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NUEVA FORMA DERESOLVER ECUACIONESLINEALESTEORIAS Y PROBLEMAS

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ContenidosArtículosECUACIONES LINEALES 1

Ecuación 1Ecuación de primer grado 8Matemáticas 11

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 18Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 19

Licencias de artículosLicencia 20

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ECUACIONES LINEALES

EcuaciónEn matemáticas, una ecuación es una igualdad[1] entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en lasque aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operacionesmatemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuyamagnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente porletras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Laigualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambosmiembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores delas variables la hacen cierta.Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el casodado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para loscuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sinembargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita quehaga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y decimos que laecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendocada uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad(esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.[2]

IntroducciónDe manera más general, una ecuación tendrá la forma

donde F, G son operadores y a, b pueden ser valores numéricos, variables o funciones (en este último caso tendremosuna ecuación funcional). Por ejemplo, la ecuación

tiene por soluciones o raíces el conjunto infinito de valores

Uso de ecuacionesLa ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas ecuaciones expresan relaciones entrevariables. Así, en física, la ecuación de la dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masam: F = ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen al primera ley de la mecánica de Newton.Por ejemplo, si establecemos una masa m = 1 Kg y una aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F =1 Kg·m/s = 1 Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.

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Ecuación 2

El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran cantidad de investigadores dedicados asu estudio.

Historia

AntigüedadYa en el siglo XVI aC. los egipcios resolvían problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres,de cosechas y de materiales que eran equivalentes a resolver ecuaciones algebraicas simples de primer grado; comola notación algebraica no existía usaban un método iterativo aproximado llamado el "método de la falsa posición".Los matemáticos chinos de principios de nuestra era escribieron el libro "El Arte del cálculo" en el que plantearondiversos métodos para resolver ecuaciones algebraicas de primero y segundo grado, así como sistemas de dosecuaciones con dos incógnitas.El matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en el siglo III tratando las ecuaciones de primery segundo grado; fue uno de los pioneros en utilizar símbolos para representar las ecuaciones. También planteó lasecuaciones con soluciones enteras, llamadas en su honor ecuaciones diofánticas.[3]

Siglos XV - XVIPasada la “edad oscura” medieval, el estudio de las ecuaciones algebraicas experimenta un gran impulso. En el sigloXV estaban a la orden del día los desafíos matemáticos públicos, con premios al vencedor; así, un desafío famosoenfrentó a dos matemáticos a resolver ecuaciones de tercer grado, el vencedor fue Niccolò Fontana Tartaglia, expertoalgebrista.Sobre mediados del siglo XVI los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli descubrieron que parapoder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercero y cuarto grado el uso de los números imaginarios eraindispensable. Cardano, enemigo acérrimo de Tartaglia, también halló métodos de resolución de ecuaciones decuarto grado.En el mismo siglo el matemático francés René Descartes popularizó la notación algebraica moderna, en la cual lasconstantes están representadas por las primeras letras del alfabeto, a, b, c, … y las variables o incógnitas por lasúltimas, x, y, z. En esta época se enuncian problemas de ecuaciones que sólo han sido resueltos actualmente, algunosque sólo recientemente se han resuelto; entre ellos tenemos el último teorema de Fermat, uno de los teoremas másfamosos de la matemática, que no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles y Richard Taylor.

Siglos XVII-XVIIIEn el siglo XVII Newton y Leibniz publican los primeros métodos de resolución de las ecuaciones diferenciales queaparecen en los problemas de la dinámica. Probablemente el primer libro sobre estas ecuaciones fue “Sobre lasconstrucciones de ecuaciones diferenciales de primer grado” de Gabriele Manfredi (1707). Durante el siglo XVIIImatemáticos ilustres como Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, Joseph Lagrange y Pierre Laplace publican resultadossobre ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones en derivadas parciales.

Época modernaA pesar de todos los esfuerzos de las épocas anteriores, las ecuaciones algebraicas de quinto grado y superiores seresistieron a ser resueltas; sólo se consiguió en casos particulares, pero no se encontraba una solución general. Aprincipios del siglo XIX Niels Henrik Abel demostró que hay ecuaciones no resolubles; en particular mostró que noexiste una fórmula general para resolver la ecuación de quinto grado; acto seguido Évariste Galois demostró,utilizando su teoría de grupos, que lo mismo puede afirmarse de toda ecuación de grado igual o superior a cinco.

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Ecuación 3

Durante el siglo XIX las ciencias físicas utilizan en su formulación ecuaciones diferenciales en derivadas parcialesy/o ecuaciones integrales, como es el caso de la electrodinámica de James Clerk Maxwell, la mecánica hamiltonianao la mecánica de fluidos. El uso habitual de estas ecuaciones y de los métodos de solución lleva a la creación de unanueva especialidad, la Física Matemática.Ya en el siglo XX la Física Matemática sigue ampliando su campo de acción; Schrödinger, Pauli y Dirac formulanecuaciones diferenciales con funciones complejas para la mecánica cuántica. Einstein utiliza ecuaciones tensorialespara su Relatividad General. Las ecuaciones diferenciales tienen también un amplio campo de aplicación en teoríaeconómica.Debido a que la mayoría de ecuaciones que se presentan en la práctica son muy difíciles o incluso imposibles deresolver analíticamente, es habitual utilizar métodos numéricos para encontrar raíces aproximadas. El desarrollo dela informática posibilita actualmente resolver en tiempos razonables ecuaciones de miles e incluso millones devariables usando algoritmos numéricos.

Definición generalDada una aplicación y un elemento del conjunto , resolver una ecuación consiste en encontrartodos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Unasolución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el casode las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicación debe incluir algunade las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta condefinir la aplicación y la ecuación se transforma en .

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades:

puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de un elemento,todos ellos son soluciones de la ecuación.En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sinodeterminar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existenciay unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso .Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmentenúmeros sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.Cuando es un cuerpo y un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la función es un operadorlineal.

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Ecuación 4

Existencia de solucionesEn muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinarsi existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de losmétodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto tiene alguna topología. No es elúnico: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tienesolución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones enlas ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una soluciónhay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.

Tipos de ecuacionesLas ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto denúmeros sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:• Ecuaciones algebraicas

• Polinómicas o polinomiales• De primer grado o lineales• De segundo grado o cuadráticas• Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios• Trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.• Diofánticas o diofantinas

• Ecuaciones diferenciales• Ordinarias• En derivadas parciales

• Ecuaciones integrales

Ecuación polinómicaUna ecuación polinómica o polinomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

Forma canónicaRealizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que unode ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadaslas incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación.Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyoprimer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

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Ecuación 5

GradoSe denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Porejemplo

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolversepor el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de laecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuacionesde tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de laecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos dela función theta de Jacobi.

Ecuación de primer gradoSe dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no estáelevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

con a diferente de cero.

Su solución es sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer grado

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje,desarrollados a continuación mediante un ejemplo.Dada la ecuación:

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación,normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemoshacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otrolado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 ala derecha)La ecuación quedará entonces así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda delsigno igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

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Ecuación 6

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será:

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para locual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro ladodividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro ladomultiplicando (n×2) sin cambiar su signo.Lo que estamos haciendo en realidad es dividiendo ambos términos entre 5. Por lo tanto, el término que estámultiplicado por 5, al dividirse entre 5 se anulan uno con el otro, desaparece multiplicando, mientras que en el otrolado vemos como dividimos entre 5 y el 5 permanece, aparece dividiendo, como si hubiera pasado de un lado a otrocon una operación simétrica. Esta explicación con operaciones simétricas causa muchas confusiones a muchosestudiantes que pueden tener problemas para hallar la operación simétrica, por ejemplo no es evidente que 3x = ypueda despejarse por x = log3y. Por eso es importante recordar el principio fundamental por el que siempre queapliquemos una función inyectiva a ambos lados de una igualdad obtendremos otra igualdad.En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo harádividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sinembargo, debemos simplificar.Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si dieradecimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)Por tanto, simplificando, la solución es:

Ejemplo de problema

Pongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas quetengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciadocomo una ecuación:

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de miscanicas, quitándome dos.El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue esteprocedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términosindependientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambia

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Ecuación 7

también de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambosmiembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir,elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, simultiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.

Ecuación de segundo gradoLas ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es elcoeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c esel término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números)Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir. Cuando esta ecuación seplantea sobre siempre se tienen dos soluciones:

Obviamente la condición para que la ecuación tenga solución sobre los números reales se requiere que ypara que tenga soluciones sobre los números racionales se requiere .

Operaciones admisibles en una ecuaciónFrecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagruparo cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el semantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre lasoperaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen

no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto desoluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 y x = 0. Si se dividenambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se ha perdido.

2. Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener unconjunto de soluciones más grande que la original.

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Ecuación 8

Tipos de ecuación algebraicaUna ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales,radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de lasexpresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es unasolución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuaciónse llama identidad.

Notas[1] Si en lugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.[2] Las identidades no son consideradas ecuaciones, ya que en ellas no cabe el concepto de solución.[3] Un poquito de la historia del álgebra (http:/ / redescolar. ilce. edu. mx/ educontinua/ mate/ nombres/ mate3a/ mate3a. htm), Red Escolar,

México, 2008.

Referencias

Enlaces externos• Ecuaciones de primer grado (http:/ / www. ematematicas. net/ ecuacion. php?a=1)• Ecuaciones de segundo grado (http:/ / www. ematematicas. net/ ecsegundogrado. php?a=1)• La ecuación de primer grado, en descartes.cnice.mec.es (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/

Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/ ecuacion1. htm)

Ecuación de primer grado

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal esun planteamiento de igualdad, involucrando una o másvariables a la primera potencia, que no contieneproductos entre las variables, es decir, una ecuaciónque involucra solamente sumas y restas de unavariable a la primera potencia. En el sistemacartesiano representan rectas. Una forma común deecuaciones lineales es:

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta aleje y).Las ecuaciones en las que aparece el término (llamado rectangular y son consideradas lineales.

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Ecuación de primer grado 9

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Formas de ecuaciones linealesFormas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas mássimples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.Ecuación general

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde xe y se anulan.

• Ecuación segmentaria o simétrica

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y Frespectivamente.

• Forma paramétrica

1.2.

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a laforma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

• Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sinintersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.

Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical,interceptando el eje X en E.

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos.La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el planocartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamadainconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistemalineal de ecuaciones

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Ecuación de primer grado 10

Ecuación lineal en el espacio n-dimensionalLas funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal dedos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones linealesLos sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamientomatricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de serreal y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dosecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto(tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseensolución.

LinealidadUna función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

donde a es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal

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Matemáticas 11

Matemáticas

Euclides, matemático griego, del siglo III a. C.,tal como fue imaginado por Rafael. Detalle de La

Escuela de Atenas.[1]

Las matemáticas o la matemática (del lat. mathematĭca, y este del gr.μαθηματικά, derivado de μάθημα, conocimiento) es una cienciaformal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico,estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (números,figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean paraestudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas ylos mangitudes variables. Los matemáticos buscan patrones,[2] [3]

formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemáticamediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer losaxiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.[4] Algunasdefiniciones clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobrecantidades,[5] aunque sólo una parte de las matemáticas actuales usannúmeros, predominando el análisis lógicos de construccionesabstractas no cuantitativas.

Existe cierto debate acerca de si los objetos matemáticos, como los números y puntos, realmente existen o siprovienen de la imaginación humana. El matemático Benjamin Peirce definió las matemáticas como "la ciencia queseñala las conclusiones necesarias".[6] Por otro lado, Albert Einstein declaró que "cuando las leyes de la matemáticase refieren a la realidad, no son exactas ; cuando son exactas, no se refieren a la realidad".[7]

Mediante la abstracción y el uso de la lógica en el razonamiento, las matemáticas han evolucionado basándose en lascuentas, el cálculo y las mediciones, junto con el estudio sistemático de la forma y el movimiento de los objetosfísicos. Las matemáticas, desde sus comienzos, han tenido un fin práctico .Las explicaciones que se apoyaban en la lógica aparecieron por primera vez con la matemática helénica,especialmente con los Elementos de Euclides. Las matemáticas siguieron desarrollándose, con continuasinterrupciones, hasta que en el Renacimiento las innovaciones matemáticas interactuaron con los nuevosdescubrimientos científicos. Como consecuencia, hubo una aceleración en la investigación que continúa hasta laactualidad.Hoy en día, las matemáticas se usan en todo el mundo como una herramienta esencial en muchos campos, entre losque se encuentran las ciencias naturales, la ingeniería, la medicina y las ciencias sociales, e incluso disciplinas que,aparentemente, no están vinculadas con ella, como la música (por ejemplo, en cuestiones de resonancia armónica).Las matemáticas aplicadas, rama de las matemáticas destinada a la aplicación de los conocimientos matemáticos aotros ámbitos, inspiran y hacen uso de los nuevos descubrimientos matemáticos y, en ocasiones, conducen aldesarrollo de nuevas disciplinas. Los matemáticos también participan en las matemáticas puras, sin tener en cuenta laaplicación de esta ciencia, aunque las aplicaciones prácticas de las matemáticas puras suelen ser descubiertas con elpaso del tiempo.[8]

EtimologíaLa palabra "matemática" (del griego μαθηματικά, «lo que se aprende») viene del griego antiguo μάθημα (máthēma), que quiere decir «campo de estudio o instrucción». El significado se contrapone a μουσική (musiké) «lo que se puede entender sin haber sido instruido», que refiere a poesía, retórica y campos similares, mientras que μαθηματική se refiere a las áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido en las mismas (astronomía, aritmética).[9] Aunque el término ya era usado por los pitagóricos en el siglo VI a. C., alcanzó su significado más técnico y reducido de "estudio matemático" en los tiempos de Aristóteles (siglo IV a. C.). Su adjetivo es μαθηματικός (mathēmatikós), "relacionado con el aprendizaje", lo cual, de manera similar, vino a

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Matemáticas 12

significar "matemático". En particular, μαθηματική τέχνη (mathēmatikḗ tékhnē; en latín ars mathematica), significa"el arte matemática".La forma plural matemáticas viene de la forma latina mathematica (Cicerón), basada en el plural en griego ταμαθηματικά (ta mathēmatiká), usada por Aristóteles y que significa, a grandes rasgos, "todas las cosasmatemáticas".

La inspiración, las matemáticas puras y aplicadas y la estética

Sir Isaac Newton (1643-1727), comparte conLeibniz la autoría del desarrollo del cálculo

integral y diferencial.

Las matemáticas surgen cuando hay problemas difíciles en los queintervienen la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio de losobjetos. Al principio, las matemáticas se encontraban en el comercio,en la medición de los terrenos y, posteriormente, en la astronomía.Actualmente, todas las ciencias aportan problemas que son estudiadospor matemáticos, al mismo tiempo que aparecen nuevos problemasdentro de las propias matemáticas. Por ejemplo, el físico RichardFeynman inventó la integral de caminos de la mecánica cuántica,combinando el razonamiento matemático y el enfoque de la física. Hoyla teoría de las cuerdas, una teoría científica en desarrollo que trata deunificar las cuatro fuerzas fundamentales de la física, sigue inspirandoa las más modernas matemáticas.[10] Algunas matemáticas solo sonrelevantes en el área en la que estaban inspiradas y son aplicadas paraotros problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo lasmatemáticas inspiradas en un área concreta resultan útiles en muchosámbitos, y se incluyen dentro de los conceptos matemáticos generalesaceptados. El notable hecho de que incluso la matemática más purahabitualmente tiene aplicaciones prácticas es lo que Eugene Wigner hadefinido como la irrazonable eficacia de las matemáticas en lasCiencias Naturales.[11]

Como en la mayoría de las áreas de estudio, la explosión de los conocimientos en la era científica ha llevado a laespecialización de las matemáticas. Hay una importante distinción entre las matemáticas puras y las matemáticasaplicadas. La mayoría de los matemáticos que se dedican a la investigación se centran únicamente en una de estasáreas y, a veces, la elección se realiza cuando comienzan su licenciatura. Varias áreas de las matemáticas aplicadasse han fusionado con otras áreas tradicionalmente fuera de las matemáticas y se han convertido en disciplinasindependientes, como pueden ser la estadística, la investigación de operaciones o la informática.

Aquellos que sienten predilección por las matemáticas, consideran que prevalece un aspecto estético que define a lamayoría de las matemáticas. Muchos matemáticos hablan de la elegancia de la matemática, su intrínseca estética ysu belleza interna. En general, uno de sus aspectos más valorados es la simplicidad. Hay belleza en una simple ycontundente demostración, como la demostración de Euclides de la existencia de infinitos números primos, y en unelegante análisis numérico que acelera el cálculo, así como en la transformada rápida de Fourier. G. H. Hardy en AMathematician's Apology (Apología de un matemático) expresó la convicción de que estas consideraciones estéticasson, en sí mismas, suficientes para justificar el estudio de las matemáticas puras.[12] Los matemáticos con frecuenciase esfuerzan por encontrar demostraciones de los teoremas que son especialmente elegantes, el excéntricomatemático Paul Erdős se refiere a este hecho como la búsqueda de pruebas de "El Libro" en el que Dios ha escritosus demostraciones favoritas.[13] [14] La popularidad de la matemática recreativa es otra señal que nos indica elplacer que produce resolver las preguntas matemáticas.

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Matemáticas 13

Notación, lenguaje y rigor

Leonhard Euler. Probablemente el más prolíficomatemático de todos los tiempos.

La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día nose inventó hasta el siglo XVIII.[15] Antes de eso, las matemáticas eranescritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avancematemático. En el siglo XVIII, Euler, fue responsable de muchas de lasnotaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace quelas matemáticas sean mucho más fácil para los profesionales, pero paralos principiantes resulta complicada. La notación reduce lasmatemáticas al máximo, hace que algunos símbolos contengan unagran cantidad de información. Al igual que la notación musical, lanotación matemática moderna tiene una sintaxis estricta y codifica lainformación que sería difícil de escribir de otra manera.

El símbolo de infinito en diferentestipografías.

El lenguaje matemático también puede ser difícil para los principiantes.Palabras tales como o y sólo tiene significados más precisos que en lenguajecotidiano. Además, palabras como abierto y cuerpo tienen significadosmatemáticos muy concretos. La jerga matemática, o lenguaje matemático,incluye términos técnicos como homeomorfismo o integrabilidad. La razónque explica la necesidad de utilizar la notación y la jerga es que el lenguajematemático requiere más precisión que el lenguaje cotidiano. Losmatemáticos se refieren a esta precisión en el lenguaje y en la lógica como el"rigor".

El rigor es una condición indispensable que debe tener una demostraciónmatemática. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de losaxiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremaserróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la

historia de esta ciencia.[16] El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegosbuscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos.Los problemas inherentes de las definiciones que Newton utilizaba dieron lugar a un resurgimiento de un análisiscuidadoso y a las demostraciones oficiales del siglo XIX. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellosmediante demostraciones asistidas por ordenador.[17]

Un axioma se interpreta tradicionalmente como una "verdad evidente", pero esta concepción es problemática. En elámbito formal, un axioma no es más que una cadena de símbolos, que tiene un significado intrínseco sólo en elcontexto de todas las fórmulas derivadas de un sistema axiomático.

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La matemática como ciencia

Carl Friedrich Gauss, apodado el "príncipe de losmatemáticos", se refería a la matemática como "la

reina de las ciencias".

Carl Friedrich Gauss se refería a la matemática como "la reina de lasciencias".[18] Tanto en el latín original Scientiarum Regina, así comoen alemán Königin der Wissenschaften, la palabra ciencia debe serinterpretada como (campo de) conocimiento. Si se considera que laciencia es el estudio del mundo físico, entonces las matemáticas, o porlo menos matemáticas puras, no son una ciencia.

Muchos filósofos creen que las matemáticas no son experimentalmentefalseables, y, por tanto, no es una ciencia según la definición de KarlPopper.[19] No obstante, en la década de 1930 una importante labor enla lógica matemática demuestra que las matemáticas no puedereducirse a la lógica, y Karl Popper llegó a la conclusión de que "lamayoría de las teorías matemáticas son, como las de física y biología,hipotético-deductivas. Por lo tanto, las matemáticas puras se han vueltomás cercanas a las ciencias naturales cuyas hipótesis son conjeturas, asíha sido hasta ahora".[20] Otros pensadores, en particular Imre Lakatos,han solicitado una versión de Falsacionismo para las propiasmatemáticas.

Una visión alternativa es que determinados campos científicos (como la física teórica) son matemáticas con axiomasque pretenden corresponder a la realidad. De hecho, el físico teórico, J. M. Ziman, propone que la ciencia esconocimiento público y, por tanto, incluye a las matemáticas.[21] En cualquier caso, las matemáticas tienen mucho encomún con muchos campos de las ciencias físicas, especialmente la exploración de las consecuencias lógicas de lashipótesis. La intuición y la experimentación también desempeñan un papel importante en la formulación deconjeturas en las matemáticas y las otras ciencias. Las matemáticas experimentales siguen ganando representacióndentro de las matemáticas. El cálculo y simulación están jugando un papel cada vez mayor tanto en las cienciascomo en las matemáticas, atenuando la objeción de que las matemáticas se sirven del método científico. En 2002Stephen Wolfram sostiene, en su libro Un nuevo tipo de ciencia, que la matemática computacional merece serexplorada empíricamente como un campo científico.

Las opiniones de los matemáticos sobre este asunto son muy variadas. Muchos matemáticos consideran que llamar asu campo ciencia es minimizar la importancia de su perfil estético, además supone negar su historia dentro de lassiete artes liberales. Otros consideran que hacer caso omiso de su conexión con las ciencias supone ignorar laevidente conexión entre las matemáticas y sus aplicaciones en la ciencia y la ingeniería, que ha impulsadoconsiderablemente el desarrollo de las matemáticas. Otro asunto de debate, que guarda cierta relación con el anterior,es si la matemática fue creada (como el arte) o descubierta (como la ciencia). Este es uno de los muchos temas deincumbencia de la filosofía de las matemáticas.Los premios matemáticos se mantienen generalmente separados de sus equivalentes en la ciencia. El más prestigioso premio dentro de las matemáticas es la Medalla Fields,[22] [23] fue instaurado en 1936 y se concede cada 4 años. A menudo se le considera el equivalente del Premio Nobel para la ciencia. Otros premios son el Premio Wolf en matemática, creado en 1978, que reconoce el logro en vida de los matemáticos, y el Premio Abel, otro gran premio internacional, que se introdujo en 2003. Estos dos últimos se conceden por un excelente trabajo, que puede ser una investigación innovadora o la solución de un problema pendiente en un campo determinado. Una famosa lista de esos 23 problemas sin resolver, denominada los "Problemas de Hilbert", fue recopilada en 1900 por el matemático alemán David Hilbert. Esta lista ha alcanzado gran popularidad entre los matemáticos y, al menos, nueve de los problemas ya han sido resueltos. Una nueva lista de siete problemas fundamentales, titulada "Problemas del milenio", se publicó en 2000. La solución de cada uno de los problemas será recompensada con 1 millón de dólares.

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Curiosamente, tan solo uno (la Hipótesis de Riemann) aparece en ambas listas.

Ramas de estudio de las matemáticasLa Sociedad Americana de Matemáticas distingue unas 5.000 ramas distintas de matemáticas.[24] Dichas ramas estánmuy interrelacionadas. En una subdivisión amplia de las matemáticas, se distinguen cuatro objetos de estudiobásicos: la cantidad, la estructura, el espacio y el cambio.• Los diferentes tipos de cantidades (números) han jugado un papel obvio e importante en todos los aspectos

cuantitativos y cualitativos del desarrollo de la cultura, la ciencia y la tecnología.• El estudio de la estructura comienza al considerar las diferentes propiedades de los números, inicialmente los

números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en elálgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números.Después, la organización de conocimientos elementales produjo los sistemas axiomáticos (teorías), permitiendo eldescubrimiento de conceptos estructurales que en la actualidad dominan esta ciencia (e.g. estructuras categóricas).La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importanteconcepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal y pertenece a las dos ramasde la estructura y el espacio.

• El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría. En su facetaavanzada el surgimiento de la topología da la necesaria y correcta manera de pensar acerca de las nociones decercanía y continuidad de nuestras concepciones espaciales.

Derivada.

• La comprensión y descripción del cambio en variables mensurableses el tema central de las ciencias naturales y del cálculo. Pararesolver problemas que se dirigen en forma natural a relacionesentre una cantidad y su tasa de cambio, se estudian las ecuacionesdiferenciales y de sus soluciones. Los números usados pararepresentar las cantidades continuas son los números reales. Paraestudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada eintegral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denominaAnálisis. Es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisiscomplejo. El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola comoun punto de un espacio funcional abstracto.

Conceptos erróneosLo que cuenta como conocimiento en matemática no se determina mediante experimentación, sino mediantedemostraciones. No es la matemática, por lo tanto, una rama de la física (la ciencia con la que históricamente seencuentra más emparentada), puesto que la física es una ciencia empírica. Por otro lado, la experimentacióndesempeña un papel importante en la formulación de conjeturas razonables, por lo que no se excluye a ésta de lainvestigación en matemáticas.La matemática no es un sistema intelectualmente cerrado, donde todo ya esté hecho. Aún existen gran cantidad deproblemas esperando solución, así como una infinidad esperando su formulación.Matemática no significa contabilidad. Si bien los cálculos aritméticos son importantes para los contables, los avancesen matemática abstracta difícilmente cambiarán su forma de llevar los libros.Matemática no significa numerología. La numerología es una pseudociencia que utiliza la aritmética modular parapasar de nombres y fechas a números a los que se les atribuye emociones o significados esotéricos, basados en laintuición.

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El lenguaje formal no es una simple extensión de los lenguajes naturales humanos que utiliza una gramática y unvocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relacionesconceptuales y físicas. Recientemente, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una direccióndiferente: los lenguajes naturales (como el español o el francés, por ejemplo) y los lenguajes formales (como elmatemático o los lenguajes de programación) son estructuras de naturaleza básicamente diferente.

Referencias[1] En la antigüedad nadie hizo un retrato o una descripción de la apariencia física de Euclides mientras estaba vivo. Por lo tanto, la

representación de Euclides en las obras de arte varía en función de la imaginación de cada artista (véase Euclides).[2] Steen, LA (29 de abril de 1988). Mathematics:The Science of Patterns (Scientific American Library, 1994) Science, 240: 611-616.[3] Keith Devlin (1996). Matemáticas: La ciencia de los patrones: La búsqueda de la Orden en la vida, la mente y el Universo. Scientific

American. ISBN 9780716750475.[4] Jourdain[5] « matemática (http:/ / buscon. rae. es/ draeI/ SrvltConsulta?TIPO_BUS=3& LEMA=matemática)», Diccionario de la lengua española

(vigésima segunda edición), Real Academia Española, 2001,[6] Peirce, p.97[7] Einstein, p. 15. La cita es la respuesta de Einstein a la pregunta: "¿Cómo puede ser que las matemáticas, siendo después de todo un producto

del pensamiento humano independiente de la experiencia, estén tan admirablemente adaptadas a los objetos de la realidad? (http:/ / www.epsilones. com/ paginas/ t-definiendo. html)"

[8] Peterson[9] Heath, Thomas (1921). A History of Greek Mathematics.. Oxford, Clarendon Press. OCLC 2014918 (http:/ / worldcat. org/ oclc/ 2014918).[10] Johnson, Gerald W.; Lapidus, Michel L. (2002). Oxford University Press. ed. The Feynman Integral and Feynman's Operational Calculus.[11] Eugene Wigner, 1960, " La irracional eficacia de las matemáticas en la de Ciencias Exactas y Naturales (http:/ / www. dartmouth. edu/

~matc/ MathDrama/ reading/ Wigner. html)" Communications on Pure and Applied Mathematics'13 '(1): 1-14.[12] Hardy, GH (1940). A Mathematician's Apology.[13] Oro, Bonnie; Simons, A. Rogers (2008). MAA. ed. Proof and Other Dilemmas: Mathematics and Philosophy.[14] Aigner, Martin; Ziegler, M. Gunter (2001). Proofs from the Book. Springer.[15] Utilización de diversos símbolos matemáticos (http:/ / www. doe. virginia. gov/ Div/ Winchester/ jhhs/ math/ facts/ symbol. html) (Véase

Anexo:Símbolos matemáticos)[16] Véase falsa demostración para comprobar mediante ejemplos sencillos los errores que se pueden cometer en una demostración oficial. El

teorema de los cuatro colores contiene ejemplos de demostraciones falsas aceptadas accidentalmente por otros matemáticos del momento.[17] Ivars Peterson,La matemática turística, Freeman, 1988, ISBN 0-7167-1953-3. p. 4 "Algunos se quejan de que el programa de ordenador no

puede ser verificado correctamente," (en referencia a la Haken de Apple la prueba de color Teorema de los Cuatro).[18] Waltershausen[19] Shasha, Dennis Elliot; Lazere, Cathy A. (1998). Fuera de su mente: La vida y de 15 de los Grandes Descubrimientos científicos. p. 228.[20] Popper 1995, p. 56[21] Ziman[22] «Actualmente la Medalla Fields es sin duda el mejor y el más influyente premio en las matemáticas». Monastyrsky[23] Riehm[24] Clasificación bibliográfica de la Sociedad Americana de Matemáticas de 2010 (http:/ / www. ams. org/ mathscinet/ msc/ pdfs/

classifications2010. pdf)

Bibliografía• Pierce, Benjamin (1882). Linear Associative Algebra (http:/ / www. archive. org/ details/

linearassocalgeb00pierrich). Van Nostrand. Digitalizado por University of California Libraries. Págs. 97-229.• Einstein, Albert (1923). «Geometry and experience», en Sidelights on relativity (http:/ / www. ibiblio. org/

ebooks/ Einstein/ Sidelights/ Einstein_Sidelights. pdf). P. Dutton., Co.• Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books.

ISBN 0-8050-7159-8.• Jourdain, Philip E. B., « The Nature of Mathematics (http:/ / books. google. com/ books?id=UQqLHyd8K0IC&

pg=PA4& resnum=2)», en The World of Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41153-8.• Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R.

Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.

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• Popper, Karl R. (1995). «On knowledge», en In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years.Routledge. ISBN 0-415-13548-6.

• Ziman, J.M., F.R.S. (1968). Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science (http:/ / info.med. yale. edu/ therarad/ summers/ ziman. htm). Cambridge University Press.

• Riehm, Carl (August 2002). « The Early History of the Fields Medal (http:/ / www. ams. org/ notices/ 200207/comm-riehm. pdf)», en Notices of the AMS. AMS 49 (7). Págs. 778–782.

Enlaces externos• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Matemáticas. CommonsWikilibros

• Wikilibros alberga libros y manuales sobre Matemáticas.• Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Matemáticas. Wikiquote

• Wikcionario tiene definiciones para matemática.Wikcionario• Wikisource contiene obras originales de o sobre Categoría:Matemáticas.Wikisource• Más de 2500 vídeos de matemáticas. (http:/ / www. lasmatematicas. es/ )• Curso de matemáticas dirigido a estudiantes de ingeniería de sistemas (http:/ / huitoto. udea. edu. co/

Matematicas/ NuevoContenido. html). Facultad de Ciencias Exactas y Naturales. Universidad de Antioquia.• Conexiones Matemáticas (http:/ / thesaurus. maths. org/ mmkb/ view. html?resource=index)• Real Sociedad Matemática Española (http:/ / www. rsme. es)• Sitio Interactivo de Análisis Numérico (http:/ / e. hnesolutions. com/ numerics/ mainnumerics. aspx)• Historia de las Matemáticas (Astroseti) (http:/ / ciencia. astroseti. org/ matematicas/ )• Temas de matemática básica. (http:/ / www. rinconmatematico. com)• Ejercicios de Matemáticas. (http:/ / www. elsaposabio. com/ matematicas)• "El paraíso de las Matemáticas" (http:/ / www. matematicas. net)

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Fuentes y contribuyentes del artículo 18

Fuentes y contribuyentes del artículoEcuación  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52151442  Contribuyentes: -jem-, 1969, A ntiyanki, Adriansm, Ajraddatz, AleMC, Alejandris., Allforrous, Amadís, Anassesduses,Andreasmperu, Angel GN, Antur, Arielohits, Armando-Martin, Açipni-Lovrij, Banfield, Barteik, Bcoto, BlackBeast, Boja, Bucephala, BuenaGente, Camilo, CayoMarcio, Charly genio,Ciberrmorw, Cobalttempest, Corrector1, Correogsk, Cratón, David0811, Davius, Delphidius, DerHexer, Diegusjaimes, Digigalos, Diosa, Dodo, Dominican, Dorieo, Dreitmen, Edcg, Edmenb,Edslov, Eduardosalg, Eligna, Elliniká, Emiduronte, FAR, FallenJehova, Farisori, Ferdinand, Filipo, Flores,Alberto, Foundling, GNM, Gaeddal, Gafotas, Galandil, GermanX, Ggenellina, Greek,Gsrdzl, Gusbelluwiki, Gustronico, Götz, HUB, Halfdrag, Heimy, HiTe, Humberto, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, Itnas19, JMCC1, Jarisleif, Jcaraballo, Jcuesta, Jerowiki, Jkbw,Johnbojaen, Joselarrucea, Josell2, Jsanchezes, JuanPaBJ16, Juanalmenara, Jugones55, Karshan, Khiari, Kismalac, KoHaKu12, Kved, LMLM, Laauraa, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Lmcuadros,Losvalenda, Luceriux, Lucien leGrey, Macheledesma, Mafanufuelfe, Magister Mathematicae, Makete, Manwë, MarcoAurelio, Martin Rizzo, Matdrodes, Mcqc, Mel 23, Miguel, Miguel Saavedra,Miss Manzana, Moriel, Most07, Mpinomej, Mr.Ajedrez, Mushii, Nacho enriquez, Nacho00000, Netito777, Nicop, Nixón, Normantg, Numbo3, Oscar ., Pabloab, Pan con queso, Paz.ar, Petronas,Petruss, Plasmoid, PoLuX124, Racso, Raulshc, Retama, RoyFocker, RubiksMaster110, S.m.e.r, Sabbut, Sardur, Savh, Schummy, Sebado, Sleyter, Suisui, Super braulio, Taichi, Tano4595,Technopat, Tempere, Tirithel, Tolitose, Trylks, Wewe, Wikiléptico, Wilfredor, Xemuj, Youssefsan, Z00m24, Zuyuyin, 775 ediciones anónimas

Ecuación de primer grado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52231615  Contribuyentes: -jem-, Apo007, Belb, BlackBeast, Bryan316i, Camilo, Charly genio, Davius,Diegusjaimes, Dnu72, Dreitmen, Eduardosalg, GNM, Gaius iulius caesar, GermanX, Ggenellina, HUB, HiTe, Hortografia, Humberto, Hurricane2001, Jarisleif, Jkbw, Juan Mayordomo, Karpoke,Leonpolanco, Mansoncc, MarcoAurelio, Matdrodes, Netito777, Niko Bellic.2810, Oblongo, Pan con queso, Rdaneel, Satanás va de retro, Snakeyes, Super braulio, Technopat, Vic Fede,Vitamine, 152 ediciones anónimas

Matemáticas  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=52253761  Contribuyentes: -Erick-, .Sergio, 1297, 195.235.92.xxx, 3coma14, AFLastra, Aalvarez12, Aamarycarmen, Airunp,Alberto5000, Alexander yo, Alexquendi, AlfonsoERomero, Alfredobi, Alhen, Allforrous, Alvaro qc, Amahoney, Amanuense, Andreasmperu, Andreoliva, Andresdario233, Andrésolivetti, AngelGN, Angus, Antur, Antón Francho, Anual, Aparejador, Apartidista, Aracne, Asiderisas, AstroNomo, Atlante, Açipni-Lovrij, Banck, Banfield, Barsev, Bedwyr, Belb, Belgrano, Beto29,BlackBeast, Blasete, BludgerPan, Boatbadly, Brucehinojosa, Bucephala, BuenaGente, CASF, Cacarlososo, Camilo, Canyq, Captel - educación a distancia, Carlatf, Carlos Alberto Carcagno,Centeno, Charly genio, Chupame el ollo, Cinabrium, Cobalttempest, Comae, Cookie, Corderodedios, Correogsk, Cratón, Ctrl Z, Cucaracha, DJ Nietzsche, Dactilos, Danakil, Dangelin5, Dark,Davidmh, Davidsevilla, Davius, Deleatur, Derrick77, Dhidalgo, Diegusjaimes, Diogeneselcinico42, Dionisio, Doctor C, Dorieo, Dove, Draxtreme, EL Willy, Ecemaml, Edslov, Eduardosalg,Elfutbolmipasion, Eligna, Elliniká, Elmascapodetodos, Elsenyor, Elwikipedista, Emiduronte, Emijrp, EnriqueCima, Equi, Er Komandante, Escarapela, Estebanmanaya, Eufrosine, Eustanacio IV,FAL56, FAR, Farisori, Faustito, Felipealvarez, Fernando H, Filipo, Fitoschido, Flores,Alberto, Foundling, FrancoGG, GNM, Gaeddal, GermanX, Gmagno, Greek, Green Day 01, Guillelink,Gusbelluwiki, Gusgus, Góngora, H. Fuxac, HUB, Halfdrag, Helena 44, Hflores, House, Hprmedina, Humberto, Ian kemel, Ingenioso Hidalgo, Invadinado, Iusdfn78, IvanStepaniuk, Ivhago4, Ivn,J.R.Menzinger, JMB(es), JMCC1, JMperez, JOHN DEWEY, JViejo, Jarke, Jateck, Javi pk, Javierito92, Javierme, Javisoar, Jcaraballo, Je$u$, Jerowiki, Jfuxman1, Jkbw, Jmvgpartner, Joel777,Jorge 2701, Jorge c2010, JorgeGG, Joseaperez, Juan Manuel, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Juliabis, Julian Mendez, Julie, Juliho.castillo, Julio grillo, Junaka-waka, Jynus, Kadellar,KanTagoff, King prinplup, Kismalac, Kn, Kriss, Kristobal, Krysthyan, Kved, LPGG, Laura Fiorucci, Lautaro kamegaki, Leonpolanco, Leonudio, Lissbeth, Lucain uv, Lungo, Macar, Macarrones,MadriCR, Mafores, Magister Mathematicae, Mahey94, Makaka33, Maldoror, Mansoncc, Manuel Trujillo Berges, Manuelt15, MarcoAurelio, Marioalbert09, Matdrodes, Mathsfun, Matys98,Maveric149, MaxElizalde, Maxxcan, Mdiagom, Mecamático, Mel 23, Millars, Miss Manzana, Mitrush, Montgomery, Moraleh, Mordecki, Moriel, Mutari, Máximo de Montemar, Nachounicaja,Napier84, NeoFoX, Netito777, Nicop, Nioger, Niqueco, Nixón, Noventamilcientoveinticinco, Nundy, Opinador, Ortisa, Oscar ., PACO, Pabloallo, Paco79, Paintman, Palissy, Pediawisdom,Pedotufo, Pegaso2005, Pellu Szabó, Penguin19733Cp, Petruss, Piradaperdida, Platonides, PoLuX124, Polloooo, Princesita loquita, Rafa0410, Rastrojo, Raulshc, Raystorm, René Peña, Retama,Ricardogpn, Roberto Fiadone, Roman.astaroth, Romero Schmidtke, Rovnet, RoyFocker, Rrmsjp, Rαge, SPQRes, Sabbut, Sanbec, Savh, Sebrev, Seretbit, Sergio Andres Segovia, Shooke, Siabef,Sincro, Smart media, Snakeyes, Socrato, Sp92, Srbanana, Super braulio, SuperTusam, Surscrd, TArea, Tano4595, Tarekhajali, Tartaglia, Technopat, Teles, Tirithel, Tomatejc, Tomás Malala,Trollsofwar, Truefreehappy, Trujaman, Tutoriasur, Txo, Unnio, Usuwiki, VanKleinen, Vargenau, Vatelys, Veon, Viacom, Vitamine, Vivero, Vubo, Wewe, WikiMathema, Wikiléptico,Wikinovelmaniaco, Wikis1, Wilfredor, Wiliams96524, Xexito, Yeniferfranco, Yeza, Yufradt, conversion script, ÁWá, 949 ediciones anónimas

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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesArchivo:FuncionLineal04.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FuncionLineal04.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: HiTe 21:43, 8 May 2008 (UTC)Archivo:Euclid.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Euclid.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Cyberpunk, Deerstop, Fishbone16, HUB, Mattes, Petropoxy(Lithoderm Proxy), Sailko, 7 ediciones anónimasArchivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:Algorithme, Beyond My Ken, Bjankuloski06en, Grenavitar, Infrogmation, Kelson, Kilom691, Porao, Saperaud, Semnoz, Siebrand, Sparkit, Thomas Gun, Wknight94, Wst, Zaphod, 4 edicionesanónimasArchivo:Leonhard Euler 2.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Leonhard_Euler_2.jpg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Haham hanuka, Herbythyme,Plindenbaum, Serge Lachinov, Shakko, 6 ediciones anónimasArchivo: Infinity symbol.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Infinity_symbol.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Darapti, Hello71, Indolences,Kilom691, Magister Mathematicae, Wst, 6 ediciones anónimasArchivo:Carl Friedrich Gauss.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Carl_Friedrich_Gauss.jpg  Licencia: desconocido  Contribuyentes: Bcrowell, Blösöf, Conscious,Gabor, Joanjoc, Kaganer, Kilom691, Luestling, Mattes, Rovnet, Schaengel89, Ufudu, Wolfmann, 4 ediciones anónimasArchivo:Derivative1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Derivative1.png  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes: UlrichMohrhoffArchivo:Nuvola apps edu mathematics-p.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Nuvola_apps_edu_mathematics-p.svg  Licencia: GNU Lesser General Public License Contribuyentes: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion)Archivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Image:Wikibooks-logo-en.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo-en.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac et al.Archivo:Spanish Wikiquote.SVG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG  Licencia: logo  Contribuyentes: James.mcd.nzArchivo:Wiktionary-logo-es.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wiktionary-logo-es.png  Licencia: logo  Contribuyentes: es:Usuario:PybaloArchivo:Wikisource-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikisource-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: Nicholas Moreau

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