Espacio métrico
Espacio Métrico
Espacio Métrico
Espacio Métrico
Distancias entre dos puntos
La DISTANCIA entre dos puntos P1(x1,y1,z1) y P2(x2,y2,z2) es
2 2 2
1 2 2 1 2 1 2 1,d P P x x y y z z
2 2 2, 0 1 1 0 0 1 3d P Q
Ejemplo.- Calcular la distancia entre los
puntos P(1,0,1) y Q(0,1,0)
Distancias de un punto a un plano
La DISTANCIA de un punto P(a,b,c) a un plano : A x + B y + C z + D = 0
(utilizando el producto escalar ) se cumplirá
1 2
1 2 3
2 2 2
2 2 2
3
cos ,
,
,
, , , ,
Siendo , , un punto del p la
n AP n AP n AP
n d P
n APd P
n
A B C a a b a c a
A B C
A a B b C c D
A C
A a a a
B
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no
y de la recta perpendicular que pasa po r P
Distancias de un punto a un plano
Ejemplo.- Calcular la distancia del punto P(3,2,-1) a un plano : 2x-y-2z+3=0
2 22
2 3 1 2 2 1 3, 3
2 1 2d P
Distancias entre planos paralelos
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos, basta con que tomemos
un punto cualquiera de un plano, y calculemos la distancia de dicho punto al
segundo plano.
Ejemplo.- Calcular la distancia entre los planos
1 : 9x-5y-7z+15=0
2 : (x,y,z) = (3,3,3) + (1,-1,2) + (3,4,1)
1 2 1 2 22
9 3 5 3 7 3 15 6, ,
1559 5 7d d P
Los dos planos son paralelos, ya que sus vectores normales son
proporcionales, es decir (9,-5,-7) = (-1) . (-9,5,7) = (-1).[ (1,-1,2) x (3,4,1)].
Tomando un punto de 2, por ejemplo P(3,3,3), se cumplirá
Distancias entre recta y plano paralelos
Para calcular la distancia entre una recta y un plano paralelos, basta con que
tomemos un punto cualquiera de la recta, y calculemos la distancia de dicho
punto al plano.
Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el plano
r : (x,y,z) = (1,3,-4) + (2,3,10)
: 4x + 4y - 2z -3 =0
22 2
4 1 4 3 2 4 3 7, ,
24 4 2d r d P
Dado que la recta y el plano son paralelas, ya que el producto escalar del
vector director de la recta y el vector normal es cero, es decir:
(2,3,10) (4,4,-2) = 0
Tomando un punto de r, por ejemplo P(1,3,-4), se cumplirá
Distancias de un punto a una recta
La DISTANCIA de un punto P(x0,y0,z0) a la recta r de vector director u, que
pasa por un punto A(a1,a2,a3), (utilizando el producto vectorial x ) se cumplirá
1 2 3 0 1 0 2 0 3
2 2 21 2 3
1 2 3
,
,
,
, , , ,
Siendo , , un punto de la rec
ta r
u AP u AP sen u AP
u d P r
u APd P r
u
u u u x a y
A a a a
a z a
u u u
����������������������������������������������������������������� �����
������������� �
Para hallar la distancia entre dos rectas paralelas r y s, basta con que
tomemos un punto cualquiera de P de r y hallemos d(P,r)
Distancias de un punto a una recta
Ejemplo.- Calcular la distancia entre la recta y el punto
r : (x,y,z) = (2,3,4) + (-1,2,1)
P(3,-3,1)
2 2 2
1,2,1 1,6,3 10,
31 2 1
u PAd P r
u
������������� �
Dado que P(3,-3,1) no es un punto de r, como se puede comprobar
sustituyendo en la ecuación, Tomando A(2,3,4) se cumplirá
Distancias entre dos rectas que se cruzan
La DISTANCIA entre dos rectas r y s, que se cruzan, (utilizando el producto
mixto [ ] ), si Pr y Ps son dos puntos cualesquiera de r y s se cumplirá
( , ) cos ,
, ,
S
i r y
r s r s r s
r s r s
r s
r s r s
r s r s r s r s
r s r s
d r s P P u u P P
u u P PP P
u u P P
u u P P u u P P
u u u u
������������������������������������������
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���������������������������� ������������������������������������������
����������������������������
s son coplanarias es , , 0r s r su u P P ������������������������������������������
Distancias de un punto a una recta
Ejemplo.- Calcular la distancia entre las rectas
2 3 2: : 5
5 2 3 2 3
x y z x zr y s y
22 2
5 2 3
2 1 3
, , 0 7 6 1 3 3,
5 2 3
2 1 3
84 84
913 9 1
r r r s
r r
u u P Pd r s
u u i j k
������������������������������������������
����������������������������
Tomando Pr(7,-1,3) y Ps(0,6,3), será
Producto vectorial
Producto vectorial
Producto vectorial
Producto mixto
Producto mixto
Perpendicular común a dos rectas que se cruzan
Perpendicular común a dos rectas que se cruzan