Con la metrica de Baire tenemos un espacio ultra metrico
Cristian David Chavez
1. Definicion de Espacio ultra metrico.
Un espacio ultra metrico X es un espacio metrico (X, d) en el cual la metrica d satisface la ultra-desigualdad triangular: d(x, z) ≤max{d(x, y), d(z, y)}.
Teorema
En un espacio ultra metrico cada punto de una bola puede ser su centro, es decir, si y ∈ Bε(x)luego se tien que Bε(y) = Bε(x)
Demostracion
Estamos hablando de igualdad de conjuntos, por tanto, tenemos que demostrar que Bε(y) ⊆ Bε(x)y Bε(x) ⊆ Bε(y). Por hipotesis, tenemos que d(y, x) < ε . Para empezar, veamos que Bε(y) ⊆ Bε(x),si algun z ∈ Bε(y) , luego por definicion, tendremos que d(z, y) < ε, pero de acuerdo a la definicion deespacio ultra metrico, tenemos que d(x, z) ≤max{d(x, y), d(y, z)}, si tenemos que el maximo es d(z, y)luego, tenemos que d(x, z) ≤ d(z, y) < ε. Y si luego tenemos que el maximo es d(x, y) luego tendremosque d(x, z) ≤ d(x, y) < ε por hipotesis.
Ahora demostremos que Bε(x) ⊆ Bε(y), si z ∈ Bε(x) luego tendremos que d(z, x) < ε. Pero comotenemos un espacio ultra metrico tenemos la desigualdad,d(z, y) ≤max{d(z, x), d(x, y)} si tenemosque el maximo es d(z, x) , luego tenemos que d(z, y) ≤ d(z, x) < ε, y si el maximo es d(x, y) luegod(z, y) ≤ d(x, y) < ε. Y ası concluimos la demostracion.
Teorema
Si tenemos que z ∈ (Bε(x) ∩Bε(y)) luego se tiene que Bε(x) = Bε(y).
Demostracion
Como tenemos que z ∈ Bε(x) luego Bε(x) = Bε(z) de acuerdo al anterior teorema, y por definicionde ∩, tenemos que z ∈ Bε(y), luego tendremos que Bε(y) = Bε(z) por tanto se tiene que Bε(y) = Bε(x).Y esto concluye el teorema.
2. Hablando de la metrica de Baire
Definicion
Sea X un conjunto no vacıo, en XN definimos la metrica primeriza o de Baire, como: Dadas dossucesiones, x = (x1, x2, ...) y y = (y1, y2, ...), en X.
d(x, y) :=1
ksi xn = yn para todo n < k y xk 6= yk
Si sucede que xn = yn para todo n entonces definiremos que d(x, y) = 0
1
Demostracion que la metrica de Baire es una metrica
Primero veremos que es mayor que 0, como cada xk pertenece al dominio de una funcion f : N→ Rluego 0 < k y por tanto 0 < 1
k . Comprobar que d(x, y) = d(y, x) es un asunto demasiado trivial. Ahoraprocedamos a ver la desigualdad triangular. Lo que realmente necesitamos ver es que
d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Para todo x, y, z ∈ XN (1)
Si decimos, d(x, y) = 1k1d(x, z) = 1
k2d(z, y) = 1
k3luego tendremos que ver que
1
k1≤ 1
k2+
1
k3(2)
Ahora, analicemos por casos; si decimos que xn = yn para todo n < k1 y despues suponemos que setiene que yn = zn para cierto n < k2 pero tambien suponemos que k2 < k1 luego entonces sucedera quetambien se tendra que k3 < k1 pues como sabeos se tiene que xn = yn para todo n < k1, luego, entonces1k1< 1
k1+ 1
k1< 1
k2+ 1
k3, lo cual nos brinda nuestra desigualdad triangular. En el otro caso, tendremos
que puede pasar que k1 < k2, pero como sabemos,se cumple que que xn = zn para n < k2 y como setiene que yn = zn para n < k3 pero como yn = zn = xn para n < k1 luego tendremos que k3 = k1 ypor lo tanto se tiene que
1
k1≤ 1
k2+
1
k3(3)
los otros casos son analogos a los dos que acabo de demostrar.
Demostrando que la metrica de Baire es una ultra metrica
Tenemos que demostrar que
d(x, y) ≤ max{d(x, z), d(z, y)} Para todo x, y, z ∈ XN (4)
Igualmente digamos que d(x, y) = 1k1
d(x, z) = 1k2
d(z, y) = 1k3
, luego, supongamos que luego si el
maximo es 1k2
luego tendremos por el razonamiento anterior que k3 < k1 y por tanto 1k1< 1
k3el otro
caso es mas trivial.Por tanto, podemos aplicar los anteriores resultados de las ultrametricas a las metrica Baire.
2
Top Related