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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINAFACULTAD DE INGENIERIA AGRICOLA

DEPARTAMENTO DE RECURSOS HIDRICOS

8-4-2015

Integrantes:

Chipana Briceño, Frank

Carranza Portocarrero, Katarine

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1. INTRODUCCIÓN

1.1 Objetivos Determinar el valor máximo o mínimo de una celda cambiando otras celdas, por

ejemplo, puede cambiar el importe del presupuesto previsto para publicidad y ver

el efecto sobre el margen de beneficio.

Ajustar los valores en las celdas cambiantes que se especifiquen, denominadas

celdas ajustables, para generar el resultado especificado en la fórmula de la celda

objetivo.

Buscarse el valor óptimo para una fórmula (fórmula: secuencia de valores,

referencias de celda, nombres, funciones u operadores de una celda que producen

juntos un valor nuevo).

1.1.2 Objetivos generales

Que el alumno al terminar la práctica sea capaz de entender y modelar los

problemas con las condiciones del mismo para ser resuelto tanto en el papel (por

el método gráfico) como en ”Solver” del Excel.

1.1.3 Objetivos específicos Que el alumno tenga la facilidad del manejo de programas de optimización, en

este caso de maximización de un problema.

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2. MARCO TEORICO

2.1PROGRAMACION LINEAL

La Programación Lineal estudia la optimización (maximización o minimización)

de una función lineal en presencia de restricciones lineales de igualdad y/o

desigualdad.

Es una de las herramientas más importantes en la gestión y asignación de

recursos.

Se trata de asignar o localizar un número de recursos limitados, entre diversas

actividades.

Se busca la solución que mejor valor tenga para la función objetivo y, a su vez,

verifique todas las restricciones impuestas al modelo.

Aplicaciones Comunes de Programación Lineal:

Finanzas: el problema del inversor podría ser un problema de selección del mix

de su cartera de inversiones. En general, la variedad de carteras puede ser mucho

mayor que lo que indica el ejemplo y se pueden agregar muchas más restricciones

distintas. Otro problema de decisión implica determinar la combinación de

métodos de financiación para una cantidad de productos cuando existe más de un

método de financiación disponible. El objetivo puede ser maximizar las ganancias

totales cuando las ganancias de un producto determinado dependen del método

de financiación.

Administración de Producción y Operaciones: muchas veces en las

industrias de proceso, una materia prima en particular puede transformarse en

una gran variedad de productos. Por ejemplo, en la industria petrolera, el crudo

puede refinarse para producir nafta, kerosene, aceite para calefacciones y distintas

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clases de aceite para motor. Según el margen de ganancia actual de cada producto,

el problema es determinar la cantidad que se debería fabricar de cada producto.

Esta decisión está sujeta a numerosas restricciones tales como límites de las

capacidades de diversas operaciones de refinado, disponibilidad de materia prima,

etc.

Recursos Humanos: los problemas de planificación de personal también se

pueden analizar con programación lineal. Por ejemplo, en la industria telefónica, la

demanda de servicios de personal de instalación / reparación, son estacionales. El

problema es determinar la cantidad de personal de instalación / reparación y

reparación de líneas que debemos tener incorporada en la fuerza laboral por cada

mes a fin de minimizar los costos totales de contratación, despido, horas extras y

salarios en horas ordinarias. El conjunto de restricciones comprende restricciones

con respecto a la demanda de servicio que se debe satisfacer, uso de horas extra,

acuerdos con los sindicatos y la disponibilidad de personal calificado para

contratar.

Marketing: se puede utilizar la programación lineal para determinar el mix

adecuado de medios de una campaña de publicidad. Supóngase que los medios

disponibles son radio, televisión y diarios. El problema es determinar cuántos

avisos hay que colocar en cada medio. Por supuesto que el costo de colocación de

un aviso depende del medio elegido. El objetivo es minimizar el costo total de la

campaña publicitaria, sujeto a una serie de restricciones.

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Distribución: otra aplicación de programación lineal es el área de la distribución.

Considere un caso en el que existen m fábricas que deben enviar productos a n

depósitos. Una determinada fábrica podría realizar envíos a cualquier cantidad de

depósitos. Dado el costo del envío de una unidad del producto de cada fábrica a

cada depósito, el problema es determinar el patrón de envío (cantidad de unidades

que cada fábrica envía a cada depósito) que minimice los costos totales.

2.2Solver

El Solver es una herramienta de Microsoft Excel que, entre otras funcionalidades, sirve

para resolver problemas de programación lineal.

Antes de utilizar el Solver debemos tener claro cuál es nuestro problema. Es decir, cual

es la función objetivo y cuáles son las restricciones. Luego, debemos ingresar los datos

del problema en el modelo del Solver. Cabe aclarar que llamamos “modelo” a la

planilla de Excel que utilizamos para ingresar los datos del problema.

Por otro lado, podemos decir que los elementos de un Modelo de Programación Lineal

son: los Parámetros y las Variables.

Las variables son aquellas sobre las que se pueden tomar decisiones y losparámetros

son las constantes del modelo (coeficientes de la función objetivo, coeficientes de las

restricciones, lado derecho de las restricciones).

Entonces, al resolver el problema busco hallar los valores de las variables de manera

que maximice la función objetivo, sujeta a las restricciones dadas. La determinación de

los valores apropiados que deben asignarse a los parámetros del modelo es crítica.

A veces, el valor asignado a un parámetro es, por necesidad, sólo una estimación,

debido a la incertidumbre sobre el valor real del parámetro, es importante analizar la

forma en que cambiaría (si es que cambia) la solución derivada del problema si el valor

asignado al parámetro se cambiara por otros valores posibles; este proceso se conoce

como análisis de sensibilidad.

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2.2.1 Informe de Sensibilidad.

El informe de sensibilidad suministra detalles adicionales de la optimización.

Solver genera dos tablas en este informe: una para las variables y la otra para las

restricciones. El análisis de sensibilidad es el estudio de cómo los cambios en uno de

los parámetros del problema afectan a la solución óptima.

Glosario de términos del informe de Sensibilidad

• Parámetros o Coeficientes. Los parámetros son constantes usadas en el

problema para determinar la función objetiva y los recursos disponibles (restricciones

o RHS).

• Valor Final Indica la solución óptima obtenida.

• Gradiente Reducido (Costo Reducido o Costo de

Oportunidad) Las actividades que entran en el plan óptimo tienen un costo

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reducido igual a cero, mientras que las que no entran tienen un costo reducido

negativo.

• Coeficiente Objetivo son los precios netos de cada actividad.

• Aumento Permisible Indica en cuanto se puede aumentar un coeficiente

objetivo (precio neto) sin que cambie la solución óptima.

• Disminución Permisible Indica en cuanto puede disminuir un coeficiente

objetivo (precio neto) sin que cambie la solución óptima.

• Rango de Optimalidad Se forma a partir de los coeficientes objetivos y de

los aumentos y disminuciones permisibles. La solución óptima de un modelo de

Programación Lineal no cambia si un coeficiente objetivo de alguna variable en la

función objetiva cambia dentro de cierto rango. Solo se permite el cambio de un

coeficiente.

• Valor Final Indica la cantidad de los recursos disponibles utilizados en el proceso

productivo.

• Precio Sombra (o Precios Duales). Es el cambio marginal en el valor de

la función objetiva óptima que se produce si se modifica una restricción (es decir si se

incremente en una unidad).

• Restricción Lado Derecho (Constraints). Son límites físicos,

económicos, tecnológicas, o de cualquier otra índole, que se imponen a las variables

de decisión.

• Aumento y Disminución Permisible Indica en cuanto se puede

aumentar/disminuir el recurso disponible sin que se modifique la solución óptima.

• Rango de Factibilidad Indica que el valor del precio de sombra permanecerá

sin modificación alguna, siempre y cuando la restricción en cuestión permanezca

dentro del llamado rango de factibilidad.

2.3 Función objetivo optimizado

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La relevancia de los problemas de optimización en el mundo empresarial ha generado la

introducción de herramientas de optimización cada vez más sofisticadas en las últimas

versiones de las hojas de cálculo de utilización generalizada. Estas utilidades, conocidas

habitualmente como «solvers», constituyen una alternativa a los programas

especializados de optimización cuando no se trata de problemas de gran escala,

presentado la ventaja de su facilidad de uso y de comunicación con el usuario final.

◦ Construcción de un modelo de optimización:

La introducción de un modelo de optimización, un programa lineal en nuestro ejemplo, se

puede sintetizar en cuatro fases:

1. Organizar los datos del modelo en la hoja de trabajo. Si bien son múltiples las posibles

formas de diseñar el formato y colocación de los datos de entrada, es recomendable

seguir los mismos principios que en toda aplicación con hoja de cálculo: pensar en la hoja

como un informe que explique el problema, identificar los datos introducidos, colocar

comentarios, introducir todos los datos iniciales del problema y construir a partir de los

mismos el modelo de optimización con el objeto de facilitar el análisis de sensibilidad,

utilizar técnicas de diseño para presentar el modelo, etc. Por otra parte, interesa organizar

el programa según el formato del gráfico I con el objeto de ilustrar la propia estructura del

modelo.

2. Reservar una celda para cada variable de decisión. Siguiendo el esquema de un

programa matemático, es recomendable que inicien la hoja de trabajo. Deberán estar

vacías o con datos numéricos, nunca fórmulas, y a ser posible con notas o comentarios.

3. Crear una celda para la función objetivo próxima a las que recogen las variables. La

fórmula que incorpora deberá crearse a partir de las celdas descritas en el punto anterior.

4. Para cada restricción, crear una celda que recoja la fórmula de su parte izquierda, y a la

derecha de dicha celda colocar el término independiente. La estructura recomendable es la

que se recoge en el gráfico I dado que permite reducir el trabajo en la fase de introducción

del problema, facilita la detección de errores y simplifica su resolución con el «solver»

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3. DESARROLLO DEL EJERCICIO EN CLASE

3.1 OPTIMIZACIÓN

Para realizar la ejecución de la optimización del problema, se realiza los siguientes pasos

en una de hoja de cálculo de Excel:

1. Organizar los datos del modelo en la hoja de trabajo. Si bien son múltiples las

posibles formas de diseñar el formato y colocación de los datos de entrada, es

recomendable seguirlos mismos principios que en toda aplicación con hoja de

cálculo: pensar en la hoja como uniforme que explique el problema, identificar los

datos introducidos, introducir todos los datos iniciales del problema y construir a

partir de los mismos el modelo, utilizar técnicas de diseño para presentar el

modelo, etc. Por otra parte, interesa organizar el programa según el formato del

gráfico I con el objeto de ilustrar la propia estructura del modelo.

2. Reservar una celda para cada variable de decisión. Siguiendo el esquema de un

programa matemático, es recomendable que inicien la hoja de trabajo. Deberán

estar vacías o con datos numéricos, nunca fórmulas.

3. Crear una celda para la función objetivo próximo a las que recogen las variables.

La fórmula que incorpora deberá crearse a partir de las celdas descritas en el

punto anterior.

4. Para cada restricción, crear una celda que recoja la fórmula de su parte izquierda,

y a la derecha de dicha celda colocar el término independiente. La estructura

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recomendable es la que se recoge en el gráfico I dado que permite reducir el

trabajo en la fase de introducción del problema, facilita la detección de errores y

simplifica su resolución con el «solver».

GRAFICO I

3.2 PROGRAMACIÓN LINEAL.

Una vez introducidos los datos, el programa se resuelve ejecutando el comando

«Solver» situado dentro del menú de Herramientas. Para ello es preciso tener en cuenta la

siguiente equivalencia de términos:

En el GRAFICO II se recogen los parámetros del «Solver» para el problema del gráfico I. La

función objetivo (celda G5) se coloca como celda objetivo, señalando la opción «Max» que

indica que el programa es de máximo. Las variables de decisión se señalan recogiendo el

rango de celdas que ocupan (D4:E4) en el cuadro de celdas cambiantes.

Celda objetivoFunción objetivo

Celdas cambiantesVariables de decisión

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GRÁFICO II

Para introducir las restricciones se presiona el botón de «Agregar» generando el

despliegue de una nueva pantalla (GRÁFICO III). En la parte izquierda (Referencia de celda)

se introduce la celda que recoge la fórmula matemática que refleja la parte izquierda de la

restricción (la celda E9 en el caso de la primera restricción). En la parte derecha se recoge

la celda, o directamente el valor numérico, del término independiente de la restricción. En

el cuerpo central se selecciona el signo de la restricción. Excel 2013 permite los tres

posibles signos permitidos en la programación lineal (<=, =, >=), además de int, bin y dif.

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GRÁFICO III

Una vez introducido la primera celda ponemos agregar y así sucesivamente con las demás

restricciones. Los botones «Cambiar» y «Eliminar» permiten modificar y

borrarrespectivamente alguna de las restricciones.

Le damos aceptar y aparecen ya en el espacio donde dice sujeto a las restricciones,

además de activar el casillero que aparece debajo del cuadro “convertir variables sin

restricciones en no negativas”, (GRAFICO IV), señalamos también el método que

deseamos que utilice el “solver” (GRG Nonlinear, Simplex LP o Evolutionary) en este caso

utilizaremos el método Simplex LP como está representado en el grafico IV y “Resolver”.

GRAFICO V

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Aparece un cuadro donde nos pide que desea que nos muestre del proceso de

optimización, lo que deseamos es que se nos muestre todo,así que activamos “responder,

confidencialidad y límites “, por ultimo damos “aceptar” y nos arroja todos los análisis y

resultados en la misma hoja de cálculo como en 3 nuevas hojas (GRAFICO VI)

GRAFICO VI

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4. DATOS OBTENIDOS

4.1 Reporte de respuesta: este reporte nos indica los resultados de la

maximización por el método complex, como se muestran en los siguientes

cuadros:

Celda objeto (Máx): indica el valor inicial y final del funcional.

Celdas de variables: Indican los valores y finales de las variables de

decisión.

Restricciones:

Valor de la celda: indica el valor final de las ecuaciones

Formula: es la fórmula de cada restricción.

Estado: es el estado de la variable si es que se usa todo o no.

Demora: es el valor de lo sobrante.

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4.2 Reporte de límites:

En este reporte se representa las cantidades finales de cada uno de las variables y

el valor de la ecuación a optimizar.

Amarillo: indica el valor más bajo que puede tomar esa variable y cuál

será el valor del objetivo en ese caso.

Verde: indica el valor más alto que puede tomar la variable y cuál será el

valor del objetivo en ese caso.

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4.3 Reporte de confidencialidad:

La primera parte se analiza de los productos:

Rojo: valor de costo de oportunidad de producir la otra variable.

Naranja: son los valores de los coeficientes de la función objetivo.

Amarillo: valores máximos que puede tomar los coeficientes de la función

objetivos sin que cambie el óptimo.

Celeste: valores mínimos que puede tomar los coeficientes de la función

objetivos sin que cambie el óptimo.

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La segunda parte se analiza de los recursos:

Azul: representa los valores marginales de los productos.

Morado: los valores de las cantidades que se pueden usar como máximo.

Plomo: valores máximos que pueden tomar los recursos disponibles sin

que cambie el óptimo.

Verde: valores mínimos que pueden tomar los recursos disponibles sin

que cambie el óptimo.

Formas graficas:

Se grafican las graficas de restricciones las cuales algunas se interceptan y se halla la zona mas cercano pegado a los ejes (zona sombreada)

Con la ayuda de la recta que se quiere maximizar, en este caso la funcion Z, se empieza hallar sus paralelar hasta que se intercepte con alguno de los cuatro puntos (color azul) y se escoge el que esta en la zona mas alejada.

Max Z cambiando sus coeficientes:

Coeficiente de X: (20000-10000)

10000X+10000Y = 250000

(20000+10000) 30000X+10000Y = 650000

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Coeficiente de Y: (10000-10000)

20000X+0Y = 400000

(10000+10000) 20000X+20000Y = 500000

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5. DISCUSIÓN Es un método más practico que el optimización por el método gráfico, además que

se hace muy eficiente y practico al momento de trabajar con varias restricciones, lo

cual se volvería complicado si se trabajaría por el método gráfico solo hay que

saber interpretar los datos que nos arroja el Excel después de haber ejecutado el

Excel.

En el informe de confidencialidad al botar los datos del precio sombra de las restricciones del agua y la de sorgo es cero, esto significa que el valor de nuestro valor objetivo no va ha cambiar así aumentemos o disminuyamos a cantidades permisibles.

6. CONCLUSIONES Las actividades que antes se realizaba con lápiz y papel, ahora se realizan en un

menor tiempo y precisión, aun con varios datos, aprovechando los múltiples

programas que existen para llevarlo a cabo, como en este caso de optimización

utilizando el Solver del Excel.

El coeficiente es 20000 y se le redujo 10000 quedando un coeficiente de 10000X, nos dimos cuenta que al graficar cambia la pendiente y el Z da un valor de 250000 y a la vez tiene la misma pendiente que uno de los lados límites del área sombreada, la cual es escogida para trabajar los rangos.

7. RECOMENDACIONES Es bueno y necesario como alumnos de ingeniería, que tengamos conocimientos

de diversos programas para realizar nuestras diversas labores que se nos presenta

y no solo eso sino también entender los resultados que nos dan dichos programas.

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8. BIBLIOGRAFÍA Aieta, Joseph F. (1997). Excel Companion Appendix B. Linear Optimization Problems Using

Excel Solver. http://faculty.babson.edu/aieta/exclcmpn/AppndxB/appndixb.htm Lab Lecture #3 Excel Solver. Introduction to Solver.

http://home.rochester.rr.com/tweak/Lab%203%20--%20Excel%20Solver.html Lab Lecture #4. Excel Solver and Sensitivity Analysis. General LP Problem

http://home.rochester.rr.com/tweak/Lab%204%20-- %20Excel%20Solver%20and%20Sensitivity%20Analysis.html

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