Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 1
INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO
DECANATURA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO DIFERENCIAL
MÓDULO
FUNCIONES DE VARIABLE
REAL
COMPETENCIA Identificar y utilizar adecuadamente las funciones, sus operaciones y
propiedades básicas como modelos para resolver situaciones problema en
distintos contextos.
INDICADORES DE LOGRO Identifica a partir de la gráfica cuando una relación es función Diferencia las formas de representar una función. Determina el dominio y el rango de las diferentes funciones.
RED DE CONCEPTOS
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SITUACIÓN INTRODUCTORIA El objetivo es introducir, a partir de situaciones de la vida diaria, el concepto de inecuación, y mostrar el significado de su solución dentro del contexto matemático.
Situación 1: Clara comenzó a trabajar en una empresa la primera semana de febrero de este
año. El salario base que recibe es de $450.000 mensuales. Sin embargo, acordó
con las directivas de la empresa que, dependiendo de cual fuera su desempeño,
su salario se incrementaría en $25.000 cada mes, a partir de marzo y durante los
dos años que dura su contrato.
1. De acuerdo con esta información, complete la siguiente tabla:
Mes Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto
Salario
($)
Como se puede observar, las dos componentes relacionadas (mes y salario) en el
cuadro anterior van cambiando, es decir son variables. De esta forma, es posible
asignárseles letras que representen a cada una de estas variables. Así, por
ejemplo, la variable “mes” (variable relacionada con el tiempo) se puede
representar por la letra “t”, y la variable “salario” por la letra “S”.
Nótese además, que el salario recibido por Clara depende del mes considerado,
esto es, Clara recibe un salario que va variando, dependiendo del mes que
transcurra. De esta forma, el salario S depende del tiempo t. Al contrario de lo
que ocurre con el salario, los meses siguen transcurriendo independientemente
de que Clara reciba o no reciba salario. Es así, como t en el lenguaje matemático
se le llama la variable independiente y S la variable dependiente, la cual suele
escribirse )(tS significando que “S depende de t” o que “S está en función de t” o
que “S es una función de t”.
Esta situación puede representarse gráficamente en el plano cartesiano donde la
variable independiente suele ubicarse en el eje horizontal, eje de las abscisas o
eje x; y la variable dependiente en el eje vertical, eje de las ordenadas o eje y.
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2. Apoyado(a) en la información anterior, nombre en el plano cartesiano los ejes y
determine la escala a utilizar para cada una de las variables, esto es por ejemplo,
en el eje correspondiente al tiempo, ubique los meses y asígnele números enteros,
considerando febrero (mes en que se inicia la situación) como 0; marzo, 1; y así
sucesivamente. Para el salario se colocan en el eje los valores tal cual se
encuentren en la tabla.
Los datos obtenidos en la tabla del numeral 1 para las variables mes (t) y salario (
)(tS ) forman pares ordenados o puntos en el plano cartesiano, donde el tiempo
corresponde a la abscisa y el salario a la ordenada así: ( )(, tSt ). Por ejemplo, el
salario devengado por Clara en el mes de febrero está representado por el punto (
000.450,0 ).
A este conjunto de pares ordenados donde a cada valor del tiempo (abscisas) le
corresponde exactamente un valor del salario devengado por Clara (ordenadas)
se le conoce con el nombre de función.
3. De acuerdo con lo anterior represente en el plano cartesiano los datos
obtenidos en la tabla del numeral 1 y luego una con una línea estos puntos.
El gráfico obtenido al unir los puntos en el plano cartesiano representa la función
)(tS (El salario S devengado por Clara en un tiempo t), por tratarse de una recta,
es llamado función lineal. En general, una línea recta tiene asociada una expresión
analítica (algebraica), de la forma bmxy o bmxxf )( , donde m es llamada
la pendiente de la recta y el intercepto con el eje de ordenadas. Así, si ),( 11 yxP y
),( 22 yxQ son puntos de la recta, entonces la pendiente , de la recta, puede
hallarse de la forma:
12
12
xx
yym
El intercepto con el eje de las ordenadas, es el punto donde la gráfica de una
función cruza al eje , esto es, cuando . En este caso las coordenadas del
intercepto están dadas por ( b,0 ), donde , es decir, la función evaluada en
.
4. De acuerdo a la información obtenida en la tabla y en el gráfico construido,
halle la expresión analítica o modelo matemático que represente la situación, es
decir, la ecuación de la línea recta formada por los puntos de coordenadas ( )(, tSt
). Para ello comience con seleccionar dos puntos de la gráfica de coordenadas
))(,( 11 tSt y ))(,( 22 tSt y así determinar el valor de la pendiente como:
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12
12 )()(
tt
tStSm
El intercepto con el eje y corresponde al salario devengado por Clara al comienzo
de la situación, es decir cuando en este caso en el mes de febrero.
La importancia de un modelo matemático radica en que facilita la profundización
en el análisis de la situación, permitiendo, inclusive, hacer predicciones.
5. Siguiendo con la idea anterior, y por medio de la expresión analítica que acaba
de obtener, responda cada una de las preguntas que se presentan a continuación:
a. ¿Cuál es el salario devengado por Clara en el mes de mayo?, esto es en el
lenguaje matemático: ¿cuál es el valor de ?)3(S
b. ¿Cuál será el sueldo de Clara cuando lleve en la empresa 15 meses, bajo las
mismas condiciones planteadas inicialmente? es decir, determine )15(S
c. ¿Cuál es el significado en esta situación de la pendiente de la recta?
Como toda relación, una función tiene dominio y rango. El dominio es el conjunto
de todos los valores que toma la variable independiente, en la situación, está
constituido por el tiempo que dura el contrato de Clara. En el lenguaje matemático
se expresa como: 230 t siendo el mes en que comenzó el contrato, esto es
febrero y el mes correspondiente a la culminación del mismo.
El rango es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente,
asignados en función de los valores especificados en el dominio. Es así como en
la situación, el rango está dado por los salarios devengados por Clara durante los
dos años que dura su contrato. En el lenguaje matemático se expresa como
)23()()0( StSS .
5. De acuerdo con lo anterior indique el rango de la situación.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL CONCEPTO I. FUNCIONES 1. Dadas las siguientes gráficas determine cuales de ellas son funciones
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2. Dadas las siguientes expresiones determine cuales son funciones:
a. 522 yx
b. xyyx 2273
c. 1 xy
d. 952 xyy
e. 0ln xy
f. 1 yCosxySenx
g. 35 yxe
h. 925 yx
i. 1xey
3. Para las funciones que se presentan a continuación determine
y simplifique su
respuesta.
a. b. c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
o
o
o
o
o
y
x
1
1
o
y
x
y
x
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4. Asocie cada una de las expresiones dadas con nombre del tipo de función que
corresponde.
a.
Funciones polinómicas: F. cuadrática
b.
Función trascendente: F.exponencial
c.
Funciones especiales: F. parte entera.
d.
Funciones polinómicas: F. constante
e.
Funciones especiales: F. Por tramos
f.
Funciones trascendente: F.Trigonométrica
g.
Funciones polinómicas: F. Lineal
h.
i.
j.
Funciones especiales: F. Racional
i.
Funciones especiales: F. Valor absoluto
j. Funciones trascendente: F. Logarítmica
5. Para las funciones que se presentan a continuación determine
a.
b.
c.
d.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-6
-4
-2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-7-6-5-4-3-2-1
1234567
x
y
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6. Para cada una de las siguientes graficas de funciones determine el dominio y el rango
7. Encontrar el dominio de:
a. 72)( xxf
b. 216)( xxf
c. xx
xxf
4
1)(
3
d. 2
4)(
x
xxf
e. 42 yx
f. 054 2 yx
g. 22 2xyyx
h. 1482 xy
i. 250152 yxyyx
j. 1
12
xy
k. 04252 yyx
l. xxy 522
m. 4)9( 22 xyyx
f (x)
x
2 o
3
-3
-2 2
f (x)
x
2
-3
1
-2
o
f (x)
x
4
-4
f (x)
x
2 o
-4
f (x)
x
1 o
3
-1/2 -5 4
o
f (x)
x
1 o
-1
. 2
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8. Encontrar el dominio y el rango de f : a. 23)( xxf
b. 24)( xxf
c. 4)( xxf
d. 24)( xxf 9. Un día cualquiera de invierno, un ingeniero agrónomo decide llevar un registro
de la variación de la temperatura en su cultivo de flores durante esa noche. Comenzó a medirla desde las 11:00 pm hasta las 7:00 am del día siguiente, en intervalos de media hora. El ingeniero nota que la temperatura empieza a descender hasta alcanzar su mínimo valor de -1°C a las 2:30 am y que a partir de esa hora, la temperatura vuelve a ascender hasta alcanzar su máximo valor de 26 °C a las 7:00 am. De acuerdo con lo anterior: a. ¿Cuáles son las dos variables que intervienen en la situación? b. De las dos variables identificadas ¿Cuál es la variable independiente?¿Cuál
la dependiente? c. Determine el dominio y el rango de la situación.
10. Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un
carrito de cuerda sobre una pista recta de 200 cm de longitud, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 10 segundos. A continuación se presenta un esquema de la actividad y los resultados obtenidos por un grupo de estudiantes:
Como se puede ver la posición del carrito depende del tiempo transcurrido,
en ese sentido, la posición del carrito está en función del tiempo. Esto en lenguaje matemático se expresa como .
t 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
s(t) 9 39 69 99 129 159 169 179 189 199
De acuerdo con lo anterior: a. Determine el dominio y el rango de la situación b. Encuentre c. Haga en el plano cartesiano un gráfico que represente la situación
0 cm.
t=0 t=20 t=50
9 cm. 69 cm. 159 cm.
Inicio de la pista
Dirección del
movimiento
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A. Actividad Práctica 1. Funciones
Existen diversas opciones de software que permiten realizar gráficas de funciones: Geogebra, Winplot, Graph, entre otros. En nuestro caso, usaremos GRAPH para graficar diversas expresiones durante el desarrollo de este documento. Este software es gratuito y está disponible en internet en http://www.padowan.dk/graph/Download.php. Una vez descargado el archivo, instálelo en su computador.
Veamos cómo se grafican funciones en GRAPH, a través de algunos ejemplos
Ejemplo 1
Sea la función . Graficar y hallar dominio y rango.
Solución
Inicializamos GRAPH y damos clic en el menú Función, luego en insertar
función
En la ventana que aparece, ingresamos la función en el cuadro de . En
propiedades de la gráfica puede cambiarse el estilo de línea, color, grosor y tipo
de dibujo.
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Damos clic en aceptar
Si se desea ver la cuadrícula, procedemos así:
Damos clic en el menú Editar, luego clic en Ejes.
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En las pestañas aparece eje X y eje Y. En cada una de ellas se activa la opción
Mostrar cuadrícula, luego clic en Aceptar.
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Observamos que el dominio de la función es y el rango de la función es
Ejemplo 2
Sea la función . Graficar y hallar dominio y rango.
Solución
Ingresamos la función de la misma manera que el ejemplo anterior
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Damos clic en Aceptar
Colocamos la cuadrícula en ambos ejes.
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Aumentaremos el tamaño de la imagen. Recuerden que damos clic en la lupa que
tiene el signo más, tantas veces lo desee.
Observemos que el dominio de la función es y el rango de la función es
Veamos ahora, como graficar una función por tramos:
Ejemplo 3
Graficar e indicar el dominio y el rango de la función
Solución
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Procedemos de igual forma que en los ejemplos anteriores, sólo que se ingresa
cada gráfica teniendo en cuenta el intervalo en el que se encuentra.
Ingresemos el primer tramo de la función. Recuerden activar la cuadrícula para los
ejes
En Ecuación de la Función ingresamos la función correspondiente, luego en
intervalo, colocamos el final que es -1 en la casilla Hasta (en la casilla Desde es -
∞, pero no se coloca ya que el programa lo asume). En Puntos Extremos,
colocamos en la casilla de Fin, el círculo lleno, ya que la función toma el valor de
Luego, damos clic en Aceptar.
Ahora, ingresemos la segunda función.
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En Ecuación de la Función ingresamos la función correspondiente, luego en
intervalo, colocamos en la casilla Desde colocamos -1 y en la casilla Hasta
colocamos 1. En Puntos Extremos, colocamos en la casilla de Inicio y Fin, el
círculo vacío, ya que la función no toma los valores extremos.
Luego, damos clic en Aceptar
Para la tercera función, procedemos de igual manera
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Ampliémosla un poco
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Observemos que el dominio de la función es y el rango de la función es
. Demos tener en cuenta que para el valor de , el valor de
para la primera y la segunda función, es el mismo, sólo que en la primera función
se toma el valor y en la segunda no. Luego el valor se incluye en el rango.
Ejemplo 4
Graficar la función
Solución
Insertemos la función por tamos en GRAPH. Para ingresar el valor de π, se
escribe pi.
Ingresamos el primer tramo
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Ingresamos el segundo tramo
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 20
Para ver el eje x en término de , el en menú Editar, damos clic en Ejes.
Active la casilla de Mostrar números como múltiplos de pi, Luego clic en
Aceptar
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Ejemplo 5
Graficar la función
Solución
Para ingresar la función valor absoluto, en el menú Función-Insertar función
ingresamos la expresión de la siguiente forma: abs(x)
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El dominio de la función es R y el rango
Actividad de Afianzamiento
Graficar en GRAPH y hallar dominio y rango de las funciones
a.
b.
c.
d.
e. (Para ingresar la raíz cuadrada se coloca sqrt(x+4))
f.
II. FUNCIÓN LINEAL Y FUNCIÓN CONSTANTE SITUACIÓN INTRODUCTORIA El objetivo es introducir, a partir de contextos reales, el concepto de función lineal, y mostrar su significado dentro del contexto matemático.
Situación 1: Un tanque de almacenamiento de agua ha sido instalado por las Empresas Públicas para verter de agua a un sector de la ciudad. Carlos, un técnico de esta entidad, es encargado de monitorear diariamente, por 10 horas, la cantidad de agua que se encuentra en el tanque en un tiempo determinado. Las observaciones hechas por Carlos son las siguientes:
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t (horas) 0 1 2 3 4
V(t) (m3) 10 12 14 16 18
Donde V(t) es el volumen de agua que hay en el tanque en un tiempo t. Responda las preguntas 1 al 10 de acuerdo con la información anterior.
1. ¿Se encontraba el tanque vacío antes de abrir la llave? De no ser así, ¿Qué cantidad de agua había en el tanque antes de abrir la llave?
2. ¿Qué cantidad de agua había en el tanque a los 2 minutos de haber abierto la llave?
3. ¿Qué cantidad de agua habrá en el tanque a los 3 minutos de haber abierto la llave?
4. ¿Qué cantidad de agua habrá en el tanque a los 4 minutos de haber abierto la llave?
5. ¿Será constante la cantidad de agua que llega al tanque cada hora? De ser así, ¿qué cantidad de agua entra al tanque cada hora?
6. Será posible, con los datos de la tabla anterior, saber la cantidad de agua que hay en el tanque a las 10 horas de haber sido abierta la llave? (justifique su respuesta)
7. Realice un gráfico de V(t) (variable dependiente) contra t (variable independiente) con los datos recolectados por el técnico en la tabla.
8. Tome dos puntos cualquiera del gráfico del numeral anterior y calcule la
razón 12
12
xx
yy
, donde P(x1,y1) y Q(x2,y2) son las coordenadas de los
puntos. ¿Qué observa? 9. Tome otros dos puntos del gráfico, diferentes de los que tomo en el numeral
anterior, y calcule la de nuevo la razón 12
12
xx
yy
¿Qué observa?
10. ¿Podrá haber alguna relación entre los numerales 5, 8 y 9? (justifique su respuesta)
Situación 2: El fin de semana Carlos descansó y fue reemplazado en su puesto por Luis, un técnico nuevo en la empresa, quien queda encargado de monitorear el tanque. A este se le deja la siguiente tabla:
t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V(t) (m3) 10
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Luis, después de 4 horas de iniciar su jornada, se queda dormido, despertando 5 horas después. Algo desconcertado decide llamar a Carlos para pedirle ayuda, ya que sería despedido por no haber hecho bien su trabajo. Carlos, algo preocupado por la situación de su compañero, decide darle la siguiente fórmula:
102)( ttV
Y le dice que con la fórmula él puede arreglar el problema. Responda las preguntas 11 a 16 de acuerdo con la información anterior.
11. Si Luis comenzó su trabajo a las 8:a.m., ¿A qué horas se queda dormido? ¿Es posible saber cuál era la cantidad de agua en ese momento?
12. ¿A qué horas despertó Luis? ¿Es posible saber cuál era la cantidad de agua en ese momento?
13. ¿Es posible para Luis, a partir de la fórmula, completar la tabla? es la misma tabla de la Situación 1? (Justifique su respuesta)
14. ¿Qué relación existe entre la fórmula y la tabla dada en la Situación 1? 15. ¿Qué significado tiene, dentro de la situación el coeficiente 2, que
acompaña a la variable t en la fórmula? 16. ¿Qué significado tiene, dentro de la situación, el número 10?
Situación 3: Cuando Carlos regresa a labores el día lunes encuentra una nota de Luis y el gráfico que se da a continuación: La nota dice lo siguiente: “Carlos, en el gráfico está el reporte de las observaciones hechas el día de ayer”. De acuerdo con esta información responda las preguntas 17 a 20 justificando su respuesta.
17. De acuerdo con el gráfico, ¿Qué cantidad de agua hay en el tanque a las 2 horas?¿Será la misma cantidad que a las 6 horas?¿y qué a la 8 horas?
V(t)
t
10
0 10
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18. ¿Cuál de las tablas que se da a continuación representa la situación dada en el gráfico?
A.
t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V(t) (m3) 10 12 14 10 10 10 16 18 20 22 24
B.
t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V(t) (m3) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
C.
t (horas) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
V(t) (m3) 10 5 10 5 10 5 10 5 10 5 10
19. ¿Cuál de las siguientes fórmulas describe la situación observada en el
gráfico?
A. 102)( ttV
B. ttV )(
C. 10)( tV
20. Al observar el gráfico Carlos pudo concluir que:
A. El tanque fue abierto después de 3 horas B. Al tanque siempre entró la misma cantidad de agua C. El tanque se encuentra vacío D. El tanque nunca fue abierto
III. Función lineal Una función lineal es una función de la forma Rbabaxxfy , donde ,)( Gráficamente representa una línea recta, donde a es la pendiente (también denotada por m) y el punto (0,b) es el intercepto con el eje y. Geométricamente la pendiente de la recta se define como la tangente de un ángulo de inclinación Ө1. Esto es:
tana
1 El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo positivo formado por el semieje positivo de x y la recta en
el punto donde ésta intercepta a dicho semieje.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 26
Si no se conoce el ángulo de inclinación Ө, es posible hallar la pendiente si se conocen dos puntos de la recta. Para esto, considérense dos puntos cualquiera, P(x1,y1) y Q(x2,y2), de una recta l y el ángulo de inclinación Ө de dicha recta. Véase la grafica siguiente: En el triangulo PQR, se tiene que:
12
12
12 ;tan xxxx
yy
Pero como tanӨ=a, se tiene que:
12
12
12 ; xxxx
yya
Si a es positiva (a>0), la recta es creciente y su gráfico toma la tendencia que se muestra a continuación:
Si a es negativa (a<0), la recta es decreciente y su gráfico es como sigue:
f(x)
x
baxxfy )(
b
y2-y1
f(x)
x ө
° P(x1,y1)
° Q(x2,y2)
ө
X1 X2
Y1
Y2
l
R x2-x1
b
f(x)
x
baxxfy )(
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 27
Si a es cero (a=0) se tiene que:
bbxxf 0)(
A esta función se le conoce como función constante y su gráfico es como sigue: Ejemplo 1 Supóngase que se conocen dos puntos de una recta, P(3,-4) y Q(1,6), y se quiere hallar la pendiente a de dicha recta. Para esto, hacemos uso de la fórmula:
12
12
12 ; xxxx
yya
tomando P(x1,y1)=P(3,-4) y Q(x2,y2)=Q(1,6). Así, la pendiente de la recta queda:
52
10
31
)4(6
12
12
xx
yya
De esta forma, la pendiente de la recta es a=-5, lo cual indica que el gráfico de la recta es decreciente Ejemplo 2 Considérese la función lineal
42)( xxf
f(x)
x
bxfy )( b
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 28
En este caso la pendiente es a=m=2 .Por tanto, el gráfico de la función es creciente. El intercepto con el eje y es en el punto (0,4). Si se quiere hallar el intercepto con el eje x, basta con hacer f(x)= 0. En efecto, si f(x)=0, se tiene que:
042 x
Despejando el valor de x, se llega a que x=-2. Por tanto, el intercepto con el eje x es en el punto (-2,0). De esta forma, el gráfico queda como sigue:
Ejemplo 3 Considérese ahora la función lineal
13
)(
x
xf
En este caso la pendiente es a=m=-1/3. El gráfico de la función es decreciente. El intercepto con el eje y es en el punto (0,1). El intercepto con el eje x es en el punto (3,0). De esta forma, el gráfico queda como sigue:
Ejemplo 4
Si la función es 2)( xf , se trata de una función constante. Recuérdese que este tipo de funciones gráficamente representan una recta horizontal (a=m=0) que
f(x)
x
42)( xxf
(0,4)
b (-2,0)
f(x)
x
13
)(
x
xf
(0,1)
b (3,0)
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 29
intercepta al eje y, en este caso particular, en el punto (0,-2). Su gráfico puede verse a continuación:
Ejercicio 1 Supóngase que se conoce el ángulo de inclinación, Ө, de una recta, y un punto P(x1,y1) . Si Q(x,y), es un punto cualquiera de la recta, diferente de P(x1,y1), pruebe que:
)( 11 xxayy A esta ecuación se le conoce como ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente como una razón de cambio constante El valor de a en una función lineal también puede interpretarse como una razón de cambio constante. En la situación introductoria 1, por ejemplo, pudo observarse que la cantidad de agua que entra al tanque por hora es constante, 2 litros por segundo. En este caso, a=2 y puede leerse como “la cantidad de agua que entra al tanque cambia (o varía), de manera constante, a razón de 2 metros cúbicos por hora”.
Ejemplo 5 A menudo, la estatura E(t) (en pulgadas) es una función lineal de la edad t (en años) para los niños entre 6 y 10 años. Un menor mide 48 pulgadas a los 6 años y 50.5 a los 7 años.
A. Trazar la recta
B. Expresar E(t) como función de t
C. Pronosticar la estatura del niño a los 10 años
D. Interpretar la pendiente
f(x)
x
2)( xf(0,-2)
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 30
La solución de esta situación es como sigue:
A. De acuerdo con el enunciado de la situación, la edad de los niños debe estar entre 6 y 10 años, es decir, 6 ≤ t ≤10. Además, a los 6 años un niño mide 48 pulgadas y a los 7 años, 50.5 pulgadas. De esta forma, se conocen dos puntos de la recta A(6,48) y B(7,50.5). Con estos dos puntos, podemos trazar la recta2:
B. Cuando se habla de expresar E(t) como función de t, lo que se está pidiendo es hallar un modelo matemático o fórmula que permita determinar la estatura de un niño E(t) de acuerdo con su edad t. Para hallar el modelo matemático de una función lineal, deben conocerse la pendiente y un punto. La pendiente no se conoce, pero puede hallarse con los dos puntos dados, A(6,48) y B(7,50.5). En efecto, tómense A(t1,y1)=A(6,48) y B(t2,y2)= B(7,50.5). Utilizando la fórmula para la pendiente, se tiene:
5.21
5.2
67
485.50
12
12
tt
yya
Con la pendiente a=2.5 y uno de los dos puntos dados, por ejemplo A(6,48), puede hallarse el modelo matemático. haciendo t1=6 y y1=48 En efecto, haciendo t1=6 y y1=48 , tomando a=2.5, y reemplazando estos valores en la fórmula para la ecuación de la recta
)( 11 ttayy
2 Recuerde que dos puntos determinan una recta
E(t)
t
(7,50.5)
(6,48) • •
•
6 7 10
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 31
Se tiene:
)6(5.248 ty
Despejando el valor de y, se obtiene:
335.2 ty
Pero como y=E(t), entonces:
335.2)( ttE
Es el modelo matemático que expresa E(t) como función de t
C. Para pronosticar la estatura del niño a los 10 años, basta con reemplazar
t=10 en el modelo matemático, es decir, hay que hallar E(10):
5833)10(5.2)10( E
Se tiene, entonces, que a los 10 años el niño tiene una estatura de 58
pulgadas.
D. La pendiente en el problema significa que la estatura del niño aumenta, de manera constante, a razón de 2.5 pulgadas por año.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
12. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que tiene por inclinación los siguientes ángulos:
A. 0
B. 30
C. 45
D. 90
E. 120
F. 150 13. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
A. )0,0(P y )5,3(Q
B. )5,0(P y )9,1( Q
C. )13,2( M y )7,4( N
14. Diga si la pendiente de la recta dada es positiva, negativa, cero o indefinida:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 32
15. El gráfico que se da a continuación representa el costo C, de un artículo dado x .
Resuelve de acuerdo con la información dada en el gráfico las siguientes preguntas:
A. ¿Cuál es el costo de 2 artículos? B. ¿Cuál sería el costo de 15 artículos?
x
)(xC
1 2 3 4 5
20
0
40
0
60
0
80
0
1000
Números de artículos
Costo de los artículos
x
y
O
a.
x
y
O
b.
x
y
O
c.
x
y
O
d.
x
y
O
e.
x
y
O
f.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 33
C. De acuerdo con los datos dados en el gráfico, halla un modelo matemático (fórmula) que represente el costo del número de artículos.
D. De acuerdo con el modelo matemático del numeral c., halla: C(4) (el costo de 4 artículos); C(7) (el costo de 7 artículos).
E. ¿Cuál sería el costo de 25000 artículos? F. Interprete, en el modelo matemático del numeral c., el significado de la
pendiente.
16. El gráfico siguiente representa los ingresos diarios (en miles de pesos),
I(n), obtenidos en un cine local, en función del número de asistentes, n.
De acuerdo con la anterior información, responde a las siguientes preguntas:
A. ¿Cuál es el valor recaudado si a la función asisten 20 personas? B. ¿Cuántas personas deben asistir a la función para obtener unos
ingresos de $225.000? C. Hallar un modelo matemático que represente la situación ( Es decir,
exprese los ingresos como una función del número de personas que asisten a la función)
Responder las preguntas d. a g. de acuerdo con el modelo matemático hallado en el numeral c D. Si al cine la caben 100 personas, ¿Cuál es el valor recaudado en una
función que reportó un cupo completo en sus asistentes? E. ¿Cuántas personas tendrían que asistir a la función para obtener unos
ingresos de $382.000? F. ¿Cuál es el valor, por persona, de la entrada a una función? G. De acuerdo con la situación, determinar el dominio y el rango.
n
I(n)
10 20 30 40 50
45
90
135
180
225
Ingresos diarios
Números de asistentes
60
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 34
17. Un fabricante compra una maquinaria por valor de $2000000. Esta se deprecia linealmente, de manera que después de 10 años su valor comercial será $100000. De acuerdo con esta información responde las siguientes preguntas:
A. Expresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad y
dibujar la gráfica. B. Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años. C. ¿Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? D. ¿Es constante la forma como se deprecia anualmente la maquinaria? De
ser así, ¿Cuánto se deprecia anualmente?
18. Desde el comienzo del año, el precio del pan integral en un supermercado
local sube a una tasa constante de $2 por mes la unidad. El primero de noviembre, el precio por unidad había llegado a $800. De acuerdo con esta información responde lo siguiente:
A. Expresar el precio del pan como función del tiempo B. Determinar el precio del pan al principio del año.
19. La temperatura medida en grados Farenheit es una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Si se sabe que 0° Celsius son iguales a 32° Farenheit y que 100° Celsius son iguales a 212° Farenheit,
A. Escribir la ecuación de esta función lineal B. Emplear la función obtenida en el numeral a., para convertir 15° Celsius en
grados Farenheit C. Convertir 68° Farenheit en grados Celsius
20. Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo de tal forma que a la 1:00 p.m. hay en el tanque 1.250 litros de agua. Si se considera que la cantidad de agua que entra al tanque es constante y que la capacidad del tanque es de 2.000 litros,
A. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, la situación B. ¿Cuántos litros de agua entran al tanque cada hora? C. Hallar el modelo matemático que represente la situación
A partir del modelo matemático del numeral c., responder lo siguiente:
D. ¿A qué horas hay en el tanque 1.875 litros de agua? E. ¿Cuánta agua habrá en el tanque a las 11:30 a.m.? F. ¿Cuándo quedará lleno el tanque?
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 35
21. Una motocicleta se compró hace 5 años y desde entonces se deprecia
anualmente en $750.000 hasta valer hoy en día $1.200.000. De acuerdo con esta información:
A. Hallar el modelo matemático que representa la situación B. Representar la situación gráficamente, en el plano cartesiano
A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente:
C. ¿Cuándo se depreciaría totalmente la motocicleta? D. ¿Cuál fue el valor de adquisición de la motocicleta?
22. Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un
carrito de cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante y medir luego la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 10 segundos. A continuación se presenta un esquema de la actividad y los resultados obtenidos por un grupo de estudiante
t 0 10 20 30 40 50
s(t) 9 39 69 99 129 159
Donde t es el tiempo (en segundos) y s(t) la posición del carrito con respecto al inicio de la pista (en centímetros)
De acuerdo con la situación anterior:
a. Represente los datos obtenidos en el plano cartesiano b. Halle el modelo matemático que representa la situación
A partir del modelo matemático del numeral B., responder lo siguiente: c. ¿A qué distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 37
segundos después de haber comenzado el movimiento? d. ¿A los cuántos segundos, después de haber comenzado el movimiento,
el carrito se encuentra a 82 centímetros del inicio de la pista? e. Si la pista tiene una longitud de 200 centímetros, ¿cuánto tiempo se tardó
el carrito en recorrer toda la pista?
0 cm.
t=0 t=20 t=50
9 cm. 69 cm. 159 cm.
Inicio de la pista
Dirección del
movimiento
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 36
f. ¿Qué longitud recorre el carrito cada segundo? g. ¿Cuáles son las unidades de la pendiente? ¿A qué concepto de la Física
corresponde? h. Determinar el dominio y el rango de la situación
23. El volumen de gasolina en un carro tanque una vez se abre la válvula
dispensadora viene dado por la expresión
( ) 520 6.800V t t
Donde t es el tiempo transcurrido a partir de la apertura de la válvula (en horas) y V(t) el volumen de gasolina (en litros). De acuerdo con esta información:
A. Representar en el plano cartesiano la información B. ¿Cuánta gasolina sale del tanque cada hora? C. ¿Cuál es el contenido máximo de gasolina en el tanque? D. ¿Cuándo queda vacío el tanque?
24. En cierta ciudad la tarifa de taxis es de $2.000 por el primer kilómetro recorrido y $500 por cada kilómetro adicional. De acuerdo con esta información, resuelva cada uno de los siguientes numerales:
a. Hallar el modelo matemático que represente la tarifa de los taxis, T, en
función del número de kilómetros recorridos, x. b. ¿Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un taxi la transporta ½
kilómetro. c. ¿Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un taxi la transporta
150 kilómetros. B. Actividad Práctica 2. Función lineal
Para graficar una línea recta en GRAPH podemos realizarla de varias formas:
1. Insertando al ecuación de la línea recta
Ingrese en el menú Función – Insertar Función la ecuación de la recta.
Para esto debe estar de la forma . Por ejemplo, grafiquemos
.
Primero lo llevamos a la forma :
Ahora, ingresémosla en el software
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 37
Si la ecuación está de la forma , puede despejar a o insertarla
como relación, así:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 38
2. Dados dos puntos
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 39
Se ingresan las coordenadas de los dos puntos por el menú Función –
Insertar Serie de Puntos. Por ejemplo, graficar la recta que pasa por los
puntos (2,-1) y (4,-5)
Ingresemos los puntos:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 40
Ahora, en el menú Función encontrará Insertar Línea de Tendencia
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 41
Por defecto está activa la lineal. Damos clic en Aceptar
Observe que en la leyenda aparece la ecuación de la línea recta
Veamos la solución de una situación problema:
Una pequeña empresa compra una computadora en 4000 dólares. Después de
cuatro años, el valor esperado de la computadora será de 200 dólares. Para
cuestiones de contabilidad, la empresa aplica la depreciación lineal para
evaluar el valor de la computadora en un tiempo dado. Esto significa que si
es el valor de la computadora en el tiempo , entonces se una una ecuación
lineal para relacionar y .
a. Determine una ecuación lineal que relacione y .
b. ¿Qué representa la pendiente y la intersección con el eje de la gráfica?
c. Calcule el valor depreciado de la computadora tres años después de la
fecha de compra
Solución
Para la solución, vamos a graficar los valores dados. Cambiaremos a por ,
por
En y en
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 42
Insertamos la línea de tendencia
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 43
La ecuación de la relación es
La pendiente representa la cantidad de dinero que se deprecia la computadora
por cada año, en este caso
.
La intersección con el eje , muestra el valor de la computadora en
Para calcular el valor de la computadora a los tres años después de comprarla
se puede utilizar la ecuación anterior y reemplazar el tiempo y hallar a V.
Utilizando el software procedemos así:
Hacemos clic en la ecuación de la línea
Vamos al menú Calcular – Evaluar.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 44
Se activa un campo donde podemos ingresar el valor de para que el
programa nos de el valor de . Ingresemos en la casilla de el valor de
años.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 45
Obsérvese que en f(x) aparece el valor de 1150, el cual corresponde al valor
de la computadora a los tres años después de la compra.
IV. Función Cuadrática
25. En cada uno de los numerales siguientes hallar el vértice del gráfico de la función cuadrática:
a. 2( ) 4f x x
b. 2( ) 5f x x
c. 2( ) 0.3f x x
d. 2( ) 2f x x
e. 2( ) 7f x x
f. 2( ) ( 1)f x x
g. 2( ) ( 3)f x x
h. 2( ) ( 2) 4f x x
i. 2( ) ( 5) 3f x x
26. Para cada una de las funciones cuadráticas indique si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo e indique, además, si el gráfico es más ancho,
más angosto o igual al de la función 2( )f x x .
a. 2( ) 3f x x
b. 2( ) 0.5f x x
c. 2( ) ( 1)f x x
d. 22( ) ( 1)
3f x x
e. 2( ) ( 5) 3f x x
f. 25( ) ( 2) 4
3f x x
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 46
27. Relacione cada uno de los gráficos que se dan a continuación con alguna de las ecuaciones (la que mejor los describa) que se dan en los numerales desde a. hasta h.
a. 2( ) 2f x x
b. 2( ) 5g x x
c. 2( ) 4h x x
d. 2( ) 4k x x
e. 2( ) ( 1)q x x
f. 2( ) ( 1)r x x
g. 2( ) ( 1) 1t x x
h. 2( ) ( 1) 1v x x
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 47
28. El consumo mundial de petróleo en millones de barriles diarios viene dado por el modelo matemático
2( ) 0.1 2 58C x x x
Donde x es el número de años desde 1985 (1985 corresponde a cero). De acuerdo con este modelo,
a. ¿En que año se alcanzará el consumo máximo? b. ¿Cuál será el consumo máximo? c. ¿Cuál será el consumo en 1985? d. Hallar el dominio y el rango de la situación
29. Las recientes tasas (en porcentajes) de inflación anuales en México vienen
dadas por la función
2( ) 4 48 154I t t t
donde t representa el número de años desde 1987.
De acuerdo con esta información,
a. ¿En que año la tasa de inflación será mínima? b. ¿Cuál es la tasa mínima de inflación? c. ¿Cuál es la tasa de inflación en 1987? d. Hallar el dominio y el rango de la situación
30. Un proyectil se lanza hacia arriba, de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo t segundos después de que se dispara viene dada por el modelo
2( ) 16 400s t t t
De acuerdo con este modelo, encontrar
a. La altura máxima que alcanza el proyectil después de ser lanzado b. El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura c. El tiempo que tarda el proyectil en caer d. La distancia horizontal que recorre el proyectil desde que comienza su
recorrido hasta que cae
31. Un niño lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en metros), H, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, t segundos después de haberla lanzado, viene dada por la expresión
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 48
2( ) 5 5 15H t t t
De acuerdo con lo anterior
a. Encontrar la altura de la terraza b. ¿Después de cuántos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de
la terraza? c. ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota y el tiempo que tarda
en alcanzarla? d. ¿Después de cuántos segundos la pelota choca contra el suelo? e. Representar en el plano cartesiano la situación f. Determinar el dominio y el rango de la situación
32. Durante el festival de cine de Cartagena la asistencia, en un día cualquiera, a las funciones, en cierto teatro, estuvo representada por el modelo
100402)( 2 tttA
donde A(t) representa el número de personas asistentes al teatro y t el tiempo transcurrido (en horas), a partir de las 10:00 a.m., hora en que se abrió el teatro. De acuerdo con esta información, responder:
a. ¿Cuántas personas habían en el teatro a las 10:00 a.m.? b. ¿Cuál fue la asistencia máxima al teatro durante ese día? c. ¿A qué horas se presentó la asistencia máxima? d. Si las funciones terminaban a media noche, ¿cuánta gente había en el
teatro a esa hora? e. ¿A qué horas habían 200 personas en el teatro?
33. La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una
parábola, tal como se muestra a continuación:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 49
De acuerdo con lo anterior:
a. Expresar la altura, H, del techo con respecto al suelo como una función
del ancho, x, del auditorio. b. ¿A qué altura con respecto al suelo quedarán ubicadas unas luces cuya
distancia horizontal desde los muros al auditorio es de 3 metros? c. ¿A qué distancia horizontal, medida desde los muros, se tienen que
colocar unos parlantes de sonido para que su altura con respecto al suelo sea de 4 metros?
34. Un puente que cruza un río de 30 metros de ancho tiene la forma de una
parábola con una altura máxima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto,
a. Hallar una expresión para la altura del puente, con respecto al río, en
función del ancho del río. b. Representar la situación en el plano cartesiano c. ¿A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el
puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río? d. ¿A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada
sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río?
35. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ 48.000 por persona, más $2.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 42 asientos y x representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente:
a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del
número de lugares no vendidos, x. b. El gráfico de la función del numeral a. c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máximo. d. El ingreso máximo.
C. Actividad Práctica 3. Función Cuadrática
Verifique las respuestas del numeral 27 usando el GRAPH
V. Función por tramos En los ejercicios 35 al 38 evaluar la función definida por tramos en los valores indicados:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 50
36.
0 si 5
0 si )(
2
xx
xxxf
Evaluar: ),0(f ),5(f ),3(f )2(f
37.
3 si 73
3 si 2)(
xx
xxf
Evaluar: )5(f , ),5(f ),3(f )(3
10f
38.
1 Si 1
11 Si
1 Si 2
)(
2
x
xx
xxx
xg
Evaluar: ),5(g ),3(g ),(21g )(
41g , )1(g
39.
0 si
0 si
xx
xxx
Evaluar: 4 ,
40. Relacione cada una de las funciones que se dan en los numerales desde A. hasta F. con alguno de los gráficos (el que mejor las describa) que se dan en los numerales desde a. hasta f.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 51
a. 2
2 3 si 0
( ) si 0 2
1 si 2
x x
f x x x
x
b. 2 si 3
( )1 si 3
xf x
x
x
y
-3 1
1
e
-2
f
x
y
-3
3
3
-2
d
y
x
1 1
1
x
y
-1 1
1
a
c
y
x
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 52
c.
2
2
( 2) 3 si 2
( ) si 2 3
6 7 si 3
x x
f x x x
x x x
d. si 0
( ) si 0
x xf x
x x
e. 23 si 1
( ) 4
3 si 1
x xf x
x x
f. 1 si 1
( )1 si 1
x xf x
x x
41. Un teléfono celular cuesta 39 dólares al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos de dólar. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como
39 si 0 400( )
39 0.2( 400) si 400
xC x
x x
Determinar:
a. El coso de 350 minutos b. El costo de 400 minutos c. El costo de 1000 minutos
42. Una distribuidora de música ofrece a sus clientes un gran surtido de música
en DVDs. Si compran no más de 6 DVDs, se venden a $35.000 cada uno. Si compran más de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $33.000.
De acuerdo con lo anterior
a. Encontrar un modelo matemático que represente el costo C de x DVDs b. ¿Cuál es el costo de 5 DVDs? c. ¿Cuál es el costo de 15 DVDs?
D. Actividad práctica 4. Función por tramos
Verificar las respuestas del numeral 40 usando GRAPH
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 53
VI. Función trigonométrica
43. Dadas las funciones que se presentan a continuación:
a. Determine la amplitud, el período y la frecuencia. b. Con la información anterior realice la grafica de la función en el plano
cartesiano. c. A partir de la grafica determine el rango de la función.
tSentf 43)(
tCostf 52)(
Senttf 2)(
tCostf 64)(
tCostf 125)(
tSentf 273)(
tSentf 824)(
Costtf 59)(
tSentf 937)(
tCostf 105)(
44. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está
representada por:
a. ¿Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda? b. ¿Cuál el período? c. ¿Cuál su frecuencia? d. Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con
respecto al tiempo. e. Determine )(),(),( 6
7126
fff a partir de la gráfica y del modelo
matemático. f. Determine el rango de la situación.
45. En un cultivo de mangos el número de mangos cosechados tiende a variar
periódicamente de a cuerdo con el siguiente modelo matemático.
tSentN 315503250)(
t
f (t)
1
4
-2
/ 3
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 54
Donde )(tN representa el número de mangos cosechados y t es el número de
años a partir del 2005.
a. Construir a partir de la expresión analítica su gráfica que represente la situación en el plano cartesiano
b. ¿Cuál es el mayor número de mangos cosechados en el cultivo? c. ¿Cuándo se alcanzó por primera vez? d. ¿Cuántas cosechas hay cada año? e. ¿Cuál será el número de mangos cosechados a finales de octubre del
2007? f. ¿Cuál es el número de mangos cosechados a finales de marzo del 2007?
46. Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal
trapezoidal, tal y como se muestra en el siguiente esquema:
a. Deducir una expresión para el área transversal del canal en función del ángulo , esto es: para
b. Determine el dominio de la situación, esto es: los valores que puede tomar
c. ¿Cuál es el área transversal del canal si y L = 40 cm? d. Si L = 50 cm ¿Cuál debe ser para que el área transversal sea de 2500
cm2? E. Actividad práctica 5. Función Trigonométrica
Para ingresar las funciones trigonométricas en GRAPH, se usan las siguientes instrucciones en el menú Función-Insertar función
a. sin(x)
b. cos(x)
c. tan(x) d. cot(x) e. sec(x) f. csc(x)
Grafique las funciones mostradas en el numeral 43 en GRAPH
h
L
L
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 55
VII. Función logaritmo natural y exponencial natural
47. Graficar sin tabular las funciones que se presentan a continuación:
a. xy ln5 b. xy ln3
c. xy ln1
d. xy ln2
e. )2ln(4 xy
f. )3ln(1 xy
g. )1ln(4 xy
h. 3 xey
i. 4 xey
j. 2 xey
k. 1 xey
l. 15 xey
m. xey 32
n. xey 5345
48. Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será:
tetN 468,0200)(
a. ¿Cuántas bacteria habrán en el cultivo después de 2.5 horas? b. ¿Cuándo habrán 10.000 bacterias?
49. La relación de Ehremberg dada por:
hW 84,14,2lnln
Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio (en Kg) para niños entre 5 y 13 años de edad.
a. Exprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de 12 años que mide 1,50 m. c. ¿Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 30 Kg?
50. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t está representada por:
)1(80)( 2,0 tetV
Donde t está dada en segundos y V en pies / s a. Determinar la velocidad inicial del paracaidista. b. Determinar la velocidad del paracaidista después de transcurridos 5 y 10
segundos. c. ¿Cuándo la velocidad del paracaidista es de 26,4 pies/s?
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 56
51. Una persona conduce un automóvil en un día frío de invierno (20°F en el
exterior) y la máquina se sobrecalienta (a cerca de 220°F). Cuando el auto se
estaciona, la máquina comienza a enfriarse. La temperatura T de la máquina t
minutos después de que se estaciona viene dada por el modelo matemático
a. Si la temperatura del motor es de 205 °F, ¿cuántos minutos lleva el
automóvil de haberse estacionado?
b. ¿Cuál es la temperatura del motor después de 20 minutos de haberse
estacionado el auto?
52. Un lago pequeño contiene cierta especie de pez. La población de peces se
modela mediante la función
donde P es el número de peces en miles y t se mide en años desde que se
aprovisionó el lago.
a. ¿Cuál es la población de peces después de 36 meses?
b. ¿Después de cuántos años la población de peces llega a 7000?
53. La gráfica que se da a continuación muestra la población de monos en un
sector del Amazonas entre el año 2002 y 2006.
Población de
monos
1 2 3 4
10 000
20 000
30 000
Años desde 2002
(4, 31 000)
40 000
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 57
a. ¿Cuál es la población de monos en 2002?
b. Encontrar una función que modele la población de monos t años después
de 2002.
c. ¿Cuál es la población de monos proyectada en 2012?
d. ¿En qué año la población de venados llega a 100 000?
F. Actividad Práctica 6. Función exponencial y Logarítmica
Graficar las funciones
g.
h.
i.
Solución
a. Para la función exponencial, ingresamos en el menú Función-Insertar
función la expresión exp(x)
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 58
El dominio de la función es R y el rango
b. Para la función logaritmo natural ingresamos en GRAPH ln(x)
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 59
El dominio de la función es y el rango es R
c. Para la función logaritmo base 10 ingresamos log(x)
El dominio de la función es y el rango es R
Si se desea ingresar un logaritmo en otra base, se escribe logb(x,n), siendo n el
valor de la base del logaritmo
Ejercicios
Graficar las funciones descritas en el numeral 47
VIII. Operaciones con Funciones
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 60
Dadas dos funciones y , con dominios y respectivamente, las funciones
nuevas , , y
se definen:
Ejemplo 1
Dadas
y
, hallar , , y
y el dominio de cada función
resultante.
Solución
Hallemos el dominio de cada función.
Ahora, hallemos cada nueva función y su dominio
a.
b.
c.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 61
d.
Ejercicios
54. En cada uno de los ejercicios encontrar las funciones pedidas y sus dominios:
, , y
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
G. Actividad Práctica 7. Operaciones con Funciones
Veamos gráficamente cómo son las características de las nuevas funciones
obtenidas.
Ejemplo 1
Hallar , , y
si y
Grafiquemos ambas funciones en GRAPH y luego observemos el comportamiento de
cada operación:
Recordemos que las funciones se ingresan por el menú Función y luego Insertar
Función.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 62
Ahora, ingresemos la función
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 63
La función en línea continua es la gráfica pedida. Analice cada punto de la gráfica y
observe su comportamiento.
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Ahora, ingresemos la función y
analícela
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Para la operación
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 64
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Para la operación
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Ejemplo 2
Hallar , , y
si y
La gráfica de las dos funciones es:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 65
Ingresemos cada una de las operaciones
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 66
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 67
Ejercicios
Graficar las operaciones dadas en el numeral 54.
IX. Composición de Funciones
Conocidas dos funciones f y g, la función compuesta , es la función definida por
El dominio de es el conjunto de todos los valores de que pertenecen al
dominio de tales que pertenece al dominio de
Ejemplo 1
Sea
y , hallar , y sus dominios.
Solución
Hallemos el dominio de y
Ahora, determinemos cada composición de funciones
a.
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 68
b.
Ejercicios
55. En los siguientes ejercicios hallar , , , , y sus dominios.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
H. Actividad Práctica 8. Composición de Funciones
Ejemplo 1
Sea y hallar y
Primero ingresemos las dos funciones en GRAPH
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 69
Ahora, ingresemos
La línea continua corresponde a la función compuesta pedida.
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Veamos a
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 70
¿Cuál es el dominio y rango de esta función?
Analice el comportamiento de las dos funciones compuestas.
Ejemplo 2
Sea
y hallar , , ,
Grafiquemos las dos funciones
Veamos las funciones compuestas
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 71
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 72
Encuentre los dominios y rangos de cada una de las funciones encontradas
Ejercicio
Graficar las composiciones de funciones dadas en el numeral 55.
X. Transformación de Funciones
Recordemos lo siguiente:
Desplazamiento vertical
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 73
Sea una función cualquiera y , entonces
, desplaza la gráfica de la función c unidades hacia
arriba
, desplaza la gráfica de la función c unidades hacia
abajo
Por ejemplo, al graficar se obtiene:
Ahora si tenemos , la gráfica anterior se desplaza 3 unidades hacia
arriba así:
Luego, si la función es , la gráfica se desplaza 5 unidades hacia abajo
así:
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 74
Desplazamiento horizontal
Sea una función cualquiera y , entonces
, desplaza la gráfica de la función c unidades hacia la
izquierda
, desplaza la gráfica de la función c unidades hacia la
derecha
Por ejemplo, la gráfica de es
La función corresponde a la función anterior desplazada 2 unidades a la
izquierda
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 75
La función corresponde a la función desplazada 1 unidad a la derecha
Reflexión de gráficas
La gráfica de es el reflejo de la gráfica en el eje x
La gráfica de es el reflejo de la gráfica en el eje y
Si la función es tiene por gráfica
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 76
La gráfica de es
La gráfica de es
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 77
Alargamiento y acortamiento vertical
La gráfica de es:
Si , la gráfica de se alarga verticalmente en un factor de c
Si , la gráfica de se acorta verticalmente en un factor de c
La gráfica de es
Veamos :
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 78
Ahora miremos
:
Alargamiento y acortamiento horizontal
La gráfica de es:
Si , la gráfica de se acorta horizontalmente en un factor de 1/c
Si , la gráfica de se alarga horizontalmente en un factor de
1/c
La gráfica de es
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 79
Al graficar se obtiene
Al graficar
se obtiene
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 80
Veamos un ejemplo que muestre una combinación de transformaciones:
Ejemplo 1
Indique las transformaciones que se hacen a partir de la función primitiva y grafique
Solución
La función primitiva es cuya gráfica es
La gráfica presenta las siguientes transformaciones:
Se refleja sobre el eje x
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 81
Se refleja sobre el eje y,
Se desplaza a la izquierda 2 unidades,
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 82
Y por último, se desplaza hacia abajo una unidad
Observemos la transformación que experimentó la función comparada con la
primitiva
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 83
Ejercicios
56. Dada la gráfica de , graficar
a.
b.
c.
d.
57. Para cada una de las funciones dadas, graficar , ,
a.
b.
c.
d.
e.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
x
y
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 84
58. Graficar, usando GRAPH, las transformaciones del numeral 57, para cada una
de las funciones dadas
Elaborado por: Sergio Alarcón, Cristina González, Juan G. Paniagua 85
Bibliografía
ALARCÓN, Sergio y GONZÁLEZ, Cristina, Cuadernillo de Trabajo Académico
Eje Temático 1: Funciones Reales. Medellín, Colombia: ITM, 2008.
DEMANA,F.D., WAITS, B.K., FOLEY, G.D. y KENNEDY, D., Precálculo:
Gráfico, Numérico, Algebraico. Séptima edición. México D.F: Pearson, 2007.
DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1992. HOFFMAN, Laurence D. y BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración, economía y ciencias sociales. Sexta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1998.
LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003. PURCELL, Edwin J. y DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Sexta edición. México: Prentice Hall Hispanoaméricana, 1992. STEIN, Sherman K. y BARCELLOS, Anthony. Cálculo y geometría analítica. Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 1994. STEWART, James. Cálculo: Conceptos y contextos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 1999. STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. 2da edición. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1989. WARNER Stefan, CASTENOBLE Steven R. Cálculo Aplicado. 2da edición. México: Thomsom Learning, 2002. ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. México: Grupo editorial Iberoamérica, 1987.
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