PARÁMETROS DISTRIBUIDOSPARÁMETROS DISTRIBUIDOS
r=2rr=2rcc
l=2ll=2lcc
rc x lc x
g x c x
rc x lc x
rc x lc x
rc x lc x
g x c x
rc x lc x
rc x lc x
g x
xxx
c x
r x l x
g x c x
r x l x
g x c x
r x l x
g x
xxx
c x
ECUACIONES DE LÍNEAECUACIONES DE LÍNEA
r ·x l · x
g · x
c · x
r · x l · x
g · x
c · x
x x x
v+v
v
ii
v
i-i
v=f(v=f(xx,t),t)
i=f(i=f(xx,t),t)
v r x i l xtid
d
i g x v c xtvd
d
v
xr i l
tid
d
i
xg v c
tvd
d
x
dV
dI
z
x
d Id
V
y
x
d V
dr j l I
d I
dxg j c V
Para Para variacióvariació
n n armónicarmónic
aa
SOLUCIÓN FASORIAL DE LAS SOLUCIÓN FASORIAL DE LAS ECUACIONES DE LÍNEAECUACIONES DE LÍNEA
x
dV
dI
z
x
d I
d V
y
2d V
d x2
zd I
d x
d2
I
d x2
yd V
d x
d2
V
d x2
z y V
d2
I
d x2
z y I
V
V
1 e x V
2 e x
I
I
1 e x
I
2 e x
V
V
1 ez y x V
2 e
z y x
I
I
1 ez y x I
2 e
z y x
Coeficiente de propagaciónCoeficiente de propagación zz yy
r j l g j c
j
Coeficiente de atenuaciónCoeficiente de atenuación [Neper [Neper/m/m]]
Coeficiente de faseCoeficiente de fase [rad/m][rad/m]
ONDAS VIAJERASONDAS VIAJERASV
V
1 ex ej x V
2 e x e
j x
Usualmente la referencia x=0 para medir distancias a lo largo de la Usualmente la referencia x=0 para medir distancias a lo largo de la línea es la ubicación de la carga. línea es la ubicación de la carga.
Vi = V1 e xx Onda viajera incidente (viaja de generador a carga)Onda viajera incidente (viaja de generador a carga)
ReRe
ImIm
x=0x=0
Hacia el Hacia el generadorgenerador
VV22 e exx11
x=xx=x11
x1ReRe
ImIm
x=0x=0
x=xx=x11
Hacia el Hacia el generadorgenerador
x1
VV11 eexx11
t=tt=t0 0 (ref. (ref. VV11=0)=0)
Vr = V2 e- x-xOnda viajera reflejada (viaja de carga a generador )Onda viajera reflejada (viaja de carga a generador )
22
V = Vi + Vr
FOTO INSTANTÁNEA DE LAS ONDAS VIAJERAS A LO FOTO INSTANTÁNEA DE LAS ONDAS VIAJERAS A LO LARGO DE LA LÍNEALARGO DE LA LÍNEA
vvii(x,t(x,t00))vvrr(x,t(x,t00))
x=Lx=L
Gen.Gen.
x=0x=0
CargaCarga
LA LA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA ZZoo
xxddIIdd II11
ee xx II22
ee xx yy VV
II11
ee xx II22
ee xx
VV
yyIIii
yy
IIrr
VV zz
yyIIii
zzyy
IIrr
VVii
VVrr
zzyy
IIii
zzyy
IIrr
ZZoozzyy
VVii
ZZoo IIii
VVrr
ZZoo IIrr
En ausencia de otros tipos de distorsión, si todas las componentes En ausencia de otros tipos de distorsión, si todas las componentes de la señal se atenuaran en la misma proporción al viajar por la de la señal se atenuaran en la misma proporción al viajar por la línea, entonces la señal reconstruida en el receptor, aunque línea, entonces la señal reconstruida en el receptor, aunque atenuada, mantendría la forma original, preservándose así la atenuada, mantendría la forma original, preservándose así la información a ella asociada. Si por el contrario la constante de información a ella asociada. Si por el contrario la constante de atenuación atenuación varía con la frecuencia, entonces las diferentes varía con la frecuencia, entonces las diferentes componentes viajeras de la señal son atenuadas de manera componentes viajeras de la señal son atenuadas de manera diferente y al sumarse en el receptor dan origen a una señal de diferente y al sumarse en el receptor dan origen a una señal de forma diferente a la enviada por el transmisor.forma diferente a la enviada por el transmisor.Este inconveniente toma el nombre de Este inconveniente toma el nombre de distorsión de amplituddistorsión de amplitud..La distorsión de amplitud puede mejorarse con el proceso de La distorsión de amplitud puede mejorarse con el proceso de ecualización.ecualización.
DISTORSIÓN DE AMPLITUDDISTORSIÓN DE AMPLITUD
ff1 10
61 10
71 10
80
2
4
6
8
10 (dB/km)(dB/km)
Atenuación de un cable coaxial típicoAtenuación de un cable coaxial típico
EJEMPLOEJEMPLOUna señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia Una señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente recorre una línea de 50 km, siendo la componente de más diferente recorre una línea de 50 km, siendo la componente de más alta frecuencia atenuada mayormente durante el trayecto. Observe alta frecuencia atenuada mayormente durante el trayecto. Observe la distorsión de amplitud experimentada por la señal al llegar al la distorsión de amplitud experimentada por la señal al llegar al receptor:receptor:x 50km
gTx t( ) cos 2 5 109 t 1
2cos 2 10 10
9 t
2 0.02neper
km1 0.01
neper
km
gRx t( ) e1 x
cos 2 5 109 t e
2 x
2cos 2 10 10
9 t
ggTxTx(t)(t)ggRxRx(t)(t)
tt
VELOCIDAD DE FASEVELOCIDAD DE FASE
¿ A qué velocidad viajan las ondas incidente y reflejada ? Para el caso de ¿ A qué velocidad viajan las ondas incidente y reflejada ? Para el caso de onda armónica pura la respuesta es simple:onda armónica pura la respuesta es simple:
vdx
dtv
1
d
dt v
v
2
vvff ff
En el vacío la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz c. Sin En el vacío la velocidad de fase coincide con la velocidad de la luz c. Sin embargo, en medios guíados la velocidad de fase es inferior a la de la luz. embargo, en medios guíados la velocidad de fase es inferior a la de la luz.
vvffcc
rr
Esto significa que para una misma frecuencia la longitud de onda es Esto significa que para una misma frecuencia la longitud de onda es menor en el medio guíado.menor en el medio guíado.
DISTORSIÓN DE FASEDISTORSIÓN DE FASE
Usualmente una señal de información no contiene una sola Usualmente una señal de información no contiene una sola
frecuencia, sino que está constituida por un espectro continuo frecuencia, sino que está constituida por un espectro continuo
de frecuencias. Si el producto de frecuencias. Si el producto f se mantuviese constante, todas f se mantuviese constante, todas
las componentes de frecuencia de la señal viajarían a la misma las componentes de frecuencia de la señal viajarían a la misma
velocidad velocidad vvf f y llegarían a destino al mismo tiempo, sumándose y llegarían a destino al mismo tiempo, sumándose
entonces con la misma relación de fase (desfasaje) que tenían al entonces con la misma relación de fase (desfasaje) que tenían al
generador y así se reconstituye la señal con la misma forma generador y así se reconstituye la señal con la misma forma
original (aquí se obvian las posibles alteraciones introducidas original (aquí se obvian las posibles alteraciones introducidas
por la distorsión de atenuación).por la distorsión de atenuación).
Desafortunadamente el producto Desafortunadamente el producto f no se mantiene f no se mantiene
estrictamente constante al variar la frecuencia, así que las estrictamente constante al variar la frecuencia, así que las
diferentes componentes de la señal viajan con velocidades diferentes componentes de la señal viajan con velocidades
diferentes, llegando al receptor con retardos diferentes y por lo diferentes, llegando al receptor con retardos diferentes y por lo
tanto se modifica la relación de fase entre ellas. La señal tanto se modifica la relación de fase entre ellas. La señal
reconstruida tendrá por lo tanto una forma diferente. Se ha reconstruida tendrá por lo tanto una forma diferente. Se ha
producido producido distorsión de fase.distorsión de fase.
x 50km 1Tx 0º 2Tx 0º
vf1 2.7 108m
s 1Rx
2 5 109 x
vf1
vf2 0.013 108m
s 2Rx
2 10 109 x
vf2
fTx t( ) cos 2 5 109 t 1
2cos 2 10 109 t
fRx t( ) cos 2 5 109 t 1Rx
1
2cos 2 10 109 t 2Rx
EJEMPLOEJEMPLOTómese nuevamente el ejemplo sencillo de la señal constituida por Tómese nuevamente el ejemplo sencillo de la señal constituida por la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente para observar la la suma de dos sinusoides de frecuencia diferente para observar la distorsión de fase en el receptor. La componentes viajan con distorsión de fase en el receptor. La componentes viajan con velocidades diferentes, vvelocidades diferentes, vf1f1>v>vf2f2::
ffTxTx(t)(t)ffRxRx(t)(t)
tt
Vr = V2 -x Onda reflejada (viaja de carga a generador )Onda reflejada (viaja de carga a generador )
LA LA LÍNEALÍNEA SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0) SIN PÉRDIDAS (r=0, g=0)
V
V
1 ej x V
2 e
-j x
I
I
1 ej x I
2 e
-j x
V = V1 x + V2 -x
I = I1 x + I2 -x
Vi = V1 x Onda incidente (viaja de generador a carga)Onda incidente (viaja de generador a carga)
x=Lx=L
Gen.Gen.
x=0x=0
CargaCarga
ZZooll
cc jj ll cc
0 l c
REFLEXIÓN Y REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA REFRACCIÓN DE LA ONDA DE TENSIÓNONDA DE TENSIÓN
Cualquier discontinuidad en el medio Cualquier discontinuidad en el medio de transmisión produce unade transmisión produce una reflexión reflexión de parte de la energía incidente, de parte de la energía incidente, mientras que la parte restante mientras que la parte restante continúa su propagación, es decir se continúa su propagación, es decir se refracta.refracta. Este fenómeno se describe Este fenómeno se describe mediante mediante la relación entre onda reflejada y la relación entre onda reflejada y onda incidente, que toma el nombre onda incidente, que toma el nombre de de índice de reflexión, índice de reflexión, mientras que mientras que la relación entre onda refractada y la relación entre onda refractada y onda incidente toma el nombre de onda incidente toma el nombre de índice de refraccióníndice de refracción. Ambos pueden . Ambos pueden ser complejos y pueden definirse ser complejos y pueden definirse tanto para la onda de tensión como tanto para la onda de tensión como de corriente. de corriente.
vv
xx(( ))VVrr
xx(( ))
VVii
xx(( ))
Coeficiente de reflexión de tensión:*Coeficiente de reflexión de tensión:*
Coeficiente de transmisión Coeficiente de transmisión o refracción de tensión:*o refracción de tensión:*
Hacia la cargaHacia la carga Hacia el transmisorHacia el transmisor
ZZo1o1ZZoo
22
La tensión en el punto de La tensión en el punto de discontinuidad xdiscontinuidad xoo es única, por lo es única, por lo
tanto:tanto:
xx
oo
vv
xxoo VVtrtr
xxoo VVii
xxoo
Vtr
xo Vi
xo Vr
xo
Vtr
xo Vi
xo 1 v
xo
vv
xxoo 11 vv
xxoo
II
xx(( ))IIrr
xx(( ))
IIii
xx(( ))
Coeficiente de reflexión de Coeficiente de reflexión de corriente:corriente:
Coeficientes de Coeficientes de transmisión o refracción de transmisión o refracción de
corriente:corriente:
REFLEXIÓN Y REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LA REFRACCIÓN DE LA
ONDA DE CORRIENTEONDA DE CORRIENTE
II
xxoo IItrtr
xxoo IIii
xxoo Relación entre coeficiente de Relación entre coeficiente de reflexión de tensión y él de reflexión de tensión y él de
corriente:corriente:
vv
xx(( ))ZZoo
IIrr
xx(( ))
ZZoo
IIii
xx(( ))
vv
xx(( )) II
xx(( ))
ZZo1o1
ZZoo
33
ZZoo
22
xx
oo
IIi, i, IIrr
VVi, i, VVrr
IItr2, tr2, VVtr2tr2
IItr3, tr3, VVtr3tr3
Vtr2
xo Vtr3
xo Vtr
xo Vi
xo Vr
xo
Zo2
Itr2
xo Zo3
Itr3
xo
Hacia las cargasHacia las cargas
Hacia el transmisorHacia el transmisor
Unicidad de la tensión en xUnicidad de la tensión en xoo::
Itr2
xo Ii
xo Ir
xo
Zo3
Zo2
Zo3
Itr3
xo Ii
xo Ir
xo
Zo2
Zo2
Zo3
Divisor de corriente (en el supuesto Divisor de corriente (en el supuesto que en las líneas 2 y 3 no existen ondas que en las líneas 2 y 3 no existen ondas reflejadas): reflejadas):
IMPEDANCIA DE LA IMPEDANCIA DE LA LÍNEALÍNEA
x=Lx=L
Gen.Gen.
x=0x=0
CargaCarga
ZZ
xx(( ))VV
xx(( ))
II
xx(( ))
ZZ
xx(( ))VVii
xx(( )) VVrr
xx(( ))
IIii
xx(( )) IIrr
xx(( ))
ZZ
xx(( ))VVii
xx(( ))
IIii
xx(( ))
11 vv
xx(( ))
11 II
xx(( ))
ZZ
xx(( )) ZZoo 11 vv
xx(( ))
11 vv
xx(( ))
ZZ
xx(( ))
XX
ZZ xx(( )) ZZoo
11 vv xx(( ))
11 vv
xx(( ))
11 vv
xx(( ))ZZoo
ZZ
xx(( ))11 vv
xx(( ))
vv
xx(( )) 11ZZoo
ZZ
xx(( ))
11ZZoo
ZZ
xx(( ))
vv
xx(( ))ZZ
xx(( )) ZZoo
ZZ
xx(( )) ZZoo
REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)
C.A.C.A. C.C.C.C.
II
00(( )) 00
Ii
0( ) Ir 0( )Vi
0( )
Z0
Vr
0( )
Z0
Leyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verdeLeyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verde
x=0x=0 Zo (real)Zo (real)
VV
00(( )) 00 Vi
0( ) Vr
0( )
VV
00(( )) 22 VVii
00(( )) II
00(( )) 22 IIii
00(( ))
Zo
Ii
0( ) Zo Ir
0( )
X=0X=0 X=0X=0
VV
00(( )) 11
II
00(( )) 11
VV
00(( )) -1-1
II
00(( )) 11
REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA (Zo=Real)
RRcc=3Z=3Z
oo
Leyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verdeLeyenda: Leyenda: VVii=rojo=rojo, , VVrr=azul=azul, , IIii=marrón=marrón, , IIrr=verde=verde
v
0( )3 Zo Zo
3 Zo Zo
v
0( ) 1
2
Vr
0( )1
2Vi
0( )
Ir
0( )1
2 Ii
0( )
I
0( ) 1
2
x=0x=0
ZZcc 11
33ZZoo 60º60º
X=0X=0
v
0( ) 0.73 147 º
I
0( ) 0.73 33º
X=0X=0
REFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGAREFLEXIONES EN DIFERENTES TIPOS DE CARGA
Zc=ZoZc=Zo (Zo=Real)(Zo=Real)
Zc=ZoZc=Zo
vv
00
v
0( ) 1 VVZcZc
VVii00(( ))
VVZcZc
INTERFERENCIAINTERFERENCIALa presencia de dos ondas en el mismo medio produce el fenómeno de la La presencia de dos ondas en el mismo medio produce el fenómeno de la interferencia,interferencia, al sumarse estas ondas punto a punto e instante a instante. al sumarse estas ondas punto a punto e instante a instante. Si las ondas tienen la misma frecuencia, el resultado de la suma es una Si las ondas tienen la misma frecuencia, el resultado de la suma es una onda que no aparenta movimiento, denominada onda que no aparenta movimiento, denominada onda estacionariaonda estacionaria. El . El fenómeno puede visualizarse con facilidad en una línea de transmisión fenómeno puede visualizarse con facilidad en una línea de transmisión donde estén presente la onda incidente y la onda reflejada, ambas donde estén presente la onda incidente y la onda reflejada, ambas sinusoidales. El análisis de los vectores rotantes para las ondas de tensión sinusoidales. El análisis de los vectores rotantes para las ondas de tensión incidente y reflejada muestra lo siguiente: incidente y reflejada muestra lo siguiente:
x=0x=0
=- =-
==
x=x=/8/8
- 45º- 45º
45º45º
x=x=/8+/8+/4/4
-135º-135º
135º135º
Con separación Con separación /4 se suceden máximos y mínimos de la amplitud del /4 se suceden máximos y mínimos de la amplitud del fasor resultante: se produce un máximo de interferencia cuando la onda fasor resultante: se produce un máximo de interferencia cuando la onda incidente y reflejada se suman en fase; se produce un mínimo de incidente y reflejada se suman en fase; se produce un mínimo de interferencia cuando onda incidente y reflejada se suman en contrafase interferencia cuando onda incidente y reflejada se suman en contrafase
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 502
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2LA ONDA LA ONDA
ESTACIONARIA EN ESTACIONARIA EN UNA LÍNEA SIN UNA LÍNEA SIN
PÉRDIDASPÉRDIDAS
vvii xx(( )) 11 coscos ttoo22
xx
vvrr xx(( )) 0.50.5 coscos ttoo22
xx
22
VVii
xx(( )) 11 xx VVrr
xx(( )) 0.50.5 xx
22
VVoeoe
xx(( )) 11 xx 0.50.5 xx
22
VVoeoe
xx(( )) 11 coscos xx 0.50.5 coscos xx
22
22
11 sinsin xx 0.50.5 sinsin xx
22
22
Morado: onda incidenteMorado: onda incidenteAzul: onda reflejadaAzul: onda reflejadaRojo: picos de la onda estacionariaRojo: picos de la onda estacionaria
xx
LA RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE)LA RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA (ROE)
Es un indicador del grado de desacoplamiento entre la carga y la Es un indicador del grado de desacoplamiento entre la carga y la línea: cuanto mayor será la amplitud de la onda reflejada en línea línea: cuanto mayor será la amplitud de la onda reflejada en línea (potencia rechazada por la carga) tanto mayor será el (potencia rechazada por la carga) tanto mayor será el desacoplamiento. A mayor amplitud de la onda reflejada, mayor la desacoplamiento. A mayor amplitud de la onda reflejada, mayor la excursión entre máximos y mínimos de interferencia en la onda excursión entre máximos y mínimos de interferencia en la onda estacionaria. estacionaria.
ROEROEVVmáxmáx
VVmínmín
ROEROEVVii VVrr
VVii VVrr
ROEROE11 vv
11 vv
x=Lx=L
Gen.Gen.
x=0x=0
CargaCarga
Ch ACh A
Ch BCh B
SIGNIFICADO DEL PATRÓN DE ONDA ESTACIONARIA SIGNIFICADO DEL PATRÓN DE ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS SIN PÉRDIDASEN LÍNEAS SIN PÉRDIDAS
ONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS CON PÉRDIDASONDA ESTACIONARIA EN LÍNEAS CON PÉRDIDAS
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
4
2
0
2
4
Morado: onda incidenteMorado: onda incidenteAzul: onda reflejadaAzul: onda reflejadaRojo: picos de la onda estacionariaRojo: picos de la onda estacionaria
xx
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