Escribir los siguientes textos en PcTeXEjercicio 1. Calcular los siguientes lımites:
1. lımn→∞
(1 +
1
n
)n
2. lımn→∞
(2 +
2
n
)n2
3. lımn→∞
2n + 3n2 + 4n3
n4 − 2n
Ejercicio 2. Calcular los siguientes lımites:
(i) lımx→1
f(x), si f(x) =
x2 + 5 si x > 11 si x = 12√
x2 − 4x + 4 si x > 1
(ii) lımx→1
g(x), si g(x) =
x2 + 5 si x > 11 si x = 12√
x2 − 4x + 4 si x > 1
1. Continuidad de funciones
Definicion 1 Sea la funcion f : A → R, A ⊆ R y sea x0 ∈ A, se dice que f escontinua en x0, si para cada E(f(x0), ε) dado, existe un entorno E(x0, δ) tal que six ∈ E(x0, δ) entonces f(x) ∈ E(f(x0), ε)
Teorema 1 Sea f : A → R, A ⊆ R una funcion, entonces las dos condicionessiguientes son equivalentes:
1. f es continua en a.
2. f verifica:
(a) f(a) ∈ A, es decir, existe f(a)
(b) Existe lımx→a
f(x) = L
(c) f(a) = L
Ejercicio2:Escribir los enunciados de los siguientes ejercicios y resuel-valos:
1
1. Sea P (x) = x3 − 3x5 + 2x y Q(x) = x4 − 5x3 − 2x + 3 efectuar las siguientesoperaciones entre polinomios:
(a) P (x) + Q(x) = x3 − 3x5 + 2x + x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 + x4 + 3
(b) P (x)−Q(x) = x3 − 3x5 + 2x− x4 − 5x3 − 2x + 3 = −4x3 − 3x5 − x4 + 3
(c) P (x)Q(x) = x3 − 3x5 + 2xx4−5x3−2x+3 : x3 − 3x5 + 2xx4−5x3−2x+3
2. Calcular los siguientes lımites:
(a) lımx→∞
n√
n3 + 3n : (n3 + 3n)1n
(b) lımx→∞
n√
n3 + 3n
2n− 3nobserve la diferencia lımx→∞
n√n3+3n2n−3n3 = 0
(c) lımx→∞
(n3 + 3n)n =∞
3. Analizar la convergencia de las siguientes series:
(a)∞∑
n=1
n
√3n− 54
2n2− 53 =
∞∑n=1
(1
2
3n− 625
n2− 5n3
) 1n
(b)∞∑
n=1
n
√√√√(3n− 54
2n2
)2
− 5n3
n
=∞∑
n=1
(1
4
(3n− 625)2
n4− 5n3
) 1n
n
(c)∞∑
n=1
en + e−n
2=∞
(d)∞∑
n=1
12√
sen2x− cos2x:∞∑
n=1
12
√(sen2x− cos2x)
Ejercicio3:Calcular los siguientes lımites de funciones:
1. (a) lımx→0
sin ax
x= a
(b) lımx→0
sin 7x
3x:7
3
(c) lımx→0
2x − 3x
x= ln2− ln3
(d) lımx→0
x−1
cot x= 1
2
(e) lımx→0+
(1
x
)tan x
= 1
Ejercicio 4: Graficar las siguientes conicas, teniendo en cuenta el tipode coordenadas mas adecuado.
(a) x2 + y2 = 9
(b) x2
9+ y2
4= 1
(c) x2
5− y2
3= 1
(d) −2x2 + 3x− 1 = 0
Observando las graficas obtenidas indicar los elementos notables de cada una deellas.
Ejercicio 5: Graficar las siguientes cuadricas, teniendo en cuenta el tipode coordenadas mas adecuado.
1. (a) x2 + y2 + z2 = 9
(b) x2
5− y2
3= 2z
(c) −2x2 + 3x− z (cilindricas)
Ejercicio 6:Graficar la funcion f(x) = ex
x2+1, indicar la posible ecuacion de una
asıntota oblicua observando el grafico.
Ejercicio 7:Obenerlas raices de las siguientes ecuaciones:
1. (a) 3x2 − 2x + 1 = 0, verificar el valor obtenido observando la grafica corre-spondiente.
(b) x3 − 3x2 + 2x− 6 = 0
(c) x4 − x3 − 7x2 + x + 6 = 0
Ejercicio 8:Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones analitica ygraficamente:
(a)
{x− 3y = 22x− 6y = 4
(b)
{−2x + 3y = −1x− 2y = 0
3