1POLÍGONOS REGULARES
DEFINICIÓN DE POLÍGONO REGULARSon los polígonos cerrados y convexos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales.
ELEMENTOS DE LOS POLÍGONOS REGULARES
apotema radio.
C. Circunscrita:C. Inscrita:Apotema:Radio:Ángulo central:Ángulo interior:
Como el resto de polígonos, tienen vértices, lados, ángulos y diagonales. Pero los regulares tienenademás otras propiedades y elementos. Todos los polígonos regulares tienen centro, circunferenciainscrita, circunferencia circunscrita, y
La que pasa por todos los vértices del polígono.La que es tangente a todos los lados del polígono.Es el segmento que une el centro del polígono con el punto medio de un lado.Es el segmento que une el centro con un vértice.El que forman dos radios consecutivos.El que forman dos lados consecutivos, por el interior del polígono.
PROPIEDADES
polígonos estrellados.
El centro del polígono es a su vez centro de ambas circunferencias. El radio del polígono es el radio dela C. Circunscrita, y la apotema del polígono es el radio de la C. Inscrita.
Todos los polígonos regulares pueden construirse a partir de uno solo de sus datos: radio, apotema,lado, ángulo, diagonal...
El polígono regular de tres lados es el triángulo equilátero, el de cuatro es el cuadrado. El triángulo notiene diagonales, el cuadrado y el pentágono tienen las diagonales iguales; a partir del hexágono(incluído) las diagonales pueden tener diferentes medidas.
Apartir del pentágono (incluído) todos tienen los llamados
apotema
ángulo central
ángulo interiorM
circunferencia circunscrita
circunferencia inscrita
radio
PR
OF
ESO
R:
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oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
yre
pro
ducc
ión
sin
cita
rau
tor
ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
MÉTODOS DE CONSTRUCCIÓNmétodos generales
métodos específicoslado radio
Existen varios métodos, unos son los llamados , que en algunos casos sonúnicamente aproximados y no son recomendables si se requiere exactitud y precisión. Sirven paradibujar cualquier polígono regular.
Los son exactos y existe uno para cada polígono regular hasta once ladosaproximadamente. Existen métodos a partir del y a partir del .
Por los ángulos centralesConsiste en calcular la medida del ángulo central del polígono regular a construir y después, medianteun transportador de ángulos, ir sumando ángulos iguales al calculado. Veamos un ejemplo:
Construir un regular de 3 cm.eneágono radio
Marcamos el centro de la circunferencia
con un punto; trazamos un radio con la
medida pedida y luego una circunferencia
con el mismo radio del polígono.
Pasar medidas repetidamente con un transportador puede dar mucho error de dibujo. Para que ese error sea mínimo procedemos
de la siguiente forma: En lugar de situar el transportador cada vez que marquemos un ángulo central, lo dejamos fijo y vamos
marcando las sumas de los ángulos sucesivamente: 40º, 80º, 120º, 160º, 200º...
Un eneágono es un polígono de nueve
lados, por lo tanto tiene también nueve
ángulos centrales. Hacemos el cálculo del
valor de cada ángulo central, dividiendo el
ángulo completo de la circunferencia entre
nueve:
360º : 9 = 40º
Con el transportador construimos un
ángulo de 40º y trazamos el segundo radio.
Sobre este nuevo radio construimos otro
ángulo de 40º, así sucesivamente hasta
completar el polígono.
40º
NO SÍ40º
0º
40º
40º40º
40º
80º120º
160º
40º
40º40º
2POLÍGONOS REGULARES
MÉTODOS GENERALES
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sin
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rau
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del
auto
r.
A PARTIR DEL RADIO
Recordemos primero que el radio del polígono y el de la circunferencia circunscrita miden lo mismo. Lacircunferencia tiene infinitos radios y el polígono regular tiene tantos radios como vértices, peromiden lo mismo. Esto quiere decir que el problema es el mismo en estos casos:
- Cuando se da el radio del polígono- Cuando se da el radio de la circunferencia circunscrita- Cuando se da la circunferencia circunscrita ya dibujada- Cuando se pide un polígono en una circunferencia
En cualquiera de los casos y para cualquier polígono empezaremos a partir de lacircunferencia con el radio dado. Para hacerlo correctamente reduciendo en lo posible el error dedibujo, seguiremos estos pasos:
inscrito
siempre
Podemos conseguir también los polígonos de número de lados trazando la mediatriz de un lado ola bisectriz de un ángulo central. Por ejemplo, el dodecágono a partir del hexágono:
doble
Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y
cartabón.
Mediante una bisectriz o una mediatriz
encontramos un vértice intermedio del
dodecágono.
Medimos el radio que nos dan y trazamos una
circunferencia, que será la circunscrita al polígono
pedido.
Con la medida del lado del hexágono
hacemos centro en el nuevo vértice y
“pasamos” la medida por el resto de la
circunferencia.
PUnimos todos los vertices, los anteriores
y l o s n u e v o s , o b t e n i e n d o e l
dodecágono.
3POLÍGONOS REGULARES
radio
P P P
ladohexágono
MÉTODOS ESPECÍFICOS
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pro
híb
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venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y
cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.
Unimos los puntos de corte de los ejes con la
circunferencia.
radio
CUADRADO a partir del radioEs el polígono regular de cuatro lados. El radio es la mitad de la diagonal.
OCTÓGONO a partir del radioSi estudiamos el cuadrado veremos que con dos pares de ejes perpendiculares y a 45º, uniendo todoslos puntos de corte obtenemos el octógono.
Si queremos que el cuadrado quede “derecho” trazamos otros dos ejes a 45º con los anteriores, biencon escuadra y cartabón o mediante la bisectriz del de 90º.
A
A
C
C
D
D
B
B
4POLÍGONOS REGULARES
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r.
HEXÁGONO o EXÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de seis lados. Propiedad importante: el radio y el lado miden lo mismo. De estapropiedad se deduce la forma de construirlo, “pasando” la medida del radio por la circunferenciacircunscrita.
Si observamos el hexágono ya construido vemos que podemos simplificar el trazado con dos únicoarcos desde los extremos de un diámetro. Puede hacerse cuando se tienen los diámetrosperpendiculares; si no se tienen hay que realizar el trazado anterior.
Trazamos dos ejes perpendiculares, con escuadra y
cartabón y la circunferencia circunscrita con el radio.
Repetimos la operación esta vez con centro en , para
obtener el punto .
BC
Con el compás y la medida del radio, hacemos centro en
un punto de la circunferencia, por ejemplo el .
Trazamos un arco que corte a la circunferencia y
obtenemos el punto el punto .
A
B
Hacemos lo mismo sucesivamente desde cada nuevo
punto. Si se traza correctamente, el último punto debe
coincidir con el primero, el . Uniendo los vértices
en el mismo orden en que se hicieron obtenemos el
hexágono.
A A, B,C...
radio
5
A
A
A
A
B
B
B
C
C
C
D
D
E
E
F
F
B
POLÍGONOS REGULARES
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r.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del radioEs el polígono regular de tres lados. Si observamos el hexágono regular veremos que uniendo vérticesalternos obtenemos nos queda un triángulo equilátero, por lo que el método es el mismo pero tomandosólo tres vértices. Si queremos que el triángulo tenga la base horizontal empezaremos haciendo centroen el vértice inferior.
HEPTÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de siete lados.
6POLÍGONOS REGULARES
A
A A
GG
FF
BB
CC
DD EE
A
B
P P
P
r=M2
1 1
1
2 2
2
M
M
O O
O O
BC C
Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la
medida del radio, hacemos centro en el punto de la
circunferencia, y trazamos un arco que corte a la
circunferencia en los puntos y .
P
1 2
El segmento (o el 2-M ya que son iguales), es la
medida del del heptágono. Tomamos esta medida
con el compás y, al igual que con el hexágono, la
“pasamos” por la circunferencia.
1-Mlado
Trazamos el segmento , que corta al radio en el
punto medio .
1-2 OPM
Para que el polígono tenga la base horizontal
empezamos a pasar los lados desde el vértice superior
no confundir el vértice con el punto .A. Atención: E 1
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del
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r.
POLÍGONOS REGULARES 7PENTÁGONO a partir del radio
Es el polígono regular de cinco lados. Parece el más complicado pero es el mismo que el heptágono y unpaso más.
Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la
medida del radio, hacemos centro en el punto de la
circunferencia, y trazamos un arco que corte a la
circunferencia en los puntos y .
P
1 2
Tomamos como centro el punto y abrimos el compás
hasta el punto . Trazamos el arco desde hasta cortar
en el punto .
MA A
3
Trazamos el segmento , que corta al radio en el
punto medio .
1-2 OPM
La distancia es la medida del del pentágono.
Como en el heptágono “pasamos” esta medida por la
circunferencia, comenzando en el vértice para que la
base quede horizontal.
A-3
A
lado
P P
P P
1 1
1 1
2 2
2 2
3 3
M
M M
O O
O O
O
A A
A
B
B
C
C
D
D
E
E
r=A3
PR
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r.
Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la
medida del radio, hacemos centro en el punto de la
circunferencia, y trazamos un arco que corte a la
circunferencia en los puntos y .
P
1 2
Tomamos como centro el punto y abrimos el compás
hasta el punto . Trazamos el arco desde hasta cortar
en el punto .
MA A
3
Trazamos el segmento , que corta al radio en el
punto medio .
1-2 OPM
La distancia es la medida del del decágono.
Como en los anteriores “pasamos” esta medida por la
circunferencia. Si queremos que un lado quede
horizontal comenzamos a pasar el lado desde
O-3
A.
lado
P P
PA
A
1 1
1 1
r=0-
3
2 2
2 2
3 3
M
M M
O O
O O
O
A
DECÁGONO
O-3
a partir del radioEs el polígono regular de diez lados. El método es exactamente el mismo que el del pentágono.Únicamente hay que tomar como medida del lado el segmento .
POLÍGONOS REGULARES 8
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del
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ENEÁGONO a partir del radioEs el polígono regular de nueve lados. Es algo diferente al resto de polígonos regulares.
Partimos igualmente de los ejes. Con el compás y la
medida del radio, hacemos centro en el punto de la
circunferencia, y trazamos un arco que corte a la
circunferencia el punto .
A
1
Haciendo centro ahora en el punto y abriendo el
compás hasta , trazamos un arco hasta encontrar el
punto sobre el eje horizontal.
2A
3
Con centro en el punto y radio , trazamos un arco
que corte a la prolongación del eje horizontal de la
circunferencia en le punto .
P P-1
2
El segmento es la medida del lado del eneágono.
Como en los otros, pasaremos esta medida por la
circunferencia con el compás. Si comenzamos en A
quedará la base horizontal.
Q-3
O O
O O
O
A A
A A
A
P
P P
Q
2
2 2
3 3
1 1
1 1
POLÍGONOS REGULARES 9
r=Q-3
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resa
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ESQUEMARESUMENExcepto para el eneágono, podemos reunir todos los polígonos en un único esquema, con lo cual no esnecesario memorizar ocho métodos, sino recordar sólo un trazado. Realizando los trazados delpentágono marcamos sobre el mismo dibujo los segmentos correspondientes a cada polígono.
Como se puede comprobar con solo dos operaciones (una mediatriz más un arco) se consiguen los máscomplicados. Para el heptágono y el triángulo equilátero solo hace falta la mediatriz y para el cuadradoy el hexágono bastan los ejes perpendiculares. Lógicamente no hay que realizar todos los trazadossiempre, sino únicamente los necesarios para cada polígono.
ERRORES DE DIBUJOEl error de dibujo se nota especialmente en trazados en los que hay que repetir muchas veces ciertasoperaciones, como en los polígonos regulares, en los que hay que pasar la medida de los ladosrepetidamente. Un error de dibujo de 0,2 mm (que es poco a simple vista) repetido doce veces en undodecágono se convierte en un error visible.
Para minimizar o al menos reducir a la mitad el error de dibujo, cuando hayamos obtenido la medidadel lado, deberemos pasar la mitad de los lados en un sentido y la otra mitad en el otro alrededor de lacircunferencia.
10
PQ
N1
2
3
MO
A1-2 = lado delQ-N = lado delA-3 = lado delO-A = lado delM-2 = lado delO-3 = lado del
triángulo equiláterocuadradopentágonohexágonoheptágonodecágono
Los lados del octógono y deldodecágono se obtienen, como seindicó en la 1ª página, a partir delc u a d r a d o y d e l h e x á g o n orespect ivamente, trazando lamediatriz de un lado o la bisectriz de unángulo central.
O
A
POLÍGONOS REGULARES
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11
A PARTIR DEL LADO
El dato de partida será el lado del polígono, bien por su medida o bien por un segmento ya dibujado enel papel. Los métodos a partir del lado son, en general, algo más complicados, por el número deoperaciones y porque son bastante diferentes entre sí, a diferencia de los métodos por el radio.
ANTES DE EMPEZARAlgunas cosas de interés comunes a casi todos los trazados:
MEDIATRIZ de un segmento:Recta perpendicular al segmento y que pasapor su punto medio.
BISECTRIZ de un ángulo:Recta que divide al ángulo en dos ángulosiguales, pasando por el vértice.
1. Los métodos están relacionados en cierta forma, lo que facilita sumemorización. Como se verá el polígono de 6 está relacionado con el de 3, el de 8con el de 4, el de 9 con el de 3, el de 10 con el de 5, el de 12 con el de 6. Es decir,están relacionados los que son múltiplos unos de otros.
2. En casi todos los métodos el objetivo de los trazados es obtener ely una vez dibujada ésta, “pasar” la medida del lado
por ella, como en los métodos del radio.
3. Los trazados deben hacerse muy minuciosamente ya que es fácil confundircentros, puntos, etc. fijándose bien en los dibujos explicativos.
4. El error de dibujo es mayor que en los métodos del radio por el número detrazados. Hay que cuidar la precisión en los trazados desde el primer paso.
5. Se usan frecuentemente los trazados de la mediatriz de un segmento y labisectriz de un ángulo, que recordamos debajo. También las perpendiculares yparalelas, que realizaremos con escuadra y cartabón.
centro de lacircunferencia circunscrita,
A B
V
2
2
1
1
Se toma con el compás una medida claramente
mayor que la mitad del segmento. Haciendo
centro en los extremos y del segmento
trazamos dos arcos que se cortan en los puntos
y . La recta que pasa por ellos es la mediatriz.
A B1
2
Se toma con el compás una medida cualquiera y
se traza un arco con centro en el vértide del
ángulo, obteniendo los puntos y . Se traza la
mediatriz del segmento que resulta ser la
bisectriz.
1 21-2
MÉTODOS ESPECÍFICOS
POLÍGONOS REGULARES
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CUADRADO a partir del ladoEs el polígono regular de cuatro lados.
TRIÁNGULO EQUILÁTERO a partir del ladoEs el polígono regular de tres lados.
También puede trazarse un ángulo de 45º con escuadra y cartabón, desde uno de los extremos dellado hasta encontrar el vértice C.
POLÍGONOS REGULARES
Trazamos dos perpendiculares por los
extremos del lado, suficientemente
largas.
Con centro en un extremo y la medida
del lado trazamos un arco que
sobrepase el centro del segmento por
arriba.
Con centro en un extremo y con el
radio igual al lado, trazamos un arco
hasta encontrar el punto .C
Con la misma medida y centro en en
otro extremo trazamos un arco
similar que se cortará en el vértice .C
Por C trazamos una paralela hasta
encontrar .D
Unimos el vértice con los otros dos.C
A
A
A A A
45º
A
A AB
B
B B B
B
B
C
C
C C
C
C
B
12
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POLÍGONOS REGULARES 13HEXÁGONO O EXÁGONO a partir del lado
Es el polígono regular de seis lados. Para comprender el trazado veremos primero la relación entre elhexágono y el triángulo equilátero.
Si observamos un hexágono regular comprobaremos que está compuesto de seis triángulos equiláteros.
Además todos los triángulos tienen uno de sus vértices en el centro de la circunferencia circunscrita delhexágono. Por lo tanto, para construir un hexágono a partir del lado primero construiremos el triánguloequilátero inferior. Con centro en el vértice superior del triángulo haremos una circunferencia quepase por y , que es la circunferencia circunscrita del hexágono.A B
A
O
B
A
A
A
A
B
B
B
B
OO
Con la medida del lado del hexágono hacemos el trazado de un triángulo equilátero.
(No es necesario dibujar el triángulo, aquí se representa por facilitar la comprensión).
Con centro en el vértice superior
trazamos una circunferencia que pase por
y , que será la circunferencia
circunscrita del hexágono.
O
A B
Tomando la medida del lado AB con el
c o m p á s , l a “ p a s a m o s ” p o r l a
circunferencia, como en el método del
radio.
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A
A
A A
A
A A AB
B
P P
QB B
M
MB
B B B
C CDD D
E E E E
PENTÁGONO a partir del ladoEs el polígono regular de cinco lados. Para entender mejor el proceso observemos antes el esquemainferior. Si tomamos un lado y dos diagonales convenientemente veremos que se forman tres triángulosisósceles, uno de vérticesABD y otros dos iguales de vértices BCD yADE.
El proceso es dibujar primero el triángulo ABE y luego añadir los otros dos. Si conociéramos la medidade la diagonal el problema se reduce a construir triángulos a partir de los tres lados. El método queveremos a continuación sirve para encontrar la medida de la diagonal a partir del lado.
1º
2º 3º
POLÍGONOS REGULARES 14
Trazamos una perpendicular por el extremo ,
con escuadra y cartabón.
B
Con centro en el extremo y radio , trazamos
un arco hasta la perpendicular, encontrando el
punto .
B BA
P
Trazamos la mediatriz del lado encontrando
el punto
AB,M.
Con centro en y radio trazamos un arco
hasta encontrar el punto , en la prolongación
del lado hacia la derecha.
M MPQ
AB
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POLÍGONOS REGULARES 15PENTÁGONO
AQ diagonalContinuación a partir del lado
El segmento resultante es la medida de la del pentágono que estábamos buscando.
Ahora construimos los triángulos isósceles que se indicaban al principio: primero elABD, luego los BDC yADC.
Únicamente queda tener en cuenta que no es necesario dibujar el triángulo interior y que NO debemosborrar los trazados anteriores, eliminados arriba para facilitar la comprensión. El conjunto quedarácomo en el dibujo inferior.
A A
E
E
C
C
B B
D D
D
rad
io A
Q
radi
oA
B
A
P
QBM
A
P
QBM
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POLÍGONOS REGULARES 16
Construimos un pentágono a partir del lado
lado del decágono.AB
Pasamos la medida del lado por la
circunferencia, la mitad en un sentido y la otra
mitad en el contrario, para reducir el error.
AB
Con centro en el vértice superior trazamos una
circunferencia por y , que es la circunscrita al
decágono.
A B
Uniendo los puntos de corte obtenemos el
decágono.
AA
A A
BB
B B
C
D
E
FG
H
I
J
O
O O
DECÁGONO a partir del ladoEs el polígono regular de diez lados. Como se indicó en la página 11 el decágono y el pentágono estánrelacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el decágono inferior veremos que, alconstruir un pentágono con el mismo lado, el vértice superior coincide con el centro del decágono, aligual que ocurría con el hexágono y el triángulo equilátero.
De aquí deducimos el método: primero construimos un pentágono regular con el lado AB del decágono.El vértice superior será el centro de la circunferencia circunscrita del decágono, por la que“pasaremos” el ladoAB.
radio AB
PR
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POLÍGONOS REGULARES 17OCTÓGONO
O
a partir del ladoEs el polígono regular de ocho lados. Como se indicó en la página 11 el octógono y el cuadrado estánrelacionados, lo que facilita mucho su trazado. Si observamos el octógono inferior veremos que, alconstruir un cuadrado con el mismo lado y trazar su circunferencia circunscrita, ésta pasa por el centro
del octógono.
O
O
O O
De aquí deducimos el método: primero construimos un cuadrado con el lado AB del octógono.Trazaremos el centro de la circunferencia circunscrita del cuadrado y hallaremos O, centro de lacircunferencia circunscrita del octógono, por la que “pasaremos” el ladoAB.
Construimos un cuadrado a partir
del lado lado del octógono.AB
Con centro en trazamos una circunferencia por y ,
que es la circunscrita del octógono.
O A B
Con escuadra y cartabón trazamos la
mediatriz del lado , que debe
pasar por el centro del cuadrado. La
prolongamos hacia arriba hasta
cortar en a la circunferencia.
AB
O
Trazamos las diagonales del
cuadrado para hallar su centro y su
circunferencia circunscrita.
Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en
ambos sentidos. Uniendo construimos el octógono.
AB
A
A A A
AB
B B B
B
C
D
EF
G
H
radio AB
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
yre
pro
ducc
ión
sin
cita
rau
tor
ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
POLÍGONOS REGULARES 18DODECÁGONO a partir del lado
Es el polígono regular de doce lados. Está relacionado con el hexágono y a su vez éste con el triánguloequilátero. El dodecágono tiene su centro en la circunferencia circunscrita del hexágono.
O
V V
O
O O
Método: Con el lado AB del dodecágono construimos un hexágono y su circunferencia circunscrita. Conella hallamos O. centro de la circunferencia circunscrita del dodecágono.
C o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o
equilátero a partir del lado lado
del dodecágono.AB
Con escuadra y cartabón trazamos la
mediatriz del lado , que debe
pasar por el vértice del triángulo.
La prolongamos hacia arriba hasta
cortar en a la circunferencia.
ABV
O
Con centro en el vértice superior
t ra za m o s l a c i rc u n fe re n c i a
circunscrita del hexágono, que no es
necesario dibujar.
V
Con centro en trazamos una circunferencia por y ,
que es la circunscrita del dodecágono.
O A B Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en
ambos sentidos. Uniendo construimos el dodecágono.
AB
V
radio ABA
A A A
AB
B B B
B
C
D
E
F
GH
I
J
K
L
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
yre
pro
ducc
ión
sin
cita
rau
tor
ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
POLÍGONOS REGULARES 19ENEÁGONO a partir del lado
Es el polígono regular de nueve lados. Está relacionado con el triángulo equilátero.
Método: Partimos del lado AB del eneágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de lacircunferencia circunscrita del eneágono.
C o n st r u i m o s u n t r i á n g u l o
equilátero a partir del lado del
eneágono.
AB
Prolongamos los lados del
triángulo hasta cortar a la
circunferencia en y .M N
Con centro en , vértice superior del
t r i á n g u l o , t r a z a m o s u n a
circunferencia que pase por .
V
P
ATENCIÓN: OMN
No confundir el punto
en con el punto de corte en la
circunferencia.
Hallamos el centro del triángulo
mediante dos alturas, con escuadra
y cartabón.
P
Unimos los puntos y y
prolongamos la altura del triángulo,
que corta a en el punto .
M N
MN O
Con centro en trazamos una circunferencia por y ,
que es la circunscrita del eneágono.
O A B Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en
ambos sentidos. Uniendo construimos el eneágono.
AB
NO
SÍ
O O
O
A A A
A A A
A A
B B B
B B B
B B
radio AB
C
D
E
F
G
H
I
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
yre
pro
ducc
ión
sin
cita
rau
tor
ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
POLÍGONOS REGULARES 20HEPTÁGONO a partir del lado
Es el polígono regular de siete lados.
Método: Partimos del lado AB del heptágono. Los pasos a realizar sirven para obtener el centro de lacircunferencia circunscrita del heptágono.
Construimos un triángulo rectángulo tomando como
el lado del heptágono, y con un ángulo de
Obtenemos el tercer vértice .
cateto AB 30º.P
Con centro en el extremo , (el vértice del ángulo de 30º
siempre) trazamos un arco que pasae por , hasta cortar
a la mediatriz en .
AP
O
Trazamos la mediatriz del lado .AB
El punto es el centro de la circunferencia
circunscrita del heptágono.
O
A30º
A
A
A
A
B
P P
P P
P
O
O
O
B
B
B
B
Pasamos la medida del lado por la circunferencia, en
ambos sentidos. Uniendo construimos el heptágono.
AB
radio AB
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
yre
pro
ducc
ión
sin
cita
rau
tor
ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
POLÍGONOS REGULARES 21
Polígonos con número de lados:
Tienen siempre lados opuestos paralelos.Tienen siempre un vértice opuesto a otro.Las diagonales que unen vértices opuestosse cortan en el centro.
par Polígonos con número de lados:
Tienen un vértice opuesto a un lado,pero no otro lado opuesto.No hay diagonales que pasen por el centro.
impar
OTRAS PROPIEDADES QUE AYUDAN A MEJORAR LOS TRAZADOS
CENTRO DEL POLÍGONO REGULAREl centro del polígono es también el de sus circunferencias inscrita y circunscrita.Las mediatrices de los lados se cortan en el centro.Las bisectrices de los ángulos interiores se cortan en el centro.Las diagonales que unen vértices opuestos (número par) se cortan en el centro.
POLÍGONOS CON NÚMERO PAR O IMPAR DE LADOS
circunferencia circunscrita
circunferencia inscrita
Para hallar el centro de un polígono regular dado podemos hacer cualquiera de estas cosas:
Las mediatrices de dos
lados que no sean opuestos.
Dos diagonales entre
vért ices opuestos
(polígonos pares).
Una combinación de las
anteriores.
Las bisectrices de dos ángulos
que no sean opuestos.
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
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uci
ón
yre
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cita
rau
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ypro
cedenci
a.Se
pro
híb
ela
venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
POLÍGONOS REGULARES 22
MEDIATRICES de los ladosLas mediatrices de los lados en un polígono regular coinciden con las bisectrices de los ánguloscentrales. Si se dibuja bien y se dispone de un buen material, pueden hacerse con escuadra y cartabón,trazando una perpendicuar al lado pasando por el centro.
ALTURA DE UN POLÍGONO REGULARimpar
parEn un polígono la altura se mide desde el punto medio de un lado hasta el vértice opuesto.En uno se mide desde el punto medio de un lado hasta el punto medio del lado opuesto.
Impares: La altura es la suma de una radio más una apotema. Pares: La altura es la suma dos apotemas.
r
=
=
M
altu
ra
altu
ra
a a
a
POLÍGONOS de número doble de ladosdoblePodemos conseguir los polígonos de número de lados trazando la mediatriz de un lado o la
bisectriz de un ángulo central.
Se halla el centro del polígono y se
traza su circunferencia circunscrita.
Trazamos una mediatriz o bisectriz
hasta cortar a la circunferencia
circunscrita en , que será un vértice
intermedio del polígono doble.
V
El vértice nuevo unido a uno del
anterior nos da el lado del polígono
doble.
V V
A
O
PR
OF
ESO
R:
Alf
red
oPo
nce
Cin
os.
Sepro
híb
ela
dis
trib
uci
ón
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ducc
ión
sin
cita
rau
tor
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cedenci
a.Se
pro
híb
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venta
sin
auto
riza
ción
exp
resa
del
auto
r.
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