24
CAPÍTULO 3
DESCRIPCIÓN DEL ANÁLISIS DE ELEMENTOS FINITOS
3.1 Introducción
Las principales metas en el análisis de ingeniería son identificar los principios
físicos básicos que gobiernan el comportamiento de un sistema y traducir esos
principios en un modelo matemático que envuelve una o varias ecuaciones que pueden
ser resueltas para poder predecir el comportamiento cualitativo y cuantitativo de un
sistema. El modelo matemático normalmente es una simple ecuación diferencial o
varias ecuaciones diferenciales cuya solución deben ser consistentes entre sí y
representar la física básica del sistema.
En situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el
problema usando métodos tradicionales, sin embargo, el gobierno de las ecuaciones
diferenciales o las regiones donde se busca una solución, algunas veces es necesario
usar alguna fuente de aproximación o método numérico para obtener la información
necesaria sobre el comportamiento de un sistema.
Los métodos adaptados en la mecánica computacional son generalmente basados
en una simple idea: cuando la solución es muy grande, cambiar la estructura de la
aproximación (tamaño de malla, localización de puntos, la forma de la aproximación,
etc.) para poder reducirla.
25
El interés en dichos procesos ha crecido gradualmente en los últimos años con la
finalidad de optimizar los cálculos para entregar la mejor solución con el mínimo
esfuerzo. Sin embargo, la implementación de ideas adaptables constituye una
significante salida de los métodos convencionales en la aplicación de la computación en
la dinámica de fluidos y envuelve muchos problemas.
La computación en la dinámica de fluidos está empezando a ser una herramienta
importante en la ingeniería como los túneles de viento. Para algunas industrias, como la
aéreo-espacial, seguridad nuclear, los experimentos de este tipo son muy difíciles o
incluso imposibles de realizar. La simulación de flujos de fluidos empezó a principios
de los 60’s con flujos potenciales, los cálculos fueron hechos usando diferencia finita o
métodos de panel, principalmente los cálculos numéricos han sido utilizados por las
industrias aéreo-náuticas y nucleares.
En los 70’s se vio por primera vez la implementación del método de elementos
finitos para ecuaciones potenciales y la ecuación de Navier-Stokes; también durante ese
tiempo de desarrollo del método de diferencia finita para problemas complejos como la
ecuación compresible de Navier-Stokes.
En los años recientes se ha visto el desarrollo de algoritmos más rápidos para
tratar con flujos en 3D, dominio de descomposición, vectorización, el desarrollo de
métodos especializados para alcanzar ciertos objetivos, métodos de partículas, métodos
de gas y el tratamiento de problemas que son más y más complejos como la ecuación
compresible de Navier-Stokes con interacción de las capas límites de shock, capas
límites de Knutsen y superficies libres.
26
El método de elementos finitos (FEM) se ha convertido en una alternativa que en
muchas aplicaciones tiene ventajas sobre el método de diferencia finita. El FEM ha
evolucionado como una idea en el análisis estructural, hoy en día es aplicado como una
herramienta de análisis en casi cualquier área de la ingeniería moderna.
Figura 3.1 Número match obtenido por elementos finitos
3.2 Esquema de Solución de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Compresibles
Muchos de los trabajos hechos en elementos finitos se han concentrado en la
solución de las ecuaciones de Euler, y muy poco en la aplicación de la aproximación de
la solución de las ecuaciones compresibles de Navier-Stokes. En al discretización
espacial se emplean elementos lineales triangulares en dos dimensiones y elementos
lineales tetraédricos en tres dimensiones, mientras el tiempo de discretización se logra
en una manera implícita/explícita.
27
Las ecuaciones que gobiernan el flujo compresible viscoso laminar en tres
dimensiones son consideradas en la forma de conservación siguiente,
i
i
i
i
x
G
x
F
t
U
∂∂
=∂∂
+∂
∂ , i = 1, 2, 3 (3.1)
donde se emplean las convenciones de sumas y obtenemos,
=
ρερρρρ
3
2
1
u
u
u
U
( )
++++
=
i
ii
ii
ii
i
i
up
puu
puu
puu
u
F
ρεδρδρδρ
ρ
33
22
11
(3.2)
+
=
imim
i
i
i
i
x
Tku
G
δδσ
σσσ
3
2
1
0
(3.3)
Aquí ρ, p, ε, T y k son la densidad, presión, energía específica total, temperatura
y conductividad térmica del fluido respectivamente, ui es la componente de velocidad
del fluido en la dirección xi de un sistema de coordenadas cartesiano. Las componentes
del esfuerzo de tensión viscoso están dadas por
mij
j
m
i
i
mmi x
u
x
u
x
u δλµσ∂∂
+
∂∂
+∂∂
= (3.4)
y se asume que los coeficientes de viscosidad λ y µ están relacionados por
28
3
2µλ −= (3.5)
La variación de µ con la temperatura sigue la ecuación empírica de Sutherland’s
30
ro
r
r T
T
ST
ST
++
=µµ
(3.6)
donde So es una constante determinada experimentalmente, µr y Tr denotan referencia de
viscosidad y valores de temperatura respectivamente. En los cálculos presentados aquí,
se tomó el valor de So = 198.6° R (-162.8° C) y la variación de conductividad térmica
fue determinada de la Eq. (3.6) asumiendo un valor constante de 0.72 del número de
Prandtl. La ecuación completa es presentada agregando las ecuaciones de un gas
perfecto en la forma
( ) ( ) ( )ργεργ
15.01
−=−−=
vm c
pTup (3.8)
donde γ es la razón de los calores específicos y cv es el calor específico con volumen
constante.
Figura 3.2 Esquema de un flujo compresible
29
Figura 3.3 Solución de las ecuaciones de Euler
3.3 Discretización Espacial
El dominio de la solución espacial Ω es la discretización usando tres elementos
lineales triangulares en dos dimensiones o cuatro elementos lineales tetraédricos en tres
dimensiones. Las representaciones lineales son empleadas para el incremento de ∆U y
∆Uexp en la siguiente forma
expexp*exp*jjjj UNUUUNUU ∆=∆≈∆∆=∆≈∆ (3.9)
donde Nj denota la forma lineal de la función asociada al nodo J de la malla. Una
aproximación constante es asumida para niA y n
imR , y estas cuantidades son tomadas
como constantes para cada elemento, y la solución de este sistema de ecuaciones es
30
∑ ∫
∫
Ω
Ω
Ω∂∂
∂∂
∆+∆+=
Ω=
∆=∆
i i
J
i
Iniin
iIJIJ
JIIJ
JIJJIJ
dx
N
x
N
t
RA
tMK
dNNM
UMUK
22
exp
2
(3.10)
En la derivación de esta expresión para KIJ, se empleó el teorema de Green y el
resultado del límite de la integral se descarta, junto con la contribución de los términos
que envuelven las derivadas. Experimentos prácticos han demostrado que descartando
estas cuantidades tiene muy poco efecto en la solución del algoritmo numéricamente.
Una simplificación final es reemplazar la matriz de masa consistente M IJ por una matriz
diagonal, que no contenga ceros [ML] I.
3.4 Difusión del Perfil Aerodinámico por el Método de Elementos Finitos
3.4.1 Ecuaciones Incompresibles de Euler y Navier-Stokes
La aplicación de difusión del perfil aerodinámico modificó los métodos de
Galerkin en las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes usando
formulaciones de presión-velocidad. Sin embargo, las formulaciones usadas no fueron
totalmente consistentes desde el punto de vista teórico, y existía un error de análisis.
Johnson y Serenen introdujeron un método de difusión del perfil aerodinámico
consistente en dos dimensiones utilizando una formulación de función-vorticidad-
presión del un perfil de las ecuaciones incompresibles de Euler y Navier-Stokes con una
pequeña viscosidad ε.
31
Este método dio estabilidad, exactitud y solución numérica para problemas
difíciles con pequeña viscosidad y grandes números de Reynolds. Sin embargo, la
extensión a problemas de tres dimensiones parecía complicada y para este caso era
deseable tener un método usando variables de velocidad-presión. Ahora presentamos el
método con algunos resultados numéricos.
Este es el primer método de exactitud de alto orden para pequeñas o cero
viscosidad de las ecuaciones de incompresibilidad de Navier-Stokes usando polinomios
continuos aproximados de igual orden de las velocidades y presiones.
Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes
(3.11a) (3.11b) (3.11c)
(3.11d)
donde Ω es un límite y su dominio en Rd, d = 2, 3, con límite Γ, ( ) dRtxu ∈, es la
velocidad, ( ) Rtxp ∈, es la presión, f y u0 son datos conocidos y ε es la viscosidad.
Para definir el método de difusión del perfil aerodinámico de la Eq. (3.11)
dejemos
( )00 210 >⋅⋅⋅<<= hforttt ser una secuencia de tiempos con htt nn ~1 −+ ,
τ=nhT (para n = 1, 2,…….), sea una triangulación de elemento finito de Ω, y
κ=nhK sea la subdivisión de “tabla” ( ),,, 1+=×Ω= nnnnn ttIIS dentro de los
elementos nI×= τκ de diámetro ~ h (Fig. 3.5).
0
0
0
0 =Ω=×Γ=×Ω=×Ω=∇+∆−∇+
+
+
+
tparaenuu
Renu
Renudiv
Renfpuuuu t ε
32
Introducimos los espacios
( ) ( ) ( ) nnhnn
dn
nh IenvKIIPPvSCvV ×Γ=∈×=∀×∈∈= 0,,|: 11 τκτκ
( ) ( ) ( ) nhnnn
nh KIIPPqSCqQ ∈×=∀×∈∈= τκτκ ,|: 11
En otras palabras, usamos elementos continuos bilineales de tiempo-espacio en
cada tabla Sn para velocidades y presiones. El método de difusión del perfil
aerodinámico para la Eq. (3.11) puede ser formulada como sigue en el caso de Ch<ε :
para n = 0, 1, 2,…., encontrar nSUU |≡ y
nSPP |≡ tal que
( )[ ] ( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )
( )[ ]n
nnn
n
St
nnnSSS
Stt
qvUvvf
vUUvUUdivUdivqUdiv
vUUdivrqvUvvPUUU
∇+∇⋅++=
−+∇∇+++
∇+∇⋅++∇+∇⋅+
Ω+−+
1
2
1
,
,,,
,,
δ
εδ
δ
(3.12)
( ) nh
nh QVqv ×∈∀ ,
donde ( )wn⋅⋅, denota el producto escalar en ( )[ ]mwL2 , m = 1,d,
( )stww ns
n +⋅=±→± ,lim
0
( )
>
≤=
Kysiy
Kysi
yr
2
0
( )
>
≤
KysiC
KysihC
y
1
1
2δ
hC21 =δ
33
donde L2 es el error estimado de orden ( )2/1+khϑ , k es el grado polinomial para
problemas lineales generales asumiendo que derivadas del orden k + 1 de la solución
exacta pertenecen a L2, C1, C2, y K son ciertas constantes independientes de h y ε. Un
paso esencial del análisis es probar que div U puede ser más grande que K solamente en
una pequeña parte del dominio. Como resultado de la presencia de un factor r diferente
de cero y un factor 12 C=δ no interfiere con la exactitud global de L2.
Hay que notar que la dificultad en el error del análisis es el hecho de que ε debe
ser arbitrariamente pequeño y por esto el término de difusión no puede ser utilizado
como un control en los términos de convección. Si ( )1ϑε = , por lo tanto escogiendo
21 Ch=δ se puede probar, por ejemplo, que el estimado de H1 es de orden ( )hϑ para las
velocidades. En esta sección se presenta un ejemplo con resultados numéricos de la Eq.
(3.12). La calidad de este resultado indica una buena exactitud y estabilidad de que el
método puede ser usado para flujos complicados en tres dimensiones.
Figura 3.4 Mapa de la malla sobre las presiones y fronteras
34
Figura 3.5 Discretización de Espacio-Tiempo (Ref. [6])
Figura 3.6 Método de difusión del perfil aerodinámico adaptable (Ref. [6])
35
Figura 3.7 Error actual y estimado del L2 (Ref. [6])
3.4.2 Ejemplo
A continuación se muestra un ejemplo que se resuelve mediante el método de
elementos finitos utilizado en Fluidos, utilizando las ecuaciones de Euler para observar
su aplicación en este método. En esta sección presentamos una solución breve de
algunos experimentos utilizando el método de difusión del perfil aerodinámico, la Fig.
(3.8) muestra las mallas generadas por el algoritmo, durante el proceso y el nivel de
curvas de las soluciones correspondientes, junto con la parte de la superficie de la
solución aproximada en la malla final. También se proporcionaron el valor estimado y
actual de errores L2 a través de una estimación en las diferentes mallas.
36
Figura 3.8 Problema para las ecuaciones de Euler (Ref. [6])
37
Figura 3.9 Flujo alrededor de un cilindro; dominio, malla,
perfil aerodinámico, y presión (Ref. [6])
38
3.5 Cálculo del Flujo Inestable e Incompresible por el Método de Elementos Finitos
3.5.1 Formulación de las Funciones de Velocidad-Presión
En este método de velocidad-presión para la formulación de las funciones se usa
el método de de streamline-upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) para prevenir las
oscilaciones que pueden aparecer.
En la formulación de un solo paso, la velocidad es tratada explícitamente en la
ecuación de momento. En el contexto del procedimiento de una solución incremental
por la eliminación del incremento de la aceleración entre el momento discreto y
ecuaciones de continuidad se puede obtener la ecuación de incremento de la presión,
esta ecuación puede verse como una ecuación discreta de Poisson. Si la presión es
interpolada con funciones constantes, entonces el coeficiente de la matriz de la ecuación
de incremento de la presión es simétrica y positiva, sin embargo, si la función es de un
orden mayor entonces, por el término del SUPG, no podemos esperar que la matriz sea
simétrica.
La formulación del T3, que es un método de tres pasos, empieza con un esquema
en el que la presión y la viscosidad son tratadas implícitamente en el primer y el tercer
paso mientras el término de convección es tratado implícitamente en el segundo paso.
Usamos el SUPG solamente en el segundo paso, en la actual implementación el primer
y tercer paso son resueltos por un proceso similar al descrito en el de formulación de un
paso. En este caso el coeficiente de la matriz de la ecuación del incremento de la presión
39
es simétrico y positivo, independientemente del tipo de función utilizada para la
interpolación.
La formulación del T6 es una extensión del esquema del T3, en esta formulación
el segundo paso es subdivido en dos pasos mas para aislar los términos de convección.
El primer y tercer paso pueden ser subdivididos en otros paso si los “subpasos Stokes”
necesitan ser tratados en un modo especial. En cualquier caso la matriz de la ecuación
del incremento de la presión es nuevamente simétrica y positiva.
El nuevo multipaso para el método de velocidad-presión es una versión de la
formulación del T6 y está basado en funciones bilineales para la velocidad y la presión.
Dejemos que Ω y (0,T) denoten los dominios espaciales y temporales con x y t
representando las coordenadas asociadas con Ω y (0,T). El límite de Γ del dominio Ω
puede que envuelva muchos límites internos.
Ecuaciones de Stokes:
(3.13)
(3.14)
donde ρ y u son la densidad y la velocidad y σ es la tensión superficial
( )upI µεσ 2+−= (3.15)
con
( ) ( )2
Tuuu
∇+∇=ε (3.16)
( )
( )Tenu
Tenuut
u
,00
,00
×Ω=⋅∇
×Ω=⋅∇−
∇⋅+∂∂ σρ
40
Aquí p y µ representan la presión y la viscosidad, mientras que I denota la
densidad de la tensión. Los dos tipos de condiciones de frontera de Dirichlet y Neumann
son tomadas en consideración.
(3.17)
(3.18)
donde Γg y Γh son complementos Γ.
3.5.2 Discretización Espacial y Temporal
Dejemos que ε denote los resultados de una serie de elementos obtenidos de la
discretización de elementos finitos del dominio Ω dentro de los subdominios Ωe, e = 1,
2, …., ne1, donde ne1 es el número de elementos. Asociamos a ε los espacios de
dimensionales finitos H1h y H0h, donde H1h y H0h representan piezas bilineales y
funciones de espacios constantes de elementos finitos. Las funciones de espacios están
dadas como
(3.19) (3.20) (3.21)
donde nsd es el número de espacios dimensionales.
h
g
enhn
engu
Γ=⋅
Γ=
σ
( ) ( )
hhp
up
ghnhhhh
u
ghhnhhhh
u
HqqVS
enwHwwV
enguHuuS
sd
sd
0
1
1
|
0,|
,|
∈==
Γ=∈=
Γ=∈=
41
3.5.3 Ejemplo de un Flujo que Pasa por un Cilindro Circular
En este problema, se usan tres iteraciones en la formulación explícita del T6. Las
dimensiones del dominio son normalizadas por el diámetro del cilindro, que son 30.5 y
16.0 en dirección del flujo y contra-flujo, respectivamente. Fig. (3.10) se muestran
varias mallas empleadas para este ejemplo. La malla A consiste de 1310 elementos y
1365 nodos, alrededor del cilindro hay 29 elementos en dirección radial y 40 elementos
en la dirección de la circunferencia. La malla B consiste de 5220 elementos y 5329
nodos con 58 y 80 elementos en la dirección radial y de la circunferencia. La malla C
contiene 19,836 elementos y 20,046 nodos con 116 y 156 elementos en la dirección
radial y de la circunferencia.
Figura 3.10 Flujo que pasa por un cilindro circular (Ref. [6])
42
Figura 3.11 Flujo que pasa por un cilindro circular con un número de Reynolds de 100,
coeficiente de presión (Cp), coeficiente de arrastre (Cd), erticidad de pared (ww)
y ángulo de separación (θs) (Ref. [6])
43
Figura 3.12 Flujo que pasa por un cilindro circular con varios
números de Reynolds (Ref. [6])
44
3.6 Método de Elementos Finitos para Flujos Viscosos Incompresible en Tres
Dimensiones
3.6.1 Formulación de la Velocidad-Presión
Generalmente, el mejor modo de describir el flujo laminar de un fluido viscoso
incompresible es escribir las ecuaciones de Navier-Stokes en términos de las variables u
y p. Para propósitos de ingeniería las variables proveen en general la información más
útil del flujo. En algunas aplicaciones u es parcialmente descrita por ∂Ω. Pero si
existiera una porción Γ en ∂Ω donde u es desconocida, entonces las siguientes
condiciones de frontera son aplicadas
( ) Γ=−⋅ enpnnuv 02 ε
donde ε(u) es el gradiente simétrico de velocidad definido por
( )[ ] 32,12
1onnji
x
u
x
uu
i
j
j
iij =≤≤
∂∂
+∂∂
=ε (3.22)
3.7 Generación de Malla y Adaptación
Se utiliza una filosofía similar para la generación y adaptación de malla tanto
para dos y tres dimensiones. En tres dimensiones la generación de la malla inicial de la
forma deseada es alcanzada primeramente triangulando las superficies límites del
dominio. Cualquier pared sólida es expandida en dirección de la normal, y el espacio
entre el límite expandido y las fronteras son llenados con elementos.
45
Los prismas triangulares formados entre el límite expandido y las fronteras de la
pared sólida, conectando los puntos correspondientes en las dos superficies, son
subdivididos en tetraédricas, produciendo una malla que es estructurada en la dirección
de la normal. Los nodos son colocados en una progresión geométrica en la dirección de
la normal, de acuerdo a la especificación del espaciamiento. La aplicación de este
proceso en dos dimensiones es mostrada en la Fig. (3.13).
Figura 3.13 Construcción de malla cerca del límite de frontera (X-X).
(a) Límite expandido (Y-Y).
(b) Adición de la región de la malla estructurada (Ref. [8])
46
Cuando la solución ha avanzado hacia el estado estable de esta reja, una nueva
puede ser producida para el problema aplicando las ideas de malla adaptable. Como esta
aproximación no es empleada para regiones viscosas delgadas, la regeneración de la
malla es aplicada inicialmente en la región entre el límite expandido y las fronteras. Esta
regeneración es realizada usando parámetros de distribución de la malla obtenida de
acuerdo con el indicador de error direccional basado en calcular la segunda derivada de
la densidad.
La superficie de la malla en el límite expandido es proyectada en el límite físico
y los prismas triangulares formados son subdivididos en tetraedros como antes. Como la
reja estructurada es hecha para usarse donde los efectos de la viscosidad son
importantes, el grosor de la región estructurada e modificada con cada adaptación. Esto
se logra examinando la magnitud de los flujos viscosos en la malla anterior y usando
esta información para estimar el grosor de la viscosidad. El proceso de esta aplicación
de adaptación de rejas en la solución de problemas de dos dimensiones es mostrado en
la Fig. (3. 14).
47
Figura 3.14 Adaptación de la malla cerca del límite de la pared sólida (X-X). (a) Detalle de
la primera malla. (b) Detalle de la generación de la malla adaptable sin estructurar
en la región fuera del límite expandido (Z-Z). (c) Adición de la región
de la malla estructurada (Ref. [8])
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