P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 1
Repaso de clase anterior
•Definición y propiedades de probabilidad (significado intuitivo, Axiomática de Kolmogorov).
•Teorema de Continuidad de la Probabilidad.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 2
4. Probabilidad condicional, independencia.
Ejemplo un tanto macabro:
“Probabilidad de perder en la ruleta rusa=1/6”
“Probabilidad de perder en la ruleta rusa (sin girar el cargador) cuando ya cinco jugaron y se salvaron=1”
El agregado de información relevante puede aumentar o disminuír las chances de un evento.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 3
La Probabilidad Condicional, o “Probabilidad de A dado B” (que simbolizaremos P(A/B)) es
la Probabilidad que tiene A cuando se sabe que B ocurre
o, equivalentemente,
la frecuencia con que ocurre A dentro de las ocurrencias de B
Veámoslo en el siguiente ejemplo, un cuadro de datos de clima en región pre-montañosa, en los que indicamos con “LL” los
días en los que llovió de manera moderada o intensa y con “E” los días en que predominaron los vientos del Este.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 4
Se observa que la frecuencia de lluvias es109/990=0.11 y que, dentro de los días de viento Este, la frecuencia de lluvias
es 65/86=0.76
Si A=“Llueve” y B=“Vientos del Este”, estimaríamos entonces que, aproximadamente (en el sentido que las frecuencias observadas sobre
muchos días son aproximaciones de las probabilidades), P(A)=0.11, P(A/B)=0.76
Observar que, aproximadamente:
P(AB)=65/990, P(B)= 86/990 y por lo tantoP(AB)/P(B)=65/86=P(A/B)
Vientos Lluvias Total SI NO
E SI 65 21 86
E NO 44 860 904
Total 109 881 990
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 5
No es ninguna casualidad, en general se define la probabilidad condicional por
Observar también que en el ejemplo anterior, uno tendería a decir que los vientos del Este aumentan la probabilidad de lluvias, ya que
es más probable que llueva un día con vientos del este que en un día cualquiera (P(A/B)>P(A))
Esto tampoco es casualidad, se define que dos sucesos A y B son independientes si
P(A/B)=P(A), o, equivalentemente, si
P(A/B)= P(AB)/P(B)
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 6
Intuitivamente, A y B son independientes cuando la información de que uno de los sucesos ocurre (o de que no ocurre) es absolutamente
irrelevante para el otro suceso a quien no le afecta sus chances de ocurrir.
P(A)P(B)= P(AB)
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 7
Cuidado!!!
P(A/B) tiene todas las propiedades de una probabilidad al variar el conjunto A, pero no al variar el conjunto B. Por ejemplo, siempre se cumple que
P(Ac/B)= 1- P(A/B), pero no tiene por qué ocurrir que
P(A/Bc)= 1- P(A/B);
En efecto, si en el lanzamiento de un dado equilibrado A= “sale un 6”, B=“sale un nro. par”, entonces
P(A/Bc)=0, 1- P(A/B)=1-1/3=2/3.
No confundir independencia e incompatibilidad; dos eventos incompatibles NO son independientes.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 8
Break: Andrei Nikolaievich Kolmogorov
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 9
Teorema de Bayes(Inversión de Probabilidades Condicionales):
Si B1,...,Bk son sucesos incompatibles (cualquier par de estos eventos que se consideren tienen intersección
vacía) y además la unión de todos ellos tiene probabilidad 1, y si A es un sucesos con P(A) > 0,
entonces para cualquier mentre 1 y k se tiene que:
P(Bm /A) = P(A/Bm )P(Bm )/( 1jk P(A/Bj )P(Bj ))
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 10
• Ejemplo novelesco: “Hijo!!! Soy tu madre!!!!!”
En una población animal, distintos tipos de progenitores tienen distintas probabilidades de dar lugar a un descendiente con determinada característica genética C. Los progenitores de tipo I tienen una probabilidad 0.10 de producir un tal descendiente, los progenitores de tipo II tienen una probabilidad 0.15 de producirlo y los de tipo III, tienen probabilidad 0.20.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 11
En la población de marras, los distintos tipos de progenitores se presentan con las siguientes
frecuencias:
tipo I, 0.90tipo II, 0.08tipo III, 0.02
Si se observa un individuo portador de la
característica C en dicha población ¿ de qué tipo de progenitor es más probable que provenga?
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 12
P(B1 /A)= (0.10 x 0.90)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)=0.85; P(B2 /A)= (0.15x0.08)/(0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)=0.11;
Aplicando la fórmula de Bayes, llamando A al suceso “descendiente con característica C” y Bj al
suceso “progenitores de tipo j”, resulta que
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 13
P(B3 /A)= (0.20x0.02)/ (0.10x0.90 +0.15x0.08+0.20x0.02)
=0.04;
Respuesta: lo más probable es que sus progenitores sean del tipo I!!
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 14
Atenti!!!
Debe observarse que 3 sucesos A, B y C son independientes si y sólo si se cumplen todas las siguientes ecuaciones:
Y no alcanza con las tres últimas ecuaciones, es decir, tres sucesos A, B, C pueden ser independientes de a pares ( A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes) pero no ser independientes si al juntar dos sucesos se obtiene información relevante sobre el tercer evento.
P(ABC)=P(A) P(B) P(C),P(AB)=P(A) P(B), P(BC)=P(B) P(C),P(AC)=P(A) P(C)
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 15
Ejemplo:
Si lanzamos de manera independiente dos dados equilibrados, uno de color rojo y otro de color azul y consideramos los sucesos A= “En el dado rojo sale un seis”
B= “En el dado azul sale un uno” C= “La suma de los dos dados da siete”
Entonces
P(A)= P(B) =P(C)= 1/6P(AB)= P(BC)= P(AC)=1/36
( por lo que A y B independientes, A y C independientes, B y C independientes)Pero
P(ABC)=1/36 (de hecho ABC= AB)
(por lo que A, B y C no son independientes)
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 16
Ejemplo en un control de calidad por atributos. De un lote industrial de N artículos elegimos al azar (equiprobabilidad) n artículos a los que estudiaremos para saber si portan un cierto defecto.
El objetivo del estudio es estimar la proporción de defectuosos en la población, es decir que
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 17
Si D = cantidad de defectuosos en el lote, queremos estimar
p=D/N
Podemos muestrear:
a) sin reposición (más natural) b) con reposición (más simples los cálculos)
es el conjunto de muestras que son posibles y es distinto
en a) que en b), ya que en a) no puede haber artículos repetidos en la muestra y en b) sí.
Llamemos X()= número de defectuosos en la muestra y calculemos su FD.
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 18
a) Caso sin reposición:
Valores posibles k entero yMax(0, n-(N-D))≤ k ≤Min(n, D)
Se dice que X tiene distribución Hipergeométrica de parámetros n, N y D.
P(X=k)= Ck
D C(n-k)(N-D) /Cn
N
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 19
b) Caso con reposición:
Valores posibles:
k entero y 0≤ k ≤n
P(X=k) = Ck
n pk (1-p)n-k
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 20
Se dice que X tiene distribución Binomial de parámetros n y p(Para n=1, se llama Bernoulli)
P y E 2014 Clase 3 Gonzalo Perera 21
¿¿ En qué se relacionan el caso con y sin reposición??
Puede demostrarse que si n (tamaño de la muestra) es
mucho menor que N (tamaño de la población) (por
ejemplo, N=1 300 000, n=2500), entonces las fórmulas
del caso con reposición son una buena aproximación
del caso sin reposición
(Aproximación de la Hipergeométrica por la Binomial)
Top Related