Programación Lineal y el Método Simplex.

Programación No Lineal y los Teoremas de Lagrange y Khun-Tucker.

Universidad de los Andes-CODENSA

IntroducciónIntroducciónLa programación matemática es una potente técnica de modelado usada en elproceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de esteproceso de toma de decisiones. Cuando se trata de resolver un problema de estetipo se deben tener en cuenta:1. Identificar las posibles decisiones a tomar.2. Determinar que decisiones resultan admisibles (Conjunto de restricciones).2. Determinar que decisiones resultan admisibles (Conjunto de restricciones).3. Cálculo coste/beneficio de cada decisión (Función objetivo).

Cualquier problema de programación requiere identificar cuatro componentesCualquier problema de programación requiere identificar cuatro componentesbásicos:1. El conjunto de datos2 El conjunto de variables involucradas en el problema junto con sus dominios2. El conjunto de variables involucradas en el problema, junto con sus dominios

respectivos de definición.3. El conjunto de restricciones lineales del problema que definen el conjunto de

soluciones admisibles.4. La función lineal que debe ser optimizada.

Problema del TransporteProblema del TransporteCierto producto debe enviarse en determinadas cantidades u1,…,um, desde cadauno de m orígenes y recibirse en cantidades v v en cada uno de los n destinosuno de m orígenes, y recibirse en cantidades v1,…,vn, en cada uno de los n destinos.Determine las cantidades xij, que deben enviarse desde el origen i al destino j, paraconseguir minimizar el coste de envío.

1. Datos

m: el número de orígenes

n: el número de destinos

ui: la cantidad que debe enviarse desde el origen i

vj: la cantidad que debe ser recibida en el destino jvj: la cantidad que debe ser recibida en el destino j

cij: el coste de envío de una cantidad de producto desde el origen i al destino j

2. Variables

xij: la cantidad que se envía desde el origen i al destino j. Se supone que lasvariables deben ser no negativas.

(1)

3 Restricciones: Las restricciones del problema son:

n1,...,j m;1,...,i ;0 ==≥ijx

3. Restricciones: Las restricciones del problema son:

(2)∑

∑=

==

==

m

n

1jiij

n1j;vx

m1,...,i ;ux

El primer conjunto de condiciones indica que la cantidad del producto que partedel origen i debe coincidir con la suma de las cantidades que parten de ese origen

∑=

==1i

jij n1,...,j;vx

hasta los distintos destinos j=1,…,n.

El segundo conjunto de condiciones asegura que el total recibido en el destino jdebe corresponder a la suma de todas las cantidades que llegan a ese destino yg yparten de los distintos orígenes i=1,…,m.Los grupos de restricciones presentados en (1) y (2) muestran las restricciones de las variables y del problema, respectivamente.

4. Función a maximizar

En el problema de transporte nos interesa minimizar los costos de envío (suma delos costos de transporte de todas las unidades). Es decir, se debe minimizar:p )

(3)∑∑= =

=m

i

n

jijij xcZ

1 1

Ejemplo – El Problema delTransporte:

Considérese el problema de transporte mostrado en la figura 1 donde m=3Considérese el problema de transporte mostrado en la figura 1, donde m 3orígenes, n=3 destinos, u1=2, u2=3, u3=4, v1=5, v2=2, v3=2.

Figura 1. Esquema del problema de transporte.

En este caso el sistema esEn este caso el sistema es

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

32

000111000000000111

13

12

11

xxx

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

2543

010010010001001001111000000000111000

23

22

21

xxx

CX

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

⎟⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜⎜

⎝

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ 2100100100

33

32

31

xxx

1,2,3ji, ;0 =≥ijx

Las tres primeras ecuaciones establecen la conservación del producto en los tresorígenes y las tres últimas igualdades, la conservación del producto en los tresg y g , pdestinos.

Si se concretan los valores particulares:

⎞⎛ 321

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

123212321

c

Para los costos de envío, el problema consiste en minimizar:

El mínimo de la función objetivo es 14, que corresponde a:

333231232221131211 232232 xxxxxxxxxZ ++++++++=

El mínimo de la función objetivo es 14, que corresponde a:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

202021002

X⎟⎠

⎜⎝ 202

Problema de la Planificación de la P d ióProducción

Un productor fabrica una pieza, cuya demanda varía en el tiempo, de acuerdo conla siguiente figurala siguiente figura.

Figura 2. Gráfico de la demanda en función del tiempo.

El d t d b t d l d d l i E l l iEl productor debe atender la demanda mensual siempre. En general cualquierproblema de planificación admitirá diversas posibilidades que aseguren que lademanda es convenientemente atendida:

a) Producción variable: El fabricante puede producir cada mes el númeroexacto de unidades que le solicitan.q

b) Producción Constante: El fabricante que debe atender una demanda quecambia con el tiempo puede producir por encima de dicho nivel en periodoscambia con el tiempo puede producir por encima de dicho nivel en periodosde baja demanda y almacenar la sobreproducción para los periodos dedemanda mayor.

Los problemas de esta naturaleza ilustran las dificultades que surgen cuandoobjetivos contrarios están presentes en e un sistema dado.

1. Datos

n: el número de meses a considerar

s0: la cantidad almacenada disponible al principio del periodo considerado

dt: el número de unidades (demanda) que se solicita en el mes tmax l id d á i d l i tsmax: la capacidad máxima de almacenamiento

at: el precio de venta en el mes t

bt: el costo de producción en el mes t

c : el costo de almacenamiento en el mes tct: el costo de almacenamiento en el mes t

2. Variables

xt: el número de unidades producidas en el mes t

st: el número de unidades almacenadas en el mes t

3. Restricciones

1 ; 1,2,...,t t t ts x d s t n− + − = =max ; 1,2,...,

, 0t

t t

s s t ns x

≤ =

≥

La demanda dt en el mes t debe coincidir con el cambio en el almacenamiento ,

st-1–st, más la producción xt en el mes t; la capacidad de almacenamiento no puedeexcederse; y la demanda d almacenamiento s y producción x deben ser noexcederse; y la demanda dt, almacenamiento st, y producción xt deben ser nonegativas.

4. Función a Optimizar

Una posibilidad consiste en maximizar el ingreso después de descontar los costesUna posibilidad consiste en maximizar el ingreso después de descontar los costesde la variación de la producción y los inventarios.

( )n

t t t t t tZ a d b x c s= − −∑

Otra posibilidad consiste en minimizar los costos de almacenamiento:

1t t t t t t

t=∑

nZ ∑

1t t

tZ c s

== ∑

Ejemplo – El Problema de la Planificación de la Producción:

Considérese la función de demanda en función del tiempo mostrada en la siguienteConsidérese la función de demanda en función del tiempo mostrada en la siguientetabla:

Tabla 1. Demanda en función del tiempo.

Supóngase que la cantidad almacenada inicialmente es s0=2. Entonces el sistema setransforma en:

1

2

31 0 0 0 1 0 0 0 0

sss

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

4

1

2

1 1 0 0 0 1 0 0 3; , ; 1,2,3,4

0 1 1 0 0 0 1 0 60 0 1 1 0 0 0 1 1

sCx st xt o t

xx

⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟= = ≥ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟2

3

4

xx

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Donde el cero en la matriz de la derecha procede a restar la demanda para t=1 delalmacenamiento inicial.

Si se maximiza el beneficio después de descontar los costos y los inventarios, y setoma at=3, bt=1, ct=1, el problema de optimización se convierte en:

Maximizar 1 2 3 4 1 2 3 436Z x x x x s s s s= − − − − − − − −

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

Resolviendo este problema encontramos que el valor máximo es:Resolviendo este problema encontramos que el valor máximo es:

1 2 3 4 1 2 3 426 para ( , , , , , , , ) (0,0,0,0,0,3,6,1)TZ x s s s s x x x x= = =

Lo que implica ningún almacenamiento.

Problema de la DietaProblema de la DietaSe conocen los contenidos nutritivos de ciertos alimentos, sus precios y la cantidadmínima diaria de nutrientes aconsejada El problema consiste en determinar lamínima diaria de nutrientes aconsejada. El problema consiste en determinar lacantidad de cada alimento que debe comprarse para satisfacer los mínimosaconsejados y alcanzar un precio total mínimo.

1. Datos

m: el número de nutrientes.

n: el número de Alimentos.

aij: la cantidad del nutriente i en una unidad del alimento j.

bi: la cantidad mínima del nutriente i aconsejada.bi: la cantidad mínima del nutriente i aconsejada.

cj: el precio de una unidad del alimento j.

2. Variables

x : la cantidad del alimento j que debe adquirirsexj: la cantidad del alimento j que debe adquirirse.

3. Restricciones

Como la cantidad total de un nutriente dado i es la suma de las cantidades de losnutrientes en todos los alimentos y las cantidades de alimentos deben ser nonegativas, entonces tenemos:

1; 1,...,

0; 1,...,

n

ij j ij

j

a x b i m

x j n=

≥ =

≥ =

∑

4. Función a Minimizar

En el problema de la dieta se esta interesado en minimizar el precio de la dieta:

j

Minimizar1

n

j jj

Z c x=

= ∑

Donde cj es el precio unitario del alimento j.

Ejemplo – El Problema de la Dieta:

Considere un caso con cinco nutrientes y con los mínimos aconsejados para losConsidere un caso con cinco nutrientes y con los mínimos aconsejados para losnutrientes digeribles (DN), proteínas digeribles (DP), calcio (Ca), y fósforo (Ph)dados en la siguiente tabla:

Tabla 2. Contenidos nutritivos de cinco alimentos

Las restricciones se convierten en

178.6 70.1 80.1 67.2 77.0 74.2x⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟2

3

4

78.6 70.1 80.1 67.2 77.0 74.26.50 9.40 8.80 13.7 30.4 14.70.02 0.09 0.03 0.14 0.41 0.140 27 0 34 0 30 1 29 0 86 0 55

xxx

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ≥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟

5

1 2 3 4 5

0.27 0.34 0.30 1.29 0.86 0.55

, , , ,x

x x x x x

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠

0≥

Supóngase que los precios unitarios de los alimentos son:

De este modo se tiene el siguiente PPL:

1 2 3 4 51, 0.5, 2, 1.2, 3c c c c c= = = = =

Minimizar 1 2 3 4 50.5 2 1.2 3Z x x x x x= + + + +

Sujeto a las restricciones ya mencionadas.

l l ó d b l l óCon la solución de este sistema se obtiene la solución

0.793 en el punto (0,1.530,0,0.023,0)Z =

Problema del Flujo en un a RedProblema del Flujo en un a RedSupóngase una red de transporte (conducción hidráulica, ferrocarril, carreteras,etc ) a través de la cual se desea enviar un cierto material (aceite grano vehículosetc.) a través de la cual se desea enviar un cierto material (aceite, grano, vehículos,mensajes, etc.) de un conjunto de nodos de la red, llamados nodos fuente, a unconjunto de puntos de destino, llamados nodos sumideros. Además de éstos, la redcontiene nodos intermedios, donde no tienen lugar ni entradas ni salidas de, gmaterial. Sea xij el flujo que va del nodo i al nodo j (positiva en la dirección i j ,ynegativa en otro caso).

1. Datos

g: el grafo g=(N,A) que describe la red de transporte, donde N es el conjunto de nudos A es el conjunto de cone ionesnudos, y A es el conjunto de conexiones.

n: el número de nudos en la red.

fi: el flujo entrante (positivo) o saliente (negativo) en el nudo i

mij: la capacidad máxima de flujo en la conexión entre el nudo i y el j

cij: el precio de mandar una unidad del bien desde el nudo i al nudo j.

2. Variables

x : el flujo que va del nodo i al nodo jxij: el flujo que va del nodo i al nodo j

3. Restricciones: Las restricciones del problema son:

Imponiendo la condición de conservación del flujo en todos los nudos, y lasi i b l id d d l lí i b i lrestricciones sobre la capacidad de las líneas o conexiones, se obtienen las

siguientes restricciones:

Restricciones de conservación del flujo(4)

Restricciones de capacidad de las líneas o conexiones(5)

n1,...,i;)( ==−∑ ij jiij fxx

ji ; <∀≤≤− ijijij mxmdonde i<j evita la posible duplicación de restricciones.

4. Función a minimizar: El precio total es:(6)

jjj

∑= xcZ (6)

Así, debe minimizarse (6) bajo (4) y (5).

d d b d l d

∑=ij

jiij xcZ

Las redes de abastecimiento de agua, los sistemas de comunicaciones, y otros,conducen a problemas de redes de transporte como el descrito aquí.

Ejemplo – El Problema de Flujo en Redes:

Considérese el problema de flujo en la red de la figura 3 donde las flechas indican Considérese el problema de flujo en la red de la figura 3 donde las flechas indican los valores positivos de las variables del flujo.

Figura 3. Esquema del problema de transporte.

En este caso el sistema es

⎟⎞

⎜⎛ 12x

(7)

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

3

2

1

24

14

13

12

11100100100100100111

ffff

xxxx

ji ;

ji ;

<∀≤−

<∀≤

ijij

ijij

mx

mx

Donde se supone que

⎟⎠

⎜⎝⎟

⎟

⎠⎜⎜

⎝⎟⎠

⎜⎝ −−− 4

34

2411100 fx

2)(7,-4,-1,- )f,f,f,(fy j,i ,4 4321 =<∀=ijm

Supóngase además que . El problema de optimización es minimizarji, ;1 ∀=ijc

xxxxxZ ++++=

Sometido a (7). Mediante el software adecuado puede obtenerse la siguientesolución:

3424141312 xxxxxZ ++++=

4012 ⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ x

10 ;0414

)1(4430

punto elen 5

24

14

13

12

≤≤

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛−

−+

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

−=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

= λλλxxxx

Z

Esta solución indica que existe un conjunto de infinitas soluciones, todas ellasproporcionando el mismo valor óptimo, Z=5.

2234⎟⎠

⎜⎝−

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ x

proporcionando el mismo valor óptimo, Z 5.

Problema de la Cartera de ValoresProblema de la Cartera de ValoresUn inversor es propietario de participaciones de varios valores. Masconcretamente es dueño de bi participaciones de los valores bursátiles Ai,i=1,2,..m. Los precios actuales de estos valores son vi. Considérese que se puedenpredecir los dividendos que se pagarán al final del año que comienza y los preciosfinales de los diferentes valores bursátiles, esto es, Ai pagará di y tendrá un nuevoprecio wprecio wi.El objetivo es ajustar la cartera, es decir, el número de participaciones en cadavalor, de modo que se maximicen los dividendos

1. Datosm: el número de valores bursátilesb l ú t l d ti i i d l l b átil ibi: el número actual de participaciones del valor bursátil ivi: el precio actual del valor i por participacióndi: el dividendo que se pagará al final del año en el valor bursátil iwi: el nuevo precio del valor bursátil i

r: porcentaje mínimo r del valor actual de toda la cartera que no debe superarse enel ajustej

s: porcentaje mínimo del valor total actual que no debe superarse por el valorfuturo total de la cartera, para hacer frente a la inflación

2. Variables

xi: el cambio en el número de participaciones del valor bursátil i.

3. Restricciones

Se deben asegurar ciertas condiciones que debe satisfacer una cartera bienSe deben asegurar ciertas condiciones que debe satisfacer una cartera bienequilibrada:

El número de participaciones debe ser no negativo

b≥

Exigimos que el capital asociado a todo valor concreto, después del ajuste,represente al menos una cierta fracción r del capital total actual de la cartera

i ix b≥ −

( ) ( ); i i i j j ji

r v b x v b x j⎛ ⎞+ ≤ + ∀⎜ ⎟⎝ ⎠∑

El capital total de la cartera no debe cambiar en el ajuste pues se supone que no seinvierte dinero adicional

P h f l i fl ió l i l l l f d b l

0i ii

v x =∑

Para hacer frente a la inflación, el capital total en el futuro debe ser al menos uncierto porcentaje s mayor que el capital invertido actualmente:

( ) (1 )i i i i iw b x s v b+ ≥ +∑ ∑

4. Función a optimizar

Nuestro objetivo es maximizar los dividendos

i i

Nuestro objetivo es maximizar los dividendos

( )i i ii

Z d b x= +∑

La tarea se concreta al determinar el valor máximo de los dividendos sujeto a todaslas restricciones anteriores.

Ejemplo – El Problema de la Cartera deValores:

Se tienen participaciones de tres valores bursátiles 75 de A 100 de B y 35 de CSe tienen participaciones de tres valores bursátiles, 75 de A, 100 de B y 35 de C,con precios 20, 20 y 100 dólares, respectivamente. Se dispone de la siguienteinformación: A no pagará dividendos y alcanzará una nueva cotización de 18dólares, B pagará 3 dólares por participación y la nueva cotización será 23 dólares,, p g p p p y ,y C pagará 5 dólares por participación con una nueva cotización de 102 dólares. Sise toman los porcentajes r como 25 y s, 0.30, todas las restricciones se escribencomo:

75100

A

B

xx

≥ −≥ −

[ ][ ]

350.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(75 )0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 20(100 )

C

A B C A

A B C B

xx x x xx x x x

≥ −+ + + + + ≤ ++ + + + + ≤ +[ ]

[ ]0.25 20(75 ) 20(100 ) 100(35 ) 100(35 )20 20 100 0

18(75 ) 23(100 ) 102(35

A B C C

A B C

A B

x x x xx x x

x x

+ + + + + ≤ ++ + =

+ + + + ) 1.03(7000)Cx+ ≥( ) ( ) (A B ) ( )C

Después de varias simplificaciones , las restricciones anteriores se transforman en:

75≥ 75100

35

A

B

C

xxx

≥ −≥ −≥ −

15 5 25 2505 15 25 2505 5 75 1750

A B C

A B C

A B C

x x xx x xx x x

− − ≥− + − ≥ −− − + ≥ −

l ó b d

20 20 100 018 23 102 270

A B C

A B C

x x xx x x+ + =+ + ≥

La solución obtenida es:

612.5 dólares y 12.5, 75, 17.5A B CZ x x x= = = = −

P bl d Di t ib ió d E gíProblema de Distribución de EnergíaLos generadores de energía, así como las demandas de la misma se sitúan en unared energética. El objetivo de este problema consiste en decidir la energía ag gproducir por cada generador de forma tal que se satisfagan las diferentescondiciones técnicas de la red y los generadores, así como las demandas, al mínimocoste.C d lí d i ió d d d í i í d bCada línea de transmisión de una red de energía transmite energía de un bus a otro.La energía transmitida es proporcional a la diferencia de los ángulos de estos buses(de forma similar a que el agua que fluye en una tubería que conecta dos tanques esproporcional a la diferencia de alturas del agua en ambos). La constante dep p g )proporcionalidad tiene un nombre divertido ¨susceptibilidad¨. La potenciatransmitida desde el bus i al j a través de la línea i-j es por tanto

(8))( jiijB δδ −

donde Bij es la susceptibilidad de la línea i-j, y y los ángulos de los buses i y j,respectivamente. Por razones físicas, la cantidad de energía transmitida a través deuna línea tiene un límite. Este límite está relacionado con consideraciones térmicaso de estabilidad Por tanto una línea energética debe ser operada de forma tal que

iδ jδ

o de estabilidad. Por tanto, una línea energética debe ser operada de forma tal quesu límite de transmisión no sea excedido.

Esta condición puede formularse como(9)ijjiijij PBP ≤−≤− )( δδ (9)

donde es la capacidad de transmisión de la línea i-j. Debe notarse que la potenciatransmitida es proporcional a la diferencia de ángulos y no, a un ángulo dado. Portanto, puede fijarse el valor de un ángulo arbitrario a 0, y tomarlo como origen. Es

ijjiijij )( δδ

ijP

, p j g , y g .decir, para un bus arbitrario k:

(10)

Una consecuencia que se deriva de esta posibilidad de fijar arbitrariamente un

0=kδ

Una consecuencia que se deriva de esta posibilidad de fijar arbitrariamente unorigen es que los ángulos son variables no restringidas en signo. La potenciagenerada por un generador es una magnitud positiva limitada inferiormente,debido a las condiciones de estabilidad (de forma similar a la de un automóvil, que( , qno puede moverse a una velocidad inferior a un cierto límite), y superiormente,debido a límites térmicos (similarmente a la de un automóvil que no puedemoverse a más de una cierta velocidad máxima). Las restricciones anterioresconducen a:

(11)

donde pi es la potencia producida por el generador i, y y son constantes

iii PpP ≤≤

iPiP

positivas que representan, respectivamente, el mínimo y el máximo de laspotencias generadas por el generador i.

En todo bus, la potencia que entra debe ser igual a la potencia que sale (ley de laconservación de la energía), que puede escribirse como

(12)

donde es el conjunto de buses conectados a través de las líneas al bus i y Di lademanda asociada al bus i

i ;)( ∀=+−∑Ω∈

iij

jiij DpBi

δδ

iΩdemanda asociada al bus i.Como se ha indicado anteriormente, la potencia transmitida a través de toda líneaes limitada, por tanto

(13)ij)( i ∀Ω∈∀≤−≤− ijjiijij PBP δδ (13)

1. Datos el número de generadores

i,j ,)( i ∀Ω∈∀≤≤ ijjiijij PBP δδ

n: el número de generadores.: la mínima energía de salida asociada al generador i.: la máxima energía de salida asociada al generador i.iP

iP

Bij: la susceptancia de la línea i-j.: la capacidad máxima de transmisión de la línea i-j.

Ci: el coste de producir energía en el generador i.ijP

: el conjunto de buses conectados a través de líneas al bus i.Di: la demanda asociada al bus i.

iΩ

2. Variables

pi: la energía producida por el generador i.pi g p p g

: el ángulo del bus i.

3. Restricciones: Las restricciones de este problema soniδ

0δ

(14)

,...,2,1 ;j max;)(max

,..,2,1i ;)(0

i =Ω∈∀≤−≤−

==+−=

∑Ω∈

ijjiijij

jiijiij

k

niPBP

nDPBi

δδ

δδδ

4. Función a minimizar: El objetivo es minimizar el precio total de lad ó d

n1,2,...,i max;min =≤≤ ii

jjjj

PpiP

producción de potencia(15)

donde Ci es el precio de la producción del generador i, y n el número de

∑=

=n

iii pCZ

1

generadores.

Ejemplo – El Problema de Distribución de Energía:Considérese el sistema de la figura 4:

Figura 4. Esquema del problema de Distribución de Energía.

El generador del bus 1 produce un coste 6 y sus límites inferiores y superiores son,respectivamente, 0.15 y 0.6. El coste de producción del generador del bus 2 es 7 y suslímites de potencia son, respectivamente, 0.1 y 0.4. La línea 1-2 tiene una susceptancia2.5 y un límite de transmisión máximo de 0.3, la línea 1-3 tiene una susceptancia de3.5 y un límite de transmisión de 0.5, y, finalmente, la línea 2-3 tiene una susceptanciay , y, , pde 3.0 y un límite de transmisión de 0.4. Este sistema tiene una demanda simplelocalizada en el bus 3 con un valor de 0.85. Se considera un periodo de una hora, y setoma como origen el bus 3.

Este problema puede escribirse como:

minimizar 76 pp +minimizar

sometido a

21 76 pp +

0)(52)(5303 =

δδδδδ

6015085.0)(0.3)(5.3

0)(5.2)(0.30)(5.2)(5.3

3231

22123

11213

≤≤=−+−

=+−+−=+−+−

δδδδδδδδδδδδ

P

pp

40)(03403.0)(5.23.0

4.010.06.015.0

32

21

2

1

≤−≤−≤−≤−

≤≤≤≤

δδδδ

PP

Las variables de optimización son p1, p2, y .

5.0)(5.35.04.0)(0.34.0

31

32

≤−≤−≤≤

δδδδ

1δ 2δp p1 p2 y

La solución de este problema es:

L l ió ó ti i l d 1 d 0 565 l d 2

1 2

TT .117,0)(-0.143,-0 ,85)(0.565,0.2p ,385.5 === δZ

La solución óptima requiere que el generador 1 produzca 0.565 y el generador 2produzca 0.285.

I t d ió l P g ió Li lIntroducción a la Programación LinealProblema de Programación Lineal (PPL): La forma mas general de un

problema de programación lineal consiste en minimizar o maximizar:problema de programación lineal consiste en minimizar o maximizar:

∑=

==n

jjj xcXfZ

1)(

n

Sujeto a:

∑

∑

=

=

=≥

==

n

jijij

n

jijij

bxa

bxa

1

1

1-1,2,...pi ,

1-1,2,...pi ,

∑=

=≤n

jijij bxa

11-1,2,...pi ,

donde p ,q y m son enteros positivos tales que .

Solución Factible: Un puntomqp ≤≤≤1

),...,,( 21 nxxxX =

que satisface todas las restricciones se denomina solución factible. El conjunto detodas esas soluciones es la región de factibilidad.

Solución Óptima: Un punto factible tal que para cualquierotro punto factible X se denomina una solución óptima del problema.

X~ )~()( XfXf ≥p p p

Típicamente n es mucho mayor que m. Lo que distingue a un PPL de otrosproblemas de optimización es que todas las funciones que aparecen son lineales.

En un PPL la región factible es un Politopo o un PoliedroEn un PPL la región factible es un Politopo o un Poliedro.

El objetivo de los problemas de optimización es encontrar un óptimo global. Sinembargo, las condiciones de optimalidad garantizan por lo general óptimos locales.Sin embargo los PPL presentan propiedades que hacen posible garantizar elSin embargo, los PPL presentan propiedades que hacen posible garantizar elóptimo global:

o Si la región factible esta acotada, el problema siempre tiene una solución(condición suficiente pero no necesaria)(condición suficiente pero no necesaria).

o El óptimo de un PPL es siempre un óptimo global.

o Si x e y son óptimos de un PPL, entonces cualquier combinación lineal de ellos es también un óptimo. Nótese que una combinación lineal convexa de óptimos no cambia el valor de la función objetivo.

o La solución óptima se alcanza siempre, al menos, en un punto extremo de la región factible.

Ejemplo – Solución Única:

Maximizar 213 xxZ +=

Sometido a

21

362

1

21

21

≤≤+≤+−

xxxxx

1042

21

2

21

1

−≤−−≤−≤−

xxxxx

tiene por solución única Z=12, que se alcanza en el punto P=(3,3)01 ≤− x

Figura 5. Ejemplo Solución Única.

Ejemplo – Solución Múltiple:

Si la función objetivo del problema anterior se reemplaza por:j p p p

el problema tiene múltiples soluciones213 xxZ +=

Figura 6. Ejemplo Solución Múltiple.g j p p

En efecto, cualquier punto del segmento con extremos en los puntos (2; 4)T y

(3; 3)T da la solución óptima del problema (Z = 6).

Ejemplo – Solución No Acotada:

Maximizar 213 xxZ +=

Sometido a

21

02

2

21

≤−≤+−

xxx

tiene solución no acotada

01

1

21

≤−−≤−−

xxx

Figura 7. Ejemplo No Acotada.

Ejemplo – Solución No Factible:

Maximizar 213 xxZ +=

Sometido a

21

6221

≤+≤+−

xxxx

04236

2

21

1

21

≤−≤−≤≤+

xxx

xxx

0010

21

1

21

2

≤+≤−

−≤−−

xxx

xxx

No tiene solución factible porque la nueva restricción021 ≤+ xx

no es compatible con las anteriores.

Problema en la Forma EstándarProblema en la Forma EstándarUn PPL definido en la forma:

Mi i iMinimizar

Sometido a

XCZ T=

oxbAx

≥=

Se dice que está en forma estándar. Ello implica:

1 La función objetivo debe minimizarse1. La función objetivo debe minimizarse.

2. las restricciones deben ser de igualdad.

3. El vector debe ser no negativo.mb ℜ∈

4. Las variables x deben ser no-negativas.

Cualquier problema puede ponerse en forma estándarCualquier problema puede ponerse en forma estándar.

Paso a un Problema de Minimización:

Un problema de maximización puede convertirse en uno de minimizaciónUn problema de maximización puede convertirse en uno de minimizacióncambiando el signo de la función objetivo. El problema:

Maximizar

i l l blXCZ T=max

es equivalente al problema

Minimizar

sometidos ambos a las mismas restricciones.XCZ T−=max

Paso aVariables No Negativas:

El conjunto de r variables no restringidas puede escribirse en función de{ }xxEl conjunto de r variables no restringidas puede escribirse en función deotro conjunto de r + 1 variables no negativas:

{ }rxx ,...,1

{ }*** ,,...,1

xxx r

1,2,...ri ;** =−= xxxii

De esta forma se añade una variable en vez del método usual de añadir r nuevasvariables.

Paso a Restricciones de Igualdad:

Se puede conseguir usando variables de holgura:

o La desigualdad:

bxaxaxa ≤+++

con , equivale a la igualdadininii bxaxaxa ≤+++ ...2211

01 ≥+nx

inninii bxxaxaxa =++++ +12211 ...

o La Desigualdad:

ininii bxaxaxa ≥+++ ...2211

con , equivale a la igualdad01 ≥+nx

inninii bxxaxaxa =−+++ +12211 ...

Ejemplos –Transformación a la Forma Estándar:

o Maximizar 321 532 xxxZ +−=

sometido a321

332

321

21

≥−+≤+

xxxxx

Este problema en la forma estándar es

Minimizar

0, 21 ≥xx

)(532 7621 xxxxZ −−+−=

sometido a

03)(32

57621

421

≥=−−−+=++

xxxxxxxxxxx

xxx

o Maximizar

0,,,,, 765421 ≥xxxxxx

313 xxZ −=

sometido a

111

31

321

321

−≥+≤−−=++

xxxxxxxx

01 ≥x

Este problema en la forma estándar es

Minimizar 3313 zyxZ −+−=

sometido a331 y

1133221

+++=−+−+

uzyzyxzyzyx

0,,,,,,, 11

2133221

2331

133221

≥−=−−+

=++−+−

uuzyzyxuzyx

uzyzyx

El Método SimplexEl Método SimplexSea el PPL:

Mi i i TMinimizar

Sujeto a

xcxf T=)(

,0 ; ≥= bbAx

Donde es una matriz de costos y A es una matriz de m x n.

,0,;

≥xT

ncccc ),...,,( 21=

El método simplex (MS) consta de dos etapas:

o Etapa de IniciaciónEl conjunto inicial de restricciones se transforma en otro equivalente deigualdades, asociadas a una solución básica.g

Los valores de las variables básicas se transforman en no negativos (seobtiene una solución básica factible). Esta etapa se llama reguladora.

o Etapa de Iteraciones EstándarEn esta etapa los coeficientes de la función de costo se transforman en noppositivos y el valor de la función de costo se mejora iterativamente, hastaobtener la solución óptima, se detecta solución no factible, o solución noacotada. En este proceso iterativo se obtienen diferentes soluciones factibles.Para este fin se utiliza la llamada transformación elemental de pivotajePara este fin se utiliza la llamada transformación elemental de pivotaje.

Fase de Iniciación: Una de las peculiaridades del SM consiste en incorporar una nueva variable Z, igual a la función objetivo del problema, y la restricción asociada

nnxcxcZ ++= ...11

Las restricciones sonb

xx

NBN

B =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛) (

Y la función objetivo

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

N

BTN

TB

xxccZ1

)0(

Donde (B N) es una partición de la matriz A, y XB y XN definen otra partición de x, en variables básicas y no básicas, respectivamente.

⎠⎝ N

Usando la ecuación de restricciones podemos obtener

bNB

d d

NNB

NB

UxvNxBbBx

bNxBx

+=−=

=+−− 11

bBv 1−=donde

Ahora, de la ecuación de la función objetivo y la anterior ecuación obtenemos

NBU

bBv1−−=

=

NTN

TB

TB

NTNN

TB

wxuZxcUcvcZ

xcUxvcZ

+++=

++=

)(

)(

donde

NwxuZ += 0

TT

TB

U

vcu =0

Para obtener

TN

TB cUcw +=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xUv

wuxZ 10

⎠⎝⎠⎝⎠⎝ NB xUvx

El MS comienza con el conjunto de restricciones

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

NNB xZ

xUv

wu

x

ZT

11)0(

)0()0(

)0()0(0

Donde es una partición del conjunto de variables . Las matricesse obtienen resolviendo las restricciones en x

⎠⎝

NB xx ∪ { }nxxx ,...2,1)0()0( y Uv se obtienen resolviendo las restricciones en xB)()( y Uv

TN

TB

TB cUcwVCU +== )0()0()0()0( ,

donde son los coeficientes de costo asociados a xB y xN, respectivamente.Podemos entonces obtener un nuevo conjunto equivalente de restricciones con la misma estructura

TNcy T

Bc

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−)(

)(

)()()(

)()(

)(

)( 110

t

t

ttt

tt

t

t

NN

T

Bx

ZxUv

wu

x

Z

donde t se refiere al número de la iteración y t=0 es la iteración inicial.

⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝ NNB

Programación No LinealProgramación No LinealEl problema más general de programación no lineal (PPNL), puede plantearsecomo:como:

Minimizar ),...,( 1 nxxfZ =

Sujeto a

0)(0),...,(

0),...,(

1

11

≤=

=

nl

n

xxgxxh

xxh

0),...,(

0),...,(

1

11

≤

≤

nm

n

xxg

xxg

En forma compacta el modelo anterior puede escribirse:

Minimizar )(xfZ =

Sujeto a0)(0)(

≤=

xgxh

Donde es el vector de las variables de decisión, es lafunción objetivo, y y , donde y

Tnxxx ),...,( 1= ℜ→ℜnf :

mng ℜ→ℜ: lnh ℜ→ℜ: Tm xgxgxg ))(),...,(()( 1=j , y y , y

son las restricciones de desigualdad y de igualdad,respectivamente.

La figura 8a muestra que el mínimo del problema se alcanza en el conjunto de

g ℜ→ℜ: h ℜ→ℜ: m xgxgxg ))(),...,(()( 1T

l xhxhxh ))(),...,(()( 1=

La figura 8a muestra que el mínimo del problema se alcanza en el conjunto depuntos en los que la tangente es horizontal.

Figura 8 Mínimos Locales y GlobalesFigura 8. Mínimos Locales y Globales.

Sin embargo, si se busca el mínimo de la función:3/23/2 )2()2()( −−+= xxxf

en , se encuentra uno con dificultades, pues no tiene puntos con derivada nula.Sin embargo, el hecho de que f tienda a cero cuando x tiende a ±∞ y que tomevalores negativos, indica que f debe alcanzar su mínimo en algún lugar.

ℜ

Un análisis más profundo de f revela que el mínimo se alcanza en , pero f noes diferenciable en este punto. Este simple ejemplo muestra que se debe tener

i l id d d l f i i t i dif i bl

2−=x

especial cuidado cuando las funciones que intervienen no son diferenciables.

Figura 9. Grafica de la función .

Hay además otro problema igualmente relevante, referente a los problemas no

3/23/2 )2()2()( −−+= xxxf

y glineales diferenciables. Para ilustrarlo, se considera la función objetivo siguiente

Figura 10. Grafica de la función .)cos(sin10)10/1()( 2 xxxxxf −+=

Esta función es diferenciable en todo , pero tiene un conjunto infinito de puntoscon tangente horizontal (puntos en los que f´(x) = 0). Estos puntos reciben elnombre de puntos estacionarios y todos ellos salvo uno son óptimos locales

ℜ

nombre de puntos estacionarios y todos ellos, salvo uno, son óptimos locales.Puesto que si se restringe la atención a un pequeño entorno de ellos, se conviertenen máximos o mínimos locales. La ecuación f´(x) = 0 no puede ser resuelta enforma cerrada, por lo que se deben utilizar métodos numéricos. La existencia de

f d d d l d é dun conjunto infinito de puntos candidatos y la ausencia de un método paragenerarlos explícitamente, conducen a la imposibilidad de conocer, con totalcertidumbre, si un determinado candidato es el óptimo global.Estamos interesados en la clase de funciones tales que sus mínimos locales seanEstamos interesados en la clase de funciones tales que sus mínimos locales seantambién globales. En la figura se da una función que no cumple esta condición. Haypuntos en el intervalo que están por encima del segmento que une losmínimos. La convexidad es aquí suficiente para evitar este comportamiento. Para

[ ]*, xx

ser convexa se exige que el grafo esté por debajo del intervalo que une losextremos.

Figura 11. Ilustración de la Propiedad de Convexidad

Un PPNL puede no tener solución por:

1. La función no es acotada en S. Por ejemplo, f(x) = x, donde decrece sin ℜ∈xlímite hasta −∞ cuando x tiende a −∞. En este caso se escribe

2. La función es acotada en S pero no se alcanza la cota inferior: en S.

∞=∈ -)(Ínfimo Sx xf)(Ínfimo Sx xf∈p

Por ejemplo, la función está acotada en y la cota inferior es 0 pero es inalcanzable por f(x).

xexf −=)( ℜ=S

Teorema 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)

Sea S un conjunto cerrado, acotado y no vacío de y una función continua El problema

nℜ ℜ→Sf :continua. El problema

Minimizar

Sujeto a

)(xfZ =

Sx∈ ℜ→Sf :

admite al menos una solución óptima.

Corolario 1 (Existencia de Soluciones Óptimas)

Sea S un conjunto cerrado y no vacío (posiblemente no acotado) de ynℜSea S un conjunto cerrado y no vacío (posiblemente no acotado) de yuna función continua.

ℜ

Si tenemos:+∞=∈∞→ )(lim , xfSxx

Entonces el problema es:

Minimizar

sujeto a

)(xfZ =

Sx∈sujeto a

admite al menos una solución óptima.

Estos resultados pueden hacerse más explícitos cuando la función f es convexa.

Sx∈

Definición 1 (Mínimo global)

Una función f(x) tiene un mínimo global (mínimo global estricto) en el punto , de*xUna función f(x) tiene un mínimo global (mínimo global estricto) en el punto , deS, si para todo x en S.

Definición 2 (Mínimo local)

))()(( )()( ** xfxfxfxf <≤

x

Definición 2 (Mínimo local)

Una función f(x) tiene un mínimo local (mínimo local estricto) en el punto , de S, si existe un número positivo tal que (respectivamente, )

t d S t l

xε )()( xfxf ≤ )()( xfxf <

0para todo x en S tal que .ε<−< xx0

De ello se concluye que un mínimo global es también un mínimo local. En unadimensión es fácil ilustrar los conceptos anteriores. En la figura 11, S es el

l j d l í i l l l[ ]b { } { }*segmento . es el conjunto de los mínimos locales, y es elconjunto de los mínimos globales.

[ ]ba, { }21,, xxaS = { }2* , xaS =

Figura 12 Una función con tres mínimos locales y dos globalesFigura 12. Una función con tres mínimos locales y dos globales.

Definición 3 (Diferenciabilidad)

Se dice que es diferenciable en x si existen las derivadas parciales yℜ→ℜnf : ,xf

∂∂

, y ix∂n1,...,i =

0)()()()(lim =−

−∇−−→ xy

xyxfxfyf T

xy

donde es el gradiente de f en x.T

nxxf

xxfxf ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∇)(,...,)()(

1

Definición 4 (Diferenciabilidad continua)

Una función f se dice continuamente diferenciable en si todas las derivadasxparciales son continuas en . En este caso, también es diferenciable.

Se considera el siguiente PPNL:

Minimizar (1)

x

)(xfZ = ( )

sujeto a(2)

)(xfZ

0)(0)(

≤=

xgxh

donde con y

son funciones continuamente diferenciables en la región factible

lnn :h ,:g ,: ℜ→ℜℜ→ℜℜ→ℜ mnf ( )Tm xgxgxg )(),...,()( 1= ( )Tl xhxhxh )(),...,()( 1=

{ }0g(x) ,0)( ≤== xhxS

Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (CKKT)(CKKT)

Las condiciones de Karush, Kuhn and Tucker constituyen el resultado másimportante de programación no lineal Deben ser satisfechas por cualquier óptimoimportante de programación no lineal. Deben ser satisfechas por cualquier óptimorestringido, sea éste local o global, y para cualquier función objetivo, ya sea lineal ono lineal. Además, los criterios de parada de los métodos iterativos se basan enestas condiciones. Mientras que en los problemas diferenciables sin restricciones elq pgradiente se anula en los mínimos locales, esto no ocurre para problemas conrestricciones, tal como ilustra la figura 11 en el punto . Esto se debe a lasrestricciones del problema. Las condiciones de Karush-Khun-Tucker generalizan

ax =

glas condiciones necesarias de óptimo para los problemas con restricciones.

Figura 13. En problemas restringidos diferenciables el gradiente no es necesariamente cero en la solución óptima

Definición 5 (Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker):

El vector satisface las condiciones de Karush-Khun-Tucker para el PPNLnx ℜ∈l

(1)-(2) si existe un par de vectores y tales que

(3)

mℜ∈μ lℜ∈λ

0)()()(11

=∇+∇+∇ ∑∑==

m

jjj

l

kkk xgxhxf μλ

(4)

(5)

(6)m1,...,j,0)(l1,...,k ,0)(

m1,...,j ,0)(11

====

=≤==

jj

k

j

jk

xgxh

xg

μ(7)

Los vectores µ y ¸ son los multiplicadores de Khun-Tucker. La condición (6) es la

m1,...,j ,0

, ,j,)(

=≥j

jj g

μ

μ

λcondición complementaria de holgura. La (7) son las condiciones duales defactibilidad y requieren la no-negatividad de los multiplicadores de las restriccionesde desigualdad. Las condiciones (4)-(5) se llaman condiciones primales def ibilid dfactibilidad.

Con el Lagrangiano las condiciones KKT seescriben como

)()()(),,( xgxhxfxL TT μλλμ ++=

0)( =∇ λμxL

0),,(0),,(0),,(

≤∇=∇

∇

λμλμλμ

μ

λ

xLxLxLx

0

0),,(

≥

=∇

μ

λμμ μ xLT

Figura 14. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de una restricción de igualdad y dos variables.

Figura 15. Ilustración de las condiciones de Karush–Kuhn–Tucker para el caso de dos restricciones de desigualdad y dos variables.

Casos EspecialesCasos EspecialesSi falta una restricción en un PPNL, el multiplicador asociado a la restricción“ausente" es nulo y la restricción se elimina de la formulación de las condicionesausente es nulo, y la restricción se elimina de la formulación de las condicionesde KKT. En estos casos resulta:

(P bl i i i ) l l d ó1. (Problemas sin restricciones) En este caso solo se tiene la condición:

0)( =∇ Xf

2. (Problemas con restricciones de igualdad solamente) Las condicionesde KKT son una extensión del principio clásico del método de los multiplicadoresde Lagrange. Este método sólo surge con problemas que únicamente tieneng g g p qrestricciones de igualdad:

XhXf k

l

kk 0)()(

1=∇+∇ ∑

=λ

lkXhk ,...,1 ,0)( ==

3. (Problemas con restricciones de desigualdad solamente) Las condiciones de KKTC son:

m1,...,j ,0)(

0)()(1

=≤

=∇+∇ ∑=

j

m

jjj

Xg

XgXf μ

m1,...,j ,0

m1,...,j ,0)(

=≥

==

j

jj Xg

μ

μ

Ejemplo

Minimizar 21 xxZ +−=

0221

=+− xxsujeto a

00

04

2

1

22

21

≤−≤−

≤−+

xx

xx

Sean los multiplicadores asociados a la igualdad y las desigualdades,respectivamente. Las condiciones de KKT son:

1 La condición de estacionariedad del Lagrangiano es:

2

321 y , , μμμλ

1. La condición de estacionariedad del Lagrangiano es:

(8)⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−00

12

10

01

22

11 1

322

11

xxx

λμμμ

2. Las condiciones primales de factibilidad:

04

022

221

≤−+

=+−

xx

xx

(9)

00

04

2

1

21

≤−≤−

≤−+

xx

xx

3. Las condiciones complementarias de holgura son:(10)0)4( 2

2211 =−+ xxμ

(11)

(12)

3. Las condiciones duales de factibilidad son:0)(0)(

23

12

=−=−

xx

μμ

(13)

Caso I: . Si entonces usando (11), x1 = 0, y (8) implica que

0 , , 321 ≥μμμ

02 ≠μ 02 ≠μ ( ), 1 , y ( ) p q

P l l d ó l KKT

2μ 2μ

02101

312

2

=+−+=−−

λμμμ

x

1Puesto que y no se cumple la condición (13), entonces los puntos KKT deben satisfacer .

Caso II: , y . Si entonces usando (12), x2 = 0, y la relación

12 −=μ02 =μ

03 ≠μ 02 =μ 03 ≠μ

de (9) se obtiene x1 = 0, y con (8) resulta

por lo que todo punto KKT debe satisfacer .

0221 =+− xx

01=−

03 =μpor lo que todo punto KKT debe satisfacer .03μ

Caso III: , y . Si entonces usando (10) resulta , y con la condición de factibilidad, resulta el sistema de ecuaciones:

01 ≠μ 032 == μμ 01 ≠μ 04221 2

=−+ xx

La única condición que satisface el sistema (9) es , donde y,0

04

221

221 2

=+−

=−+

xx

xx

( )δδ ,=x171+−

=δq ( ) , y,con (8) resulta:

cuya solución es:

( )δδ ,x 2

0210221

1

1

=++=−+−

λδμλδμδ

cuya solución es:

21

0)21(2

21

δδλ

δδδδμ

−−

>+−

=

que es un punto KKT

Caso IV: .Usando (8), resulta el sistema de ecuaciones

)21(22 δδδλ

++=

0321 === μμμCaso IV: .Usando (8), resulta el sistema de ecuaciones 321 μμμ

01021 1

=+=−−

λλx

2y se obtiene la solución y . De (9), se obtiene , y puestoque se trata de un punto factible, es también un punto KKT.

1−=λ 2/11 =x 4/1212 == xx

Definición 6 (Restricción Activa)

Sea , y . La restricción de desigualdad se dice que es unanx ℜ∈ { }mj ,...,1∈ 0)( ≤xg j

restricción activa en el punto si ; por otro lado, se dice inactiva si

El conjunto de los índices de las restricciones activas se denota por , es decir

x 0)( =xg j .0)( <xg j

)(xI

{ }0)()( == xgjxI

Lema 1: Las CKKT son necesarias para un óptimo local de “la mayoría” de PPNL

{ }0)()( == xgjxI j

PPNL.

Condiciones SuficientesCondiciones SuficientesDefinición 7 (Función Convexa)

S d d S j í d L f ió f diℜSfSea , donde S es un conjunto convexo no vacío de . La función f se diceque es convexa en S si para cada par de puntos x1 y x2 y cualquier escalar t tal que

0≤t≤1, se tiene

ℜ→Sf : nℜ

)()1()())1(( 2121 XftXtfXttXf +≤+

Si se cumple la desigualdad estricta anterior, f se dice que es estrictamenteconvexa. Similarmente, una función f es cóncava si la desigualdad se cumple con la

)()1()())1(( 2121 XftXtfXttXf −+≤−+

gdesigualdad se cumple al revés, es decir, si (-f) es convexa.

Teorema 2 ( Óptimo global y local)Teorema 2 ( Óptimo global y local)

Considérese la función convexa , donde S es un conjunto convexo novacío de . Todo mínimo local de f en S es también un mínimo global de f en S.Además si f es estrictamente convexa hay a lo sumo un único mínimo global

ℜ→Sf :nℜ

Además, si f es estrictamente convexa hay a lo sumo un único mínimo global.

Las figuras 16, 17 y 18 muestran ejemplos de funciones convexa, cóncava y otra no convexa no cóncava.

Figura 16. Ejemplo Función Convexa. Figura 17. Ejemplo Función Cóncava.

Figura 18. Ejemplo Función No Convexa, No Cóncava.

Teorema 3 (Convexidad y diferenciabilidad)

Sea un conjunto convexo y diferenciable en S. Entonces f esnS ℜ⊂ ℜ→ℜnf :convexa en S si:

Además, f es estrictamente convexa en S si:

SXXXXXfXfXf T ∈∀−∇≥− 2112121 , );()()()(

, f

D fi i ió 8 (F ió d dif i bl )

212112121 con , );()()()( XXSXXXXXfXfXf T ≠∈∀−∇>−

Definición 8 (Función dos veces diferenciable)

Se dice que es dos veces diferenciable en el punto X si existe un vectorcolumna , y una matriz n x n , tal que

ℜ→ℜnf :)(Xf∇ )(2 Xf∇

0))(()(

21)()()()(

lim 2

2

=−

−∇−−−∇−−

→ XY

XYXfXYXYXfXfYf TT

xy

La matriz se llama la matriz Hesiana de f en el punto X. El elemento ij de

es la segunda derivada parcial . Por otra parte, si las derivadasi l ti t f di d ti t dif i bl

)(2 Xf∇

)(2 Xf∇ji XXXf ∂∂∂ /)(2

parciales son continuas, entonces f se dice dos veces continuamente diferenciable y,entonces es una matriz simétrica.)(2 Xf∇

Definición 9 (Matriz semidefinida positiva)

Una matriz simétrica A es semidefinida positiva si para cualquier vector0≥AXX T

X. Además, si la igualdad se cumple sólo cuando x = 0, entonces A sellama definida positiva.

0=AXX T

Teorema 4 (Funciones convexas)

Sea un conjunto abierto y convexo y sea dos veces diferenciableen S. Entonces, se cumple:

nS ℜ⊂ ℜ→ℜnf :, p

1. f es una función convexa en S si es una matriz semidefinida positiva para todo es decir

)~(2 Xf∇SX~todo , es decir

2. f es una función estrictamente convexa en S si es una matriz definida

SX ∈n2 Y ;0)~( ℜ∈∀≥∇ YXfY T

)~(2 Xf∇~positiva para todo , es decirSX ∈~

n2 Y ;0)~( ℜ∈∀>∇ YXfY T

Algunas funciones convexas importantes son:

1. Funciones Afines:

Sea , donde , , es una función afín. Entonces, la matrizHesiana es para todo . Puesto que esta función satisface elTeorema 4, es una función convexa. Nótese que f es también cóncava puesto que

aXbXf T +=)( ba y ℜ∈ nX ℜ∈

0)~(2 =∇ XF nX ℜ∈∀~

es igual a cero.

2 Formas cuadráticas:

)~)((2 Xf−∇

2. Formas cuadráticas:

Sea una forma cuadrática. Si la matriz C es semidefinidapositiva, entonces f es una función convexa, ya que la matriz Hesiana de f es

d

aXbCXXXf TT ++=21)(

CXf∇ )(2 para todo X.CXf =∇ )(2

Las operaciones que conservan la convexidad son:

1. Combinaciones lineales no negativas de funciones convexas.

Sean fi(X), i = 1,…, k funciones convexas, y sean , i = 1,…, k escalarespositivos. Considérese la función . Puesto que la suma de matricessemidefinidas positivas es también semidefinida positiva, entonces h es una función

iλ∑=

=k

iii XfXh

1)()( λ

convexa.

2. Composición primera.p p

Si h es convexa y T es una transformación lineal (o afín), la composición g = h(T)

también es convexa.

3. Composición segunda

Si g es convexa, y h es una función convexa no decreciente de una variable, lag ycomposición f = h(g) también es convexa.

4. Supremo4. Supremo

El supremo de una familia de funciones convexas es también una función convexa.

Condiciones Suficientes de Karush-K h T kKuhn-Tucker

Lema 2 (Problema de programación convexa)

C idé l bl d ió (PPC)Considérese el problema de programación convexa (PPC):

Minimizar )(XfZ =

sujeto a

donde f es convexa y diferenciable y S es un conjunto convexo. Entonces esun óptimo global si

SX ∈

SX ∈*un óptimo global si

SXXXXf T ∈∀≥−∇ ,0*)(*)(

Teorema 5 (Suficiencia de las condiciones de Karush-Khun-Tucker)

Considérese el PPNL

Minimizar )(XfZ =

sujeto a 0)(0)(

≤=

XgXh

Supóngase que existe una tripleta que satisface las CKKT. Sea

. Supóngase que f(X), gi(X) para todo y hk(X)

),,( λμX

{ } { }0y 0 <=>= −+kk kKkK λλ )(XIi∈

para todo son funciones convexas en , y que hk(X) para todo sonfunciones cóncavas en . Entonces es una solución global del PPNL.

+∈Kk nℜ −∈Kknℜ X

Ejemplo 1– Caso Especial sin Restricciones:

Sea convexa en y diferenciable en x* Entonces x* es una soluciónℜℜnf nℜSea convexa en y diferenciable en x . Entonces x es una soluciónglobal óptima del problema

ℜ→ℜnf : nℜ

nfZ ℜ)(Minimizar

si

nxxfZ ℜ∈= ),(

0)( * =∇ xf

La clase más importante de PPNL para los que las CKKT son siempre necesarias ysuficientes es la de los llamados programas convexos (PC) que consisten en

)(f

suficientes es la de los llamados programas convexos (PC), que consisten enminimizar una función objetivo convexa con un conjunto de restricciones tales quelas desigualdades son funciones convexas y las igualdades funciones afines, es decir:

Minimizar )(xfZ =

Sujeto a

donde f y g son funciones convexas y continuamente diferenciables y h es una

0)(0)(

≤=

xgxh

donde f y g son funciones convexas y continuamente diferenciables, y h es unafunción afín. Un caso particular importante es el problema de programación lineal,por lo que los resultados anteriores son totalmente aplicables a este problema.

En muchos casos tenemos el problema

Minimizar

donde r(x) y s(y) son funciones de dos variables x e y, respectivamente. Puesto que

2))()((),( ∑ −+=i

ii ysxrf βαβα

donde r(x) y s(y) son funciones de dos variables x e y, respectivamente. Puesto queα y no están restringidos, se trata de un problema sin restricciones, y las CKKTson:

β

∑ =−+=∂

iii xrysxrf 0)())()((),( βαβα

∑

∑

=−+=∂

∂∂

iii

iiii

ysxrf

y

0))()((),(

)())()((

βααβα

βαα

Mediante un reordenamiento de las anteriores Ecuaciones podemos obtener:

( )∑∑∑ =+ iiii ysxrxrxr βα )()()( 2

La solución del sistema es:

( )

( )∑∑

∑∑∑

=+i

ii

i

ii

ii

ii

i

ysnxr

y

βα

β

)(

)()()(

La solución del sistema es:

)))(()((

)()()()(22∑ ∑

∑ ∑∑

−

−=

i iii

i iii

iii

xrxrn

ysxrysxrnα

)))(()((

)()()()()(22

2

∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

−

−=

i iii

i iiii

i iii

i i

xrxrn

ysxrxrysxrβ

Teniendo en cuenta que maximizar una función es lo mismo que minimizar lamisma función cambiada de signo, el problema consiste en

Minimizar βα21 xxZ −=

21 =+ Caxxsujeto a

00

2

1

21

≤−≤−=+

xx

Caxx

donde son constantes, tales que , x1 y x2 son los niveles deinversión y de trabajo, respectivamente, y es la función de CobbD l d l i l d d ió f ió d b i bl l

0 ,0 >> βα 1≤+ βαβα21)2,1( xxxxf =

Douglas, que da el nivel de producción como función de ambas variables, y a es elcoste por unidad de trabajo. Además hay una restricción de dinero disponible C.Este es un PPC, pues las restricciones son lineales y la función objetivo es convexa.

BibliografíaBibliografía

“Formulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería yFormulación y Resolución de Modelos de Programación Matemática en Ingeniería yCiencia”, Enrique Castillo, Antonio J. Conejo, Pablo Pedregal, Ricardo García, NataliaAlguacil, 2002.