Problemas Resueltos
Problema 1.4:De Santis (1 970) dedujo una relacin para el factor de compresibilidad de gases reales de la forma:
Con , donde b es la correccin de Van der Walls y es el volumen molar. Si z = 0.892, cul es el valor de y?
Solucin:Como nos dan el valor de z = 0.892, lo reemplazamos en la expresin dada y obtenemos una ecuacin en funcin de y (f (y)):
Como ya conocemos la ecuacin, la graficamos:
De la grfica se observa que hay dos races, es decir, hay dos valores de y que cumplen con la condicin z = 0.892. Para conocer estas races aplicaremos el mtodo de Newton-Raphson:
Primera iteracin:Tomamos , ya que en la grfica se observa que es un punto cercano a la primera raz.
n=0
n=1
n=2
n=3Tolerancia = 110-4
0-0.5000-0.09490.4051
1-0.0949-0.03080.0641
2-0.0308-0.02900.0018
3-0.0290-0.02900
Por lo tanto el valor de la primera raz es:
Segunda iteracin:Ahora tomamos , ya que es otro punto que est cerca a la segunda raz.
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
Tolerancia = 110-4
03.00002.26160.7384
12.26162.00990.2517
22.00991.9730.0346
31.97531.97470.0006
41.97471.97470
Por lo tanto el valor de la segunda raz es:
Problema 1. 10:Las frecuencias de vibracin natural de una viga uniforme en un extremo es la solucin de la siguiente ecuacin:f(x) = cos(x).cosh(x) + 1 = 0 X= 2L/EIL: Longitud de la viga (m) : frecuencia (s-1)EI : rigidez ante la flexin(Nm2) : densidad del material de la viga(Kg/m3)Determine los valores de las tres races positivas ms bajasSolucin:
Hallando los intervalos ms prximos a la raz para luego resolverlo por el mtodo de la biseccin: Xf (x)
0.511.522.533.544.555.566.577.588.5+++------++++++--
1era raz
2da raiz
3era raz
1. Hallando la primera raz positiva en el intervalo [1.5; 2]
abcf(a)f(b)f (c)
1.521.75+-+
1.7521.875+-+
1.87521.9375+--
1.8751.93751.9063+--
1.8751.90631.8907+--
1.8751.89071.8829+--
1.8751.88291.8789+--
1.8751.87891.8769+--
1.8751.87691.8759+--
1.8751.87591.8755+--
1.8751.87551.8753+--
1.8751.87531.8752+--
1.8751.87521.8751+-+
1.87511.87521.8752+--
1.87511.87521.8752+--
X1= 1.8752
2. Hallando la segunda raz positiva en el intervalo [4.5, 5]abcf(a)f(b)f (c)
4.554.75-++
4.54.754.625-+-
4.6254.754.6875-+-
4.68754.754.7188-++
4.68754.71884.7032-++
4.68754.70324.6954-++
4.68754.69544.6915-+-
4.69154.69544.6935-+-
4.69354.69544.6945-++
4.69354.69454.694-+-
4.6944.69454.6943-++
4.6944.69434.6942-++
4.6944.69424.6941-++
4.6944.69414.6941-+-
X2 = 4.6941
3. Hallando la tercera raz positiva en el intervalo [7.5, 8]abcf(a)f(b)f (c)
7.587.75+-+
7.7587.875+--
7.757.8757.8125+-+
7.81257.8757.8438+-+
7.84387.8757.8594+--
7.84387.85947.8516+-+
7.85167.87947.8555+--
7.85167.85557.8536+-+
7.85367.85557.8546+-+
7.85467.85557.8551+--
7.85467.85517.8549+--
7.85467.85497.8548+--
7.85467.85487.8547+-+
7.85477.85487.8548+--
7.85477.85487.8548+--
X3 = 7.85478 Rpta: las tres races positivas ms bajas son X1, X2 y X3
Problema 1.20:La cada de presin P en de un fluido compresible circulando a lo largo de un conducto cilndrico rugoso de longitud L en pies y dimetro interno D en pulgadas, en rgimen constante, esta definido por:
Donde es ala densidad del fluido en , es la velocidad media del fluido (pies/s) y es el coeficiente de rozamiento de Moody (adimensional). Para las unidades indicadas, el fractor de conversin es 32. El coeficiente de rozamiento es de la rugosidad ( pulg) del tubo y del numero de Reynolds
Donde es la viscociadad del fluido en Para Re 2000, el valor de queda definida por la resolucin de la ecuacin de Colebrook:
Una buena iniciacin para la solucin de la ecuacin anterior por el mtodo iterativo puede ser el valor definido por la ecuacin de Blasius
Apropiada para el flujo turbulento en tubera lisa ( Encuentre el valor de , para el siguiente conjunto de datos:Datos 1equivalenciaDatos 2equivalencia
Q(gal.min)1700.38748.912.
D(pulg)3.0680.2556pie0.6220.05183 pie
L(pies)10.00010000 pies100100 pies
62.462.480.280.2
(lb/pies)0.00070.00070.050.05
(pulg)0.0020.083pies0.00054.166pies
2.-Hallando la velocidad mediaDel dato 1: Reemplazando
Del dato 2:Anlogamente:
Hallando el numero de Reynolds:Del dato 1:
Del dato 2:
Entonces como sabemos:Si:Re 2000
Para el dato 2:Re==64/=2.187
Reemplazando en :
Para el dato 1 entonces reemplazamos:Re=14009.7225> 2000
Asumimos un valor:
Aplicando el mtodo de Newton Raphson:
Reemplazando:
Error =0.09315-0.09314=
Hallamos
PROBLEMA 1.30:La ecuacin de estado de Van der Walls para un gas real, esta dado por:
En la que P es la presin en atm, v volumen en litros, T la temperatura absoluta en K, R la constante universal de los gases (0.082 L x atm / mol x K), a y b constantes que dependen de cada gas.
GASab
Dixido de carbono3.5920.04267
Dimetilamina37.490.1970
Helio0.034120.02370
Oxido ntrico1.3400.02789
NOTA: Si T Tc, donde (temperatura critica), temperatura por encima de la cual. El gas no puede ser licuado, por lo cual existir solamente una raz real de v.
Si existieran tres races v1< v2 < v3 y v1 y v3 corresponden respectivamente a los volmenes de liquido y vapor, mientras que v2 no tiene significado fsico. Asuma diversos valores P y T para cada uno de los gases mencionados y encuentre el o los valores de v, segn sea el caso.
RESOLUCION:
De la ecuacin de estado de Van der Walls se sabe:
Despejamos en funcin de V:
Para los clculos del volumen haremos uso del mtodo de Newton Raphson de 1er orden:
En el problema:
De los datos tenemos:
Ecuacin general para aplicar al problema:
Asumiendo 1 mol de gas
RESOLVIENDO PARA EL DIOXIDO DE CARBONO Tomaremos los siguientes valores de presiones y temperaturas:
P1 = 20, P2 = 40, P3 = 80;
T1 = 100, T2 = 200, T3 = 300,
TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.
PARA T1 = 100 K
Reemplazando en la ecuacin:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/20 = 0.41
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.410.2220.188
10.2220.05720.1648
20.05720.04770.009
30.04770.04780.0001
40.04780.04780
Por lo tanto el volumen ser 0.0478 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.
PARA T2 = 200 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/20 = 0.82
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.820.67820.1418
10.67820.60290.0753
20.60290.57590.027
30.57590.57230.0036
40.57230.57220.0001
50.57220.57220
Por lo tanto el volumen ser 0.5722 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.
PARA T3 = 300 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/20 = 1.23
nVnVn+1Vn+1- Vn
01.231.13630.0937
11.13631.11880.0175
21.11881.11820.0006
31.11821.11820
Por lo tanto el volumen ser 1.1182 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 20 atm = CTE.
PARA T4 = 400 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/20 = 1.64
nVnVn+1Vn+1- Vn
01.641.57690.061
11.57691.57150.005
21.57151.57150
Por lo tanto el volumen ser 1.5715 L a estas condiciones (P = 20 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.
PARA T1 = 100 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/40 = 0.205
NVnVn+1Vn+1- Vn
00.2050.09320.112
10.09320.04740.046
20.04740.04780.0004
30.04780.04780
Por lo tanto el volumen ser 0.0478 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.
PARA T2 = 200 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/40 = 0.41
NVnVn+1Vn+1- Vn
00.410.29420.12
10.29420.18750.11
20.18750.04310.14
30.04310.05590.013
40.05590.05690.001
50.05690.05690
Por lo tanto el volumen ser 0.0569 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.
PARA T3 = 300 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/40 = 0.615nVnVn+1Vn+1- Vn
00.6150.53020.085
10.53020.49650.034
20.49650.49070.006
30.49070.49050.0002
40.49050.49050
Por lo tanto el volumen ser 0.4905 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 40 atm = CTE.
PARA T4 = 400 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/40 = 0.82
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.820.76060.0594
10.76060.75000.0106
20.75000.74970.0003
30.74970.74970
Por lo tanto el volumen ser 0.7497 L a estas condiciones (P = 40 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.
PARA T1 = 100 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x100x1/80 = 0.1025
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.10250.05450.048
10.05450.04760.0069
20.04760.04760
Por lo tanto el volumen ser 0.0476 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 100 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.
PARA T2 = 200 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x200x1/80 = 0.205
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.2050.12590.0791
10.12590.06580.0601
20.06580.05590.0099
30.05590.05610.0002
40.05610.05610
Por lo tanto el volumen ser 0.0561 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 200 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.
PARA T3 = 300 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x300x1/80 = 0.3075
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.30750.23810.0694
10.23810.18790.0502
20.18790.14670.0412
30.14670.10340.0433
40.10340.08410.0193
50.08410.08720.0031
60.08720.08730.0001
70.08730.08730
Por lo tanto el volumen ser 0.0873 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 300 K) y solo tendremos una sola raz real.
TOMANDO COMO P = 80 atm = CTE.
PARA T4 = 400 K
Realizamos el mismo procedimiento anterior:
Tomaremos como V0= RTn/PReemplazando los datos:V0 = 0.082x400x1/80 = 0.41
nVnVn+1Vn+1- Vn
00.410.35760.0524
10.35760.33870.0189
20.33870.33610.0026
30.33610.3360.0001
40.3360.3360
Por lo tanto el volumen ser 0.336 L a estas condiciones (P = 80 atm, T = 400 K) y solo tendremos una sola raz real.
Procedemos de la misma manera con los dems gases a diferentes temperaturas y presiones.
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