MAXIMOS Y MÍNIMOS

CONCEPTO

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Paso 1. Encuentref ' ( x ) y determine los puntos críticos, esto es, los puntos en donde f ' ( x ) es cero o no existe.Paso 2. Los puntos críticos dividen al dominio de f en varios intervalos.En cada intervalo seleccionamos un punto de prueba y calcular f 'en ese punto. Si el valor es positivo, entonces f es una función creciente en todo el intervalo correspondiente.Si el valor de f ' ( x ) en el punto de prueba es negativo, entonces f es decreciente en ese intervalo.Paso 3. Si f ' es positiva a la izquierda y negativa a la derecha de un punto crítico, entonces ese punto es un máximo local. Si f ' es negativa a la izquierda y positiva a la derecha de un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo local. Si f ' tiene el mismo signo en ambos lados de un punto crítico, entonces ese punto no es un extremo local.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Paso 1. Encontrar f ' ( x ) y determinar los puntos críticos. Sea x=c un punto crítico en el que f ' ( c )=0 entonces la prueba de la segunda derivada no puede utilizarse.Paso 2. Encontrar f ' ' (x ) y evaluarla cuando x=c .Paso 3. Si f ' ' (c )<0, entonces f tiene un máximo local en x=c . Si f ' ' (x )>0, entonces f tiene un mínimo local en x=c . Si f ' ' (c )=0 o f ' ' (c ) no está definida, entonces la prueba falla.

APLICACIÓN

(Costo mínimo) Se debe construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. No tendrá tapa. El tanque necesita una capacidad de 4 metros cúbicos de agua. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de $10 por metro cuadrado. ¿Qué dimensiones del tanque minimizan el costo del material?