Download - Matemáticas 1º Bachillerato CCSS. Hola a todos. Les envío … · 2020-03-17 · Matemáticas 1º Bachillerato CCSS. Hola a todos. Les envío ejercicios resueltos del bloque de

Matemáticas 1º Bachillerato CCSS. Hola a todos. Les envío ejercicios resueltos del bloque de estadística que es muy importante para el próximo curso. Me gustaría que trabajaras estos ejercicios durante estos días. Un abrazo para todos.

Matemáticas 1º CCSS

www.matematicasjmmm.com José María Martínez Mediano

1

ESTADÍSTICA BÁSICA

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En la siguiente tabla se dan los datos correspondientes a las notas de Matemáticas de 60

alumnos de 1º Bachillerato.

Notas IN: [1, 5) SF: [5, 6) BI: [6, 7) NT: [7, 9) SB: [9, 10]

Nº de alumnos 20 13 12 10 5

a) Haz una tabla de frecuencias y porcentajes, simple y acumulada.

b) Dibuja el correspondiente histograma.

c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores y mediante una poligonal acumulativa.

Solución:

a)

Notas M.c. fi Fi fri % %a

[1, 5) 3 20 20 0,333 33,3 33,3

[5, 6) 5,5 13 33 0,217 21,7 55

[6, 7) 6,5 12 45 0,200 20 75

[7, 9) 8 10 55 0,167 16,7 91,7

[9, 10] 9,5 5 60 0,083 8,3 100

TOTALES 60 1 100

b) La altura de cada rectángulo se halla dividiendo la frecuencia que representa entre la longitud del

intervalo:

20 : 4 = 5; 13 : 1 = 13; 12 : 1 = 12; 10 : 2 = 5; 5 : 1 = 5

c) La asignación de sectores para cada nota es:

IN: 120º ; SF: 78º; BI: 72º; NT: 60º; SB: 30º. (En el gráfico se aproximan los porcentajes).

2. El número de turismos matriculados en España, para el período 1996–2005, se da en la siguiente

tabla:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Miles de turismos 911 1.016 1.193 1.406 1.381 1.426 1.332 1.382 1.517 1.529

a) Tomando como base 100 el número de turismos matriculados en el año 1996, expresa en

números índices la variación de la serie.

b) Representa los datos mediante una poligonal simple

Solución:

http://www.matematicasjmmm.com/



2

a) Si asignamos a 1996 la base 100, multiplicando el número de vehículos matriculados en cada año

por 911

100, se obtiene:

Año 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Miles de turismos 911 1.016 1.193 1.406 1.381 1.426 1.332 1.382 1.517 1.529

Índice 100 111,5 131 154,3 151,6 156,5 146,2 151,7 166,5 167,8

b)

3. La precipitación (P) y la temperatura media mensual (T) registradas en Soria a lo largo del año

son:

Mes E F M A M J J A S O N D

P (mm) 44 45 48 47 62 55 32 31 47 46 49 55

T (ºC) 1,3 3,1 5,6 7,5 10,6 15,6 18,1 18,1 15 9,4 5,6 3,1

Representa gráficamente estos datos mediante un climograma.

Solución:

4. Siete estudiantes han leído este curso el siguiente número de libros:

3 4 5 6 5 7 5

Para estos datos, determina:

a) La media b) La mediana c) La moda d) El rango

Solución:

a) 3 4 5 6 5 7 5 35

57 7

x+ + + + + +

= = = .

b) Se ordenan los datos: 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7. El cuarto dato es la mediana.

c) El 5 es el dato que más se repite

d) Rango: 7 – 3 = 4.




3

5. En una empresa hay 3 directivos, 50 operarios y 8 vendedores. Los sueldos mensuales, en euros,

de cada categoría son los siguientes: directivos, 4.000; operarios, 1.400; vendedores, 2.000.

a) Halla la moda, la mediana y la media de los sueldos.

b) ¿Qué medida es más representativa del promedio?

Solución:

a) El sueldo que más se repite es la moda: 1.400 €.

Mediana:

Ordenados los sueldos de menor a mayor, los 50 primeros datos son 1400. El valor del dato 31º, que

sería el correspondiente a la mediana, vale 1400 €.

Media (ponderada):

1400·50 2000·8 4000·3 980001606,56

50 8 3 61px

+ += = =

+ +.

b) Ninguna es mala, aunque dado el peso de los operarios la más representativa sería la moda.

6. En primero de bachillerato de un centro escolar hay tres grupos, A, B y C, con 30, 35 y 25

alumnos, respectivamente. La nota media en Matemáticas fue, también respectivamente, de 5,3, 6,5

y 5,6. Halla la nota media de Matemáticas de todos los alumnos de primero.

Solución:

30 5,3 35 6,5 25 5,6

90px

+ + = = 5,85.

7. El gráfico siguiente representa los pesos (en kg) de un grupo similar de hombres y mujeres.

a) Indica los valores de las medianas respectivas.

b) ¿Cuánto vale en cada caso el rango intercuartílico?

c) ¿Hay algún elemento extraño? ¿Cuál es su peso?

d) ¿Qué porcentaje de mujeres pesa entre 40 y 50 kg?

e) ¿Dónde se da más homogeneidad de pesos, entre los más flacos o entre los más pesados?

Solución:

a) Mujeres: 56 kg. Hombres: 70 kg.

b) Mujeres: C3 – C1 = 64 – 50 = 14 kg. Hombres: 79 – 63 = 16 kg.

c) En hombres hay dos: 110 y 115 kg.

d) 40 kg es el peso más bajo; 50 kg es el peso correspondiente al primer cuartil, que se corresponde

con el 25 %

e) Si se consideran flacos al 50 % de los que pesan menos, hay más homogeneidad entre los flacos.

8. El cociente intelectual de los 210 alumnos de un centro de bachillerato se da en la tabla:

Intervalo [82, 90) [90, 98) [98,106) [106, 114) [114, 122) [122, 130) [130, 138) [138, 146)

Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5

a) Calcula los cuartiles y el rango intercuartílico.

b) Halla la diferencia entre los deciles 3 y 6.

c) Calcula la puntuación necesaria para pertenecer al 15 % de alumnos con mayor cociente

intelectual.

Solución:




4

Para contestar a estas preguntas es necesario hallar la tabla de frecuencias acumuladas.

Intervalo [82, 90) [90, 98) [98,106) [106, 114) [114, 122) [122, 130) [130, 138) [138, 146)

Frecuencia 12 32 49 54 30 17 11 5

F. acum. 12 44 93 147 177 194 205 210

a) La posición de C1 es la del elemento 53º: 210

52,5 53º4

= → . Por tanto, C1 = 98 + 9 · 49

8 =

99,5. (53 = 44 + 9 → 98 es el cociente intelectual del individuo 44º; los siguientes 49 individuos

avanzan 8 puntos en total, luego 9 de ellos avanzarán 9 · 49

8).

El valor de C2 es la puntuación del individuo situado en la posición de C2 es 105º (= 93º + 12º).

Por tanto, C2 = 106 + 12 · 54

8 = 107,8. (106 es el cociente intelectual del individuo 93º).

La posición de C3 es 158. Por tanto, C3 = 114 + 11 · 30

8 = 116,9.

Recorrido intercuartílico: C3 – C1 = 17,4.

b) La puntuación de D3 es la correspondiente al individuo 63ª D3 = 98 + 19 · 49

8 = 101,1.

La posición de D6 es la 126ª. Por tanto, D6 = 106 + 33 · 54

8 = 110,9.

D6 – D3 = 9,8.

c) Hay que calcular el percentil 85, cuya posición es la 179ª.

Por tanto, P85 = 122 + 2 · 17

8 = 122,9.

9. Se ha preguntado a 50 mujeres sobre su número de hijos, obteniéndose los resultados:

0 1 1 2 2 0 1 5 4 3 2 1 0 2 0 0 2 1 4 2 2 0 1 3 2

1 2 3 3 5 2 1 1 4 1 4 2 3 1 3 1 0 0 2 2 2 0 3 1 2

Construye la tabla de frecuencias y calcula la media, varianza y desviación típica.

Solución:

El número de hijos y la frecuencia correspondiente se indican en las dos primeras columnas de la

siguiente tabla; las demás columnas servirán para el cálculo de los parámetros.

De donde:

90· 1,8

50

iif x

xn

= = = .

2

2 22 2501,8 1,76

50

iif xxs

n

= − = − = s = 1,33.

Hijos: xi fi fi · xi fi · xi2

0 9 0 0

1 13 13 13

2 15 30 120

3 7 21 63

4 4 16 64

5 2 10 125

Sumas 50 90 250




5

10. Se ha realizado una encuesta a los 40 empleados de una empresa para saber cuanto tiempo

tardan en llegar desde su casa hasta su puesto de trabajo. Las respuestas, en minutos, son las

siguientes:

30 42 37 50 15 35 90 65 38 45 30 12 78 20 35 41 25 32 85 25

41 28 50 30 20 60 14 36 48 32 27 30 76 30 51 28 25 22 17 10

a) Construye la tabla de frecuencias agrupando los datos en intervalos.

b) Calcula la mediana, la moda, la media y la desviación típica.

Solución:

a)

Tiempo xi fi fi xi fi xi2 Fi

[10, 20) 15 5 75 1125 5

[20, 30) 25 9 225 5625 14

[30, 40) 35 12 420 14700 26

[40, 50) 45 5 225 10125 31

[50, 60) 55 3 165 9075 34

[60, 70) 65 2 130 8450 36

[70, 80) 75 2 150 11250 38

[80, 90] 85 2 170 14450 40

TOTALES 40 1560 74800

b) La posición de Me es la 20ª, es decir, está en el intervalo [30, 40).

Por tanto, Me = 30 + 6 · 10

12 = 37,2 minutos.

El intervalo modal es [30, 40) y la clase modal es Mo = 35.

Media: 1560

40

iif x

xn

= = = 39 minutos.

Desviación típica: s = 2

2 27480039

40

i if xx

n

− = − = 18,7 minutos.

11. Halla la media y la desviación típica de los datos correspondientes

al diagrama de tallo y hojas adjunto.

Solución:

Utilizando la calculadora.

37 43 45·2 46·2 47·3 ... 7752,04

25x

+ + + + + += = .

s = 8,0813,03 kg.

12. Los rendimientos medios (en kilogramos por hectárea) en España, para los cereales que se

indican, fueron:

Año 2010 2011 2012 2013 2014

Trigo 2150 3100 2300 2830 2840

Maíz 9450 9220 9720 9510 9110

Halla los rendimientos medios para el quinquenio de cada cereal. ¿Qué cereal es más fiable?

Solución:

T representa al trigo y M al maíz.

x (T) = 2.644 kg/ha; s(T) = 358,7 kg/ha CV(T) = 13,57 %

x (M) = 9.402 kg/ha; s(M) = 216 kg/ha CV(M) = 2,3 %

Es más fiable el cereal que tenga asociado un coeficiente de variación menor: el maíz.

3 7

4 3 5 5 6 6 7 7 7 8 9

5 0 0 1 2 3 4 5 6 7

6 0 1 2 3

7 7

3 7 representa 37 kilos




6

13. A un congreso asisten seis mujeres cuyas edades son:

27 34 38 42 33 36 (años)

a) Calcula la media y varianza de sus edades.

b) Cinco años después coinciden las mismas mujeres. A partir de los cálculos anteriores, halla la

nueva media y varianza de sus edades.

Solución:

a) x = 35 años. s2 = 21,33.

b) Pasados 5 años las edades son: 32, 39, 43, 47, 38, 41.

La nueva media sube 5 años: x [+5] = x + 5 = 35 + 5 = 40.

La varianza no cambia: s2[+5] = s2 = 21,33.

14. El siguiente gráfico representa un total de 600 elementos. ¿Cuál es la

frecuencia de cada categoría?

Solución:

Hay que resolver reglas de tres directas.

Si 360º → 600; 1º → 600 5

360 3= elementos.

24º → 40 elementos; 66º → 110 elementos; …

Se obtiene:

Categoría A B C D E

Frecuencia: fi 40 110 120 150 180


Matemáticas 1º CCSS 1


DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

PROBLEMAS RESUELTOS

Distribuciones bidimensionales

1. a) Asocia las rectas de regresión: y = –x +16, y = 2x – 12 e y = 0,5x + 5 a las nubes de

puntos siguientes:

b) Asigna los coeficientes de correlación lineal r = 0,4, r = –0,85 y r = 0,7, a las mismas

nubes de puntos.

Solución:

a) Respectivamente: (c), (b), (a).

b) Respectivamente: (a), (b), (c).

2. Se han tomado ocho medidas de la temperatura de una batería y de su voltaje, y se

obtuvieron los siguientes datos:

X: temperatura 10,0 10,0 23,1 23,5 34,0 34,5 45,0 45,6

Y: voltaje 430 425 450 460 470 480 495 510

a) Sin efectuar cálculos, razona cuál de las siguientes rectas es la recta de regresión de Y sobre

X para los datos anteriores:

y = 350 − 2,1x y = 460 − 2,1x y = 406 + 2,1x

b) Para 25 grados, ¿qué voltaje sería razonable suponer?

Solución:

a) Puede observarse que al aumentar la temperatura también lo hace el voltaje; por tanto, la

correlación es positiva. Como el signo de la correlación es el mismo que el de la pendiente de

la recta de regresión, la única recta posible es y = 406 + 2,1x.

b) Para esa ecuación, si x = 25 se tiene y = 406 + 2,1 · 25 = 458,5.

3. El número de horas de estudio de una asignatura y la calificación obtenida en el examen

correspondiente, fue, para 7 personas, la siguiente:

Horas 5 8 10 12 15 17 18

Calificación 3 6 5 6 9 7 9

a) Dibuja la nube de puntos y traza, aproximadamente, la recta de regresión asociada.

b) Indica el carácter y estima la fuerza de la correlación.

Solución:

a) En la figura adjunta se representan los puntos de la tabla

anterior. La línea de trazos puede ser una recta de regresión

aceptable.

b) Obviamente, la correlación es directa y fuerte.




4. Calcula, paso a paso (sin utilizar la calculadora en modo estadístico), el coeficiente de

correlación y la recta de regresión asociada a los datos del problema anterior.

Solución:

El coeficiente de correlación vale yx

xy

ss

sr

·= . Para hallarlo hay que calcular las desviaciones

típicas marginales y la covarianza.

Utilizaremos las fórmulas:

22

xn

xs i

x −=

; 22

yn

ys i

y −=

; yxn

yxs ii

xy −=

.

Observa que debemos hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello

resulta eficaz la siguiente tabla:

ix iy 2ix

2iy ii yx

5 3 25 9 15

8 6 64 36 48

10 5 100 25 50

12 6 144 36 72

15 9 225 81 135

17 7 289 49 119

18 9 324 81 162

85= ix

45= iy

11712= ix = 317

2iy 601= ii yx

Con esto:

14,127

85==x ; 43,6

7

45==y .

46,414,127

1171 2 =−=xs ; 99,143,67

317 2 =−=ys ; 80,743,6·14,127

601=−=xys .

Por último, 88,099,1·46,4

80,7==r .

Al ser r próximo a +1, la correlación entre las horas de estudio y las notas de examen es

directa y fuerte: a más horas de estudio, mejor nota de examen.

La recta de regresión es

)14,12(90,19

80,743,6 −=− xy 67,139,0 += xy .

(Es la recta continua de la figura anterior).

Nota: Los resultados anteriores están redondeados a las centésimas.

Con más precisión (con la calculadora): r = 0,879689; y = 0,393004x + 1,656379.

5. a) Calcula la recta de regresión de Y sobre X en la distribución siguiente realizando todos

los cálculos intermedios.

X 10 7 5 3 0

Y 2 4 6 8 10

b) ¿Cuál es el valor que correspondería según dicha recta a X = 7?

Solución:

Se forma la tabla:




X Y X2 Y2 X·Y

10 2 100 4 20

7 4 49 16 28

5 6 25 36 30

3 8 9 64 24

0 10 0 100 0

Xi = 25 Yi = 30 Xi2 = 183 Yi

2 = 220 XiYi = 102

Se obtiene.

5=x ; 6,1155

183 22=−=xs ; 6=y ; 6,96·5

5

102−=−=xys .

La ecuación de la recta de regresión es:

)(2

xxs

syy

x

xy−=− y = –0,8276x +10,138.

b) Si X = 7 Y = 4,3448.

6. El departamento de control de calidad de una empresa de instalación de componentes

electrónicos desea determinar la relación entre las semanas de experiencia de sus trabajadores

y el número de componentes rechazados a esos trabajadores la semana anterior.

Trabajador examinado A B C D E F G H I J

Semanas de experiencia (X) 7 8 10 1 4 5 15 18 4 8

Número de rechazos (Y) 22 35 15 42 26 30 16 20 31 23

a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna

asociación lineal?

b) ¿Cómo calificarías la correlación?

Solución:

a) Puede ajustarse una recta como la que se ha trazado

en la figura adjunta.

b) Salvo para la persona B(8, 35), la correlación

parece fuerte e inversa.

7. Para los datos del problema anterior, halla con ayuda de la calculadora:

a) Las medias y desviaciones típicas marginales.

b) La covarianza.

c) El coeficiente de correlación lineal.

d) La recta de regresión de Y sobre X.

e) El número de rechazos que hay que esperar para una persona con 20 semanas de

experiencia.

Solución:

Sumas:

ix = 80; iy = 260; 2

ix = 884; 2

iy = 7420; ii yx = 1788.

a) x = 8; sx = 4,93963; y = 26; sy = 8,12403.




b) sxy = 178,8 − 8 · 26 = −29,2.

c) r = −29,2 /(4,93963 · 8,12403) = −0,72763.

d) y = −1,19672x + 35,5737.

e) 11,6, que se aproxima a 12, el entero más próximo.

8. Se midieron los valores de concentración de una sustancia A en suero fetal y los valores de

su concentración en suero materno. Se obtuvieron los siguientes datos en una muestra de seis

embarazadas a término:

Madre (X) 8 4 12 2 7 9

Feto (Y) 6 4 8 1 4 5

a) Calcula el coeficiente de correlación lineal.

b) Halla la expresión de la recta que permita estimar los valores fetales a partir de los

maternos.

Solución:

a) Con la calculadora se obtiene: r = 0,93.

Otros parámetros de interés:

x = 7; sx = 3,2659; y = 4,667; sy = 2,1344.

También se obtiene: A = 0,40; B = 0,609.

b) La recta de regresión es: Y = A + BX y = 0,40 + 0,609x.

9. En seis alumnos de bachillerato se observaron dos variables: X = puntuación obtenida en un

determinado test e Y = nota en un examen de matemáticas. Los resultados se indican en la

siguiente tabla:

Test: X 110 90 140 120 120 100

Examen: Y 6 5 9 7 8 6

a) Halla la recta de regresión.

b) Sabiendo que un alumno obtuvo 130 puntos en el test, pero no realizó el examen de

matemáticas, predice, si es posible, la nota que hubiese obtenido.

Solución:

a) Utilizando la calculadora se obtiene que:

La ecuación de la recta de regresión es: y = –2,28 + 0,08x.

El coeficiente de correlación vale r = 0,9569.

b) Si un alumno obtuvo en el test 130 puntos, se puede estimar que su nota en matemáticas

sería:

y = 2,28 + 0,08 · 130 = 8,12.

Como r es muy alto y 130 está dentro del rango de los datos considerados, la estimación es

fiable.

10. La altura, en cm, de 8 padres y del mayor de sus hijos varones, son:

Padre (X) 170 173 178 167 171 169 184 175

Hijo (Y) 172 177 175 170 178 169 180 187

a) Calcula la recta de regresión que permita estimar la altura de los hijos dependiendo de la

del padre; y la del padre conociendo la del hijo.

b) ¿Qué altura cabría esperar para un hijo si su padre mide 174? ¿Y para un padre, si su hijo

mide 190 cm?

Solución:

a) Se utilizará la calculadora en el modo estadístico.




Si X indica la atura del padre e Y la del hijo, se tendrá:

Y = 68,1853 + 0,621859 · X; X = 77,4406 + 0,545082 · Y.

b) Si el padre (X) mide 174 cm (en la primera ecuación) para el hijo caber esperar una

estatura de Y = 176,4 cm.

Si el hijo (Y) mide 190 cm (en la segunda ecuación) para el padre puede suponerse una

estatura de X = 181 cm.

11. Los años de siete árboles y el diámetro de su tronco, en cm, se dan en la siguiente tabla:

Años 2 4 5 8 10 14 20

Diámetro 10 15 17 20 23 25 27

a) Calcula, utilizando la recta de regresión, el diámetro que se puede predecir para árboles de

10 y 20 años.

b) Compara el resultado anterior con los valores observados en la tabla. Razona el porqué de

las diferencias.

Solución:

a) X = años; Y = diámetro.

9=x ; sx = 5,83; 57,19=y ; sy = 5,55; r = 0,93563.

11,55 0,89y x= + .

b) Y(10) = 20,45; Y(20) = 29,35.

Las diferencias son debidas a que la recta de regresión da la media del valor esperado.

12. El número de bacterias por unidad de volumen, presentes en un cultivo después de un

cierto número de horas, viene expresado en la siguiente tabla:

X: Nº de horas 0 1 2 3 4 5

Y: Nº de bacterias 12 19 23 34 56 62

Calcula:

a) Las medias y desviaciones típicas de las variables, número de horas y número de bacterias.

b) La covarianza de la variable bidimensional.

c) El coeficiente de correlación e interpretación.

d) La recta de regresión de Y sobre X.

Solución:

Sumas:

ix = 15; iy = 206; 2

ix = 55; 2

iy = 9170; ii yx = 701.

a) x = 2,5; sx = 1,70782; y = 34,3333; sy = 18,6964.

b) sxy = 31.

c) r = 0,97086.

d) y = 10,6285x + 7,7619.

Otros problemas

13. Un conjunto de datos bidimensionales (x, y) tiene un coeficiente de correlación r = 0,8.

Las medias marginales valen: x = 2; y = 4. Indica si alguna de las siguientes ecuaciones

puede corresponder a la recta de regresión de Y sobre X:

y = –2x + 8; y = 0,8x + 2, y = 1,5x + 1.

Solución:

Se sabe que el signo de la pendiente de la recta de regresión es el mismo que el de la

correlación. Por tanto, como r es positivo, hay que descartar la primera recta.




Por otra parte, la recta de regresión pasa por el centro medio de la distribución, el punto

),( yx = (2, 4). La única recta que lo contiene es la tercera.

En consecuencia, la recta de regresión pedida es y = 1,5x + 1.

14. Halla el centro medio de una distribución sabiendo que sus rectas de regresión valen:

De Y sobre X: y = 2x + 2.

De X sobre Y: x = 0,45y – 0,2.

Solución:

Como las dos rectas pasan por el centro medio, este punto será la solución del sistema

−=

+=

0245,0

22

yx

xy.

Cuya solución es: x = 7, y =16.

El centro medio será ),( yx = (7, 16).

15. Una compañía de seguros sospecha que el número de accidentes está en función de la

edad del conductor. Para ello elige 100 personas de cada grupo de edad y contabiliza los

accidentes totales del último año. Los datos fueron:

Edad 20 25 30 35 40 45

N.º accidentes 10 11 9 7 4 5

a) Representa gráficamente la nube de puntos asociada a estos datos. ¿Qué correlación se

observa?

b) Halla, sin calculadora, el coeficiente de correlación lineal entre las variables medidas.

Comenta su valor.

Solución:

a)

Correlación inversa, así lo indica la “línea de tendencia”.

b) Observa que debemos hacer sumas, sumas de cuadrados y sumas de productos; para ello

resulta eficaz la siguiente tabla:

ix iy 2ix

2iy ii yx

20 10 400 100 200

25 11 625 121 275

30 9 900 81 270

35 7 1225 49 245

40 4 1600 16 160

45 5 2025 25 225

195= ix 46= iy 66752= ix = 392

2

iy 1375= ii yx

Con esto:

5,32=x ; 667,7=y ; 539,8=xs ; 56,2=ys ; 20−=xys ; 915,0−=r .




La correlación entre el número de accidentes y la edad es negativa y muy fuerte: los

conductores más novatos tienen más accidentes.

16. Se está experimentado la resistencia a la rotura de una determinad fibra textil. Para ello se

ha medido el diámetro de la fibra y el peso que soporta hasta la rotura, obteniéndose los

siguientes datos:

Diámetro en mm (X) 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

Peso a la rotura en kg (Y) 12,5 18 25 32 41 52

a) Representa el diagrama de dispersión asociado a esos datos. ¿Sugiere la gráfica alguna

asociación lineal?

b) ¿Cómo calificarías la correlación?

Solución:

a)

Claramente se adivina una correlación lineal.

b) Positiva y muy fuerte.

17. Con los datos del problema anterior, halla:

a) La recta de regresión de Y sobre X y determina la resistencia a la rotura de una fibra de 2,5

mm de diámetro.

b) La recta de regresión de X sobre Y y determina el diámetro mínimo de una fibra para que

soporte más de 60 kg.

Solución:

Utilizando la calculadora:

a) 39,0714 28,5238y x= − .

Para x = 2,5 mm, y = 69,1547 kg.

b) 0,02522 0,74112x y= + .

Para y = 60 kg, x = 2,25 mm.

Observación. Pueden encontrase más problemas resueltos en los exámenes de los Temas 12 y

13 de la web http://www.matematicasjmmm.com/matemticas-ccss-i/


http://www.matematicasjmmm.com/matemticas-ccss-i/



PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

PROBLEMAS RESUELTOS

Probabilidad

1. Al extraer una carta de una baraja de 40 cartas calcula la probabilidad de que sea

a) Un rey. b) El rey de copas. c) No sea una figura.

Solución:

a) Entre las 40 cartas hay 4 reyes P(Rey) = 4/40.

b) P(Rey de copas) = 1/40.

c) Las figuras de la baraja son 12: 4 sotas, 4 caballos y 4 reyes. Las 28 restantes no son figuras.

P(No figura) = 28/40.

2. Si se consideran familias con tres hijos, ¿cuál es la probabilidad de que una elegida al azar tenga, al

menos, una niña?

Solución:

El espacio muestral tiene 8 sucesos elementales:

{HHH, HHM, HMH, MHH, HMM, MHM, MMH, MMM}, siendo H = hombre y M = mujer.

La probabilidad de que los tres hijos serán varones es: 1

( )8

P HHH = .

Por tanto,

P(al menos una niña) = 1 7

1 ( ) 18 8

P HHH− = − = .

3. Calcula la probabilidad de que al lanzar dos veces un dado (con las caras numeradas del 1 al 6) se

obtenga:

a) Al menos un as. b) Dos ases. c) Dos números distintos

Solución:

Espacio muestral: E = {(1, 1)..., (1, 6), (2,1)…, (2,6)…, (6,1)…, (6,6)} → 36 sucesos elementales.

a) Los sucesos favorables son 11: {(1, 1)..., (1, 6), (2, 1), (3, 1), (4, 1), (5, 1), (6,1)}.

P(al menos un as) = 11/36.

b) P(2 ases) = 1/36 → es el suceso (1, 1).

c) Es el suceso contrario de “dos números iguales” = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}.

P(dos números distintos) = 1 – P(dos números iguales) = 1 – 6/36 = 5/6.

4. Calcula la probabilidad ( )P A B sabiendo que P(A) = 0,3, P(B) = 0,5 y P(A/B) = 0,2.

Solución:

Como ( )( )

/ 0,2( )

P A BP A B

P B

= = ( ) 0,2·0,5 0,1P A B = = .

Por otra parte, de:

( ) ( )( ) ( )P A B P A P B P A B = + − P(A B) = 0,3 + 0,5 – 0,1 = 0,7.

5. En un IES, los alumnos se clasifican según su sexo y práctica de la natación, según muestra la

siguiente tabla:

Nadador No nadador TOTAL

Hombre 189 301 490

Mujer 165 335 500

TOTAL 354 636 990




A la vista de estos datos, calcula la probabilidad de que elegido un alumno al azar:

a) Sea no nadador.

b) Sea mujer y no nadadora.

c) Sea nadadora sabiendo que es mujer.

d) Sea hombre si el alumno elegido no practica natación.

Solución:

Por la regla de Laplace:

a) P(“no nadador”) = 636/990.

b) P(“mujer y no nadadora”) = 335/990.

c) P(“nadadora”/”ser mujer”) = ser mujer nadadora 165

ser mujer 500= .

d) P(“hombre”/”no nadador”) = hombre no nadador 301

no nadador 636= .

6. Se lanzan dos dados con las caras numeradas del 1 al 6. Halla la probabilidad de que:

a) Uno a de los resultados sea par y el otro impar.

b) Uno de los resultados sea par sabiendo que la suma de los dos es 7.

c) Uno de los resultados sea 4 sabiendo que la suma de los dos es mayor que 7.

Solución:

El espacio muestral es el indicado en el problema 3.

a) P(par e impar) = P(1º dado par y 2º impar) + P(1º dado impar y 2º par) = 9 9 18 1

36 36 36 2+ = = .

b) P(par/suma 7) = 1, ya que para sumar 7 un dado debe ser de puntuación par.

Los sucesos de suma 7 son: (1, 6); (2, 5); (3, 4); (4, 3); (5, 2); (6, 1). En todos hay un resultado par.

c) hay 15 sucesos en los que la suma es mayor que 7: (2, 6); (3, 5) y (3, 6); (4, 4), (4, 5) y (4, 6); (5,

3), (5, 4), (5, 5) y (5, 6); (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5) y (6, 6). En 5 de estos casos ha salido un 4.

Por tanto:

P(de 4 si la suma es mayor que 7) = 5 1

15 3= .

7. De una urna que contiene 10 bolas blancas y 8 negras se hacen dos extracciones sin

reemplazamiento. Calcula la probabilidad de sacar:

a) Dos bolas blancas

b) Sólo una negra

c) Del mismo color

Halla las mismas probabilidades si las extracciones se hicieran con reemplazamiento.

Solución:

Sin reemplazamiento:

a) ( ) ( ) ( )10 9 5

1º · 2ª /1ª ·18 17 17

P BB P B P B B= = = .

b) ( ) ( )8 10 80

, 2· 2· ·18 17 153

P NB BN P NB= = = .

c) Son del mismo color cuando no hay una banca y una negra (caso anterior); por tanto:

P(del mismo color) ) = 80 73

1153 153

− = .

Con reemplazamiento:

a) ( )10 10 25

·18 18 81

P BB = = .




b) ( ) ( )8 10 40

, 2· 2· ·18 18 81

P NB BN P NB= = = .

c) P(del mismo color) ) = 40 41

181 81

− = .

Distribución binomial.

8. Un examen consta de 10 preguntas del tipo verdadero/falso. Se aprueba con 8 o más preguntas

acertadas. Si se responden al azar las cuestiones, ¿qué probabilidad hay de aprobar?

Solución:

Se trata de una distribución binomial: B(10, 0,5).

( 8) ( 8) ( 9) ( 10)P X P X P X P X = = + = + = =

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8 2 9 1010 10 10

· 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,5 · 0,58 9 10

+ +

= ( ) 1045 10 1 ·(0,5) 0,0546875+ + = .

9. Se han reunido 1000 familias con 3 hijos. ¿En cuántas se podrán contabilizar 2 chicas? ¿Y en

cuántas al menos una chica? (Toma la probabilidad de nacimiento de niña 0,5).

Solución:

El número de chicas en familias de 3 hijos se distribuye B(3, 0,5).

Para una familia, la probabilidad de dos chicas es:

( ) ( ) ( )2 4

32 · 0,5 · 0,5 6·(0,5) 0,375

2P X

= = = =

.

El número esperado de familias con 2 chicas entre 1000 familias será: 1000·0,375 = 375.

Para una familia: P(“al menos una chica”) = 1 – P(ninguna chica) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,125 = 0,875.

Para mil familias: 1000·0,875 = 875 tendrán al menos una chica.

10. Un laboratorio farmacéutico ha comprobado que un 40 % de los que toman un analgésico sufren

efectos secundarios. De 5 usuarios, halla la probabilidad de que sufran efectos secundarios:

a) Más de 3. b) Al menos 2.

Solución:

El número de usuarios con efectos secundarios, X, se distribuye según la biniomial B(5, 0,4).

Por tanto:

a) ( 3) ( 4) ( 5)P X P X P X = = + = = ( ) ( ) ( )4 55 5

· 0,4 · 0,6 · 0,44 5

+

= 0,0768 + 0,01024 = 0,08704.

b) ( 2) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X = − = + = = ( ) ( ) ( ) ( )0 5 45 5

1 · 0,4 · 0,6 · 0,4 · 0,60 1

− −

=

= 1 – 0,07776 – 0,2592 = 0,66304.

11. En un proceso de fabricación se producen un 5 % de piezas defectuosas. Si se examinan 6 de ellas

al azar, ¿qué probabilidad existe de que:

a) Haya a lo sumo 4 defectuosas. b) Haya una o dos defectuosas.

Solución:

El número de defectuosas, X, se distribuye B(6, 0,05).

a) ( 4) 1 ( 5) ( 6)P X P X P X = − = − = = ( ) ( ) ( )5 66 6

1 · 0,05 · 0,95 · 0,055 6

− −

=

= 1 – 0,00000148 – 0,0000000156 0.




b) ( ) ( ) ( ) ( )5 2 46 6

( 1) ( 2) · 0,05 · 0,95 · 0,05 · 0,951 2

P X P X

= + = = −

= 0,2321 + 0,0305 = 0,2626.

12. Una familia se compone de los padres y 6 hijos. Suponiendo igual la probabilidad de nacimiento de

niño o niña, calcula:

a) Probabilidad de tener más de una niña. b) Al menos un niño.

c) Como máximo dos niños. d) El número medio de hijas.

Solución:

El número de hijas se distribuye B(6, 0,5):

a) ( 1) 1 ( 0) ( 1)P X P X P X = − = − = = ( ) ( )6 66 6

1 · 0,5 · 0,50 1

− −

=

= 1 – 0,015625 – 0,09375 = 0,890625.

b) ( 6) 1 ( 6)P X P X = − = = ( )66

1 · 0,56

−

= 1 – 0,015625 = 0,984375.

c) ( 4) ( 4) ( 5) ( 6)P X P X P X P X = = + = + = = 0,2344 + 0,0938+ 0,0156 = 0,3438.

d) La media de hijas es 6·0,5 = 3.

13. Cuatro personas de edades y estado de salud semejantes, han contratado una póliza de vida. Las

tablas de mortalidad prevén un 0,7 de probabilidad de que esos asegurados vivan dentro de 25 años.

Encuentra la probabilidad de que dentro de 25 años:

a) Vivan los 4. b) No viva ninguno. c) El número medio de supervivientes.

Solución:

El número de supervivientes se ajusta a una binomial: B(4, 0,7).

a) ( )44

( 4) · 0,74

P X

= =

= 0,74 = 0,2401.

b) ( ) ( )0 44

( 0) · 0,7 · 0,30

P X

= =

= 0,34 = 0,0081.

c) La media es 4 · 0,7 = 2,8.

Otros problemas

14. Se tienen dos sucesos aleatorios A y B y se conocen las probabilidades: ( ) 0,4P A = ; ( ) 0,5P B =

y ( ) 0,7P A B = .

a) ¿Son los sucesos A y B incompatibles? Razona la respuesta.

b) ¿Son sucesos independientes? Razona la respuesta.

Solución:

a) Dos sucesos A y B son incompatibles cuando ( ) 0P A B = .

Como

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + − ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + − .

En este caso:

( ) 0,4 0,5 0,7 0,2P A B = + − = 0 A y B no son incompatibles.

b) Dos sucesos A y B son independientes cuando ( ) ( )· ( )P A B P A P B = .




Como

( ) 0,2P A B = y ( )· ( ) 0,4·0,5 0,2P A P B = = los sucesos son independientes.

15. Sean A y B dos sucesos tales que ( ) 0,9P A B = , ( ) 0,2P A B = , ( ) 0,4P A = , donde A es

el suceso contrario de A. Calcular las siguientes probabilidades:

( )P B , ( )/P A B , ( )P A B , ( )P A B .

Solución:

Si ( ) 0,4P A = ( ) 0,6P A = .

Aplicando la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos:

( ) ( )( ) ( )P A B P A P B P A B = + − (teniendo en cuenta los datos):

0,9 0,6 ( ) 0,2P B= + − ( ) 0,5P B = .

• ( )( ) 0,2

/ 0,4( ) 0,5

P A BP A B

P B

= = = .

• ( ) ( ) ( )P A B P A P A B = − = 0,6 – 0,2 = 0,4.

• Por una de las leyes de Morgan:

( ) ( ) ( )1P A B P A B P A B = = − = 1 – 0,2 = 0,8.

16. El 42 % de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que el 24% de

las mujeres y el 16 % de los hombres están en el paro.

a) Halla la probabilidad de que una persona, elegida al azar, esté en el paro y sea hombre.

b) Halla la probabilidad de que una persona en paro, elegida al azar sea hombre.

Solución:

Para la población activa considerada, sean los sucesos:

M: mujer; H: hombre; Paro: estar en paro.

Con los datos del problema puede hacerse un diagrama de árbol como el siguiente.

a) ( ) ( )( )· /P Paro H P H P Paro H = = 0,58 · 0,16 = 0,0928.

b) La probabilidad total de estar en paro es:

( ) ( ) ( )( )· / ( )· /P Paro P M P Paro M P H P Paro H= +

( ) 0,42·0,24 0,58·0,16 0,1936P Paro = + = .

Por Bayes:

( )( )· ( / ) 0,58·0,16 0,0928

/ 0,48( ) 0,1936 0,1936

P H P Paro HP H Paro

P Paro= = = .

→ Sin necesidad de utilizar la fórmula de Bayes: por cada 0,1936 parados, 0,0928 son hombres.

→ También puede hacerse una tabla de contingencia, partiendo, por ejemplo, de 10000 personas

activas.




a) ( )928

0,092810000

P Paro H = = .

b) ( )928

/ 0,481936

P H Paro = .

17. En un Centro Comercial el 35 % de los consumidores utiliza el coche para hacer la compra. Si

se eligen al azar 7 consumidores que hayan realizado la compra en dicho Centro Comercial, ¿cuál es

la probabilidad de que exactamente 3 de ellos hayan ido en coche a comprar?

Solución:

El número de usuarios que utilizan el coche para hacer la compra se puede estudiar como una variable

binomial B(7, 0,35).

( ) 3 473 0,35 ·0,65 35·0,00765... 0,2679

3P X

= = =

.

18. Un examen de preguntas con respuestas múltiples, consta de 8 preguntas con 4 opciones de

contestación. Si un alumno respondiera al azar halla, con la ayuda de la tabla binomial, la probabilidad

de que:

a) Responda correctamente a 6

b) Responda al menos 6 correctamente

c) El número medio de respuestas acertadas.

Solución:

La variable que cuenta el número de respuestas correctas, es una binomial B(8, 1/4) = B(8, 0,25).

a) ( ) 6 286 0,25 ·0,75 28·0,0001373... 0,003845

6P X

= = =

.

b) Responder "al menos" 6, es equivalente a responder 6, 7 u 8 preguntas correctamente, o sea,

( 6) ( 6) ( 7) ( 8)P X P X P X P X = = + = + = = 0,003845 + 0,000366 + 0,000015 = 0,00426.

c) El número medio de respuestas correctas será: 8·0,25 = 2.

19. Un examen consta de 8 preguntas con 3 posibles respuestas cada una, de las que sólo una de

ellas es correcta. Si un estudiante responde al azar marcando las respuestas aleatoriamente, calcula

la probabilidad de que:

a) No acierte ninguna respuesta correcta. b) Acierte 6 o más preguntas.

Solución:

Si se contesta al azar, la probabilidad de acertar 1

3p = ; la de fallar,

2

3q = .

Se trata de una distribución de probabilidad binomial, 1

8, 3

B

.

a) ( )0 8

8 1 2 2560 · · 0,039

0 3 3 6561P X

= = = =

.

b) ( ) ( ) ( ) ( )6 6 P 7 8P X P X X P X = = + = + = =

=

6 2 1 8 08 8 81 2 1 2 1 2 4 2 1 129

· · · · · · 28· 8· 0,01976 7 83 3 3 3 3 3 6561 6561 6561 6561

+ + = + + = =

.

Personas Activas (10000) En paro

Mujeres 42% → 4200 24% → 1008

Hombres 58% → 5800 16% → 928

Total 10000 1936




DISTRIBUCIÓN NORMAL

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sea Z una variable normal estándar; halla las probabilidades:

a) P(Z ≤ 2,22) b) P(Z ≤ −2,22) c) P(−1,5 < Z < 3)

Solución:

a) Basta con buscar en la tabla N(0, 1).

P(Z ≤ 2,22) = 0,9868.

b) P(Z ≤ –2,22) = 1 – P(Z ≤ 2,22) = 1 – 0,9868 = 0,0132.

c) P(−1,5 <Z < 3) = P(Z < 3) – P(Z < –1,5) = 0,9987 – (1 – P(Z < 1,5) = 09987 – (1 – 0,9332) =

= 0,9319.

2. Siendo X una variable que se distribuye N(4, 1,5), halla el valor tipificado de:

a) 7 b) 5,5 c) 1,5

Para esta distribución, calcula las probabilidades: P(X < 7); P(X < 5,5); P(X < 1,5) .

Solución:

Se tipifica haciendo X

Z−

=

.

a) 7 4

21,5

Z−

= = P(X < 7) = P(Z < 2) = 0,9772.

b) 5,5 4

11,5

Z−

= = P(X < 5,5) = P(Z < 1) = 0,8413.

c) 1,5 4 5

1,671,5 3

Z−

= = − − : P(X < 1,5) = P(Z < –1,67) = 1 – P(Z < 1,67) = 1 – 0,9525 = 0,0475.

3. Si X es una variable continua N(28, 5), halla:

a) P(X > 31) b) P(28 < X <35,5) c) P(20 < X <38)

Solución:

a) ( ) ( ) ( )31 28

31 0,6 1 0,65

P X P Z P Z P Z−

= = = −

= 1 – 0,7257 = 0,2743.

b) ( ) ( ) ( )28 28 35,5 28

28 35,5 0 1,5 1,5 0,55 5

P X P Z P Z P Z− −

= = = −

=

= 0,9332 – 0,5 = 0,4332.

c) ( ) ( )20 28 38 28

20 38 1,6 25 5

P X P Z P Z− −

= = −

= ( ) ( )( )2 1 1,6P Z P Z − − =

= 0,9772 – (1 – 0,9452) = 0,9224.

4. Utilizando la tabla normal N(0, 1), determina el valor de k que cumple:

a) ( ) 0,9115P Z k = b) ( ) 0,9452P Z k =

c) ( ) 0,1587P Z k = d) ( ) 0,95P Z k =

Solución:

a) El valor 0,9115 de la tabla se corresponde con Z = 1,29. Por tanto, k = 1,29.

b) El valor 0,9452 de la tabla se corresponde con Z = 1,6. Por tanto, k = 1,6.




c) Como 0,1587 es menor que 0,5 hay que buscar el valor de Z que deja por debajo 1 – 0,1587 =

0,8413. Ese valor es Z = 1. Por tanto, k = –1.

d) El valor 0,95 no aparece en la tabla. Como está entre 0,9495, correspondiente a Z = 1,64, y 0,9505,

correspondiente a Z = 1,65, el valor de k buscado es k = 1,645.

5. Si X es variable N(, ) y se tiene que P(X < 4) = 0,2549 y P(X < 7) = 0,9082, halla los valores de

y .

Solución:

Tipificando se tiene:

40,2546P Z

− =

40,66

−= −

→ (Se corresponde con un valor de Z negativo).

En la tabla se busca 1 – 0,2546 = 0,7454. El valor de Z correspondiente es 0,66.

70,9082P Z

− =

71,33

−=

.

Se obtiene el sistema: 0,66 4

1,33 7

− =+ =

. Su solución es: = 5 y = 3/2.

6. En una distribución normal, halla el porcentaje de valores que distan de la media:

a) Menos de 1,2 desviaciones típicas. b) Entre 0,5 y 1 desviación típica.

Solución:

a) Se pide calcular X tal que 1,2X − 1,2 1,2X −

−

.

Como

( ) ( ) ( ) ( )1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 2· 1,2 1X

P P Z P Z P Z P Z−

− = − = − − = −

=

= 2 · 0,8849 – 1 = 0,7698 el 76,98 % de valores de X distan de µ menos de 1,2.

b) Hay que calcular: 0,5 1X

P−

.

( ) ( ) ( )0,5 1 0,5 1 1 0,5X

P P Z P Z P Z−

= = −

= 0,8413 – 0,6915 = 0,1498.

7. Supongamos que la estatura media de las alumnas de bachillerato se distribuye normalmente con

media = 166 cm y desviación típica 9 cm. Si se elige una alumna al azar halla la probabilidad de

que su estatura sea:

a) Superior a 175 cm. b) Inferior a 155 cm. c) Esté entre 155 cm y 175 cm.

Solución:

La normal de media y desviación típica , N(, ), se tipifica mediante el cambio X

Z−

=

, (en

este caso, para = 166 y = 9 → 166

9

XZ

−= ), se tendrá:

a) P(X > 175) = ( )175 166

1 1 ( 1) 1 0,8413 0,15879

P Z P Z P Z−

= = − = − =

.




b) P(X < 155) = ( )155 166

1,22 1 ( 1,22) 1 0,8888 0,11129

P Z P Z P Z−

= − = − = − =

.

c) P(155 < X < 175) = P(X < 175) – P(X < 155) = 0,8413 – 0,1112 = 0,7301.

8. Las alturas de 500 estudiantes varones están distribuidas normalmente con media 172 cm y

desviación típica 12 cm. Aproximadamente, ¿cuántos estudiantes tienen una altura?:

a) Igual a 170 cm. b) Menor que 170 cm. c) Entre 175 y 1 90 cm.

Solución:

a) ( )170 0P X = = . La probabilidad de un valor concreto (de un punto) siempre es 0.

b) Para un estudiante:

( ) ( ) ( )170 172

170 0,166... 0,1712

P X P Z P Z P Z−

= = − −

= 1 – 0,5675 = 0,4325.

Para 500 estudiantes: 500 · 0,4325 = 216,25 → aproximadamente 216.

c) ( ) ( )175 172 190 172

175 190 0,25 1,512 12

P X P Z P Z− −

= =

=

= ( ) ( )1,5 0,25P Z P Z − = 0,9932 – 0,5987 = 0,3345 → 0,3345 · 500 = 167,25.

Aproximadamente 167 estudiantes.

9. La longitud de cierto tipo de peces sigue una distribución normal de media 100 mm y desviación

típica 9 mm. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de esos peces mida entre 82 mm y 91 mm?

Solución:

La distribución es N(100, 9). La variable X que mide la longitud de esos peces se tipifica haciendo

el cambio 0

100−=

XZ . Luego:

( )91 100

919

P X P Z−

=

= P(Z < –1) = 1 – P(Z < 1) = 1 − 0,8713 = 0,1587.

( ) ( ) ( )82 100

82 2 1 29

P X P Z P Z P Z−

= = − = −

= 1 − 0,9772 = 0,0228.

P(82 < X < 91) = P(X < 91) – P(X < 82) = 0,1587 – 0,0228 = 0,1359.

10. El diámetro de las ciruelas de una determina variedad se distribuye normalmente con media 4,5

cm y desviación típica 0,3 cm. Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10% de las más

grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas?

Solución:

La medida X de su diámetro se distribuye según la normal: N(4,5, 0,3). Esta normal se tipifica

haciendo el cambio 4,5

0,3

XZ

−= .

Se desea encontrar el valor d (de diámetro) tal que ( ) 0,10P X d =

4,5

0,100,3

dP Z

− =

4,51,28 0,3·1,28 4,5 4,884

0,3

dd

−= = + = cm.




11. La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media de 40 años.

Se sabe además que el 2,28 % de los habitantes tiene más de 60 años.

a) ¿Cuál es la desviación típica?

b) ¿Cuál es el porcentaje de habitantes con menos de 35 años?

Solución:

La distribución de edad de la población es como se indica en la

figura adjunta.

a) Se sabe que ( )60 0,0228P X = .

Como la normal de media y desviación típica , N(, ), se

tipifica mediante el cambio X

Z−

=

, (en nuestro caso, para = 40 y desconocida), se tendrá:

( )60 40

60 0,0228P X P Z−

= =

20

0,0228P Z

=

20

1 0,0228 0,9772P Z

= − =

20

2 10= =

.

Esto es, la desviación típica vale 10.
