Prof. Richard Gómez Matemáticas 1

Tema 2

Matemática 5º Núcleo común

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FUNCIÓN CÚBICA

Tema

Richard Gómez Pereira Matemáticas 3

• Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así:

• f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d

• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”.

• La función cúbica, al igual que la cuadrática o la función lineal, forman parte de las llamadas funciones polinómicas, pues su característica principal es que su forma de expresión algebraica es un polinomio.

• Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función.

Función de Tercer Grado

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• Sea y = x3

• Tabla de valores

• x y

• -3 -27• -2 -8• -1 -1• 0 0• 1 1• 2 8• 3 27

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”.

27

-27

8

1

-8

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• DOMINIO• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. • El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R

• RECORRIDO• La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R• Se designa así: Img f(x) = R

• SIMETRÍA IMPAR• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d• Veamos si hay simetría impar: • f(-x) = a.(-x)3 + b.(-x)2 + c.(-x) + d • f(-x) = - a.x3 + b.x2 – c.x + d • Luego - f(-x) = a.x3 - b.x2 + c.x - d

• En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0

Dominio, imagen y simetría.

I 6

• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d

• CORTES CON EL EJE Y• Cortará al eje de ordenadas, Y, cuando x=0• Luego: y = a.03 + b.02 + c.0 + d = d • El punto de corte será: Pc = (0, d)

• CORTES CON EL EJE X• Cortará al eje de las x cuando y=0• Luego: 0=a.x3 + b.x2 + c.x + d Ecuación de

tercer grado.• Las tres raíces de la ecuación, si existen, serán

los puntos de corte de la función con el eje de las x.

• Al menos habrá una raíz real, y por tanto un punto de corte.

• Cortes: Pc = (x1, 0), Pc = (x2, 0), Pc = (x3, 0)

V

Pc Pc Pc

Pc

X

Y

Cortes con los ejes

@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7

• Ejemplo 1• • Sea la función: f(x) = x3 –3x + 2

• Cortes con ejes de coordenadas:• Con OY: f(0) = 2 Pc(0,2)• Con OX: 0 = x3 –3x + 2 • Factorizando por Ruffini:• f(x) = (x + 2)(x – 1)(x – 1) • Pc(-2, 0), Pc(1, 0), Pc(1, 0)

• Signo de la función (intervalos):• En (-oo, -2) f(-3)=-27+9+2 =-16 < 0• En (-2, 1) f(0) = 0 – 0 +2 =2 > 0• En (1, +oo) f(2) = 8 – 6 + 2 = 4 > 0

• Y ya podemos hacer un esbozo de la función.

Pc Pc

Pc

@ Angel Priet Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8

• Ejemplo 2• • Sea la función f(x) = - x3 + 4x• Cortes con ejes de coordenadas:• Con OY: f(0) = 0 Pc(0,0)• Con OX: 0 = - x3 + 4x• Factorizando el polinomio:• f(x) = – x (x2 – 4) = – x.(x + 2)(x – 2)• Pc(0,0) , Pc(-2, 0), Pc(2, 0)

• Signo de la función (intervalos):• En (-oo, -2) f(-3)= -(-27)-12 = 15 > 0• En (-2, 0) f(-1) = -(-1) – 4 = -3 < 0• En (0, 2) f(1) = -1 + 4 = 3 > 0• En (2, +oo) f(3) = - 27 + 12 = -15 < 0• Y ya podemos hacer un esbozo de la

función.

Pc Pc Pc

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• Ejemplo 3• • Sea la función: f(x) = 8 – x3

• Cortes con ejes de coordenadas:• Con OY: f(0) = 8 Pc(0,8)• Con OX: 0 = 8 – x3 • Factorizando por Ruffini:• f(x) = (x – 2).(– x2 – 2.x – 4) • Pc(2, 0)

• Signo de la función (intervalos):• En (-oo, 2) f(0) = 8 > 0 POSITIVO• En (2, +oo) f(3) = 8 – 27 = – 19 < 0 NEGATIVO• Y ya podemos hacer un esbozo de la función.

Pc

Pc

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• EJEMPLO DE FUNCIÓN POLINÓMICA DE ORDEN CUATRO

• Representar la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2

• CORTES CON LOS EJES• Puntos de corte con los ejes.• Con OY x = 0 y = 0 Pc (0,0)

• Con OX y = 0 (1/4).x4 – 2.x2 = 0• Sacando factor común a x2 • x2 [ (1/4).x 2 – 2 ] = 0 • x2 = 0 x=0 Pc(0, 0) • (1/4).x 2 – 2 = 0 x 2 = 8 x = ± 2√2

• Luego los otros dos puntos de corte son: Pc ( - 2√2 , 0) y Pc ( + 2√2, 0)• Nótese que dos de los tres puntos de corte con OX coinciden.

FUNCIÓN POLINÓMICA

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Ejemplo 1• Tenemos la función f(x) = (1/4).x4 – 2.x2

• Factorizada queda: • y = (1/4).x2.(x2 – 8)

• y = (1/4).x2.(x – √8)(x + √8)• y = (1/4).x2.(x – 2√2)(x + 2√2)• Se halla el signo de cada factor:

- oo – 2√2 0 2√2 +oo

( x + 2√2 )

( x – 2√2 )

- + + +

+ + + +

f(x) + - - +

Signo de la función

(1/4).x2

- - - +

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• TENDENCIA O RAMAS ASINTÓTICAS

• Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(- oo)4 – 2.(- oo)2 = + oo • x - oo

• Lím (1/4).x4 – 2.x2 = 0,25.(oo)4 – 2.(oo)2 = + oo • x + oo

Tendencia y Simetría

• SIMETRÍAS

• f ( - x) = (1/4).(-x)4 – 2.(-x)2 = (1/4).x4 – 2.x2

• Vemos que presenta simetría par, pues f (x) = f ( - x)

• Al tener simetría par (es función par) No puede tener simetría impar.

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-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

• Sea la función:

• y = (1/4).x4 – 2.x2

• Tabla de valores• x y

• -3 2• -2√2 0• -2 - 4• -1 -1,75• 0 0• 1 -1,75• 2 - 4• 2√2 0• 3 2