Matematiques aplicades a la vida quotidiana
Francesc Rossello
UOM, 2012
Matematiques en la vida quotidiana
2 de 64
Hem d’anar alerta. . .
3 de 64
Hem d’anar alerta. . .
6,09/12 = 0,5075!!
4 de 64
Hem d’anar alerta. . .
11,14/24 = 0,4641! 11,14/22 = 0,5064!!
5 de 64
Hem d’anar alerta. . .
“La capilla ardiente [de Lola Flores],instalada a las cuatro de la tarde deayer, ya ha sido visitada por mas de500.000 personas”
(Cadena Ser, 18/5/1995, 8h)
500.000 persones/16 hores = 31.250persones per hora
31.250 persones/3600 segons = 8,7persones per segon
6 de 64
Hem d’anar alerta. . .
(El Paıs, 20/5/2009)7 de 64
Hem d’anar alerta. . .
8 de 64
Hem d’anar alerta. . .
La Comissio Europea estima que el programa pan europeu eCallte el potencial de estalviar fins a 2500 morts anuals a l’Europadels 25 quan estigui completament operatiu.
(Text original de l’informe)
9 de 64
Hem d’anar alerta. . .
(Diario de Mallorca, 9/11/2009)10 de 64
Hem d’anar alerta. . .
“Balears cuenta con 51.772 piscinas. [. . . ] la extension media deestos estanques de bano ronda los 32 metros cuadrados. Si secolocaran juntos ocuparıan cerca de 165 metros cuadrados, casiuna cuarta parte del municipio de Buger estarıan inundadas. Conuna capacidad media de 40 metros cubicos, todas las piscinasprivadas de las islas casi doblan la capacidad de los embalses delGorg Blau y Cuber.
(Diario de Mallorca, 9/11/2009)
51.772 · 32 = 1.656.704 m2 = 165,6704 Hm2
51.772 · 40 = 2.070.880 m3 = 2,070.88 Hm3
Volum total del Gorg Blau i Cuber: 12 Hm3
11 de 64
Hem d’anar alerta. . .
El 25 d’abril de 2006, en Mariano Rajoy presenta en el registredel Congres de Diputats 4 milions de firmes demanant lacelebracio d’un referendum contra l’Estatut d’Autonomia deCatalunya. Estaven recollides en 450.000 fulls de firmes, que estransportaren en 10 furgonetes.
12 de 64
Hem d’anar alerta. . .
450.000 fulls DIN A4, en paquets de 500 fulls: 900 paquets.
Cada paquet fa297mm× 210mm× 55mm = 3.430.350mm3 = 0,00343035m3
Per tant, 900 paquets fan 900× 0,00343035 = 3,06315m3
13 de 64
Hem d’anar alerta. . .
14 de 64
Hem d’anar alerta. . .
????
????
15 de 64
Percentatges
16 de 64
Hem d’anar alerta. . . (Pregunta 1)
En els anys setanta, les puntuacions dels nostres estudiants en elstests de nivellament baixaren prop d’un 60%, pero de llavors encaja han tornat a pujar un 90%.
(Comissio d’Educacio de California, 1998)
Ha millorat, respecte dels anys setanta, no?
17 de 64
Pregunta 2
Si vos fan un descompte d’un 10% en un producte, quan vosconve mes que el vos facin, abans d’aplicar l’IVA (un 18%) odespres d’aplicar l’IVA?
18 de 64
Pregunta 3
Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 10%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 10% de descompte sobre el nou preu.
Pagareu el mateix que valia abans?
19 de 64
Pregunta 4
Els primers dies de rebaixes, en una botiga fan el 30% dedescompte, i com que sou bons clients, a vosaltres vos fan un10% de descompte mes sobre el preu ja rebaixat.
Us fan un 40% de descompte, en total? O vos conve esperar ales segones rebaixes, que fan un 40% a tothom?
20 de 64
Pregunta 5
A Media Markt de vegades fan els “dies sense IVA”, on cobren elpreu del producte sense sumar-hi l’IVA (un 18%).
Quin descompte sobre el preu final fan?
21 de 64
Percentatges
Un percentatge es una fraccio amb el denominador igual a 100
Per exemple, 7% =7
100
Per passar una fraccio a %, multiplicam per 100%
12
25=
12
25· 100% =
1200
25% = 48%
22 de 64
Percentatges
Per calcular el percentatge p% d’una quantitat X , fem
p
100· X
Exemples:Quant es el 10% de 25?
10
100· 25 =
1
10· 25 =
25
10= 2,5
El 10% s’obte dividint per 10, es a dir, desplacant un lloc al’esquerra la coma dels decimals
23 de 64
Percentatges
Per calcular el percentatge p% d’una quantitat X , fem
p
100· X
Exemples:Quant es el 50% de 25?
50
100· 25 =
1
2· 25 =
25
2= 12,5
El 50% d’una quantitat es la meitat
24 de 64
Percentatges
Per calcular el percentatge p% d’una quantitat X , fem
p
100· X
Exemples:Quant es el 100% de 25?
100
100· 25 = 1 · 25 = 25
El 100% d’una quantitat es el total de la quantitat
25 de 64
Percentatges
Per calcular quin percentatge d’una quantitat X representa unaaltra quantitat Y , fem
Y
X· 100%
Exemple:De 80 estudiants d’una assignatura, 65 l’han aprovada. Quinpercentatge representen?
65
80· 100% = 81, 25%
26 de 64
Percentatges
(El Periodico de Aragon, novembre 2008)27 de 64
Exemple
Hay varios motivos por los que el sector taurino espanol sereivindica como vital para la economıa. Los principales:
• Economico: La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol.Ademas, las corridas y los festejos populares generan 2.500millones de euros al ano.
• Laboral: El toro ‘emplea’ a mas de 7.000 profesionales, lo quese traduce en una productividad de 3,7 millones de jornadas detrabajo al ano.
(Expansion, 28/09/2010)
28 de 64
Exemple
La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol. Ademas, lascorridas y los festejos populares generan 2.500 millones de eurosal ano.
1,5% · 1.050.000 milions AC= 15.750 milions AC
2.500/1.050.000 ≈ 0,0024, un 0,24%
29 de 64
Exemple
La fiesta representa casi el 1,5% del PIB espanol. Ademas, lascorridas y los festejos populares generan 2.500 millones de eurosal ano.
El toro ‘emplea’ a mas de 7.000 profesionales, lo que se traduceen una productividad de 3,7 millones de jornadas de trabajo alano.
3.700.000 jornades de treball/7.000 profesionals = 528,57jornades de treball anuals per treballador!
528,57/365 = 1,45 jornades de treball diaries
2.500 milions AC/7.000 profesionals ≈ 357.000 AC anuals perprofessional30 de 64
Sumar i restar percentatges
Per sumar un percentatge p% a una quantitat X , fem
X +p
100· X
Exemples:Una cosa que valia 25 AC puja un 5%. Que val ara?
25 +5
100· 25 = 25 + 1,25 = 26,25 AC
31 de 64
Sumar i restar percentatges
Per sumar un percentatge p% a una quantitat X , fem
X +p
100· X
Exemples:A la carta de La Rigoletta els preus hi apareixen sense IVA, i aixovol dir que cal sumar als preus marcats un 8%. Que pagarem peruna pizza que val 12 AC?
12 +8
100· 12 = 12 + 0,96 = 12,96 AC
32 de 64
Sumar i restar percentatges
Per restar un p% a una quantitat X , fem
X − p
100· X
Exemples:D’una cosa que valia 25 AC em fan un 5% de descompte. Quepagare?
25− 5
100· 25 = 25− 1,25 = 23,75 AC
33 de 64
Calcul de percentatges
Per calcular el percentatge que ha variat una quantitat, fem
Percentatge =Valor nou− Valor antic
Valor antic· 100%
Si surt positiu, es el percentatge que ha pujat. Si surt negatiu, esel percentatge que ha baixat.
34 de 64
Calcul de percentatges
Percentatge = Valor nou−Valor anticValor antic · 100%
Exemples:Aquestes festes de Pasqua, a ca’l meu carnisser, la cuixa de xotha passat de valer 10,50 AC/kg a valer 12,35 AC/kg. Quinpercentatge ha pujat?
12,35− 10,50
10,50· 100% =
1,85
10,50· 100% = 0,1762 · 100% = 17,62%
35 de 64
Calcul de percentatges
Percentatge = Valor nou−Valor anticValor antic · 100%
Exemples:El Paıs (4/12/2009): Unes certes despeses havien passat “de 1,8millones a casi 7,3 millones en el plazo de una decada”, i altitular deia “crece un 400% en 10 anos”? Tant?
7,3− 1,8
1,8· 100% =
5,5
1,8· 100% = 3,05 · 100% = 305%
36 de 64
Calcul de percentatges
Creixer un 100% es doblar-se:
X +100
100· X = X + X = 2X
Creixer un 200% es multiplicar-se per 3:
X +200
100· X = X + 2X = 3X
Baixar un 100% es desapareixer completament!:
X − 100
100· X = X − X = 0
37 de 64
Calcul de percentatges
Percentatge = Valor nou−Valor anticValor antic · 100%
Exemples: ¡Compre 2 y le regalamos el tercero! ¡Un 50% dedescuento en una amplia gama de nuestros productos!
Suposem que cada objecte val 100. 3 objectes valen 300 i pagamnomes 200:
200− 300
300· 100% =
−100
300· 100% = −0,33 · 100% = −33%
38 de 64
Calcul de percentatges
Percentatge = Valor nou−Valor anticValor antic · 100%
Exemples: ¡Compre 2 y le regalamos el tercero! ¡Un 50% dedescuento en una amplia gama de nuestros productos!
Suposem que cada objecte val X . 3 objectes valen 3X i pagamnomes 2X :
2X − 3X
3X·100% =
−X
3X·100% =
−1
3·100% = −0,33·100% = −33%
39 de 64
Pregunta 5
A Media Markt de vegades fan els “dies sense IVA”, on cobren elpreu del producte sense sumar-hi l’IVA (un 18%). Quindescompte sobre el preu final fan?
Suposem que volem comprar un producte que val 100 AC senseIVA.
Amb IVA val
100 +18
100· 100 = 100 + 18 = 118
Si nomes pagam 100, el descompte es
100− 118
118· 100% =
−18
118· 100% = 0,152 · 100% = 15,2%
40 de 64
Pregunta 5
La primera vegada que Media Markt va fer aquesta campanya(2/03/2009), el que feia era fer el descompte del 16% (l’IVAd’aquells temps) al preu final. . . per gran alegria dels clients!
41 de 64
Pregunta 5
Suposem que volıem comprar un producte que valia 100 AC senseIVA.
Amb IVA (16%) valia
100 +16
100· 100 = 100 + 16 = 116
Si ara li llevam el 16%:
116− 16
100· 116 = 116− 18,56 = 97,44
42 de 64
No es poden sumar els percentatges!
El ministerio de Educacion aumenta un 20% el lımite dealumnos por clase
“Aumentar un 20% el lımite legal de alumnos por aula (es decir,incrementar el maximo de estudiantes por unidad de 27 a 30 enprimaria y de 33 a 36 en secundaria)[. . . ]”
(El Paıs, 16-04-2012)
Increment a primaria:30− 27
27· 100% =
3
27· 100% = 11, 11%
Increment a secundaria:36− 33
33· 100% =
3
33· 100% = 9, 09%
Han sumat pomes i peres?
43 de 64
No es poden sumar els percentatges!
Las universidades pierden mas de un 11% del alumnado
“Las universidades de Salamanca —la publica y la Pontıfica—han perdido entre las dos un 11,34% del alumnado en el cursoacademico 2005–06 con respecto al ano anterior. La Universidadde Salamanca reune a 26.582 alumnos frente a los 27.886 delperiodo anterior, un 4,68% menos, mientras que la Pontıfica deSalamanca concentra 6.516 alumnos, un 6,66% menos que en2004–05 cuando matriculo a 7.158 alumnos.”
(Un diari de Salamanca, 2004)
44 de 64
No es poden sumar els percentatges!
Las universidades pierden mas de un 11% del alumnado
2004–05: 27.886+7.158=35.044
2005–06: 26.582+6.516=33.098
Disminucio:33.098− 35.044
35.044· 100% =
−1.946
35.044· 100% = 5,55%
45 de 64
Pregunta 2
Si vos fan un descompte d’un 10% en un producte, quan vosconve mes que el vos facin, abans d’aplicar l’IVA (un 18%) odespres d’aplicar l’IVA?
Cas 1: Descompte sobre el preu original
Suposem que el preu abans d’aplicar l’IVA es 100 AC
Fan el descompte: 100− 10
100· 100 = 100− 10 = 90
Pugen l’IVA: 90 +18
100· 90 = 90 + 16,2 = 106,2
46 de 64
Pregunta 2
Si vos fan un descompte d’un 10% en un producte, quan vosconve mes que el vos facin, abans d’aplicar l’IVA (un 18%) odespres d’aplicar l’IVA?
Cas 2: Descompte sobre el preu final
Suposem que el preu abans d’aplicar l’IVA es 100 AC
Pugen l’IVA: 100 +18
100· 100 = 100 + 18 = 118
Fan el descompte: 118− 10
100· 118 = 118− 11,8 = 106,2
Te el mateix efecte!
47 de 64
L’ordre dels percentatges
L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia elresultat final
Acabam de veure que es el mateix primer pujar un 18% i despresllevar un 10%, que primer llevar un 10% i despres pujar un 18%
48 de 64
L’ordre dels percentatges
L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinal
Exemple:Es el mateix primer pujar un 10% i despres pujar un 20% queprimer pujar un 20% i despres un 10%
Cas 1: Primer un 10%, despres un 20%
Suposem que la quantitat en comencar es 100.
Pujam un 10%: 100 +10
100· 100 = 100 + 10 = 110
Pujam un 20%: 110 +20
100· 110 = 110 + 22 = 132
49 de 64
L’ordre dels percentatges
L’ordre amb que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinalExemple:Es el mateix primer pujar un 10% i despres pujar un 20% queprimer pujar un 20% i despres un 10%
Cas 2: Primer un 20%, despres un 10%
Suposem que la quantitat en comencar es 100.
Pujam un 20%: 100 +20
100· 100 = 100 + 20 = 120
Pujam un 10%: 120 +10
100· 120 = 120 + 12 = 132
50 de 64
Els percentatges no se sumen!
Si pujam primer un 20% i despres un 10%
100 7→ 120 7→ 132
no pujam un 30%
100 +30
100· 100 = 100 + 30 = 130
51 de 64
Els percentatges no se sumen!
Un home de Lepe que sabia calcular percentatges duia un bitlletde 10 Euros a la cartera, i va trobar un bitllet de 5 a l’acera.Quina sort, va pensar, els doblers que duc han augmentat un50%! Just mentre pensava aixo, un cop de vent s’endugue elbitllet de 5. Be, es digue a si mateix, si de 15 Euros baix a 10, heperdut un 33%, encara surt guanyant un 17%!
Eeeeeh?
52 de 64
Pregunta 3
Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 10%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 10% de descompte sobre el nou preu. Pagareu el quevalia abans?
Suposem que volıeu comprar un producte que val 100 AC.
Vos pugen un 10%: 100 +10
100· 100 = 100 + 10 = 110
Vos baixen un 10%: 110− 10
100· 110 = 110− 11 = 99
Pagareu manco del que valia!
53 de 64
Pregunta 3-bis
Una cosa que volıeu comprar ha pujat un 100%, i com que soubons clients, per compensar-ho a la botiga vos diuen que vosfaran un 100% de descompte sobre el nou preu. Que pagareu?
Res! Llevar un 100% es llevar-ho tot!
Suposem que volıeu comprar un producte que val 100 AC.
Vos pugen un 100%: 100 +100
100· 100 = 200
Vos baixen un 100%: 200− 100
100· 200 = 200− 200 = 0
Gratis!
54 de 64
Pregunta 4
Els primers dies de rebaixes, en una botiga fan el 30% dedescompte, i com que sou bons clients, a vosaltres vos fan un10% de descompte mes sobre el preu ja rebaixat. Us fan un 40%de descompte, en total?
Suposem que volem comprar un producte que val 100 AC.
1a rebaixa: 100− 30
100· 100 = 100− 30 = 70
2a rebaixa: 70− 10
100· 70 = 70− 7 = 63
Descompte total:63− 100
100· 100% =
−37
100· 100% = −37%
55 de 64
L’acumulacio de percentatges
Si aplicam un percentatge rere l’altre, no els podem sumar
Acabam de veure que:
• Si primer sumam un 10% i despres restam un 10%, no secompensen
• Si primer restam un 10% i despres un altre 10%, en total norestam un 20%, sino manco
• Si primer sumam un 10% i despres un 20%, en total nosumam un 30%, sino mes
56 de 64
Pregunta 1
En els anys setanta, les puntuacions dels nostres estudiants en elstests de nivellament baixaren prop d’un 60%, pero de llavors encaja han tornat a pujar un 90%.
Suposem que la puntuacion inicial es 100:
Primer baixa un 60%: 100− 60
100· 100 = 100− 60 = 40
Despres puja un 70%: 40 +90
100· 40 = 40 + 36 = 76
Estan lluny de recuperar-se!
57 de 64
L’acumulacio de percentatges
A la seva primera legislatura, el president J. L. RodrıguezZapatero va prometre que duplicaria en 4 anys el pressupostdedicat a investigacio.
Pero el que va fer va ser augmentar aquest pressupost un 25%anual. Que significa aixo?
Suposem que el pressupost era de 100 milions d’Euros.
1er any: 100 +25
100· 100 = 100 + 25 = 125
2on any: 125 +25
100· 125 = 125 + 31,25 = 156,25
58 de 64
L’acumulacio de percentatges
A la seva primera legislatura, el president J. L. RodrıguezZapatero va prometre que duplicaria en 4 anys el pressupostdedicat a investigacio.
Pero el que va fer va ser augmentar aquest pressupost un 25%anual. Que significa aixo?
3er any: 156,25 +25
100· 156,25 = 156,25 + 39,06 = 195,31
4rt any: 195,31 +25
100· 195,31 = 195,31 + 48,83 = 244,14
Increment total:244,14− 100
100· 100% =
144,14
100· 100% = 144,14%
59 de 64
Mes exemples
(dBalears, 20/4/2012)60 de 64
Mes exemples
(El Mundo,20/4/2012)
61 de 64
Mes exemples
Els estudiants pagaven un 18% del cost dels seus estudis, arapagaran un 25%.
Suposem el cost es 1000.
Pagaven: 180 Pagaran: 250
Increment:250− 180
180· 100% =
70
180· 100% = 38,89%
Ni un ni l’altre. . .
62 de 64
Mes exemples
“El 65% de los menores de 10 a 17 anos admiten que acceden aprogramas para mayores de edad [. . . ] El 50% de los ninos y el15% de las ninas entre 10 y 17 anos reconocen que . . . ”
(El Periodico, 5/1/2006)
50% nins+ 15% nines= 65% del total?
Suposem que tenim 100 menors entre 10 i 17 anys, dels quals 50son nins i 50 son nines.
50% de nins:50
100· 50 = 25 15% de nines:
15
100· 50 = 7,5
Total: 25 + 7,5 = 32,5 de 100: un 32,5%
63 de 64
Mes exemples
“El precio de la vivienda no encuentra techo. El ano que ahoratermina, el precio medio de la vivienda nueva en las capitales deprovincia subio una media del 12,5%. Se trata de la mayor subidade toda la decada, desde el anterior boom inmobiliario de losanos ochenta. En 1997 subio un 3,4%, un ano despues lo hizo enun 5,1% y en 1999 la cifra se acelero al 9%. Es decir, un 30% encuatro anos.”
(El Paıs, 30/12/2000)
3,4% + 5,1% + 9% + 12,5% = 30%?????
100 7→ 103,4 7→ 108,7 7→ 118,5 7→ 133,3⇒ 33,3%
64 de 64
Mes exemples
“Primero creamos el 3 x 2. Despues, la segunda unidad a mitad deprecio. Y ahora, Carrefour anuncia en exclusiva el descuento 20-30,una promocion mas flexible para ti que, como siempre en Carrefour,convierte tu compra en ahorro. ¿Que compras dos paquetes dedetergente?, te hacemos un descuento del 20% en los dos. ¿Quecompras tres o mas?, te hacemos un descuento del 30%.”
3x2: 33,33% (comprant-ne 3)
La segunda unidad a mitad de precio: Si cada unitat val 100,
200− 150
200· 100% =
50
200· 100 = 25%
Un descuento del 20% en los dos: 20% (comprant-ne 2)
Un descuento del 30% en los tres: 30% (comprant-ne 3)65 de 64
En resum
• L’ordre en que s’apliquen els percentatges no canvia el resultatfinal
• Si aplicam un percentatge rere l’altre, no els podem sumar
• I en general, alerta amb els percentatges!
66 de 64
Exercici per a l’examen final
1) D’aquı a final de curs, cercau notıcies als diaris on es doninpercentatges, i mirau si els percentatges que s’hi donen soncorrectes o no.
Podeu presentar 5 notıcies amb els percentatges correctes, o 1amb qualque percentatge incorrecte.
67 de 64
Top Related