1
MATEMÁTICA II
Prof. NORMA ACOSTA TAFUR
Licenciada en Matemática PuraMagíster en Docencia Universitaria
Doctorado en Educación
normaflor23@ yahoo. com.br
EVALUACIÓN
3 Prácticas Calificadas (Lunes)
Examen Parcial y Final (Lunes)
Evaluación Continua (Mensual)
Puntualidad
Tareas
Talleres
Evaluación Individual
Participación en clase
4
MATRICES
MATEMÁTICA II
4
1
2
0
5
3
A
5
MATRIZ
Ejemplo:
Es una matriz de 3 filas y 2 columnas
Por definición es un arreglo de números ordenados en
filas y columnas.
COLUMNAS
FILAS
Orden de una matriz Esta dado por el número de
filas y columnas.
4
1
2
0
5
3
A
3x2
1 3/2 2
3/2 2 5/2B
2x3
En general:
nxmmnmm
n
n
a...aa
.
.
.
.
a...aa
a...aa
A
21
22221
11211
A = [ aij ]m x n
672
014
523
C
3x3
2
jiSi,ji
jiSi,ji
aij
2
2
232221
131211
aaa
aaaA
7
Construcción de una Matriz
Construir la siguiente matriz:
A = [ aij ]2x3 tal que:
a11 = ,a12 =
a13 = ,a21 =
a22 = ,a23 =
Solución:
1 3/2
2 3/2
2 5/2
1 3/2 2
3/2 2 5/2A
1ero
2do
3ero
54
31
52
1
y
x23 yx
2340
31
52
x
A
32435
012
x
TA
8
IGUALDAD DE MATRICES
TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ
Definición.- Si A es de orden m x n , entonces AT es de orden n x m
( la transpuesta cambia filas por columnas).
PROPIEDAD: (AT)T = A
Ejemplo:
Ejemplo:
Dos matrices son iguales si y solo si, tienen el mismo
orden y los mismos elementos.
131
0
2
x
C
9
Matriz fila
B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 5
Matriz columna
CLASES DE MATRICES Matrices Especiales
Matriz Nula Matriz Cuadrada
Matriz Diagonal Matriz identidadMatriz Escalar
430000
0000
0000
x
O
500
010
002
A
700
070
007
B
33100
010
001
x
I
33672
014
523
x
A
Diagonal principal
300
150
941
A
7863
0129
0057
0003
B
11
Matriz Triangular superior.-
Matriz Triangular inferior.-
TAA
bc
caA
cfe
fbd
eda
A
Matriz Simétrica
La Diagonal principal
toma cualquier valorExtremos iguales
3
TAA
0
0
c
cA
0
0
0
fe
fd
ed
A
Matriz Antisimétrica
La Diagonal principal
son cerosExtremos iguales con
signo diferente
OPERACIONES CON MATRICES
MATEMÁTICA II
Norma Flor Acosta Tafur
SUMA Y RESTA DE MATRICES
Definición.-
y
Ejemplos:
2x32x312
52
87
810
50
32
2x3712
02
55
mxnmxnmxnCBA
ijijijbac
3232041
423
431
012
xx 32472
411
x
MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR
• Ejm:
704
1532 )7)(2()0)(2()4)(2(
)1)(2()5)(2()3)(2(
mxnijkakA ][
1408
2106
PROPIEDADES IMPORTANTES
1. (A + B)T = AT + BT
2. (AT)T = A
3. (kA)T= kAT
Si A y B son matrices del mismo orden y k es un número
real, entonces:
MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
Ejemplo:
1274
9532
0123
035
412
4332.BA
xx
42 x
C
C14 =
C12 =
C13 =
C21 =2(3) + ( 1)( 2)+4( 4) =
C22 =
C23 =
C24 =
C11 =
2(2) + ( 1)(3) + 4(7) =
2(1) + ( 1)(5) + 4( 2) =
2(0) + ( 1)(9) + 4(1) =
5(3) + (3)( 2) + 0( 4) =
5(2) + (3)(3) + 0(7) =
5(1) + (3)(5) + 0( 2) =
5(0) + (3)(9) + 0(1) =
29
11
5
9
19
20
27
mxpnxpmxnCBA .
8
C11 C12 C13 C14
C21 C22 C23 C24
4
2 - 4 2
0 1 -3
M =
2 1
0 4
2 2
N =
2 3 4A =
7
5
11
Q =
Hallar el producto de matrices
El producto de dos matrices
no siempre es conmutativo
Hallar AB y BA , si :81
30
20
31B , A
162
273AB
AB BA
191
60BA
21
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES
1. (AB)T = BTAT
2. AI = IA = A
AA .A3.2
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