Medidas coherentes de riesgo y funciones de
distorsi¶on
Silvia Mayoral
Servicio de Estudios, Banco de Espa~na
21 de Septiembre, 2005
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Contenido:
1. Resumen y motivaci¶on
2. Valor en Riesgo
3. Medidas coherentes de riesgo
4. Propiedades de las medidas de riesgo: falta de consenso
5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones
6. M¶as all¶a de la coherencia.
7. Conclusiones.
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1. Resumen
Importancia de las medidas de riesgo
• Necesidad de cuanti¯car el riesgo asumido
• Las entidades ¯nancieras han fomentado la gesti¶on del riesgo
en los ¶ultimos a~nos
• Estudio PricewaterhouseCoopers: 82% de los directivos de
empresas ¯nancieras indican que el conocimiento del riesgo
es un tema prioritario en sus organizaciones
• 73% piensan que sus organizaciones de¯nen su nivel de aceptaci¶on
al riesgo de forma m¶as clara.
• Acuerdo de Basilea II.
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• Existen muchas medidas de riesgo.
• No existe consenso en la literatura sobre qu¶e medida de riesgo
es la m¶as adecuada.
• >Qu¶e propiedades debe tener? ⇔ No hay acuerdo
• La medida CV aR puede llevar a toma de decisiones incorrec-
tas.
Principales objetivos:
• >Por qu¶e el CVaR funciona mal?.
• De¯nir propiedades \m¶³nimas".
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2.Valor en Riesgo
• La medida m¶as utilizada en la pr¶actica: Valor en Riesgo
(VaR)
• Du±e y Pan (1997), el Valor en Riesgo se puede de¯nir
como:
Dado un horizonte temporal T y un nivel de con¯anza
100α%, el Valor en Riesgo es la p¶erdida en el valor
de mercado sobre el horizonte temporal T que s¶olo es
superada con una probabilidad 1 − α.
• El VaR responde a >C¶ual es la m¶³nima p¶erdida en que incur-
rimos en los 100(1 − α)% peores casos de la cartera?
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• Ejemplo: α = 0.99, T = 7 d¶³as V aR = 1.000.000: la p¶erdida
de la posici¶on no deber¶³a ser superior a un mill¶on de d¶olares
en 99 de 100 casos a lo largo de los siete d¶³as.
• Si X indica las p¶erdidas-bene¯cios de la cartera.X ≥ 0 in-
dicar¶a p¶erdidas y X ≤ 0 indicar¶an bene¯cios.
V aRα = inf{x ∈ R | P (X ≤ x) ≥ α} .
• Valor en Riesgo: p¶erdida asociada con el percentil α de la
distribuci¶on de p¶erdidas de la cartera.
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• Las ventajas del VaR:
1. Se expresa siempre en \dinero perdido"
2. Simplicidad
3. Universalidad
• Paradoja
{ Cartera A: Valor 100 euros, p¶erdida 100 euros en los peo-
res 5% casos.
{ Cartera B: Valor 100 euros, posici¶on en futuros con p¶erdidas
no acotadas.
{ Se puede escoger B de tal forma que el V aR(B) = 100.
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Problemas que presenta el VaR:
• Si la distribuci¶on de p¶erdidas tiene una cola pesada nos pode-
mos encontrar con dos carteras con igual VaR pero con
p¶erdidas superiores al VaR muy diferentes.
• Medida no subaditiva: diversi¯caci¶on puede aumentar el riesgo
• Dif¶³cil de optimizar
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3. Medidas coherentes de riesgo
Artzner y otros (1997) intentan resolver estos problemas de¯niendo
las medidas coherentes
1. Sub-aditiva: ρ(X + Y ) ≤ ρ(X) + ρ(Y ),
2. Positiva homog¶enea: ρ(λX) = λρ(X).
3. Invariante por traslaci¶on: ρ(X + a) = ρ(X) + a, a ∈ R
4. Mon¶otona: Si X ≤ Y entonces ρ(X) ≤ ρ(Y ).
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• Artzner y otros (1999): Caracterizaci¶on de estas medidas.
• Ejemplo de medida coherente: Valor en Riesgo condicionado
(CVaR)
• CVaR responde: >C¶ual es la p¶erdida esperada incurrida en
los (1− α)% peores casos de una posici¶on?
CV aRα(X) = EP [X | X ≥ V aRα], α ∈ (0,1).
• Por de¯nici¶on: CV aRα ≥ V aRα.
• Propiedades m¶as atractivas: subaditiva y convexa.
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4. Propiedades de las medidas de riesgo: Falta de consenso
Se de¯nen muchos conjuntos de medidas: medidas convexas,
espectrales, medidas de desviaci¶on, acotadas en media, etc..
Medidas convexas de riesgo:
Follmer y Schied (2002) sugieren que el riesgo puede crecer de
forma no lineal respecto al tama~no de la posici¶on.
Relajan las condiciones positiva homog¶enea y subaditiva por con-
vexidad:
Convexidad:: ρ((1−λ)Y +λX) ≤ (1−λ)ρ(Y )+λρ(X) para todo
λ ∈ [0,1].
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Medidas espectrales de riesgo:
Acerbi (2002) de¯ne las medidas espectrales:
Mφ(X) =
∫ 1
0φ(p)F−
X(p)dp , (1)
donde φ es una funci¶on real sobre el intervalo [0,1] y F−X(p) =
inf{x ∈ R | P [X ≤ x] ≥ p}.
Kusuoka (2001) demuestra que las medidas espectrales son me-
didas coherentes que satisfacen las propiedades de invariante por
ley y aditividad comon¶otona.
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Rockafellar y otros (2002) de¯nen dos conjuntos diferentes de
medidas de riesgo: medidas de desviaci¶on y medidas acotadas
en media. Estas medidas no son coherentes.
No existe consenso sobre las propiedades que las medidas de
riesgo deben poseer.
Goovaerts y otros (2003) son bastante cr¶³ticos sobre las condi-
ciones de coherencia: sub{aditividad, invariante por traslaci¶on y
positiva homog¶enea.
Las propiedades deseables di¯eren cuando una medida de riesgo
se utiliza para requerimientos de capital, para comparar primas
de riesgo o para prop¶ositos de regulaci¶on.
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5. Medidas de riesgo basadas en distorsiones
Medida de riesgo: Valor esperado de las p¶erdidas bajo una pro-
babilidad distorsionada (Integral de Choquet).
ρg(Y ) = EP ∗[X] =
∫∞
0g(S(y))dy −
∫∞
0[1− g(S(−y))]dy . (2)
donde g es una funci¶on de distorsi¶on.
De¯nici¶on Una funci¶on de distorsi¶on, g : [0,1] → [0,1], es una
funci¶on no-decreciente que cumple g(0) = 0 y g(1) = 1.
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Propiedades de las medidas basadas en distorsiones
1. Monoton¶³a
2. Homog¶enea positiva
3. Invariante por traslaci¶on
4. Aditiva comon¶otona
5. Subaditiva si g es c¶oncava y superaditiva si g es convexa.
6. Non-exceding loading: ρ(X) ≤ max(X)
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• Valor esperado de una nueva funci¶on de distribuci¶on incor-
porando las expectativas o la aversi¶on al riesgo del individuo.
• Una funci¶on de distorsi¶on repondera las probabilidades que
asigna la funci¶on de distribuci¶on real de p¶erdidas.
• Medidas coherentes basadas en distorsiones: repondera de
forma que la distribuci¶on distorsionada tiene una cola m¶as
pesada que la inicial.
• Las medidas m¶as utilizadas est¶an basadas en distorsiones.
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6. M¶as all¶a de la coherencia
• Medidas basadas en distorsiones son coherentes ⇔ la dis-
torsi¶on es c¶oncava.
• No todas las medidas de riesgo coherentes son medidas basadas
en distorsiones (aunque \si las m¶as importantes").
Valor en Riesgo
g(y) =
0 if y < 1− α
1 if y ≥ 1− α(3)
Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos y no{c¶oncava (no coher-
ente).
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Valor en Riesgo Condicionado
g(y) =
y
1−αsi y < 1− α
1 si y ≥ 1− α. (4)
Funci¶on de distorsi¶on de¯nida a trozos, continua y c¶oncava (me-
dida coherente).
Ejemplo (CVaR inconsistente)
P¶erdida A B
0 0.600 0.600
1 0.375 0.390
5 0.025 |
11 | 0.010
Tabla 1.:Distribuci¶on de las p¶erdidas de las carteras A y B.
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Se puede calcular la distribuci¶on distorsionada de las carteras A
y B.
P¶erdida SA(x) S∗A(x)
X < 0 1 1
0 ≤ X < 1 0.4 1
1 ≤ X < 5 0.025 0.5
5 ≤ X 0 0
Tabla 2.: Distribuci¶on distorsionada de la cartera A
El CV aRα(XA), a nivel α = 0.95, viene dado por:
CV aR0.95(XA) =
∫ 1
0dx+
∫ 5
10.5dx = 3 = CV aR0.95(XB).
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Problema de la medida CVaR: no utiliza toda la informaci¶on
de la distribuci¶on inicial.
Ejemplo Supongamos que tenemos la siguiente funci¶on de dis-
torsi¶on:
g1(x) =
50x si 0 ≤ x < 0.01
0.5 si 0.01 ≤ x < 0.5
x si 0.5 < x ≤ 1
g es una funci¶on de distorsi¶on continua y constante en el intervalo
[0.01,0.5].
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Consideramos dos carteras A y B:
P¶erdida A B
0 0.600 0.600
1 | 0.390
10 0.375 |
11 0.025 0.010
Tabla 3. Distribuci¶on de p¶erdidas de las carteras A y B
La medida de riesgo generada por g1 asigna el mismo valor (5.5)
a ambas carteras.
Problema: La funci¶on de distorsi¶on no utiliza toda la infor-
maci¶on inicial.
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Se puede comprobar que da probabilidad cero a un conjunto de
sucesos
P¶erdida P(A) P ∗(A)
0 0.600 0.5
10 0.375 0
11 0.025 0.5
Tabla 4.: Probabilidad distorsionada de la cartera A
Soluci¶on: La medida de riesgo debe utilizar toda la informaci¶on
de la distribuci¶on inicial.
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De¯nici¶on: Consideramos un riesgo X y una medida de distorsi¶on
ρ, i.e. ρ(X) = EP ∗(X). La medida de riesgo ρ se dice que es
completa si:
S(x1) = S(x2) ⇔ S∗(x1) = S∗(x2), ∀ x1, x2 ∈ [0,1], (5)
donde S∗ es la funci¶on de supervivencia de la probabilidad dis-
torsionada, P ∗.
Las medidas VaR y CVaR no son completas.
Soluci¶on: La funci¶on de distorsi¶on que genera la medida de riesgo
no puede ser constante.
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No utilizar la informaci¶on inicial es equivalente a realizar una
reponderaci¶on igual a cero.
El coe¯ciente de reponderaci¶on se puede aproximar por la derivada
de la funci¶on de distorsi¶on.
Teorema: Las siguientes condiciones son equivalentes
1. S(x1) = S(x2) ⇔ S∗(x1) = S∗(x2), for all x1, x2 ∈ [0,1],
2. g es una funci¶on de distorsi¶on estrictamente creciente.
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Si estamos interesados en medidas coherentes (concavidad de la
funci¶on de distorsi¶on) de¯nimos la propiedad de exhautividad.
De¯nici¶on: Una medida de riesgo basada en una distorsi¶on es
exhaustiva si es coherente y completa.
La diferencia entre medidas de distorsi¶on convexas y c¶oncavas
es que generan medidas super-aditivas o sub-aditivas, respecti-
vamente.
Caracterizaci¶on de las medidas exhaustivas en funci¶on de la derivada
de la funci¶on de distorsi¶on.
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• La coherencia no es sufuciente para evitar inconsistencias.
Las medidas deben ser completas.
• Las funciones c¶oncavas reponderan las p¶erdidas bajas por un
coe¯ciente < 1 y las p¶erdidas extremas por un coe¯ciente
> 1.
• Existe un punto donde la reponderaci¶on cambia y el inversor
decide asignar m¶as importancia a p¶erdidas superiores a ese
valor que aquellas inferiores.
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7. Conclusiones
• No existe consenso sobre que propiedades deben tener las
medidas de riesgo.
• Se observan inconsistencias en las medidas de riesgo m¶as
utilizadas en la pr¶actica: VaR y CVaR.
• Las inconsistencias son debidas a que la funci¶on de distorsi¶on
que de¯nen dichas medidas son constantes.
• El problema aparece al reponderar por cero las probabilidades
iniciales.
• Se de¯nen propiedades para evitar dichas inconsitencias: Com-
pletitud y exhaustividad.
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