo, cuyos vértices son los puntos

(1; 2), (4; 1) y (3; 5); sin incluir ninguno

de los tres lados del triángulo.

2. INTRODUCCIÓN A LA PROGRAMACIÓN LINEAL

La Programación Lineal tiene infinidad de aplicaciones, como por ejemplo en la industria, la

economía, la estrategia militar, y en otras áreas, en las que se presentan situaciones donde se

exige optimizar (maximizar o minimizar) algunas funciones que se encuentran sujetas a

determinadas situaciones.

Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una

función lineal, denominada función objetivo, estando las variables sujetas a una serie de

restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. El conjunto de todas las soluciones

posibles se denomina conjunto solución factible. Veremos a continuación la aplicación de la

programación lineal a diversas situaciones.

Page 6: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

6

2.1. Programación lineal bidimensional

La programación lineal bidimensional trata de optimizar, es decir, de maximizar

o minimizar una función lineal con dos variables sujeta a unas restricciones

que están dadas por inecuaciones lineales.

2.2. Conjunto de restricciones lineales

El conjunto de restricciones lineales, es el conjunto de todas las restricciones del problema

asociadas a un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo

Encuentra la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

x y 7

2x y 10

x 0

y 0

2.3. Región factible

La región factible está formada por la intersección o región común

de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los

sistemas de ecuaciones lineales, estos pueden presentar varias

opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solución, en el

caso de que exista el conjunto solución puede ser acotado o no.

Si la región factible está acotada, su representación gráfica es un

polígono convexo con un número de lados menor o igual que el número

de restricciones.

La región factible incluye o no los lados y los vértices, según que las

desigualdades sean en sentido amplio (≤ o ≥) o en sentido estricto

(< o >).

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se obtiene la región factible

representada en la gráfica.

Page 7: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

7

2.4. Función objetivo La función objetivo en un problema de programación lineal es la función lineal en dos variables

que se desea optimizar. Se representa por: f(x;y) = ax + by

Ejemplo

Continuando con el ejemplo anterior, se pide maximizar en dicha región el valor de la función

f(x;y) = 30x + 20y

2.5. Solución óptima La solución óptima son los puntos de la región factible donde la función objetivo alcanza el

valor óptimo, es decir, el máximo o el mínimo. Si la solución óptima es única, es uno de los

vértices de la región factible. Si existen varias soluciones, son todos los puntos que están

sobre uno de los lados.

“Si existe una solución que optimice la función objetivo, ésta debe encontrarse

en uno de los vértices de la región factible”

Analíticamente, para hallar la solución óptima, se prueba en la función objetivo

cada uno de los vértices de la región factible.

Ejemplo

Continuando con el mismo ejemplo:

O (0; 0) f (0; 0) = 30 · 0 + 20 · 0 = 0

A (5; 0) f (5; 0) = 30 · 5 + 20 · 0 = 150

B (3; 4) f (3; 4) = 30 · 3 + 20 · 4 = 170 Máximo

C (0; 7) f (0; 7) = 30 · 0 + 20 · 7 = 140

La solución óptima es B (3; 4)

… PARA LA CLASE

Representa en el plano cartesiano la solución de las siguientes inecuaciones:

1. x 3

2. 3 x 5

3. y 5

4. 5 y 3

5. y 3x 4

6. x 2y 3

7. x y 1

x y 1

Restricciones x ≥ 0, y ≥ 0

Prácticamente en todos los

problemas de programación

lineal se exige que las

variables x e y sean mayores

o iguales que cero; en estos

casos, la región factible se dibuja directamente en el 1er cuadrante.

Page 8: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

8

8.

y x 1

y x 2

y 0

9. Representa gráficamente la región

factible determinada por las siguientes

desigualdades:

x y 5

4x 3y 30

x 0

y 0

Calcula la solución que hace mínima la

función objetivo f(x; y) = x + 2y sometida

a las restricciones anteriores.

10. Dado el recinto definido por el

siguiente sistema de inecuaciones:

2x y 1000

x 1,5y 750

x 0

y 0

A. Represéntalo gráficamente.

B. Halla sus vértices.

C. Obtén el valor máximo de la función

f(x; y) = 15x + 12y en el recinto anterior,

así como el punto en que lo alcanza.

3. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN

LINEAL

3.1. Procedimiento de resolución

Para resolver un problema de programación lineal se sigue el procedimiento:

Se hace una tabla con los datos del problema.

Se representa la región factible.

Se calculan los valores de la función objetivo en los vértices de la región factible.

Se escribe la solución.

3.2. Tabla con los datos del problema

En la 1ª fila, cabecera horizontal, se escriben las etiquetas correspondientes a los conceptos de las variables y la etiqueta restricciones.

En la 2ª fila se escriben las variables y se ponen las letras que representan a las

variables.

En cada una de las filas siguientes se escribe una condición, que da origen a

una restricción, es decir, a una inecuación.

En la última fila se escriben los valores correspondientes a la función objetivo y si se

trata de maximizar o minimizar.

Page 9: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

9

Ejemplo 1

Una fábrica quiere producir bicicletas de paseo y de montaña. La

fábrica dispone de 80 kg de acero y 120 kg de aluminio. Para

construir una bicicleta de paseo se necesitan 1 kg de acero y 3 kg

de aluminio, y para construir una bicicleta de montaña se

necesitan 2 kg de acero y otros 2 kg de aluminio. Si vende las

bicicletas de paseo a 200 E y las de montaña a 150 E, ¿cuántas

bicicletas de cada tipo debe construir para que el beneficio sea máximo?

Solución

1) Tabla con los datos del problema.

B. de paseo B. de montaña Restricciones

Nº de bicicletas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Acero x 2y x + 2y ≤ 80

Aluminio 3x 2y 3x + 2y ≤ 120

Beneficio 200x 150y f(x; y) = 200x + 150y

2) Región factible.

Es el gráfico del margen.

3) Valores de la función objetivo en los vértices de la región

factible.

O (0; 0) f (0; 0) = 200 · 0 + 150 · 0 = 0

A (40; 0) f (40; 0) = 200 · 40 + 150 · 0 = 800

B (20; 30) f (20; 30) = 200 · 20 + 150 · 30 = 850 Máximo

C (0; 40) f (0; 40) = 200 · 0 + 150 · 40 = 600

4) La solución óptima es B (20; 30), es decir, x = 20 bicicletas de paseo e y = 30

bicicletas de montaña.

Ejemplo 2

Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con

plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1 600

personas y 96 toneladas de equipaje.

Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del

tipo B. La contratación de un avión del tipo A, que puede

transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje, cuesta 40

000 euros; la contratación de uno del tipo B, que puede transportar 100 personas y 15

toneladas de equipaje, cuesta 10 000 euros.

¿Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el costo sea mínimo?

Page 10: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

10

Solución

1) Tabla con los datos del problema.

Tipo A Tipo B Restricciones

Nº de aviones x y 0 ≤ x ≤ 11; 0 ≤ y ≤ 8

Personas 200x 100y 200x + 100y ≥ 1 600

Equipaje 6x 15y 6x + 15y ≥ 96

Costo 40 000x 10 000y f(x; y) = 40 000x + 10 000y

2) Región factible.

Es el gráfico del margen.

3) Valores de la función objetivo en los vértices de la

región factible.

A (6; 4) f (6; 4) = 40 000 · 6 + 10 000 · 4 = 280 000

B (11; 2) f (11; 2) = 40 000 · 11 + 10 000 · 2 = 460 000

C (11; 8) f (11; 8) = 40 000 · 11 + 10 000 · 8 = 520 000 D (4; 8) f (4; 8) = 40 000 · 4 + 10 000 · 8 = 240 000 Mínimo

4) La solución óptima es D (4; 8), es decir, x = 4 aviones tipo A, y = 8 aviones tipo B

… PARA LA CLASE

Ejercicio 1

Un sastre tiene 80 m2 de tejido A y 120

m2 de tejido B. Un traje de caballero

requiere 1 m2 de A y 3 m2 de B, y un

vestido de señora 2 m2 de cada tejido.

Si la venta de un traje deja al sastre el

mismo beneficio que la de un vestido,

halla cuántos trajes y vestidos debe

fabricar para obtener la máxima

ganancia.

Ejercicio 2

Una empresa produce dos bienes A y B.

Tiene dos factorías y cada una de ellas

produce los dos bienes en las cantidades

por hora siguientes:

La empresa recibe un pedido de 300

unidades de A y 500 de B. Los costos de

funcionamiento de las dos factorías son:

S/.100 por hora para la factoría 1 y

S/.80 por hora para la factoría 2.

¿Cuántas horas debe funcionar cada

factoría para minimizar los costos de la

empresa y satisfacer el pedido?

Ejercicio 3

Un vendedor de libros usados tiene en su

tienda 90 libros de la colección Austral y

80 de la colección Alianza de bolsillo.

Decide hacer dos tipos de lotes: el lote

de tipo A con 3 libros de Austral y 1 de

Alianza de Bolsillo, que vende a S/.8 y el

de tipo B con 1 libro de Austral y 2 de

Page 11: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

11

Alianza de bolsillo, que vende a

S/.10.¿Cuántos lotes de cada tipo debe

hacer el vendedor para maximizar su

ganancia cuando los haya vendido todos?

Ejercicio 4 Un comerciante acude a cierto

supermercado a comprar naranjas con

S/.5 000. Le ofrecen dos tipos de

naranjas: las de tipo A a S/.2 el kg. y las

de tipo B a S/. 4 el kg. Sabiendo que solo

dispone en su camioneta de espacio para

transportar 700 kg. de naranjas como

máximo y que piensa vender el kg. de

naranjas de tipo A a S/.3 y el kg. de tipo

B a S/.6. ¿Cuántos kg. de naranjas de

cada tipo deberá comprar para obtener

el máximo beneficio?, ¿Cuál será el

máximo beneficio?

… PARA LA CASA

Determina gráficamente el conjunto

solución de los siguientes sistemas:

1. y 2x 2

2. 4x 3y 2

3. y x 2

4. x y 3

2x y 4

5. x y 3

2 x 4

6.

x 3y 15

4x y 16

x 0

y 0

7. Se considera la región del plano

determinada por las inecuaciones:

x 3 y

8 x y

y x 3

x 0

y 0

Encuentra los vértices de dicha región

8. Dada la región definida por el

siguiente sistema de inecuaciones

x y 8

3x 2y 12

x 0

y 0

minimiza en dicha región el valor de la

función: f(x, y) = 15x + 10y

9. Dada la región definida por el

siguiente sistema de inecuaciones

x y 4

x 2y 10

x 0

y 0

minimiza en dicha región el valor de la

función: f(x, y) = 12x + 19y

10. Dada la región definida por el

siguiente sistema de inecuaciones

x y 6

x y

x 0

y 0

Page 12: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

12

maximiza en dicha región el valor de la

función: f(x, y) = 7x + 11y

11. Dado el recinto definido por el

siguiente sistema de inecuaciones:

x y 27

x 12

y 6

A. Represéntalo gráficamente.

B. Determina los vértices de ese recinto.

C. ¿Cuáles son los valores máximo y

mínimo de la función f(x;y) = 90x + 60y en

el recinto anterior?

D. ¿En qué puntos alcanza dichos valores?

12. Dada la función objetivo

f(x; y) = 2x + 3y sujeta a las restricciones

siguientes:

3x y 10

x 2y 8

x 0

y 0

A. Representa la región factible.

B. Halla los valores de x e y que hacen

máxima la función objetivo.

C. Determina los valores x e y que

minimizan la función objetivo.

13. Al maximizar f(x; y) =x + y; x;y R

sujeto a las siguientes condiciones:

2x 3y 6

2x y 6

y 4

x 0

y 0

Identifica la alternativa correcta después

de determinar si la proposición es

verdadera (V) o falsa (F).

I. El valor óptimo es 5.

II. La región admisible es un polígono de

cuatro lados.

III. Los puntos (3; 2) y (4; 1) pertenecen

a la región admisible.

14. Dado el recinto definido por el

siguiente sistema de inecuaciones:

x 2y 10

x 6

y 8

x 0

y 0

A. Represéntalo gráficamente.

B. Calcula sus vértices.

C. Calcula el máximo de la función

f(x, y) = 20x + 60y

15. Sea el recinto definido por las

siguientes inecuaciones:

5x 2y 10

3x 4y 20

x y 2

x 0

y 0

A. Dibuja dicho recinto y determina sus

vértices.

B. Determina en qué punto de ese recinto

alcanza la función f(x; y) = 4x + 3y el

máximo valor.

16. Un taller dispone semanalmente de

24 kg de algodón y 15 kg

de lana para la producción

de dos tipos de tapices

decorativos A y B, según

los siguientes

requerimientos:

Tapiz A: 200 g de algodón y 100 g de lana.

Tapiz B: 200 g de algodón y 300 g de

Page 13: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

13

lana. Si el tapiz A se vende a S/.40 y el

tapiz B a S/.60, determina cuántos

tapices de cada clase se deben vender

para obtener el máximo ingreso.

105 de A y 15 de B

17. Una fábrica de

muebles fabrica dos

tipos de sillones, S1 y

S2 . La fábrica cuenta

con dos secciones; carpintería y tapicería.

Hacer un sillón de tipo S1 requiere 1 hora

de carpintería y 2 de

tapicería, mientras que uno de tipo S2

requiere 3 horas de carpintería y 1 de

tapicería. El personal de tapicería ¿Qué

cantidad de aceite debe comprar el

distribuidor a cada una de los

almacenes para obtener el mínimo costo?

Determina dicho costo mínimo.

105 de A y 15 de B

18. Una fábrica prepara salsas para

tallarines Extra y Gourmet. La primera

contiene 200 g de tomate y 25 g de

carne por lata, la segunda 150 g de

tomate y 50 g de carne. Si se

abastecen de 4 toneladas de tomates y

1,25 toneladas de carne, ¿cuántas latas

deben fabricar de cada tipo para

obtener la máxima utilidad, ganando en

la venta de cada una S/.1,80 y S/.2,30

respectivamente?

2 000 Extra y 24 000 Gourmet

19. La editorial Matetextos produce

dos libros de Matemática:

Álgebra y Geometría. La

utilidad por unidades es

de S/. 7 para el libro de

Álgebra y de S/. 10 para el libro de

Geometría. El libro de Álgebra requiere

de 4 horas para su impresión y 6 horas

para su encuadernación. El libro de

Geometría requiere de 5 horas para

imprimirse y de 3 horas para ser

encuadernado. Si se dispone de 200 horas

para imprimir y de 240 horas para

encuadernar, calcula la máxima utilidad

que se puede obtener. S/. 400

20. Una empresa fabrica dos

clases de cuadernos. Los

rayados a S/. 2 la unidad y los

cuadriculados a S/. 1.5 la

unidad. En la producción diaria

se sabe que el número de

cuadernos cuadriculados no supera en

1000 unidades al número de cuadernos

rayados, entre las dos clases no superan a

3000 unidades, y los cuadernos

cuadriculados no bajan de 1000 unidades.

Halle el costo máximo y mínimo de la

producción diaria. 5 500 y 1 500

21. Una escuela prepara

una excursión para 400

alumnos. La empresa de

transportes tiene 8 buses

de 40 asientos disponibles

y 10 buses de 50 asientos

disponibles, pero solo dispone de nueve

conductores. El alquiler de un bus grande

cuesta S/. 80 y el de uno pequeño, S/. 60.

Calcula cuantos buses de cada tipo hay

que alquilar para que los gastos sean

mínimos para la escuela.

4 grandes y 5 pequeños

Page 14: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

14

22. Un granjero tiene 480 hectáreas en

las que puede sembrar ya

sea maíz o trigo. Calcula que

dispondrá de 800 horas de

trabajo durante la

temporada. Los márgenes de

utilidad para cada uno de los

productos son S/.40 por

hectárea y los

requerimientos laborales para trabajar en

la siembra del maíz son 2 horas por

hectárea y para el trigo, 1 hora por

hectárea. ¿Cuál es la utilidad máxima?

S/.19 200

23. Ricardo y Martín

ganan 10 millones de

nuevos soles en la

Tinka y les aconsejan que los inviertan en

la bolsa en dos tipos de acciones, A y B.

Las de ti po A tienen más riesgo pero

producen un beneficio anual del 10%. Las

de tipo B son más seguras, pero producen

solo el 7% anual. Después de varias

deliberaciones ellos deciden invertir como

máximo 6 millones en la compra de

acciones A y, por lo menos, 2 millones en

la compra de acciones B. Además, deciden

que lo invertido en las acciones de tipo A

sea, por lo menos igual a lo invertido en

las de tipo B. ¿Cómo deberán invertir los

10 millones de nuevos soles para que el

beneficio anual sea máximo?

24. Un distribuidor de aceite de oliva

compra la materia prima a dos

almacenes ,A y B. Los

almacenes A y B venden el

aceite a 2000 y 3 000 soles

por tonelada, respectivamente

Cada almacén le vende un

mínimo de dos toneladas y un máximo de 7

y para atender a su demanda, el

distribuidor debe comprar en total un

mínimo de 6 toneladas. El distribuidor

debe comprar como máximo al almacén A

el doble de aceite que al almacén B. ¿Qué

cantidad de aceite debe comprar el

distribuidor a cada una de los almacenes

para obtener el mínimo costo? Determina

dicho costo mínimo. S/. 14 000

25. Una compañía de telefonía móvil

quiere celebrar una jornada

de «Consumo razonable» y

ofrece a sus clientes la

siguiente oferta: 15 céntimos

de sol por cada mensaje SMS

y 25 céntimos de sol por cada

minuto de conversación

incluyendo el costo de establecimiento de

llamada. Impone las condiciones:

A. El número de llamadas de un minuto no

puede ser mayor que el número de

mensajes aumentado en 3, ni menor que el

número de mensajes disminuido en 3.

B. Sumando el quíntuplo del número de

mensajes con el número de llamadas

no puede obtenerse más de 27.

Determina el número de mensajes y de

llamadas para que el beneficio sea

máximo. ¿Cuál es ese beneficio

máximo?

26. Cada mes una empresa puede

gastar, como máximo, 10 000 soles en

salarios y 1 800 soles en energía

(electricidad y gasolina). La empresa

solo elabora dos tipos de productos A y

B. Por cada unidad de A que elabora

gana 0,8 soles; y, por cada unidad de B,

gana 0,5 soles. El costo salarial y

Page 15: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

15

energético que acarrea la elaboración de

una unidad del producto A y de una

unidad del producto B aparece en la

siguiente tabla:

Producto

A

Producto

B

Costo salarial 2 1

Costo energético 0,1 0,3

Se desea determinar cuántas unidades

de cada uno de los productos A y B

debe producir la empresa para que el

beneficio sea máximo.

2 400 de A y 5 200 de B

27. Un ganadero tiene que elaborar

alimento para su ganado a

partir de dos ingredientes

nutritivos: A y B. Los

mínimos que necesita son

30 unidades de A y 32

unidades de B. En el

mercado se venden sacos de dos marcas

que contienen A y B, cuyos contenidos y

precios se dan en la siguiente tabla:

Marca Unidades

de A

Unidades

de B

Precio

del saco

I 3 1 S/.9

II 1 4 S/.12

¿Cuántos sacos de cada marca tiene que

comprar el ganadero para elaborar este

alimento con el mínimo costo?

8 unidades de A y 6 de B

28. Un granjero desea

crear una granja de pollos

de dos razas, A y B. Dispone

de 9 000 nuevos soles para

invertir y de un espacio con

una capacidad limitada para

7 000 pollos. Cada pollo de

la raza A le cuesta 1 sol y obtiene con él

un beneficio de 1 sol, y cada pollo de la

raza B le cuesta 2 soles y el beneficio es

de 1,4 soles por unidad. Si por razones

comerciales el número de pollos de la raza

B no puede ser superior a los de la raza A,

determina, justificando la respuesta:

A. ¿Qué cantidad de ambas razas debe

comprar el granjero para obtener un

beneficio máximo?

B. ¿Cuál será el valor de dicho beneficio?

5 000 de A y 2 000 de B 7 800 soles

29. Una fábrica produce

cámaras fotográficas

convencionales y

digitales. Se obtiene un

ingreso de S/.450 por cada

cámara convencional y S/.600

por cada digital. En un día no se pueden

fabricar más de 400 cámaras

convencionales ni más de 300 digitales y

tampoco pueden producirse más de 500

cámaras en total. Suponiendo que se logra

vender toda la producción del día, ¿cuál

es el número de cámaras de cada clase

que conviene fabricar para obtener un

ingreso máximo?, ¿Cuál debería ser la

producción para obtener máximo ingreso

si se obtuvieran S/.600 por cada cámara

convencional y S/.450 por cada cámara

digital?

Page 16: Programación  Lineal

PROFESOR: Javier Trigoso T.

16

30. Una empresa que sirve comidas

preparadas tiene

que diseñar un menú

utilizando dos

ingredientes. El

ingrediente A

contiene 35 g de grasas y 150 kilocalorías

por cada 100 gramos de ingrediente,

mientras que el ingrediente B contiene 15

g de grasas y 100 kilocalorías por cada

100 g. El coste es de 1,5 soles por cada

100 g del ingrediente A y de 2 soles por

cada 100 g del ingrediente B. El menú que

hay que diseñar debería contener no

más de 30 g de grasas y, al menos 110

kilocalorías por cada 100 g de alimento.

Se pide determinar las proporciones de

cada uno de los ingredientes que se

emplearán en el menú, de manera que

su coste sea lo más reducido posible.

A. Indica la expresión de las

restricciones y la función objetivo del

problema.

B. Representa gráficamente la región

delimitada por las restricciones.

C. Calcula el porcentaje óptimo de cada

uno de los ingredientes que se incluirán

en el menú.

f(x;y) = 1,5x + 2y

35x + 15y ≤ 30; 150x + 100y ≥

110; x ≥ 0; y ≥ 0

11,5 gr de A y 0 gr de B

www.issuu.com/sapini/docs/