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Orbitales hidrogenoides y densidadelectrónica.
Comentemos algo la solución completa de los átomos hidrogenoides. En principio, el cuadradodel modulo de la función está relacionada con la densidad de probabilidad, en el sentido de que
el electrón, definido por el orbital , se encuentre en un elemento de volumen
infinitesimal localizado en el punto , es:
En coordenadas polares
y así la probabilidad de encontrar el electrón en una capa esférica de grosor y a una distancia
del núcleo será la integral en y sobre todos sus posibles valores:
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a la cantidad se la denomina función de distribución radial, y proporciona la
probabilidad de encontrar el electrón descrito por la función en una esfera de radio
interior y exterior . Lógicamente, la integral de dicha función de distribución radial
entre e me dará la probabilidad de encontrar el electrón en el espacio, que será .
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En esta dirección tenéis una representación de los orbitales y de sus distribución radial:http://www.falstad.com/qmatom/
La distancia más probable será aquella para la que tenga el máximo, y para el , este máximo
se da a una distancia que es precisamente el radio de la órbita de más baja energía de la teoría de
Bohr.
En la gráfica tenéis otras representaciones para los orbitales , en las que se ve como aparece
un nodo (en la aparecerían dos), y como el mayor máximo se desplaza a distancias mayores
del núcleo. El número de nodos es n-1.
La representación de la función de distribución radial para los , y están en las otras
gráficas, y vemos como aparecen nodos.
La forma en que se representan los orbitales atómicos es variada, las más usuales son las de
emplear diagramas de sombreado proporcionales a la amplitud de la probabilidad, o representar
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la superficie para las cuales se tiene que dentro de ellas la probabilidad de encontrar el electrón
es del , o el .
Respecto a la forma de los orbitales, los , ya no tienen una simetría esférica como los , si
bien el orbital no presenta dependencia en , y tiene simetría respecto al eje , y
es a lo largo de este eje donde presenta su máxima probabilidad. La forma de estos orbitales, así
como la de algunos d están en cualquier libro de texto (Ver p.e. el Atkins, o figuras del cap. 6 delLevine.) 3.1
Tabla 3.1: Representación de los armónicos esféricos reales, tomados de la página
http://web.uniovi.es/qcg/harmonics/harmonics.html del Grupo de Química Cuántica dela Univ. de Oviedo
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GRUPO HEUREMA. EDUCACIÓN SECUNDARIA
ENSEÑANZA DE LA FÍSICA Y LA QUÍMICA
sección: TEMAS DE FÍSICA Y QUÍMICA para
imprimi
r(pdf)
volvinic
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ORBITALES ATÓMICOS HIDROGENOIDES d (primera parte)
Si los orbitales atómicos p tenían bastante complejidad ¿qué decir de los d? El alumno de enseña
medias, dibuja un trébol de cuatro hojas, que toma como modelo de este orbital y se queda tan tranqusin enterarse de lo que está haciendo.
La condición cuántica que lo determina es l=2 y las funciones radiales que se deben represecorresponden a valores de R que para n=3, y para n=4, tienen las siguientes ecuaciones:
y
Si se representan en una hoja de cálculo se obtienen las gráficas, correspondientes a las figuras 1 y 2
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fig. 1
fig.2
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En la función R 4d, se observa que para r=0 y para r=12, la función se anula. Este último valor v
generar una superficie nodal ( superficie interior cuya densidad de probabilidad es nula)
Si las funciones dadas se elevan al cuadrado y se multiplican por r2, se obtiene la densidad
probabilidad radial (fig. 3 y 4).
fig.3
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fig.4
Las propiedades acumulativas revelan que hasta el 90%, las distancias máximas se separación son de y 30 bohr respectivamente (fig. 5)
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fig.5
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La contribución angular a la función de onda total, es en este caso muy grande, y depende de los val
que tome el número cuántico m. Para m=0, se obtiene la función R dz2. Para valores de m=1,-1 ser
dxz y R dyz y si m = 2, y -2 ; R xy y R d (x2-y2).
Otra de las preguntas características de los alumnos de enseñanzas medias respecto a los nombres deorbitales d, es ¿De dónde sale el orbital 3dxy?. ¿En qué se parece y diferencia del 3dxz? ¿Y del 4dxy?
Para explicarlo no queda mas remedio que ir a las ecuaciones de definición consierando la contriburadial y angular y que al ser representadas darán los diferentes OA d.
Serían:
; ;
Como se aprecia, las tres funciones son similares, lo único diferenciante es el plano en que se represen
en función de las variables que intervienen. Así obtendríamos los tres orbitales d, de la misma forma,
3dxy, 3d xz y 3dyz, con planos nodales coincidentes con dichos ejes. Obsérvese en las figuras 6 y 7, laforma de la función superficie para el orbital 3dxy y el detalle de las curvas de nivel, siempre en unida
bohr de distancia atómica, en los ejes correspondientes.
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fig.6
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fig.7
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Las zonas mas oscuras corresponden a valores de R3d negativos (valles), mientras que las mas cl
corresponden a valores positivos (montañas), en la gráfica de superficie.
La función R elevada al cuadrado y representada daría lugar a la descripción de la densidad
probabilidad correspondiente. En la fig. 8 la línea de contorno que abarca el 90% de probabilidad
considería lo que habitualmente se dibuja como el OA 3dxy. En la fig 9, se aprecia el detalle decurvas de nivel de probabilidad.
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fig.8
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fig.9
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Se va a comparar ahora este orbital con el 4dxy, sobre todo para romper los tópìcos sobre su igua
respecto a 3dxy. Es evidente que el tamaño no puede ser el mismo, como se aprecia en la funcióndistribución radial, pero tampoco lo es la forma, en contra de lo que parece.
La ecuación de la función R4dxy, es completamente distinta:
Lo cual indica un punto nodal, cuando el factor binómico se anule. Este punto nodal engendrará
superficie nodal, o sea una superficie interior en la que la probabilidad de encontrar al electrón es nque será el factor diferenciante en la forma del orbital frente al 3dxy.
La representación de la función de onda, y el detalle de las curvas de nivel, se dan en las figuras 10 yA través de ellas se puede diferenciar perfectamente ambos orbitales atómicos.
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fig.10
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fig.11
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También los dibujos permiten diferenciar, los planos nodales de las superficies nodales. Los prim
como dependen única y exclusivamente del valor de l, que es 2 para los orbitales d, ya sean 3d o 4dun elemento de analogía, mientras que las superficies nodales que dependen de n-(l+1), es diferencian
Para el 3d, las superficies nodales serían 3-(2+1)= 0, mientras que para el 4d; 4-(2+1)=1.
En las gráficas dadas, siguiendo el criterio general presentado en estos trabajos, a los valles, valnegativos, les corresponden las zonas mas oscuras mientras que a las cumbres, valores positivos
corresponden las zonas mas claras.
Tampoco la forma de las curvas de nivel es la misma. El acotamiento al 90%, en zonas de muy p
pendiente, hace que aparezcan eliminadas zonas superficiales que modifican el trazado habitual.
Las gráficas de las densidades de probabilidad para estas funciones, se exponen las figuras 12, y 13.
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fig.12
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fig.13
En estas gráficas, los valores de la función al estar elevados al cuadrado siempre van a ser positivo
por lo tanto no existe el criterio de tonalidades de grises anterior.
En la distribución espacial de lo que se considera como orbital atómico, haciendo girar la figura plana
por el eje X, las superficies nodales interiores, quedan tapadas, y no se apreciarían.
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