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  • Prctica 7: Pndulo de Torsin

    Jos Manuel Romero Gonzlez y Paloma Rodrguez Casales

    May 7, 2014

    Abstract

    En esta prctica se pretende determinar el momento de inercia de un

    pndulo de torsin, su constante de torsin y su mdulo de rigidez, para

    ello se calcular primero el perodo de oscilacin del pndulo, acto seguido

    se le agregar una pieza y se estudiar el nuevo periodo de oscilacin que se

    incrementar, con esos datos se podr determinar el momento de Inercia I

    del pndulo, relaccionandolo con su constante de torsin y posteriormente

    con el mdulo de rigidez.

    1 Introduccin

    El momento de inercia (smbolo I) es una medida de la inercia rotacional de

    un cuerpo. Cuando un cuerpo gira en torno a uno de los ejes principales de

    inercia, la inercia rotacional puede ser representada como una magnitud escalar

    llamada momento de inercia. Sin embargo, en el caso ms general posible la

    inercia rotacional debe representarse por medio de un conjunto de momentos de

    inercia y componentes que forman el llamado tensor de inercia. La descripcin

    tensorial es necesaria para el anlisis de sistemas complejos, como por ejemplo

    en movimientos giroscpicos.

    El momento de inercia reeja la distribucin de masa de un cuerpo o de un

    sistema de partculas en rotacin, respecto a un eje de giro. El momento de

    inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro;

    pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

    El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en

    el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento

    angular longitudinal de un slido rgido.

    Denicin Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, el momento

    de inercia del mismo se dene como la suma de los productos de las masas de

    las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje.

    Matemticamente se expresa como:

    I =

    mir2i

    Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo), se generaliza como:

    I =mr2dm =

    Vr2 dV

    1

  • El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del

    cuerpo. Se resuelve a travs de una integral triple.

    Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al

    de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la

    resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento

    de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin.

    As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: \scriptstyle{F = m a} tiene como

    equivalente para la rotacin:

    = I donde :es el momento aplicado al cuerpoI es el momento de inercia del cuerpo con

    respecto al eje de rotacin y = d2dt2 es la aceleracin angular. Siempre y cuando

    la distancia con respecto al sistema de referencia permanezca constante.

    La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es

    12mv

    2,

    mientras que la energa cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular

    es

    12 I

    2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotacin.

    La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por

    equivalente la conservacin del momento angular

    ~L:

    ~L = I~El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccinque el vector velocidad angular ~. Ambos vectores tienen la misma direccin si

    el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces

    es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un

    momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.

    El mdulo de elasticidad transversal, tambin llamado mdulo de cizal-

    ladura, es una constante elstica que caracteriza el cambio de forma que ex-

    perimenta un material elstico (lineal e istropo) cuando se aplican esfuerzos

    cortantes. Este mdulo recibe una gran variedad de nombres, entre los que cabe

    destacar los siguientes: mdulo de rigidez transversal, mdulo de corte, mdulo

    de cortadura, mdulo elstico tangencial, mdulo de elasticidad transversal, y

    segunda constante de Lam.

    Para un material elstico lineal e istropo, el mdulo de elasticidad transver-

    sal es una constante con el mismo valor para todas las direcciones del espacio. En

    materiales anistropos se pueden denir varios mdulos de elasticidad transver-

    sal, y en los materiales elsticos no lineales dicho mdulo no es una constante

    sino que es una funcin dependiente del grado de deformacin.

    Denicin Experimentalmente el mdulo elstico transversal (o mdulo cor-

    titilatante) puede medirse de varios modos, conceptualmente la forma ms sen-

    cilla es considerar un cubo como el de la g. 1 y someterlo a una fuerza cortante,

    para pequeas deformaciones se puede calcular la razn entre la tensin y la dis-

    torsin angular:

    G := m F/Ax/l = FlxAExperimental tambin puede medirse a partir de experimentos de torsin,

    por lo que dicha constante no slo interviene en los procesos de cizalladura.

    2

  • 2 Fundamento Terico

    La ecuacin fundamental de la dinamica de la rotacin establece que el mo-

    mento externo M que actua sobre un cuerpo que gira al rededor de un eje jo

    es proporcional a la aceleracin angular que le produce, denominandose dicha

    constante momento de incercia I del cuerpo respecto a dicho eje.

    M = I

    El momento de incercia se puede calcular como la suma de los productos de

    todos los elementos de masa dm del cuerpo por el cuadrado de su distancia r al

    eje de giro.

    I =

    r2dm

    Hacia 1779, Coulomb abordaba el estudio del pndulo de torsin con ocasin

    de estar buscando la mejor tcnica para la brjula marina. En esencia, el pn-

    dulo de torsin esta formado por un hilo inextensible, anclado a un extremo,

    mientras que en el otro extremo, cuelga de el un cuerpo fsico con un momento

    de incercia determinado. Si se aplica un momento al pendulo de torsin, el

    alambre se retuerce y reaciona elsticamente con un momento recuperador en

    sentido contrario al aplicado, denomidado momento de torsin. Para gulos de

    torsin de pequea amplitud, el valor del momento M es proporcional al ngulo

    ; de modo que se cumple:

    M = D

    Dnde D es la constante de torsin, que est relacionada con el mdulo de

    rigidez por:

    D =r4G

    2lSupongamos una barra de longitud l y radio r dispuesta verticalmente, con

    su extremo superior jo:

    El extremo inferior est sujeto a un dispositivo que se puede girar libremente.

    Dndole un leve giro al cuerpo fsico, el momento exterior aplicado, M = D,es neutralizado por un momento elstico. Es decir, en el alambre, se desarrollan

    fuerzas elsticas que tienden a devolver el alambre y al cuerpo P a la posicin

    de partida. Pero, debido a la velocidad angular que lleva, se rebasa la posicin

    de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones en torno a dicha posicin, con

    torsiones alternativas en uno y otro sentido. Se dice que el sistema constituye

    un pndulo de torsin. Como se trata de un movimiento de rotacin, como ya

    hemos mencionado antes, el momento de las fuerzas ser igual al producto del

    momento de inercia I del sistema mvil por la aceleracin angular:

    D = I d2

    dt2

    3

  • De la ecuacin del periodo, podemos obtener la relacin entre I/D, pero no

    ambas por separado. Para resolver este problema, se aade al sistema un cuerpo

    de momento de inercia conocidoI0 respecto al eje de rotacin. Haciendo oscilarel sistema tendramos un nuevo periodo dado por:

    T0 = 2

    I + I0D

    El momento de inercia I0del cilindro se puede determinar con mucha pre-cisin a partir de las dimensiones geomtricas y la masa del cuerpo aadido al

    sistema, si su forma geomtrica es sencilla.

    Eliminando D de T y T0 , obtenemos:

    I=I0T 2

    T 20 T 2(2)

    y eliminando I entre las mismas ecuaciones:

    D = 42I0

    T20 T2(3)

    Una vez obtenido el valor de D, el de G se calcula a partir de la ecuacin anterior.

    3 Procedimiento Experimental y Conclusin

    El pndulo de torsin de esta prctica est formado por un alambre de unos 100

    cm de longitud, sujeto por su parte superior, y cuyo extremo inferior va unido

    a un disco metlico.

    1. Gire la masa del pndulo entorno al eje vertical y dejelo en libertad. El

    disco comenzar a oscilar en un plano horizontal.

    2. Determine con el cronmetro la duracin de 50 oscilaciones completas,

    repitiendo la operacin tres veces y realizando los clculos de dispersin

    pertinentes para decidir el nmero de medidas necesarias.

    4

  • Primero, medimos la duracin de 50 oscilaciones completas. La dispersin

    de las medidas obtenidas es menor del 2%:

    n tiempo periodo

    50 3736 ' 187,360, 0150 3' 7 44 ' 187,440, 0150 3' 7 28 ' 187,280, 01La media es 187,360, 01 s y el periodo T=3,74720, 0001 s y la dispersinde errores es menor al 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin

    1))

    3. Aada la pieza adicional y mida de nuevo el periodo T0en la misma formaque antes

    n tiempo periodo

    50 4' 22 22 ' 262,220, 0150 4' 21 94 ' 261,940, 0150 4' 22 25 ' 262,250, 01La media es 262,1370, 01 s y el periodo T0es 5,242740, 0001 s y sudispersin es menor del 2%. (Clculo de Dispersin de Errores (Dispersin

    1))

    4. Determine la masa de esta pieza y todas sus dimensiones geomtricas.

    Midiendo con unbalanza obtenemos una masa de 5000,01 g

    El radio R de la circunferencia exterior 0, 03050, 001 mEl radio menor r de la pieza 0,00650, 001 m

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  • La distancia d que posteriormente se emplear para el clculo del volu-

    men total d= R-r = 0,024 0,001La altura de la pieza h = 0,020,001 mEl espesor e = 0,005 0,0001 m5. Calcule el momento de inercia I0de la pieza. Para ello tenga en cuenta losvolmenes vaciados de la misma.

    Primero calcularemos el volumen total de la pieza tiendo en cuenta los vol-

    umenes de vaciado que forman un cilindro de radio r, y un paraleleppedo

    de ara e*h, despreciando el pequeo error de los borde e del cilindro

    que no es exactamente recto, sino que en realidad es curvo.

    Vt = V1 V2 V3siendo el V1 el volumen de la pieza maziza, el V2 el volumen del agujerodel centro y el V3 el volumen de la pieza que falta. Sustituyendo los datos:

    Vt = R2hr2h edh= 0,00005339468552 0,000000341242 m3Como conocemos la masa podemos calcular la densidad de la pieza :

    = m/V = 9.364.227,827 g/m3 = 9,3642278280,0000038734 g/cm3Calcular de I0 ,conociendo , vendr dado por:

    I0 =12V1R

    2 12V2r2 13V3d2= 0,252614705 0,00092573 kgm2

    (a) El momento de Inercia del cilindro de radio R que viene dado por

    I = 12mR2, donde como es constante multiplicado por el volumencontenido en cada espacio nos da su correspondiente masa.

    (b) El momento de Inercia de una varilla es I = 112mR2, pero como

    nuestra varilla no tiene su centro en el origen se aplica Steiner I =112mR

    2 +mR2

    4 =13mr

    2, multiplicando por su correspondiente volu-men obtenemos la masa.

    6. Con el valor obtenido para I0 y los correspondientes de T y T0 calcule Iaplicando la ecuacin (2).

    Como resultado se obtiene un valor de I= 0,516440678+0,00092573 kgm

    2

    7. Calcule el valor de D, sustituyendo los valores correspondientes en (3).

    Se obtiene despejando un valor para la constante de torsin D=0,741760219

    0,0036593 kgm2/s2

    8. Mida la longitud l del hilo y con el palmer su dimetro.

    (a) Se mide la longitud con la cinta mtrica l =0,090,001 m(b) El valor obtenido con el palmer para la cuerda es de 0,000320,000001mm

    9. Aplicando la ecuacin (1) calcule el mdulo de rigidez del alambre.

    G= 4.246625793 0,006748975

    6

  • Conclusin

    Como puede apreciarse la al agregar cualquier tipo de cuerpo a un pndulo de

    torsin deduciendo su volumen, su masa y por lo tanto su densidad se produce

    un incremento del periodo del pndulo debido a que varia el momento inercial

    del pndulo y en base a eso deduciendo la constante de torsin gracias a la

    relacin que mantiene con los periodos podemos deducir el momento de inercia

    del pndulo del pndulo cuando no se le haba incorporado pieza alguna, y con

    ello deducir, el mdulo de rigidez G, esto es til, independientemente de la pieza

    puesta, (se suele usar el cilindro con la franja porque jandote en la franja puede

    medir mejor el perodo). siempre y cuando podamos deducir la expresin de su

    volumen y considerandola con una densidad constante, suponiendo que dicha

    pieza agregada est formada por un nico material como es el caso.

    Tambin mencionar que reducir los errores instrumentales en esta grca

    es fundamental para poder obtener un valor de las medidas indirectas lo ms

    preciso posible, es por ello que por ejemplo el grosor de la cuerda del pndulo

    se mide con un palmer, ya que sino el error cometido sera demasiado grande e

    impreciso.

    Agradecimientos

    Se agradece la disponibilidad de los recursos didcticos de la UGR, gracias a los

    cuales es posible el aprendizaje, as como tambin se aprecia la ayuda prestada

    por el profesor a la hora de realizar la prctica y de responder dudas, tambin a

    los compaeros que hacen un entorno de trabajo muy agradable, y contribuyen

    siempre a un mayor aprendizaje sobre la practica al comentar los resultados

    sobre la misma.

    Apndice

    Clculo de Dispersin de Errores

    Primero procederemos al clculo de la dispersin de las medidas., que no es ms

    que la resta del valor mximo obtenido del perodo y el menor.

    D = Tmax TminCmo la dispersin es mayor que el error instrumental, el error no solo se

    debe a errores de carcter sistemtico sino a errores aleatrios.

    Por lo tanto hay que calcular cun es el nmero de medidas a obtener en

    base a la disperin porcentual, para lo cual:

    Se calcula la media de los 3 periodos:

    M = (3

    1Ti)/3Y luego se calcula el tanto por ciento de dispersin de las medidas y se

    comprueba que es menor al 2% segn las leyes de la estadstica, y vercar que

    es despreciable el error aleatoro, con las medidas tomadas anteriormente:

    7

  • T % =D

    M 100Haciendo cuentas obtenemos las dispersiones porcentuales de cada apartado:

    T1% dispersion1=0,000853971 (Dispersin 1)T2% dispersion2=0,001182589% (Dispersin 2)

    Clculo de Errores Instrumentales en las medidas Indirec-

    tas

    Los clculos de los errores se han obtenido aplicando reiteradamente la frmula

    de:

    4y =

    i

    (y

    xi

    )2(4xi)2 +

    j

    (y

    aj

    )2(4aj)2

    Obteniendose de de este modo, en cada medida indirecta: V = 0, 000000341242m3,p = 0, 0000038734g/cm, AI0 = 0, 00092573kgm

    2,D = 0, 0036593,G =0, 006748975

    Instrumentacin

    Cronmetro El cronmetro es un reloj cuya precisin ha sido comprobada y

    certicada por algn instituto o centro de control de precisin. Mediante algn

    mecanismo de complicacin, permite la medicin de tiempos. Normalmente,

    en su versin analgica van provistos de un pulsador de puesta en marcha y

    paro as como otro segundo pulsador de puesta a cero. En nuestro caso era un

    cronmetro digital. Con un error nstrumental de: 0,01 s

    Regla Graduada La regla graduada es un instrumento de medicin con forma

    de plancha delgada y rectangular que incluye una escala graduada dividida en

    unidades de longitud, por ejemplo centmetros o pulgadas; es un instrumento

    til para trazar segmentos rectilneos con la ayuda de un bolgrafo o lpiz, y

    puede ser rgido, semirrgido o exible, construido de madera, metal, material

    plstico, etc.

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  • Su longitud total rara vez es de un metro de longitud pero la mayoria es de

    30 centimetros. Suelen venir con graduaciones de diversas unidades de medida,

    como milmetros, centmetros, y decmetros, aunque tambin las hay con grad-

    uacin en pulgadas o en ambas unidades.Con un error nstrumental de: 1mm

    Calibrador El calibre, tambin denominado calibrador, cartabn de corred-

    era, pie de rey, pie de metro, forcpula (para medir rboles) o Vernier, es un in-

    strumento utilizado para medir dimensiones de objetos relativamente pequeos,

    desde centmetros hasta fracciones de milmetros (1/10 de milmetro, 1/20 de

    milmetro, 1/50 de milmetro). En la escala de las pulgadas tiene divisiones

    equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su nonio, de 1/128 de pulgada.

    Es un instrumento sumamente delicado y debe manipularse con habilidad,

    cuidado, delicadeza, con precaucin de no rayarlo ni doblarlo (en especial,

    la colisa de profundidad). Deben evitarse especialmente las limaduras, que

    pueden alojarse entre sus piezas y provocar daos.Con un error nstrumental

    de:0, 01mm

    Balanza La balanza es un instrumento que sirve para medir la masa de un

    objeto.

    Es una palanca de primer gnero de brazos iguales que, mediante el establec-

    imiento de una situacin de equilibrio entre los pesos de dos cuerpos, permite

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  • medir masas.

    Para realizar las mediciones se utilizan patrones de masa cuyo grado de exac-

    titud depende de la precisin del instrumento. Al igual que en una romana, pero

    a diferencia de una bscula o un dinammetro, los resultados de las mediciones

    no varan con la magnitud de la gravedad.

    El rango de medida y precisin de una balanza puede variar desde varios

    kilogramos (con precisin de gramos), en balanzas industriales y comerciales;

    hasta unos gramos (con precisin de miligramos) en balanzas de laboratorio.Con

    un error instrumental de 0,01 g

    Palmer El micrmetro, que tambin es denominado tornillo de Palmer, cali-

    bre Palmer o simplemente palmer, es un instrumento de medicin cuyo nombre

    deriva etimolgicamente de las palabras griegas (micros, pequeo) y o (metron,

    medicin); su funcionamiento se basa en un tornillo micromtrico que sirve para

    valorar el tamao de un objeto con gran precisin, en un rango del orden de

    centsimas o de milsimas de milmetro, 0,01 mm 0,001 mm (micra) respecti-

    vamente.

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  • References

    [1] http://es.wikipedia.org/wiki/Momento_de_inercia

    [2] http://es.wikipedia.org/wiki/Cron%C3%B3metro

    [3] Ortega, Manuel R. (1989-2006).

    [4] Lecciones de Fsica (4 volmenes). Monytex.

    [5] . Resnick,R. & Halliday, D. (1996). Physics. John Wiley & Sons.

    [6] .Fsica de Paul A. Tipler (Ed Revert S.A.).

    [7] Fsica COU de Francisco Pomer, Fernando Tena y otros(Ed. Ecir).

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