REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA NCLEO ANZOTEGUI SEDE SAN TOM
MTODOS DE OPTIMIZACIN CON RESTRICCIONES(Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker, programacin cuadrtica, programacin separable, programacin geomtrica)
Prof.: Ing. Roberth Andrade Bachilleres:
Camero Gabrianna C.I.: 20.172.245 Gago Ivn C.I.: 20.172.561 Gmez Joannelis C.I.: 20.171.790 Pereira Gabriela C.I.: 20.170.815 6to Semestre Ing. Sistemas ANSan Tom, enero de 2012
NDICE
Contenido Metodos de optimizacion con restricciones Multiplicadores de Lagrange ........................................................................... 4 Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker ............................................................. 5 Programacin cuadrtica ............................................................................... 10 Programacin Separable ................................................................................ 15 Programacin Geomtrica ............................................................................. 17
INTRODUCCIN La Programacin no Lineal (PNL) es una parte de la Investigacin Operativa cuya misin es proporcionar una serie de resultados y tcnicas tendentes a la determinacin de puntos ptimos para una funcin (funcin objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la funcin objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales. Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, segn las funciones que en l intervengan (a diferencia de la Programacin Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la funcin objetivo permite obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algortmicos de los problemas). Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtencin de resultados, que se refleja tambin en la dificultad de la obtencin numrica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de ptimo, que slo se emplean como tcnicas de resolucin en problemas sencillos, y los mtodos numricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolucin de problemas ms generales.
MTODO DE OPTIMIZACIN CON RESTRICCIONES Condiciones necesarias y suficientes de optimidad Para los mtodos utilizados en resolver problemas cuadrticos es necesario definir condiciones suficientes y necesarias, que se deben satisfacer en el punto solucin, para que pueda ser considerado como un punto de solucin ptimo. La necesidad de estas condiciones nos lleva principalmente al estudio de las teoras de Lagrange y de KarushKhun y Tucker, que caracterizan las condiciones de un punto ptimo en programacin no lineal.
Multiplicadores de Lagrange La idea principal en el desarrollo de condiciones necesarias y suficientes, para los problemas de optimizacin no lineal con restricciones es, el de transformar estos problemas sin restricciones y aplicar las condiciones necesarias y suficientes para los problemas sin restricciones. Una transformacin involucra la introduccin de una funcin auxiliar, llamada la funcin de Lagrange definida como:
Donde
y
son los multiplicadores de Lagrange no tienen restricciones de signo, deben ser
asociados con las restricciones de igualdad y desigualdad, respectivamente. Los multiplicadores , asociados can las igualdades no negativos. La transformacin a problemas sin restricciones comienza encontrando el punto estacionario de la funcin de Lagrangiana: proveen informacin sobre la sensibilidad de la al punto ptimo . La existencia mientras que los multiplicadores de , asociados con las desigualdades
Los multiplicadores de Lagrange
funcin objetivo con respecto al vector de perturbacin
de los multiplicadores de Lagrange de penden de la forma de las restricciones y no siempre est garantizada.
Condiciones de Karush-Kuhn-Tucker Dado que las condiciones KKT son el resultado analtico ms importante en programacin no lineal, se desarrollaran estas condiciones en dos pasos por conveniencia de exposicin. En primer lugar se analizan las condiciones de no negatividad, para en el paso posterior desarrollar un problema con las condiciones de desigualdad tanto para maximizacin como para minimizacin Condiciones de no negatividad: Como primer paso se considera un problema simple de optimizacin de la funcin sea no negativa, es decir . Naturalmente esta condicin es equivalente a y llamando sujeta a la restriccin que la variable de eleccin
, entonces incorporando una variable deholgura lagrange, la funcin lagrangiana resulta:
al multiplicador de
Las condiciones necesarias son:
De la primera se desprende que tipos de extremos:
. Entonces se pueden dar solamente tres
a) Extremo local interno lo que implica que derivadaes nula, es decir que .
ptimo (
) es positivo y su
b) Extremo local de frontera lo que implica que nula.
es igual a cero y su derivada es
c) Punto de frontera lo que implica que
y su derivada es positiva si es un
problema de minimizacin, o negativa si es un problema de maximizacin.
Condiciones de desigualdad: En este segundo paso se reconsidera el problema con la incorporacin de una restriccin de desigualdad y otra variable de eleccin. Adems, dado que tradicionalmente los problemas de maximizacin se presentan con desigualdades del signo contrario a las de los problemas de minimizacin, se determinarn las condiciones para mximo y para mnimo a partir de problemas distintos. Maximizar sujeto a Minimizar sujeto a
La restriccin de desigualdad puede transformarse en una igualdad incorporando una variable de holgura o de excedente apropiada. Para este caso, la condicin para mximo queda satisfecha sumando a una variable de holgura no negativa ; una asimismo para el problema de minimizacin se satisface restando a la funcin
variable de excedente
no negativa. De esta manera, las funciones de Lagrange sin
considerar las restricciones de no negatividad sern:
Y las condiciones necesarias de extremo se obtienen igualando a cero las derivadas parciales de F: y deben ser no negativas, de acuerdo a lo hallado en el punto
Y dado que las variables como:
a) relativo a las condiciones de no negatividad, se pueden re expresar estas condiciones
Luego, dado que lnea determina que
para mximo y
para ambos tipos de problema, adems
para mnimo, la segunda es no negativo y
por lo tantodicha lnea de condiciones es igual a
Pero a su vez la tercera lnea implica que lnea de tal forma que
. Por consiguiente, considerando la anterior se puede combinar la segunda con la tercera
para mximo y
Esto permite expresar las condiciones de KKT sin las variables artificiales.
Entonces para el caso general de funciones langragianas respectivas sern:
variable de eleccin y
restricciones, las
Programacin cuadrtica La importancia de la programacin cuadrtica recae en que, como es un caso especial de la programacin no lineal, se utiliza como una funcin modelo para aproximar funciones no lineales a travs de modelos locales. La programacin cuadrtica trabaja con una clase especial de problemas en el que una funcin cuadrtica de variables de decisin sujeta a restricciones lineales de desigualdad requiere ser optimizada, en nuestro caso, requiere ser minimizada. Una funcin cuadrtica, en notacin matricial, es una funcin de la forma
Es de gran importancia identificar o poder definir la caracterstica de la matriz Hessiana, ya que a partir de sta podemos determinar ciertas caractersticas del problema, que nos sern tiles para encontrar su solucin. Existen diferentes tipos de problemas de programacin cuadrtica, los cuales se pueden clasificar en: Problemas cuadrticos de minimizacin sin restricciones, requieren minimizar la funcin cuadrtica sobre el espacio completo. sujeta a restricciones lineales de Problemas cuadrticos de minimizacin sujetos a restricciones de igualdad, requieren minimizar la funcin objetivo igualdad . sujeta a restricciones
Problemas cuadrticos de minimizacin sujetos a restricciones lineales de desigualdad. Requieren minimizar la funcin objetivo lineales de desigualdad , tambin puede contener restricciones de igualdad.
Problemas de optimizacin de redes cuadrticas. Son problemas cuadrticos en los que las restricciones son restricciones de baja conservacin sobre una red pura o generalizada. Problemas cuadrticos convexos. Son cuales quiera de los mencionados arriba, en el cual la funcin objetivo a ser minimizada, es convexa.
Problemas cuadrticos no convexos. Son cuales quiera de los mencionados arriba, en el cual la funcin objetivo a ser minimizada, es no convexa. Problemas de complementariedad lineal. Son problemas especiales con un sistema de ecuaciones en variables no negativas, en el cual las variables estn formadas en varios pares llamados pares complementarios. El Algoritmo de desigualdad. Histricamente, las funciones cuadrticas fueron prominentes porque provean modelos locales simples para funciones no lineales generales. Una funcin cuadrtica, es la funcin no lineal ms simple, y cuando es usada como una aproximacin para una funcin no lineal general, esta puede capturar la informacin importante de la curvatura, lo que una aproximacin lineal no puede. El uso de aproximaciones cuadrticas para resolver problemas con funciones no lineales generales se remonta mucho tiempo atrs. Entre los mtodos ms destacados, tenemos al mtodo de Newton y el mtodo de gradiente conjugado. Para la programacin cuadrtica se pueden encontrar mnimos locales, mnimos globales, puntos estacionarios o de KKT, (son los que satisfacen las condiciones de KKT del problema). En problemas convexos de programacin cuadrtica, todo punto KKT o mnimo local, es un mnimo global. La programacin cuadrtica tiene aplicaciones muy importantes, por ejemplo, en el rea financiera, se pueden realizar anlisis, usando modelos de programacin cuadrtica para determinar la seleccin de estrategias ptimas de inversin. En los impuestos, la programacin cuadrtica juega un papel muy importante en el anlisis de polticas de impuestos. Otra aplicacin importante, es en la que los economistas utilizan modelos de equilibrio para analizar expectativas de cambio en condiciones econmicas, prediccin de de Espacio Rango para Programacin Cuadrtica aqu
implementado, trabaja con problemas cuadrticos convexos sujetos a restricciones lineales
precios, incremento de la inflacin, etc. Estos modelos involucran el uso de programacin cuadrtica. Consideramos un problema de programacin no lineal cuya funcin objetivo es la suma de trminos de la forma el grado de este termino es
Un problema de programacin no lineal, cuyas restricciones son lineales y cuya funcin objetivo es la suma de trminos de la forma (en la cual cada termino tiene
un grado de 2, 1, o 0) es un problema de programacin cuadrtica. Dichos problemas se resuelven por el mtodo de WOLFE. A continuacin: Se define un problema de programacin cuadrtica como: Con sus restricciones
Donde precios con ceros. componentes,
(vector en
con componentes continuas), C es un vector de , simtrica y positiva definida, es decir, , b es el vector de recursos con
componentes, para toda
es una matriz de , excepto
es una matriz de
coeficientes tecnolgicos y 0 es un vector con
El problema de optimizacin anterior tiene restricciones lineales, si nula se convierte en un problema de programacin lineal. Como implica que global; si global. es negativa definida,
es una matriz
es positiva definida,
es una funcin estrictamente convexa y por lo tanto el mnimo si existe es es estrictamente cncava y si el mximo existe es
A continuacin se escribe el problema en notacin algebraica, se le aplican los multiplicadores de Lagrange, se verifican las condiciones necesarias y suficientes de Karush Kuhn- Tucker que deben existir en un ptimo global.
El mtodo de Wolfe sigue con la reescritura del problema original como un problema de programacin lineal con holguras complementarias; ste ltimo problema es equivalente al problema original. El problema de programacin lineal a resolver ser de variables, restricciones lineales y restricciones de holgura complementaria. Ejemplo: Resolver el siguiente problema de programacin cuadrtica por el mtodo de Wolfe: Con sus restricciones:
AplicandolosmultiplicadoresdeLagrange tenemos:
Las primeras derivadas parciales son:
El problema de programacin lineal equivalente al original de acuerdo al mtodo de Wolfe es: Sujeto a:
Con las siguientes restricciones de holgura complementaria:
Utilizando los mtodos simplex se tiene que la solucin bsica inicial es: y sale son positivas; el simplex . El punto extremo luego de recalcular es:
En la primera iteracin entra
En la tercera iteracin no pueden entrar a la base toma como siguiente candidato a interactuar es: La ltima iteracin punto extremo es: debe entrar el
y de salida a
, el punto extremo despus de
pero no puede porque
es positivo;
el siguiente elemento a entrar a la base es
cual reemplazara a
Luego de recalcular el
La solucin que corresponde al ptimo es:
Programacin Separable
Una funcin suma de
es separable si se puede expresar como la , es decir, Un caso especial de programacin
funciones de una sola variable
separable ocurre cuando las funciones
son convexas , resultando as un es convexa en caso de
espacio convexo de solucin; adems la funcin minimizacin y cncava en caso de maximizacin.
No existe un algoritmo nico para solucionar problemas de programacin convexa; en general los algoritmos conocidos se pueden clasificar as: 1. Algoritmos de gradiente, en estos casos se modifica de alguna manera el procedimiento de bsqueda del gradiente para evitar que la trayectoria de bsqueda penetre la frontera de restriccin. 2. Algoritmos secuenciales no restringidos, incluye los mtodos de funcin de penalizacin y de funcin barrera; estos algoritmos convierten el problema de optimizacin restringida original en una sucesin de problemas de optimizacin no restringida, cuyas soluciones ptimas convergen a la solucin ptima del problema original. 3. Algoritmos de Aproximacin Secuencial, incluye mtodos de aproximacin lineal y aproximacin cuadrtica; estos algoritmos sustituyen la funcin objetivo no lineal por una sucesin de aproximaciones lineales o cuadrticas. Para problemas de optimizacin linealmente restringidos, estas aproximaciones permiten la aplicacin repetida de los algoritmos de programacin lineal o cuadrtica. A continuacin resolvemos un problema de programacin separable aplicando el mtodo de la base restringida.
Ejemplo. Con sus restricciones
El mtodo de aproximacin nos sugiere que las variables separables son:
1 2 3 4
0 1 2 3
0 1 16 81
0 2 8 18
Luego:
Entonces el problema original por aproximacin se convierte en:
La tabla simple inicial queda de la siguiente forma:
Donde S1 es una variable de holgura (relleno). La solucin ptima por el Simplex a este problema equivalente es: es :
Luego el ptimo en trminos de
Programacin Geomtrica La Programacin geomtrica soluciona un caso especial de problemas de Programacin No lineal. Este mtodo resuelve al considerar un problema dual asociando los siguientes dos tipos de Programacin No lineal: Problemas geomtricos no restringidos del tipo
Problemas restringidos del tipo
Con sus restricciones
Donde ambos casos signo exponentes ;
es real, para toda son finitas, los exponentes
supone para no tienen restricciones de
, las funciones toman la forma de un polinomio, excepto que los pueden ser negativos; por esta razn y porque todas las se denominan posinomiales. La Programacin Geomtrica fue diseada por
Duffin, Peterson y Zener. La lgica de la Programacin Geomtrica se basa en la desigualdad de Cauchy (desigualdad de media aritmtica - geomtrica) :
El mtodo de solucin consiste en calcular las primeras derivadas parciales de la funcin objetivo se obtiene la ecuacin: Condicin de normalidad De las primeras derivadas parciales iguales a cero se escribe la relacin: Condicion de rotogonalidad
Donde aij son los coeficientes positivos, m es el nmero de variables y n el nmero de trminos. Generalmente, el nmero de trminos determina el nmero de factores de peso y el nmero de variables independientes seala el nmero de ecuaciones. Cuando n = m + 1, se dice que el problema tiene cero grados de dificultad. Cuando n - (m + 1)> 0, es un problema que no se puede resolver mediante Programacin Geomtrica. Finalmente se resuelven los sistemas de ecuaciones simultneas planteadas y se obtiene la solucin del problema. Ejemplo: 1. Encontrar la cantidad econmica de pedido de un producto, es decir, se debe decidir qu cantidad del artculo conviene almacenar peridicamente; los costos totales asociados al producto y su almacenamiento se pueden expresar CT = CCI + CHP + VC donde
Dnde: CT: costo total. CCI: costo cargado al inventario. CHP: costo total de pedidos. VC: valor de compra. Q: cantidad econmica del pedido. h: costo por almacenamiento por unidad anual. a: costo de hacer un pedido. d: consumo promedio del ao. k,P: constantes.
La funcin objetivo tiene la siguiente formula general:
De tal modo que al resolver el anterior sistema de ecuaciones simultneas llegamos a que 1 = 2 y la variable Q* debe ser tal que haga que los dos trminos de la funcin objetivo sean iguales:
Aporte de los mtodos de solucin para problemas de Programacin No lineal ya mencionados algunos de los conocidos son: Tcnicas de bsqueda unidimensional: Minimax, Bsqueda simultnea: dos experimentos, bsqueda simultnea: n experimentos, resolucin, distinguibilidad , escalamiento, bsqueda secuencial, mtodo de Bolzano, bsqueda por bloques, bsqueda en bloques pares , bsqueda dicotmica, bsqueda de Fibonacci, bsqueda con resolucin desconocida, bsqueda de seccin urea , bsqueda de Fibonacci inverso y bsqueda mediante bloques impares, entre otros. Tcnicas de bsqueda multidimensional: algunos modelos son: Eliminacin multivariable, mtodos geomtricos, mtodos lgicos, bsqueda aleatoria, procedimientos de aproximacin estocsticos, bsqueda en forma de malla, mtodo
de bsqueda patrn: Hooke Jeeves, mtodo de interpolacin cuadrtica de Powell, mtodo del ascenso acelerado, mtodo de Newton Raphson, mtodo de Davidon Fletcher Powell, mtodo de Broyden Fletcher, mtodo de Fletcher Reeves, mtodo de Smith.
CONCLUSIONES
El supuesto de la proporcionalidad de la programacin lineal no siempre es adecuado para representar de buena forma situaciones de naturaleza real que requieren de un modelo de optimizacin como apoyo para el proceso de toma de decisiones. Cabe sealar que un modelo de programacin no lineal es aquel donde la funcin objetivo y/o las restricciones son funciones no lineales de las variables de decisin. En este sentido la programacin no lineal permite enfrentar una serie de aplicaciones prcticas que requieren una representacin a travs de funciones no lineales. Algunos casos caractersticos de la programacin no lineal son los problemas de minimizacin de distancia, economas o deseconomas de escala, carteras de inversin, ajuste de curva, entre otros. En general cuando formulamos un modelo de optimizacin no lineal esperamos que ste sea ms representativo de una situacin real en comparacin a un modelo lineal, sin embargo, a la vez asumimos que es probable que la complejidad de la resolucin aumente. Por ello quien formule un modelo debe equilibrar la representatividad del mismo con la dificultad de la resolucin.
Top Related