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Medidas de dispersinMedidas de dispersin
-Rango.-Rango.
-Varianza.-Varianza.
-Desviacin estndar.-Desviacin estndar.
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El RangoEl Rango
El Rango, R, de un conjunto de n
mediciones es la diferencia entre el mayor y
el nmero ms pequeo de las mediciones. Ejemplo:Ejemplo: Un botnico registra el nmero de
petalos de 5 flores
5, 1, !, ", 1# El Rango es R $ 1# % 5 $ &.R $ 1# % 5 $ &.
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'a Varianza'a Varianza
'a varianza'a varianzaes la medida de
!ariabilidad que usa todos los !alores
obser!ados. "ide el promedio de la
des!iaci#n de las mediciones alrededor
de la media,
()mero de petalos:: 5, 1, !, ", 1#
$
5
%5x # ! " 1* 1 1#
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la varianza de la po+lacionvarianza de la po+laciondeNobser!aciones
'a Varianza'a Varianza
la varianza de na mestra devarianza de na mestra denobser!aciones
Nxi
&
& '(
)
'( &&
n
xxs
i
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En el clculo de la !arian*a, calculamos elcuadrado de todas las des!iaciones, y al +acerlo,cambiamos la escala de las mediciones.
ara !ol!er a esta medida de la !ariabilidad enlas unidades originales de medida, se calcula lala ra-* cuadrada positi!a de la !arian*a.
'a Desviacin Estandar'a Desviacin Estandar
&
&
muestraldeestndar.es!iaci#n
poblaci#nladeestndar.es!iaci#n
ss
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Dos ormas de calclarDos ormas de calclar
la varianza mestralla varianza mestral
)
'( &&
n
xxs
i5 -# 1!
1 &! - &
" -1 1
1# 5 5
/m #5 * !*
Uso de la f#rmulai
xi
x x- &
( 'i
x x-
)5%
/0
12.3)5& ss
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)
'( &&
&
n
n
xx
s
ii5 5
1 1##! !
" !#
1# 1&!
/m #5 #!5
Uso de la f#rmula
ix
&
ix
)5%
5
%5%/5
&
12.3)5& ss
Dos ormas de calclarDos ormas de calclar
la varianza mestralla varianza mestral
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El !alor de s es siempre positi!o. 4uanto mayor se el !alor des&o des,
mayor ser la !ariabilidad del conjunto de
datos. 0or2 dividimos por n %130or2 dividimos por n %13
6a des!iaci#n estndarsses a menudo
usada para estimar la des!iaci#nestndar de la poblaci#n i!idiendopor n) nos da una mejor estimaci#n
de
(otas(otas
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4so de las medidas de tendencia central 4so de las medidas de tendencia central
desviacin: 6eorema de 78e+s8evdesviacin: 6eorema de 78e+s8ev
ado un nmero kmayor o igual a ) y un conjunto
de nmediciones, al menos )7()8k&' de las
mediciones estarn dentro de kdes!iaciones
estndard de la media.
ado un nmero kmayor o igual a ) y un conjunto
de nmediciones, al menos )7()8k&' de las
mediciones estarn dentro de kdes!iaciones
estndard de la media.uede ser usada para describir ya sea una muesta o una
poblaci#n.Resltados importantes:Resltados importantes:
9i k: &, al menos ) )8&
&
: 38%de las mediciones estndentro de & des!iaciones estandar de la media.9i k: 3, al menos) )83&: 18$de las mediciones estn
dentro de 3 des!iaciones estandar de la media.
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4opyrig+t ;&00/ di!ision of ?+omson 6earning, @nc.
4so de las medidas de4so de las medidas de
tendencia central desviacin,tendencia central desviacin,
Regla emp9ricaRegla emp9rica
ada una distribuci#n de las mediciones que es
tiene aproAimadamente forma de campana
el inter!alo contiene aproAimadamente /1B
de las mediciones.
el inter!alo &contiene aproAimadamente
$5B de las mediciones.
el inter!alo 3contiene aproAimadamente
$$.2B de las mediciones.
ada una distribuci#n de las mediciones que es
tiene aproAimadamente forma de campana
el inter!alo contiene aproAimadamente /1B
de las mediciones.
el inter!alo &contiene aproAimadamente$5B de las mediciones.
el inter!alo 3contiene aproAimadamente
$$.2B de las mediciones.
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EjemploEjemplo6as edades de 50 profesores titulares de una
Uni!ersidad Estatal son 3% %1 * /3 5& 5& 35 50 32 %3 53 %3 5& %%
%& 3) 3/ %1 %3 ! 51 /& %$ 3% %1 53 3$ %5
3% 5$ 3% // %0 5$ 3/ %) 35 3/ /& 3% 31 &1 %3 50 30 %3 3& %% 51 53
23.)0
$.%%
s
x
CormaD Ages
Relativefre
quency
73655749413325
14/50
12/50
10/50
8/50
6/50
4/50
2/50
0
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k ks ;ntervalo 0roporcin
en el
;ntervalo
c8e+s8ev ReglaEmpiric
a
1 ##.& 1*. #.1 to 55.! 1 ?l menos * .!"
##.& 1.#! .## to !!.! #&
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EjemploEjemplo
El tiempo que un trabajador toma en completaruna operaci#n especifica tiene un promedio de)&.1 minutos, con una des!iaci#n estndar de ),2minutos. 9i tiene forma de campana la
distribuci#n de los tiempos, aproAimadamente,Fqu proporci#n de los trabajadores se lle!arms de )/.& minutos para completar la tareaD
.%25 .%25
&5A entre &.# 1!.
#.5A entre 1." 1!.
.0&5 =5*-#.5>A $ .5A so+re 1!.
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e el teorema de 4+ebys+e! y de laregla emp-rica, sabemos que
R %7/s
ara aproAimar la des!iaci#n estandarde un conjunto de mediciones,podemos usar
?pro@imaciones?pro@imaciones
R/4 s
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4opyrig+t ;&00/ di!ision of ?+omson 6earning, @nc.
?pro@imaciones?pro@imaciones
R $ * % ! $ ##
))%8%%%8 Rs
?ctal s$ 1*.
6as edades de 50 profesores titulares de una
Uni!ersidad Estatal son. 3% %1 * /3 5& 5& 35 50 32 %3 53 %3 5& %%
%& 3) 3/ %1 %3 ! 51 /& %$ 3% %1 53 3$ %5
3% 5$ 3% // %0 5$ 3/ %) 35 3/ /& 3% 31 &1 %3 50 30 %3 3& %% 51 53
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4opyrig+t ;&00/ di!ision of ?+omson 6earning, @nc.
Medidas de posicinMedidas de posicin
-0ercentiles.-0ercentiles.
-Deciles.-Deciles.
-7artiles.-7artiles.
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0ercentiles0ercentilesUn conjunto de n mediciones de la variablex se ha
reacomodado en orden de magnitud. El p-simo percentiles el valor dex que es mayor ap% de lasmediciones y es
menor que el restante (100p)%
.As el !" es el valor de la variable que veri#ica que el !"
$orciento de las observaciones son ms $eque&as y elresto ms grandes.
p7simo percentil
=1**-p> Ax
p A
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7antiles7antiles
50t+ercentil
&5t+ercentil
25t+ercentil
"ediana
rimer 4uartil (G)'
?ercer 4uartil (G3'
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El primer cartile =BEl primer cartile =B11> es el valor de> es el valor dexpara
el cual el &5B de las obser!aciones(ordenadas' son ms pequeas y el resto ms
grandes (25B restantes'.
El tercer cartile =BEl tercer cartile =B> es el valor de> es el valor dexpara elcual el 25B de las obser!aciones (ordenadas'
son ms pequeas y el resto ms grandes (&5B
restantes'. El recorrido intercuart-lico Hmiddle 50BI
@GR :@GR : BB
% B% B11
Recorrido intercart9lico R;Recorrido intercart9lico R;
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El primer el tercer cartile =BEl primer el tercer cartile =B1 1
BB
>,>,
peden serpeden ser calculados as-
6a posicin de Bposicin de B11es
7alclar los 7artiles7alclar los 7artiles
.5=.5=nnC 1>C 1>
.5=.5=nnC 1>C 1>
6a posicin de Bposicin de Bes
Una !e* que las obser!aciones +an sido
ordenadas. 9i las posiciones no son
enteros, encuentre los cuartiles por
interpolaci#n.
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EjemploEjemplo6os precios (J' de )1 art-culos son
%0 /0 /5 /5 /5 /1 /1 20 20
20 20 20 20 2% 25 25 $0 $5
0osicin de B0osicin de B11$ .5=1" C 1> $ #.5$ .5=1" C 1> $ #.5
0osicin de B0osicin de B$ .5=1" C 1> $ 1#.5$ .5=1" C 1> $ 1#.5
G)est 38% de distancia entre el %t+y 5t+de las
obser!aciones ordenadas, oG): /5 K .25(/5 7 /5' : /5.
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EjemploEjemplo6os precios (J' de )1 art-culos
%0 /0 /5 /5 /5 /1 /1 20 20
20 20 20 20 2% 25 25 $0 $5
0osicin de B0osicin de B11$ .5=1" C 1> $ #.5$ .5=1" C 1> $ #.5
0osicin de B0osicin de B$ .5=1" C 1> $ 1#.5$ .5=1" C 1> $ 1#.5
G3 est a )8% de distancia entre el )%t+y )5t+
de las obser!asiones ordenadas, oG3: 2% K .&5(25 7 2%' : 2%.&5
y
@GR : G3 G) : 2%.&5 7 /5 : $.&5
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EL RESUMEN DE CINCO NMEROSEL RESUMEN DE CINCO NMEROSY LA GRFICAY LA GRFICA o! "loto! "lot
'os 5 n)meros:
Min B1 Mediana B Ma@
'os 5 n)meros:
Min B1 Mediana B Ma@
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7onstrir na grica o@ 0lot7onstrir na grica o@ 0lot
4alcule G), la mediana, G3y @GR.
ibuje una linea +ori*ontal para representar
la escala de las obser!aciones.
ibuje una caja usando G), la mediana, G3.
BB11 mm BB
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7onstrir na grica: o@ 0lot7onstrir na grica: o@ 0lot
BB11 mm BB
6-mite inferior G)7).5 @GR6-mite superior G3K).5 @GR
6as mediciones ms all de la !alla superior
o inferior son !alores at-picos y estnmarcados (L'.
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7onstrir na grica: o@ 0lot7onstrir na grica: o@ 0lot
BB11 mm BB
ibuje MbigotesM que conectan las
mediciones de mayor y menor que NO son
!alores eAtremos a la caja.
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EjemploEjemplo6as obser!aciones de una muestra son
&/0 &$0 300 3&0 330 3%0 3%0 5&0
m $ 5m $ 5 BB$ #*$ #*
mm
BB11$ &.5$ &.5
BBBB11
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EjemploEjemplo@GR : 3%07&$&.5 : %2.5
6-mite inf : &$&.57).5(%2.5' : &&).&5
6-mite sup : 3%0 K ).5(%2.5' : %)).&5
mm
BBBB11
Outlierx: 5&0
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;nterpretar o@ 0lots;nterpretar o@ 0lots
9i la mediana est en el centro de la caja y los
bigotes son de igual longitudPdistribuci#n simtrica
9i la mediana est a la i*quierda del centro de la
caja y el bigote derec+o es ms largoPsesgada a la
derec+a.
9i la mediana est a la derec+a del centro de la caja
y el bigote i*quierdo es ms largoPsesgada a la
i*quierda.