F Í S I C A 2MECÁNICA
DE FLUIDOS
19/05/2012 10:13 a.m.
MECÁNICA DE FLUIDOS
FLUIDO. Es el estado de la materia que no tiene forma propia, adopta
la forma del recipiente que lo contiene
Tipos: líquidos, gases y plasma
Densidad. Es la relación entre la masa de una sustancia y el
volumen que ocupa. En cuerpos homogéneos la densidad se define
mediante la expresión:
Unidades:
Las densidades de diversas sustancias se encuentran en los textos de
física. En condiciones normales de temperatura (4°C) y presión (1 atm), la
densidad del agua es : o = 103 kg / m3 = 1 g / cm3
= m / V (1)
De donde: m = V (2)
Sistema. S. I : kg / m3 M.K.S gravitatorio : UTM / m3
C.G.S : g / cm3 Inglés gravitatorio : slug /pie3
Inglés : lb / pie3
19/05/2012 10:13 a.m. 2Segundo L. Gallardo Zamora
Densidad relativa o gravedad específica. Es la relación entre la
densidad de un fluido y la densidad del agua en condiciones
normales.
MECÁNICA DE FLUIDOS
La densidad relativa es un número sin unidades y sólo expresa la
proporción en que un fluido es más o menos denso que el agua.
Peso específico. Es la relación entre el peso de una sustancia y el
volumen que ocupa. En cuerpos homogéneos el peso específico se
define mediante la expresión:
r = / o(3)
= mg / V(4)
Por ejemplo: Si la densidad del acero es = 7,8x103 kg/m3,
entonces su densidad relativa es: r = 7,8x103 / 103 = 7,8. Esto
significa que el acero es 7,8 veces más denso que el agua
Como la densidad es = m / V, entonces el peso específico se pue-
de expresar en la forma = g (5)
19/05/2012 10:13 a.m. 3Segundo L. Gallardo Zamora
MECÁNICA DE FLUIDOS
Los pesos específicos de diversas sustancias se encuentran en los
textos de física. Las unidades son:
Presión. Es la relación entre la fuerza normal a una superficie y el
área de la misma.
A
Figura 1
Normal
Fn
P = Fn / A (6)
Sistema. S. I : N / m3 M.K.S gravitatorio : kgf / m3
C.G.S : din / cm3 Inglés gravitatorio : lbf / pie3
Inglés : pd / pie3
De donde:
Fn = P A (7)
Normal
A
Figura 2
F Fn = F cos
19/05/2012 10:13 a.m. 4Segundo L. Gallardo Zamora
Unidades:
MECÁNICA DE FLUIDOS
Sistema. S. I : N / m2 = Pascal = Pa
C.G.S : din / cm2
Inglés : pd / pie2
M.K.S gravitatorio : kgf / m2
Inglés gravitatorio : lbf / pie2
Otras unidades:1 bar = 106 din/cm2
Po = 1 atmósfera = 1 atm = 1,013 x 105 Pa
= 1,013 x 106 din/cm2
Presión Atmosférica. Es la presión que ejerce el aire sobre los
cuerpos que están dentro de él.
A nivel del mar (0 m de altura) y en condiciones normales de tempera-
tura ( 4°C), la presión del aire es de una atmósfera .
19/05/2012 10:13 a.m. 5Segundo L. Gallardo Zamora
Líquido Figura 3
Cuerpo
Presión en un fluido.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Todo cuerpo sumergido dentro de un fluido en reposo (líquido o gas)
está sometido a la presión que ejerce el peso del fluido que lo rodea
Esta presión produce fuerzas del tipo “Fi = P Ai” en todas direc-
ciones sobre cada área Ai del cuerpo donde actúan, tal como se
muestra en la Fig.3
Fi
19/05/2012 10:13 a.m. 6Segundo L. Gallardo Zamora
Cálculo de la presión en un líquido
MECÁNICA DE FLUIDOS
La presión dentro de un líquido homogéneo varia con la profundidad
respecto a la superficie libre del líquido.
Consideremos un volumen de líquido como el que se muestra en la
Fig.4, que está en equilibrio bajo las siguientes condiciones físicas:
Si en este líquido consideramos un
elemento cilíndrico de líquido con base de
área “A” y grosor dy , su volumen es:
d V = A dy.
Este elemento tiene una masa dm = d V =
A dy, y un peso d w = g A dy. Z
Y
X
Figura 4
d yA
ydw
Presión
atmosférica
P1 = PoSuperficie libre
Presión atmosférica (Po),
aceleración debido a la gravedad (g) y
densidad
19/05/2012 10:13 a.m. 7Segundo L. Gallardo Zamora
La presión sobre la cara lateral del elemento es la misma en todas
direcciones, pero sobre las bases superior e inferior las presiones son
diferentes por estar a diferentes alturas.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Y denominando por (p + dp) a la presión
que ejerce el líquido sobre la superficie
supe-rior del elemento, la fuerza ejercidaes F´= -(p + dp) A, dirigida hacia abajo
Como el elemento de fluido está en
equilibrio la suma de estas fuerzas en la
dirección Y es igual a cero.
Fy = p A – (p + dp) A – g A dy = 0
Z
Y
X
Figura 5
d y A
y
F´
dwF
Presión
atmosférica
P1 = Po
Superficie
libre
Si p es la presión que ejerce el líquido so-
bre la cara inferior del elemento, la fuerza
ejercida es F = p A, dirigida hacia arriba
Simplificando y dividiendo entre A obtenemos:dp
dy = – g (8)
19/05/2012 10:13 a.m. 8Segundo L. Gallardo Zamora
La Ec. (8) nos indica que la presión varía en forma constante con a la
altura respecto a la base del recipiente del líquido, en forma tal que
su valor disminuye medida que aumenta la altura “y”.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Para calcular la diferencia de presión entre
dos puntos dentro del líquido tomamos la
sección transversal de la figura anterior y lo
ubicamos sobre los ejes (X,Y) como en la Fig.
6. En esta sección transversal consideramos
el punto 1 ubicado a la altura y1, y el punto 2
ubicado a la altura y2, donde las presiones
son P1 y P2, respectivamente.
X
Y
Presión atmosférica
Figura 6
h = -(y1-y2)
La diferencia de presión entre los dos pun-
tos del líquido se obtiene integrando la
Ec.(8).
d p = - g dyy2
y1
p2
p1
•
y1
P11
P2 = P0
y2
• 2
19/05/2012 10:13 a.m. 9Segundo L. Gallardo Zamora
Obteniéndose:
MECÁNICA DE FLUIDOS
p2 - p1 = - g (y2 – y1 ) (9)
Según la Fig.6, vemos que P2 = P0, es la presión atmosférica y ladiferencia de alturas es: h = -(y1– y2 ).
Por lo tanto, la presión absoluta en el punto 1, a una profundidad
“h” dentro de un fluido de densidad uniforme, es:
p = p0 + g h (10)
De esta ecuación obtenemos la presión manométrica ( pm = p – po ), o
presión debido solamente al líquido por encima del punto.
pm = g h (11)
Esta ecuación nos indica que la presión dentro de un líquido
depende solamente de la profundidad “h” y no del volumen de
líquido o la forma del recipiente en el cual se mide, tal como se
demuestra con el dispositivo denominado paradoja hidrostática que
se muestra en la Fig. 7 de la siguiente página.
19/05/2012 10:13 a.m. 10Segundo L. Gallardo Zamora
Paradoja Hidrostática. Es un dispositivo formado por varios recipien-
tes de diversas formas conectados por su base al mismo nivel.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Según esta representación, la presión absoluta en el fondo de todos
los recipientes es la misma:
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = po + g h
p1 p3p4
p5p2• • • • •
h
popo po po po
•• • • •
Figura 7
19/05/2012 10:13 a.m. 11Segundo L. Gallardo Zamora
Ley de Pascal
MECÁNICA DE FLUIDOS
Esta ley indica que: “la presión aplicada a un fluido encerrado se
transmite sin variación por todo el fluido y a las paredes del
recipiente que lo contiene”.
Esto se demuestra con la prensa hidráulica de la Fig.8, cuando se
aplica una pequeña fuerza F1 en el émbolo de área menor y se
produce como efecto una fuerza mayor F2 en el émbolo de área
mayor.
Figura 8. Prensa hidráulica
A1 A 2
F1
F2P1
p2 = p1 = p
19/05/2012 10:13 a.m. 12Segundo L. Gallardo Zamora
La fuerza F1 ejercida en A1 produce la presión p = F1 / A1 que se
trasmite por todo el líquido sin variación y actúa sobre el área A2
produciendo la fuerza F2 = p A2 .
MECÁNICA DE FLUIDOS
F1 / A1 = F2 / A2
De donde: F2 = (A2 / A1 ) F1 (12)
Pero A2 > A1, entonces (A2 / A1 ) > 1
Como la presión es la misma tenemos que:
Por lo tanto: F2 > F1
Lo cual significa que la prensa hidráulica aumenta la fuerza, debido
al factor multiplicador (A2 / A1 ) >1.
2.- ¿Qué sucede si la fuerza externa se aplica en el émbolo de área mayor y el
efecto se mide en el émbolo de área menor? Ejemplo.
TRABAJO DOMICILIARIO 01.
1.- ¿Qué instrumentos se utilizan para medir la presión?
19/05/2012 10:13 a.m. 13Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplos.
MECÁNICA DE FLUIDOS
1.- El tubo en forma de U de la Fig.9 se llena parcialmente con agua.
Luego se agrega queroseno, de densidad 0,82 g/cm3, en el brazo
derecho del tubo formando una columna de 6 [cm] de altura.
Hallar la distancia h entre las superficies libres de los líquidos. ( h
= 1,1 cm)
h6 cm
agua
k
Figura 9
2.- Hallar la fuerza vertical F que debe aplicarse en la parte izquierda
de la prensa hidráulica de la Fig.10, para que el sistema se
mantenga en equilibrio. Considere que los émbolos no pesan. (F =
809,2 N)
2,5 [cm]
1 [m] 8,75 [cm]
1 [Tn]
F
Figura 10
agua
19/05/2012 10:13 a.m. 14Segundo L. Gallardo Zamora
MECÁNICA DE FLUIDOS
Las fuerzas ejercidas por el agua embalsada a una altura H en un
dique o presa varía linealmente con la profundidad, como se muestra
en la Fig.11. Cada fuerza dFi ejercida sobre un elemento de área dAi
de la pared vertical del dique es dFi = Pi dAi
Fuerzas contra un dique.
La resultante F de
estas fuerzas tien-
de a deslizar la pa-
red a lo largo de su
base (Fig.11. a) y
en cierto instante
tiende a volcarlo
alrededor del punto
O, mediante el
torque que gene-
ra, (Fig.11. b)
O
HdFi
hi
Figura 11.
Fuerzas
sobre un
dique
(a)F
(b)
O
HdFi
hi
F
19/05/2012 10:13 a.m. 15Segundo L. Gallardo Zamora
Para calcular la fuerza normal resultante y el torque o momento sobre la
pared vertical del dique que da frente al agua, alineamos la pared con el
plano (X;Y) como se muestra en la (Fig.12)
MECÁNICA DE FLUIDOS
En esta cara consideramos una
franja de longitud L, ancho “dy”,
ubicada a una altura “y” sobre la
base del dique (Eje X).
Figura 12
L
X
Y
Z
H
(H – y) = h
y
dyLa fuerza normal sobre la franja
de área dA = L dy es:
dF = P dA = P L dy
dF = g (H - y) L dy
No se toma en cuenta la presión atmosférica porque actúa sobre
ambas caras del dique. Por lo tanto, la fuerza normal a la franja es:
donde la presión ejercida por el
agua es:P = g h = g (H - y)
dF
19/05/2012 10:13 a.m. 16Segundo L. Gallardo Zamora
MECÁNICA DE FLUIDOS
El torque o momento de la fuerza dF respecto al eje X es:
d = y d F = g (H - y) L y dy
Por lo tanto, el torque total es:
Para hallar la fuerza resultante sobre la pared vertical integramos el
diferencial anterior.
F = ½ g L H2 (13)
= g L H31
6 (14)
0 dF = 0 g (H - y) L dyHF
0 d = 0 g L (H - y) y dyH
Este torque también se puede definir como el producto vectorial:
donde H´ es el vector posición de la línea de acción de la fuerza
resultante F, respecto al eje de rotación (eje X).
= H´ x F
19/05/2012 10:13 a.m. 17Segundo L. Gallardo Zamora
Entonces igualando torques.
MECÁNICA DE FLUIDOS
F H´ = = g L H31
6
Reordenando y simplificando obtenemos:
H´ = H1
3 (15)
F H´ = g L H3 = ( ½ g L H2 ) H1
6
1
3
Este resultado nos indica que la altura
H´ de la línea de acción de la fuerza
resultante F, está ubicada a 1/3 de la
altura H del agua, respecto a la base
del dique, o a 2/3 por debajo de la
superficie libre, como se muestra en la
Fig.13.
O
F
2H/3
H/3
Figura 13. Ubicación de la línea de ac-
ción de la fuerza neta sobre un dique.
F H´ = F H1
3
19/05/2012 10:13 a.m. 18Segundo L. Gallardo Zamora
MECÁNICA DE FLUIDOS
Para determinar la dirección del torque usamos la Fig. 14, donde vemos
que: H´= H´ j y F = - F k.
= (H´ j ) x (-F k )
H´ F
Figura 15
Por lo tanto, el torque es:
Según la Fig.5, el torque es un vector paralelo al eje –X.
= - H´ F i
19/05/2012 10:13 a.m. 19Segundo L. Gallardo Zamora
k
j
i
+X
Y
+Z
H´
F
Figura 14
2H/3
H/3 = - (H/3) F i (16)
Ejemplos
3. La presa de Gallito Ciego sobre el río Jequetepeque mostrada en la
Fig.16, tiene una capacidad máxima de almacenamiento de 6x108 [m3]
de agua, con una cortina de longitud promedio de 700 [m] y altura de
104 [m]*. Calcular la fuerza que ejerce el agua sobre la cortina y la
posición de su línea de acción cuando está llena a su máxima capaci-
dad.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Fig.16
Cortina de
agua
*Datos iniciales del proyecto,
los cuales están cambiando
debido a la colmatación de
tierra que arrastra el agua
turbia.
19/05/2012 10:13 a.m. 20Segundo L. Gallardo Zamora
Solución. La fuerza resultante normal a la sección transversal verti-
cal de la presa (Fig.17) se obtiene usando la Ec.13. Esto significa re-petir la integral de la fuerza dF que actúa sobre la franja de área dA, desde y = 0 hasta y = H.
MECÁNICA DE FLUIDOS
F = ½ (103)(9,81)(700)(104)2
F = 3,71 x1010 N
La posición de la línea de ac-
ción de esta fuerza, respecto a
la base de la presa, se obtiene
usando la Ec,(15)H´ = (104)1
3
F = ½ g L H2
H´= 34,67 m
Usando valores.
Figura 17
H
L y
dydF
Y
X
Z
0 dF = 0 g (H - y) L dyHF
H
19/05/2012 10:13 a.m. 21Segundo L. Gallardo Zamora
4.- El agua de una presa está a nivel del borde superior de la compuerta
cuyas dimensiones son 2,00 [m] de alto, 4,00 [m] de alto, y pivota
sobre una línea horizontal que pasa por su centro, como se indica en
la Fig.18. Calcular el torque, respecto al pivote, causado por el agua y
ubique la línea de acción de la fuerza neta sobre la compuerta.
(Sugerencia: Utilice un procedimiento similar al que se aplicó para
obtener la Ec. 14).
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 18
Pivote
Agua
Compuerta
= - g L H31
12
Donde ubica a la
línea de acc19/05/2012 10:13 a.m. 22Segundo L. Gallardo Zamora
Principio de Arquímedes
MECÁNICA DE FLUIDOS
Según este principio: “todo cuerpo sumergido total o parcialmente
en un fluido sufre la acción de una fuerza de empuje de abajo hacia
arriba que es igual al peso del fluido desalojado por el cuerpo”. La
“fuerza de empuje” también se denomina “fuerza de flotación”
Vc
Figura 19
c
Bloque
Volumen de liquido desalojadoVolumen de cuerpo sumergido =
Vc V´
Vc = V´
El proceso de desalojo de fluido por el cuerpo sumergido se muestra
en la Fig.19
19/05/2012 10:13 a.m. 23Segundo L. Gallardo Zamora
Entonces, según el principio de Arquímedes:
MECÁNICA DE FLUIDOS
El punto donde actúa el empuje se denomina
Centro de Carena (C.C), el cual a su vez es el C.G
del volumen de fluido desalojado.
Figura 20
V´
EE = g V ' (16)
Posiciones de flotación
Figura 21
c
C.G
mg
C.C
E
Y
X
Caso 1. Si el cuerpo flota en equilibrio
con su volumen parcial o totalmente
sumergido, es porque el empuje y el
peso del cuerpo están en equilibrio.
Fy = E – m g = 0 E = m g
C.C
Peso de liquido
desalojado
Fuerza de empuje sobre
el cuerpo sumergido =
19/05/2012 10:13 a.m. 24Segundo L. Gallardo Zamora
Caso 2.- Si el cuerpo se hunde es
porque su peso es mayor que el
empuje.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 22
Fy = E – m g = - m a
E = m ( g – a )
C.G
mg
C.C
E
a
X
Y
Caso 3.- Si el cuerpo sale a flote
en el líquido, es porque el
empuje es mayor que el peso
del cuerpo.
Figura 23 X
Y
C.G
mg
aC.C
E
Fy = E – m g = m a
E = m ( g + a )
19/05/2012 10:13 a.m. 25Segundo L. Gallardo Zamora
Preguntas conceptuales. 1.- Explicar ¿por qué los submarinos pueden
flotar entre dos aguas?
2.- ¿Qué sucede con la línea de flotación de un barco cuando ingresa
del océano atlántico al río amazonas ?
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 24
W´
E
W
Fy = W´ + E – W = 0
W - W´ = E (17)
En la escala de la balanza de la Fig. 24,
se lee el peso aparente W´ del cuerpo.
Por lo tanto, la aparente pérdida depeso se expresa como: (W – W´) y se
obtiene de la ecuación de equilibrio:
Pérdida aparente de peso.
Todo cuerpo sumergido en un fluido sufre una aparente pérdida de
peso debido al empuje del fluido.
Escala
Tarea de lectura: Presentar un resumen de lectura sobre tensión
superficial y capilaridad
19/05/2012 10:13 a.m. 26Segundo L. Gallardo Zamora
Ejemplos.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 25
o
c
Dinamómetro
5- El bloque metálico de la Fig.25, tiene una
masa de 12 [kg], aristas 20 [cm], 24 [cm] y
30[cm], con la arista mayor en dirección
vertical. El bloque se suspende de un
dinamómetro y se introduce en agua de
forma tal que la cara superior del bloque
sobresale del agua en 8 [cm]. Calcular la
lectura en la escala del dinamómetro.
6.- Un bloque cúbico de madera de 10 cm de
arista flota en la interfaz de aceite y agua con
su cara inferior a 2 cm por debajo del agua,
como se indica en la Fig.26. Si la densidad
del aceite es 0,750 g/cm3, calcular a) la masa
del bloque, b) la presión en la cara superior e
inferior del bloque.
Aceite
Agua
10 cm
10 cm
Figura 26
a
o
c
19/05/2012 10:13 a.m. 27Segundo L. Gallardo Zamora
Flujo de un fluido
MECÁNICA DE FLUIDOS
Flujo de fluido incompresible. Es aquel donde la variación de densi-
dad dentro del flujo es insignificante, es decir que = constante. Si
la densidad del fluido cambia decimos que tenemos un Flujo de
fluido compresible
Los líquidos en general son incompresibles y en el caso de los
gases también se pueden considerar como incompresibles si las
velocidades del flujo son pequeñas comparadas con la velocidad del
sonido en tal fluido.
El comportamiento de un fluido que fluye o esta en movimiento pue-
de ser muy complicado, salvo que consideremos un fluido ideal. Es
decir un fluido que sea incompresible, no viscoso y estacionario
Viscosidad. Es la dificultad que presentan los fluidos para moverse,
debido al pequeño rozamiento existente entre las capas adyacentes
del mismo, cuando son sometidos a fuerzas tangenciales de corte
como se indica en la Fig.24.
19/05/2012 10:13 a.m. 28Segundo L. Gallardo Zamora
MECÁNICA DE FLUIDOS
El flujo es laminar si el fluido se mueve a bajas velocidades y sus
capas están perfectamente ordenadas y estratificadas, de manera que
las moléculas adyacentes del fluido se deslizan suavemente sobre
líneas de corriente paralelas, sin entremezclarse como en la Fg. 28(a)
Teniendo en cuenta la viscosidad el flujo del fluido puede ser de tipo
laminar o de tipo turbulento.
Figura 28. Forma de las
líneas de corriente en un
flujo laminar y en un flujo
turbulento(a). Flujo laminar (b) Flujo Turbulento
F
Figura 27. Desplazamiento de las
capas adyacentes de un fluido en
movimiento
19/05/2012 10:13 a.m. 29Segundo L. Gallardo Zamora
Un fluido no viscoso es un modelo de fluido ideal donde no existen las
fuerzas de rozamiento entre capas adyacentes.
Líneas de
corriente
El flujo es turbulento si la rapidez del fluido es alta y a través de obs-
táculos que causan cambios abruptos de la velocidad, dando lugar a
un flujo irregular y caótico. Las líneas de corriente se entremezclan,
como se muestra en la Fig.28.
MECÁNICA DE FLUIDOS
El flujo de los ríos de la sierra o el flujo del aire alrededor de las alas
de un avión que se desplaza a velocidades es de tipo turbulento
alrededor de sus alas, como se muestran en la Fig.29.
Figura 29. Flujo de aire alrededor de un ala de avión para diferentes ángulos
de ataque. Los flujos en los gráficos 1,2,3 son de tipo laminar y en los
gráficos 4,5 y 6 son de tipo turbulento.
19/05/2012 10:13 a.m. 30Segundo L. Gallardo Zamora
Flujo estacionario. El flujo es estacionario si la distribución global
del flujo no cambia con el tiempo. En este tipo de flujo las líneas de
corriente no se intersectan y la velocidad de la partícula en cada pun-
to es independiente del tiempo.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Ecuación de continuidad. Esta ecuación expresa el principio de
conservación de la masa de un fluido en movimiento.
Esto significa que en el tubo
de flujo de la Fig. 30, la masa
de fluido que ingresa por
unidad de tiempo por la
sección transversal A1 es
igual a la que sale por la
sección transversal A2 del
tubo.
Figura 30 Líneas de
corriente en un tubo
de flujo estacionario
v1A1
v2
A2
19/05/2012 10:13 a.m. 31Segundo L. Gallardo Zamora
Líneas de
corriente
En la Fig.30, vemos que en un tiempo dt muy corto, el fluido que pasa
por A1, con velocidad v1 se mueve una distancia S1 = v1 dt, llenando
un cilindro de volumen dV1 = A1v1 dt.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Como el flujo es incompresible, la masa dm1 que fluye al interior del
tubo de base A1 en el tiempo dt es:
dm1 = A1 v1 dt
De igual forma, la masa de fluido dm2 que sale del tubo de base A2 en
el tiempo dt es:dm2 = A2 v2 dt
Como el flujo es estable: dm1 = dm2
A1 v1 dt = A2 v2 dt
A1 v1 = A2 v2
Durante el mismo tiempo, el fluido pasará por A2 con velocidad v2 lle-
nando el cilindro de volumen dV2 = A2v2 dt
19/05/2012 10:13 a.m. 32Segundo L. Gallardo Zamora
Como la densidad del fluido en la misma, podemos simplificar y tener:
MECÁNICA DE FLUIDOS
A1 v1 = A2 v2 (18)
Esta ecuación indica que la cantidad de fluido que pasa por
cualquiera sección del tubo es constante.
El producto A v = Q, es la constante denominada caudal y expresa la
rapidez con que un volumen del fluido pasa a través de una sección
transversal del tubo de flujo.
E caudal se mide en: m3/s, cm3/s, lt/s, pie3/s.
Principio de Bernoulli.
Este principio es una aplicación del teorema “trabajo-energía” al flujo
de un fluido ideal. Una forma simple de enunciar este principio es
como sigue:
Donde la rapidez de un fluido aumenta, su presión interna
disminuye
19/05/2012 10:13 a.m. 33Segundo L. Gallardo Zamora
Este enunciado explica el aumento de rapidez de un fluido en la sec-
ción transversal angosta de un tubo de flujo donde las líneas de
corriente se juntan, y la presión interna disminuye.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Para deducir la ecuación de Bernoulli,
consideramos, un elemento de fluido
que en un tiempo inicial está entre los
puntos y del tubo de flujo, Fig.31.1 2
En un tiempo corto dt el fluido avanza
una distancia d S1 = v1 dt en la parte
inferior y una distancia d S2 = v2 dt en
la parte superior.
Como el fluido es incompresible, el vo-
lumen que pasa por cualquier sección
transversal durante el tiempo dt es:
dV = A1 v1 dt = A2 v2 dt
19/05/2012 10:13 a.m. 34Segundo L. Gallardo Zamora
v1A1
A2
Figura 31
y1
v2
1
2
y2
El trabajo neto efectuado sobre el elemento por el fluido circundante
durante un desplazamiento ds es
MECÁNICA DE FLUIDOS
Donde F1 es la fuerza ejercida por la
presión P1 sobre A1
F1 = P1 A1
dW = F1 ds1 – F2 ds2
Por lo tanto el trabajo neto es:
dW = P1 A1 ds1 – P2 A2 ds2
= (P1 – P2 ) dV (19)
19/05/2012 10:13 a.m. 35Segundo L. Gallardo Zamora
v1A1
A2
Figura 32
y1
v2
1
2
y2
P1A1
y F2 es la fuerza ejercida por la presión
P2 sobre A2
F2 = P2 A2
Esta fuerza es negativa porque se
opone al desplazamiento del fluido.
Este trabajo sirve para variar la energía potencial gravitatoria y la
energía cinética del elemento de masa “dm “ del fluido
MECÁNICA DE FLUIDOS
La variación de energía potencial gravitatoria del elemento de masa
dm del fluido es:
dU = dm g y2 - dm g y1
dU = dV g (y2 – y1 ) (20)
y la variación de energía cinética del elemento de masa dm es:
d K = ½ d m (v2)2 – ½ dm (v1)
2
d K = ½ d V (v22 – v1
2 ) (21)
Por lo tanto, el trabajo efectuado es:
dW = dU + dK
(P1 – P2 ) d V = d V g (y2 – y1 ) + ½ d V (v22 – v1
2 )
19/05/2012 10:13 a.m. 36Segundo L. Gallardo Zamora
Simplificando “dV” obtenemos la ecuación de Bernoulli en términos de
presiones
MECÁNICA DE FLUIDOS
P1 – P2 = g (y2 – y1 ) + ½ (v22 – v1
2 )
En esta es la ecuación se tiene que:
P1 – P2 , es la diferencia de presión interna entre dos puntos del
fluido,
g (y2 – y1 ), es la diferencia de presión debido al peso del fluido y
la diferencia de altitud entre dos puntos del fluido.
½ (v22 – v1
2 ), es la diferencia de presión debido al cambio de
rapidez del fluido.
La ecuación anterior puede también expresarse en la siguiente forma:
O en forma general:
P1 + g y1 + ½ v12 = P2 + g y2 + ½ v2
2 (22)
P + g y + ½ v2 = constante (23)
19/05/2012 10:13 a.m. 37Segundo L. Gallardo Zamora
TRABAJO DOMICILIARIO 02.
Explicar qué es y luego deducir la ecuación relacionada con las
siguientes aplicaciones de la mecánica de fluidos.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Teorema de Torricelli.
El contador de Venturi
Tubo de Pitot
Ejemplos.
7. Por una tubería horizontal estrecha fluye agua. La presión es de
5,4x104 [Pa] en un punto donde la rapidez es de 2 [m/s] y el área
es A. Hallar la rapidez y la presión en otro punto de la tubería
donde el área es A / 4.
19/05/2012 10:13 a.m. 38Segundo L. Gallardo Zamora
8. El tubo horizontal de la Fig.33 tiene un área de 40,0 [cm2 ] en las por-
ciones más anchas y de 10,0 [cm2 ] en la constricción. Si la descarga
de agua por el tubo es de 5,00x10-3 [m3/s], calcular: a) la rapidez del
flujo en las porciones ancha y angosta, b) la diferencia de presión
entre estas porciones y c) la diferencia de altura entre las columnas
de mercurio en el tubo en forma de U.
MECÁNICA DE FLUIDOS
h
Figura 33 Figura 34
1
2
h
h'
h2
h1
m
o
9. En la Fig.35 se tiene un medidor de Venturi inclinado. a) calcular la di-
ferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería gruesa por
la cual circula agua, sabiendo que el líquido en el tubo de Venturi tie-
ne una gravedad específica de 3,6 y además: h = 0,6 [m], y h´ = 0,45
[m]. b) Hallar la velocidad del agua en los puntos 1 y 2, sabiendo que
19/05/2012 10:13 a.m. 39Segundo L. Gallardo Zamora
los diámetros interiores del tubo son 50 [cm] y 10 [cm] respectiva-
mente. c) Para la misma diferencia de presiones entre los puntos 1
y 2 obtenida en (a), ¿cuál es el desnivel entre las ramas del tubo de
Venturi, si hubiésemos usado un líquido de gravedad específica de
1,95?
MECÁNICA DE FLUIDOS
10. Por una tubería oblicua de sección
variable como la de la figura ad-
junta fluye agua en forma
estacionaria Hallar la velocidad con
que fluye el agua en el punto (2)
donde el diámetro de la sección
transversal es la mitad de la que
tiene en el punto (1) y la diferencia
de presiones entre estos puntos es
(P1 – P2) = 2 [atm]. Recuerde que: 1
atm = 1,013x105 [Pa].
1
2
5,30 [m]
1
2
5,30 m
10,50 m
Figura 47
19/05/2012 10:13 a.m. 40Segundo L. Gallardo Zamora
Energía del viento.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Como la mayoría de las fuentes de energía terrestre, la energía del
viento o energía eólica proviene en última instancia del sol. El sol
irradia 1,74x1014 kilovatios/hora de energía a la tierra. De esta
energía aproximadamente entre el 1 y el 2 por ciento se convierte en
viento.
La energía solar genera diferencias de temperatura que hacen
circular el aire desde zonas de alta presión (zonas frías) en los polos
hacia zonas de baja presión (zonas calientes) en el ecuador.
Las regiones alrededor de ecuador, de latitud 0°, son calentadas, por
el sol, más que el resto del planeta. Como el aire caliente es más
ligero que el aire frío, se eleva hasta alcanzar aproximadamente 10
kilómetros de altitud y se separa en dos corrientes una que se dirige
hacia el norte y otra hacia el sur. Si el globo no rotara, el aire simple-
mente llegaría al Polo Norte y al polo sur, luego bajaría, y volvería al
ecuador.
19/05/2012 10:13 a.m. 41Segundo L. Gallardo Zamora
La energía eólica ha sido aprovechada por el ser humano desde hace
siglos, utilizando velas para mover sus barcos, molinos de viento para
moler granos o extraer agua de pozos y actualmente para obtener
energía eléctrica.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Existen diversos tipos de molinos de viento, algunos de los cuales se
muestran en la Fig. 36
Figura 36. Molinos de viento con rotor de aspas: (a), (b) , (c) y rotor de Darrieus: (d).
(a) (b) (d)(c)
19/05/2012 10:13 a.m. 42Segundo L. Gallardo Zamora
Cálculo de la energía eólica
La energía eólica es la energía cinética de las partículas de aire que se
mueven con velocidad v.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Esta energía se aprovecha básicamente
mediante un rotor que gira al paso del
viento, describiendo una superficie circu-
lar de diámetro D perpendicular a la
dirección del viento. (Fig. 37)
Figura 37.
D
La animación muestra la porción cilín-
drica de aire que pasa a través del rotor de
un aerogenerador típico en un tiempo t.
La energía del viento depende de:
: Densidad del viento (Aire)
A = D2/4: Área de barrido del rotor
por donde para el viento
V : velocidad del viento
19/05/2012 10:13 a.m. 43Segundo L. Gallardo Zamora
En un tiempo t pasa a través de esta superficie una masa de aire:
MECÁNICA DE FLUIDOS
m = V = A v t = ¼ D2 v t
Por lo tanto, la energía cinética del viento es
Ek = ½ m v2 = 1/8 D2 v3 t
Según esta ecuación la potencia eólica depende del cubo de la veloci-
dad del aire. Por lo tanto, la velocidad es el factor más importante a la
hora de calcular la energía eólica.
La energía eólica se mide en Kilowatios hora (KWh) o Megavatios
hora (MWh), junto con la unidad de tiempo durante la que se ha
hecho la medida (hora, día, mes, ...)
En la industria eólica esta potencia se calcula utilizando el aire seco
de densidad promedio = 1,225 kg/m3, a la presión de 1 atmósfera y
temperatura de 15° C.
Y la potencia es P = 1/8 D2 v3 (24)
19/05/2012 10:13 a.m. 44Segundo L. Gallardo Zamora
Generalmente es más útil considerar la Intensidad del viento que se
define como la potencia por unidad de área.
MECÁNICA DE FLUIDOS
I = P A
La unidades SI de la intensidad son: [ W / m2 ]
Se demuestra que la máxima intensidad eólica de un generador ideal
de viento es:
I = ½ v3 (25)
I = 8 / 27 v3 (26)
Ejemplo.
11.- Calcular la potencia de salida de un molino de viento que tiene
aspas de 10 [m] de diámetro y que es montado en un lugar
donde la rapidez del viento es de 28,9 [km/h]. Suponga que la
eficiencia del sistema sea del 20%.
19/05/2012 10:13 a.m. 45Segundo L. Gallardo Zamora
TRABAJO DOMICILIARIO 03
MECÁNICA DE FLUIDOS
1. a) Hallar la presión absoluta en el fondo de un lago de 48 [m] de profun-
didad. b) ¿A qué profundidad la presión absoluta es tres veces la
presión atmosférica?
2. Un tubo cilíndrico como de la Fig.38 contiene tres líquidos no miscibles
de diferentes densidades y volúmenes, tales que: 1 < 2 < 3. En la
figura, ordenar los líquidos según sus densidades y correspondientes
alturas, y luego hallar la fuerza total ejercida sobre el fondo del reci-
piente cuyo radio es R.
3. ¿Cuál es la presión PA del aire atrapado en la parte superior del depósito
de la Fig.39. La densidad relativa del aceite es 0,8 y del mercurio 13,6.
Figura 39Figura 38
h
h
h
aire PA
aceite
agua
3,0 m4,5 m
12 cm
mercúrio
19/05/2012 10:13 a.m. 46Segundo L. Gallardo Zamora
4. Un hombre de peso 72 [kgf] está parado sobre un émbolo que tiene 1200
[cm2] de área, el mismo que está sobre un fuelle con agua, como se indica en la Fig.40. Hallar: a) La altura h que subirá el agua en el tubo vertical y b) ¿qué altura subirá el agua si el área del émbolo se redujera a la mitad?
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figur
a
Figura 40
5. En la Fig.41 se muestra una esfera de 4,5 [kg] pegada a un resorte en
equilibrio que soporta un empuje constante de 34 [N] debido a una
deformación de 2 [cm]. Si todo el sistema acelera hacia arriba a razón de
18 [m/s2], manteniendo constante el empuje. Determinar la nueva
deformación del resorte.
6. En la Fig.42 se muestra una cuerda rodeando la quinta parte de la super-
Figura 41
Agua
h Agua
Figura 42
líquido
R
19/05/2012 10:13 a.m. 47Segundo L. Gallardo Zamora
ficie de una esfera compacta de peso específico 4,2 [gf/cm3] y radio 2 [m].
Si la esfera se halla sumergida hasta la mitad, calcular la tensión en la
cuerda, si el líquido tiene un peso específico de 13,6 [gf/cm3].
MECÁNICA DE FLUIDOS
7. Una esfera hueca de acero con diámetro exterior 10,0 [cm], flota en agua
sumergida a ras. Si la densidad relativa del acero es 7,86, ¿cuál es el es-
pesor de la esfera?8. El doble del peso aparente de un cuerpo sumergido en un líquido de den-
sidad 0,30 [g/cm3], excede a su pérdida aparente de peso en aceite, en 5
veces el peso aparente del mismo sumergido en agua. Si la densidad del
aceite es 0,8 [g/cm3], ¿cuál es la densidad del cuerpo?
9. Una barra uniforme de 5 [m] de longitud y peso 40
[kgf] está suspendida mediante una cuerda en el
extremo A, como se indica en la Fig.43. Si en el
extremo B se coloca un lastre de 5 [kgf] la barra
flota con la mitad sumergida. Despreciando el
empuje sobre el lastre, cal-cular el empuje sobre
la barra y la tensión de la cuerda.
L/2
Lastreagua
A
B
Figura 43
19/05/2012 10:13 a.m. 48Segundo L. Gallardo Zamora
10. En el punto O del recipiente delgado de la Fig.44 se abre un orificio pe-
queño. ¿Qué altura máxima respecto al nivel del punto O alcanzará el chorro de agua?
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 44
H
30°
agua
11. El sifón de la Fig.45 es usado para transferir agua del depósito A hacia el
depósito B que está a un nivel más bajo. El diámetro interior del sifón es
1,50x10-2 [m] y la elevación del punto 1 es de 0,930 [m] arriba del punto
2. Calcular: a) la presión en el punto 1, b) la rapidez del agua en los
puntos 1 y 2 y c) el caudal del flujo de agua.
Figura 45
A
B
1
2
12. El agua en la presa de la Fig. 46 está a nivel del borde superior de la
com-puerta que tiene las dimensiones siguientes: altura H = 2,80 [m]
y largo L = 5,60 [m]. La compuerta puede pivotar alrededor de un eje
19/05/2012 10:13 a.m. 49Segundo L. Gallardo Zamora
ubicad a una profundidad “3H/5” por debajo del espejo de agua, tal como
se indica en la figura. Calcular el torque respecto del pivote causado por el
agua e indique con una flecha el sentido en que girará la compuerta al
pasar el agua.
MECÁNICA DE FLUIDOS
Figura 46
3H/4
Compuerta
Pivote
agua
3H/5
13. Calcular la potencia de salida de un molino de viento que tiene aspas de
10 [m] de diámetro y la rapidez del viento es de 8 [m/s]. Suponga que la
eficiencia del sistema sea del 20%.
14. Calcular la potencia de salida de un generador de viento con aspas de
60 [m] de diámetro. Suponer que la velocidad del viento es de 10 [m/s]
y una eficiencia del 15% en el generador.FIN
19/05/2012 10:13 a.m. 50Segundo L. Gallardo Zamora
Top Related