UNIDAD N°5:
GEOMETRÍA EN EL PLANO
Nota importante: Este documento es una guía de estudio para indicar los contenidos de la unidad. Por lo tanto el alumno deberá completar dichos contenidos con las clases de los profesores y la bibliografía recomendada.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS DE LA UNIDAD.
Al finalizar la unidad se espera que el alumno logre:
a) Entender el concepto de cónica
b) Deducir la ecuacion de las cónicas partiendo de sus propiedades geométricas
c) Representar gráficamente las cónicas con centro en el origen y trasladadas
d) Comprender la importancia y utilidad de las cuádricas regladas en la aplicación en el diseño y construcción de obras arquitectonicas.
CONTENIDOS
5.1 Ecuación general de las cónicas. Elipse: Definición y Ecuaciones. Elementos. Construcciones. Circunferencia: Definición y Ecuaciones.
5.2 Parábola e hipérbola. Definiciones, demostración de las ecuaciones a partir de las propiedades geometricas y Ecuaciones. Elementos. Construcciones y ejercicios.
5.3 Intersecciones entre rectas y cónicas.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Criterios de Evaluación
Cualitativos
Siempre Casi
Siempre A veces
Casi nunca
Nunca
Excelente Muy
Bueno Bueno Regular
Insufi-ciente
Asiste a clase.
Es puntual y respeta el horario de cursado
Participa en clases.
Cumple con las tareas establecidas para cada Unidad
Es buena su actitud y comportamiento con los docentes y/o compañeros.
Asistencia a las clases de consulta.
Presenta en tiempo y forma los TP y ejercitaciones propuestas.
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 1
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Criterios de Evaluación
Cuantitativos
Siempre Casi
Siempre A veces
Casi nunca
Nunca
10 9-8 7-6 5-4 3-0
Identifica y reconoce las ecuaciones de cada una de las cónicas
Reconoce las distintas ecuaciones de la elipse en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente.
Reconoce las distintas ecuaciones de las circunferencias en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente.
Reconoce las distintas ecuaciones de las parábolas en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente
Reconoce las distintas ecuaciones de las hipérbolas en el plano y sus elementos, resuelve ejercicios y grafica correctamente
Despejan de manera correcta una ecuación.
Interpreta, resuelve y grafica correctamente ejercicios de intersecciones entre cónica y recta
Identifica, analiza y justifica crecimiento, decrecimiento, monotonía de una función.
Es prolija, clara y ordenada la resolución de los ejercicios.
Plantean, modelan y resuelven problemas aplicados en situaciones reales a la disciplina.
Define con propiedad y emplea un vocabulario apropiado en las definiciones teóricas.
Demuestra e interpreta el desarrollo de conceptos teóricos
Manejan adecuadamente la terminología técnica y científica, inherente al desarrollo de la asignatura
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 2
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
SECCIONES CÓNICAS
5.1 INTRODUCCIÓN. GENERACIÓN DE LAS MISMAS
Al seccionar con un plano la superficie de un cono circular recto infinito, se obtienen diferentes curvas, llamadas Cónicas, que tienen numerosas aplicaciones. Hemos trabajado con algunas de estas curvas cuando analizamos las funciones cuadráticas y racionales. Ahora estudiaremos sus características geométricas.
Llamaremos a la abertura del cono y al ángulo de inclinación del plano con el eje del cono.
El punto fijo se llama Foco (F) de la cónica.
La recta fija se llama Directriz (D) de la cónica.
La relación constante entre ambas se llama Excentricidad (e).
Ecuación general
Analíticamente: son ecuaciones de segundo grado en dos variables.
Clasificación de las Cónicas
Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías según formas y propiedades:
5 PARÁBOLA
Definición General: Es el lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto fijo y a una recta, es constante.
𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑪𝒙𝒚 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Indica rotación
Indica traslación
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 3
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
ELIPSE
Si e < 1 ELIPSE
Definición: Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano de manera que la suma de distancias desde un punto P cualquiera de la curva hasta dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2), es siempre la misma y equivalente al diámetro mayor (DM).
𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂 suma constante; donde a c.
Los ejes se denominan eje o diámetro mayor (DM) y eje o diámetro menor (Dm) y pueden darse en los dos ejes; el intercambio de menor y mayor o de mayor a menor determinan la posición de la Elipse.
𝟐𝒂 = Diámetro o eje mayor (DM)
𝟐𝒃 = Diámetro o eje menor (Dm)
𝒄 = Distancia del centro (o) de la elipse a cada uno de los focos (F1 y F2)
Por definición:
Trabajando la relación: 𝑷𝑭𝟏 + 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂
Se llega a la fórmula:
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑎2 − 𝑐2= 1
Como 𝑎 > 𝑐 → 𝑎2 − 𝑐2 es Positivo (+)
Haciendo 222 bca obteniéndose la ecuación de la elipse 1
2
2
2
2
b
y
a
x
Elementos:
Por tener esta ecuación potencias pares de (x e y), la curva es simétrica con respectos a los ejes coordenados y con respecto al origen.
Vértices (V): Se llaman vértices de la Elipse a las intersecciones de las mismas con los
ejes. En el eje Mayor: 𝑽𝟏(𝒂; 𝟎) y 𝑽𝟐(−𝒂; 𝟎). En el eje Menor: 𝑽𝟑(𝒐; 𝒃)y 𝑽𝟒(𝒐; −𝒃).
y
D´ - a/e a/e D (directriz)
b
o x
- c c - b
D´ - a a D
2a
ELIPSE
P(x; y)
F1(c; o) F2(-c; o)
V1(a; 0) V2(-a; 0)
V3(0; b)
V4(0; -b)
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 4
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Semiejes: 𝒂 = 𝑺𝒆𝒎𝒊𝒆𝒋𝒆 𝑴𝒂𝒚𝒐𝒓
𝒃 = 𝑺𝒆𝒎𝒊𝒆𝒋𝒆 𝑴𝒆𝒏𝒐𝒓
Los ejes se denominan eje mayor y eje menor y pueden darse en los dos ejes, el intercambio de menor y mayor o de mayor a menor. Distintas posiciones:
(𝒙−𝒙𝟎)𝟐
𝒂𝟐 +(𝒚−𝒚𝟎)𝟐
𝒃𝟐 = 𝟏 ó (𝒙−𝒙𝟎)𝟐
𝒃𝟐 +(𝒚−𝒚𝟎)𝟐
𝒂𝟐 = 𝟏
Mayor menor menor mayor
Excentricidad: 𝑒 =𝑐
𝑎 𝑒 =
√𝑎2−𝑏2
𝑎
Directrices: 𝑥 −𝑎
𝑒= 0 D: 𝒙 =
𝒂
𝒆 (Ecuaciones de las rectas directrices)
𝑥 +−𝑎
𝑒= 0 D’: 𝒙 = +
−𝒂
𝒆
Lado Recto: 𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎
Focos: Se ubican siempre en el eje mayor, a una distancia (c) del centro (o) de la elipse y se expresa con un par ordenado (coordenadas del punto):
En la Elipse las directrices van por fuera de la misma
Distintas Posiciones de la elipse en el plano
Las distintas posiciones de la elipse en el plano vienen dadas por las fórmulas:
Ecuación Centro Vértices
Eje de desarrollo Focos Directriz
Mayor Menor
𝒙𝟐
𝒂𝟐+
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
(0; 0)
(𝑎; 0)
(−𝑎; 0)
(0; 𝑏)
(0; −𝑏)
X Y (𝑐; 0)
(−𝑐; 0)
𝑥 =𝑎
𝑒
𝑥 =−𝑎
𝑒
𝒙𝟐
𝒃𝟐+
𝒚𝟐
𝒂𝟐= 𝟏 (0; 0)
(𝑏; 0)
(−𝑏; 0)
(0; 𝑎)
(0; −𝑎)
Y X (0; 𝑐)
(0; −𝑐)
𝑦 =𝑎
𝑒
𝑦 =−𝑎
𝑒
𝑭𝟏(𝒄; 𝟎) 𝑭𝟐(−𝒄; 𝟎)
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 5
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒂𝟐+
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏 ±(𝑥0; 𝑦0)
(𝑥0 + 𝑎; 𝑦0)
(𝑥0 − 𝑎; 𝑦0)
(𝑥0; 𝑦0 + 𝑏)
(𝑥0; 𝑦0 − 𝑏)
±𝑥0 ±𝑦0 (𝑥0 + 𝑐; 𝑦0)
(𝑥0 − 𝑐; 𝑦0)
𝑦 = 𝑥0 +𝑎
𝑒
𝑦 = 𝑥0 −𝑎
𝑒
(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒃𝟐+
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒂𝟐= 𝟏
±(𝑥0; 𝑦0)
(𝑥0 + 𝑏; 𝑦0)
(𝑥0 − 𝑏; 𝑦0)
(𝑥0; 𝑦0 + 𝑎)
(𝑥0; 𝑦0 − 𝑎)
±𝑦0 ±𝑥0
(𝑥0; 𝑦0 + 𝑐)
(𝑥0; 𝑦0 − 𝑐)
𝑥 = 𝑦0 +𝑎
𝑒
𝑥 = 𝑦0 −𝑎
𝑒
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE X
Ecuación 𝒙𝟐
𝒂𝟐+
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Gráfica
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 6
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE Y
Ecuación 𝒙𝟐
𝒃𝟐+
𝒚𝟐
𝒂𝟐= 𝟏
Gráfica
ELIPSE CON CENTRO TRASLADADO Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE X
Ecuación (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒂𝟐+
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏
Gráfica
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 7
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
ELIPSE CON CENTRO TRASLADADO Y SEMIEJE MAYOR EN EL EJE Y
Ecuación (𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒃𝟐+
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒂𝟐= 𝟏
Gráfica
Casos particulares de la Elipse
Elipse Puntual:
0b
yy
a
xx2
2
0
2
2
0
Su grafica se reduce a un punto P(x0,y0)
Elipse imaginaria:
1b
yy
a
xx2
20
2
2
0
Como su nombre lo indica no se puede
obtener una gráfica.
EJERCICIO:
1. Dada la ecuación de la elipse encontrar: semieje mayor y menor, los vértices, los focos, las
directrices, la excentricidad y longitud del lado recto. Graficar
a) 𝑥2
64+
𝑦2
36= 1
Semiejes:
Mayor→a = √64 → a = 8
Menor→b = √36 →b = 6
Excentricidad: e =
a
ba 22 =
8
28 e 0,66 1
Coordenadas de los focos:
c = √𝑎2 − 𝑏22= √82 − 622
28 5,29
Entonces: F1( 28 ; 0) y F2(- 28 ; 0)
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 8
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Ecuación de las directrices:
D: x = 𝑎
𝑒
x = 8 = 64 x 12,09
28 / 8) 28
Lado Recto (longitud):
LR= 2b2 = 2. 62 = 9 a 8
2. Obtenga la ecuación de la elipse que satisfaga las condiciones indicadas y grafique:
a) Centro ( 0; 0) Vértices ( 5; 0) ( 0; -2) x2 + y2 = 1
a2 b2 a = 5 b = -2
Reemplazo los datos en la ecuación x2 + y2 = 1 52 (-2)2
x2 + y2 = 1 25 4
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 9
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
3. Hallar la ecuación de la elipse de centro C(-1; -1), uno de los vértices P(5; -1) y excentricidad
e = 2/3.
Como el centro es el punto (-1; -1) y el vértice (5; -1) se tiene: (Dé la gráfica, hacer antes eje coordenado y poner los puntos):
a = 6 e = c = c = 2 c = 4 a 6 3
Por otro lado: b2 = a2 - c2 = 36 - 16 = 20 Entonces la ecuación pedida es:
(x + 1)2 + (y + 1)2 = 1 36 20
Trate de graficarla con todos sus elementos.
CIRCUFERENCIA
Definición: La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano de manera que sus distancias a un punto fijo llamado centro (C) es constante y se denomina radio (r).
Analíticamente es una ecuación de segundo grado en dos variables:
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Más conocida como:
𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2 Ecuación General de la Circunferencia
Ó en caso de estar trasladada (𝑥 − 𝑥0)2 + (𝑦 − 𝑦0)2 = 𝑟2 y puede ser considerada como un caso particular de la Elipse, cuando a = b.
La circunferencia queda totalmente determinada si se conocen su centro (C) y su radio (r).
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 10
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Ecuación x2 + y2 = r2 (x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
Gráfica
Hallar la ecuación de la circunferencia con los siguientes datos y graficar.
a) Centro: (-2; 3) Radio = 4
Datos: Centro (-2; 3)
Radio = 4
(x - x0)2 + (y - y0)2 = r2
Reemplazo (x + 2)2 + (y – 3)2 = 42
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
5.2 PARÁBOLA
Si e = 1 PARÁBOLA
Definición: Una Parábola es el conjunto de todos los puntos P del plano que son equidistantes de una recta fija D, llamada directriz, y de un punto F, llamado foco.
Una parábola tiene un eje de simetría que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz. El punto medio entre F y D sobre el eje se llama vértice (v) de la parábola.
La distancia entre el vértice (v) y el foco (F), y entre el vértice (v) y la directriz (D) es siempre igual y la llamaremos a.
La recta perpendicular al eje focal que pasa por el foco F y corta a la curva en los puntos R y R’ se llama lado recto y equivale a 4a.
𝑷𝑭̅̅ ̅̅ = 𝑷𝑴̅̅ ̅̅ ̅
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 11
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
DEMOSTRACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
Por definición 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑀̅̅̅̅̅
Sea P(x,y) un punto cualquiera de la parábola, la
distancia 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ del punto al foco viene dada por el Teorema de Pitágoras
𝑃𝐹̅̅ ̅̅ 2 = (𝑥 − 𝑎)2 + 𝑦2
Despejando 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ se tiene→ 𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 22yax
Por otro lado del gráfico se ve que 𝑃𝑀̅̅̅̅̅ = 𝑥 + 𝑎
Aplicando la definición geométrica de parábola se obtiene:
𝑃𝐹̅̅ ̅̅ = 𝑃𝑀̅̅̅̅̅
axyax 22
→ Tengo que despejar la variable y2
Elementos: Vértice (V): punto que la curva corta al eje de
simetría. Eje de la parábola: Es la recta perpendicular a
la Directriz que contiene al foco. L.R (Lado Recto): 𝑅𝑅¨ = 4𝑎 (el coeficiente del
término de primer grado en la ecuación) Coordenadas del foco F son (𝑎; 0)
Directriz (D) 𝑥 = −𝑎 𝑃(𝑥; 𝑦) punto genérico de la parábola de
modo que:𝑃𝐹̅̅ ̅̅
𝑃𝑀̅̅ ̅̅ ̅= 𝑒 = 1
(x - a)
y 𝑷𝑭̅̅ ̅̅
P
F
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 12
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
222axyax → Desarrollo ambos binomios al cuadrado
22222 22 aaxxyaaxx → Despejo “y2”
22222 22 aaxxaaxxy → Simplifico
Distintas Posiciones de la parábola en el plano
Las distintas posiciones de la parábola en el plano vienen dadas por las fórmulas:
1) 𝑦2 = 4𝑎𝑥
2) 𝑥2 = 4𝑎𝑦
3) (𝑦 − 𝑦0)2 = ±4𝑎(𝑥 − 𝑥0)
4) (𝑥 − 𝑥0)2 = ±4𝑎(𝑦 − 𝑦0)
Distintas Posiciones de la parábola en el plano
Ecuación Vértice Eje de
desarrollo Foco Directriz
La Gráfica se
extiende hacia:
𝑥2 = +4𝑎𝑦 (0; 0) x = 0 (o; +a) y = - a Arriba sí: a 0
𝑥2 = −4𝑎𝑦 (0; 0) x = 0 (o; -a) y = + a Abajo sí: a 0
𝑦2 = +4𝑎𝑥 (0; 0) y = 0 (a; o) x =- a Derecha sí: a 0
𝑦2 = −4𝑎𝑥 (0; 0) y = 0 (-a; o) x =+a Izquierda sí: a 0
(𝑥 − 𝑥0)2 = +4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (x0; y0) x = x0 (x0; y0 + a) y = (y0-a) Arriba sí: a 0
(𝑥 − 𝑥0)2 = −4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (x0; y0) x = x0 (x0; y0 - a) y = (y0 +a) Abajo sí: a 0
(𝑦 − 𝑦0)2 = +4𝑎(𝑥 − 𝑥0) (x0; y0) y = y0 (x0 + a; y0) x = (x0 -a) Derecha sí: a 0
(𝑦 − 𝑦0)2 = −4𝑎(𝑥 − 𝑥0) (x0; y0) y = y0 (x0 - a; y0) x = (x0 +a) Izquierda sí: a 0
Ecuación de la Parábola: 𝑦2 = 4𝑎𝑥
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 13
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Ecuación 𝑥2 = 4𝑎𝑦 𝑦2 = 4𝑎𝑥
Gráfica
Ecuación 𝑥2 = −4𝑎𝑦 𝑦2 = −4𝑎𝑥
Gráfica
Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2 = +4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (𝑦 − 𝑦0)2 = +4𝑎(𝑥 − 𝑥0)
Gráfica
Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2 = −4𝑎(𝑦 − 𝑦0) (𝑦 − 𝑦0)2 = −4𝑎(𝑥 − 𝑥0)
Gráfica
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 14
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
EJERCICIO:
1.Hallar la ecuación de la parábola y graficar.
a) Vértice (3; 2) y foco (5; 2)
(y – y0)2 = 4 a (x – x0)
(y – 2)2 = 4 . 2 (x- 3) (y – 2)2 = 8 (x – 3)
El lado recto es: L.R = 4 a 8= 4 a
𝟖
𝟒= 𝒂
a = 2
2.Encuentre el vértice, foco, lado recto y directriz; trace la gráfica de la Parábola cuya ecuación se indica: a) x2 = 8 y
VÉRTICE FOCOS DIRECTRIZ EXCENTRICIDAD LADO
RECTO
V (0; 0) F1 (0; 2) y= -2 e=1 LR= 8
Todas las parábolas son reales. No existen parábolas ni imaginarias ni puntuales.
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 15
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
2. Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, con eje de simetría en el eje y; y
además que pase por P (6; - 3).
La ecuación a aplicar es: x2 = - 4ay (eje de simetría en eje y). El signo negativo (-) es por las
características del punto por donde quieren que pase una de las ramas.
Como el punto P (6; - 3) pertenece a la curva, el valor de a debe ser tal que las coordenadas del punto satisfagan la ecuación.
Sustituyendo entonces: (6; - 3) en x2 = - 4ay queda:
62 = - 4 a (- 3) a = 3 La ecuación pedida es:
x2 = - 4. 3. y x2 = -12y
5.2 HIPÉRBOLA
Si e 1 HIPERBOLA
Definición: Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano de manera que la diferencia de las distancias desde un punto P cualquiera de la curva hasta dos puntos fijos llamados focos (F1 y F2) es siempre igual y equivalente a la distancia entre los vértices reales (V1 y V2) que es 2 a.
𝑷𝑭𝟏 − 𝑷𝑭𝟐 = 𝟐𝒂 diferencia constante; donde a < c.
Trabajando esta relación se llega a la fórmula: 𝑥2
𝑎2 −𝑦2
𝑐2−𝑎2 = 1 Como c 1 c2 - a2 es
Positivo
Haciendo 𝑐2 − 𝑎2 = 𝑏2 se obtiene: Ecuación General de la Hipérbola
La ecuación tiene potencias pares de x e y, por lo tanto, la curva es simétrica respecto a los ejes x e y; y al origen.
𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1
y
DIRECTRIZ: y = 3
6
0 x
F(0; -3) P(6; -3)
LR = 4 . 3 = 12
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 16
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Elementos de la hipérbola:
Ejes: la hipérbola tiene el eje real o transversal que es aa’ = 2a sobre el que se encuentran los focos y los vértices de la hipérbola, y perpendicular a él, y pasando por el centro de la hipérbola tenemos el eje imaginario que es bb’ = 2b.
Vale aclarar que el término positivo de la ecuación siempre indica el eje real o transversal.
Excentricidad (e): En la hipérbola es mayor que 1, y que demostrado en:
𝑒 =𝑐
𝑎 𝑒 =
√𝑎2+𝑏2
𝑎
Vértice (V): Se llama vértice de la hipérbola a la intersección de la misma con el eje real.
Ejemplo: 𝑽𝟏(𝒂; 𝟎) y 𝑽𝟐(−𝒂; 𝟎).
Focos: 𝐹1(𝑐; 0) y 𝐹2(−𝑐; 0)
Directrices (D): Vienen dadas por: 𝑥 −𝑎
𝑒= 0 D: 𝒙 =
𝒂
𝒆
𝑥 +−𝑎
𝑒= 0 D’: 𝒙 = ±
−𝒂
𝒆 (Ecuaciones de las
rectas directrices)
Lado Recto (L.R.): 𝐿𝑅 =2𝑏2
𝑎
Asíntotas: 𝑦 = ±𝑏
𝑎𝑥
Distintas Posiciones de la hipérbola en el plano
En la Hipérbola las directrices van por dentro de la misma.
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 17
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Ecuación Centro Vértices
Eje de desarrollo
Focos Directriz Asíntotas
Real Imag
𝒙𝟐
𝒂𝟐−
𝒚𝟐
𝒃𝟐= 𝟏 (𝟎; 𝟎)
(𝒂; 𝟎)
(−𝒂; 𝟎)
x y (𝒄; 𝟎)
(−𝒄; 𝟎)
𝒙 =𝒂
𝒆
𝒙 =−𝒂
𝒆
𝒚 =𝒃
𝒂𝒙
𝒚 = −𝒃
𝒂𝒙
−𝒙𝟐
𝒃𝟐+
𝒚𝟐
𝒂= 𝟏 (𝟎; 𝟎)
(𝟎; 𝒂)
(𝟎; −𝒂) y x
(𝟎; 𝒄)
(𝟎; −𝒄)
𝒚 =𝒂
𝒆
𝒚 =−𝒂
𝒆
𝒚 =𝒂
𝒃𝒙
𝒚 = −𝒂
𝒃𝒙
(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒂𝟐−
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒃𝟐= 𝟏 ±(𝒙𝟎; 𝒚𝟎)
(𝒙𝟎 + 𝒂; 𝟎)
(𝒙𝟎 − 𝒂; 𝟎)
±𝒙𝟎 ±𝒚𝟎 (𝒙𝟎 + 𝒄; 𝒚𝟎)
(𝒙𝟎 − 𝒄; 𝒚𝟎)
𝒙 = 𝒚𝟎 +𝒂
𝒆
𝒙 = 𝒚𝟎 −𝒂
𝒆
(𝒚 − 𝒚𝟎) =𝒃
𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)
(𝒚 − 𝒚𝟎) = −𝒃
𝒂(𝒙 − 𝒙𝟎)
−(𝒙 − 𝒙𝟎)𝟐
𝒃𝟐+
(𝒚 − 𝒚𝟎)𝟐
𝒂𝟐= 𝟏 ±(𝒙𝟎; 𝒚𝟎)
(𝟎; 𝒚𝟎 + 𝒂)
(𝟎; 𝒚𝟎 − 𝒂) ±𝒚𝟎 ±𝒙𝟎
(𝒙𝟎; 𝒚𝟎 + 𝒄)
(𝒙𝟎; 𝒚𝟎 − 𝒄)
𝒚 = 𝒙𝟎 +𝒂
𝒆
𝒚 = 𝒙𝟎 −𝒂
𝒆
(𝒚 − 𝒚𝟎) =𝒂
𝒃(𝒙 − 𝒙𝟎)
(𝒚 − 𝒚𝟎) = −𝒂
𝒃(𝒙 − 𝒙𝟎)
HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.
HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.
Ecuación 𝑥2
𝑎2−
𝑦2
𝑏2= 1 −
𝑥2
𝑏2+
𝑦2
𝑎= 1
Gráfica
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 18
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
HIPÉRBOLA CON EJE REAL “X” Y CENTRO TRASLADADO.
HIPÉRBOLA CON EJE REAL “Y” Y CENTRO TRASLADADO.
Ecuación (𝑥 − 𝑥0)2
𝑎2−
(𝑦 − 𝑦0)2
𝑏2= 1 −
(𝑥 − 𝑥0)2
𝑏2+
(𝑦 − 𝑦0)2
𝑎2= 1
Gráfica
a = distancia medida en el eje real desde el origen (o) a los vértices (A y A’).
b = distancia medida en el eje imaginario desde el origen (o) a los vértices imaginarios (B y B’).
c = distancia medida en el eje real desde el origen (o) a los focos (F1 y F2).
D y D’ = directrices de la hipérbola.
EJERCICIO:
Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las directrices y de las
asíntotas, la longitud del lado recto, la excentricidad y la representación gráfica de la Hipérbola:
x2 - y2 = 1
16 9
Distancia a los vértices reales e imaginarios: a = 4 (vértices reales)
b = 3 (vértices imaginarios)
Distancia a los focos: 22 bac c = 916 c = 5
Puntos reales de corte con los ejes (vértices) son:
V1 = (4; 0) V2 = (- 4; 0)
Puntos de los focos son: F1 = (5; 0) F2 = (- 5; 0)
Todas las hipérbolas son reales. No existen hipérbolas imaginarias o puntuales.
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 19
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
La excentricidad (e) será : e = c a
e = 5 e = 1, 25 1 4
Las Directrices (D y D’) serán: x = a e
x = 4 d:x = 3,2 1,25
El lado recto (LR) será: LR = 2b2 a
LR = 18 LR = 9 LR = 4,5 4 2
Las asíntotas de la hipérbola serán: y = bx a
y = 3x . 4
5.2 INTERSECCIÓN ENTRE CÓNICA Y RECTA
Encontrar la intersección de una cónica cualquiera con una recta, equivale a determinar aquellos puntos en común entre ambas líneas. Es decir, en los que para un mismo valor de x, ambas funciones tienen igual imagen y. Entonces podemos plantear el sistema de dos ecuaciones (lineal y cuadrática) y resolverlo utilizando cualquier método conocido para sistemas lineales. Las soluciones obtenidas pueden ser : dos soluciones ( la recta corta en dos puntos a la cónica), única solución ( la recta es tangente a la cónica) o ninguna solución (la recta no corta a la cónica).
Ejemplo Intersección entre parábola y recta.
Encuentre en forma analítica los puntos de intersección entre la recta y=x+2 y la parábola y= x2. Grafique ambas líneas y verifique si los puntos donde ambas líneas se cortan coincide con su solución analítica.
2
2
xy
xy
Para resolverlo conviene usar el método de igualación: 2x2x , quedando planteada una
ecuación cuadrática, 02xx 2 Hallando las raíces de esta ecuación:
2
31
2
811x 21
; 1x;2x 21
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 20
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
Ahora necesitamos hallar las componentes y de cada punto intersección. Para ello,
reemplazamos el valor de 21 xyx en cualquiera de las dos funciones del sistema, obteniéndose
1ye4y 21 por lo tanto los puntos de intersección entre las dos líneas serán:
P1 (2,4) y P2 (-1,1)
Gráfica:
Ejemplo: Intersección entre circunferencia y recta.
Circunferencia→x2+y2=169
Recta→ y = -x + 7
Aplico el método de sustitución reemplazando “y” en la ecuación de la circunferencia.
x2+y2=169
x2+(-x + 7)2=169 → desarrollo el cuadrado de un binomio
x2+ x2 -14x + 49 =169 → resuelvo
2x2-14x + 49 - 169 = 0
2x2-14x - 120 = 0 → Encuentro las raíces de la ecuación de segundo grado, aplicando la fórmula de baskara.
x1 = 5
x2 = 12
Encuentro los valores de “y” reemplazando cada una de las raíces en la ecuación → y = -x + 7
y1 = -5 + 7
y1= 2
y2 = -12 + 7
UNIDAD 5: GEOMETRÍA EN EL PLANO 21
MATEMÁTICA 2020 CARRERA: ARQUITECTURA Y URBANISMO
y2 = 5
Obtengo los puntos de intersección
P1 (-5; 12)
P2 (12; -5)
Realizo la gráfica correspondiente.
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