ANALISIS ESPECTRAL E INTRODUCCION AL
TRATAMIENTO DE SERIES MEDIANTE FILTROS
I.L.R. KLEIN
AREA DE MODELIZACIÓN MACROECONÓMICA
Julián Moral Carcedo
LOS CICLOS ECONÓMICOS
- 4
- 2
0
2
4
6
8
1 0
7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5 0 0
T A S A IN T E R A N U A L D E C R E C IM IE N T O D E L P IB
“Las economías de mercado experimentan fluctuaciones en los ritmos de crecimiento de un conjunto amplio y diverso de series: producción, empleo, precios, consumo, inversión, etc,….Tales oscilaciones son recurrentes y sistemáticas aunque con patrones variables de amplitud y duración.Estos fenómenos se denominan ciclos económicos.” (National Bureau of Economic Research)
LOS CICLOS EN ECONOMIA
GRANGER .Spectral analysis of economic time series.1964.
• Ondas de Kondratieff, este economista ruso planteaba la existencia de ciclos largos de entre 40 y 60 años. Sin evidencias empíricas claras.• Ondas de Kuznets, ciclos de 20 años en variables como el PNB, emigración y población. Con evidencia empírica.• "Building cycle". Evidencia de la existencia de ciclos de 15-20 años en el sector de la construcción.• Ciclos de Hansen, este economista plantea la existencia de ciclos "mayores" de período 6-11 años (debidos a cambios tecnológicos) junto con ciclos "menores" de duración entre 2-4 años ( ciclo de inventario/ existencias).•Business cycle, definidos por el NBER (National Bureau of Economic Research) como un tipo de fluctuación encontrado en la actividad económica agregada, de duración media 4 años y rango entre 1-12 años.•Sub-ciclos de Mack, llamados así por tener una duración corta de 24 meses, encontrados en series de pedidos, precios, inventarios, etc….
ANALISIS ESPECTRAL 4
-
1,0
2,0 3,0
4,0
5,0
6,0
-2
-
2
4
6
8
10
12
Consumo Disp. Consumo
- 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0
1996
01
1996
03
1997
01
1997
03
1998
01
1998
03
1999
01
1999
03
2000
01
2000
03
-
2
4
6
8
Consumo Renta salarial
ANALISIS ESPECTRAL 5
- 1,0
2,0 3,0 4,0
5,0 6,0
1996
01
1996
03
1997
01
1997
03
1998
01
1998
03
1999
01
1999
03
2000
01
2000
03
-4 -2
- 2 4
6 8
Consumo Comercio
- 1,0 2,0 3,0
4,0 5,0 6,0
1996
01
1996
03
1997
01
1997
03
1998
01
1998
03
1999
01
1999
03
2000
01
2000
03
-20 -15 -10 -5 - 5 10 15
Consumo Confianza cons.
ANALISIS ESPECTRAL 6
-
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1996
01
1996
03
1997
01
1997
03
1998
01
1998
03
1999
01
1999
03
2000
01
2000
03
-
10 20
30
40 50
60
Consumo Ahorro convenien.
-
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
1996
01
1996
03
1997
01
1997
03
1998
01
1998
03
1999
01
1999
03
2000
01
2000
03
-
2
4
6
8
10
12
Consumo tipo consumo
Como modelizar fenómenos recurrentes:
Funciones periódicas
)2
cos(
T
tAYt
•A, amplitud de la oscilación.
•T, período.
, desfase.
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
A
T
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
1 8 15 22 29 36 43 50 57 64 71 78 85 92 99
DESFASE = PI/2
)cos( tAYt
)sen()cos( tbtaYt titi
t eiba
eiba
Y )22
()22
(
Expresiones alternativas:
¿Es evidente la periodicidad?
-6
-4
-2
0
2
4
6
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
C I C L O 1
ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u
Detección de periodicidades ocultas:
El correlograma.
Idea básica:
Una función periódica se repite transcurrido T (período), por lo tanto presentará la máxima correlación con el retardo Ty sus múltiplos enteros.
Puede demostrarse que la autocorrelación de una función periódica es periódica, del mismo período que dicha función.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
COS(2*PI*@TREND/(200/10))
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-40 -20 0 20 40
FUNCION DE AUTOCORRELACION
Detección de periodicidades ocultas:
El periodograma
-6
-4
-2
0
2
4
6
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
C I C L O 1
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20 25
FREC
PERD
G
El periodograma se asimila a un “sintonizador” de un receptor de radio, así, la serie que observamos sería la señal emitida por una radio y el periodograma no sería mas que el dial que busca en que frecuencia se “oye” mejor la señal emitida.
El periodograma: formulación.
k
itiiipt tbtaY
1
)sencos(
“Modelo” que sigue la serie observada:
Asumimos que las frecuencias, w, son:
N
pii
2 kpi ,...,1
N
t
t
N
Ya
10ˆ
N
totp tpY
Na
1
cos2
ˆ
N
totp tpY
Nb
1
sen2ˆ
N
ttN tY
Na
12/ cos
1ˆ
Se determinan los parámetros, a y b, según:
0
22
2
)()(
ppp
baI
Se calcula el periodograma
I(w)
El periodograma: Interpretación.
El periodograma mide aportaciones a la varianza total de la serie de componentes periódicos de una frecuencia determinada (w).Si el periodograma presenta un “pico” en una frecuencia, indica que dicha frecuencia tiene mayor “importancia” en la serie que el resto.
ciclo1=cos(2*pi*t/10)+cos(2*pi*t/40)+cos(2*pi*t/20)+cos(2*pi*t/25)+u
N=200; 200/10=20; 200/40=5; 200/20=10; 200/25=8
0
5
10
15
20
0 50 100 150
FREC
PER
DG
0
5
10
15
20
0 5 10 15 20 25
FREC
PER
DG
El periodograma: Interpretación.
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
1
2
3
4
0 50 100 150
De izqda. a drcha. aumenta la frecuencia (disminuye el período)
El periodograma y la transformada de FourierEl periodograma está basado en una herramienta
matemática denominada Transformada de Fourier, según la cual una serie, que cumpla determinados requisitos, puede descomponerse como suma de un número finito o infinito de frecuencias. Del mismo modo, a partir de la representación frecuencial puede recuperarse la serie original a través de la Transformada Inversa de Fourier.
En este punto, es preciso señalar las diferencias existentes entre procesos discretos periódicos, aperiódicos y estocásticos en términos frecuenciales:• Las series periódicas presenta un periodograma discreto, es decir, solo existe "masa" espectral en aquellas frecuencias contenidas en la serie, siendo éstas un número discreto. • Las series aperiódicas presentan un periodograma continúo, es decir, existe "masa" en un "infinito" número de frecuencias. • Las series estocásticas presentan densidad espectral en un rango continúo de frecuencias.
SERIE PERIODICA SERIES APERIODICAS
PERIODOGRAMA PERIODOGRAMA
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
5
10
15
20
0 50 100 150
FREC
PE
RD
G
0
20
40
60
80
100
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 50 100 150
FREC
PE
RD
G
SERIES ESTOCASTICAS
PERIODOGRAMA (DE ESA REALIZACION)
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 50 100 150
FREC
PE
RD
G
-3
-2
-1
0
1
2
3
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
LA ESTIMACION DEL ESPECTRO
El espectro o densidad espectral se define para procesos estocásticos estacionarios como la transformada de Fourier de la función de autocovarianza (teorema de Wiener-Khintchine). Su estimador “natural” es el periodograma, antes visto. Como hemos comprobado es un instrumento adecuado para la detección de procesos periódicos puros, sin embargo en el caso de procesos estocásticos presenta serias limitaciones, las más importantes son la inconsistencia y la correlación asintóticamente nula entre ordenadas del periodograma. Esto implica que no converja al verdadero “espectro” cuando la muestra se amplia y que el periodograma muestre un comportamiento errático.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 50 100 150
FREC
PE
RD
G
w
h(w)
-pi pi
LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMÉTRICOS
A fin de solucionar los problemas antes comentados se propone, en este tipo de métodos, ponderar el espectro por unos valores denominados “ventanas espectrales”
)1(
)1(
)(ˆ2
1)(
N
Nr
ri rReh
)1(
)1(
)(ˆ)(2
1)(
N
Nr
ri rRerh
Estimador sin aplicar “enventanado”
Estimador “enventanado”
Existe un amplio número de “ventanas espectrales”, Tukey, Parzen, Hamming, etc.
LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS NO PARAMÉTRICOS
Si bien la utilización de ventanas espectrales permite eliminar la inconsistencia y la irregularidad del periodograma como estimador, el que se suavicen las ordenadas del periodograma introduce la dificultad de diferenciar frecuencias próximas.
x1=cos(2*pi*t/(200/15))+cos(2*pi*t/(200/17))+u
0
5
10
15
20
0 10 20 30 40
FREC
PE
RD
G
PERIODOGRAMA NO SUAVIZADO
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
0 10 20 30 40
FREC
DE
NS
IDA
D2
PERIODGRA MA S UAVIZADO MEDIA NTE UNA VENTA NA DE TUKEY-HA NNING (M =50)
LA ESTIMACION DEL ESPECTRO: METODOS PARAMÉTRICOS
Los métodos paramétricos, parten de suponer “conocido” el PGD, y modelizado en general a través de un proceso ARMA, a partir del cual se puede recuperar una estimación del espectro.
Si la serie observada responde a un modelo ARMA (p,q):
qtqtttptpttt bbbYaYaYaY ...... 22112211
El espectro equivale a:
2...1
...1)(
2
2221
2221
ipp
ii
iqq
ii
Y
eaeaea
ebebebh
- 8
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
8
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
Y 4
0
5
10
15
20
0 20 40 60 80
FREC
PER
DG
PERIODOGRAMA (NO ALISADO)
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 20 40 60 80
FREC
DEN
SID
AD
2
PERIODOGRAMA ALISADO ( VENTANA TUKEY-HANNING)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
50
100
150
200
250
300
350
Frecuencia (0-pi)
Serie original
Estimaciones del espectro
0
50
1 00
1 50
200
250
300
350
400
450
0
2
4
6
8
1 0
1 2
1 4
1 6
1 8PARAMETRICO NO ALISADO ALISADO
COMPARACION METODOS DE ESTIMACION
Modelos dinámicos y funciones periódicas
: Ec. En diferencias: 021 ttt cYbYY Condición para la existencia de raíces complejas : 042 cb Soluc. de la ec. Homogénea: )sencos( tBtArY t
t Valores de los parámetros:
2
b ; cb 4
2
1 2
sencos rr 22 r
c
b
cbb
b 2/cos
)4)(4/1()4/(
2/cos 1
22
1
21cos2 ttt YwYY
Modelos dinámicos y funciones periódicas
21 99777946.090.1 ttt YYY
- 6
- 4
- 2
0
2
4
6
2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0
Y
y = 1 . 9 0 * y ( - 1 ) - 0 . 9 9 7 7 7 9 4 6 * y ( - 2 )
FILTROS E INTRODUCCION AL TRATAMIENTO Y DESCOMPOSICION DE SERIES.
INPUT FILTRO OUTPUT
ESQUEMA BASICO DE FUNCIONAMIENTO DE UNFILTRO
Un filtro no es mas que el tratamiento que se da a una serie inicial o “input” para obtener una serie final u “output”. Si el filtro es lineal, el “output” es simplemente una combinación lineal de valores pasados, presentes y futuros del “input”
k
kktkuctY )(
)(tY)(tu
ALGUNOS TIPOS DE FILTROS LINEALES
No-recursivos, los coeficientes del filtro sólo afectan a valores del input.
Recursivos, los coeficientes del filtro afectan a valores del input y del output.
Causales (“one-sided”), los coeficientes del filtro sólo afectan a valores pasados y actuales del input y/o pasados del output.
Simétricos, los coeficientes del filtro equiespaciados son iguales.
k
kktkuctY )(
k
kktk
k
kktk YductY )(
Mk
kktk
Nk
kktk YductY
10
)(
FILTROS LINEALES: EJEMPLOS
Media móvil centrada de orden 3:
1
11111 )(
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1)(
k
kttttttkt uuuuuuutY
Modelo ARMA:
ttttt uuYYY 112 1.02.05.0
Modelo MA:
ttt uuY 11.0
Modelo AR:
tttt uYYY 12 2.05.0
Mk
kktk
Nk
kktk YdxctY
10
)(
tN
NtM
M
Nk
kktk
Mk
kktkt
Mk
kktk
Nk
kktk
xLcLcLcYLdLdLd
xcYdYYdxctY
)...1()...1(
)(
221
221
0110
tt XL
LY
)(
)(
EXPRESION DEL FILTRO EN FUNCION DEL OPERADOR RETARDO
Sea el filtro recursivo:
Su expresión en el polinomio de retardos es por tanto:
O en forma compacta:
FILTROS: UTILIDADES
•SON LA BASE DE LA MODELIZACION ARIMA.
•SUAVIZADO DE SERIES.
•ELIMINACION DE COMPONENTES “INDESEADOS” : DESESTACIONALIZACIÓN, ELIMINACION DE TENDENCIAS LINEALES Y ESTOCASTICAS.
•POTENCIACION DE DETERMINADAS CARACTERISTICAS.
•ESTIMACION DEL COMPONENTE CICLICO.
EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
-3
-2
-1
0
1
2
3
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
INPUT
FILTRO NO RECURSIVO
10
0 10
1)(
k
kktutY
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-200 -100 0 100 200
C1
C2
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
-100 0 100
C1
C2
Modifica la evolución temporal y estructura de correlación del input.
EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
ttttt XXXX 13121
Sea la serie:
-80
-60
-40
-20
0
20
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
TSEAS
ttXLLL )1( 1312
Se aplica el filtro, donde C0=1 y C1=-1:
1
0iitit XcY
tt XLY )1(
ttttt LL
LY
LLL
LXLY
)1)(1(
)1(
)1(
)1()1(
121312
Sustituyendo X por su expresión:
ttttttt YYYLL
Y
1212
12)1(
)1(
1
EFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO DEL TIEMPO
-8
-4
0
4
8
12
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
X2 D(TSEAS)
x2=x2(-12)+e
LOS FILTROS EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA
Asumiendo la expresión de un filtro lineal no recursivo
k
kktkuctY )(
Puede demostrarse (ver p.ej. Priestley) que la relación entre la densidad espectral de input(Ut) y la densidad espectral del output (Yt) responde a la expresión:
)()()(2 uY hh
“La función de densidad espectral del output es igual a la función de densidad espectral del input multiplicada por el módulo de la función de transferencia”.
Dónde la función de transferencia se define cómo la transformada de Fourier de los coeficientes c(k) del filtro, es decir:
K
kikec
)(
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
0 20 40 60 80
FREC
PER
DGEFECTOS DEL FILTRADO EN EL DOMINIO
DE LA FRECUENCIALa característica más importante del proceso de filtrado es que el valor de la densidad espectral del output en una determinada frecuencia es el producto del valor de la función de transferencia y el valor de la densidad espectral del input en dicha frecuencia. Esta propiedad permite “anular” ciertas frecuencias con la adecuada selección de los valores del filtro, con lo que conseguimos que el output exhiba las características que deseemos.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,0 0,3 0,5 0,8 1,1 1,3 1,6 1,9 2,1 2,4 2,6 2,90.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0 20 40 60 80
FREC
PE
RD
G
DESCOMPOSICION DE SERIES
Según el esquema tradicional, una serie puede descomponerse en todos o alguno de los siguientes componentes:
•Tendencia, se asocia con la evolución a largo plazo de la serie, desde un punto de vista frecuencial se asocia a componentes de frecuencia baja o alternativamente de período alto, generalmente superior 8 años.•Ciclo, son oscilaciones en torno a la tendencia de periodo superior al año e inferior a 8 años. •Estacionalidad, son los movimientos que se producen con periodicidad anual.•Irregularidad, movimienos de alta frecuencia, superior a la de la estacionalidad y distintos de los armónicos de la misma
0 50 100 150 200
FREC
PER
DG Estacionalidad
Tendencia
DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
0 .0 E + 0 0
4 .0 E + 0 7
8 .0 E + 0 7
1 .2 E + 0 8
1 .6 E + 0 8
6 0 6 5 7 0 7 5 8 0 8 5 9 0 9 5
M A TR I
M A TR IC U L A C IO N D E A U T O M O V IL E S
0.E+00
2.E+16
4.E+16
6.E+16
8.E+16
1.E+17
0 100 200 300 400
FREC
PE
RD
G
-80000000
-60000000
-40000000
-20000000
0
20000000
40000000
60000000
60 65 70 75 80 85 90 95
D(MATRI)
0.0E+00
5.0E+14
1.0E+15
1.5E+15
2.0E+15
0 100 200 300 400
FREC
PE
RD
G
-80000000
-60000000
-40000000
-20000000
0
20000000
40000000
60000000
60 65 70 75 80 85 90 95
D(MATRI,1,12)
0.0E+00
5.0E+13
1.0E+14
1.5E+14
2.0E+14
0 100 200 300 400
FREC
PE
RD
G
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
60 62 64 66 68 70 72 74 76 78
TMATRI
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0 50 100 150 200
FREC
PE
RD
G
SERIE FESTA FTEND FTEND*FESTA
DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.
DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS
PARA LA TENDENCIA
Operador diferenciaGanancia
0
0,5
1
1,5
2
2,5
INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2
Filtro de Hodrick-Prescott
FUNC. DE GANANCIA FILTRO HP: SERIE-TENDENCIA
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 PI
100 400 1600 3200
DESCOMPOSICION DE SERIES EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA.: FILTROS
PARA LA ESTACIONALIDAD
Ganancia
02468
101214
INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2
Sumador estacional
Ganancia
0
0,5
1
1,5
2
2,5
INF 24 12 8 6 5 4 3 3 3 2 2 2
Diferencia estacional