Método del disparoMétodo del disparo

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

http://www-lacan.upc.es

Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)

Departament de Matemàtica Aplicada III

Universitat Politècnica de Catalunya (Barcelona)

http://www-lacan.upc.es

Tiro parabólico con rozamientoTiro parabólico con rozamiento

EDOs· 2

EDOs· 3

Solución con MatlabSolución con Matlab� Resolvemos el problema con

R = 0.00132 , v0 = 100 m/s, θ = π/4, tf = 20s

theta=pi/4;tspan=[0,20];

y0=[0,0,100*cos(theta),100*sin(theta)];

[T,Y] = ode45(@f,tspan, y0);

plot(T,Y,'-*')

600

800Solución con ode45

x

y

vx

EDOs· 40 5 10 15 20

-600

-400

-200

0

200

400

t

vx

vy

� Trayectoria

plot(Y(:,1), Y(:,2),'-*')

hold on

plot(500,0,'k+','LineWidth',2,'MarkerSize',12)

0

100

200Trayectoria

EDOs· 5

0 100 200 300 400 500 600 700 800-600

-500

-400

-300

-200

-100

x

y

options = odeset('Events',@criterio_parada);

[t2,Y2]=ode45(@f, tspan,y0, options);

figure(2); hold on; plot(Y2(:,1), Y2(:,2),'r')

function [value,isterminal,direction]=criterio_parada(t,y)

value = y(2); % detecta cuando este valor es 0

isterminal = 1; % la integración se detiene cuando value=0

direction = -1; % detecta el 0 sólo si la función decrece

100

200Trayectoria

EDOs· 60 100 200 300 400 500 600 700 800

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

y

� Resolvemos para diferentes ángulos de lanzamiento

150

200

250

300Trayectoria

θ =45.0º

θ =67.5º

θ =56.3º

EDOs· 7

0 100 200 300 400 500 600-50

0

50

100

150

x

y

Método del disparoMétodo del disparotheta_sol = fzero(@distancia, pi/4);

tspan = [0,20];

y0 = [0,0,100*cos(theta_sol),100*sin(theta_sol)];

options = odeset('Events',@criterio_parada);

[t_sol,Y_sol]=ode45(@f,tspan,y0,options);

200

250Trayectoria

EDOs· 8

0 100 200 300 400 500 600-50

0

50

100

150

x

y

� El problema de contorno (PC) se escribe como

• EDO de orden n

• na condiciones de contorno en x=a

PROBLEMAS DE CONTORNO: MÉTODO DEL DISPARO

PROBLEMAS DE CONTORNO: MÉTODO DEL DISPARO

EDOs· 9

• nb condiciones de contorno en x=b

La generalización del método del disparo para otras

condiciones de contorno no añade dificultad alguna.

� Por ejemplo, se puede imponer en x=b la condición

� Hasta ahora hemos visto métodos para resolver problemas de valor inicial.

EDOs· 10

de valor inicial.

IDEA del método del disparo: se plantea el problema de contorno como un problema de valor inicial.

� Se sustituyen las nb condiciones de contorno por condiciones iniciales ficticias en x=a, planteando el problema de valor

inicial

EDOs· 11

Los nb parámetros βi NO son datos del problema

� Transformando la EDO de orden n en un sistema de n

EDOs de orden 1, el PVI se escribe como

con vector de incógnitas

EDOs· 12

y condiciones iniciales

• conocidas/datos del PC

• no conocidas/a determinar

� Evidentemente, la solución y(x) del PVI depende de ββββ

� El método del disparo consiste en determinar las condiciones iniciales ββββ para que se verifiquen las condiciones de contorno:

• Para un valor dado de ββββ la resolución numérica con m pasos del PVI proporciona una aproximación de la

solución . Se define la función de ββββ

EDOs· 13

• Buscamos ββββ que cumpla

verificación de las CC

sistema no lineal con nbecuaciones y nb incógnitas

Implementación del método del disparoImplementación del método del disparo

1. Definición de una función F que dado ββββ calcule la solución

numérica y evalúe la verificación de las condiciones de contorno en x=b

resolución numérica del PVI

¿verificación CC?ββββ

EDOs· 14

2. Implementación de un método para resolver sistemas no lineales de ecuaciones, que no necesite el valor analítico de las derivadas de F (difíciles/imposibles de calcular). Se

utiliza para resolver � ββββ*

3. Se resuelve el PVI con ββββ* (la solución cumple las CC)

numérica del PVI

Resolución del sistema no linealResolución del sistema no lineal

� Si β es escalar (una sola condición de contorno en x=b)

se trata de un problema de ceros de funciones

• método de la bisección,

• método de la secante …

EDOs· 15

• método de la secante …

� Si se trata de un sistema no lineal

• Newton-Raphson aproximando las derivadas,

• métodos quasi-Newton …

Ménsula con grandes flechasMénsula con grandes flechas

EDOs· 16

� EDO de segundo orden:

� Condiciones de contorno:� Condiciones de contorno:

� Deformada:

EDOs· 17

Forma adimensionalForma adimensional

� Definimos:

EDOs· 18

EDOs· 19

EjemploEjemplo

L = 2.5; a = 0.5; b = 0.03;

E = 5e10; rho = 3.0e3;

I = a*b^3/12;

V = a*b*L;

m = V*rho;

g = 10; g = 10;

w = m/L*g;

P = 150*g;

alpha1 = L^3*w/(E*I);

alpha2 = L^2*P/(E*I);

EDOs· 20

Resolución con MatlabResolución con Matlab� α1 = 0.125, α2 = 0.17

� Solución para diferentes valores de β

0.15

0.2Geometría deformada

β =0.0

β =0.1

β =0.2

EDOs· 21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.05

0

0.05

0.1

0.15

x

y

β =0.2