T area 3

30.09.2014 Entrega: Mircoles 15 de octubre 13:00hrs.

ProbabilidadGrupo: 9036

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Dos bolas se escogen aleatoriamente de una urna que contiene 8 bolas blancas, 4 negras y 2naranjas. Suponga que ganamos $2 por cada bola negra seleccionada y perdemos $1 por cadabola blanca seleccionada. Sea X el numero de ganados. Cuales son los posibles Valores de Xy cuales son las probabilidades asociadas a cada valor?

Cinco hombres y 5 mujeres son ordenados de acuerdo a sus puntajes en un examen. Supongaque ningiin puntaje se repite y que todos los 10! ordenamientos son igualmente posibles. SeaX el lugar mas alto que alcanza una mujer (por ejemplo, X = 1 si la persona con mas altopuntaje es mujer) Encuentra PX = z',z' = 1, 2, 3, . . . ,8, 9, 10.Sea X la diferencia entre el niimero de soles y el nfimero de aguilas obtenidos cuando unamoneda es lanzada n Veces. Cuales son los posibles valores de X.

En el problema anterior, para n = 3, si la moneda es justa, cuales son las probabilidadesasociadas con los valores que X puede tomar?

Un vendedor a agendado dos citas para vender enciclopedias. Su primera cita resultara enuna venta con probabilidad .3, independientemente su segunda cita resultara en una ventacon probabilidad .6. Cualquier Venta hecha tiene igual probabilidad de haber sido el modelode lujo, que cuesta $1000 0 el normal que cuesta $500. Determine la funcion de densidad deX, el valor total en pesos de todas las ventas.

Dos monedas son lanzadas. La primera cae en sol con probabilidad .6, la segunda con proba-bilidad .7. Supon que los resultados de los lanzamientos son independientes, y que X es igualal total de soles que resultan.a) Encuentra P{X = 1}.b) Determina 0.Se escoge aleatoriamente un niimero entre 1 y 10. Usted trata de adivinar el niimero escogidohaciendo preguntas cuya respuesta es solo s1 0 no. Calcule el niimero esperado de pre-guntas que necesitara hacer para conocer la respuesta en los siguientes casos:(a) Su z'sima pregunta es es 1?, para 2' = 1, 2, 3,4, 5, 6, 7,8, 9, 10.(b) Con cada pregunta usted intenta eliminar la mitad de los niimeros que quedan, tantoComo es posible.

Una compafiia de seguros escribe una clausula de modo que una cantidad de dinero A deberapagarse al asegurado si un evento E ocurre el periodo de un ao. Si la compaia estima que Eocurrira en el periodo de un ano con una probabilidad p, cuanto deberia cobrar al consumidorpara que su ganancia esperada sea el 10% de A.

Si E[X] = 1 y Var(X) = 5, encuentra(3) El(2 + X)2l;(b) Var(4 + 3X).Supon que, durante el vuelo, los motores del avion fallaran con probabilidad 1 p, indepen-dientemente de motor a motor. Si un avion necesita las mayoria de sus motores funcionando

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para completar un vuelo exitoso, para cuales Valores de p es preferible un avion de 3 motoresa uno de 5?

Compara la binomial con su aproximacion mediante la Poisson para los siguientes casos:(a) P{X = 2} para 22 = 8,19 = .1;(b) P{X = 9} para 22 = lO,p = .95;(C) P{X = 0} para 22 = 1(),p = .1;(d) P{X = 4} para 22 = 9,19 = .2.El niimero de veces que una persona contrae un resfriado en un afio es una variable aleatoria Poisson con parametro A = 5. Supon que un nuevo producto maravilla que reduce elparametro de Poisson a A = 3 para el 75% de la poblacion se ha comercializado. Para el otro25% de la poblacion el producto no tiene un efecto apreciable sobre los resfriados. Si unapersona prueba el producto por un ao y tiene 2 resfriados en ese tiempo, que tan probablees que el producto le haya beneciado?

En un casino entran personas a una tasa de 1 cada 2 minutos.(a) Cual es la probabilidad de que nadie entre entre 12:00 y 12:05?(b) Cual es la probabilidad de que al menos 4 personas entren al casino durante ese tiempo?

Si X tiene una funcion de distribucion F , cual es la distribucion de eX?Para una variable aleatoria nonegativa N , muestra que

O0

E[N] = Z P[N 2 2]i=1

Sugerencia: Interpreta P [N 2 *) como una suma e intercambia el orden de las sumas.Sea X una variable aleatoria binomial con parametros 22 y p. Muestra que

El: 1 :|1_(1_p)TL-l-1X + 1 _ (22 + 1);;Sea X una V. a. binomial con parametros (22,19). Cual es el valor de p que maximizaP{X = k}, 12 = 0, 1, #N ota: Este es un ejemplo de un mtodo estadistico usado para estimar p cuando un resultadode una v.a. binomial (22, p) es observado y este es /-2. Si suponemos que 22 es conocida, entoncesestimamos p escogiendo el valor de p para el que P{X = /-2}, es maximo. Esto se conoce Comoel mtodo de estimacion de maxima verosimilitud.

Sea X una V.a. Poisson con parametro A. Muestra que P{X = + crece y luego decrececonforme 2 crece, alcanzando su maximo cuando 2' es el entero mas grande antes de A.Sugerencia: Considera P{X = 2'}/P{X = 2' 1}.Sea X una V. a. Poisson con parametro A. Que valor de A maximiza P{X = /2}, 12 > 0?Si X es una V. a. geomtrica, muestra analiticamente que

P{X=n+k|X >22}=PX=/-2.Da tambin una prueba interpretativa (usa la interpretacion de la geomtrica).

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Sea X una binomial negativa con parametros 7 y p, y sea Y una binomial con parametros n

y p. Muestra que P{X > n} = P{Y < r}.

Sugerencia: Uno puede tratar de hacer una prueba analitica de la ecuacion anterior, lo queequivale a probar

o uno puede tratar de hacer una prueba que use las interpretacion de estas v.a.s. Esto,considerando una sucesion de experimentos independientes con probabilidad de xito p. Luegotrata de expresar los eventos {X > n} y {Y < 7"} en trminos de los resultados de estasucesion.

Para una v.a. hipergeomtrica, determine P{X = k -1- 1}/P{X =

Una moneda tiene probabilidad p de caer en sol cuando es lanzada. Se lanza esta monedahasta que han salido o 2 soles o 2 aguilas. Encuentra el niimero esperado de lanzamientos.

una cierta comunidad esta compuesta de m familias, ni de las cuales tienen 2' nios, 2:21 ni-m. Si se escoge aleatoriamente a una de las familias, denotamos por X al niimero de nios

. . . . 7~ . . ~en esa familia. S1 se escoge aleatoriamente a uno de los 21:1 zm nmos, denotamos por Y alniimero total de nios en la familia del nio elegido. Muestra que E [Y] 2 E[XCada miembro de un panel con 7 jueves, toma una decision correcta con probabilidad .7independientemente de los otros miembros. Si la decision del panel se hace por mayoria devotos,cual es la probabilidad de que el panel tome la decision correcta?Dado que 4 de los jueces estan de acuerdo, cual es la probabilidad de que el panel haya tomadola decision correcta?

En promedio, 5.2 huracanes azotan una cierta region en un ao. Cual es la probabidad deque 3 o menos huracanes lleguen este ao.

El niimero de huevos puestos en una hoja por un insecto de un cierto tipo es una v.a. Pois-soncon parametro A. Sin embargo, tal v.a. puede observarse solo si es positiva, pues si estaes 0 entonces no podemos saber si el insecto estuvo en la hoja o no. Si Y denota el niimeroobservado de huevos, entonces

P{Y :1} = P{X = z'|X > 0}Donde X es Poisson con parametro /\. Encuentra E

Cada uno de los n nios y n nias, independiente y aleatoriamente, escoge un miembro delotro sexo. Si una nia y un nio se escogen mutuamente entonces se vuelven pareja. Nu-mera a las nias y denota por G1 el evento la nia niimero 1' es parte de una pareja. SeaP0 = 1 P( :1G1-) la probabilidad de que ninguna pareja se haya formado.(a) Calcula P(G).(b) Calcula P(G|Gj).

(C) Aproxima P0 para 71 grande.(d) Tambin para 71 grands, aproxima Pk, la probabilidad de que se hayan formado exactamente k parejas.(e) Usa inclusionexclusion para evaluar P0.

SE4.21 Suponga que P{X=a}=p,P{X=b}=1p.

(a) Muestre que fig es una V.a. Bernoulli.(b) Encuentre Var(X ).

SE423 Se sacan bolas aleatoriamente, una por vez sin reemplazo de una urna que inicialmente tieneN bolas blancas y M negras. Encuentra la probabilidad de que n bolas blancas sean sacadasantes que m bolas negras, n g N, m g M.