Momento de inercia de una distribucin de masas puntualesTenemos que calcular la cantidad

dondexies la distancia de la partcula de masamial eje de rotacin.Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de 1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a travs de Un extremo De la segunda masa Del centro de masaEl momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la primera partcula esIA=102+10.252+10.52+10.752+112=1.875 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la segunda partcula esIB=10.252+102+10.252+10.52+10.752=0.9375 kgm2

El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la varilla y que pasa por la tercera partcula (centro de masas) esIC=10.52+10.252+102+10.252+10.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de forma indirecta empleando elteorema de Steiner. ConocidoICpodemos calcularIAeIB, sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.La frmula que tenemos que aplicar esI=IC+Md2 ICes el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de masa Ies el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior Mes la masa total del sistema des la distancia entre los dos ejes paralelos.IA=IC+50.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.IB=IC+50.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.Momento de inercia de una distribucin continua de masaPasamos de una distribucin de masas puntuales a una distribucin continua de masa. La frmula que tenemos que aplicar es

dmes un elemento de masa situado a una distanciaxdel eje de rotacinResolveremos varios ejemplos divididos en dos categoras Aplicacin directa del concepto de momento de inercia Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocidoMomento de inercia de una varilla Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla de masaMy longitudLrespecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa por el centro de masas.

La masadmdel elemento de longitud de la varilla comprendido entrexyx+dxes

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando elteorema de Steiner, podemos calcular el momento de inercia de la varilla respecto de un eje perpendicular a la misma que pasa por uno de sus extremos.

Momento de inercia de un discoVamos a calcular el momento de inercia de un disco de masaMy radioRrespecto de un eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un anillo de radioxy de anchuradx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un rectngulo de longitud 2xyanchuradx, cuya masa es

El momento de inercia del disco esMomento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masaM, radioRy longitudLrespecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es una capa cilndrica cuyo radio interior esx, exteriorx+dx, y de longitudL, tal como se muestra en la figura. La masadmque contiene esta capa es

El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangularVamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular delgada de masaMde ladosaybrespecto del eje que pasa por la placa.Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitudade anchuradx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de un discoVamos a calcular el momento de inercia de un disco de masaMy radioR, respecto de uno de sus dimetros.Tomamos un elemento de masa que distaxdel eje de rotacin. El elemento es un rectngulo de longitud 2yde anchuradx. La masa de este rectngulo es

El momento de inercia del disco es

Haciendo el cambio de variabley=Rcosx=RsenLlegamos a la integral

Momento de inercia de una esferaVamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masaMy radio R respecto de uno de sus dimetros

Dividimos la esfera en discos de radioxy de espesordz. El momento deinercia de cada uno de los discoselementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variablexcon laz. Como vemos en la figurax2+z2=R2Momento de inercia de un cilindroVamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masaM, radioRy longitudL, respecto de un eje perpendicular a su generatriz y que pasa por su centro.

Dividimos el cilindro en discos de radioRy espesordx. Elmomento de inercia de cada uno de los discosrespecto de uno de sus dimetros es

Aplicando elteorema de Steiner, calculamos el momento de inercia de este disco, respecto de un eje paralelo situado a una distanciax.

El momento de inercia del cilindro es

Momento de inercia de un paraleppedoVamos a calcular el momento de inercia de un paraleppedo de masaMy de ladosa,bycrespecto de un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paraleppedo en placas rectangulares de ladosayby de espesordx.Elmomento de inercia de cada una de las placasrespecto de su eje de simetra es

Aplicando elteorema de Steiner,calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distanciaxes

El momento de inercia del slido en forma de paraleppedo es