8/19/2019 Plan de Clases Sistema de Ecuaciones
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Plan de clases
“Sistemas de Ecuaciones Lineales”
Introducción:
Dos ecuaciones con dos incógnitas cada una, determinan un sistema de
ecuaciones.
Contenidos:
Conceptuales:
* Sistemas de ecuaciones lineales.
* Mtodos de igualación, reducción, sustitución ! el de determinantes.
* Pro"lemas #ue se traducen a sistemas de ecuaciones lineales.
Procedimentales:
* $tili%ación de los mtodos de resolución numricos igualación, reducción,
sustitución ! el de determinantes en los sistemas de ecuaciones lineales de dos
ecuaciones ! dos incógnitas.
* &esolución gr'(ica de sistemas de ecuaciones lineales de dos ecuaciones ! dos
incógnitas.
* Clasi(icación de un sistema de acuerdo con su solución.
* Planteamiento de pro"lemas ! resolución mediante un sistema de ecuaciones
lineales de dos ecuaciones ! dos incógnitas.
)ctitudes:
* Incorporación al c'lculo de los sm"olos alge"raicos para resumir e interpretar
situaciones concretas.
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* +aloración de la precisión, la simplicidad ! la utilidad del lenguae alge"raico para
representar o resol-er di(erentes situaciones de la -ida cotidiana.
* )ctitud positi-a de los alumnos acia las matem'ticas.
/"eti-os:
Se pretende pro(undi%ar la a"ilidad del alumno en el maneo ! la comprensión
conceptual ! procedimental de las erramientas propios de las Matem'ticas
"'sica, teniendo presente sus posi"les aplicaciones como medio para optimi%ar el
tra"ao e0perimental.
Para ello se pretende #ue los alumnos puedan:
* &econocer situaciones #ue puedan ser resueltas por sistemas de
* &econocer situaciones #ue puedan ser resueltas por sistemas de ecuaciones
lineales.
* &esol-er sistemas de ecuaciones lineales con 1 incógnitas, utili%ando algunos de
los mtodos del sistema.
* Plantear ! resol-er pro"lemas ! desa(os #ue in-olucren sistemas de ecuaciones
lineales.
* 2raducir un pro"lema a lenguae alge"raico usando sistemas de ecuaciones
lineales en el planteamiento.
* Seleccionar ! organi%ar la in(ormación rele-ante.
Conocimientos pre-ios:
El alumno de"e sa"er:
* Concepto de igualdad numrica.
* Concepto de ecuación.
* 3ue es una ecuación de primer grado con una incógnita.
* &esolución de una ecuación de primer grado.
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* Propiedad uni(orme de la suma ! de la multiplicación.
* Sa"er gra(icar ecuaciones de primer grado.
Desarrollo:
Ecuación de primer grado con dos incógnitas
La (orma general:
* a04"!5c
a04"!5c
Donde 6 e 7 son incógnitas.
* a, ", c son n8meros reales cual#uieras, ! coe(iciente de las incógnitas.
* C termino independiente.
Para entrar en tema, empe%aremos con uno simple eemplo, DE L) EC$)CI/9:
041!5;
Para este tipo de ecuación
Se pueden encontrar, -arios
98meros de solución:
Como por eemplo...
65< ; >;41.
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Esto se de"e a #ue una ecuación con 1 incógnitas tiene in(initas soluciones.
2oda ecuación de primer grado con dos o m's incógnitas admites in(initas
soluciones.
2oda ecuación de primer grado con dos o m's incógnitas admites in(initas
soluciones.
Sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas
SIS2EM)S DE EC$)CI/9ES LI9E)LES:
Presentación del tema:
Mucos pro"lemas reales tienen #ue -er con situaciones en las cuales dos o m's
-alores cam"ian linealmente a la misma -e%. ) menudo, se desea allar cu'ndo
estos -alores ser'n iguales. Por eemplo, los -alores pueden ser la u"icación de
dos caminantes ! se desea determinar cu'ndo se encontrar'n los caminantes.
Cada -alor creciente se representa por una ecuación lineal. )s #ue -arios -alores
#ue cam"ian linealmente se representan por -arias ecuaciones lineales, llamadas
un sistema de ecuaciones lineales.
Identi(icar dónde los -alores ser'n iguales re#uiere resol-er el sistema, esto es,
allar los -alores de las -aria"les #ue acen ciertas todas las ecuaciones lineales
en el sistema.
En las matem'ticas, un sistema de ecuaciones es un conunto de dos o m's
ecuaciones con -arias incógnitas. $na solución para este sistema de"e
proporcionar un -alor para cada incógnita, de manera #ue ninguna de las
ecuaciones llegue a su contradicción. Es decir, el -alor #ue reemplacemos de"e
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acer cumplir la igualdad del sistema.
La (orma general es:
* a04"a5c
d04e!5(
a04"a5c
d04e!5(
En donde a, ", c, d, e, ( son n8meros reales.
* “0” e “!” son incógnitas del sistemas.
* a, ", d, e son coe(icientes de la incógnitas.
* c ! ( son trminos independientes.
Se indican #ue dos ecuaciones (orman un sistema, a"arc'ndolas con una lla-e.
)s por eemplo, para indicar #ue la ecuación 6475? ! la ecuación 6@751 (orman
sistema, ! se escri"e:
6475?
6@751
In(initos pares de -alores #ue satis(acen a la primera ecuación:
S=5 A=B; B A?B B AB@= B AFB1 B A B A@B=1 B G
7 los in(initos pares de -alores #ue satis(acen a la segunda ecuación:
S15 A>B= B A;B se satis(acen las dos ecuaciones.
5? 51
?5? 151
Por lo tanto, la solución del sistema, es:
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65<
75>
En este sistema de ecuación la solución resulto inmediata, por lo #ue se pudo
allar el resultado mentalmente, pero en la ma!ora de los casos no ocurre as, es
necesario encontrar mtodos generales #ue permitan resol-er cada sistema.
Estos mtodos son: el de igualación, sustitución, el de reducción por suma o resta,
! el de determinantes.
$n eemplo :
641!5; Como podemos o"ser-ar esta ecuación tra"aada anteriormente
64!5?= tiene in(initas soluciones.
Entonces, se puede encontrar pares de n8meros en donde se cumplen la primera
ecuación, ! no la segundaB o "ien se pueden encontrar -alor #ue se cumplan en la
segunda ecuación ! no en la primera. P/& L/ 3$E S/L/ H)7 $9 9IC/ P)&
DE 9$ME&/S 3$E +E&IJI3$E ) L)S D/S EC$)CI/9ES.
Empe%aremos por restar las ecuaciones:
04!5?=
041!5;
1!5>; 75=;
Encontramos #ue 75=;, aora nos #ueda "uscar un -alor #ue sola tenga 0.
Entonces usamos una de las dos ecuaciones, en este caso 041!5; ! lo
multiplicamos por 1, #ue es igual a 104!5, para luego restarlo con la otra
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ecuación:
104!5
64!5?=
65=> o"tu-imos 0 directamente.
65=>
S
75=;
65=>
S
75=;
“La solución de este sistema de ecuaciones en particular es el par de
n8meros #ue -eri(ica la dos ecuaciones al mismo tiempo, !a #ue un
sistema es e#ui-alente a otro, si tiene e0actamente el mismo conunto
de solución”.
El mtodo utili%ado para resol-er este sistema de ecuaciones (ue:
EL ME2/D/ DE &ED$CCI/9 P/& S$M) / &ES2).
Las operaciones -'lidas #ue utili%amos para encontrar la solución de un sistema !
#ue permiten encontrar sistemas de ecuaciones son: multiplicar o di-idir a una
ecuación por un n8mero distinto de cero ! sumar ! restar a una ecuación un
m8ltiplo de otra.
Las operaciones -'lidas #ue utili%amos para encontrar la solución de un sistema !
#ue permiten encontrar sistemas de ecuaciones son: multiplicar o di-idir a una
ecuación por un n8mero distinto de cero ! sumar ! restar a una ecuación un
m8ltiplo de otra.
El mtodo de reducción por suma o resta
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Para a(ian%ar m's este mtodo tam"in llamado de eliminación, se resume en los
siguientes pasos:
=K Se multiplican las ecuaciones por un n8mero con-eniente, para igualar el -alor
a"soluto de los coe(icientes de una misma incógnita, en las dos ecuaciones.
1K Seg8n #ue dicos coe(icientes resulten de igual o distinto signo, se restan o
suman las ecuaciones, con lo #ue se consigue eliminar dica incógnita. De all el
nom"re de eliminación o reducción.
>K Se resuel-e la ecuación de primer grado en la otra incógnita #ue as resulta.
K Se reempla%a esta por su -alor en una de las ecuaciones dada ! se o"tiene el
-alor de la primera incógnita o "ien se calcula esta incógnita por el mismo
mtodo.
) continuación se aplica este mtodo en un eemplo, para resol-er el siguiente
sistema:
1
>0@1!5@1
P&IME& P)S/: se o"ser-a en este eemplo, #ue "asta multiplicar la segunda
ecuación por > para igualar el -alor a"soluto de los coe(icientes de !, el sistema se
trans(orma en:
1
0@F!5@F
SE$9D/ P)S/: como los coe(icientes de ! tienen signos contrarios, se suman
miem"ro a miem"ro estas ecuaciones para eliminar la !. &esulta:
1
0@F!5@F
=05@1?
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/ tam"in es lo mismo plantearlo as:
1@F
=65@1?
2E&CE& P)S/: se resuel-e la ecuación en 0 #ue se aca"a de o"tener:
=05@1?
65@1?:=
65@1
C$)&2/ P)S/: se puede reempla%ar este -alor 05@1 en una ecuación del
sistema o "ien eliminar la 0, multiplicando la primera ecuación por > ! la segunda
por
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65@1
S
75;
65@1
S
75;
Luego la solución del sistema es:
Siguiendo con el eemplo :
641!5;
64!5?=
El mtodo utili%ado se denomina “mtodo de reducción por sumo o resta” !
consiste en encontrar una ecuación #ue posea solo una de las -aria"les del
sistema. Luego encontrar el -alor de la otra -aria"le repitiendo o no, el mismo
proceso.
El mtodo utili%ado se denomina “mtodo de reducción por sumo o resta” !
consiste en encontrar una ecuación #ue posea solo una de las -aria"les del
sistema. Luego encontrar el -alor de la otra -aria"le repitiendo o no, el mismo
proceso.
04!5?=
041!5;
1!5>
75=;
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Pero este -alor: !5=;, se puede reempla%ar en una de las dos ecuaciones, para
tener la solución de la otra incógnita, es decir, si !a o"tengo el -alor de una de las
incógnitas en este caso “!” la reempla%o en cual#uier ecuación, para o"tener la
otra incógnita, en este caso “0”.
)s: / "ien as:
04A1.=;5; 04A.=;5?=
04>5; 04F?5?=
05;@> 05?=@F?
05=> 05=>
APara cual#uier ecuación se o"tiene el mismo resultado
Se o"tiene el mismo resultado para cual#uiera de las dos ecuaciones.
7 tam"in se llegó al mismo resultado con el “mtodo de reducción por suma o
resta”.
Si lo reali%amos de esta (orma estaremos utili%ando una com"inación de mtodos,
primero para encontrar el -alor de “!” utili%amos el mtodo de reducción por suma
o resta, ! luego para encontrar el -alor de “0” utili%amos el mtodo de
S$S2I2$CI9.
El mtodo de sustitución depende de la (orma #ue tenga el sistema de
ecuaciones.
Primero a! #ue o"ser-ar #ue tipo de ecuación tengo, para luego -er cu'l ser' el
mtodo m's con-eniente a elegir para encontrar la solución del sistema.
Primero a! #ue o"ser-ar #ue tipo de ecuación tengo, para luego -er cu'l ser' el
mtodo m's con-eniente a elegir para encontrar la solución del sistema.
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Mtodo de sustitución:
Para a(ian%ar m's el mtodo, se resume en los siguientes pasos:
=K Se despea una de las incógnitas, en una de las ecuaciones del sistema.
1K Se sustitu!e en la otra ecuación dica incógnita por la e0presión o"tenida. De
all el mtodo de sustitución.
>KSe resuel-e la ecuación con una incógnita, #ue as resulta.
KEsta incógnita se reempla%a por el -alor o"tenido, en la e0presión #ue resulto al
despear la primera ! se calcula as el -alor de esta.
) continuación se aplica este mtodo, para resol-er el siguiente sistema:
104!5>
>0@1!5<
1
P&IME& P)S/: )l aplicar este mtodo es con-eniente o"ser-ar #ue incógnita !
en #ue ecuación es m's ('cil despear, para #ue #uede la incógnita despeada.
En este caso se -e #ue es la “!” en la ecuación 104!5>, despe'ndola se o"tiene:
104!5>
!5>@1!
SE$9D/ P)S/: Se reempla%a la “!” por el resultado o"tenido en la ecuación
>0@1!5
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1
2E&CE& P)S/: Se resuel-e esta ecuación de primer grado, cu!a incógnita 8nica
es “0”.
Para ello primero se e(ect8a la multiplicación indicada en el primer miem"ro ! se
o"tiene:
>0@F@05<
1
Se suma F a am"os >0@0@5
4!5>
!5>@
!5@=
651
S
75@=
651
S
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75@=
Luego la solución del sistema es:
En un sistema de ecuaciones, se puedo usar de(erentes mtodos para la
resolución de un sistema, es decir 1 mtodos di(erentes en un mismo sistema de
ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones, se puedo usar de(erentes mtodos para la
resolución de un sistema, es decir 1 mtodos di(erentes en un mismo sistema de
ecuaciones.
)ora conoceremos otros mtodos de resolución de ecuaciones:
Mtodo de igualación
Se resume en los siguientes pasos:
=K Se despea una de las incógnitas en las dos ecuaciones.
1K Se igualan las e0presiones o"tenidas. De all el nom"re de mtodo de
igualación.
>K Se resuel-e la ecuación de primer grado en la otra incógnita #ue as resulta.
K Se reempla%a el -alor o"tenido de esta 8ltima incógnita en cual#uiera de las
dos e0presiones #ue resultaron al despear la primera, ! se o"tiene as su -alor.
) continuación se aplica este mtodo para resol-er el siguiente sistema:
>0@!5@F
104!5=F
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P&IME& P)S/: )l aplicar este mtodo, tam"in con-iene o"ser-ar cual es la
incógnita #ue se despea m's ('cilmente en las dos ecuaciones, en este caso es
“0”. Se tiene as:
>0@!5@F 104!5=F
>05@F41! 105=F@!
05@F4! 05=F@!
> 1
SE$9D/ P)S/: se igualan los resultados o"tenidos en el paso anterior:
@F4!5=F@!
> 1
2E&CE& P)S/: se resuel-e la ecuación en “!” #ue se aca"a de o"tener:
1A@F4!5>A=F@!
@=14?!5?@=1!
?!4=1!5?4=1
1!5F
!5F:1
!5>
C$)&2/ P)S/: se sustitu!e “!” por su -alor >, en cual#uier ecuacion. Para tener
el -alor de “0”:
>0@A.>5@F 104A.>5=F
>0@=15@F 104=15=F
>05@F4=1 105=F@=1
65F:> 05:1
651 051
Ase o"tiene el mismo resultado para cual#uier ecuacion
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75>
S
651
75>
S
651
Luego la solucion de este sistema es:
Mtodo de determinante o cramer:
Para estudiar este mtodo es necesario de(inir pre-iamente #ue se entiende por:
Determinante de segundo orden. Dado n8meros: a=, "=, a1, "1, la noción
sim"ólica:
a= "=
a1 "1
Se llama determinante de segundo orden ! signi(ica la di(erencia entre el producto
a=, "1, ! el producto "=, a1, Es decir:
a= "= 5 a= "1 N "= a1
a1 "1
Eemplo: calcular con la de(inición dada, el -alor de las siguientes determinantes:
<
1 > 5.>@
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Ha! un mtodo #ue aplica estos determinantes de segundo orden, para la
resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitos.
Jorma general:
a=04"=!5c=
a104"1!5c1
a=04"=!5c=
a104"1!5c1
a= ! a1 son los coe(icientes de la incógnita 0.
"= ! "1 son los coe(icientes de la incógnita !.
c= ! c1 son los trminos independientes.
Eemplo: Se resuel-e el siguiente sistema por mtodo de determinantes:
0@>!5@;
F041!5
Como el determinante de los coe(iciente es: @> )plicando la r
&EL). F 1
&EL): el -alor de cada incógnita, de un sistema de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas, es una (racción #ue tiene por denominador el
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determinante de los coe(icientes de las incógnitas ! por numerador el
determinante #ue se o"tiene al reempla%ar en el anterior la columna de los
coe(icientes de la incógnita #ue se calcula por los trminos independiente.
&EL): el -alor de cada incógnita, de un sistema de dos ecuaciones de primer
grado con dos incógnitas, es una (racción #ue tiene por denominador el
determinante de los coe(icientes de las incógnitas ! por numerador el
determinante #ue se o"tiene al reempla%ar en el anterior la columna de los
coe(icientes de la incógnita #ue se calcula por los trminos independiente.
Entonces:
@; @>
65 1 5@;.1@A@>. 5 @=41; 5 => 5 =
@> .1@A@>.F ?4=? 1F 1
F 1
@;
75 F 5 .@A@;.F 5 >F41 5 ;? 5 >
@> .1@A@>.F 1F 1F
F 1
Luego el conunto de solución es: S5 A=B >
1
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/"ser-acion:
Para #ue se pueda aplicar este mtodo es necesario #ue el determinante de los
coe(icientes de las incógnitas sea distinto de cero, pues el (igura en el
denominador ! no se puede di-idir por cero.
* Cuando el determinante es distinto de cero, permite asegurar #ue el sistema
tiene una sola solución, #ue es o"tenida por la regla de los determinantes.
* Cuando el determinante es cero, no se puede aplicar la regla, el sistema no tiene
una sola soluciónB puede tener in(initas o no puede tener ninguna solución. Estas
consideraciones son generales para todos los sistemas de ecuaciones lineales.
Los determinantes se utili%an en los sistemas de ecuaciones lineales para
esta"lecer, antes de resol-er el sistema, si tiene una sola solución, si es
indeterminado o si es incompati"le.
Los determinantes se utili%an en los sistemas de ecuaciones lineales para
esta"lecer, antes de resol-er el sistema, si tiene una sola solución, si es
indeterminado o si es incompati"le.
Clasi(icacion de los sistemas lineales.
* Compati"les: con solución.
* Homogneos: trminos independientes nulos.
* 9o omogneos: no todos los trminos independientes son cero.
* Determinados: una solución.
* Indeterminados: in(initas soluciones.
)C2I+ID)DES:
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Eercicios:
=. &esuel-e por sustitución, igualación, reducción el sistema:
1. &esuel-e el sistema:
>. Halla las soluciones del sistema:
. &esuel-e:
Eercicio del sistema de ecuación resulto:
Pro"lemas:
=. Ouan compró un ordenador ! un tele-isor por 1 ! los -endió por 11F.
QCu'nto le costó cada o"eto, sa"iendo #ue en la -enta del ordenador ganó el
=R ! en la -enta del tele-isor ganó el =
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Pro"lemas resueltos del sistema de ecuaciones:
=
6 precio del ordenador.
7 precio del tele-isor.
Precio de -enta del ordenador.
Precio de -enta del tele-isor.
? precio del ordenador.
=1 precio del tele-isor.
1
6Uase del rect'ngulo.
7)ltura del rect'ngulo.
10 4 1! Permetro.
F cm Uase del rect'ngulo.
1 cm )ltura del rect'ngulo.
> 6 Dinero de )ntonio.
7 Dinero de Pedro.
1 Dinero de )ntonio.
=1 Dinero de Pedro
6 ci(ra de las unidades
7 ci(ra de las decenas
=0 4 ! 98mero
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=! 4 0 98mero in-ertido
98mero =
E-aluación de diagnóstico al (inali%ar un tema:
9om"re: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
Curso: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
Jeca: VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVV
=. La solución del sistema >0 N 1! 5 ? es:
0 4
a A@?,=
" A>, =
c A1, @=
d A@1 ,=
1. El enunciado “La suma de las edades de 1 niWos es ? aWos, el triple de uno m's
el do"le del otro es 1> aWos” se traduce en el sistema:
a 0 5 ? N !
>0 5 1> N 1!
" 0 5 ? 4 !
>0 5 1> N 1!
c 0 5 ? N !
>0 5 1> 4 1!
d 0 5 ? 4 !
>0 5 1> 4 1!
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>. La suma de 1 n8meros es =..
&epetto LinsYens Jes#uet.
Zapelus%.
* Pro"lemas >.
Patricia Jauring ! Jlora utierre%.
Colección 9amaYYal.
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.
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