Download - Presentación geometría fractal!

Universidad Pedaggica Nacional Francisco Morazn Facultad de Ciencia y Tecnologa Departamento de Matemticas Tpicos en Fsica, Matemtica y Computacin Catedrtico: Dr. Adalid Gutirrez

GEOMETRA FRACTAL

Introduccinv

Cuando la Matemtica estudia la realidad, la simplifica, bien considerando que los procesos son lineales, bien suponiendo que las formas son suaves y regulares. Pero el uso de las computadoras, que permite la rpida repeticin de procesos, ha permitido ampliar el campo y estudiar, por ejemplo, los sistemas dinmicos no lineales, que ocasionan fenmenos complejos como el caos, y investigar las formas irregulares que dan lugar a la geometra fractal.

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Esquema1.-Breve historia de la geometra fractal 2.-Qu es un fractal? Dnde hay fractales? 3.- Caractersticas de los fractales 3.1.- Autosimilitud 3.1.1.- Perfecta 3.1.2.- Estadstica 3.2.- Dimensin fraccionaria 4.- Tipos de fractales 4.1.- Lineales 4.1.1.- Conjunto de Cantor 4.1.2.-Demostracin de la 4.1.4- Tringulo de 4.2.- Complejos 4.2.1.- Conjunto de Julia 4.2.2.- Conjunto de 4.3.- Caticos 4.3.1.- Mariposa de Lorentz 5.- Aplicacin de los fractales 6.- Presentacin de videos Mandelbrot dimensin fractal 4.1.3- Curva de Koch (Copo de nieve de Koch) Sierpinski

Breve historia de la Geometra FractalLos fractales tienen su origen con la aparicin de ciertos ejemplos en matemticas que rompen de manera radical con el concepto de continuidad que tenan los filsofos y matemticos hasta antes de mediados del siglo XIX. Motivado por el problema de los tres cuerpos, Henri Poincar, inici un estudio cualitativo en el que emple tcnicas topolgicas, geomtricas y de iteracin de funciones. ste estudio permiti que florecieran ramas como la geometra diferencial y la topologa algebraica.

Slo hasta que surgieron los trabajos de Pierre Fatuo y Gastn Julia en 1920, la dinmica de funciones analticas complejas se retom. Ellos lograron predecir qu tan intrincados podan ser los conjuntos que presenten un conjunto catico. Sin embargo estos estudios se paralizaron porque en esa poca no se contaba con herramientas (como computadoras) que permitieran visualizar los resultados.

Breve historia de la Geometra Fractal

en Geometra Fractal se inician a partir de 1970 con el trabajo de divulgacin realizado por Benoit Mandrelbrot quien mostr desde una perspectiva intuicionista la aplicacin inmensa que podran tener las estructuras fractales En 1980, gracias al avance de las computadoras y las grficas que representa, descubri el conjunto de Mandelbrot, que haba aparecido en los trabajos de Fatou.

Breve historia de la Geometra Fractal Las investigaciones, propiamente dichas

Qu es un fractal?No es fcil definir fractal objetivamente, puesto que se trata de una realidad abstracta. Sin embargo, nos acercaremos al concepto con la siguiente definicin: Un fractal es un objeto geomtrico cuya estructura se repite en diferentes escalas. Esta estructura puede ser generada por un proceso recursivo o iterativo capaz de producir estructuras similares independientemente de la escala de visualizacin. Los fractales se caracterizan del siguiente modo:v

Un fractal es un objeto matemtico que conforma la teora del caos.

Dnde hay fractales?v

Fronteras: costas, montaas, la orilla de un ro, los bordes de una nube... Sistemas ramificados: rboles, el sistema arterial o pulmonar... Simular imgenes con gran ahorro de memoria en el ordenador Prediccin en bolsa Prediccin de la extincin de especies en Biologa

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Caractersticas de los fractalesAutosimilitud *Perfecta: Cada porcin de un objeto tiene exactamente las mismas caractersticas del objeto completo.

*Estadstica: Cada regin de un objeto conserva, de manera estadsticamente similar, sus caractersticas globales.

Caractersticas de los fractalesDimensin fraccionariaAntes de que surgiera la geometra fractal se pensaba que todos los objetos existentes en la naturaleza tenan una, dos o tres dimensiones. Es decir se podan representar dentro de una lnea, en un plano o en el espacio. De hecho las magnitudes existentes refuerzan esto: longitud para figuras unidimensionales; el rea para figuras bidimensionales o el volumen para figuras tridimensionales.

Dimensin fraccionariaLa dimensin est relacionada con la posibilidad de movilizarse en el espacio. La dimensin fractal es la que no se puede calcular a partir de la geometra de Euclides.v v v v

La dimensin 0 es el punto La dimensin 1 es la lnea La dimensin 2 es un plano La dimensin 3 es un espacio

Diferentes Tipos de FractalesFractales

Son los objetos geomtricos de la Teora del Caos

LinealesAutosimilitud Perfecta Dimensin Fractal fcil de calcular con: S = LDSe crean a partir de: -Un generador -Un algoritmo de repeticin

ComplejosAutosimilitud Estadstica Dimensin Fractal difcil de calcular. Se crean a partir de: -Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia

Caticos Poseen estructura Fractal. Autosimilitud Estadstica Se requieren mtodos de medicin ms complejos que la Dimensin Fractal. Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones DiferencialesEjemplo: Atractor de Lorentz Modela el Clima Meteorolgico

Ejemplo: Conjunto de Cantor y Trigulo de Sierpinski

Fractales Lineales

Conjunto de Cantor

A G. Cantor le pertenece la creacin de la teora de conjuntos infinitos y los nmeros transfinitos. l demostr la no equivalencia de los conjuntos de nmeros racionales y reales. Durante los aos 1879 a 1884 elabor de forma sistemtica la teora de conjuntos, introduciendo el concepto de potencia de un conjunto, el concepto de punto lmite, de conjunto derivado...

Conjunto de CantorPartimos del intervalo 0,1, que denominamos C0.Obtenemos

C1 removiendo el tercio central de C0, de que resulta:

Ck reunin de 2k subintervalos cerrados, cada uno de longitud 3-k.{Ck} es montona decreciente:

C0 C1 C2 ... Ck ...;

C = Ckk =0

Construccin geomtrica del conjunto de CantorTomamos el intervalo unitario [0,1] de la recta real. Dividimos este intervalo en tres sub-intervalos iguales. De esta manera obtenemos los siguientes intervalos

El primer paso para la construccin del conjunto de Cantor consiste en suprimir el sub-intervalo abierto intermedio, es decir suprimir . De este modo tenemos que C1 es la unin de los intervalos restantes o sea:

El segundo paso consiste en repetir el mismo proceso a cada uno de los intervalos que componen a C1, de este modo obtenemos que:

Este proceso se sigue indefinidamente, en general Cmse construye dividiendo en tres partes iguales a cada uno los intervalos que componen a Cm y borrando los intervalos abiertos intermedios. Finalmente el conjunto de Cantor se denotar por la letra C y se define como la interseccin de todos los conjuntos Cm,

es

decir:

Si tenemos un espacio mtrico (X,d), donde A es un subconjunto compacto no vaco de X, tomamos B (x,), para > 0, con esferas de radio y centro en el punto x. Queremos calcular el menor nmero de esferas cerradas de radio y necesarias para cubrir el conjunto A, denotado por N (A,). N (A,): es el menor nmero entero tal que: donde xn es un conjunto de puntos distintos {xn:1,

Demostracin Dimensin Fractal

Llamamos C al conjunto de todas las cubiertas de A que tienen como mximo M esferas cerradas de radio . Por tanto definimos f (c) como el nmero de esferas de la cubierta de c que pertenece a C: f: C {1,2,3,M}


Por tanto, f (c) es un conjunto de nmeros enteros positivos y este conjunto contiene un nmero menor, N (A,). Donde K=f(c)


Demostracin Dimensin FractalCuando tiende a 0, el trmino ln K / ln(1/) tambin tiende a 0, esto nos conduce a la siguiente: Definicin: Sea A un subconjunto de X donde (X, d) es un espacio mtrico. Y sea N (A,) el menor nmero de esfera cerradas de radio >0 necesarias para cubrir el conjunto A. Decimos que D es la dimensin fractal de A, si existe:

Curva de Koch

Estructuras como stas se conocen desde hace mucho tiempo en el campo de las matemticas. Quiz uno de los ejemplos ms representativos sea la curva construida por el matemtico sueco Helge von Koch en 1904. Para dibujarla basta tomar un tringulo equiltero como figura inicial y aadir en el centro de cada uno de sus lados un nuevo tringulo equiltero tres veces ms pequeo que el original Repitiendo indefinidamente este proceso se obtiene la curva o copo de nieve de Koch.

un tringulo equiltero cuyos lados tengan longitud 1. En el centro de cada lado se aade otro nuevo tringulo equiltero de lado 1/3 del anterior, obteniendo as una bonita estrella de David.

Construccin de la curva de Para su construccin se comienza con Koch

Curva de KochTringulo sobre tringulo hasta el lmite de cualquier imaginacin, la curva as construida resulta indibujable, pues la forma del contorno se repite a todos los niveles. Cada punto sobre ella, si lo explorramos con una lupa, nos revelara siempre los mismos secretos; tringulo sobre tringulo, indefinidamente.

Tringulo de SierpinskiEl matemtico polaco Waclaw Sierpinski introdujo este fractal en 1919.

Partamos (iteracin n=0) de la superficie de un tringulo equiltero de lado unidad. Seguidamente (iteracin n=1) tomemos los

Tringulo de SierpinskiSi repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada tringulo de Sierpinski. Por su construccin el tringulo de Sierpinski es un conjunto compacto de permetro infinito y rea nula. Sierpinski dise este monstruo para demostrar, entre otras cosas, que era posible construir una curva que se "cruzaba" consigo misma en todos sus puntos ...

Fractales Complejos

A finales de los 70s Benoit Mandelbrot incursion en un rea de las matemticas que lo llev a construir algunos de los objetos geomtricos ms complejos y hermosos que se conocen. Lo increble es que el procedimiento que utiliz para hacerlo es muy sencillo: slo hay que repetir y repetir una operacin un sinnmero de veces.

Iteraciones

IteracionesAl aplicarla sobre un valor inicial cualquiera, por ejemplo, xo=2, el primer clculo nos dara x1=(2)2=4; despus x2=(4)2 =16, y x3=(16)2=256, y as seguimos. La secuencia de nmeros que se genera: 2 4 16 256 65536 ... se denomina la rbita de la iteracin, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, , en este caso) se le llama su atractor. Si el valor inicial elegido es distinto, x=0.5, por ejemplo, la rbita ser:

Conjunto de JuliaEl trabajo pionero en el juego de hacer iteraciones con nmeros complejos fue desarrollado por dos matemticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou. Benoit Mandelbrot recuper su anlisis sobre el comportamiento de los nmeros complejos. Esta iteracin dice simplemente: toma un nmero y elvalo al cuadrado (multiplcalo por s mismo), smale la constante c que elegiste, y

Conjunto de JuliaDesde 1906, Fatou haba demostrado que para cada valor de c, la aplicacin de esta iteracin sobre todos los puntos del plano complejo genera rbitas que en su mayora terminan en z =>, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteracin detecta puntos fijos; rbitas peridicas donde se repite la misma secuencia de nmeros despus de cierto nmero de iteraciones, o puntos que escapan hacia atractores finitos. A este tipo de puntos cuya iteracin NO escapa a infinito, podramos llamarlos prisioneros, mientras los otros son escapistas.

Conjunto de JuliaPara c=0 se tiene que Z0 es la circunferencia unidad.

Si c=0.1+0.1i parecera que el comportamiento de Zc debera cambiar solo ligeramente. Esto es cierto solo parcialmente. El conjunto de Julia (la frontera del conjunto de puntos que se van a infinito) sigue siendo una curva cerrada simple, aunque ahora es una curva fractal.

Conjunto de JuliaSi c=-0.5+0.5i el comportamiento de Zc cambia un poco ms, aunque el conjunto de Julia sigue siendo una curva cerrada simple fractal.

Finalmente, existen valores, como por ejemplo c=i,

Conjunto de Juliay otros, como c=0.66+i o c=1+i para los que se obtiene un conjunto de Julia totalmente desconectado.

Conjunto de Julia (conexa)

ga clic para modificar el estilo de texto del patrn gundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel

Figura 8. Conjuntos de Julia asociados a la iteracin zn+1 = (zn)2+c. a) c = (0.12, 0.57); b) c= (-0.12, 0.66); c) c= (0.12, 0.74); d) c= (-0.25, 0.74); e) c= (-0.194, 0.6557); f) c= (0.75, 0.11).

Conjunto de Julia (disconexa)

clic para modificar el estilo de texto del patrn ndo nivel ercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel

Figura 9. Conjuntos de Julia asociados a la iteracin zn+1 = z2n+c. (a) c= (0.745, 0.113); (b) c= (1.25, 0); (c) c= (-0.1565, 1.0322); (d) c= (0.32 0.043); (e) detalle de la figura 8(c) en una amplificacin del orden de 1/0.0001; (f) detalle de la figura 8 (c) en una amplificacin del orden de 1/0.25.

Conjunto de MandelbrotLas nubes no son esferas, las montaas no son conos, las lneas de costa no son circunferencias, la corteza no es lisa, y la luz no viaja en lnea recta. Mandelbrot, The fractal geometry of nature

Conjunto de MandelbrotEl conjunto de Mandelbrot es el ms conocido de los conjuntos fractales, y el ms estudiado. Se conoce as en honor al cientfico Benot Mandelbrot, que investig sobre l en la dcada de los setenta del siglo XX. Este conjunto se define as, en el plano complejo: Sea c un nmero complejo cualquiera. A partir de c, se construye una sucesin por induccin:

Conjunto de Mandelbrotv

Por ejemplo, si c = 1 obtenemos la sucesin 0, 1, 2, 5, 26 que diverge. Como no est acotada, 1 no es un elemento del conjunto de Mandelbrot. En cambio, si c = -1 obtenemos la sucesin 0, -1, 0, -1, que s es acotada, y por tanto, -1 s pertenece al conjunto de Mandelbrot.

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Conjunto de MandelbrotA menudo se representa el conjunto mediante el algoritmo de tiempo de escape. En ese caso, los colores de los puntos que no pertenecen al conjunto indican la velocidad con la que diverge (tiende al infinito, en mdulo) la sucesin correspondiente a dicho punto.

Conjunto de MandelbrotFractales y Colores Los colores representados en un Fractal no tienen un carcter artstico, sino puramente Matemtico.- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte de color BLANCO

Defino un algoritmo de Colores:

- Si c PERTENECE a M-SET que pinte de color NEGRO - Si c NO PERTENECE a M-SET que pinte con alguna gama de AZUL. - Defino azul CLARO para los valores de C que tardan MUCHO en DIVERGER. - Defino azul OSCURO para los valores de C que DIVERGEN rpidamente.

Los colores dan una muestra de la velocidad con la que diverge la sucesin:

Fractales Caticos

Mariposa de LorentzEl atractor de Lorenz, concepto introducido por Edward Lorenz en 1963, es un sistema dinmico determinstico tridimensional no lineal derivado de las ecuaciones simplificadas de rollos de conveccin que se producen en las ecuaciones dinmicas de la atmsfera terrestre. Para ciertos valores de los parmetros a,b,c el sistema exhibe un comportamiento catico y muestra lo que actualmente se llama un atractor extrao; esto fue probado por W. Tucker en 2001. El atractor extrao en este caso es un fractal de dimensin de Hausdorff entre 2 y 3. Grassberger (1983) ha estimado la dimensin de

Aplicaciones de los fractales

Aplicaciones en Computacinv

La aplicacin de los fractales a este campo es verdaderamente interesante. Es la aplicacin pionera de los fractales. Se aplica la transformacin fractal, proceso que se utiliza en el tratamiento de imgenes para reducir su tamao en memoria fsica. Se utiliz por primera vez en la Enciclopedia Multimedia Encarta. Su uso ms extendido se aplica a la compresin de imgenes. Esto se ha aplicado a compresin de video y de

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Aplicaciones en MedicinaSe est estudiando, desde virus fractales hasta la ramificacin de determinados tumores malignos. vTambin se han llegado a utilizar tcnicas fractales para predecir la osteoporosis de los pacientes. vPor otro lado, se estudia el funcionamiento del cerebro para poder localizar un tumor o el dao producido por diversas enfermedades o el consumo de drogas. vSon muchas las nuevas tecnologas que se aplican a la medicina, como los escneres que realizan una resonancia magntica nuclear. vOtra aplicacin que se lleva a cabo en la actualidadv

Aplicaciones en GeografaLa primera de las aplicaciones que se da es el clculo del camino ms cercano o acertado entre dos puntos. Para esto se ha utilizado la curva de Koch. La utilidad real de esto es en el campo de la exploracin espacial, puesto que un insignificante error de clculo a escalas diferentes puede implicar millones de kilmetros de error.v

Cunto mide la costa de Gran Bretaa? Es un artculo del matemtico Benot Mandelbrot publicado por primera vez en Science en 1967. Este artculo Mandelbrot empieza con cierta evidencia emprica de que la medicin de una lnea geogrfica

las investigaciones publicadas por Lewis Fry Richardson sobre si las distancias medidas de las costas y otros contornos geogrficos dependen de la escala de medida. Richardson observ que la distancia medida L(G) de varias fronteras de pases era funcin de la escala de medida G. Reuniendo datos de muchos ejemplos diferentes, conjetur que L(G) poda aproximarse por una funcin de la forma

Cunto mide la costa de En la primera Gran Bretaa? parte del artculo Mandelbrot discute

costa de Gran MandelbrotBretaa? interpreta este resultado como que las costas y otros contornos geogrficostienen una propiedad de autosimilaridad estadstica, donde el exponente D mide la dimensin Hausdorff del borde. Con esta interpretacin, los ejemplos de Richardson tienen dimensiones que van desde 1.02 para la costa de Sudfrica a 1.25 para la costa occidental de Gran Bretaa.

Cmo medir una costa?Una costa es algo irregular, se curva a veces mucho, hay pedazos ms rectos que otros, bahas chicas y grandes, hay desembocaduras de ros, entre muchas otras cosas. Una manera de medirla es usar un mapa o una fotografa area y medir la costa en el mapa. Esto se puede hacer por ejemplo de la siguiente manera:

Cmo medir una costa?As se obtiene la longitud de la costa en el mapa, pero en realidad ciertos detalles no aparecen en el mapa (como bahas chicas). Entonces podramos usar un mapa a mayor escala que muestre ms detalle:

El mapa a mayor escala muestra ms detalles y por lo tanto obtenemos una longitud mayor. Pero el

Cmo medir una costa?Obtendremos una longitud cada vez mayor cada que aumentamos la precisin de la medicin. La pregunta es: se acercan los valores crecientes que obtenemos a un valor "verdadero" o estos valores siguen creciendo hacia el infinito? El artculo no asegura que ninguna lnea costera o borde geogrfico sea realmente fractal lo que sera fsicamente imposible. Simplemente declara que la distancia medida de una costa o frontera puede comportarse empricamente como un fractal a lo largo de un conjunto de escalas de medida.

Fractales en la naturaleza

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Fractales Tridimensionales

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Fractales y la arquitectura

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ConclusionesLos objetos fractales, ms all de ser elementos matemticos que requieren un alto grado de abstraccin, permiten modelar de manera visualmente interesante gran cantidad de sistemas naturales.v

La dimensin fractal, que tambin parece ser una medida totalmente abstracta, ya que no es tan fcil generarse la idea de una dimensin fraccionaria teniendo como base nuestros conceptos tradiciones de dimensin euclidea, puede representar y darnos un parmetro de determinados sistemas con mucha ms precisin y realidad de lo que lo hacen tcnicas de anlisis tradicionales.v

Pasemos a ver los videos

Fractales en la NaturalezaHaga clic para modificar el estilo de texto del patrn Segundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel

Retroalimentacin sobre la Geometra Fractal patrn Haga clic para modificar el estilo de texto delSegundo nivel Tercer nivel Cuarto nivel Quinto nivel



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