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  • Editorial Contexto 2009

    Apuntes de Matemtica 5 ao

    Ncleo Comn Reformulacin 2006

    Unidad 7 Introduccin a la combinatoria y a la probabilidad Captulo 7.2 Permutaciones simples, arreglos simples y con repeticin

    Introduccin

    Factorial de un nmero

    Permutaciones simples

    Clculo del nmero de permutaciones simples

    Arreglos simples

    Clculo del nmero de arreglos simples

    Arreglos con repeticin

    Clculo del nmero de arreglos con repeticin

    Autores: Laura Szwarcfiter Svarcas Natalia Curbelo Carlos Buela Sergio Olivera Abad

    Los autores agradecen a los lectores, todas las opiniones, sugerencias y aportes que puedan hacerle llegar para mejorar el trabajo ([email protected])

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  • Captulo 7.2 Permutaciones simples, arreglos simples y con repeticin Introduccin Aplicaremos la conclusin obtenida en el captulo anterior para seguir avanzando en el tema, trabajaremos con situaciones ms complejas en las que sern otras las condiciones a tener en cuenta. Intentaremos responder a preguntas como: Cuntos autos se pueden matricular con chapas distintas en el Uruguay? y en Montevideo? Cuntas contraseas distintas se pueden hacer usando siete dgitos o letras? y si los dgitos o letras tienen que ser distintos? En cada uno de estos casos tenemos que contar, pero no podemos enumerar estos objetos. Es el momento de generalizar otros resultados Factorial de un nmero Antes de comenzar a resolver problemas, definiremos una herramienta que facilitar el clculo en muchas ocasiones, esta se llama factorial de un nmero natural. Factorial de un nmero natural 0! = 1 1! = 1 n! =n (n 1) (n 2) ... 3 2 1 para todo n natural mayor que 1 El smbolo ! luego de un nmero natural refiere al factorial del nmero, por ejemplo, 5! se lee cinco factorial. Para cualquier natural n mayor que 1, el calculo de n! consiste en multiplicar n por todos los nmeros consecutivos anteriores hasta 1, en el caso de 5!, por ejemplo 5! = 5 4 3 2 1 = 120.

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  • Observemos la siguiente propiedad: 5! = 5 4 3 2 1 y 4! = 4 3 2 1

    !

    !4

    5 = 5 4 3 2 1 5! = 5 4!. De igual forma podemos observar que: 5! = 5 4 3! o 5! = 5 4 3 2! Usando la calculadora La mayora de las calculadoras modernas poseen una tecla para realizar el clculo del factorial de un nmero. Ejemplo

    Si queremos calcular 5! en una calculadora, debemos presionar el nmero 5, luego la tecla SHIFT y la tecla . . Finalmente al presionar la tecla de igual, obtenemos el resultado como muestra la pantalla de la figura 5! = 120

    Ejemplo

    Queremos calcular !!8078

    Si intentamos realizar esta operacin en una calculadora, aparece en la pantalla Math ERROR (fig. 2), esto sucede por que la calculadora no tiene capacidad suficiente de realizar este clculo. En este caso lo intentamos hacer desarrollando 80!

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  • Segn hemos visto podemos escribir 80! = 80 79 78!, que es lo que necesitamos para poder simplificar con el 78! que aparece en el denominador de la fraccin.

    80! 80 79 78! 80 79 6.32078! 78! = = =

    Situacin resuelta

    Calcular a) !!100101 b)

    n!(n )! 1 c)

    (h )!(h )!

    1 3

    a) Al igual que en el ejemplo no podemos obtener el resultado de esta operacin en la calculadora. Realicemos el clculo desarrollando el factorial de 101 por ser el mayor nmero de la operacin para luego simplificar

    100! 100! 100! 1101! 101 100! 101! 101= = b) En este caso sabemos que n es un nmero natural pues sino no tiene sentido la operacin planteada. El mayor de los nmeros del cociente es n y el factorial de ste es el que tenemos que desarrollar para poder simplificar

    n (n )!n! n! n(n )! (n )! (n )! 1= = 1 1 1

    c) Anlogamente a la parte b, desarrollemos el factorial de (h 1) por ser el mayor de los dos nmeros del cociente

    (h )! (h )(h )(h )! (h )! (h )(h )(h )! (h )! (h )! 1 1 2 3 1= = 1 2 3 3 3

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  • Permutaciones simples En lo que resta del captulo introduciremos conceptos nuevos que nos ayudarn a contar en muchas ocasiones; lo haremos mediante una serie de ejemplos. Ejemplo Nicols ha decidido ver seis pelculas en sus vacaciones, una sola vez cada una. Quiere establecer un orden para ello. De cuntas formas distintas puede hacerlo? Para la eleccin de la primera pelcula que mirar tiene seis opciones, cualquiera que sea sta, tiene cinco para la segunda, luego cuatro para la tercera y as sucesivamente. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin tendr 6 5 4 3 2 1 o sea 6! = 720 formas distintas de organizarse para ver las seis pelculas. Observemos que en cualquiera de estas 720 posibilidades, Nicols va a ver todas las pelculas, lo nico que vara es el orden de cmo lo har. A estas 720 posibilidades las llamaremos permutaciones simples de seis elementos; para indicar el nmero de ellas usaremos el smbolo P6 = 6! Ejemplo En una competencia olmpica son tres los atletas favoritos para ganar una prueba un austriaco, un brasilero y un cubano. A priori De cuntas maneras pueden asignarse las medallas de oro, plata y bronce entre estos tres atletas? Cules son estas formas? Respondamos la primera pregunta, para la medalla de oro hay tres candidatos, luego que se sabe cul es el ganador, quedan dos para la de plata y el atleta restante ganar la de bronce. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin hay 3 2 1 o sea 3! = 6 formas distintas de distribuir las medallas.

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  • Para responder la segunda, tomemos los siguientes criterios: usemos la letra A para nombrar al atleta austriaco, B para el

    brasilero y C para el cubano el primer atleta nombrado es el ganador de la medalla de oro, el

    segundo el ganador de la medalla de plata y el restante del bronce. Por ejemplo, ABC representa la situacin en que el atleta austriaco gan el oro, el brasilero la plata y el cubano el bronce. Las seis posibilidades para distribuir las medallas son: ABC ACB BAC BCA CAB CBA Estas seis posibilidades las llamamos permutaciones simples de tres elementos. Para anotar el nmero de ellas utilizamos el smbolo P3 = 3! En general

    Dado un conjunto E de m elementos distintos, podemos formar grupos con todos los elementos de E con la siguiente caracterstica; dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en el orden de sus elementos. A estos grupos los llamaremos permutaciones simples de los elementos de E. Definicin de permutaciones simples Sea un conjunto E de m elementos distintos. Se llama permutaciones simples de m elementos, a los grupos que se pueden formar con los m elementos distintos del conjunto E tales que dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en el orden que estn dispuestos sus elementos.

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  • Clculo del nmero de permutaciones simples Dado un conjunto E con m elementos queremos saber cuntas son las permutaciones simples de esos m elementos. Por ejemplo, si m = 5 veamos cmo se calculan las permutaciones de estos; razonando igual que en los problemas previos, hay 5 opciones para elegir el primer elemento, 4 para el segundo y as sucesivamente. Por el principio fundamental de la multiplicacin son 5 4 3 2 1, o sea 5! son las permutaciones de esos 5 elementos. En general Si un conjunto E tiene m elementos distintos, para saber cul es el nmero de permutaciones de estos m elementos, por el principio fundamental de la multiplicacin, multiplicamos todos los nmeros naturales consecutivos previos a m o sea calculamos m!. Para expresar este nmero utilizaremos el smbolo Pm, esto es Pm = m (m 1) (m 2) . 3 2 1 = m! con m ` Nmero de permutaciones simples Dado un conjunto E con m elementos distintos, el nmero de permutaciones de los m elementos de E esta dado por la frmula: Pm = m!

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  • Situacin resuelta Cinco chicas y tres chicos van al cine. Si se sientan en ocho asientos consecutivos De cuntas formas pueden sentarse si a) No hay restricciones. b) Las chicas desean sentarse juntas y los chicos tambin. c) Las chicas desean sentarse juntas y a los chicos les da igual. d) Juana y Jos no quieren sentarse juntos. a) Si no hay restricciones tenemos que hallar cul es el nmero de formas en que se pueden ordenar las ocho personas, es decir tenemos que contar cuntas son las permutaciones de esos 8 elementos. Por lo tanto son P8 = 8! = 40.320 las formas distintas que pueden sentarse. b) Debemos pensar que queremos ubicar dos bloques de personas uno de chicos y otro de chicas siendo dos las posibilidades para esto (figura 3). Analizando el bloque de chicos, debemos contar todas las formas de ordenarlos, por lo tanto son P3 las formas distintas que se pueden sentar juntos. Anlogamente con el bloque de las chicas, son P5 las formas distintas en las que se pueden ubicar. Por el principio fundamental de la multiplicacin son P5.P3 las forma distintas en las que se pueden ubicar el primer caso (figura 3) y P3.P5 para el segundo. En definitiva son 2.P3.P5 = 1.440 las formas de sentarse en estas condiciones. c) Dado que las chicas van a sentarse juntas, podemos pensar que son cuatro los bloques para ubicar: tres formados por cada uno de los chicos y el cuarto bloque formado por las cinco chicas. En la figura 4 hemos representado los 4 casos posibles en los que pueden ubicarse chicas y chicos. Una vez elegidas las butacas que ocuparn las chicas, stas se pueden ubicar en ellas de P5 formas distintas; quedando tres butacas libres; los tres chicos deben ubicarse en las tres butacas que quedaron libres, pueden hacerlo de P3 formas distintas.

    Figura 3

    N

    N

    _

    _

    Chicas Chicos

    Chicos Chicas

    _ _ _ _ _ _ _

    _ _ _ _ _ _ _

    Figura 4

    _

    Chicas

    Chicas

    Chicas

    Chicas

    _ _ _ _ _ _ _ _

    _ _ _ _ _ _ _

    _ _ _ _ _ _ _ _

    _ _ _ _ _ _ _ _

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  • Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin en cada caso son P3.P5 las formas en que se pueden sentar las chicas y chicos, por lo tanto son en total 4.P3.P5 = 2.880 las formas distintas que tienen para sentarse si las chicas deben estar juntas. d) Ya sabemos por la parte a) que si no ponemos restricciones son 40.320 las formas distintas que tienen para sentarse las ocho personas. En sta contamos en las que Juana y Jos se sientan juntos o separados, siendo estos dos casos los nicos posibles (es obvio que no pueden registrarse otros casos, ni stos simultneamente). Para contar los casos en los que se sientan separados podemos restar a los 40.320 casos totales los casos en que Juana y Jos se sientan juntos. Contemos estos ltimos, como deben estar juntos podemos pensar que son un bloque al que debemos ordenar con las seis personas restantes, en la figura 5 hemos representado un caso, razonando como si fueran 7 los elementos distintos a ordenar, tenemos que son P7 los casos existentes. En el bloque de Juana y Jos son dos las posibilidades: que se sienten Juana y Jos o Jos y Juana o sea son P2 las formas distintas en las que ellos pueden sentarse juntos. Por el principio fundamental de la multiplicacin son P7 .P2 = 10.080 las formas distintas en las que Juana y Jos pueden sentarse juntos. En definitiva el total de forma en las que Juana y Jos se sientan separados son

    total de formas total de formas en las que se pueden en las que Juana sentar las ocho personas y Jos se sienta juntos

    . . .40 320 10 080 = 30 240

    Figura 5 N_

    Juana y Jos

    _ _ _ _ _ _ _

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  • Arreglos simples Estudiemos otro caso particular de aplicacin del principio fundamental de la multiplicacin. Ejemplo Cuntos nmeros de dos cifras distintas se pueden formar con los dgitos 1, 2, 3 y 4? Una solucin posible es escribirlos todos y despus contarlos. Si ste es el camino elegido, resulta que no es sencillo, pues si no lo hacemos de forma ordenada y sistemtica podemos olvidarnos de alguno. Suponiendo que lo hacemos correctamente, obtenemos slo la respuesta para esta pregunta, si sta es cambiada por cuntos nmeros de tres cifras distintas se pueden formar con los dgitos del 1 al 9?, tenemos que volver a escribirlos todos y en este caso la cantidad de nmeros es bastante superior. Suponiendo que logramos escribirlos a todos en forma acertada, tenemos la respuesta para esta pregunta pero no una regla general que nos permita resolver este tipo de problemas. Intentemos generar alguna estrategia, los nmeros que queremos formar de dos cifras elegidas de los dgitos 1, 2, 3 y 4. Realizaremos el siguiente razonamiento, tenemos cuatro posibilidades para elegir la cifra para la decena, cualquiera sea la eleccin como no se pueden repetir las cifras, hay tres posibles elecciones para la cifra de la unidad, por el principio fundamental de la multiplicacin son 4 3 = 12 los nmeros distintos que se pueden formar. En la figura 6 representamos esta situacin mediante un diagrama de rbol. Consideremos cada nmero formado como un grupo, observemos que son todos distintos ya que difieren en el orden o en al menos una cifra. A estos grupos le llamaremos arreglos simples de cuatro elementos

    Fig. 6

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  • agrupados de a dos. Como ya vimos el nmero de estos arreglos es 12 y lo anotaremos A42 . Si volvemos a la pregunta: cuntos nmeros de a tres cifras distintas se pueden formar con los dgitos del 1 al 9? Si los quisiramos detallar uno a uno, deberamos escribir todos los arreglos de nueve elementos agrupados de tres. Para saber cuantos son podemos razonar de igual forma al caso anterior, tenemos nueve posibles elecciones para la cifra de la centena, como no se pueden repetir la cifras son ocho las posibilidades para escoger la cifra de la decena y siete para elegir la cifra de la unidad. Por lo tanto, aplicando el principio fundamental de la multiplicacin son 9 8 7 = 504 los nmeros de tres cifras distintas que se pueden formar con los dgitos del 1 al 9. Diremos que A93 = 504. Ejemplo Adrin, Bruno, Carlos y Daniel son candidatos para ocupar el podio de una carrera. Si no se pueden compartir posiciones, previo a la carrera. De cuntas formas pueden ocupar el podio? Cules son estas formas? Llamaremos a cada participante por la inicial de su nombre. Observemos que slo tres de los cuatro participantes podran subir al podio y uno de ellos no obtendra premio; adems una misma persona no puede ocupar dos posiciones, por ejemplo, salir primero y segundo a la vez. De esta forma tenemos cuatro candidatos para el primer lugar A, B, C o D, cualquiera que sea el ganador, tenemos tres posibles candidatos para la segunda posicin y dos para la tercera. Por lo tanto, por el principio fundamental de la multiplicacin hay 4 3 2, o sea 24 formas distintas de ubicar tres de los cuatro candidatos en el podio, a este nmero lo simbolizaremos A43 .

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  • Para ver cules son las formaciones de los posibles podios, debemos escribir los arreglos de cuatro elementos agrupados de a tres. Ya sabemos que en total son 24. Tomemos el siguiente criterio ABC es el podio correspondiente a la carrera en que gan A, B sali en segunda posicin, C en tercera y D no obtuvo premio. Observemos que por ejemplo los podios ABC y CBA a pesar que los integran las mismas personas nos son el mismos pues en el primero gana A y en el segundo C; tampoco son los mismos los podios ABC y ABD pues en el primero C gana una medalla y D no y en el segundo es D gana una medalla y C no. Con el criterio fijado, representamos mediante un diagrama de rbol los posibles podios en el la figura 7.

    En general Dado un conjunto E de m elementos distintos y un nmero natural n tal que n m, podemos formar grupos ordenados con n elementos distintos con la siguiente caracterstica; dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en por lo menos un elemento o en el orden de colocacin de ellos. A estos grupos los llamaremos arreglos simples de m elementos agrupados de n. Definicin de arreglos simples Sea un conjunto E de m elementos distintos y n un nmero natural tal que n m, llamamos arreglos simples de m elementos agrupados de n, a los grupos de n elementos distintos elegidos entre los m del conjunto E, tales que dos grupos cualesquiera son distintos si difieren por lo menos en un elemento o en el orden de colocacin de ellos.

    Figura 7

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  • A los arreglos simples de m elementos agrupados de n, tambin se les llama arreglos de m en n. Clculo del nmero de arreglos simples Dado un conjunto E de m elementos queremos saber cuntos son los arreglos simples de m elementos agrupados de n. Antes de generalizar el clculo, trabajaremos en un ejemplo. Ejemplo Dados los nmeros 1, 2, 3 y 4. Cuntos nmeros de una cifra se pueden formar con ellos? Es claro que los nmeros que pueden formar son 1 2 3 4 Por lo tanto, existen 4 nmeros distintos, diremos que tenemos arreglos simples de cuatro elementos agrupados de uno posibilidades distintas para formar el nmero y lo anotaremos A41 = 4. Cuntos nmeros de dos cifras distintas se pueden formar con ellos? Ya vimos el primer ejemplo que son 12 y cules son; diremos que tenemos arreglos de cuatro agrupados de dos posibilidades para formar los nmeros. A ste nmero lo anotaremos A42 = 12. Y si fueran de tres cifras distintas los nmeros? En este caso son cuatro las cifras disponibles y los queremos agrupar de tres distintas, por lo tanto son arreglos simples de cuatro elementos agrupados de tres los nmeros distintos que se pueden formar. Al nmero de posibilidades lo simbolizaremos A43 .

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  • Cuntas son en realidad sin escribirlos? Tenemos que para elegir la primera cifra hay cuatro opciones, luego de efectuada esta eleccin, como no se repiten las cifras, tenemos tres opciones para la segunda cifra; finalmente quedan dos opciones para elegir la ltima cifra. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin existen 4 3 2 = 24 nmeros distintos. En definitiva tenemos que A43 = 4 3 2 = 24 Observemos que en cada uno de los casos para calcular la cantidad de nmeros que se pueden formar, calculamos el nmero de arreglos de la cantidad de cifras originales (1, 2, 3 y 4) en el nmero de cifras que tiene el nmero a formar. Para el caso de una sola cifra tenemos que A41 = 4 Para el caso de dos o tres cifras tenemos respectivamente A42 y A43

    nmeros distintos. Para efectuar el clculo de la cantidad de nmeros posibles aplicamos el principio fundamental de la multiplicacin, realizamos un producto que comienza en 4 y tomamos en forma decreciente una cantidad de factores igual al nmero de cifras del nmero que queremos formar, es decir: N

    factoresA 4 42

    2= 3 y

    factores

    A 4 3 2 433

    = En general El nmero de arreglos simples de m de elementos agrupados de n con m , n y n m ` ` , lo obtenemos multiplicando n factores consecutivos en forma decreciente comenzando por el nmero m. Utilizaremos para expresar este nmero el smbolo mnA , esto es mn

    n factores

    A m (m 1) (m 2) (m n 1) = +

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  • Para el caso particular que n = 1 tomaremos que m1A m= Podemos obtener otra expresin de mnA multiplicando y dividiendo por (m n) (m n 1) . 2 1 o sea (m n)!

    mn

    (m n) (m n 1) 2 1(m n) (m n

    m (m 1) (m n 1)A 1) 2 1

    =

    +

    Observemos que el numerador es m! y el denominador es (m n)!,

    por lo tanto mnm!A (m n)!=

    Nmero de arreglos simples Dado un conjunto E con m elementos distintos, el nmero de arreglos simples de los m elementos agrupados de n esta dado por:

    mnm!A (m n)!=

    Situacin resuelta Calcular a) 115A b) 71A c) x2A a) Una de las formas para calcular 115A es realizar una multiplicacin en la que el primer factor es 11 y los siguientes factores son los nmeros consecutivos previos necesarios para obtener un producto de 5 factores, esto es 115A 11 10 9 8 7 = 55440= La otra es aplicar la frmula del recuadro con el valores m = 11 y n = 5

    11511! 11! 11 10 9 8 7 6! A (11 5)! 6! 6 !

    = = = 115A 11 10 9 8 7 = 55440=

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  • b) En este caso segn lo visto el nmero 71A = 7, podemos verificar tal resultado aplicando la frmula para el clculo

    717! 7! 7 6 !A 7(7 1)! 6! 6!

    = = = = c) Para realizar el clculo comencemos la multiplicacin con el factor x y tomemos un producto de dos factores, obtenemos x2A = x (x 1) = x2 x Usando la calculadora La mayora de las calculadoras modernas poseen una tecla para realizar el clculo del nmero de arreglos simples. Ejemplo

    Si queremos calcular A115 debemos escribir el nmero 11, luego presionar las teclas SHIFT y y finalmente el nmero 5. Presionando la tecla de igual obtenemos el resultado como aparece en la pantalla de la figura 8. 115A 55440= .

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  • Situacin resuelta Una empresa confecciona buzos con mangas de un color y cuerpo de otro color diferente. Si dispone de ocho colores distintos de lanas. a) Cuntos buzos distintos pueden fabricar? b) Felipe quiere comprar uno pero no le gusta el color naranja Cuntas opciones tiene para comprar el buzo? a) Podemos considerar que de los dos colores, el primero que elegimos ser el que se utilizar en el cuerpo y el otro en las mangas. Tenemos que formar grupos de dos colores distintos, en los que si cambiamos un color o el orden en que los elegimos resulta un buzo distinto, esto es cantidad de colores disponibles 82A 8 7 56= = cantidad de colores a elegir Por lo tanto son 56 los buzos distintos los que la empresa puede fabricar. b) Como a Felipe no le gusta el color naranja tiene que elegir los colores para su buzo de los siete restantes, tenemos entonces cantidad de colores disponibles (los 7 que no son naranja) 72A 7 6 42= = cantidad de colores a elegir por lo tanto son 42 el nmero de buzos distintos entre los que Felipe puede elegir.

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  • Situacin resuelta Con las letras de la palabra TECLADOS se formas palabras de cinco letras sin repetir. Cuntas se pueden formar si: a) no hay restricciones b) comienzan en L c) tienen la T y la E juntas y en ese orden d) tienen la L y la A juntas a) Tenemos que formar palabras sin repetir letras, es claro que el orden de colocacin de las letras es importante, por ejemplo las palabras TECLA y ETCLA tienen las mismas letras colocadas en rdenes distintos y determinan distintas palabras. Para saber cuntas son las palabras distintas que se pueden formar, tenemos ocho letras disponibles y debemos agruparlas de a 5 (figura 9), por lo que tenemos que contar cuntos son los arreglos simples de ocho elementos agrupados de cinco, es decir podemos formar 85A = 6.720 palabras distintas. b) Para ver cuntas comienzan con L, tenemos que elegir de entre las otras letras disponibles, de la segunda a las quinta letra de la palabra a formar (figura 10). Como no se repiten las letras, no podemos volver a usar la L, es decir tenemos siete letras distintas para cuatro lugares, son entonces 74A 840= las palabras distintas que comienzan en L. c) Tenemos que ver cuntas son las posibilidades para que la T y la E se encuentren juntas y en ese orden. Pueden ser la primera y segunda letras de la palabra o la segunda y tercera o tercera y cuarta o cuarta y quinta (figura 11). Para cada uno de estos cuatro casos tenemos que seleccionar las tres letras que faltan eligindolas de las seis que no utilizamos hasta el momento; se pueden formar

    63A 120= palabras distintas.

    Figura 9

    d e b e m o s e le g ir 5 d e8 le t r a s d isp o n ib le s

    _ _ _ _ _

    Figura 10

    d eb em o s eleg ir 4 d e7 letras d isp o n ib les

    L _ _ _ _

    Figura 11 T E _ _ __ T E _ _ _ _ T E _ _ _ _ T E

  • Por el principio fundamental de la multiplicacin hay 634A 4 120 480= = palabras que tienen la T y la E juntas y en ese

    orden. d) En este caso son ocho las posibilidades para que la L y la A se encuentren juntas (figura 12). En cada caso tenemos que colocar las tres letras faltantes seleccionndolas de las seis que no hemos utilizado, o sea en cada caso se pueden formar 63A 120= palabras distintas. Por el principio fundamental de la multiplicacin hay

    638A 8 120 960= = palabras que

    tienen la L y la A. Arreglos con repeticin Ya sabemos resolver algunos problemas en los que no se repiten elementos. Para poder resolver muchos otros tenemos que tener otra herramienta con la podamos contar casos en la que si se puedan repetir los elementos. Ejemplo Agustina tiene tres lpices de colores, una azul, uno blanco y uno rojo. Su maestra le proporciona una bandera con dos franjas horizontales (figura 13) para que ella coloree. Cuantas opciones distintas tiene Agustina para realizar el pedido de la maestra. Observemos primero que la maestra no dice los colores en las franjas deben ser distintos, por lo tanto si Agustina quiere pintar las dos franjas de azul (queda la bandera toda azul) puede hacerlo.

    Figura 13

    Figura 12 L A _ _ _ A L _ _ __ L A _ _ _ A L _ _ _ _ L A _ _ _ A L _ _ _ _ L A _ _ _ A L

  • La nia comienza eligiendo el color con el que pintar la franja superior, para ello tiene tres posibilidades, por cada una de ellas tiene otras tres posibilidades para el color de la franja inferior (figura 14). Consideremos la siguiente notacin AR es por ejemplo la bandera que tiene la franja superior Azul y la inferior Roja

    Podemos contar las posibilidades sin necesidad del esquema de la figura 14? Como ya dijimos Agustina tiene tres posibilidades para la elegir el color con el que pintar la franja superior, luego de realizada esta eleccin, para pintar la franja inferior tiene tres colores para elegir. Aplicando el principio fundamental de la multiplicacin tiene 3 3 = 9 formas distintas de cumplir el pedido de la maestra. Realicemos algunas observaciones, se pueden repetir los colores y el orden en que son tomados cambian el resultado, por ejemplo la bandera que es roja en la franja superior y azul en la inferior es distinta a la que es azul en la franja superior y roja en la inferior (figura 15). Estas nueve posibilidades diremos que son los arreglos con repeticin de tres elementos agrupados de dos y lo notaremos AR32

    Figura 15

    Fig. 14

  • Cuntas posibilidades tiene Agustina si la bandera fuera con tres franjas horizontales (figura 16)? Existen tres posibilidades para elegir el color de la franja superior, tres para el de la franja central y tres para la inferior, por el principio fundamental de la multiplicacin se pueden formar 3 3 3 = 27 banderas distintas. A estas 27 posibilidades las llamamos arreglos con repeticin de tres elementos agrupados de tres y la anotamos AR33 Y con cuatro? Razonando igual a los casos anteriores, Agustina tiene tres posibilidades para cada una de las franjas, por el principio fundamental de la multiplicacin existan 3 3 3 3 = 81 posibilidades distintas para pintar la bandera. A estas 81 posibilidades las llamaremos arreglos con repeticin de tres elementos agrupados de cuatro y lo anotaremos AR34 . Ejemplo Para ingresar a una pgina Web es necesario tener una contrasea de cuatro caracteres, para la eleccin de sta el servidor de la pgina permite elegir entre treinta caracteres. De cuntas formas distintas puedo formar una contrasea? Formemos la contrasea carcter por carcter. Para el primero tenemos treinta posibilidades, luego de elegido el primer carcter, como podemos repetirlo tenemos treinta posibilidades para elegir el segundo, de igual forma podemos elegir el tercero y el cuarto tambin de entre los treinta caracteres posibles. Por el principio fundamental de la multiplicacin tenemos que son 30 30 30 30 = 304 = 810.000 formas distintas de elegir una contrasea.

    Figura 16

  • En general Dado un conjunto de m elementos distintos y un nmero natural n, podemos formar grupos con elementos repetidos o no agrupndolos de n con la siguiente caracterstica; dos grupos son distintos si difieren en por lo menos un elemento o en el orden de colocacin de ellos. A estos grupos los llamaremos arreglos con repeticin de m elementos de orden n. Arreglos con repeticin Sea un conjunto E de m elementos distintos y n un nmero natural, llamamos arreglos con repeticin de m elementos agrupados de n, a los grupos de n elementos distintos o no elegidos entre los m del conjunto E, tales que dos grupos cualesquiera son distintos si difieren en por lo menos un elemento o en el orden de colocacin de ellos. Clculo del nmero de arreglos con repeticin En realidad nuestro inters es saber cuntos son los arreglos con repeticin de m elementos agrupados de n. Por ejemplo, si queremos saber cuntos son los arreglos de 3 de orden 4, segn los que vimos en el problema de Agustina y las banderas, hay 3 opciones para elegir el primer elemento, 3 para el segundo, 3 para el tercero y 3 para el cuarto. Usando el principio fundamental de la multiplicacin son 3 3 3 3 = 34 los arreglos con repeticin de 3 elementos de orden 4, a este nmero lo simbolizamos 34AR . En general El nmero de arreglos con repeticin de m elementos de orden n, lo obtenemos multiplicando n factores m, expresaremos este nmero con el smbolo mnAR . Esto es m nn

    n factoresAR m m m .m m m= =

  • Nmero de arreglos con repeticin Dado un conjunto E con m elementos distintos, el nmero de arreglos con repeticin de los m elementos agrupados de n esta dado por: m nnAR m= Situacin resuelta a) Cuntos autos con matrculas distintas pueden haber en Uruguay? b) y en Montevideo? c) y taxis en Montevideo? a) Las matrculas de autos en el Uruguay estn formadas por tres letras seguidas de cuatro dgitos (figura 17). El alfabeto tiene veintisis letras y son diez los dgitos. Observemos que tanto las letras como los dgitos se pueden repetir y el orden que tomemos en ellos determinan matriculas distintas, por ejemplo la matricula que comienza por AAB es distinta a la que lo hace con ABA, independiente de cuales sean los nmeros de estas. Con este sistema tenemos 263AR maneras de elegir las letras y 104AR para los nmeros, por el principio fundamental de la multiplicacin son 26 103 4AR AR = 175.760.000 las matrculas distintas que pueden haber en Uruguay. b) Las matrculas de autos de Montevideo comienzan cos S (figura 18), por esto para elegir las letras tenemos 262AR formas distintas y los nmeros siguen siendo

    104AR . Por lo tanto, aplicando el principio

    fundamental de la multiplicacin son 26 103 4AR AR = 6.760.000 las matrculas distintas que pueden haber en Montevideo.

    Figura 17

    Tres letras Cuatro dgitos

    Matriculas en Uruguay _ _ _ _ _ _ _

    Figura 18

    Dos letras Cuatro dgitos

    Matriculas en MontevideoS _ _ _ _ _ _

  • c) Las matrculas de los taxis de Montevideo comienzan por STX (figura 19), por lo tanto ya estn elegidas las tres letras, difieren solamente en los cuatro nmeros. En conclusin, son 104AR = 10.000 las matrculas distintas posibles para los taxis de Montevideo. Captulo 7.2 Ejercicios y Problemas

    1 Calcular:

    a) 6! b) 7! c)5!3! d) 5! + 3! e) (5 + 3)! 2 Simplificar:

    a) !!1916 b)

    !!

    1114 c)

    !!

    177174

    d) ! !! !19 517 3 e)

    ! !! !

    21 416 7

    f) ! !!10 + 11

    9 g) (x )!

    x!+ 2

    h) (h )!(h )!+ 1 1 i)

    ( n)!( n )!

    22 2

    3 Resolver:

    a) (x 5)! 72(x 2)!+ =+

    b) (x 2)! 1(x 4)! 42 =

    c) 4(x +1)! + 5 x! = 17 x! d) 12(x + 7)! = (x + 5)! e) (x2 5)! =39.916.800

    f) x!(2x 6)! 30(2x 4)!(x 1)! x 1+ +=+ +

    4 Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:

    a) x y 4(3 2y)! 3(4 2y)!+ = =

    b)3(x 5)! 4(x 5)!

    (x y 1)! (x y)!(y 2)!(x y 1)! (y 12)(x y)!

    = + + = + +

    Figura 19

    Cuatro dgitos

    Matriculas de taxis en MontevideoS T X _ _ _ _

  • 5 Para confeccionar un examen de matemtica, se dispone de 3 problemas de Geometra, 5 de Funciones y 2 de Clculo. De cuntas formas se pueden ordenar los problemas si a) no hay condiciones b) los de un mismo tema deben esta juntos 6 En una fila de 10 asientos de un cine, se sientan seis chicas y cinco chicos. De cuntas formas pueden hacerlo si: a) deben estar alternados b) los muchachos deben estar juntos y las chicas tambin c) se pueden sentar de cualquier modo 7 Con las letras A, B, C, D, E y F se pretende formar palabras de cinco letras distintas. Cuntas de estas palabras se pueden formar si a) no se agregan condiciones b) empiezan con la letra A c) contienen las letras A y B juntas y en ese orden d) contienen las letras A y B juntas e) contienen las letras A y B f) deben contener todas las vocales g) deben contener las vocales y no debe aparecer la letra F 8 Con las letras de la palabra PLENARIOS se quiere formar palabras de cinco letras distintas.

    Cuntas palabras se pueden formar si a) no se agregan condiciones b) deben empezar y terminar con vocal c) deben tener O y N juntas. d) no deben tener vocales. e) deben empezar con SO f) deben empezar con una vocal y la segunda letra no es N g) deben tener las letras N, I y O juntas y en ese orden h) deben tener las letras N, I y O juntas i) deben tener las letras N, I y O 9 Con vistas a las elecciones de mayo cierto partido poltico planea hacer una gira por 13 de las 19 capitales del pas. De cuntas formas distintas puede organizar el itinerario si: a) no hay condiciones b) Montevideo debe ser visitada c) Salto y Paysand sern visitadas y ya se descartaron Trinidad y Tacuaremb d) deben visitarse 8 ciudades al sur del Ro Negro y 5 al norte e) deben visitarse al menos 2 ciudades al norte del Ro Negro

    medias

    shortfondo de la camiseta

    franja

  • Nota: Para las partes d) y e) es necesario saber que Uruguay tiene 6 capitales al norte del Ro Negro y 13 al sur. 10 Un club deportivo est diseando su bandera, quiere que la misma tenga tres franjas horizontales e iguales. Los colores sern elegidos entre ocho colores distintos. Si adems no se quiere repetir colores a) Cuntas banderas distintas se pueden formar? b) Cuntas tienen amarillo? c) Cuntas tienen amarillo en la franja central? 11 Un nuevo club de ftbol del interior est diseando la camiseta con que participar en el campeonato uruguayo. El diseo de la indumentaria es el que se muestra en la figura. Los colores que se seleccionarn para cada una de las partes del equipo no pueden ser iguales y sern elegidos entre los siete colores caractersticos de los clubes fusionados. Cuntas indumentarias distintas pueden crearse si a) no se agregan condiciones b) el fondo debe ser blanco

    c) la franja debe ser roja y las medias negras d) ya se eligieron los cuatro colores para la indumentaria e) debe estar el color negro f) el rojo y el blanco sern los colores de la casaca 12 Para esta nueva edicin de la Feria de libros y grabados, 11 artesanos (4 talladores, 3 orfebres, 2 ceramistas y 2 fabricantes de juguetes) se presentaron para ocupar uno de los seis stands dispuestos como indica la figura.

    De cuntas formas distintas pueden asignarse los stands si a) no hay condiciones b) los dos ceramistas ya tienen asignados los puestos 1 y 2 c) el tallador A tiene asignado el stand 3 y no quiere que haya talladores en los puestos contiguos (o sea en los stands 2, 5 o 6) d) los dos fabricantes de juguetes deben estar e) no deben haber orfebres el los stands 1 y 2 f) debe haber por lo menos un tallador

    Stand 1 Stand 3

    Stand 4 Stand 5

    Stand 2

    Stand 6

  • 13 Para la instalacin de un programa de computacin se necesita una clave formada por siete caracteres tomados de entre 20 letras y los 10 dgitos. a) Cuntas claves distintas existen? b)Cuntas claves distintas sin repetir caracteres existen? c) En cuntas el nico carcter repetido es la Q tres veces?

    14 Se consideran los nmeros 12468 y 3579, se forman nmeros de cinco cifras sin repetir a)Cuntos se pueden formar si las cifras correspondientes a la centena y a la unidad se toman del primero y las otras cifras del segundo?

    b) Cuntos de los nmeros de la parte a) son mayores que 50.000 y menores que 75.000?

    c) Cuntos nmeros pueden formarse si se toman tres cifras del primero y dos del segundo? 15 Se consideran los conjuntos A = {1,2,3,4,5} y B = {7,8,9} y se forman nmeros de seis cifras sin repetir. Cuntos pueden formarse si a) las tres primeras cifras pertenecen a A y las otras a B b) tres cifras pertenecen a A y las otras tres a B Si los conjuntos fueran A = {1,2,3,4,5,6} y B = {6,7,8,9} c)Cul sera la respuesta de a)?

    d) Y la b)?

    16 Con la cifras del nmero 1:234.567 se forman nmeros de cuatro cifras. Cuntos de estos se pueden formar si a) no se agregan condiciones b) deben ser mltiplos de 5 c) tienen dos cifras pares y dos impares d) deben ser mayores que 6500 17 En una biblioteca se codifican libros tomando dos letras de 24 disponibles, seguidas de tres dgitos. Cuntos libros se pueden codificar si a) no se agregan condiciones b) los cdigos deben empezar en A y terminar en cifra par c) los cdigos deben empezar en MAM y terminar en cifra par 18 Una caja fuerte de cierre electrnico, tiene una clave compuesta de seis caracteres (los caracteres que componen la clave estn entre los 10 dgitos y las 27 letras) Cuntas claves distintas se pueden formar si a) debe tener dos letras y cuatro nmeros b) debe tener tres letras y tres nmeros y ningn carcter repetido

  • 19 Una empresa controla su stock de mercadera identificando sus productos con un cdigo formado por tres letras (de 27 posibles) y dos dgitos. a) Cuntos cdigos distintos se pueden formar? b) En cuntos las letras van al principio y los nmeros al final? c) En cuantos las letras y los nmeros son todos distintos? d) En cuntos el nico carcter repetido es el 7? e) Cuntos cdigos se pueden formar si las letras van al principio los nmeros al final y no se repiten caracteres? f) En las condiciones de e), ordenando las letras alfabticamente y los nmeros de menor a mayor qu lugar ocupa el cdigo BAC91? 20 a) Cuntos nmeros de cinco cifras sin repetir se pueden formar, si las cifras correspondientes a la centena y a la decena son elegidas del nmero 12345 y las otras cifras del nmero 56789? b) Cuntos de estos nmeros son mayores que 60.000 y menores que 85.000?

    21 Con las letras de las palabras PETUNIA y FLOR se forman palabras de cinco letras sin repetir, en las que las tres primeras letras son de la primera y las otras dos a la segunda a) Cuntas palabras se pueden formar? b) Cuntas palabras tienen la U y finalizan con R? c) Cuntas palabras no tienen la P y si la L y N? d)Cuntas palabras tienen la L y la A juntas, no tienen la R y empiezan con E?

    caratula cap 7.2Captulo 7.2 final