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Page 1: Parcial trigonometria

PARCIAL TRIGONOMETRÍA

Actividad 3:

-Una rana se adhiere fuertemente al borde de la rueda de un molino de agua de un metro de radio cuyo centro está exactamente en la superficie del agua. De manera inmediata, la rana es sacada del agua y gira junto con la rueda. La rueda gira en sentido antihorario, de modo que da una vuelta completa cada 6 minutos.

1) ¿Cuántos grados gira la rana cada minuto y cada segundo?

6 minutos _______ 360° 60’_________ 60°1 minuto________ 60°. 1’__________ 1°.

Rta: La rana gira 60° cada minuto y 1° cada segundo.

2) Si la rana recorrió 20°, ¿a qué altura de la superficie del río estará? Si en ese preciso momento la rana se dejara caer directamente hacia el agua, ¿a qué distancia del centro de la rueda caería? Explica tu respuesta.

Sen β: catetoopuestohipotenusa

Sen β: x1m

x

a

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Sen20° x1m= x

Cos β: catetoadyacentehipotenusa

cos 20° x 1 m = a

Cos 20°: a1m

0,94 m = a

Rta: La rana estará a 0,34 metros de la superficie del río. Se resolvió con la relación trigonométrica del seno ya que se contaban con los datos del radio de la rueda del molino de agua y el ángulo recorrido, es decir el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa del triángulo conformado. Si se deja caer, caerá a 0,94 metros del centro de la rueda, y se utilizó la relación trigonométrica del coseno para resolver la incógnita a.

3) Si la rana se queda pegada en el borde de la rueda:

a) ¿para cuántos grados estará a 20 cm de altura del agua? Explica tu respuesta.

Sen β = catetoopuestohipotenusa

β = arc sen0.20

Sen β = 0.201

m = 11° 32´13´´

Rta: Para 20 cm de altura del agua la rana estará formando un ángulo de 11° 32´13´´ con respecto a la superficie. Para hallar el ángulo se tomó a la altura como cateto opuesto y el radio de la rueda del molino como hipotenusa, utilizamos la relación trigonométrica del seno.

0,34 m= x

1 m20cm

β

β

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b) ¿Para cuántos grados estará a una distancia horizontal de 75 cm del centro de la rueda?

Cos β = catetoadyacentehipotenusa

β: arc cos = 0,751

Cos β = 0,751

m β: 41° 24´34´´

Rta: A una distancia horizontal de 0,75 m, la rana formará un ángulo de 41° 24´34´´ con respecto al centro de la rueda.

c) ¿Para cuántos grados la rana estará bajo el agua? Explica tu respuesta.

Rta: Dependiendo del lugar donde esté ubicada la rana deberá dar un giro de 180° o menos para estar bajo del agua.

0,75 m

1 m

β

180°

180°

Superficie terrestre

Debajo del agua

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d) Si empezamos a contar el tiempo en el instante en que la rana sale del agua, ¿en cuánto tiempo llegará de nuevo al agua y que distancia habrá recorrido? Explica tu respuesta.

360°

180°

Rta: Llegará al agua nuevamente en 3 minutos y habrá recorrido 180°, teniendo en cuenta que en 6 minutos recorre un giro completo (360°).

1 vuelta 360°

½ vuelta 180°

Rta: Desde el instante en que la rana haya salido del agua hasta que ingrese nuevamente habrá recorrido 3,14 metros. Porque al saber que en una vuelta recorre 6,28 metros en media vuelta recorrerá la mitad (3,14 metros).

e) Si la rana permanece 5 horas en la rueda, ¿cuántas vueltas dio y que distancia recorrió? Explica tu respuesta.

5 horas = 300 minutos

6 minutos

300 minutos

Una vuelta

6 minutos

X = (180x6) ÷ 360 3 minutos

180°

Sale del aguaLlega nuevamente al agua

π x d = 6,28 m

X = 3,14 metros

Una vuelta

X = (300x1)÷ 6 50 vueltas

π xd = 6,28 metros

x=¿ 50x6,28 314 metros

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50 vueltas

Rta: Si en 6 minutos la rana recorre una vuelta (360°), en 5 horas, que equivalen a 300 minutos, recorrerá 50 vueltas (1800°).

Si en una vuelta recorre 6,28 metros, entonces en 50 vueltas transitará 314 metros.

2- Elaborar el concepto de circunferencia unitaria, goniométrica o círculo trigonométrico, cuadrantes.

Circunferencia goniométrica

Para el estudio de las funciones trigonométricas se utiliza como base la circunferencia de radio 1 o circunferencia unitaria. Para obtener la fórmula de la circunferencia unitaria usamos la fórmula de distancia entre dos puntos. Consideramos el centro “O” con coordenadas (0,0), el radio 1 y un punto cualquiera M sobre la circunferencia de coordenadas (x,y).

Definición de cuadrantes:

Los ejes de coordenadas X e Y dividen al plano en 4 partes iguales y cada uno de ellos se llama cuadrante. Cada cuadrante mide un ángulo recto.

y

x

I (+,+)II (-,+)

III (-,-) IV (+,-)

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2. Indica cuáles son las coordenadas de M Las coordenadas del lado son (X´, Y’)

3. Dibuja el triángulo rectángulo que se forma con el punto M, la distancia y’ y la parte positiva del eje x.

4. Aplicando lo que sabes sobre razones trigonométricas en triángulos rectángulos, calcula el valor de x y el valor de y del triángulo que dibujaste. Explica tu respuesta.

El lado XY es el lado opuesto al ángulo de referencia, por lo que se toma la función seno para calcular su valor:

Seno α= catetoopuestohipotenusa

Seno α= XYOM

Seno α× OM = XY

5. Representar en un círculo trigonométrico de radio 1, en forma aproximada, los

siguientes ángulos (cada ángulo en un círculo):

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a) 30º ; 45º; 60º; 90º; 225º; 300º; -45º

b) π/4; -π/4¸π/6; 2/3 π; -π

6. Sea un ángulo de 450º:

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a) Grafica el ángulo en un círculo trigonométrico. ¿A qué cuadrante pertenece este ángulo?

Pertenece al primer cuadrante

B) Determina cuántos giros completos lo forman y cuánto sobra y luego completa:

450º = 360º × cantidad de giros + ángulo que sobra

Lo forma un giro completo y sobran 90°:

450° = 360° x cantidad de giros + ángulo que sobra.

450°= 360° x 1 + 90°

7. Elabora una regla general para que, dado un ángulo α cualquiera mayor que un giro, lo puedas reducir a su equivalente que llamaremos β.

α−360 ° xcantidad de giros=β

Regla general: Sea un ángulo αmayor a 360° (un giro) se lo puede reducir a su

equivalente (al que llamaremos β ) ; multiplicando 360°por la cantidad de giros. Luego se

hace la diferencia entre α y dicho resultado.

1. ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo de:

a) 500º b) 1000º c) 786º

a) 500°:500°-360° = 140°, por lo que pertenece al II cuadrante.

b) 1000°:

450° - 360° = 90°

I

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1000°-720°= 280°, es decir que pertenece al IV cuadrante.

c) 786°: 786°-720°= 66°, pertenece al I cuadrante.

2. Sea un ángulo de -120º:

a) Grafica el ángulo en un círculo trigonométrico. ¿A qué cuadrante pertenece este ángulo? ¿A qué ángulo positivo equivale?

- 120° pertenece al III cuadrante y su ángulo equivale positivo es 240°

-120° + 360° = 240.

b) Realiza el mismo análisis para – 300º:

- 300 + 360= 60.

c) Trata de pensar en una regla o fórmula para transformar un ángulo negativo α cualquiera en un positivo equivalente, que llamaremos β.

El ángulo -300° pertenece al I cuadrante y su ángulo equivalente positivo es 60°.

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Regla: Para transformar un ángulo negativo α en su equivalente positivo β se le suma 360° por la cantidad de giros.

- α + 360° x la cantidad de giros = β

1- Utiliza una hoja de cálculos, en el progama Excel y realiza una tabla como la siguiente, transforma las amplitudes de los angulos a radiales, y a halla las funciones trigonométricas que aquí se piden:

Amplitud del ángulo en grados

Amplitud del ánguloen radiales Seno Coseno Tangente

0° 0 0 1 030° 0,52 0,5 0,87 0,5860° 1,05 0,87 0,5 1,7390° 1,57 1 0 →∞

120° 2,09 0,87 -0,5 -1,73150° 2,62 0,5 -0,87 -0,58180° 3,14 0 -1 0210° 3,66 -0,5 -0,87 0,57240° 4,19 -0,87 -0,5 1,73270° 4,71 -1 0 →∞300° 5,23 -0,87 0,5 -1,73330° 5,76 -0,5 0,87 -0,58360° 6,28 0 1 0

2. Construye, utilizando un programa graficador, las gráficas de las funciones seno,

coseno y tangente de los ángulos que usaste en la tabla.

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3. Analiza los valores obtenidos en la tabla de la actividad 1, observa los gráficos que obtuviste en la actividad 2 y responde las siguientes preguntas:

a) ¿Para qué amplitudes los resultados de la función coseno se repiten?

Para la función coseno las amplitudes que se repiten son:

30° y 330° (0,87) 60° y 300° (0,5) 0° y 360° (1) 90° y 270° (0) 120° y 240° (-0,5) 150° y 210° (-0,87)

b) ¿Qué resultados de la función seno son nulos? ¿Qué periodicidad observan?

Los resultados de la función seno que resultan nulos son 0°, 180° y 360°. La periodicidad que observamos es cada 180° en la tabla; y cada 2π en la gráfica, es decir, se repite cada tramo comprendido entre 2π.

c) ¿Para qué amplitudes el resultado de la función coseno es 0,5?

Para las amplitudes 60° y 300° la función coseno es igual a 0,5.

d) ¿Para qué amplitudes la función tangente presenta resultados negativos?

Para las amplitudes 120°, 150°, 300° y 330° la función tangente presenta resultados negativos.

sen cosec tg cotg cos sec

+ + + + + +

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c) De la misma forma que en el inciso a) trabaja la consigna completa, pero con ángulos dibujados en el segundo cuadrante, tercero y cuarto y luego sintetiza tus respuestas en un gráfico de la circunferencia goniométrica.

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el ele positivo de las y . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el coseno, la tangente y sus inversas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

sen cosec tg cotg cos sec

+ + - - - -

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes. En este caso la tangente (y su inversa, la cotangente) resultan positivas (- : - = +)

REFERENCIASTANSENCOS

REFERENCIASSENTANCOS

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sen cosec tg cotg cos sec

- - + + - -

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las x, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.

sen cosec tg cotg cos sec

- - - - + +

REFERENCIASSENTANCOS

REFERENCIASSENTANCOS