Download - Matemáticas II de 2º de Bachillerato. Empieza en la página 4.

5/12/2018 Matem ticas II de 2º de Bachillerato. Empieza en la p gina 4. - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/matematicas-ii-de-2o-de-bachillerato-empieza-en-la-pagina-4



Matemáticas II

Segundo curso de

Bachillerato

Juan Luis Corcobado CartesDepartamento de Matemáticas IES Universidad Laboral. Cáceres. 2003.



Este es un libro que puede usarse sin ninguna limitación y del que se puedendistribuir cuantas copias se desee, pero se ruega no modificar ninguna de suspartes y mantener, en todo caso, el nombre del autor, al que pueden enviarsecomentarios o sugerencias a la dirección: [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]



Presentación

Amable lector: permíteme unas breves palabras con las que presentarte estas páginas que tienes entre lasmanos. Obedecen, más que nada, al deseo de que aproveches el curso lo mejor posible, de forma que puedascentrar tu atención a lo largo del mismo en los aspectos fundamentales del programa de nuestra asignatura y

que en las clases no te veas sujeto a la imperiosa necesidad de anotar todo lo que diga el profesor. Existenmontones de libros de texto de esta asignatura, algunos excelentes, otros no tanto, pero la mayoría de ellossuelen adolecer de un mismo defecto: sus autores olvidan que el curso tiene los días contados y que, aunquehaya muchas cosas que aprender, el tiempo para aprenderlas es escaso; de modo que nosotros hemos procu-rado ir al grano, intentando alcanzar el máximo rigor que permitan las circunstancias, pero sin perder de vistalas limitaciones de tiempo.

Como verás, cada uno de los ocho temas que integran nuestro curso se divide en varios apartados, y alfinal de cada uno de ellos se proponen numerosos ejercicios. No se pretende que se resuelvan todos ellos enclase, pero sí que, si lo deseas, tengas material complementario para profundizar en los conceptos e ideas quese han estudiado previamente. Entre los ejercicios que se incluyen figuran muchos de los que han sido propues-tos en las últimas Pruebas de Acesso a la Universidad, exámenes –conviene decirlo– que aunque no dejen de

ser una referencia que has de tener presente, no debieran constituirse en tu principal preocupación.

El programa consta dos bloques perfectamente diferenciados. El primero, una introducción al AnálisisMatemático, abarca desde el primer tema hasta el cuarto y constituye una ampliación de lo que estudiaste enprimer curso sobre funciones, límites y derivadas, a lo que se añade la presentación del concepto de integral. Elsegundo bloque, también constituido por cuatro temas, es una introducción al Álgebra Lineal. En él se estudianlas matrices y los determinantes, los sistemas de ecuaciones lineales y se avanza en el estudio de la Geometríaafín y euclídea que iniciaste el año pasado, resolviendo problemas geométricos en el espacio.

Espero que las páginas que siguen, aunque acaso de aspecto inicialmente fiero, terminen por resultar tebuenas alforjas para el viaje que estás iniciando. Con ese deseo, y con el más importante de que el viaje finalice

felizmente, te saludo afectuosamente.

El autor.



Índice

Tema 1: Límites y continuidad 4

Tema 2: El concepto de derivada 20

Tema 3: Funciones derivables 35

Tema 4: La integral 55

Tema 5: Matrices y determinantes 70

Tema 6: Sistemas de ecuaciones lineales 88

Tema 7: El espacio afín 101

Tema 8: El espacio euclídeo 120



Tema 1

Límites y continuidad




1. INTRODUCCIÓNSi dijéramos que en esta parte del curso nos dedicaremos casi exclusivamente a examinar la tangente a una curva en un punto (en

resumen, en eso consiste el cálculo diferencial) y a determinar el área encerrada por tal curva (eso es el cálculo integral), podría pensarseque somos poco ambiciosos; pero el tiempo se encargaría de demostrar que no es pequeño el propósito. Si la Humanidad hubo de espe-rar a los siglos XVII y XVIII, el llamado Siglo de las Luces, para que, dos mil años después de que Arquímedes diera un primer procedi-miento para calcular el área encerrada por un segmento parabólico, genios como Newton, Leibniz, los Bernouilli o Euler, entre otros, oRieman y Cauchy, ya en el XIX, pudieran no sólo plantear tales problemas, sino resolverlos casi definitivamente, no debe ser, pues, tantrivial como pudiera parecer este asunto de las tangentes y las áreas...

El concepto clave de todo lo que sigue, en el que nunca se detendrá uno tanto como sería necesario, es el de límite. No hay porqué ocultar su dificultad. Con frecuencia, cuando se cree haberlo asimilado bien, nuevos casos sumen en la mayor de las dudas. Los con-ceptos de infinitésimo e infinito, y con ellos el de límite, son posiblemente los más difíciles de las matemáticas y sólo el trabajo metódico, enocasiones aparentemente infructuoso, hace posible que un día empecemos a comprender por qué la suma de infinitas cantidades positivaspuede ser una cantidad finita, por qué Aquiles alcanza a la tortuga o por qué el universo puede ser finito e ilimitado a la vez...

Así que teniendo presente lo anterior y el consejo que otra figura del XVIII, D'Alembert, daba a sus estudiantes: "¡Proseguid; ya

llegará la confianza!", empezamos. ¿Quieres seguirnos?

2. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

El conjunto de los números reales

Aunque no sea ésta la ocasión de establecer con rigor qué cosa son los números reales, podemos decir que en el proceso de cons-trucción de conjuntos numéricos, el que aparece en primer lugar es el conjunto NNNN de los números naturales. En él es posible sumar y mul-tiplicar, pero no siempre se puede restar o dividir. En ZZZZ, conjunto de los números enteros, la resta es siempre posible, pero no la división,la cual sí es posible (excepto entre cero) en QQQQ, conjunto de los números racionales. Como sabes, todo número racional puede represen-tarse mediante una fracción decimal finita o infinita periódica. Por otra parte, NNNN Ã ZZZZ Ã QQQQ, es decir, todo número natural es entero y todoentero es racional.

Sin embargo, no existe número racional que nos exprese la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad, o el cocienteentre la longitud de una circunferencia y su diámetro, o el límite de la sucesión de término general (1+1/n)n...

De este último tipo de números, 2 , p , e ... , que no admiten una expresión decimal finita o infinita periódica, se dice que sonirracionales.

El conjunto RRRR de los números reales, finalmente, es el formado por los números racionales y los irracionales.

En RRRR operaremos como lo hemos hecho siempre, sumando, multiplicando, ordenando sus elementos mediante la relación £...Descartada aquí, como queda dicho, una construcción rigurosa de RRRR , conviene no obstante mencionar la propiedad fundamental de losnúmeros reales; la propiedad de ccccoooonnnnttttiiiinnnnuuuuiiiiddddaaaadddd: Los números reales llenan la recta. Es decir, que si sobre una recta representamos el 0 yel 1, a cada número real corresponderá un punto de la recta y a cada punto de la recta, un número real, sin que haya puntos a los que nocorresponda un número real. Se podrá, en resumen, efectuar la habitual identificación entre números reales y puntos de una recta.

Vocabulario básico

Cuando se trabaja con números reales suelen utilizarse expresiones y símbolos cuyo significado conviene recordar:

• Siendo a, b dos números reales, con a < b , se define el intervalo abierto (a, b ) mediante la igualdad:

(a, b ) = { x Œ RRRR / a < x < b }

• Análogamente se define el intervalo cerrado [a, b ] mediante:

[a, b ] = { x Œ RRRR / a £ x £ b }

– 5 –




• El valor absoluto, |x |, de un número real x , se define así:

x

x x

x =

- <u

ÏÌÓ

si

si x 0

0

• La distancia entre dos números reales a y b es: d(a, b ) = |b – a |

• El entorno E(a ; r ) de centro un número real a y radio r >0, es el conjunto:

E(a ; r ) = { x Œ RRRR / a – r < x < a + r }

• El entorno reducido E’(a ; r ) de centro un número real a y radio r > 0 es el conjunto que resulta de prescindir en E(a ; r )del punto a . Es decir:

E’(a ; r ) = E(a ; r ) – { a }

a – r a a + r

E’ (a; r )

a – r a a – r

E(a; r )

a – r a a + r

Funciones reales de variable real

Se llama función real de variable real a toda aplicación f : DD RR æÆ æ donde DDDD es un subconjunto de RRRR .Es decir, a todo criterio que permita asociar a cada número real x de DDDD un único número real y .

• Existen muchas formas de designar simbólicamente las funciones, pero siendo habitual escribir f x ( ) para referirse a la imagen

de x , o sea, al número real que f hace corresponder a x , la función anterior suele identificarse mediante la notación:

y f x = ( )

diciéndose que x es la variable independiente e y la variable dependiente.

• Aunque, como decimos, f x ( ) designe un número real, también se escribe a menudo f x ( ) para referirse a la función.

Dominio y recorrido de una función

Siendo y f x = ( ) una función real de variable real, se definen el dominio y el recorrido de f x ( ) mediante las igualdades:

Dominio de existef x f x f = = Œ{ }DD RR / ( )

Recorrido de f f x x f f = = Œ{ }RR DD( ) /

f

O X

Y

Dominio

R e c o r r i d

o

Conviene decir que si al definir una función mediante una expresión algebraica no se precisa cuál es su dominio, habrá que enten-der que éste es el más ampl io subconjunto de RRRR en el que pueda tomar valores la variable independiente x , de modo que exista laimagen f x ( ). Así, por ejemplo, considerada la función:

f x x ( ) = -2 4 ,

como la raíz cuadrada anterior sólo tiene sentido en RRRR cuando sea x 2 4 0- u , resultará:

DD RRf x x = - u = - -{ / } ( , ).2 4 0 2 2

– 6 –




3. EL CONCEPTO DE LÍMITE

Ejemplos previos

➀ Consideremos, en primer lugar, la función:

f x

x x

x

x x

x ( )

( )( )=

+ --

=- +

-3 3 18

23 2 3

2

2

Para x = 2 la función no está definida, pero si calculamos valores como f f f ( ' ), ( ' ), ( ' )1 99 2 01 1 999 observaremos que tales valoresse aproximan a 15, tanto más cuanto más aproximemos el valor de x a 2. Y no sólo eso, sino que fijado cualquier número e > 0, porpequeño que sea, podemos conseguir que la distancia de f x ( ) a 15 sea menor que e, sin más que hacer que, siendo x { 2, la distancia dex a 2 sea menor que otro número d > 0, que seremos capaces de determinar.

Efectivamente, no es difícil comprobar que para lograr:

3 3 182

152x x

x

+ -

-

- < e

basta con tomar x tal que:

0 2

3< - < =x d

e

➔ Diremos que el límite de f x ( ) cuando x tiende a 2 es 15, y escribiremos:

lím

x f x

Æ=

215( )

➁ Consideremos ahora la función:

g x x ( ) = +7 1

A diferencia de lo que ocurría antes, en este caso sí existe g (2). Pero con independencia de ello, también conseguríamos que lafunción tomara valores tan próximos a 15 como quisiéramos, sin más que aproximar el valor de x a 2 lo suficiente.

➔ Diremos que el límite de g x ( ) cuando x tiende a 2 es 15, y escribiremos:

lím

x g x

Æ=

215( )

➠ En resumen, que aunque una de las funciones anteriores no esté definida en el punto x = 2 y la otra sí (lo cual también tienesu importancia, como veremos más adelante), en las cercanías de ese punto se comportan de forma semejante: sus valores se aproxi-man a 15 tanto como se quiera sin más que dar a x valores suficientemente próximos a 2. Por ello diremos que el límite de ambas funcio-nes, cuando x tiende a 2, es 15.

Definición (de límite de una función en un punto)

☞ Dada una función real de variable real f : DD RR æ Æ æ , diremos que su límite cuando x tiende hacia a es L y escribiremos:

lím L

x a f x

Æ=( )

si y sólo si:

Fijado cualquier número positivo e, existe otro número positivo, d, tal que

si x cumple: 0 < - <x a d , entonces se verifica: f x ( ) - <L e .

Simbólicamente:

lím Lx a

f x

Æ

=( ) ¤

" > $ > < - < - <e d d e 0 0 0/ ( )x a f x L

– 7 –

Juan Luis

CorcobadoCartes

Digitally signed by Juan LuisCorcobado CartesDN: CN = Juan Luis Corcobado

Cartes, C = ESDate: 2005.12.05 13:42:04+01'00'




Observación

La definición anterior puede darse en términos de entornos. En la figura pretendemos ilustrar que la existencia de lím Lx a

f x Æ

=( )

equivale a que fijado cualquier entorno E(L; )=(L , L + )e e e - exista un entorno E(a; )=(a ,a + )d d d - tal que tomado cualquier x

perteneciente a E'(a; )d se tenga f x ( ) E(L; )Œ e . Y ello, con independencia de que exista o no f (a).

L+e

a– d

L– e

a+d

f

O X

Y

a

L

f

O X

Y

L+e

a– d

L– e

a+d

L

a

Ejemplo previoConsideremos la función cuya gráfica aparece a la derecha:

f x x

x

x x

( ) =-

ÏÌÔ

ÓÔ

2

2si < 2

+5 si > 2

Como puede observarse, si los valores de x se aproximan a 2 por laizquierda , los valores de f x ( ) lo hacen 2, mientras que si los valores de x

se aproximan a 2, pero por la derecha , los de la función lo hacen a 3. Esdecir, que según que la aproximación de x a 2 se haga con valores meno-res o mayores que 2, las consecuencias son unas u otras. Surge así la idea

de límite lateral, que formalizamos a continuación.1 2 3

1

2

3

O X

Y

Definiciones (de límites laterales)

1111 Diremos que el límite de una función f x ( ) cuando x tiende hacia a por la izquierda es L, y escribiremos:

lím Lx a

f x Æ -

=( ) si y

sólo si f x ( ) se aproxima a L tanto como se quiera, sin más que dar a x valores suficientemente próximos a a , pero menores que a:

lím L L

x a

f x x a a f x Æ -

= ¤ " > $ > Œ - - <( ) / ( , ) ( )e d d e 0 0

2222 Diremos que el límite de una función f x ( ) cuando x tiende hacia a por la derecha es L, y escribiremos:

lím Lx a

f x Æ +

=( ) si y

sólo si f x ( ) se aproxima a L tanto como se quiera, sin más que dar a x valores suficientemente próximos a a , pero mayores que a:

lím L L

x a

f x x a a f x Æ +

= ¤ " > $ > Œ + - <( ) / ( , ) ( )e d d e 0 0

Consecuencia

Existe el límx a

f x Æ

( ) si y solo si existen los límites laterales en el punto a , verificándose: lím límx a x a

f x f x Æ Æ- +

=( ) ( )

La demostración es inmediata y queda como ejercicio.

Ejemplo

Supongamos que se desea saber si existe límx

x x

x x Æ

+

-0

3

5 2 . Dado que:

– 8 –




lím lím lím lím lím lím

x x x x x x

x x

x x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x Æ Æ Æ Æ Æ Æ- - - + + +

+-

=-

+= =

+-

=+

-= =

0 0 0 0 0 0

3

5 2

35 2

27

27

3

5 2

35 2

43

43

.

habremos de concluir que, al ser distintos los límites laterales, no existe el límite en cuestión.

Observación

Supongamos que fuera lím 0x a

f x Æ

=( ) . Como ello significaría que f x ( ) tomaría valores tan próximos a cero (tan pequeños , podría-

mos decir) como quisiéramos, sin más que dar a x valores suficientemente próximos a a , y dado que el término infinitésimo se haasociado tradicionalmente a una “magnitud muy pequeña”, lo mejor que podemos hacer es establecer formalmente tal concepto.

Definiciones (sobre infinitésimos)

➀ Se dice que una función f x ( ) es un infinitésimo para x tendiendo hacia a (de ahora en adelante, “ x a Æ ”) si lím 0x a

f x Æ

=( )

Es decir, si f x ( ) toma valores tan próximos a cero como se quiera, sin más que aproximar x a a lo suficiente.

➁ Siendo f x g x ( ) , ( ) infinitésimos para x a Æ , diremos que son de igual orden si lím k 0x a

f x g x Æ

= {( )( )

.

En particular, si lím 1

x a

f x

g x Æ=

( )( )

se dice que f x g x ( ) , ( ) son inf initésimos equivalentes .

③ Siendo f x g x ( ) , ( ) i nfinitésimos para x a Æ , diremos que f x ( ) es un infinitésimo de mayor orden que g x ( ) si lím 0

x a

f x

g x Æ=

( )( )

Ejemplo importante

Que las funciones f x x g x x ( ) , ( )= =sen son infinitésimos para x Æ 0 es inmediato, pues lím sen límx x

x x Æ Æ

= =0 0

0. Tiene mucho

interés, pues lo necesitaremos más adelante, demostrar que ambos son infinitésimos equivalentes; es decir, que límsen

x

x

x Æ =0 1.

Vamos a probarlo viendo, en primer lugar, que límsen

x

x

x Æ +=

01.

A tal fin, considerado en la circunferencia de la figura, de radio unidad, el ángulo de amplitud x (radianes) y recordando que:

cos x = OA, sen x = AC, tg x = BD,

la comparación entre las áreas del triángulo OAC, del sector circular OBC y del triángu-lo OBD nos permite escribir:

1

2 2

1

21 £ £ cosx x

x x sen tg

Si x > 0, dividiendo entre sen x , que es positivo, y simplificando, resulta:

cos

sen cosx

x

x x £ £

1O A B X

Y

CD

x s e n

x

cos x t g

x

Pero lím cos límcosx x

x x Æ Æ+ +

= =0 0

11

1; , por lo tanto habrá de ser límsenx

x

x Æ +=

01, y también lím

sen

x

x

x Æ +=

01.

Como procediendo de forma análoga a la anterior se llegaría a que, igualmente, límsen

x

x

x Æ -=

01, concluiríamos que, en

efecto:

límsen

x

x

x Æ

=0

1

– 9 –




Límite de la suma, producto y cociente de funciones

Supongamos ahora que f x g x ( ), ( ) son dos funciones para las que existen los límites cuando x tiende hacia a . ¿Qué ocurrirá con el

límite de la suma, el producto y el cociente de ambas funciones?

➀El límite de una suma es igual a la suma de los límites:

lím lím lím

x a x a x a f x g x f x g x

Æ Æ Æ+ = +[ ( ) ( )] ( ) ( )

➁ El límite de un producto es igual al producto de los límites:

lím lím lím

x a x a x a f x g x f x g x

Æ Æ Æ = [ ( ) ( )] ( ) ( )

③ El límite de un cociente es igual al cociente de los límites:

límlím

límsi lím

x a

x a

x a x a

f x

g x

f x

g x g x

ÆÆ

ÆÆ

= {( )

( )

( )

( )( ( ) )0

No efectuaremos las demostraciones, aunque no sean muy complicadas.

4. LÍMITES INFINITOS Y EN EL INFINITOComo sabemos desde el curso pasado, existen límites funcionales de tipos distintos al anterior. Más que memorizar las

definiciones siguientes conviene fijarse en el par de ideas que, combinadas de una u otra forma, aparecen en todos ellas.

1111....1111 Si los valores de una función f x ( ) se aproximan tanto como se quiera a un cierto número L sin más que hacer que la variablex tome valores positivos suficientemente grandes, tal hecho se simboliza escribiendo:

lím L

x f x

Æ +•=( )

1111....2222 Si los valores de una función f x ( ) se aproximan tanto como se quiera a un cierto número L sin más que hacer que la variable

x tome valores negativos de valor absoluto suficientemente grande, tal hecho se simboliza escribiendo:

lím L

x f x

Æ -•=( )

➡ Los dos casos anteriores se ilustran en la siguiente figura. La recta de ecuación y = L que aparece en ella se dice que esuna asíntota horizontal de la curva o de la función f x ( ) .

Y

f

X

L asíntota

f

L

X

Y

asíntota

lím L

x f x

Æ +•=( )

lím L

x f x

Æ -•=( )

1111....3333 Cuando suceda que lím lím Lx x

f x f x Æ -• Æ +•

= =( ) ( ) , se escribe simplemente: lím Lx

f x Æ •

=( )

2222....1111 Si para conseguir que f x ( ) tome valores mayores que cualquier numero positivo fijado previamente, basta con que x seaproxime lo suficiente por la derecha a un cierto número real a (es decir: tomando valores mayores que a ) escribiremos:

lím

x a

f x

Æ +

= +•( )

– 10 –




2222 .... 2222 Si para conseguir que f x ( ) tome valores mayores que cualquier numero positivo fijado previamente, basta con que x seaproxime lo suficiente por la izquierda a un cierto número real a (es decir: tomando valores menores que a ) escribiremos:

lím

x a

f x Æ -

= +•( )

2222....3333 Cuando suceda que lím límx a x a f x f x Æ Æ- += = +•( ) ( ) , se escribe simplemente: límx a f x Æ = +•( )

2222 ....4444 Si para conseguir que f x ( ) tome valores menores que cualquier numero negativo fijado previamente, basta con que x seaproxime lo suficiente por la derecha a un cierto número real a escribiremos:

lím

x a

f x Æ +

= -•( )

2222 ....5555 Si para conseguir que f x ( ) tome valores menores que cualquier numero negativo fijado previamente, basta con que x seaproxime lo suficiente por la izquierda a un cierto número real a escribiremos:

lím

x a

f x Æ -

= -•( )

2222 ....6666 Cuando suceda que lím límx a x a f x f x Æ Æ- += = -•( ) ( ) , se escribe simplemente: límx a f x Æ = -•( )

➡ Si

lím o límx a x a

f x f x Æ Æ- +

= ±• = ±•( ) ( ) o suceden ambas cosas simultáneamente, se dice que la recta x = a es una

asíntota vertical de la función.

asíntota

3333 ....1111 También puede suceder que baste con que x tome valores suficientemente grandes para lograr que f x ( ) tome valoresmayores que cualquier numero fijado previamente. En tal caso escribiremos:

lím

x f x

Æ +•= +•( )

3333 ....2222 Si para lograr que f x ( ) tome valores mayores que cualquier numero fijado previamente baste con que x tome valoresnegativos, pero de valor absoluto suficientemente grande, escribiremos:

lím

x f x

Æ -•= +•( )

3333 ....3333 Cuando suceda que lím límx x

f x f x Æ -• Æ +•

= = +•( ) ( ) , se escribe simplemente: límx

f x Æ •

= +•( )

4444....1111 También puede suceder que baste con que x tome valores suficientemente grandes para lograr que f x ( ) tome valoresnegativos, de valor absoluto mayor que cualquier numero fijado previamente. En tal caso escribiremos:

lím

x f x

Æ +•= -•( )

4444....2222 Si para lograr que f x ( ) tome valores negativos, de valor absoluto mayor que cualquier numero fijado previamente. basta conque x tome valores negativos, pero de valor absoluto suficientemente grande, escribiremos:

lím

x f x

Æ -•= -•( )

4444 ....3333 Cuando suceda que lím límx x f x f x Æ -• Æ +•= = -•( ) ( ) , se escribe simplemente: límx f x Æ • = -•( )

– 11 –




Indeterminaciones

Hemos visto líneas atrás que si lím L lím Mx a x a

f x g x Æ Æ

= =( ) ; ( ) , puede saberse inmediatamente qué valor toman los límites, para

x a Æ , de f x g x f x g x ( ) ( ) , ( ) ( )+ ,f x

g x

( )

( )

... Tampoco nos cabrían muchas dudas acerca del valor de estos límites si hubiéramos partido

de que lím + lím Mx a x a

f x g x Æ Æ

= • =( ) ; ( ) , por ejemplo.

Pero hay otros casos en los que la respuesta no está previamente determinada.

Así, por ejemplo, si: lím 0 lím 0x a x a

f x g x Æ Æ

= =( ) ; ( ) , a la hora de calcular límx a

f x

g x Æ

( )

( )pueden ocurrir diferentes cosas . Veamos un par

de casos diferentes para ilustrar lo que decimos:

1111 El lím

x

x x

x Æ

+ --2

2 6

2corresponde al supuesto anterior, pues tanto el límite del numerador como el del denominador para x Æ 2,

son nulos, teniéndose:

lím lím lím

x x x

x x

x

x x

x x

Æ Æ Æ+ -

-= + -

-= + =

2

2

2 2

62

3 22

3 5( )( ) ( )

2222 En cambio, para el límx

x x

x Æ

+ -

-2

2

3

6

2( ), cuyo numerador y denominador también tienen por límite cero, lo que sucede es esto otro:

lím lím lím

x x x

x x

x

x x

x

x

x Æ Æ Æ

+ -

-=

+ -

-=

+

-= +•

2

2

3 2 3 2 2

6

2

3 2

2

3

2( )

( )( )

( )

( )

( )

➡ Debido a ello se dice que “

00

” es una indeterminación.

Otro ejemplo: si: lím límx a x a

f x g x Æ Æ

= • = •( ) ; ( ) , a la hora de calcular límx a

f x g x Æ

-[ ]( ) ( ) nos podemos encontrar con d iferentes

resultados. Veamos un par de casos al respecto.

1111 El límx x x Æ -

--

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

1

11

21

, que corresponde al supuesto anterior, no existe, pues los límites laterales son distintos:

lím límx x x x x Æ Æ- --

--

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = -

-

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = +•

1 1

11

21

11

; lím límx x x x x Æ Æ+ +-

--

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = -

-

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = -•

1 1

11

21

11

2222 En cambio, para el límx x x Æ - - -

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ 1 2 2

1

1

2

1( ) ( ) , que también corresponde al mismo supuesto, lo que se tiene es:

lím límx x x x x Æ Æ-

--

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ = -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ = -•

1 2 2 1 2

1

1

2

1

1

1( ) ( ) ( )

➡ Debido a ello se dice que “ • - •” es otra indeterminación.

Cuando haya que calcular el límite de una expresión y no sea posible saber de antemano cuál será su valor, por aparecernos alguna

expresión como las anteriores u otras semejantes, como 1 0 00 0• ••

• •, , , , , habrá que analizar en cada caso cuál es la forma más

adecuada de proceder. Algunas de ellas ya los conocemos desde el curso pasado. Otras las aprenderemos en el actual.

– 12 –




5. FUNCIÓN CONTINUA EN UN PUNTO

Consideraciones previas

El concepto de continuidad, sin cuyo estudio poco podríamos hacer de ahora en adelante, no es un invento de los matemáticos,

sino que, como tantas otras, se trata de una idea que éstos han tomado de la realidad y, posteriormente, han formalizado. En efecto, en lavida diaria se dan muchos fenómenos físicos, sociales, etc., tales que las funciones que en ellos intervienen y los explican son continuas, esdecir, se caracterizan porque a pequeños incrementos de la variable independiente corresponden incrementos también pequeños de lavariable dependiente. Así, por poner el más típico de los ejemplos, si un movimiento se rige por una ley de la forma e = f (t), con la quese expresa la dependencia del espacio recorrido en función del tiempo, es normal que a pequeñas variaciones en el valor de t corres-pondan variaciones igualmente pequeñas de e; el espacio será una función continua del tiempo. Y no faltarían otras situaciones con lasque ilustrar lo que decimos. Veamos, sin embargo, antes de dar la definición de función continua, y de forma intuitiva, algunos ejemplosde lo que no son funciones continuas.

Ejemplos previos

Para la función f x ( ) a la que correspondería esta gráfica,

se verificaría que:• No existe f a ( )

• No existe límx a

f x Æ

( )

En este segundo caso, para la función f x ( ) de la figura, se

verificaría que:• No existe f a ( )

• Existe límx a

f x Æ

( )

Y

f

X

a

Y

f

X

a

En este tercer caso, para f x ( ) se tiene:• Existe f a ( )

• No existe límx a

f x Æ

( )

En este cuarto caso se verifica:• Existe f a ( )

• Existe límx a

f x Æ

( )

• Ambos valores son distintos

Y

f

X

a

Y

f

X

a

Definición (de función continua en un punto)

Hablando sin mucho rigor, podríamos decir que, aun siendo diferentes, lo que tienen en común los casos anteriores es que lasgráficas se rompen en el punto de abscisa a , hay que levantar el lápiz del papel al llegar a x = a ... Justamente cuando no suceda eso,cuando no haya que levantar el lápiz del papel para dibujar la gráfica, será cuando diremos que la función es continua. Formalmente:

Una función f x ( ) es continua en x = a si y sólo si lím

x a f x f a

Æ=( ) ( )

– 13 –




O, dicho de otra manera:

Una función f x ( ) es continua en x = a si y sólo si " > $ > - < - <e d d e 0 0 / ( ) ( )x a f x f a

O, en términos de entornos:

Una función f x ( ) es continua en x = a si y sólo siTomado cualquier entorno de f a ( ), f x ( ) perteneceráa él, siempre que x se halle en un entorno de a ,que será posible determinar.

Parece innecesaria añadir que la función de la siguiente figura ssssíí í í es continua en el punto a .

Y

f

X

a

f (a )

Observación

Dijimos antes que las funciones continuas hacían corresponder a incrementos pequeños de la variable independiente, incrementostambién pequeños de la variable dependiente. Vamos a explicarlo un poco mejor ahora, aprovechando la ocasión para introducir unanotación bastante tradicional, que sigue siendo interesante conocer.

Sea la función f x ( ) y consideremos un valor x 0 de la variable independiente, perteneciente a su dominio DDf ; el valor correspon-

diente de la función será f x ( )0 . Si a x 0 le sumamos cierta “cantidad” Dx , a la que llamaremos incremento de x , el valor de la funciónserá f x x ( )0 + D [supuesto que ( )x x f 0 + ŒD DD ). A la diferencia f x x f x ( ) ( )0 0+ -D , que refleja la variación de f x ( ) cuando la variable

independiente ha pasado de valer x 0 a valer x x 0 + D , la llamaremos incremento de la variable dependiente y la representaremos porD y .

Yf

Xx

0

f (x 0 )

x 0

+¨x

f (x 0 +¨x 0 )

Pues bien: si la función f x ( ) es continua en x 0, entonces límx x

f x f x Æ

=0

0( ) ( ) y en tal caso, sustituyendo x x x por 0 + D , se tendrá:

lím es decir: lím lím

D D DD D D

x o o

x o o

x f x x f x f x x f x y

Æ Æ Æ+ = + -[ ] = =

0 0 00( ) ( ) , ( ) ( )

Luego, que f x ( ) sea continua en x 0 significa, efectivamente, que a incrementos Dx de la variable independiente muy pequeños(infinitesimales), corresponden incrementos D y de la variable dependiente también muy pequeños (infinitesimales).

Por otra parte, este hecho de que la continuidad de una función en un punto suponga que a pequeños incrementos de la variableindependiente correspondan pequeños incrementos de la función, permite predecir cómo se comportará ésta en las proximidades de talpunto. Así, por ejemplo, si f x ( ) es continua y toma valor positivo en un punto a , es lógico pensar que en las proximidades de dicho

punto f x ( ) siga siendo positiva... Sobre esto y algo más tratan los siguientes teoremas.

– 14 –




Teorema (conservación del signo)

Si f x ( ) es continua en un punto a , siendo f a ( ) { 0, existe un entorno de a en el que f x ( ) tiene igual signo que f a ( )

En efecto. Supongamos que, por ejemplo, f a ( ) = >k 0. Tomado el entorno de k de radio k2 : k k2 k k2 k2 3k2- +Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ =Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ , , , la

continuidad de f x ( ) en a asegura la existencia de un entorno de a : E( ; )a d tal que cuando x a ŒE( ; )d , entonces f x ( ) ,ŒÊ

Ë Á

ˆ

¯ ˜

k2

3k2

y,

por tanto f x ( ) > 0. En el caso en que fuera f a ( ) < 0 la demostración sería análoga.

Y

f

X

a a+da-d

En este entorno f (x ) espositiva, al serlo f (a )

Una consecuencia inmediata de lo anterior es que si una función f x ( ) es continua en un punto a , y toma valores positivos ynegativos en cualquier entorno de dicho punto, entonces necesariamente ha de ser f a ( ) = 0.

Teorema (acotación)

Si una función f x ( ) es continua en un punto a , existe un entorno de a en el que f x ( )está acotada(o sea, existen dos números reales k, k’ tales que k k£ £f x ( ) ')

En efecto. Considerado, por ejemplo, el entorno f a f a ( ) , ( )- +( )1 1 , existirá un entorno E( ; )a d tal que si x a ŒE( ; )d , entonces

f x f a f a ( ) ( ) , ( )Œ - +( )1 1 ; es decir: f a f x f a ( ) ( ) ( )- < < +1 1.

Operaciones con funciones continuas

Partiendo de la definición de función continua y de las propiedades de los límites, se puede establecer:

1111 La suma, producto y cociente de dos funciones, f x g x ( ) , ( ) , cont inuas en un punto a es otra función continua en a (con la

excepción, para el cociente entre f x g x ( ) ( )y , del caso en que g a ( ) = 0.)

2222 La función compuesta, ( )( )f g x o , es continua en a si g x ( ) lo es en a y f x ( ) en g a ( ).

Por otra parte, dado que las funciones constante : f x ( ) = k, e identidad : f x x ( ) = , son continuas en todo punto a Œ RRRR , la aplica-ción de los resultados anteriores conduce a que:

3333 Tanto las funciones polinómicas: f x x x x x n ( ) ; ,= + + + + º + Œ Œa a a a a a n0 1 2 3 n i2 3 RR NN

como las funciones racionales: g x

x x x x

x x x x

n

( ) ; ;=+ + + + º +

+ + + + º +Œ Œ

a a a a a

b b b b ba ,b n,m0 1 2 3 n

0 1 2 3 mm i i

2 3

2 3RR NN

son continuas en todo punto a Œ RRRR (salvo, en el segundo caso, en los puntos en los que el denominador se anule).

Finalmente, aunque se trate de algo más difícil de demostrar:

4444 Las funciones trigonométricas: f x x g x x ( ) ; ( )= =sen cos ; exponencial: f x x ( ) = a , a > 0; y logarítmica: f x x ( ) log= a , a > 0,

son continuas en todos los puntos en los que están definidas.

– 15 –




6. FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO

Definiciones (de función continua en intervalo abierto y cerrado)

1111 Diremos que una función f x ( ) es continua en un intervalo abierto (a , b ) si lo es en todos los puntos de dicho intervalo.

Como la cuestión es así de sencilla, no vamos a darle más vueltas. Pero, en cambio, considera ahora una función f x ( ) cuya gráficafuera como la que tienes a la vista:

De acuerdo con la noción intuitiva de continuidad, resulta razonable decir quetal función es continua en el intervalo cerrado [a , b ]. Pero no podríamos basarnospara ello en que f x ( ) sea continua en todos los puntos del intervalo pues en realidadno sabríamos qué ocurre con los límites de f x ( ) en los extremos a y b . Se hacenecesaria, pues, una definición más precisa.

Y f

Xa b

2222 Diremos que una función f x ( ) es continua en un intervalo cerrado [a , b ] si lo es en el intervalo abierto (a , b ) y, además:

lím límx a x b f x f a f x f b

Æ Æ+ -= =( ) ( ) ; ( ) ( )

Teorema (de Bolzano)

Si una función es continua en un intervalo cerrado y toma valores de distintosigno en sus extremos, entonces existe al menos un punto en el interior delintervalo en el que la función se anula.

Yf

Xa

b

En este puntof(x) se anula

La demostración rigurosa del teorema no es trivial y requiere utilizar el quetodo conjunto no vacío de números reales acotado superiormente tiene una cota

superior mínima.Intuitivamente, sin embargo, la cosa parece fácil. El que la función pudiera pasar de valores negativos a positivos sin pasar por

cero, supondría que la función tendría que dar un salto y, como sabes, las funciones continuas no saltan .

Aplicación a la resolución de ecuaciones

Supongamos que se desea hallar una raíz o solución aproximada de la ecuación:

x x 3 4 0+ - = .

Considerada la función f x x x ( ) = + -3 4 , continua en todo punto de RRRR, se tiene que f f ( ) , ( )0 4 0 2 6 0= - < = > , luego la ecuación

tendrá una raíz entre 0 y 2. Tomemos el punto medio del intervalo [0, 2], es decir, el 1. Como f ( )1 2 0= - <

, habrá una raíz entre 1 y 2.Tomado el punto medio del intervalo [1, 2], 1’5, y viendo que f ( ' ) '15 0 875 0= > , deduciremos que la raíz se halla entre 1 y 1’5.

Prosiguiendo así sucesivamente, podríamos hallar una raíz de la ecuación con la aproximación que deseásemos. En este caso, porejemplo, una aproximación hasta la cuarta cifra decimal nos daría : x = 1’3788.

Definiciones (de máximo y mínimo absolutos)

➬ Diremos que una función f : DD RR æ Æ æ tiene un máximo absoluto en un punto a Œ DDDD si f a f x x ( ) ( ),u " ŒDD.

➬ Diremos que una función f : DD RR æ Æ æ tiene un mínimo absoluto en un punto a Œ DDDD si f a f x x ( ) ( ),£ " ŒDD.

(No deben confundirse estos máximos y mínimos absolutos con los máximos y mínimos locales , de los que hablaremos más

adelante).

– 16 –




Teorema (de Weierstrass)

Admitiremos sin demostración que:

Si una función es continua en un intervalo cerrado , tiene en él un máximo y unmínimo absolutos. Y f

Xa b

Máximo absoluto

Mínimo absolutoDDDDoooossss ccccoooommmmeeeennnnttttaaaarrrriiiioooossss::::

El primero, que en la figura hemos situado el máximo absoluto en el interiordel intervalo y el mínimo absoluto en un extremo. Es un caso entre otros posibles.

El segundo, que sería erróneo pensar que toda función definida en un intervalo cerrado, aunque no sea continua en él, habrá detomar un valor que sea el mayor de todos y otro que sea el menor . Basta para comprobarlo con observar la figura siguiente:

Y

Xa b

f(c )

c

La función correspondiente estaría definida en [a, b] y, sin embargo, no existirían valores que fueran el máximo o el mínimo.

Teorema (de los valores intermedios)

Si una función es continua en un intervalo cerrado , toma en él cualquier valor

comprendido entre el máximo y el mínimo absolutos.

Y

Xa bx 0

y 0La demostración de este teorema, admitidos los anteriores, resulta asequible.

Siendo x x M my los puntos del intervalo [a, b] en los que f x ( ) alcanza el máximo

absoluto y el mínimo absoluto, respectivamente, y siendo y 0 un valor cualquiera

comprendido entre el mínimo y el máximo absolutos, la función g x f x y ( ) ( )= - 0 es

continua en [ ]x x M m, (suponemos x M a la izquierda de x m) y en los extremos de

dicho intervalo cerrado toma valores de distinto signo.

Por consiguiente, y en virtud del teorema de Bolzano, existirá al menos un punto x x x 0 Œ[ ]M m, , luego x a b 0 Œ[ ], , tal que:

g x f x y ( ) ( )

0 0 00= - =

es decir, tal que:

f x y ( )0 0=

Ejemplo

Considerada la función f x x ( ) = sen , dicha función es continua en el intervalo 02

,p È

ÎÍ

»

½¼ , en el que su valor mínimo absoluto es 0 y

su valor máximo absoluto 1. En consecuencia, podremos asegurar que para todo y 0 0 1Œ[ ], existirá x 0 02

ŒÈ

ÎÍ

»

½¼,

p tal que y x 0 0= sen .

– 17 –




7. EJERCICIOS

1111 .... ---- Además de los vistos páginas atrás, en ocasiones aparecen los intervalos [ , ), ( , ] , ( , ) , ( , ) , ( , ] ,[ , )a b a b b a b a -• • -• • , que no pare-

ce necesario definir. Pues bien, simplifica al máximo la expresión: ( , ) [ , ] ( , )-• { } « •3 2 5 4 .

2222....---- Un punto de acumulación de un conjunto C de números reales es un punto (número real) a tal que todo entorno reducido de élcontiene algún punto de C. Demuestra que si a es punto de acumulación de C, entonces todo entorno de a contiene infinitos pun-tos de C. (Sugerencia: Supón que hubiera un entorno de a que sólo tuviera un número finito de puntos de C).

3333....---- Demuestra que: lím lím lím lím límx x x a h x

x x sen x

f x f a h x Æ Æ Æ Æ Æ

+ = = = + =3 0 0 3

22 4 101

0 9( ) ; . ; ( ) ( );

4444....---- Sabiendo que límx

x Æ

- =1

25 2 3( ) , determina un entorno de 1 tal que si x está en él, f x ( ) '- <3 0 001.

5555 ....---- Pon un ejemplo de función definida para todo valor de x , que no tenga límite para x Æ 2.

6666 ....---- Si existe límx a

f x

Æ

( ), siendo f x x a ( ) > <0 si , ¿podemos asegurar que tal límite es positivo? ¿Y que no es negativo?

7777 ....---- Sabiendo que límx

x

x Æ +•

+=

4 14, determina para qué valores de x se verifica:

4 14 10 5x

x

+- < - .

8888 ....---- Justifica que no existen:

lím sen lím senx x

x x Æ +• Æ

;0

1

9999....---- Calcula, en los casos en que existan, los siguientes límites:

11.. 22.. 33.. 44..

55.. 66.. 77..

lím lím lím lím

lím lím lím

x x x x

x x x

x

x

x x

x

x

x

x x x

x x x

x x

x

x

x

x

x

Æ Æ Æ Æ -

Æ Æ Æ

+ - +-

-

-

+ + +

+ - +

- - + + --

++

Ê Ë Á ˆ

0

5

2 3

2

4 3

3 2

3 2

0 3 1

3 5 63

2 8

2 8

5 10 12

2 2 3

2 2 1 23

2 12 ¯ ¯

˜ - --

Ê Ë ÁÁ

ˆ ¯ ˜ ˜

+ + +- - -

-+

-

Æ

-

Æ Æ -• Æ +• Æ •

1

1

2

2

5

2

0

12

2 2

24 8

2 1 22 2

2

2 4

x

x

x

x

x

x x x

x x

x

x x x x x x x

x

x x

x

88..

99.. 1100.. 1111.. 1122..

lím

lím lím lím lím( )( )

11110000....---- Demuestra, aplicando la definición, que la función f x x x ( ) = - +2 6 9 es continua en x = 3.

11111111....---- Siendo x Œ RRRR , con el símbolo [x ] se representa la parte entera de x , o sea, el mayor de los números enteros menores o igualesque x . Sabiendo lo anterior, representa gráficamente la funcion f x x ( ) [ ]= , di qué ocurre con sus límites laterales para x a Æ ,

siendo a un número entero, y estudia su continuidad.

11112222....---- Haz lo mismo que en el ejercicio anterior, pero con la función f x x x ( ) [ ]= - .

11113333....---- Determina el valor de k para que las funciones:

f x x

x g x x n

( ) ; ( )( )

=-

-{ =

+ - {ÏÌÔ

ÓÔ

ÏÌÔ

ÓÔ

2 93

1 1si x 3

k si x = 3

si x 0

k si x = 0

sean continuas en los puntos x = 3 y x = 0, respectivamente.

11114444....---- Representa gráficamente la función f x x ( ) = y estudia su continuidad en x = 0.

– 18 –




11115555 .... ---- Estudia la continuidad de las funciones:

f x

x g x x x h x

x

x ( ) ; ( ) [ ] ; ( )=

-= + =

2

2

11116666.... ---- Determina si existe algún valor de k para el que sea continua en a = 2 la función:

f x

x

x ( ) =-

-{

ÌÔ

ÓÔ

3 6

42si x 2

k si x = 2

11117777....---- Determina si existe algún valor de k tal que la función:

f x

x

x x ( ) =

+ £- +

ÏÌÓ

2

22

k si x 1

k si x > 1

sea continua en todo punto.

11118888....---- ¿Para qué valores de k la función f x

x

x x ( ) =+

- +

1

32 k no es continua en x = k?

11119999....---- Determina una expresión algebraica y estudia la continuidad de la función cuya gráfica es la siguiente:

1

X

Y

1 2 3 4

22220000....---- Tras representarla, estudia la continuidad de la función f x x x ( ) = - + -2 6 .

22221111....---- Estudia la continuidad en el punto x = 0 de la función:

f x x

x ( ) = {ÏÌÔ

ÓÔ

2 1sen si x 0

0 si x = 0

22222222....---- Determina un entorno de centro a = 2 en el que la función f x x x ( ) = -9 4 2 tenga signo constante.

22223333....---- Aplica el teorema de Bolzano para comprobar que la ecuación ex = -2 2x tiene alguna solución entre 0 y 1 y para calcular esasolución con la primera cifra decimal exacta.

22224444....---- ¿Se puede asegurar que la ecuación a b c dx x x 5 3 0+ + + = tiene al menos una solución real?

22225555....---- Explica por qué puede asegurarse que existe algún x , 0 £ x £ p, tal que:5

24

+=

cosx .

22226666....---- Sea f x x x x ( ) = - + -4 3 23 2 1. ¿Existe algún a a a , 2< <3 , tal que f ( ) = 2?

22227777....---- La función f x x

( ) =-6

3toma distinto signo en los extremos del intervalo [2, 4] y, sin embargo, no se anula en ningún punto de

dicho intervalo. ¿No se contradice el teorema de Bolzano?

22228888....---- Compara los valores que en los puntos 1 y 2 toman las funciones f x ln x g x x ( ) ( )= = -e y justifica a partir de ello que las gráficasde ambas funciones se cortan en algún punto.

– 19 –



Tema 2

El concepto de derivada




1. INTRODUCCIÓNSiendo cierto que los conceptos de función, límite y continuidad estudiados en el tema anterior son fundamentales, no lo es menos

que todo lo hecho antes ha sido una preparación para lo que viene ahora: el concepto de derivada. Su interés radica, básicamente, en quees el instrumento que las matemáticas proporcionan a otras ciencias, especialmente la física, para que en aquellas situaciones en que se

producen cambios, pueda medirse la rapidez con la que éstos se producen.Si las funciones continuas constituyen un tipo especial en el universo variopinto de las funciones, aún siguen siendo demasiadas .

Restringir algo el tipo de funciones con las que trabajaremos, exigir la derivabilidad a una función, nos va a permitir obtener resultadosmucho más interesantes que los ya obtenidos para las funciones continuas. Si éstas, las funciones continuas, podrían ser caracterizadasintuitivamente como aquellas cuyas gráficas no se quiebran, no se rompen, aquéllas, las derivables, serán las funciones que, además deno romperse, son suaves, no tienen picos... Las consecuencias que se obtendrán de limitar nuestra trabajo a las funciones derivables vana ser de una riqueza y variedad insospechada.

2. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO

Tangente a una curva en un punto

Si alguien nos preguntara qué es la tangente a una curva en un punto, nosotros, pensando quizás en el caso de la circunferencia,podríamos responder que es la recta que corta a la curva en ese único punto... Pero mala respuesta sería, porque entonces no nosquedaría más remedio que admitir que la segunda recta del dibujo no sería tangente a la sinusoide y que, en cambio, sí lo sería la terceraa la parábola...

La cuestión se resuelve así:

1111ºººº)))) Como se observa en la figura siguiente, la recta secante a la función y f x = ( ) en los puntos P y Qx f x x f x 0 0 1 1, ( ) , ( )( ) ( ) es la

recta que pasando por P tiene por pendiente:

m tagPQ = =

--

a f x f x

x x o

o

( ) ( )1

1

pues, como sabes, la pendiente de una recta en el plano es la tangente trigonométrica del ángulo que forman el eje OX y dicha recta.

Y

X

secantes

tangenteen P

Y

X

P

Q

a

a

f( x 1) -f( x

0)

x 1-x

0

f( x 0)

f( x 1)

x 0 x

1

P

2222 ºººº )))) Por otro lado, la tangente en el punto P parece ser la recta a la que tenderían las secantes en P y Q cuando el punto Qtendiera a confundirse con el P.

➩ Por todo ello, se define formalmente la tangente a la función y f x = ( ) en el punto P x f x 0 0, ( )( ) como la recta que pasando por

dicho punto tiene por pendiente el siguiente límite, si éste existe:

lím

x x

o

o o

f x f x

x x Æ

-

-

( ) ( )

– 21 –




• Interesa observar que si donde pone x ponemos x x o + D , la pendiente de la tangente vendrá dada por:

m lím lím=

+ -=

DÆ ÆD D

DD Dx

o o

x

f x x f x

x

y

x 0 0

( ) ( )

expresión que, en el fondo, lo que hace es comparar en el punto considerado dos incrementos, el de variable dependiente y el de la inde-pendiente cuando éste tiende a cero; o dicho de otra forma: cómo varía la y en relación a la x .

Velocidad de una partícula

• Imaginemos ahora una partícula que se mueve rectilíneamente recorriendo un espacio definido por una función e e t = ( ) , queexpresa la dependencia de la distancia a la que el móvil se halla de un cierto origen, 0, con relación al tiempo.

0 posición en t = t 0 posición en t = t 1

e(t 1)

e(t 1)- e(t 0 ) e(t 0 )

Si quisiéramos definir la velocidad en el instante t o , podríamos partir de que el cociente

e t e t

t t o

o

( ) ( )1

1

--

es la velocidad media en el intervalo de tiempo comprendido entre t t 0 1y , y tomando instantes cada vez más próximos, que tendieran a

confundirse, considerar las velocidades medias entre ellos. Pero eso resulta bastante impreciso, de modo que la cuestión se resuelveformalmente definiendo la velocidad en el instante t 0 así:

v t e t e t

t t o

t t

o

o o

( ) ( ) ( )= --Ælím

O también, llamando Dt a la diferencia t t o - :

v t

e t t e t

t

e

t o

t

o o

t ( )

( ) ( )=

+ -=

Æ Ælím lím

D D

DD

DD0 0

(La velocidad instantánea es un concepto teórico, abstracto, que no corresponde exactamente a ninguna magnitud medible; aunque nazca deuna que sí lo es, como la velocidad media. La velocidad en el instante t o no es igual al cociente:

e t t e t

t

o o ( ) ( )+ -DD

para ningún valor de Dt , pero sí es igual al valor del límite para Dt Æ 0 del cociente anterior, calculado matemáticamente. Así, pues, cuando los

físicos miden velocidades, lo hacen para intervalos de tiempo, por pequeños que éstos sean).

En resumen, que problemas aparentemente tan dispares como obtener la tangente a una curva o calcular una velocidad instan-tánea encuentran su solución con la misma herramienta. Será cuestión de darle nombre propio.

Definición (derivada de una función en un punto)

➬ Sea y f x = ( ) una función real de variable real. Diremos que f x ( ) es derivable en un punto x 0 si existe y es finito:

lím

x x

o

o o

f x f x

x x Æ

--

( ) ( )

– 22 –




➬ Tal límite, que también puede expresarse como:

lím

D

DDx

o o f x x f x

x Æ

+ -0

( ) ( )

recibe el nombre de derivada de la función f x ( ) en el punto x o y se representa normalmente por f x o ''( ), aunque también son utilizadas

expresiones como y x o ''( ),

dy dx

x o

Ê Ë Á ˆ

¯ ˜ , etc.

➬ Finalmente, dado que f x x f x y o o ( ) ( )+ - =D D , se tendría:

f x

y

x o x

''( ) =Æ

límD

DD0

expresión que permite interpretar la derivada de f x ( ) en el punto x o como el límite del cociente entre el incremento de la variable

dependiente y el de la variable independiente, cuando éste último tiende a cero.

➬ Observemos, por cierto, que de acuerdo con la nueva notación, la ecuación de la tangente a la curva y f x = ( ) en un punto x o

en el que sea derivable será: y y f x x x o o - = -0 ''( ) ( )

Ejemplos

Debe quedar claro que una función será derivable en un punto sólo si existe el límite anterior. Así, por ejemplo:

➩ ➀ La función “valor absoluto”: f x x ( ) = , no es derivable en el punto x 0 0= , al ser distintos los límites laterales:

lím lím lím

lím lím lím

x x x

x x x

f x f

x

x

x

x

x

f x f

x

x

x

x

x

Æ Æ Æ

Æ Æ Æ

+ + +

- - -

--

=--

=--

= +

--

=--

=- -

-= -

0 0 0

0 0 0

0

0

0

0

0

01

0

0

0

0

0

01

( ) ( )

( ) ( )

Cuando sospechemos que no habrá ningún problema, una forma de calcular —por ahora— la derivada de f x ( ) en x o es la delsiguiente ejemplo:

➩ ➁ Para hallar la derivada de f x x ( ) = 2 en el punto x o = 5 :

1º) Hallaríamos f x o ( ) = =5 252

2º) Calcularíamos f x x x x x o ( ) ( ) ( )+ D = + D = + D + D5 25 102 2

3º) Obtendríamos D = + D - = D + D y f x x f x x x o o ( ) ( ) ( )10 2

4º) HallaríamosDD

Df

x x = +10

5º) Finalmente, calcularíamos lím límD D

DD Dx x

f

x x Æ Æ= + =0 0 10 10( )

Teorema (la derivabilidad implica la continuidad)

➩ SSSSiiii uuuunnnnaaaa ff f f uuuunnnncccciiiióóóónnnn eeeessss ddddeeeerrrriiiivvvvaaaabbbblllleeee eeeennnn uuuunnnn ppppuuuunnnnttttoooo,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss eeeessss ccccoooonnnnttttiiiinnnnuuuuaaaa eeeennnn ddddiiiicccchhhhoooo ppppuuuunnnnttttoooo....

En efecto, si siendo x x { 0 , escribimos: f x f x f x f x

x x x x o

o

o o ( ) ( )

( ) ( )( )- =

--

- y tomamos límites para x x o Æ , se tendrá:

lím lím lím

x x o

x x

o

o x x o o

o o o

f x f x f x f x

x x x x f x

Æ Æ Æ-[ ] =

--

- = =( ) ( )( ) ( )

( ) ( )'' 0 0

luego: límx x o o f x f x Æ =( ) ( )

– 23 –




Advertencia importante

El teorema recíproco del anterior no es cierto. Así, por citar el más típico de los ejemplos, la función f x x ( ) = , cuya gráfica

aparece en la figura, es continua en el punto x 0 0= y, sin embargo, como hemos visto antes, no es derivable en dicho punto. En otraspalabras: toda función derivable es continua, pero hay funciones continuas que no son derivables.

Observa la gráfica: el único punto en que f x x ( ) = no es derivable es aquel en que

la gráfica parece quebrarse , aunque no se rompa . Si, hablando sin mucha precisión, lasfunciones continuas eran aquellas cuyas gráficas podían dibujarse sin levantar el lápiz delpapel –no estaban rotas –, las funciones derivables son las que, además, tienen gráficassuaves , sin picos ... Evidentemente, este lenguaje que utiliza expresiones como roto ,suave , etc., aunque sumamente intuitivo, es demasiado ambiguo; justamente por eso sedan las definiciones matemáticas, para precisar las ideas.

Y

XO

f (x )=| x |

Definiciones (funciones derivables en un intervalo)

1111.... Diremos que una función f x ( ) es derivable en un intervalo abierto (a, b ) si es derivable en todo punto x a b 0

Œ( , ).

2222 .... Diremos que una función f x ( ) es derivable en un intervalo cerrado [a, b ] si es derivable en el intervalo abierto ( , )a b y, ade-

más, existen y son finitos:

lím lím

x a x b

f x f a

x a

f x f b

x b Æ Æ+ -

--

--

( ) ( );

( ) ( )

a los que se llama derivadas laterales a derecha e izquierda, en los puntos a y b , respectivamente, de la función f x ( ) .

Ejemplo

Consideremos la función f x x ( ) = . Tomado cualquier punto x 0 0 1Œ( , ) , se tiene:

f x x x

x x

x x x x

x x x x

x x

x x x x x o

x x x x x x o o o

''( ) =--

=-( ) +( )-( ) +( )

=-( )

-( ) +( )=

Æ Æ Ælím lím lím0

0

0 0

0 0

0

0 0 0

1

2

Se trata, pues, de una función derivable en el intervalo abierto ( , )0 1 .

En cambio, dado que: lím lím límx x x

f x f

x

x

x x Æ Æ Æ+ + +

--

= = = + •0 0 0

00

1( ) ( ), f x x ( ) = no es derivable en el intervalo [0, 1].

3. FUNCIÓN DERIVADA

Ejemplo previo

Supongamos que dada la función f x x ( ) = 3 quisiéramos obtener ¢f ( )2 . Tendríamos que calcular:

lím obien: lím

x x

f x f

x

f x f

x Æ Æ

--

+ -2 0

2

2

2 2( ) ( ),

( ) ( )

D

DD

Tanto en un caso como otro, llegaríamos a que: ¢ =f ( )2 12.

Si, posteriormente, necesitáramos conocer ¢f ( )5 , tendríamos que calcular:

lím o bien: lím

x x

f x f

x

f x f

x Æ Æ

--

+ -5 0

5

5

5 5( ) ( ),

( ) ( )

D

DD

Llegaríamos a que: ¢ =f ( )5 75

Pero, ¿y si posteriormente tuviéramos necesidad de conocer ¢ ¢ - ¢f f f ( ), ( ), ( )8 3 0 ...?

– 24 –




Lo mejor sería ver que: " Œ ¢ =

+ -=

Æx f x

x x x

x x

x RR: ( )

( )lím

D

DD0

3 323

y el cálculo de ¢ ¢ - ¢f f f ( ), ( ), ( )8 3 0 ... sería inmediato, pues bastaría con hallar las imágenes de 8, –3, 0... mediante la función:

RR RR

¢

æ Æ æ æ Æ æ

f

x x 3 2

Definición (de función derivada)

☞ Dada la función f x ( ), designaremos por ¢f x ( ) y llamaremos función derivada de f x ( ) o, simplemente, derivada de f x ( ) , a lafunción:

RR RR¢

æ Æ æ æ Æ æ ¢

f

x f x ( )

que a cada punto x 0 en el cual f x ( ) sea derivable hace corresponder como imagen ¢f x ( )0 .

Ejemplo

Para hallar la función derivada de f x x ( ) = 2 procederíamos de la siguiente manera:

" Œ ¢ =

+ -=

+ -=

+=

Æ Æ Æx f x

f x x f x

x

x x x

x

x x x

x x

x x x RR: ( )

( ) ( ) ( )lím lím lím

D D D

DD

DD

D DD0 0

2 2

0

222

La derivada buscada sería, pues: ¢ =f x x ( ) 2

Definiciones (de derivadas sucesivas)

➀ Definida la función derivada de f x ( ), tiene sentido hablar de:

lím

x x

f x f x

x x Æ¢ - ¢

-0

0

0

( ) ( )

A tal límite, cuando exista, lo llamaremos derivada segunda de la función f x ( ) en el punto x 0 y lo representaremos por ¢¢f x ( )0 .

➁ Por función derivada segunda de f x ( ) se entenderá la función:

DD RR¢¢

æ Æ æ æ Æ æ ¢¢

f

x f x ( )0

que a cada punto x 0 en el cual ¢f x ( ) sea derivable hace corresponder como imagen ¢¢f x ( )0 . (El conjunto DDDD es el formado por todos lospuntos en los que ¢f x ( ) es derivable).

En otras palabras: la derivada segunda de f x ( ) es la derivada de la derivada de f x ( ).

③ Reiterando el proceso se pueden definir las derivadas tercera, cuarta... n-ésima de f x ( ) en un punto x 0 y las funciones deri-

vadas tercera, cuarta... n-ésima de la función f x ( ). A la derivada n-ésima de f x ( ) la representaremos por f x n ( ( ) .

4. DERIVACIÓNVisto ya que el conocimiento de la función derivada de f x ( ) convierte en trivial el cálculo de la derivada de f x ( ) en cualquier punto,

es claro que la simplificación será aún mayor cuando se disponga de unas reglas que permitan calcular mecánicamente la función derivadade otra. A la demostración de tales reglas dedicaremos el presente apartado. Veremos cuáles son las derivadas de funciones “elemen-tales”, que no son el resultado de operar con otras más sencillas y, también, cuáles son las derivadas de las funciones obtenidas suman-

do, multiplicando, dividiendo... otras más sencillas.

– 25 –




Derivada de la función constante

Siendo f x ( ) = k (constante), se tendrá:

" Œ ¢ =

+ -=

-=

Æ Æx f x

f x x f x

x x x x RR: ( )

( ) ( )lím lím

k k

D D

DD D0 0

0

Por tanto:

f x f x ( ) ( )= ¢ =k 0

Derivada de la función identidad

Siendo f x x ( ) = , se tendrá:

" Œ ¢ =

+ -=

+ -=

Æ Æx f x

f x x f x

x

x x

x x x RR: ( )

( ) ( ) )lím lím

( x

D D

DD

DD0 0

1

Por tanto:

f x x f x ( ) ( )= ¢ = 1

Derivada de una suma

Siendo f x g x ( ), ( ) dos funciones y s x f g x f x g x ( ) ( )( ) ( ) ( )= + = + la suma de ellas, en todo punto x ŒRR en el que f y g sean

derivables se tendrá:

( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )f g x

f g x x f g x

x

f x x g x x f x g x

x x x + ¢ =

+ + - +=

+ + + - -=

Æ Ælím lím

D D

DD

D DD0 0

=+ -

++ -

= ¢ + ¢Æ Ælím límD D

DD

DDx x

f x x f x

x

g x x g x

x f x g x 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )Por tanto:

s x f x g x s x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + ¢ = ¢ + ¢

Derivada de un producto

Siendo f x g x ( ), ( ) dos funciones y p x f g x f x g x ( ) ( )( ) ( ) ( )= = el producto de ellas, en todo punto x ŒRR en el que f y g sean

derivables se tendrá:

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) *

f g x f g x x f g x

x

f x x g x x f x g x

x x x ¢ = + -

=+ + -

=Æ Ælím límD D

DD

D DD0 0

=

+ + - + + + - =

Æ

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lím

D

D D D DDx

f x x g x x f x g x x f x g x x f x g x

x 0

=

+ - +

È

ÎÍ

»

½¼ +

+ -È

ÎÍ

»

½¼ =

Æ Ælím lím

D D

DD

DDDx x

f x x f x

x g x x f x

g x x g x

x 0 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

=

+ - + +

+ -= ¢ + ¢

Æ Æ Æ Ælím lím lím lím

D D D D

DD

DDDx x x x

f x x f x

x g x x f x

g x x g x

x f x g x f x g x

0 0 0 0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

**

[ En la igualdad * hemos sumado y restado f x g x x ( ) ( ) + D ; en la ** hemos tenido en cuenta que g , derivable en x , es continua

en x , por lo que límD Dx g x x g x Æ + =0 ( ) ( ) ]

– 26 –




Por tanto:

p x f x g x p x f x g x f x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ¢ = ¢ + ¢

Derivada del producto de un número por una funciónSiendo f x ( ) una función y k ŒRR un número, consideremos la función: g(x)= k ( ) f x . En todo punto x ŒRR en el que f sea

derivable se tendrá:

g x f x f x f x f x f x f x ¢ = [ ] ¢= ¢ ¢ ¢ ¢( ) k ( ) k ( )+ k ( )= 0 ( )+ k ( )= k ( )

Por tanto:

g x f x g x f x ( ) ( )= ¢ ¢k ( ) = k ( )

Derivada de la función f x x ( ) = Œn (n )NN

Sea f x x ( ) = Œn (n )NN . En todo punto x ŒRR se tendrá:

¢ =

+ -=

+ + + + + -=

Æ Æ

Ê Ë Á ˆ

¯ ˜ Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜

f x x x x

x

x x x x x x x x x

x x x ( )

( )lím lím

n n n n-1 n-2 n-3n

n nn n n n n

D D

DD

D D D D

D0 0

1 22

33

0 L

= + + + +[ ] = =

Æ

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ lím nn n n n

nnn-1 n-2 n-3 n-1 n-1 n-1

DD D D

x x x x x x x x x

01 2 3

21L

Por tanto:

f x x f x x ( ) ( )= Œ ¢ = n n-1(n ) nNN

Ejemplo

Llegados a este punto, la derivada de una función polinómica resulta inmediata de calcular. Así, por ejemplo:

y x x x y x x = + - + ¢ = + -2 2 2 8 6 14 3 3 2

Derivada de un cociente

Siendo f x g x ( ), ( ) dos funciones y c x f

g x

f x

g x ( ) ( )

( )( )

=Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = el cociente de ellas, en todo punto x ŒRR en el que f y g sean

derivables y g no se anule, se tendrá:

f x c x g x f x c x g x c x g x c x g x

f x

g x g x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )

( )= ¢ = ¢ + ¢ = ¢ + ¢

De donde:

¢ =¢

- ¢

[ ]

=¢ - ¢

[ ]

c x f x

g x

f x g x

g x

f x g x f x g x

g x ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 2

– 27 –




Por tanto:

c x f x

g x c x

f x g x f x g x

g x ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )= ¢ =

¢ - ¢

[ ]2

Ejemplo

La derivada de la función y x x

x =

+

+

3

2

2

1será: ¢ =

+( ) +( ) - +( )

+( )=

+ +

+( ) y

x x x x x

x

x x

x

3 2 1 2 2

1

2

1

2 2 3

2 2

4 2

2 2

Derivada de la función logarítmica

Siendo f x x ( ) ln= , en todo punto x Œ +RR ( RR+ es el conjunto de los números reales mayores que cero), se tendrá:

f x

x x x

x x

x x

x

x x

x x x x

x

¢ =

+ -

= +Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

È

ÎÍ

»

½¼ =+Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ =Æ Æ Æ( )

ln( ) ln

ln ln

*

lím lím límD D D

DD

D DD D

0 0 0

1

1

=+Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

È

ÎÍÍ

»

½¼¼

= =Æ

*ln lnlím e

D

DDx

x x

x

x x x

x x 0

11

1

[ En la igualdad * hemos tenido en cuenta que la función ln x es continua en RR+ ]

Por tanto:

f x x f x

x ( ) ln ( )= ¢ = 1

Derivada de una función compuesta

Dadas dos funciones f x g x ( ), ( ), sea la función compuesta: h x f g x f g x ( ) ( )( ) [ ( )]= =o . Admitiremos sin demostración que:

( ) ( ) [ ( )] ( )f g x f g x g x o ¢ = ¢ ¢

La igualdad anterior es conocida como regla de la cadena.

Ejemplos

Basta aplicar la regla de la cadena y algunos resultados vistos anteriormente para poder escribir, por ejemplo:

11

22

33

f x x x f x x x x

f x x x f x x x x

x x

f x x

x f x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ln( ) ( )( ) ( )

( )

( ) ( )

= + ¢ = + +

= + ¢ =+ +

+

=

+

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ ¢ =

+

3 7 3 6 2

2 32 2

2 3

23

2

2 7 2 3 2

53 5 2 5

5

1

23

1

x x

x x x

x -

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

- - +

-2

2 2 1 1

2

22

2

( ) ( )

( )

– 28 –




Derivación logarítmica

La regla de la cadena y el que conozcamos la derivada de la función logarítmica nos van a permitir hallar las derivadas de muchasotras funciones. La llamada derivación logarítmica consiste, como veremos en los siguientes casos particulares, en derivar, no la función

f x ( ) directamente (normalmente porque ello resultará complicado), sino, siempre que sea f x ( ) > 0, la función ln ( )f x [ ]. Dicho así parece

complicado pero, como veremos enseguida, es un procedimiento sencillo de aplicar.

Derivada de la función f x x ( ) = Œr (r )R

La primera aplicación de la derivación logarítmica afectará a la función f x x ( ) = Œr (r )RR , en la que el exponente, a diferencia de uncaso que vimos con anterioridad, puede ser cualquier número real. La siguiente cadena de implicaciones no requiere mucha explicación:

f x x f x x x f x x

f x f x

x f x

f x

x x ( ) ( ) ln ( ) ( )

( )( ) ( )

( )= = = [ ]¢ = ¢ ¢ = ¢ = = -r ln r r ln ln r ln r r r r1 1 1

f x x f x x ( ) ( )= Œ ¢ = -r (r ) r rRR 1

Derivada de la función f x x ( ) =

Un caso particular del que acabamos de ver es el de la derivada de f x x ( ) = . Escribiendo f x x ( ) =12 y aplicando el resultado

anterior, se tendría: ¢ = =-

f x x x

( )12

1

2

12

1.

f x x f x

x ( ) ( )= ¢ =

1

2

Derivada de la función exponencial

Sea f x x ( ) = a . Si “tomamos logaritmos”: ln[ ( )] ln[ ] lnf x x x = = a a . Derivando ahora las funciones de cada miembro:

¢= =

f x

f x x

( )

( )ln ln1 0a+ a de donde: ¢ = = f x f x x ( ) ( ) ln lna a a .

f x f x x x ( ) ( ) ln= ¢ = a a a

Derivada de la función f x x ( ) log= a

Sea f x x ( ) log= a . Entonces, a

f x

x

( )

= .Tomando logaritmos neperianos: f x x ( ) ln ln =a . Derivando las funciones de cada miembro:

¢ =f x

x ( ) lna

1. Finalmente: ¢ =

f x

x ( )

ln1

a.

f x x f x x

( ) log ( )ln

= ¢ =a a1

Ejemplos

11)) 22))f x x f x x

x x

f x x f x

x

( ) ln( ) ( )

ln( ) ( )

; ( ) ( )

( )

= + ¢ =

+ +

= + ¢ =

+

2

2 2

3

23

1

1 1

2 32

3 2 3

– 29 –




Derivadas de las funciones trigonométricas

1 Sea f x x ( ) = sen . Entonces, " Œx RR , se tendrá:

¢ =+ -

=

+

= +

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = =Æ Æ Æ Æf x

x x x

x

x x x

x x x

x

x x x x x x x ( )( ) * **

límsen sen

lím

2cos sen

lím cos lím

sen

cos cosD D D D

DD

D D

DD

D

D0 0 0 0

2

2 2 2 2

2

1

[ En la igualdad * hemos aplicado la fórmula: senA senB cos A B

sen A B

- =+ -

22 2

x ; en la ** hemos tenido en cuenta, por una

parte, la continuidad en RRRR de la función coseno y, por otra, que límsen

a

aaÆ

=0

1 ]

f x x f x x ( ) ( )= ¢ =sen cos

2 Sea f x x ( ) = cos . Entonces, " Œx RR , escribiendo f x x ( ) [ ]= -sen

p

2 y aplicando la regla de la cadena, se tendrá:

¢ = -

È

ÎÍ

»

½¼ - = - - = -f x x x x ( ) [ ] ( ) [ ]cos cos sen

p p2

12

f x x f x x ( ) ( )= ¢ = -cos sen

3 Sea f x x ( ) = tg . Entonces, " Œ { + Œx x RR ZZ, ( / ) ( )p p2 k k , escribiendo f x x

x ( ) =

sen

cosy derivando, se tendrá:

¢ = - -

=+

=f x

x x x x

x

x x

x x ( )

( )cos cos sen sen

cos

cos sen

cos cos2

2 2

2 2

1

f x x f x

x ( ) ( )= ¢ =tag

cos2

1

Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Antes de nada, recordemos brevemente cómo se definían las funciones trigonométricas inversas.

1 f x x ( ) = arc sen era la función:

[ [ / / ]- æ Æ ææ -

æ Æ æ =

1 2 2, 1] ,

arcsen

arcsen p p

x y x

que a cada x Œ -[ 1 , 1] le hacía corresponder el único y Œ -[ / / ]p p2 2, tal que sen y x = .

2 f x x ( ) = arc cos era la función:

[ [ ]- æ Æ ææ

æ Æ æ =

1 0, 1] ,

arccos

arccos p

x y x

que a cada x Œ -[ 1 , 1] le hacía corresponder el único y Œ[ ]0 , p tal que cos y x = .

– 30 –




3 f x x ( ) = arc tg era la función:

RRarc tg

,

arctg

æ Æ ææ -

æ Æ æ =

( / / )p p2 2

x y x

que a cada número real x le hacía corresponder el único y Œ -( / / )p p2 2, tal que tg y x = .

RRRReeeeccccoooorrrrddddaaaaddddoooo lllloooo aaaannnntttteeeerrrriiiioooorrrr,,,, vvvveeeeaaaammmmoooossss ccccuuuuáááálllleeeessss ssssoooonnnn llllaaaassss ddddeeeerrrriiiivvvvaaaaddddaaaassss ddddeeee ttttaaaalllleeeessss ff f f uuuunnnncccciiiioooonnnneeeessss....

11 f x x f x x f x f x f x f x f x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

* **= = ¢ = ¢ = =

+ -=

-arc sen sen cos

cos sen21

1 1

1

1

1 2

[ La implicación * aplicando la regla de la cadena; la ** teniendo en cuenta que cosf x ( ) > 0 , pues f x ( ) ( / / )Œ - p p2 2, ]

f x x

x

( ) =

-

arcsen1

1

2

22 f x x f x x f x f x f x f x f x x

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

* **= = - ¢ = ¢ = - =-

+ -= -

-arc cos cos sen

sen cos21

1 1

1

1

1 2

[ La implicación * aplicando la regla de la cadena; la ** teniendo en cuenta que sen f x ( ) > 0, pues f x ( ) ( )Œ 0 , p ]

f x x f x

x ( ) ( )= ¢ = -

-arccos

1

1 2

33 f x x f x x

f x f x f x f x

f x x ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )

* **= = ¢ = ¢ = =

+=

+arc tg tg

coscos

tg22

2

11

1

1

1

1 2

[ La implicación * aplicando la regla de la cadena; la ** teniendo en cuenta que 1 1+ =tg cos2 2a a/ ]

f x x f x

x ( ) ( )= ¢ =

+arctg

1

1 2

Derivación implícita

En ocasiones, la relación de dependencia entre las variables independiente y dependiente de una función no viene dada en formaexplícita y f x = ( ); es decir, mediante una igualdad en uno de cuyos miembros está la y aislada y en el otro una expresión en x . En talescasos, para hallar la derivada ¢ = ¢ y f x ( ), si fuera posible despejar la y , lo haríamos, procediendo luego a derivar normalmente. En casocontrario hay que proceder a la llamada derivación implícita, aplicando la regla de la cadena como en el ejemplo siguiente.

Ejemplo

Supongamos que se desea hallar el valor de la derivada ¢ = ¢ y f x ( ) en el punto (0, 1) siendo y y yx y x 7 4 2 2 0+ + - + = .

Aplicando la regla de la cadena tendríamos: 7 4 2 2 1 06 3 2 y y y y y x y x y ¢ + ¢ + ¢ + - ¢ + = ,

de donde sustituyendo x y = =0 1, , obtendríamos: 7 4 2 1 0¢ + ¢ - ¢ + = y y y y, por tanto:

¢ = - y

1

9

– 31 –




5. EJERCICIOS1111 .... ---- Recordando que la derivada de una función en un punto es el límite de un cociente de incrementos, calcula un valor aproximado de

las derivadas de las siguientes funciones en los puntos que se indican, pero sin calcular los correspondientes límites por losprocedimientos habituales, sino utilizando la calculadora para hallar el valor de D D y x / para valores muy pequeños de Dx :

11.. 22.. 33f x x x f x x x f x x x ( ) ( ) . ( ) /= = = + = = =2 0 0 05 2 7 1 2en en sen en p .

2222 ....---- Halla el valor exacto de las derivada de las funciones anteriores en los puntos indicados, pero aplicando la definición.

3333 ....---- Partiendo de la definición de derivada de una función en un punto, demuestra que: f x x

f ( ) ( ) ,= ¢ = - " {1 1

02

aa

a .

4444 ....---- Determina en qué puntos son derivables las siguientes funciones: f x x

x g x x x ( )

| |; ( ) | |= = - .

5555 ....---- Halla el valor de a , sabiendo que la siguiente función es derivable en x = 0:

f x

a x

x x ( )

=

+ £

- +

Ï

ÌÓ

3

3 33

si x 0

si x > 0

6666 ....---- Halla el valor de a y b sabiendo que la siguiente función es derivable en todo punto de RRRR.

f x a x x

x bx ( ) =

+ £

- -

ÏÌÔ

ÓÔ

2

2

3

4

si x 2

si x > 2

7777 ....---- Determina, si es que existen, los valores de a y b para los que la siguiente función es derivable en el punto x = 3.

f x

a x b x

x x

( )

| || |

=+ £Ï

ÌÔ

ÓÔ

2

13

si | | 3

si >

8888 ....---- De cierta función g x ( ) se sabe que es continua en el punto x = 0. Demuestra que, entonces, la función f x x g x ( ) ( )= es deriva-

ble en dicho punto.

9999....---- Estudia si la función f x x x ( ) | |= - -2 4 5 es derivable en los puntos de su gráfica pertenecientes al eje de abscisas.

11110000....---- La posición de un móvil en función del tiempo es e t t t ( ) = + -100 20 8 2 , donde e se mide en metros y t en segundos. Halla lavelocidad media entre los instantes t t = =1 2y y la velocidad instantánea para t = 3. Determina también la función velocidad y disi se trata de un movimiento uniformemente acelerado. En caso afirmativo, ¿cuál es la aceleración?

11111111....---- Halla la derivada de las siguientes funciones:

y x

x

x y x y x

y x

x y x x = - = + =

+Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ = - = +1

8 13

33 8

2 4 3ln

( )3a b

c

y

x

x y x x x y x x y x y x x = + - + +

2

24 4 1 33 23 2 3= =cos cos = tg =( )

y x y x x

x y

x

x y

x

x y

x

x = =

- +=

-+

=+

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ =

-tg

a b

a b

a senn

n

m

22

452 1 4

3

1

2

2

cos

y

x x

x x y y x y x y

x x

x =++

= = = - =-

sen

cose

a

sen 23 2

1

2

4

2ln

y y x

x y

x

x y x y x x = =

-+

+-

= =71

1

1

15

2 2 2lncos

cosln (cos ) ln=

sen

sensen sen

– 32 –




11112222 .... ---- Halla la derivada de las siguientes funciones:

y

x y

x

x y x x y x x y x =

+=

-

+= = + =

1

1

1

1

2

22 2

tagsen cos cos sen cos e

22 2 e xln( )

y =sen sen sen sen sen[ ( )] / ( / ) ln (ln )x y x x y x x y x y x x = + = - = [ ] = +

33 2 2

1 1

y = tg tg y = cos y =sen sen y = tg y =arc sen cos2 21 1 3 2 3 2/ ( ) ( ) cos+[ ] + +x x x x x x x

y = y =

a by = arc tg y =arc sen cos y =

tg

tgln ln(ln ) ( ) ( ) lnx x

x x x x x

x

x + - +

+-23 3

211

1

y

x a

ax y

x x

x x y

x

x y

a x x

a x x y

a x

x =

+-

=+-

=-+

=+ +

+ -=

-arctg

sen

sen

sen

1

1

1

22 2

2 2

cos

cos

cos

cosln

cos

y x y x y x y x y x = = = = = -arcsen(sen sen arcsen arcsen arcsen e arcsen2 152

) ( ) ln( ) (ln ) ln

y x y x x y x y x y x x x x x x = = + = = = +log ( ) ( )2 2sen senp

11113333....---- ¿En qué punto la derivada de la función y x x = - (ln )1 es 1?

1111 4444 ....---- Calcula ¢f ( )1 , siendo f x x x

( ) ln= ++

12

14

11

arctg .

11115555....---- Sean las funciones f x x

x g x x h x x ( ) , ( ) , ( ) cos=

-= =

3tg e . Calcula: ¢ ¢ Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ¢ ¢Ê

Ë Á ˆ

¯ ˜ ¢f g h f g g f ( ) , , ( ) , ( ) , ( ) ( )2

3 2 41p p p

o o

11116666....---- La población de una cierta colonia de bacterias crece según la función: y t t = 1 +00 100 11- +( ), donde t se mide en horas e y

en miles de individuos. Calcula : aaaa) la tasa media de crecimiento de la población entre los instantes 2 y 3,5 horas; bbbb) la velocidad de

crecimiento de la población al cabo de 5 horas.11117777....---- Halla las ecuaciones de las tangentes a las siguientes curvas en los puntos que se indican:

y x x x y x x = - + = = =20 07 10 2 10 5en ; en

11118888....---- Halla los puntos de la curva y x

x =

-1 2en los que la tangente tiene una inclinación de 45° respecto del eje OX.

11119999....---- Halla las ecuaciones de las tangentes a la elipse 4 9 402 2x y + = cuyas pendientes son –2/9.

22220000....---- Halla las ecuaciones de las rectas verticales que cortan a las curvas y x x x y x x x = + - + = + - -3 2 3 22 4 5 3 2 9 3 3; en lospuntos en que sus respectivas tangentes son paralelas.

22221111....---- Halla las ecuaciones de las tangentes a la parábola y x 2 2= p de pendiente p.

22222222....---- ¿Hay algún punto en la curva y x = e2 de tangente horizontal?

22223333....---- Calcula las ecuaciones de las tangentes a las siguientes curvas, en los puntos dados:

1) A la curva y x

=-

arcsen1

2en el punto de intersección con el eje OX.

2) A la curva y x = arc cos3 en el punto de intersección con el eje de ordenadas.

3) A la curva y x = 3 en el punto x = 0 (haz un dibujo al respecto).

22224444....---- Calcula la pendiente de la tangente a la circunferencia: x y x y 2 2 2 3 17 0+ - + - = en el punto de abscisa 1 y ordenada positiva.

– 33 –




22225555 .... ---- Determina mmmm con la condición de que la pendiente de la recta tangente a la curva: y x

x =

++

mm1

2, en el punto x = -1 1sea .

22226666....---- Dada la función f x x

x ( ) ln=

--

2 1

3 1, halla a para que lím

ax f x

Æ¢ = •( ) .

22227777....---- Dadas las funciones: f x x x g x x ( ) ; ( )= - + =2 3 1 tg , hal la la ecuación de la tangente a cada una de ellas en el punto de abscisa x = 0. Calcula también el punto intersección de dichas tangentes.

22228888....---- Halla los coeficientes de la función: y x x = + +a b c2 , sabiendo que la correspondiente parábola pasa por los puntos (0,3) y (2, 1)y que, en este último, la tangente tiene por pendiente 3.

22229999....---- Dada la parábola y x x = - +2 2 5, halla la ecuación de la tangente a ella paralela a la recta secante a dicha parábola en los puntosde abscisas 1 y 3.

33330000....---- Halla la ecuación de la tangente a la curva: y x = ( )sen351

2 , en x 0 6= p /

33331111....---- Siendo f x x ( ) = 3 , calcula f f x f f x f x f f x [ ( )] ; [ ( )] ; [ ( )] ; [ ( )]¢ ¢ ¢ ¢2 2

33332222....---- Obtén la derivada de la función:

f x x

x ( ) = {ÏÌÔ

ÓÔ

2 1sen si x 0

0 si x = 0

¿Es ¢f x ( ) continua en x = 0 ? ¿Es derivable en ese punto?

33333333....---- Demuestra, utilizando la derivación logarítmica, la regla de derivación del producto de dos funciones.

33334444....---- Demuestra, utilizando la derivación logarítmica, la regla de derivación del cociente de dos funciones.

33335555....---- Obtén, utilizando la derivación logarítmica, la derivada de f x x ( ) =n

.

33336666....---- Siendo f x x ( ) ln( )= +2 1 , halla la función inversa f x -1( ). ¿A qué será igual, en los puntos en los que exista, la derivada de la

función f f x o-( )1 ( )?

33337777....---- Halla las derivadas segundas de las funciones: f x x x g x x ( ) ( ) ; ( )= + =1 2 arc tg sen2

33338888....---- Demuestra que siendo y x x = e sen2 5 , se verifica: ¢¢ - ¢ + = y y y 4 29 0 .

33339999....---- Halla la derivada n-ésima de las siguientes funciones:

f x x g x x h x k x x

j x x l x x

x m x

x

x x n x

x x

x x

x ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ln ( ) ( ) ( )

= = = =+

= =+-

=-

- -=

+ +

+ +

-sen cos e 3

2

2

2

11

1

1

2 1

2

7 11

5 6

44440000....---- Halla el valor de ¢ y en el punto x y = =1 1, , siendo: x y x y y x x y + + + - =2 2 3 3 4 0.

44441111....---- Halla el valor de ¢ y en el punto x y = =1 1, , siendo: x y y x = 1.

44442222....---- Mediante derivación implícita halla ¢ y , siendo: ln x y y

x

2 2+ = arctg .

– 34 –



Tema 3

Funciones derivables




1. INTRODUCCIÓNEn el tema anterior hemos presentado el concepto de derivada en sus dos acepciones: derivada de una función en un punto y fun-

ción derivada de otra; en éste, sacaremos algún provecho de todo ello. En primer lugar hablaremos de la aplicación de la derivada al cál-culo de valores aproximados de una función y al estudio de su crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos relativos. Si alguna vez has

sentido la curiosidad de saber por qué todos los botes de refrescos son de las mismas dimensiones, por poner un ejemplo, ahora tendrásocasión de satisfacerla. Posteriormente estudiaremos los teoremas de Rolle, del valor medio, de Cauchy, la regla de l'Hôpital..., resultadoscumbres del pensamiento científico que verás por primera vez y que no te abandonarán mientras sigas teniendo algo que ver con lasmatemáticas. Finalizaremos el tema dando las técnicas necesarias para representar gráficamente una función.

2. LA DIFERENCIALPlanteamiento y definición

Siendo f x ( ) una función derivable en un punto x 0, consideremos un Dx tal que x x 0 + D pertenezca al dominio de f . Puede

considerarse, entonces, la diferencia D D y f x x f x = + -( ) ( )0 0 que en la figura viene representada por el segmento BD.

Yf

Xx 0

f (x 0 )

x 0 +¨x 0

a

f (x 0 +¨x 0 )

Tracemos la tangente a la función en el punto x 0, recta de pendiente ¢f x ( )0 . Considerado el triángulo ABC se tendrá:

¢ = = = ¢ f x x f x x ( ) ( )0 0tg

BC

AB

BC

BC =a D DPor otra parte: D y = = +BD BC CD [*]

Habida cuenta de que x 0, aunque sea un punto cualquiera, es un punto fijo, el valor de CD dependerá de Dx , de modo quepodríamos escribir CD como función de Dx :

CD = r x ( )D

En estas condiciones, sustituyendo en [*] BC por ¢ f x x ( )0 D y CD por r x ( )D , tendríamos:

D D D y f x x r x = ¢ +( ) ( )0

y, por tanto:

r x y f x x ( ) ( )D D D= - ¢ 0

de donde:

lím lím lím

D D D

DD

D DD

DDx x x

r x

x

y f x x

x

y

x f x f x f x

Æ Æ Æ=

- ¢ = - ¢ = ¢ - ¢ =

0 0

0

00 0 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

EEEEnnnn rrrreeeessssuuuummmmeeeennnn:::: Que cuando, considerada una función f x ( ) derivable en un punto x 0, tomamos un incremento Dx de la variableindependiente, la variable dependiente experimenta a su vez un incremento que puede expresarse en forma de suma:

D D D y f x x r x = ¢ +( ) ( )0

igualdad que también puede escribirse en la forma:

f x x f x f x x r x ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0+ = + ¢ +D D D

con la particularidad de que r x ( )D es, para Dx Æ 0, un infinitésimo de mayor orden que Dx , de tal manera que para valores de Dx

suficientemente pequeños, como valor aproximado de f x x ( )0 + D podrá tomarse el de f x f x x ( ) ( )0 0+ ¢ D .

– 36 –




☛ Observa que fijado el punto x 0 , el valor de ¢ f x x ( )0 D depende sólo de Dx . Pues bien, a la función ( )df x 0tal que:

( ) ( ) ( )df x f x x x 0 0D D= ¢

la llamaremos diferencial de f x ( ) en el punto x 0 , de modo que ¢ f x x ( )0 D será el valor tomado por dicha diferencial para el incremento

Dx . Digamos, por último, que la igualdad anterior suele escribirse habitualmente en la forma: d d y f x x = ¢ ( )

(El que se sustituya Dx por dx se justifica en que para la función y x = se verifica que ¢ =f x ( )0 1 en cualquier punto, de donde,

en ese caso, d y x x = =1 D D . Pero, dado que y x = , también habría de ser d d y x = , luego dx x = D ).

Ejemplo (cálculo de un valor aproximado)

Supongamos que se desea conocer un valor aproximado de 64 1533 , . Tomada la función: f x x ( ) =3

, lo primeros que haremos

será fijar el x 0 más próximo a 64 153, en el cual se conozca el valor exacto de f x ( )0 . Es decir, tomamos x 0 64= . Haciendo Dx = 0153,y recordando la igualdad aproximada:

f x x f x f x x ( ) ( ) ( )0 0 0+ @ + ¢ D D

como en este caso se tiene:

¢ =f x x

( )1

3 23

concluiremos que:

64 153 640153

3 644

005116

4 00318753 3

23,

, ,,@ + = + =

(Ciertamente, dar un valor aproximado sin acotar el error cometido es algo incompleto. En el futuro quizás completes el cálculo.)

3. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO

Definiciones (de función creciente y decreciente)

Tras observar detenidamente las figuras siguientes:

Yf

X

f (x 1)

x 2

f (x 2)

x 1 a

f (a)

E(a)

Yf

X

f (x 1)

x 2

f (x 2)

x 1 a

f (a)

E(a)

resultará razonable que digamos:

➀ Una función es creciente en un punto aŒRRRR si existe un entorno E(a) tal que: x a

x a f x f a

x a f x f a Œ Ÿ

< <> >

ÏÌÓ

E( )( ) ( )

( ) ( )

➁ Una función es decreciente en un punto aŒRRRR si existe un entorno E(a) tal que: x a

x a f x f a

x a f x f a Œ Ÿ

< >> <

ÏÌÓ

E( )( ) ( )

( ) ( )

☞ Por extensión, diremos que una función es creciente (decreciente) en un intervalo abierto cuando sea creciente (decreciente)en todos los puntos del intervalo.

– 37 –




Teorema (sobre la relación signo de la derivada-crecimiento)

El siguiente es el primero de una serie de teoremas en los que se pondrá de manifiesto cómo el conocimiento de la derivada de unafunción permitirá conocer muchas propiedades de ésta:

Sea f x ( ) una función derivable en un punto a ŒRR. Entonces:

¢ > ¢ <

f a a

f a a

( ) .

( ) .

0

0

la función es creciente en

la función es decreciente en

En efecto. Supongamos, por ejemplo, que ¢ = >f a ( ) k 0; o sea: lím kx a

f x f a

x a Æ

--

= >( ) ( )

0

Tomado entonces el entorno de centro k y radio k2

, podrá asegurarse, en virtud de la definición de límite, que el cociente

f x f a

x a

( ) ( )-

-

se hallará en él, y por lo tanto será positivo, sin más que tomar x perteneciente a cierto entorno reducido de a a , E¢( ) .

Pero, entonces:

x a x a f x f a

x a x a f x f a

Œ ¢ < <Œ ¢ > >

ÏÌÓ

E , con

E , con

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )y por tanto la función f sería creciente en a .

En el caso en que ¢ <f a ( ) 0, se procede de forma análoga.

Advertencia

El que la derivada de f x ( ) en el punto a sea positiva (negativa) constituye, comoacabamos de ver, una condición suficiente para que la función sea creciente (decreciente) endicho punto, pero no es una condición necesaria.

Observemos la gráfica de la función f x x ( ) = 3 , que se halla a la derecha. Dicha función escreciente en el punto a =0 y, sin embargo, su derivada en dicho punto no es positiva.

Ejemplo

XO

Yf (x ) = x 3

Sea f x x x ( ) = - +2 2 8. Como ¢ = -f x x ( ) 2 2, y sucede:2 2 0 1

2 2 0 1

x x

x x

- > ¤ >- < ¤ <

ÌÓ

, la función será decreciente en el intervalo

(– •, 1) y creciente en el intervalo (1, •).

4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES

Una de las aplicaciones más útiles de la derivada es, la referida a la obtención de los máximos y mínimos locales o relativos de unafunción (aunque se trata de ideas relacionadas, no debes confundir estos extremos locales con los absolutos, que fueron definidos en elprimer tema). Empecemos estableciendo tales conceptos.

Definiciones (de máximo y mínimo local)

1 Diremos que una función y f x = ( ) t iene un máximo local o relativo en un punto a cuando exista un entorno E(a ) tal que:

x a f x f a Œ £E( ) ( ) ( )

2 Diremos que una función y f x = ( ) t iene un mínimo local o relativo en un punto a cuando exista un entorno E(a ) tal que:

x a f x f a Œ uE( ) ( ) ( )

– 38 –




Y

f

Xf (x 1) f (x 2)f (a)

Y

f

Xf (x 1) f (x 2)f (a)

máximo local en a mínimo local en a

x 2x 1 a x 2x 1 a

Teorema (condición necesaria para la existencia de extremos locales)

➤ La condición necesaria para que una función, derivable en un punto a ŒRR,tenga un máximo o un mínimo local en dicho punto es que ¢ =f a ( ) 0

En efecto: Si fuera ¢ {f a ( ) 0, se tendría, o bien ¢ <f a ( ) 0 , o bien ¢ >f a ( ) 0 , y la función sería o bien decreciente o bien creciente

en a , donde no podría haber ni máximo ni mínimo local.

Tres observaciones

• La primera, que la anterior no es condición suficiente para la existencia de extremos locales. En la página anterior hemos visto

que siendo f x x ( ) = 3 , se tiene ¢ =f ( )0 0, y en tal punto la función no tiene ni máximo ni mínimo local: es creciente.

• La segunda, que ¢ =f a ( ) 0 es, efectivamente, una condición necesaria para laexistencia de extremo local, pero sólo en el supuesto de que f x ( ) sea derivable en elpunto a . El ejemplo más sencillo para ilustrar lo que decimos lo constituye la función

f x x ( ) | |= , de la que ya hemos hablado en otras ocasiones y cuya gráfica está a laderecha. En a = 0 tiene un mínimo local y en ese punto la función ni siquiera es

derivable.

Y

XO

f (x )=| x |

• La tercera, que el teorema anterior permite seleccionar los puntos, de entre aquellos en los que f x ( ) es derivable, en los quepuede haber máximos o mínimos relativos; pero aun en ellos, no despeja totalmente las dudas. Así, considerada la función:

f x x x x ( ) = - + +3 28 60 54 3 2

su derivada se anula en los puntos x x x = = =0 2 5, y , pero ¿cómo saber si, efectivamente, alcanza extremos locales en ellos?

Teorema (condición suficiente para la existencia de extremos locales)

Sean f x ( ) una función y a ŒRR un puntotales que ¢ =f a ( ) 0 Entonces:

¢¢ < ¢¢ > f a a

f a a

( )

( )

0

0

En existe un máximo local.

En existe un mínimo local.

En efecto. Supongamos ¢ = ¢¢ <f a f a ( ) ( )0 0, . En tal caso, la función ¢f x ( ) sería decreciente en a, y dado que ¢ =f a ( ) 0 , habrá unentorno de a en el que:

¢ >¢ <

¸¿À

¸¿À

f x a

f x a

f x a

f x a a

( )

( )

( )

( )

0

0

a la izquierda de

a la derecha de

creciente a la izquierda de

decreciente a la derecha deEn existe máximo local.

☛ Observemos que, sin necesidad de calcular ¢¢f a ( ), cuando partiéndose de que ¢ =f a ( ) 0 se sepa que hay un entorno de a enel que a la izquierda de a es ¢ >f x ( ) 0 , y a la derecha ¢ <f x ( ) 0, eso bastará para concluir que en a habrá un máximo local.

(En el caso ¢ = ¢¢ >f a f a ( ) ( )0 0, el razonamiento es análogo)

– 39 –




Observaciones

1111 .... ---- Ahora podemos concluir que la función que antes mencionábamos, f x x x x ( ) = - + +3 28 60 54 3 2 , alcanza en x = 0 y x = 5mínimos locales y en x = 2 un máximo local.

2222....---- Naturalmente, podría uno preguntarse que sucederá en puntos en los que, anulándose la derivada primera de f x ( ), tambiénse anule la segunda. Pues puede que haya un máximo local, puede que un mínimo local, o puede que ni lo uno ni lo otro, como se puede

comprobar dibujando las gráficas de las funciones f x x ( ) = 3 y de f x x ( ) = 4 y viendo qué sucede, en ambos casos, con ¢ ¢¢f f ( ) ( )0 0y .Hay criterios que permiten salir de dudas en tales casos, pero no se estudian en este curso.

5. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN


Con frecuencia, en ciencias como la economía, la física, la sociología... se presentan situaciones en las que intervienen funciones,normalmente de varias variables, y se deseará conocer para qué valores de éstas las funciones alcanzan un valor óptimo , esto es: máxi-mo o mínimo. Nosotros nos limitaremos a estudiar algunos ejemplos sencillos, con funciones como máximo de dos variables, entre las queserá posible establecer alguna relación, de forma que, finalmente, la función que deseemos optimizar dependerá de una sola variable.

Estos problemas son de índole eminentemente práctica, y en su resolución se pueden permitir ciertas alegrías que serían impro-pias en un contexto más teórico. El máximo o mínimo absoluto de la función f x ( ) se buscará en un intervalo cerrado que habrá que dedu-cir del propio contexto del problema y, salvo que dicho valor se alcance en uno de los extremos del intervalo, el maximo o mínimo absolutoserá local y se encontrará en un punto en el que la derivada se anule.

Resolveremos a continuación un ejemplo, dejando otros para el apartado de ejercicios.

Ejemplo

x

y

Se desea averiguar cuál es el envase cilíndrico de 333 cm3 de capacidad que, por tener

superficie total mínima, resulte el más económico.En primer lugar hemos de establecer la función que se desea optimizar; en este caso, el área

total, A, del cilindro. Siendo x el radio de la base e y la altura del cilindro se tendrá:

A x y x x y ( , ) = +2 22p p

A continuación, buscaremos alguna relación entre las dos variables, x e y. El hecho de que elvolumen del cilindro sea 333 cm3 nos permite escribir:

p x y 2 333=

Resumiendo:

Función a optimizar: A x y x x y ( , ) [*]= +2 22p p

Relación entre las variables: p x y 2 333= [**]

Despejando en [**]: y x

=333

2p y llevando ese valor a [*]:

A x y x x

x x

x ( , ) = + = +2 2

3332

66622

2p p p

p

Como vemos, la función A depende ya de una sola variable, x (el radio de la base del cilindro) y tendrá por dominio el intervalo

( , )0 +• : el mínimo absoluto coincidirá con el mínimo local, luego:

¢ = - = A x x

x ( ) 4

6660

2p

de donde resulta: x = 3 756, cm. El correspondiente valor de la altura es: y = 7 49, cm.

(Podría comprobarse que para ese valor de x , la derivada segunda de A es positiva).

– 40 –




6. CURVATURA


Cuando próximamente nos dispongamos a trazar la gráfica de una función, la información que nos proporcionará su derivada seráfundamental, pues el conocimiento de los intervalos de crecimiento y decrecimiento, de los extremos locales, es decisivo a la hora dedibujar la curva. Hay, sin embargo, algunos aspectos más sutiles, que hacen referencia a la forma de la curva, para cuyo estudio hay quehacer uso de la segunda y, en algunos casos, la tercera derivada. A ellos dedicaremos este apartado.

Definiciones

Observa las figuras siguientes. En todas aparece una curva y f x = ( ) y su recta tangente ( y t) en el punto a . Lo que distingueunos casos de otros es la posición relativa en un entorno de a de la curva y la tangente: en el primer caso, el de la izquierda, la curvaqueda por encima de la tangente en a ; en el segundo, la curva queda por debajo de la tangente y, finalmente, en el tercero, el que lacurva quede por encima o por debajo de la tangente depende de que nos situemos a la derecha o a la izquierda de a . En el primer caso,diremos que la función es cóncava en a; en el segundo que es convexa y, en el tercer caso, diremos que a es un punto de inflexión.

Yf

Xa

y t f

Xa

y t

f

Xa

y t

Y Y

Formalizando un poco lo anterior:

• Sea f x ( ) una función derivable en un punto a y consideremos su tangente en ese punto, de ecuación: y f a f a x a t = + ¢ -( ) ( ) ( ).

1111 Diremos que f x ( ) es cóncava en a si existe un entorno E(a) tal que x a f x y Œ ¢ >E ( ) t( )2222 Diremos que f x ( ) es convexa en a si existe un entorno E(a) tal que x a f x y Œ ¢ <E ( ) t( )

3333 Diremos que f x ( ) tiene un punto de inflexión en a si existe un entorno E(a) tal que, tomado x a Œ ¢E ( ), el signo de f x y ( ) - t es distinto, según sea x a x a < >ó .

Teorema

Si f x ( ) es una función y a ŒRR un punto tales que existen ¢ ¢¢f a f a ( ) , ( ), siendo además ¢¢f x ( ) continua en a, entonces:

➟ Si ¢¢ <f a ( ) 0 , entonces f x ( ) es convexa en a .➟ Si ¢¢ >f a ( ) 0 , entonces f x ( ) es cóncava en a .➟ Si ¢¢ = ¢¢¢ {f a f a ( ) , ( )0 0 , entonces f x ( ) tiene un punto de inflexión en a .

Demostremos la primera proposición: Considerada la función g x f x y ( ) ( )= - t , se tiene: g a g a g a f a ( ) ; ( ) ; ( ) ( )= ¢ = ¢¢ = ¢¢0 0 . Luego,si como estamos suponiendo, ¢¢ <f a ( ) 0 , entonces ¢ = ¢¢ <g a g a ( ) , ( )0 0 y, por tanto, g x ( ) tiene un máximo local en a. Pero, entonces,

g x ( ), al anularse en a, habrá de ser negativa en un entorno de a, o sea, que f x ( ) será convexa en a.

Las otras proposiciones se demuestran análogamente.

Ejemplo

Considerada la función: f x x x ( ) = - +3 26 12, como: ¢ = - ¢¢ = - ¢¢¢ =f x x x f x x f x ( ) ; ( ) ; ( )3 12 6 12 62 , se tiene:

aaaa)))) f x ( ) es convexa en el intervalo ( , )-• 2bbbb)))) f x ( ) es cóncava en el intervalo ( , )2 •cccc)))) f x ( ) tiene una inflexión en a = 2.

– 41 –




7. TEOREMA DE ROLLE

Teorema (de Rolle)

➤ Si f x ( ) es una función continua en [ , ]a b , derivable en ( , )a b y tal que f a f b ( ) ( )= ,entonces existe al menos un punto a Œ( , )a b tal que ¢ =f ( )a 0 .

En efecto. Recordando el teorema de Weierstrass, la demostración de éste es fácil: Como f x ( ) es continua en el intervalo cerrado

[ , ]a b , alcanza en él un máximo y un mínimo absolutos y, entonces, una de dos:

➼ O bien cada uno de esos valores los toma en los extremos del intervalo, y eso supondría, al ser f a f b ( ) ( )= , que los valoresmáximo y mínimo de la función en el intervalo coincidirían, luego la función sería constante, con derivada nula en todos los puntos de

( , )a b ,

➼ O bien uno al menos de esos valores los toma en un punto interior a , de ( , )a b . Pero ese máximo o mínimo absoluto seríalocal –¿por qué?– y, en consecuencia, siendo la función f x ( ) derivable en ( , )a b , habría de ser ¢ =f ( )a 0 .

Interpretación geométrica

Una inmediata interpretación geométrica del teorema de Rolle es la quese desprende de la figura adjunta: Trazada la gráfica de una función f x ( )continua en [ , ]a b , derivable en ( , )a b y tal que f a f b ( ) ( )= , existe al menosun punto en el interior del intervalo en el que la tangente a la curva eshorizontal, de pendiente cero.

Ejemplo

Y

f

X

f (a)

a b

f (b)

a

La función f x x x ( ) = -2 8 es continua en el intervalo [3, 5] y derivable en (3, 5), verificándose que f f ( ) ( )3 5 15= = - . Por tanto,existirá a Œ( , )3 5 tal que ¢ =f ( )a 0. Ahora bien, como ¢ = -f x x ( ) 2 8 , tendremos que ¢ =f ( )4 0; luego, en este caso, el punto a delteorema (que puede ser más de uno, aunque en este caso sea sólo uno) es igual a 4.

Una interpretación física

Supongamos que la función f x ( ) del teorema indicara la posición en función del tiempo de un punto en movimiento rectilíneo. Laigualdad f a f b ( ) ( )= significaría que transcurrido un tiempo b – a desde el instante a , el móvil se encontraría en el punto de partida,luego al ser ¢ =f ( )a 0 para algún a Œ( , )a b , la velocidad habría sido nula en algún momento. O sea, que o bien no se habría producidorealmente movimiento o bien habría existido al menos un momento en el que, al dejar de avanzar, y retroceder, el móvil se habría detenido.

8. TEOREMAS DEL VALOR MEDIO

Teorema (de Cauchy o del valor medio generalizado)

➤ Si f x g x ( ) ( )y son dos funciones continuas en [ , ]a b y derivables en ( , )a b , entonces existe al menos un punto a Œ( , )a b

tal que:

f b f a g g b g a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )-[ ] ¢ = -[ ] ¢a a

igualdad que puede escribirse:

f b f a

g b g a

f

g

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

--

=¢¢

a

a

si los denominadores no son nulos.

– 42 –




En efecto. La función:

h x f b f a g x g b g a f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= -[ ] - -[ ]

es continua en [ , ]a b , derivable en ( , )a b y cumple: h a h b ( ) ( )= . Entonces, en virtud del teorema de Rolle, existirá al menos un punto

a Œ( , )a b tal que ¢ =h ( )a 0 . Pero como:

¢ = -[ ] ¢ - -[ ] ¢h f b f a g g b g a f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a a a

se concluye lo que habíamos anunciado.

Observemos que el teorema de Cauchy permite comparar el incremento experimentado por las dos funciones a lo largo del intervalo[a, b ] comparando sus derivadas en un punto interior. Buscarle una interpretación geométrica es algo más complicado que en el casoanterior; pero, sin embargo, desde un punto de vista físico, lo que se deduce de lo demostrado es que la relación entre los espaciosrecorridos por dos móviles en un mismo intervalo de tiempo coincide con la relación entre sus velocidades en un instante determinado.

Teorema (del valor medio)

➤ Si f x ( ) es una función continua en [ , ]a b y derivable en ( , )a b , entonces existe al menos un punto a Œ( , )a b tal que

f b f a

b a f

( ) ( )( )

--

= ¢ a

La demostración es sencilla: Tanto la función f x g x x ( ) ( )como la = , son continuas en [ , ]a b y derivables en ( , )a b , luego existiráal menos un punto a Œ( , )a b tal que:

f b f a

g b g a

f

g

f b f a

b a f

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )( )

--

=¢¢

--

= ¢a

a a o sea:

Interpretación geométrica

Observando la figura de la derecha se comprenderá que el teorema delvalor medio, desde un punto de vista geométrico, significa que en el arco de lacurva f x ( ), continua en [ , ]a b y derivable en ( , )a b , existe al menos unpunto en el que la tangente, por tener la misma pendiente que la secante que

une los extremos del arco: a f a b f b , ( ) , , ( )( ) ( ) , es paralela a ella.

Una interpretación física

Y f

Xf (a)

f (b)

a ba

Considerado un movimiento rectilíneo de ecuación e f t = ( ), con f t ( ) derivable en RRRR , el teorema precedente permite asegurar que

entre dos instantes t t 0 1y siempre habrá otro en el que la velocidad coincida con la velocidad media a lo largo del intervalo t t 0 1,[ ].

Observación

Antes de seguir, parece conveniente hacer alguna apostilla sobre la fórmula:

f b f a

b a f

( ) ( )( )

--

= ¢ a

llamada f órmula de los incrementos finitos. El hecho de que el teorema asegure la existencia del punto a, pero lo deje indeterminado, nole priva de trascendencia, y sobre ello quizás tengas ocasión de hablar con más detalle en el futuro. Por el momento, podemos decir quela fórmula anterior puede utilizarse para acotar el valor de f x ( ) en lugares en los que ¢f x ( ) esté acotada, mejorando las aproximacionesque se hacían con la diferencial.

Así, por ejemplo, intentemos encontrar un valor aproximado de 2445 :

– 43 –




Buscamos en la sucesión de potencias quintas: 15, 25, 35, 45... la última menor de 244, y vemos que es 35 = 243. Entonces, consi-

deramos la función f x x ( ) =5

, que es continua en [243, 244] y derivable en (243, 244), por lo que, dado que ¢ =f x

x

( )1

5 45, existirá

a a , 2 < <43 244, tal que:

244 243244 243

15

5 5

45--

=a

De modo que:

244 31

5244 3

1

5

5

45

5

45- = = +

a a o bien:

Pero el que sea 3 243 244 3 015 5= < < <a , , nos permitirá escribir:

1

3 01

1 1

3

1

3 01

1 1

33

1

5 3 013

1

53

1

5 35 5 4 45 4 4 45 4, , ,< < < < +

< +

< +

a a a

O también: 3 00243 244 3 002475

, ,< <

con lo que habremos dado un valor aproximado hasta la cuarta cifra decimal de 2445 .

Corolario

☞ Si f x ( ) es una función tal que ¢ = " Œf x x a b ( ) , ( , )0 , entonces f x ( ) es constante en ( , )a b .

En efecto. Tomado un intervalo cerrado [ , ]¢ ¢a b contenido en ( , )a b , f x ( ) será continua en [ , ]¢ ¢a b y derivable en ( , )¢ ¢a b , luego

existirá a Œ ¢ ¢( , )a b tal que:

f b f a

b a f

( ) ( )( )

¢ - ¢¢ - ¢

= ¢ =a 0

o sea: f b f a ( ) ( )¢ = ¢ , de donde, al ser ¢ ¢a b , arbitrarios, se deduce la tesis.

O sea, que no sólo es cierto que la derivada de una constante es cero, sino que una función de derivada nula en un intervalo es constante en el intervalo.

Otro corolario

☞ Si f x g x ( ) ( )y son dos funciones tales que ¢ ¢ " Œf x g x x a b ( ) ( ), ( , )= , entonces existe k ŒRR tal que, en dicho

intervalo: f x g x ( ) ( )= + k. (Es decir, si dos funciones tienen igual derivada, difieren en una constante.)

Para demostrarlo, basta aplicar el corolario anterior a la función h x f x g x ( ) ( ) ( )= - .

9. REGLA DE L'HÔPITAL

Teorema (Regla de l'Hôpital)

Si lím límx a x a

f x g x Æ Æ

= =( ) ( ) 0 y existe límx a

f x

g x Æ

¢¢( )( )

, entonces también existe límx a

f x

g x Æ

( )( )

, verificándose: lím límx a x a

f x

g x

f x

g x Æ Æ=

¢¢

( )( )

( )( )

Efectuaremos la demostración en dos partes.

➪ Primero, veamos qué tenemos.

1111 )))) La hipótesis de que existe límx a

f x

g x Æ

¢¢( )

( ), supongamos que es igual a L, garantiza que existe un entorno E( )a tal que

f x g x ( ) ( )y son derivables y ¢g x ( ) no se anula en ¢E ( )a .

– 44 –




(En caso contrario, o sea, si todo entorno de a contuviera puntos en los que f x g x ( ) ( )o no fueran derivables, o ¢g x ( ) tomara el

valor 0, no cabría que lím L

x a

f x

g x Æ

¢¢

=( )( )

, pues ello exige que la función¢¢

f x

g x

( )( )

esté definida en un entorno de a .)

2222)))) Además, podemos suponer que f a g a ( ) ( )= = 0, porque aunque no fuese así inicialmente, podríamos cambiar el valor de las

funciones en a , ya que para la existencia y, en su caso, valor de los límites para x a Æ , es indiferente lo que ocurra precisamente en a .

3333)))) En tal caso, cualquiera que sea x EŒ ¢( )a (supongamos x > a ), la función g no se anula en ( , ]a x , porque de anularse en

un punto y , con a y x < £ , g cumpliría las condiciones del teorema de Rolle en [ , ]a y , luego existiría b Œ( , )a y (y, por

tanto, b Œ( , )a x , que está contenido en ¢E ( )a ) tal que ¢ =g ( )b 0, contra lo dicho en 1111))))

➪ Segundo:

Como consecuencia de todo lo anterior, cualquiera que sea x EŒ ¢( )a (supongamos x > a ), f y g cumplen las hipótesis deCauchy en [a , x ] , luego existirá un z a x Œ( , ) tal que:

f x f a

g x g a

f z

g z

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

-

-=

¢

¢

, es decir:f x

g x

f z

g z

( )

( )

( )

( )

=¢

¢Pero, siendo lím L

x a

f z

g z Æ

¢¢

=( )

( ), se tendrá que para todo e d > 0 existirá > 0 tal que:

0 < - <

¢¢

- <z a f z

g z d e

( )

( )L

y en esas condiciones, fijado e > 0 bastará tomar un x EŒ ¢( )a que verifique: 0 <| |<x a - d , con lo cual será 0<| |<z a - d , comose observa en el esquema:

E(a )

z x a a – d a + d

para que se cumpla:

f x

g x

f z

g z

( )

( )

( )

( )- =

¢¢

- <L L e

En resumen: ➬ lím L límx a x a

f x

g x

f x

g x Æ Æ= =

¢¢

( )( )

( )( )

Ejemplo

La regla de l'Hôpital es mucho más fácil de aplicar que de demostrar. Así, por ejemplo, para calcular: límx

x x

x x Æ

- +

- -5

2

2

6 5

4 5, cumpliéndose las

hipótesis del teorema, se tendrá:

lím límx x

x x

x x

x

x Æ Æ

- +

- -

=-

-

=5

2

2 5

6 5

4 5

2 6

2 4

2

3Observación importante

Puede demostrarse, aunque aquí no lo hagamos, que la regla de l'Hôpital también vale para calcular límites en los que x Æ • , ypara deshacer indeterminaciones del tipo • •/ . Asimismo, mediante artificios sencillos, se puede aplicar a indeterminaciones del tipo

0 •, • - •, ó 1•.

Así, por ejemplo, para calcular límsenx x x Æ

-È

ÎÍ

»

½¼

0

1 1, procederíamos como sigue:

lím

senlím

sen

senlím

senlím

sen

senx x x x x x

x x

x x

x

x x x

x

x x x x Æ Æ Æ Æ-

È

ÎÍ

»

½¼ =

-

=-

+ =

-+ -

= =0 0

1

0

2

0

1 1 1 0

20

( ) ( )cos

cos cos cos

El truco ha consistido en transformar la expresión inicial en un cociente, para poder aplicar la regla en el paso (1). Luego la hemos vuelto a aplicar en (2).

– 45 –




10. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES


Aunque se trata de algo que está implícito en las páginas precedentes, concluiremos este capítulo dedicando unas líneas a la repre-

sentación gráfica de funciones.Desde luego, en la expresión algebraica con la que se define normalmente una función se contienen todas las propiedades de la

misma. Nada mejor, en efecto, para caracterizar cierta función que decir que se trata de la f x x ( ) = sen , pongamos por caso. Sin embargo,

la representación gráfica de una función permite hacerse una rápida idea de las características más importantes de ésta y aclarar ciertosaspectos oscuros que la misma pudiera presentar. No han faltado ejemplos de esto que decimos en lo que hemos visto hasta ahora.

Un primer paso para dibujar la gráfica de una función, que puede ser suficiente en los casos más sencillos, consiste en obtenervarios puntos de la misma. Así, para representar una función lineal: f x x ( ) = +a b, basta con tomar dos cualesquiera de sus puntos y tra-

zar la recta que los une; para representar una función cuadrática: f x x x ( ) = + +a b c2 , basta con dibujar el vértice y dos o cuatro puntosmás de la correspondiente parábola... Sin embargo, el procedimiento, que no hay que despreciar por completo, además de que puederesultar engañoso si no se toma un gran número de puntos, es insuficiente en la mayor parte de los casos.

Lo que sigue es pues, en gran medida, una recopilación de cuestiones ya estudiadas. Son distintos aspectos que pueden conside-rarse a la hora de efectuar la representación gráfica de una función. No se ha de entender que siempre sea absolutamente preciso estu-diarlos todos, pero cuantos más de ellos analicemos, más seguridad tendremos de que la curva que tracemos es la correcta. Con objetode que resulte más fácil ver cómo se hallan relacionados cada una de los distintos “pasos”, tomaremos una función a título de ejemplo ytras estudiar de forma conjunta sus propiedades, terminaremos dibujando su gráfica.

Ejemplo

Vamos a estudiar las propiedades y dibujar la gráfica de la función:

y f x

x

x = =

-( )

3

2 1

A tal efecto, iremos dando, uno a uno, un total de nueve pasos:

1111.... DDDDoooommmmiiiinnnniiiioooo

Lo primero que conviene determinar es el dominio de la función; esto es, los valores de la var iable x para los que existe f x ( ) . Ladeterminación del dominio requerirá en cada caso un estudio particular (si se trata de una función racional, habrá que excluir, si existen,los puntos en los que se anule el denominador; si se trata de una función en la que intervengan logaritmos, habría que excluir los valoresde x que dieran lugar a logaritmos de números negativos; si de una raíz cuadrada, los que hagan el radicando negativo,etc.).

En nuestro caso, DD RRf = - -{ , }11

2222 .... CCCCoooonnnnttttiiiinnnnuuuuiiiiddddaaaadddd

Si una función no es continua en un punto, la gráfica se rompe en dicho punto, lo cual es importante para trazar la curva. La ma-yoría de las funciones que tendremos que dibujar serán continuas en todo su dominio, pero hay que evitar un error frecuente, consiste endecir que una función es continua incluso en puntos donde no está definida.

En nuestro caso, siendo f x ( ) una función que es cociente de dos funciones polinómicas, será continua en todo punto, salvo enaquellos en que el denominador se anule. Por lo tanto:

f x ( ) es continua en su dominio.

3333 .... SSSSiiiimmmmeeeettttrrrríí í í aaaassss

En la figura siguiente aparecen las gráficas de dos funciones. La de la izquierda es simétrica respecto del eje OY. La de la derecha,respecto del origen de coordenadas.

– 46 –




Y

X

f (x )

x

f ( – x )

– x

Simétrica respectodel eje OY

Y

X

f (x )

x f ( – x )

– x

Simétrica respectodel origen

Para estudiar la simetría de una función y f x = ( ) se comparan los valores, para todo x del dominio, de f x f x ( ) ( )y - . Entonces:

f x f x x f f x

f x f x x f f x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= Dominio de es simétrica respecto del eje OY

= Dominio de es simétrica respecto del origen

- " Œ - - " Œ

En nuestro caso, la curva será simétrica respecto del origen de coordenadas, pues:

f x

x

x f x

x

x

x

x ( ) ; ( )

( )

( )= - - =

-

- - = - -

3

2

3

2

3

21 1 1

4444 .... PPPPuuuunnnnttttoooossss aaaauuuuxxxxiiiilllliiiiaaaarrrreeeessss

Ya hemos dicho que la obtención de unos cuantos puntos de la gráfica puede ayudar a su trazado. En particular, el punto de cortede la curva con el eje OY (que, si existe, será único), se obtendrá dando a x el valor 0 y calculando f ( )0 . Los puntos de corte con el ejeOX (que pueden ser más de uno), corresponderán a los valores de x tales que f x ( ) = 0. No siempre es fácil resolver tal ecuación, ycuando ello ocurra puede prescindirse de esta información.

En nuestro ejemplo, el único punto de corte de la curva con los ejes coordenados es el origen, dado que:

x

x

x 3

2

1

0 0

-

= ¤ =

5555 .... MMMMááááxxxxiiiimmmmoooossss yyyy mmmmíí í í nnnniiiimmmmoooossss llllooooccccaaaalllleeeessss

Debido a que una función puede tener máximos o mínimos locales en puntos en los que no sea derivable, lo primero que convendráhacer será ver si la función que se trate de representar no es derivable en algún punto de su dominio y, caso de que sea así, analizar quésucede en tales puntos. Hecho lo anterior, para determinar los máximos y mínimos locales en los puntos en los que y f x = ( ) sea deriva-ble, se procede de la siguiente manera:

• Se hallan los puntos a tales que ¢ =f a ( ) 0 .

• Siendo a uno de los puntos tales que ¢ =f a ( ) 0 , se calcula ¢¢f a ( ) .

• Si ¢¢ <f a ( ) 0, en a existe un máximo local.• Si ¢¢ >f a ( ) 0, en a existe un mínimo local.• Si ¢¢ =f a ( ) 0, hay que recurrir a otros procedimientos, que consisten bien en comparar el valor de la función a la izquierda y

a la derecha de a con el que toma en a , bien en aplicar otro criterio que no se estudia en el presente curso y en el queintervienen las derivadas sucesivas de f en el punto a .

En la función del ejemplo, derivable en todo su dominio, se tiene:

¢ =-

-= ¤ = - = = +f x

x x

x x x x ( )

( )

4 2

2 2

3

10 3 0 3ó ó

Y como:

¢¢ =+

- ¢¢ - < ¢¢ = ¢¢ >f x

x x

x f f f ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

2 3

13 0 0 0 3 0

2

2 3, ,

podremos concluir que en el punto ( , / )- -3 3 3 2 existe un máximo local y en el ( , / )3 3 3 2 un mínimo local. Lo que suceda en elpunto (0, 0), queda a expensas de lo que veamos posteriormente.

– 47 –




6666 .... CCCCrrrreeeecccciiiimmmmiiiieeeennnnttttoooo yyyy ddddeeeeccccrrrreeeecccciiiimmmmiiiieeeennnnttttoooo

Recordemos lo dicho líneas atrás: Si f x ( ) una función derivable en un punto a ŒRR, entonces:

¢ >

¢ <

f a a

f a a

( ) .

( ) .

0

0

la función es creciente en

la función es decreciente en(Desde luego, una función puede ser creciente o decreciente en otros puntos, además de aquellos en los que la derivada es positiva o negativa, pero se trata

de casos de más interés teórico que práctico).

En el ejemplo que estamos considerando se tenía que:

¢ =-

-=

-

-f x

x x

x

x x

x ( )

( )

( )

( )

4 2

2 2

2 2

2 2

3

1

3

1

cociente que es positivo en los intervalos ( , ) ( , )-• - •3 3y , en los que la función será creciente. En el intervalo ( , )- 3 3 , en elque –salvo en el origen– la derivada es negativa, la función sera decreciente. En cuanto a lo que suceda en el origen precisamente, bastacon observar que para valores x < 0 la función toma valores negativos, en x = 0 se anula y para valores x > 0 valores positivos.También sera, pues, creciente en este punto.

7777 .... CCCCoooonnnnccccaaaavvvviiiiddddaaaadddd,,,, ccccoooonnnnvvvveeeexxxxiiiiddddaaaadddd yyyy ppppuuuunnnnttttoooossss ddddeeee iiiinnnnff f f lllleeeexxxxiiiióóóónnnn

Dijimos páginas atrás que si f x ( ) es una función y a ŒRR un punto tales que existen ¢ ¢¢f a f a ( ) , ( ), siendo ¢¢f x ( ) continua en a ,entonces:

1 Si ¢¢ <f a ( ) 0 , entonces f x ( ) es convexa en a .

2 Si ¢¢ >f a ( ) 0 , entonces f x ( ) es cóncava en a .

3 Si ¢¢ = ¢¢¢ {f a f a ( ) , ( )0 0 , entonces f x ( ) tiene un punto de inflexión en a .

En el caso que estamos analizando la segunda derivada es: ¢¢ =+

-f x

x x

x ( )

( )

( )

2 3

1

2

2 3, cuyo signo se analiza mejor escribiéndola en la

forma ¢¢ = + --

f x x x x

x ( ) ( )( )

( )2 3 1

1

2 2

2 4, pues así nos aseguramos de que el denominador o es cero o positivo.

Igualado el numerador a cero, se ve que las únicas raíces de la correspondiente ecuación son –1, 0 y 1, por lo que dividiendo la

recta real en los intervalos -• -( ) - •, 1 1, ( , 0) , (0, 1) y (1, ) y viendo qué signo toma ¢¢f x ( ) en un punto de cada uno de ellos, se

llega a las siguientes conclusiones, que expresamos mediante un esquema:

–1 0 +1

Signo de f ’’(x)

Tipo de curva

–

convexa

+

cónvaca

–

convexa

+

cóncava

En los puntos –1 y +1 la función no estaba definida, y en x = 0 podría comprobarse que la tercera derivada es distinta de cero,por lo que en x = 0 hay un punto de inflexión.

8888 .... AA A Assssíí í í nnnnttttoooottttaaaassss

En el primer tema de esta parte del curso ya había aparecido el concepto de asíntota, que ahora completaremos.

1111 .... Cuando, dada una función f x ( ), suceda que lím L ó lím Lx x

f x f x Æ +• Æ -•

= =( ) ( ) , de la recta y = L diremos que es una asíntota

horizontal de dicha función.

En cualquiera de los cuatro casos de la figura siguiente, la recta dibujada en línea de puntos es una asíntota horizontal de la curva.

– 48 –




Y

f

X

L asíntota

Y

f

X

L asíntota

f

L

X

Y

asíntota

f

L

X

Yasíntota

2222 .... Si, dada una función f x ( ), sucede que lím ó límx a x a

f x f x Æ Æ- +

= ±• = ±•( ) ( ) , de la recta x a = diremos que es una asíntota

vertical de dicha función. La recta dibujada en línea de puntos en la figura siguiente es una asíntota vertical de la correspondiente curva.

asíntota

a

f

X

Y

3333 .... Pensemos, ahora, en una recta, cuya de ecuación y x = +m p, cuya situación respecto de la curva f x ( ) fuese la de la siguiente

figura. Habría de ser: límx

y f x Æ •

-[ ] =( ) 0. En tal caso, diríamos que la recta en cuestión es una asíntota oblicua de la función f x ( ).

f X

Y

¿Cómo se calcularán los valores de mmmm y pppp? Observemos, a tal fin, que:

1.

lím m p límm p

lím m m límx x x x

x f x x f x

x

f x

x

f x

x Æ • Æ • Æ • Æ •+ -[ ] =

+ -= -

È

ÎÍ

»

½¼ = =( )

( ) ( ) ( )0 0 0

2.

lím m p lím m p= 0 p= lím mx x x

x f x x f x f x x Æ • Æ • Æ •

+ -[ ] = -[ ] + -[ ]( ) ( ) ( )0

Veamos cómo se aplica lo anterior a la función de nuestro ejemplo, y f x x

x = =

-( )

3

2 1.

1111.... Como el límx

x

x Æ • -

3

2

1

no es finito, no existe asíntota horizontal.

– 49 –




2222 ....

lím límx x

x

x

x

x Æ Æ- +-= -•

-= +•

1

3

21

3

21 1; , luego la recta de ecuación x = 1 es una asíntota vertical.

3333 .... Para ver si hay alguna asíntota oblicua, vemos si es finito límx

f x

x Æ •

( ), observando que lím lím

x x

f x

x

x

x Æ • Æ •=

-=

( ) 2

2 11, luego

hay una asíntota oblicua , y x = +m p, siendo m = 1. El valor de p lo calculamos así:

p= lím m lím límx x x

f x x x

x x

x

x Æ • Æ • Æ •-[ ] =

--

È

ÎÍÍ

»

½¼¼

=-

=( )3

2 21 10

Así pues, la asíntota oblicua tiene por ecuación: y x = .

9999 .... PPPPoooossssiiiicccciiiióóóónnnn ddddeeee llllaaaa ccccuuuurrrrvvvvaaaa rrrreeeessssppppeeeeccccttttoooo ddddeeee llllaaaassss aaaassssíí í í nnnnttttoooottttaaaassss

Conocidas las asíntotas de una función, conocer la posición de la curva respecto de ellas puede darnos la última y muy significativainformación sobre la gráfica que queremos dibujar.

• Consideremos, en primer lugar, una asíntota vertical, de ecuación x a = . ¿Cómo saber en qué zonas, de las cuatro señaladas en

la siguiente figura, se halla la curva?

a X

Y 1

2

3

4

Si lím la curva se hallará en la zona [1]




x a

x a

x a

x a

f x

f x

f x

f x

Æ

Æ

Æ

Æ

-

-

+

+

= +•

= -•

= +•

= -•

( )

( )

( )

( )

• En cuanto a cómo conocer la posición de la curva respecto de una asíntota horizontal o una oblicua, en ambos casos se sigue elmksmo procedimiento, que consiste en lo siguiente: Representemos por y c los valores de las ordenadas de los puntos de la curva, y por

y a las de los puntos de la asíntota. ¿Cómo saber en qué zonas, de las cuatro señaladas en esta nueva figura, se halla la curva?

X

Y 1

2

3

4

Si , para la curva se hallará en la zona [1]




c a

c a

c a

c a

y y x

y y x

y y x

y y x

- > Æ +•

- < Æ +•

- > Æ -•

- < Æ -•

0

0

0

0

,

,

,

,

Apliquemos lo anterior a nuestro eeee jj j jeeeemmmmpppplllloooo, empezando por dibujar las asíntotas de ecuaciones conocidas: x x y x = - = =1 1, , .

32

1 45

6 1) Las posiciones indicadas con [1] y [2] se deben, respecti-

vamente, a que:

lím lím

x x

x

x

x

x Æ - Æ -- +-= -•

-= +•

1

3

21

3

21 1;

1) En cuanto a las posiciones indicadas con [3] y [4] sondebidas a que:

lím lím

x x

x

x

x

x Æ Æ- +-= -•

-= +•

1

3

21

3

21 1;

3) Con relación a la asíntota oblicua, y x a = , observemos que siendo y y x

x c a- =

-2 1, se tendrá:

y y x y y x c a c a, para mientras que , para- < Æ -• - > Æ +•0 0 .

De ello se deduce que la curva estará en las zonas [5] y [6], respectivamente.

– 50 –




Despues de todo lo anterior, sólo nos queda trazar la curva. Lo hacemos a continuación, dejando para el lector la tarea de compro-bar que en ella se reflejan exactamente todas las propiedades de la función, previamente analizadas.

Gráfica de la función

f x x

x ( ) =

-

3

2 1

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

-3 3

1

3

-3

-1

Otro ejemplo

Se muestra a continuación la gráfica de otras función, cuya obtención puede ser un interesante ejercicio.

Gráfica de la función

f x x

x ( ) =

-

2

2 2

-4

-2

2 4

-4

-2

2

4

– 51 –




11.EJERCICIOS1111 .... ---- Calcula el valor de la diferencial de las siguientes funciones en los puntos y para los incrementos de la variable independiente que

se indican:

11.. 22..33 44..

f x x x x f x x x x

f x x

x x f x x x x

( ) , ( ) ,. ( ) , ( ) ln ,

= = = = = == = = = = =

2

0 0

0 0

5 0 001 25 0 00112 0 002 1 0 001

en , para en , paraen , para en , para

D DD D

2222 ....---- Utilizando la diferencial, calcula un valor aproximado de:

aa.. bb.. cc

1

10244 1 0032 2 1 0032 50

55 3

,, , . -

3333 ....---- Decide si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes en los puntos que se indican:

f x x x x x x

f x x x x x x

f x x x x x x

( ) , ,

( ) , / , /

( ) , ,

= - + = - = == - = = =

= - + = = =

20 1 3

0 1 3

3 2 0 1 3

6 8 3 2 3

0 4 3 4

6 12 0 2 4

cos sen p p

4444 ....---- Estudia el crecimiento de las siguientes funciones:

f x x

g x h x x x x

i x x

x x j x

x x k x x

m x x x n x x sen x p x x x

x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ln( )

( ) .ln ( ) ( ) ln[( )( )]

= = + = - +

=- -

= - = +

= = + = - -

-12 2

6 16 31

1 2

23 2

e e

5555....---- Determina los máximos y mínimos relativos de las funciones:

y x x yx

xy x x

yx

xy

x x

x xy x

y x x x y x x yx

x x

= - + =+

-= -

=-

+=

+ +

+ +=

= - - = - + = -

32

2

2

2

2

2 3

6 121

12 7

8

14 9

2 3

1 2 12

cos sen

arctg

sen.( ) .( ) ln( ) [ (ln ) cos(ln )]

6666 ....---- Halla a, b, c, d sabiendo que los extremos locales de la función y x x x = + + +a b c d3 2 son los puntos (0, 4) y (2, 0).

7777 ....---- La ecuación de la tangente a la curva y x x x = + + +a b c d3 2 en el punto de inflexión (1, 0) es y x = - +3 3 y la función t iene unextremo local en x = 0. Calcula f ( )5 .

8888 ....---- La trayectoria de un proyectil lanzado verticalmente hacia arriba tiene por ecuación e t t = - v g1

2

2 , donde v es la velocidad inicial,

en m/sg y t el tiempo en sg. Calcula el tiempo que el proyectil tardará en alcanzar su altura máxima y cuánto tardará en caer desdeel momento del disparo si la velocidad inicial es de 360 m/sg.

9999 ....---- Calcula la longitud de los lados del triángulo isósceles de 24 cm de perímetro y área máxima.

11110000....---- Halla las dimensiones del rectángulo de 400 m2 de área y perímetro mínimo.

11111111....---- Halla el radio de la base y la altura del cono de generatriz 4 m y volumen máximo.

11112222....---- Halla las dimensiones del cilindro de área lateral máxima inscrito en una esfera de radio 18 m.

11113333....---- Halla la altura del cono de volumen máximo entre todos los inscritos en una esfera de 20 m de radio.

11114444....---- Calcula el radio y la amplitud, en radianes, del sector circular de mayor área entre todos los de 4 cm de perímetro.

– 52 –




11115555 .... ---- El precio de un diamante es proporcional al cuadrado de su peso. Determina cuál es la forma de partir un diamante que produceuna mayor depreciación de su valor.

11116666 .... ---- Calcula las dimensiones del rectángulo de área máxima de entre todos los de centro el origen de coordenadas, lados paralelos a losejes y vértices situados en la elipse:

x y 2 24 2

1+ =

11117777....---- Determina en qué punto de la función y x

=+

1

1 2la tangente a la misma forma el mayor ángulo posible con la horizontal.

11118888....---- ¿Qué longitud ha de tener una cuerda de una circunferencia para que sea máximo su producto por la distancia de la cuerda alcentro de la circunferencia?

11119999....---- Las dimensiones de un campo de fútbol son 62 por 104 m, y las porterías miden 6 m. Determina desde qué punto de la bandalateral es más probable marcar gol en un tiro directo.

22220000....---- Si una función derivable y positiva f x ( ) tiene un mínimo local en un punto x a = y la segunda derivada ¢¢f a ( ) no es nula, ¿qué se

puede decir del signo de las dos primeras derivadas de f x ( )[ ]2 en ese punto?

22221111....---- Determina los valores máximo y mínimo absolutos de las funciones que se indican, en los intervalos correspondientes:

f x x x g x x x x h x x ( ) ( ) ( )= - - = - - - =2 3 22 2 8 2en [ , 5] en [ , 2] sen en [ / 2 , 4 /3]2 p p

22222222....---- Aplica, si es posible, el teorema de Rolle a las funciones que se indican, en los intervalos correspondientes:

f x x x g x x

h x x x j x x

( ) , [ , ] ( ) , [ , ]

( ) , [ , ] ( ) | |, [ , ]

= - + - =

= + + - =

2

2

5 8 2 5 0

7 4 7 0 0 2

en tg en

en cos en

p

p

22223333....---- Para cada una de las funciones f e intervalos [ , ]a b que se indican a continuación, se cumple f a f b ( ) ( )= y, sin embargo, no existeningún a Œ( , )a b tal que ¢ =f ( )a 0. Explica en cada caso por qué no se contradice el teorema de Rolle:

1

12 2 2 1 1 1

2) ( ) , [ , ]. ) ( ) | |, [ , ]f x

x f x x = - = - -en en

22224444....---- La función: f x

x x x

x x ( ) =

+ ++ u

ÏÌÔ

ÓÔa b si < 2

c si 2

2 5

1

cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0, 4]. Halla a, b y c y determina en qué punto(s) se verifica lo aseguradopor el teorema.

22225555....---- Si la derivada de una función f x ( ) es positiva en todo punto x ŒRR, ¿pueden existir dos puntos a b f a f b , ( ) ( )Œ =RR tales que: ?

22226666....---- Demuestra que x = 0 es la única raíz real de la ecuación 5 3 7 09 5x x x + + = .

22227777....---- Siendo f x x x x x ( ) ( ) ( ) ( )= + + +1 2 3 , demuestra que la ecuación ¢ =f x ( ) 0 tiene tres raíces reales.

22228888.- La ecuación ex x = +1 tiene una raíz real en x = 0. Demuestra que es la única.

22229999.- Determina los valores de a y b tales que la función: f x

x x

x x x ( ) =

++ + u

ÏÌÓ

a si < 3

b si 3

2

42

cumpla las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo [0, 8]. ¿En qué punto(s) se verifica la tesis?

– 53 –




33330000 .... ---- Determina un punto en el que se verifique el teorema del valor medio en el intervalo [2, 8] para la función: f x x ( ) log= 2 .

33331111....---- Determina un punto en el que se verifique el teorema del valor medio en el intervalo [ , ]p p

4 2para la función: f x x ( ) = sen .

33332222....---- Aplica, si es posible, el teorema del valor medio a las funciones que se indican, en los intervalos correspondientes:

f x x x g x x x ( ) ( )= - + - = - -2 33 4 2 2en [ , 3] en [ , 1].

33333333....---- Calcula un valor aproximado, hasta la segunda cifra decimal, de 172 , haciendo uso del teorema del valor medio.

33334444....---- Aplica, si es posible, el teorema de Cauchy a las funciones que se indican, en los intervalos correspondientes:

f x x g x x

f x x g x x

( ) ( )

( ) ( )

= + = -

= =

2 32 1 1

0

, en [ , 2]

sen , cos en [ , / 2]p

33335555.- Calcula los siguientes límites:

lím sen lím lím

lím límtg

líme

e e

lím lím lím

tg

x x x

x

x

x x x

x

x

x x

x x x

x x x x

x

x

sen x x

x a x

x x

Æ Æ Æ •

Æ Æ Æ

Æ • Æ - Æ

-

+

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

+ -

--

-

È

ÎÍ

»

½¼

-+

+ +

0 0

0 0 1

2

3

20

11 1

1 41 1

1

18

5 6

1

cosln ln( )

( )

( )

p

11

14

4 21

3 51 5

0 0 0

5

02 4 0

2

-

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

-

-

--

Ê Ë Á ˆ

¯ ˜ - +

- ---

Æ Æ Æ

Æ Æ Æ

cos

ln (cos )

cos

x

x

x

x

x x

x x x

x x x x x x

x

x x x

x

x x x

x x

sen

tg

límsen

límsen

tglím

lím lím lím e etg

33336666....---- Representa gráficamente la función: p x x x x ( ) = + + -4 3 24

32 2. ¿Cuántas raíces reales tiene el polinomio p x ( )?

33337777....---- Representa gráficamente las siguientes funciones:

y x x y x

x y x x y x

x

y x

x y

x

x y y x x

y x x y x y x

x y x

y x

x y

x x

x

x

= - - =-

= - + = -

= + =+

-= = +

= = - = =

=-

=- +

-

4 22

3 2 22

2 2

2

3

3 2

2 82

3 2 19

2

8 1

2 1

4

1

3

2

( )

( )

( )

ln ln( )ln

e sen cos

e

44 3

3 1

1

4 5

2 1

3

14

1

1

1

22 15

2 3

3

2

3

2 24 3

2

2

2

22

x y

x x y

x

x

y x

x y

x

x y

x

x y x x

y x y x

x y

x

x x y x x

=-

=-

=-

=-

-=

++

= -

= =+

-=

+

+ -= + -

( ) ( )

| |

| |

sen2

– 54 –



Tema 4

La integral



La integral

1. INTRODUCCIÓN Abordamos ya el único tema que dedicaremos en nuestro curso al cálculo integral. En él confirmaremos lo dicho con anterioridad,

cuando afirmábamos que integrar, proceso inverso al de derivar, nos permitirá conocer el área limitada por una curva. O también,utilizando términos de la Física, que si el cálculo diferencial es un método para hallar la velocidad cuando se conoce el espacio recorrido, el

cálculo integral es un método para hallar el espacio cuando se conoce la velocidad. Espacio que coincidirá con el área bajo la curva queexpresa la dependencia de velocidad respecto del tiempo, al igual que la pendiente de la tangente a la curva que expresaba el espacio enfunción del tiempo, coincidía con la velocidad... Todas estas son ideas que nacieron de trabajos realizados de forma independiente en elsiglo XVII por Newton y Leibniz, quienes, utilizando los métodos de la geometría analítica de Descartes, el concepto de límite y losconocimientos geométricos legados por los griegos, lograron aglutinar materias dispersas hasta entonces, inventando lo que más tardedio en llamarse cálculo diferencial e integral. Posiblemente ni ellos mismos fueron conscientes del horizonte de posibilidades que se abriríacon sus trabajos. La deuda de la Humanidad con ellos es imperecedera...

2. INTEGRACIÓN

Definiciones (primitiva e integral indefinida)

■ Una primitiva de una función f x ( ) es toda función F x ( ) tal que: ¢ =F x f x ( ) ( )

■ La integral indefinida de f x ( ) es el conjunto de todas las primitivas de f x ( ) y se representa por f x x ( )dÚ . Si F x ( ) es una de

esas primitivas, cualquier otra habría de tener la misma derivada y, en consecuencia, sería de la forma F x ( ) + Œk , k RR. Por ello, seescribe:

f x x F x ( ) ( )d kÚ = +

EEEEnnnn rrrreeeessssuuuummmmeeeennnn::::

f x x F x F x f x ( ) ( ) ( ) ( )d kÚ = + ¤ ¢ =

Ejemplos

Sin más que aplicar las definiciones anteriores podríamos escribir:

1111 x x x

d kÚ = +2

22222 cos d sen kx x x Ú = + 3333 1.d d kx x x Ú Ú = = +

Integrales inmediatas

Habida cuenta de que la obtención de la integral indefinida de una función, la integración , no es sino el proceso inverso al dederivación, basta con recordar las propiedades ya estudiadas de la derivación para poder escribir:

11 22

33 44

55 66

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( )

; ln

cos cos

f x g x x f x x g x x f x x f x x

x x x x x

x

x x x x x x

x x

+ = + = Œ

= + + { - = +

= - + = +

Ú Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú

+

d d d k d k d k

d n C si n d C

sen d C d sen C

e d

n

n

RR

77

1

1 1

== + = +

= + = - +

-= +

+= +

Ú

Ú Ú

Ú Ú

e C a da

a

1

cosd tag C

1

send cotag C

darcsen C

darc tg C

2 2

x x x

x C

x x x

x x x

x

x x

x

x x

88

11

ln

99 1100

1111 221 12 2

En adelante, cada vez que hayamos de calcular una integral que no figure entre las anteriores, intentaremos dar los pasos que nospermitan expresarla en función de las que sí aparecen en la lista.

– 56 –



La integral

Ejemplos

En los casos más sencillos, basta con aplicar directamente los resultados anteriores. Y así, por ejemplo, resulta muy fácil escribir:

[ ] ln5 35

5 35

5 3 51 5

453 2 3 2 3 2

43x x

x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x + + = + + = + + = + + +Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú d d d d d d d C

[ ]sen d sen d d d sen d d d cos arctg Cx

x x x x

x x x x x

x x x x x x +

+- = +

+- = +

+- = - + - +Ú Ú Ú Ú Ú Ú Ú

4

13

4

13 4

1

13 4 3

2 2 2

Normalmente, sin embargo se requerirán ciertas transformaciones antes de poder dar la integración por finalizada. A continuaciónestudiaremos los procedimientos más comunes a tal fin, empezando por el llamado método de integración por cambio de variable.

Integración por cambio de variable

En ocasiones, el cálculo de la integral f x x ( )dÚ resulta complicado, pero la introducción de una nueva variable, t , función a su vez

de x , permite simplificar los cálculos. A título de ejemplo, supongamos que se deseara calcular la integral:

5 1 2x x x +Ú d

Efectuando el cambio de variable:

t x = +1 2

se tendrá:

d dt x x = 2

y, en consecuencia:

5 1 5

2

5

2

5

3

5

312 3 2 3x x x x t

t

x t t t x + = = = + = + +Ú Ú Ú d

dd C C( )

EjemplosUtilizando el método anterior puede comprobarse fácilmente que:

sen cos d

senC d C2

3

x x x x

x x x x = + - = - - +Ú Ú 32

16

1 22 4 2 3; ( )

Integración por partes

Se basa este procedimiento en la fórmula de la derivada de un producto: u x v x u x v x u x v x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]¢ = ¢ + ¢

Se tendrá:

u x v x x u x v x x u x v x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

[ ]

¢ = ¢ + ¢

Ú Ú Ú d d d

y como:

u x v x x u x v x u x x u v x x v ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) , ( )[ ]¢ = ¢ = ¢ =Ú d d d d d

será:

u v v u u v = + Ú Ú d d

es decir:

Fórmula de la integración por partes ➤➤➤➤

u v u v v u = - Ú Ú d d

Algunos, para recordar la fórmula anterior, dicen: "un día vi un viejo vestido de uniforme"

– 57 –



La integral

Ejemplo

Para calcular:

x x x Ú e d

procederemos así:

u x u x

x v v x x = Æ =

= Æ =d d

e d d ede donde:

x x x x x x x x x x = - = - +Ú Ú e d e e d e e C

Más ejemplos

Comprueba, tras aplicar la fórmula de la integración por partes, que:

x x x x x x x x x x x x sen d sen C d CÚ Ú = - + + + = + - + +cos ( ) ( )1

2

31

4

1513 5

Integración de funciones racionales

Explicaremos ahora, sirviéndonos de algunos ejemplos, cómo se calculan las integrales del tipo:

P x

Q x x

( )( )

dÚ donde P x Q x ( ) ( )y son dos funciones polinómicas tales que grado de < grado deP x Q x ( ) ( ) .

De los cuatro casos posibles, nosotros consideraremos tres:

aaaa)))) El polinomio Q x ( ) sólo tiene raíces reales simples.bbbb)))) El polinomio Q x ( ) sólo tiene raíces reales, simples y múltiples.cccc)))) El polinomio Q x ( ) sólo tiene raíces reales simples y múltiples y complejas simples.

EEEE jj j jeeeemmmmpppplllloooo ddddeeeellll pppprrrriiiimmmmeeeerrrr ccccaaaassssoooo

Para calcular:

x

x x x x

+

+ -Ú 1

63 2d

procederemos de la siguiente forma:

• Efectuaremos la descomposición factorial del denominador, obteniendo:

x x x x x x 3 2 6 2 3+ - = - +( ) ( )

• Descompondremos la fracción inicial en fracciones simples:

x

x x x x x x

+

+ -= +

-+

+1

6 2 33 2

A B C

En consecuencia:

x x x x x x x + = - + + + + -1 2 3 3 2 A B C( ) ( ) ( ) ( )

igualdad de la que se obtiene, tras dar a x los valores x = 0, x = 2, x = –3: A B C= - = = -

1

6

3

10

2

15; ;

• Concluiremos escribiendo:

x

x x x x

x

x

x

x

x

x x x x +

+ - = - + - - + = - + - - + +Ú Ú Ú Ú 1

6

16

310 2

215 3

16

310 2

215 33 2 d

d d dCln ln( ) ln( )

– 58 –



La integral

EEEE jj j jeeeemmmmpppplllloooo ddddeeeellll sssseeeegggguuuunnnnddddoooo ccccaaaassssoooo

Para calcular:

3 5

13 2

x

x x x x

+

- - +Ú d

• Efectuaremos la descomposición factorial del denominador:

x x x x x 3 2 21 1 1- - + = + -( ) ( )

• Descompondremos la fracción inicial en fracciones simples:

3 5

1 1 1 13 2 2

x

x x x x x x

+

- - +=

++

-+

-

A B C

( )

En consecuencia:

3 5 1 1 1 12x x x x x + = - + + - + + A B C( ) ( ).( ) ( )

igualdad de la que se obtiene, sea tras identificar coeficientes, sea tras dar a x los valores x = 1, x = –1, x = 0:

A B C= = - =1

212

4; ;

• Concluiremos escribiendo:

3 5

1

12 1

12 1

41

12

112

14

13 2 2

x

x x x x

x

x

d x

x

x

x x x

x

+

- - +=

+-

-+

-= + - - -

-+Ú Ú Ú Ú d

d dC

( )ln( ) ln( )

EEEE jj j jeeeemmmmpppplllloooo ddddeeeellll tttteeeerrrrcccceeeerrrr ccccaaaassssoooo

Para calcular:

3 3 11

1 6 10

2

2

x x

x x x x

- +

+ - +Ú ( ) ( )

d

• Partiremos de la descomposición factorial, ya dada, del denominador y escribiremos:

3 3 11

1 6 10 1 6 10

2

2 2

x x

x x x x

x

x x

- +

+ - +=

++

+

- +( ) ( )

A B C

En consecuencia:

3 3 11 6 10 12 2x x x x x x - + = - + + + + A B C( ) ( ) ( )

igualdad de la que se obtiene, sea tras identificar coeficientes, sea tras dar a x valores cualesquiera, como x = –1, x = 0, x =1:

A = 1; B = 2; C = 1

• Escribiremos:

3 3 11

1 6 10

11

2 1

6 10

11

2 1

3 1

2

2 2 2

x x

x x x x

x x

x

x x x

x x

x

x x

- +

+ - +=

++

+

- +=

++

+

- +Ú Ú Ú Ú Ú

( ) ( ) ( )d d d d d

y sin más que hacer el cambio: t = x – 3

• Concluiremos:

3 3 11

1 6 101 3 1 7 3

2

2

2x x

x x x

x x x x - +

+ - += + + - + + - +

Ú ( ) ( )ln( ) ln[( ) ] ( )d arc tg C

– 59 –



La integral

AA A Addddvvvveeeerrrr tttteeeennnncccc iiii aaaa

Si quisiéramos calcular una integral como:

x x x

x x x

3 2

2

4 9

5 6

- + +

- +Ú d

en la que el grado del polinomio del numerador es mayor o igual que el del denominador, antes de efectuar la descomposición enfracciones simples habría que proceder así:

x x x

x x x

x x

3 2

2 2

4 9

5 61

3

5 6

- + +

- ++ +

- += =(efectuando la división) ( )

aplicando a continuación lo visto líneas atrás.

Integración de funciones trigonométricas

Algunas integrales de funciones trigonométricas resultan fáciles de calcular utilizando determinadas transformaciones. Veamos doso tres de ellas a continuación:

1 Para calcular integrales del tipo:

sen d cos d , siendo n un número naturaln nx x x x Ú Ú ; ppaarr

es útil aplicar las fórmulas del ángulo mitad: sen

coscos

cosx

x x

x =

-=

+1 2

2

1 2

2;

lo cual reducirá el grado de la función que ha de integrarse.

Así, por ejemplo, aplicando lo anterior al cálculo de sen d4 x x Ú , se tendrá:

sen d

cosd d cos d cos d4

22x x

x x x x x x x Ú Ú Ú Ú Ú =

-= - +( )

1 2

214

12

214

2

y, considerando ahora que: cos

cos2

1 4

2x

x =

+, quedará:

sen d

sen cosd

sen senC =

sen senC4 x x

x x x x

x x x

x x x x Ú Ú = - +

+= - + +

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ + - + +

412

2

214

1 4

2 4

2

418

4

434

2

4

4

32

2 Las integrales del tipo:

sen d cos d , siendo n un número naturaln nx x x x Ú Ú ; iimmppaarr

pueden calcularse escribiendo: sen sen sen ó cos cos cosn n 1 n n 1x x x x x x = = - -

y procediendo como en el siguiente ejemplo:

cos d cos cos d cos sen d (cos sen cos sen cos d sen sen

senC5 4 2 2 4 3

5

x x x x x x x x x x x x x x x x x

Ú Ú Ú Ú = = - = - + = - + +( ) )1 223 5

2

3 En general, para integrar una función racional de sen cosx x , : R sen cos( , )x x suele dar resultado aplicar los cambios de variable

que se indican a continuación:

aa)) bb))Si R sen cos R sen cos t tag En otros casos, t tag( , ) ( , ),x x x x x

x = - - = =

2

Aplicando los cambios anteriores pueden obtenerse, por ejemplo:

aa)) bb))

d

1+sen arctg( tg C

d

1+ sen cos ln(1+ tg

x

2 C2

x

x x

x

x x= + + = +Ú Ú 1

2 2 ) )

– 60 –



La integral

3. EL CONCEPTO DE INTEGRAL DEFINIDA

Planteamiento del problema

Admitamos como punto de partida y, por tanto, utilizable sin definirlo previamente, el concepto de área de un cuadrado. No resulta

entonces difícil, sin más que hacer consideraciones geométricas intuitivas, calcular áreas de triángulos, cuadriláteros o polígonos engeneral... Pero consideremos la figura siguiente:

La curva y f x = ( ), que supondremos continua y positiva en elintervalo [a, b] para simplificar el razonamiento, las rectas x x = =a b,

y el eje OX forman un recinto.

¿Qué se entenderá por área de dicho recinto? ¿Cómo secalculará?

a b

f ( x )

Esta área es la que

queremos ca lcu lar

Cuestiones previas

1111 Sea f x ( ) una función continua y positiva en un intervalo cerrado [a, b] y consideremos una partición del intervalo [a, b] ; o sea,cualquier conjunto de puntos:

PP= { / a = < < < < = b }n nx x x x x x x x 0 1 2 0 1 2, , , ,L L

Llamemos:

1111)))) m i al valor mínimo de f x ( ) en el subintervalo [ , ]x x i 1 i- . (Que existe, pues f x ( ) es continua en dicho subintervalo cerrado.)

2222)))) M i al valor máximo de f x ( ) en el subintervalo [ , ]x x i 1 i- . (También existe, por la misma razón.)

3333)))) Dx i a la longitud del subintervalo [ , ]x x i 1 i- , o sea, a la diferencia x x i i 1- - .

( Dx 1 es la longitud del primer trozo en el que se ha dividido [a, b], Dx 2 la del segundo, etc.)4444)))) A(PPPP ), o anchura de la partición PPPP, a la mayor de las longitudes Dx i

Entonces, las sumas:

ss

SS

= + + + º + =

= + + + º + =

=

=

Â

Â

m m m m m

M M M M M

n n i ii

n

n n i ii

n

1 1 2 2 3 31

1 1 2 2 3 31

D D D D D

D D D D D

x x x x x

x x x x x

son, respectivamente, las sumas de las áreas de todos los rectángulos que aparecen en las figuras 1 y 2 siguientes:

f ( x )

Figura 1

a = x 0 x 2x 1 x n - 1 x n =b

¨ x 1

m 1

f ( x )

Figura 2

a = x 0 x 2x 1 x n - 1 x n =b

¨ x 1

M 1

A ssss y SSSS las llamaremos suma inferior y suma superior de f x ( ) en [a, b] correspondientes a la partición PPPP.

– 61 –



La integral

➞ Observemos que, aunque no sepamos cuál es el área del recinto limitado por f x ( ), el eje OX y las rectas x = a, x = b, es razo-

nable que si la representamos por

f x x ( )da

b

Ú , haya de ser: ss SS£ £Ú f x x ( )d

a

b

2222 Si ahora tomáramos otra partición ¢PP más fina que la anterior, añadiendo nuevos puntos a PPPP , tendríamos otras dos sumas

inferior y superior, ¢ ¢ss SSy :

f ( x )

Puntos que añadidos a los anteriores hacen más fina la partición

Nueva suma inferior

f ( x )

Puntos que añadidos a los anteriores hacen más fina la partición

Nueva suma superior

Sumas que, como resulta fácil comprobar cumplen: ss ss SS SS£ ¢ £ ¢ £ .

➞ Por consiguiente, habrá de ser: ss ss SS SS£ ¢ £ £ ¢ £Ú f x x ( ) .da

b

3333 Si de forma semejante, siguiéramos tomando particiones ¢¢ ¢¢¢PP ,, PP K cada vez más finas, las correspondientes sumas inferiores ysuperiores cumplirían:

ss ss ss ss SS SS SS SS£ ¢ £ ¢¢ £ ¢¢¢ £ £ ¢¢¢ £ ¢¢ £ ¢ £L

➞ Por tanto, habría de ser: ss ss ss ss SS SS SS SS£ ¢ £ ¢¢ £ ¢¢¢ £ £ ¢¢¢ £ ¢¢ £ ¢ £Ú L Lf x x ( )da

b

Definición (de integral definida)

Llegados a este punto, admitiremos sin demostración algo que quizá ya estés sospechando:

➤ Si, dada una función f x ( ), continua y positiva en el intervalo cerrado [a, b], se toma una sucesión de particiones

PP PP PP PP, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢K de [a, b] tal que:

1111 . Cada partición contiene todos los puntos de la anterior.2222.... La sucesión de las anchuras de las particiones: A A A A( ) , ( ) , ( ) , ( )PP PP PP PP¢ ¢¢ ¢¢¢ K tiene por límite cero.

Entonces, las sucesiones:

1111 ) De las sumas inferiores ss ss ss ss, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢ K2222 ) De las sumas superiores: SS SS SS SS, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢ K

tienen igual límite. A tal límite le llamaremos integral definida de f x ( ) sobre [a, b] y lo representaremos por f x x ( )da

b

Ú

Naturalmente, y con independencia de que, por el momento no sepamos calcularlo, el área del recinto limitado por y f x = ( ) , lasrectas x x = =a b, y el eje OX coincidirá con el valor de esa integral.

Otra forma de considerar la integral

A efectos prácticos, resulta interesante contemplar la integral desde otro punto de vista, algo distinto al anterior. Consideremos,

pues, la partición PP= { }nx x x x 0 1 2, , , ,L del intervalo [a, b] y las correspondientes suma inferior, ssss, y superior, SSSS.

– 62 –



La integral

Si en cada subintervalo [ , ]x x i 1 i- tomáramos un punto arbitrario x i se tendría:

m M

m M

m M

1

2

n n n n n n

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

D D DD D D

D D D

x f x x

x f x x

x f x x

£ ££ £

£ ££ £

( )

( )

( )

x

x

x L L L

f ( x )

x 0 x 2x 1 x n - 1 x nx

1x

2x

n

M 1

m 1f

( x 1 )

y por tanto, sumando "miembro a miembro" las desigualdades anteriores:

ss SS£ £

=Â f x ( )x i ii

n

D1

En consecuencia, si en los supuestos de la definición precedente las sucesiones:

ss ss ss ss, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢ K

SS SS SS SS, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢ K

de las sumas inferiores y superiores tienen el mismo límite,

f x x ( )da

b

Ú , también tendrá ese límite la sucesión cuyos términos sean de la

forma:

f x ( )x i i

i

n

=

Â D1

(n representa en cada caso el número de trozos en los que las particiones PP PP PP PP, , ,¢ ¢¢ ¢¢¢K dividen el intervalo [a, b])

pues cada uno de esos términos está comprendido entre las correspondientes suma inferior y superior, cuyas sucesiones tienen por límitecomún la integral.

Podrá escribirse, pues:

f x x f x f x x f x x

x x x

( ) ( ) ( ) ( )d lím o, incluso: d líma

bi i

i

n

a

b

a biÚ Â Ú Â= =

Æ = Æ £ £D DD D

0 1 0x

(Observemos que la condición Dx i Æ 0 implica que n Æ •, por decirlo en un lenguaje asequible, aunque algo impreciso.)

Observaciones

1111....---- La última igualdad permite considerar la integral como suma de infinitos elementos diferenciales de área, "rectángulos dealtura f x ( ) y base Dx infinitamente pequeña", según los términos que acuñó Leibniz, cuyo significado se sugiere en la siguiente figura.

a b

f ( x )

¨x

f (x)

2222....---- Identificada la integral con un área, resulta que la función f x ( ) no tiene que ser necesariamente continua en [a, b] para queexista su integral. Pensemos, por ejemplo, en la integral en el intervalo [2, 5] de la función parte entera f x x ( ) [ ]= ... Quede constancia,

pues, que de lo hecho hasta ahora se deduce que si una función es continua entonces es integrable, pero no que sólo sean integrables lasfunciones continuas.

– 63 –



La integral

4. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Propiedades inmediatas

Puede demostrarse que si f x g x ( ) ( ), son funciones para las que existe la integral definida en [a, b], entonces se verifican:

11

22 RR

33

44

f x x

f x x f x x

f x g x x f x x g x x

f x x f x x f x x

( )

( ) ( ) ;

[ ( ) ( )] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ; [ ]

d

k d k d k

d d d

d d d c a,b

a

a

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

c

c

b

a

b

Ú

Ú Ú

Ú Ú Ú

Ú Ú Ú

=

= Œ

+ = +

+ = Œ

0

Las demostraciones no son muy complicadas. Así, por ejemplo, la de la tercera igualdad sería la siguiente:

[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )f x g x x f g x f x g x f x x g x x

x x x

+ = + = + = +Ú Â ÂÂ Ú Ú Æ = Æ Æ ==

d lím lím lím d da

bi i i

i

n

i i i ii

n

i

n

a

b

a

b

i i iD D DD D D

0 1 0 0 11

x x x x

Ni que decir tiene que los x x i i, D , etc., tienen el significado que hemos visto líneas atrás.

Teorema (del valor medio del cálculo integral)

Vamos a demostrar a continuación un teorema que, más adelante, nos permitirá establecer un resultado fundamental:

Si f x ( ) es una función continua en [a, b], entonces existe x Œ[a, b] tal que:

f x x f ( ) ( ) (d b a)

a

bÚ = -x

En efecto. Sean mmmm y MMMM los valores mínimo y máximo absolutos de f x ( ) en [a, b], existentes al ser f x ( ) continua en dicho intervalo.

Entonces, cualesquiera que sean la partición PP = { }nx x x x 0 1 2, , , ,L de [a, b] y los puntos x i en cada intervalo [ , ]x x i 1 i- , como

m Mi£ £f ( )x , se tendrá:

m m M Mi i i i i

i

n

i

n

i

n

i

n

i

nD D D D Dx x f x x x i = £ £ = ÂÂÂÂÂ

=====( )x

11111

y ya que

Dx x x x x x x x x o i

i 1

n

n n b a

=

-Â = - + - + - + º + - = -( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1

será:

m b a lím M b ai

i ii

n

- £ £ -Æ =

Â( ) ( ) ( )D

Dx

f x 0 1

x

o sea: m

d

b aM

a

b

£-

£Ú f x x ( )

Por lo tanto,f x x ( )d

b aa

b

Ú -

es un número comprendido entre el valor mínimo, m, y el máximo, M, de f x ( ) en [a, b]. Recordando

finalmente que toda función continua en un intervalo cerrado toma en él cualquier valor comprendido entre el mínimo y el máximo

concluiremos que existe al menos un punto x en [a, b] tal que:

f x x

f f x x f

( )

( ) ( ) ( ) ( ).

d

b a es decir, tal que: d b aa

b

a

bÚ Ú - = = -x x

– 64 –



La integral

Una fácil interpretación geométrica

La figura de la derecha sugiere una interpretación geométrica delteorema del valor medio: Existe al menos un rectángulo de base b–a y altura

f ( )x , con x Œ[a, b], cuya área es igual a la del recinto limitado por la curva

y f x = ( ), el eje OX y las rectas x = a, x = b.

a b

f (x)

x

5. CÁLCULO DE LA INTEGRAL DEFINIDA

Observación

Definida la integral definida y estudiadas algunas de sus propiedades, seguimos sin decir cómo se calcula su valor, por lo que hallegado el momento de aclararlo. El teorema fundamental del Cálculo Integral, también conocido como regla de Barrow, que veremos acontinuación, además de permitirnos calcular la integral definida de una función de la que se conozca una primitiva, pondrá de manifiestola relación entre las integrales indefinida y definida.

Teorema (regla de Barrow)

➤ Si f x ( ) es una función continua en [a, b] y F x ( ) una primitiva cualquiera de f x ( ) en [a, b](esto es, una función tal que ¢ = " ŒF x f x x ( ) ( ) [a, b]) , entonces:

f x x F F ( ) ( ) ( )d b a

a

b

Ú = -

En efecto:

1111.... Demostremos en primer lugar que la función G x f t t

x

( ) ( )= Ú da es una primitiva de f x ( ) en [a, b].

A tal fin, sea a Œ[a, b]. Entonces:

¢ =

+ -=

-= =

Œ +

Æ Æ

+

Æ

+

Æ

Ú Ú Ú G

G G f t t f t t f t t f h h

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

, [ , ]( ) ( )

a a a x

x a a

a a

a

a

límh

hlím

d d

hlím

d

hlím

h

hh

h h

aa

h h0 0

1

0

2

0

(la igualdad (1), por la propiedad 4ª de la integral definida; la (2), por el teorema del valor medio)

es decir: ¢ = =Æ

G f f ( ) ( ) ( )a x a límh 0

(pues f x ( ) es continua en a, y cuando h tiende a cero, x lo hace a a).

En realidad lo anterior prueba que G x ( ) es primitiva de f x ( ) en el intervalo abierto (a, b), pero no que lo sea también en losextremos a y b y, por tanto, en el intervalo cerrado [a, b]. Ello, sin embargo, no sería difícil de demostrar, admitiendo que

¢ ¢G G ( ) ( )a y b vendrían dadas por:

¢ =

+ -¢ =

+ -

Æ Æ+ -G

G G G

G G ( )

( ) ( ); ( )

( ) ( )a lím

a h ah

b límb h b

hh h0 0

2222 .... Pero recordenos que se trataba de calcular f x x ( )da

b

Ú , es decir, G ( )b .

Supongamos que F x ( ) fuese otra primitiva cualquiera de f x ( ). Las funciones G x ( ) y F x ( ) tendrían igual derivada, luego existiría

k ŒRR tal que:

G x F x ( ) ( )= + k

Sólo nos faltaría calcular k.

– 65 –



La integral

Pero como

G F

G f x x F

( ) ( )

( ) ( )( )

a a k

a dk a

a

a

= +

= =

¸¿Ô

ÀÔ = -

Ú 0se tendría, finalmente: f x x F F ( ) ( ) ( )d b a

a

b

Ú = - , diferencia

que suele escribirse así: F x ( )[ ]

b

a

Ejemplo

Después de lo anterior resultará inmediato que: ( ) [ ( ) ( )]223 4

23

14

23

14

43

2 33 4

11

1

1x x x

x x - = - = - - - - =--Ú d

6. CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Primer caso

Si el recinto cuya área queremos calcular está definido por una curva

y f x = ( ), continua y positiva en el intervalo [a, b], las rectas x = a, x = b y el ejeOX, para hallar dicha área bastará con calcular, como ya sabes:

f x x ( )da

bÚ sin que haya más complicación. a b

y = f ( x )

EjemploComprueba que el área limitada por la sinusoide, el eje OX y la recta x = p / 2 es 1.

Segundo caso

Si se tratara de calcular un área como la de la derecha, habría queconsiderar que cuando una función continua toma valores negativos en un intervalo,como le sucede a la f x ( ) del dibujo en el intervalo [c, d] , también existe:

f x x f x x

x x

( ) ( )d límc

d

c dÚ Â=

Æ £ £DD

0a b

f ( x )

c d

S 1S 2 S 3

aunque en ese caso la integral será negativa. Por ello, para resolver el problema:

1.- Determinaremos los puntos, c y d, de corte de y f x = ( ) con el eje OX.

2222....---- Calcularemos por separado: S d , S d , S d1 a

c2 c

d3 d

b= = =Ú Ú Ú f x x f x x f x x ( ) ( ) ( )

3333....---- Determinaremos el área pedida, S, como suma de las otras tres: S = S S S1 2 3+ +

Ejemplo

El área limitada por la curva y x x = +2 , el eje OX y las rectas x = –2, x = 3 es 87/6.

Tercer casoPara calcular el área de un recinto como el de la derecha podríamos utilizar

la terminología, imprecisa pero intuitiva, de los elementos diferenciales. Tal áreasería la suma de las de infinitos rectángulos de base Dx y altura f x g x ( ) ( )- como

el dibujado. O sea:

Área = d

a

b[ ( ) ( )]f x g x x -Ú

a b

y = f (x)

y = g (x) ¨x

f(x) – g(x)

Tal integral proporcionaría el área incluso cuando la función g x ( ) tomara valores negativos en el intervalo [a, b], pues también en

ese caso la altura del elemento diferencial de área vendría dada por la diferencia f x g x ( ) ( )- .

– 66 –



La integral

Ejemplo

Dibuja sobre un sistema coordenado las parábolas de ecuaciones: y x x y x x = - + = -2 24 2, y tras verificar que se cortan en lospuntos de abscisas x = 0, x = 3, comprueba que el área del recinto que limitan es de 9 unidades cuadradas.

7. CÁLCULO DE VOLÚMENES DE REVOLUCIÓNPrimer casoSupongamos que el recinto limitado por la función y f x = ( ), continua y positiva en [a, b], las rectas x = a, x = b y el eje de

abscisas, girara sobre OX, dando lugar a un sólido:

y = f (x)

Dx

El volumen de este elemento

diferencial es.[f ( x ) ]2.¨x

a b

¨x

f ( x )

Para calcular su volumen, procederemos de forma análoga a como hicimos para calcular áreas, considerando tal volumen comosuma de los volúmenes de los infinitos elementos diferenciales de volumen del tipo del representado en el dibujo. Es decir:

V lím

a b

= Æ £ £

ÂD

Dx x

f x x 0

2p [ ( )]

y, por consiguiente:

V d

a

b= Ú p [ ( )]f x x 2

EjemploPara calcular el volumen que se engendra cuando el recinto limitado por la parábola y x = y la recta x = 3 gira alrededor del

eje de abscisas, bastará con escribir:

V x x

x = [ ] = =Ú p p

p 2

0

3 2

0

3

2

9

2d [ ]

Segundo caso

Después de lo hecho, resultará fácil entender cómo se calculará el volumen de un sólido como el de la figura siguiente, engendradocuando el recinto limitado por dos curvas f x g x ( ) ( )y continuas y positivas en un intervalo [a, b], gira alrededor del eje de abscisas:

fg

f(x)

¨x

El volumen de este elementodiferencial es

.[f(x) 2-g(x) 2].¨x

a b

¨x

g(x)

Dicho volumen vendrá dado por: V d

a

b= -Ú p [ ( ) ( ) ]f x g x x 2 2

Ejemplo

El volumen engendrado al girar 360° alrededor de OX el recinto limitado por y x x = - - +2 3 6 e y x = -3 es 1792 15p / .

– 67 –



La integral

8. EJERCICIOS

1111 .... ---- Determina una función f x ( ), sabiendo que ¢¢¢ =f x x ( ) 2 y, además: f f f ( ) ; ( ) ; ( )0 0 114

223

= = - = .

2222 ....---- Calcula una primitiva de la función f x

x

( ) =+

1

1 3que se anule para x = 0.

3333 ....---- Calcula las siguientes integrales:

15

42

43

44

1 4

52

56

1 2

17

2

18

9 3 5 10 111

121

13

2 2 2

2 2

3

2

2

2

2

x x

x

x

x

x

x

x

x x

x

x x

x

x x x x x

x x x x x x

x x

x

x x

x

+ - + -+

+

+

+

- -

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

dd d d

send d d sen cos d

sen cos d tg d d d

e

24

x x x x

x

x

x x x x

x x x

x

x x x

x

x x x x x

x

x x

x

x x x x x x x

d e d dd

e

de

ed

sen a

send d

d d tg dd

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú

+ +

+ +

+

+

-

+

+ -

14 15 16 4

171

1 1618

119 20

212

122

1

223 24

2 2

2 22

3

2

2

3 23 2

6 3

( )cos

secx x

x

x x x

x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x x x x

x

x x

x

1 2

25 5 265

427 28

29 30 3 319

32

33 1 34 2 35 36

371 2

2

2

22

3

+ +

+

-

+ -+

+ +

Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú

d d d tg d

arc tg d dd

9 - x d

d d sen d e sen d

d

2

ln

cos

( ) ( )3838

2 5

339

2

1 4 1340

5

4

41 42 43 44

455

3 246 4 47

3 2 2

3

2

03

02

0

1

0

1

22

3 20

1

x

x x

x x

x x x

x

x x

x x x x x x x x

x

x x x x x x

x

+

+

+

- - +

+

-

+ +-

Ú Ú Ú

Ú Ú Ú Ú

Ú Ú

( )

( )

( ) ( )

cos

|

dd

d

sen d d e d arcsen d

d d

2p p

||dd

ex

x

x - -Ú Ú +2

2

1

048

1

4444 ....---- Calcula las derivadas de las siguientes funciones:

F x t t G x

t t x ( ) ; ( )= =

+Ú Ú sen d d5100

2

5555 .... - Se sabe que f x x f x ( ) ( ) ,d

y que x [0, 1]0

1< u " ŒÚ

1

20 . ¿ Se verifica entonces que f x ( ) £ " Œ2 x [0, 1] ? (Si fuese siempre

cierto, demuéstralo; si pudiera ser falso, pon un ejemplo numérico en el que así sea).

6666....---- Si f x x ( )da

a

-Ú = 0 , ¿se verifica entonces que x f x x =-Ú ( )d

a

a0? Si fuese siempre cierto pruébalo; si pudiera ser falso, pon un

ejemplo que lo confirme.

7777....---- Sea f x ( ) una función para la que se verifica que f x x f x x ( ) ( )d d-

0

0

2

2Ú Ú = - . ¿Se verifica entonces que f x x f x x ( ) ( )d d-

0

0

2

2Ú Ú = ?

Si la respuesta es afirmativa, justifícala; si es negativa, da un contraejemplo.

– 68 –



La integral

8888 .... ---- Sea f(x) una función tal que, cualquiera que sea a > 0, se cumple que f x x f x x ( ) ( )d d-a

0

0

a

Ú Ú = - . Demuestra que, entonces,

f x f x ( ) ( )- = -

9999....---- Dada la función f x x x

x

( ) =£ £

£

ÏÌ

Ó

3

2

si 0 1

1 si 1<

, se define la nueva función F x f t t ( ) ( )=

Ú d

0

x. Da la expresión de F x ( ) definida a

trozos y dibujala en el intervalo [0, 2].

11110000....---- Calcula el valor de la integral x sen d2

-Ú x x

p

p

11111111....---- Calcula las áreas de los recintos limitados por las siguientes curvas:

11 22

33 44

55 66

77 88

y x x y x x x

y x x y x x y x y x

x y y x x y x

y x y x y x x x

= - = - +

= - = - = - = -

= - = - = -

= - + = = - - -

4 6 8

6 2 4 8 2

4 3 3

4 2 4 03

4

3

2

9

43

2 3 2

2 2 2 2

2 2

2 2

y el eje OX y el eje OX

; ;

y el eje OY ;

; ; 22 3 0 y + =

11112222.... - Determina el valor de a de modo que el área comprendida entre la curva y x x = -a 2 y el eje de abscisas sea 36.

11113333....---- Sea la función f x x x ( ) = - 1 . Haz un dibujo aproximado de ella y, después, calcula el área limitada por su gráfica, el eje de

abscisas y las rectas x = 0 y x = 1.

11114444....---- Sea la función f x x x ( ) ( )= - 1 e . Dibuja su gráfica y halla el área del recinto encerrado entre ella y la recta y x = - 1.

11115555....---- Se consideran las curvas y x y = =2 e a , donde a es un número del intervalo (0, 1). Ambas curvas se cortan en un punto ( )x y 0 0,de abscisa positiva. Halla a sabiendo que el área encerrada entre ambas curvas desde x = 0 hasta x x = 0 es igual a la encerradaentre ellas desde x x = 0 hasta x = 1.

11116666....---- Calcula el área limitada por la parábola y x 2 8= , el eje de ordenadas y la tangente a la parábola paralela a la recta x y - + =28 0.

11117777....---- Calcula el área limitada por la curva: y x x = - - +2 12 6, los ejes de coordenadas y la ordenada correspondiente al máximo de lafunción.

11118888....---- Halla el área comprendida entre la curva y x = e y la cuerda de la misma que tiene por extremos los puntos de abscisas 0 y 1.

11119999....---- Halla el área de la elipse de semiejes a y b, de ecuaciónx y 2

2

2

21

a b+ =

22220000....---- Halla el área del círculo de radio r.

22221111....---- Calcula el volumen que se engendra cuando:

1º) El recinto limitado por la parábola y x 2 8= y las rectas x = 2, x = 3, gira alrededor del eje de abscisas.

2º) La elipse de semiejes a , b gira 360° alrededor del eje de abscisas.

3º) La elipse de semiejes a , b gira 360° alrededor del eje de ordenadas.

22222222.... - Deduce las fórmulas del volumen de cono y de la esfera.

22223333....---- El recinto limitado por la parábola y x x = - -34

32

94

2 y la recta 3 2 3 0x y - + = gira 360° alrededor del eje de abscisas. Calcula elvolumen del sólido así engendrado.

22224444....---- Calcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios miden 8 y 5 cm. y cuya altura es 10 cm.

22225555....---- Representa gráficamente la función y x x = +2 4 y obtén el volumen del sólido engendrado al girar 360° alrededor del eje OX laregión limitada por el semieje de abscisas negativas y la gráfica de la función.

– 69 –



Tema 5

Matrices y determinantes




1. INTRODUCCIÓNEl tema más importante de esta parte del curso es el que trata de los sistemas de ecuaciones lineales, con los que habremos de

trabajar de una manera sistemática y rigurosa, ampliando los conocimientos que tenemos sobre ellos de cursos anteriores. Con objeto depoder encarar esta tarea con ciertas garantías de éxito hemos de proveernos de unas herramientas útiles, no sólo para el tratamiento de

los sistemas de ecuaciones, sino de muchos otros problemas de carácter no exclusivamente matemático: las matrices y los determinantes.Sucede, sin embargo, que para hablar de las matrices y los determinantes con un mínimo de detalle hemos de conocer, aunque sea deforma somera, algunas ideas básicas sobre espacios vectoriales y, más concretamente, sobre dependencia e independencia lineal. Demodo que tendremos que empezar dedicando unas líneas —las menos posible— a estos conceptos.

2. EL ESPACIO VECTORIAL (Rn, +, .)

Ejemplo ya conocido

Consideremos el conjunto RRRR 2 = { xxxx = (x 1 , x 2) / x 1 , x 2 Œ RRRR } , o conjunto de todos los pares ordenados de números reales, y

definamos las dos operaciones siguientes:

1 ( , ) ( , ) ( , )x x y y x y x y1 2 1 2 1 1 2 2+ = + + " Œ( , ) , ( , )x x y y1 2 1 22RR

2 a a a =( , ) ( , )x x x x1 2 1 2 " Œ Œa RR RR, ( , )x x1 22

Se dice entonces que la operación (+) es una ley de composición interna en RRRR 2, a la que llamaremos suma , y la operación (....)

una ley de composición externa en RRRR 2 con operadores en RRRR, a la que llamaremos multiplicación por un número. Dichas operaciones,

como es fácil de comprobar, cumplen las siguientes propiedades:

La suma:

1.1) xxxx + yyyy = yyyy + xxxx " xxxx , yyyy Œ RRRR 2

1.2) xxxx + (yyyy + zzzz) = (xxxx + yyyy) + zzzz " xxxx , yyyy , zzzz Œ RRRR 2

1.3) xxxx + 0000 = xxxx " xxxx Œ RRRR 2 , siendo 0000 = (0, 0)1.4) xxxx + (–xxxx) = 0 " xxxx = (x 1 , x 2) Œ RRRR

2 , siendo –xxxx = (–x 1 , –x 2)

La multiplicación por un número:

2.1) a. (xxxx + yyyy) = a.xxxx + a.yyyy " a Œ R ; xxxx , yyyy Œ RRRR 2

2.2) (a + b) .xxxx = a.xxxx + b.xxxx " a , b Œ RRRR , xxxx Œ RRRR 2

2.3) (a.b). xxxx = a.(b. xxxx) " a , b Œ RRRR , xxxx Œ RRRR 2

2.4) 1. xxxx = xxxx " xxxx Œ RRRR 2

☞ Por todo ello, se dice que la terna (RRRR 2 , +, .) es un espacio vectorial.

El espacio vectorial (Rn

, +, .)De igual manera que antes, ahora podríamos considerar el conjunto RRRR

n = { xxxx = (x 1 , x 2 , .... , x n) / x i Œ RRRR } y definir las dos ope-raciones siguientes:

1 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x x x y y y x y x y x yn n n n1 2 1 2 1 1 2 2L L L+ = + + + " Œ( , , , ) , ( , , , )x x x y y yn n

n1 2 1 2L L RR

2 a a a a =( , , , ) ( , , , )x x x x x xn n1 2 1 2L L " Œ Œa RR RR, ( , , , )x x xn

n1 2 L

Veríamos que estas operaciones cumplen propiedades análogas a las que detallamos para el caso de RRRR 2 y, por ello, diríamos que

(RRRR n , +, ....) es un espacio vectorial. A sus elementos (n-tuplas de números reales) les llamaremos vectores . De 00 = ( , , , )0 0 0L diremos

que es el vector nulo , y, dado xx = ( )x x xn1 2, , ,L , de - - - -( )=xx x x x n1 2, , ,L diremos que es el vector opuesto de xxxx. De los x i se

dice que son las componentes del vector xxxx.

– 71 –




Ejemplo previo

Consideremos en RRRR 3 los vectores aaaa 1 = (2, 1, –1), aaaa 2 = (0, 2, 3). Es inmediato que, por ejemplo:

2.aaaa 1 + 3.aaaa 2 = (4, 8, 7)o que:

–1.aaaa 1 + 2.aaaa 2 = (–2, 3, 7)

Pues bien, tanto del vector (4, 8, 7) como del (–2, 3, 7) diremos que son una combinación lineal de aaaa 1 y aaaa 2 .

Definición (de combinación lineal)

Dados p vectores aaaa 1 , aaaa 2 , . .. , aaaa p del espacio vectorial (RRRR n , +, ....), diremos que otro vector aaaa Œ RRRR

n es combinación lineal de losanteriores si existen a 1 , a 2 , ... , a p Œ RRRR , que llamaremos coeficientes de la combinación lineal, tales que:

aa aa aa aa aa= + + + +a a a a1 1 2 2 3 3 L p p

• Observa que, en particular, el vector nulo es combinación lineal de cualesquiera otros, pues para todo aaaa

1, aaaa

2, ... , aaaa

p Œ RRRR

n:

00 aa aa aa aa= + + + +0 0 0 01 2 3 L p

Ejemplos previos

① ☞ Considerados los vectores de RRRR 2 aaaa 1 = (2, 0), aaaa 2 = (1, 3) , supongamos que se verificase: a a1 1 2 2aa aa 00+ = . En tal caso:

a a

a aa

a a1 21 2

21 20 0

2 03 0

0(2, 0) (1, 3)+ = + =

=¸¿À

= =( , )

② ☞ Tomemos ahora aaaa 1 = (2, 4), aaaa 2 = (1, 2). Podríamos comprobar que, a diferencia de lo que sucedía en el caso anterior,

para que se verificase a a1 1 2 2aa aa 00+ = no sería necesario que a a1 2 0= = , bastando con que a a2 12= - .

Definiciones (de independencia y dependencia lineal)

① ☞ Se dice que una familia { aaaa 1 , aaaa 2 , ... , aaaa p } de vectores es libre , o que los vectores que la forman son linealmente

independientes , si la única combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo es aquella en la que todos los coeficientes son igualesa cero. O sea:

aaaa 1 , aaaa 2 , ... , aaaa p son linealmente independientes si y sólo si a a a a a a1 1 2 2 1 2 0aa aa aa 00+ + + = = = = =L Lp p p

② ☞ En caso contrario, o sea, si existe alguna combinación lineal de aaaa 1 , aaaa 2 , ... , aaaa p que, pese a tener algún coeficientedistinto de cero, sea igual al vector nulo, se dice que dichos vectores son linealmente dependientes , o que forman una familia ligada .

ConsecuenciaSiendo aaaa 1 , aaaa 2 , aaaa 3 tres vectores cualesquiera de RRRR

n (podrían ser más; se trata de un ejemplo) consideremos la combinación

lineal: 0 0 0 11 2 3 + + + aa aa aa 00. Dicha combinación lineal no tiene todos los coeficientes nulos y, sin embargo, resulta ser igual al vectornulo. Podemos concluir, pues, que:

Si en un conjunto de vectores se halla el vector nulo, tales vectores son linealmente dependientes.

Otra forma de definir la dependencia lineal

Sean ahora aaaa 1 , aaaa 2 , aaaa 3 , aaaa 4 cuatro vectores (podría ser cualquier otro número) de RRRR n. Supongamos, en primer lugar, que uno

de ellos, aaaa 4 , por ejemplo, fuera combinación lineal de los restantes. Se tendría:

– 72 –




aa aa aa aa RR4 1 1 2 2 3 3= + + Œa a a a( )i

luego:

a a a1 1 2 2 3 3 41aa aa aa aa 00+ + + - =( )

y los cuatro vectores serían linealmente dependientes.

Si, recíprocamente, sucediera que los cuatro vectores fueran linealmente dependientes, existiría una combinación lineal nula:

a a a a1 1 2 2 3 3 4 4aa aa aa aa 00+ + + =

con algún coeficiente, a4 , por ejemplo, distinto de 0. Despejando aa4 , se tendría:

aa aa aa aa4

1

41

2

42

3

43=

-+

-+

-aa

aa

aa

En conclusión:

El que los vectores de un conjunto sean linealmente dependientes equivalea que uno al menos de ellos sea combinación lineal de los restantes.

Consecuencia

Dados dos vectores de RRRR n : xxxx = (x 1 , x 2 , .... , x n) , yyyy = (y 1 , y 2 , .... , y n) ¿en qué se traduciría, en relación con la propor-

cionalidad de sus componentes, la dependencia e independencia lineal? ¿Son linealmente independientes los vectores de RRRR 4 (2, 0, –1, 3)

y (4, 0, –2, 6)?

Ejemplos previos

1 Consideremos, en RRRR 2 , los vectores: aa aa1 21 2 2 0= =( , ) ; ( , ). Que todo otro vector xx = ( , )x x1 2 de RRRR

2 se puede escribir como

combinación lineal de ellos es fácil de demostrar, pues:

( , ) ( , ) ( , ) ;x x

x

x

x x x1 2 1 2

1 2 1

1 21

2

2

1 2

1 2 2 0

2

2 2

2

4= + ¤

+ =

=

¸

¿À ¤ = =

-

a a

a a

a a a

Pero, además:

a a a a1 2 1 21 2 2 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , ) ;+ = = =

luego aa aa1 2, son linealmente independientes.

2 Tomados en RRRR 3 los vectores: ee ee ee1 2 31 0 0 0 1 0 0 0 1= = =( , , ) , ( , , ) , ( , , ) , se tiene que:

11

22

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

x x x x x x

x x x x x x1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0

= + +

+ + = = = =

O sea, que:1) Cualquier vector de RRRR

3 se puede escribir como combinación lineal de ee ee ee1 2 3, ,

2) Los vectores ee ee ee1 2 3, , son linealmente independientes

Definición (de base de (Rn, +, .))

➪ Una base del espacio vectorial (RRRR n , +, ....) es cualquier conjunto de nnnn vectores BB aa aa aa aa= { , , , , }1 2 3 L n de RRRR

n (tienen queser necesariamente n) tales que:

1 Los vectores aa aa aa aa1 2 3, , , ,L n son linealmente independientes.

2 Cualquier vector de RRRR n puede escribirse como combinación lineal de aa aa aa aa1 2 3, , , ,L n.

– 73 –




Definición (coordenadas de un vector)

Sea BB aa aa aa aa= { , , , , }1 2 3 L n una base de (RRRR n , +, ....). Dado aaaa Œ RRRR

n, sabemos que existen x 1 , x 2 , .... , x nŒ RRRR tales que:

aa aa aa aa= + + +x x x n n1 1 2 2 L

Pero ¿son estos x

ilos únicos números para los que se cumple lo anterior? Si otros números y

1, y

2, ....

, y

nŒ RRRR cumplieran:

aa aa aa aa= + + +y y yn n1 1 2 2 L

y restásemos las dos últimas igualdades, obtendríamos:

( ) ( ) ( )x y x y x yn n n1 1 1 2 2 2- + - + + - =aa aa aa 00L

y, por ser los vectores aa i linealmente independientes, todos los coeficientes habrían de ser nulos, luego x yi i= , para i = 1, 2, ... , n.

•••• De esos números x i , únicos para los que se cumple: aa aa aa aa= + + +x x xn n1 1 2 2 L , se dice que son las cc c c oo o o oo o o rr r r dd d d ee e e nn n n aa a a dd d d aa a a ss s s del

vector aaaa en la base BB aa aa aa aa= { , , , , }1 2 3 L n

Observación

De forma semejante a como hicimos antes para el caso de RRRR

3

, es muy fácil comprobar que los vectores: ee ee ee1 21 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1= = =( , , , , , ) , ( , , , , , ) , , ( , , , , , )L L L Ln

forman una base de (RRRR n , +, ....). Por ser la más sencilla, se dice que es la base canónica. Una de las ventajas de utilizar la base

canónica es que las coordenadas de un vector en ella coinciden con sus componentes.

2. MATRICES DE NÚMEROS REALES

Definición (de matriz)

☞ Llamaremos matriz de números reales de orden m ¥ n a un conjunto ordenado de m .... n números reales, dispuestos en m filasy n columnas:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

a a a a aa a a a a

a a a a a

a a a a a

j n

j n

i i i i j i n

m m m mj m n

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

1 2 3

L LL L

L L L L L L L

L L

L L L L L L L

L L

Con el símbolo a ij nos referiremos al elemento situado en la fila i y la columna j, y la matriz se escribirá: AA = ( )a i j . Naturalmente,

puede ocurrir que m = n. Se dice, entonces, que la matriz es cuadrada . Además, conviene observar cada una de las m fi las de AA A A puedeconsiderarse como un vector de (RRRR

n , +, ....), y cada una de sus n columnas como un vector de (RRRR m , +, ....).

Definición (de suma de matrices)

•••• Dadas dos matrices AA BB= =( ) ; ( )a bi j i j , que necesariamente han de ser del mismo orden m ¥ n , se define la matriz suma

CCCC = AA A A + BBBB como la matriz de orden m ¥ n dada por CC = ( )c i j , con c a bi j i j i j= + .

Así, por ejemplo:

3 2 1 22 1 3 0

1 2 3 00 1 2 4

2 4 4 22 0 5 4

Ê Ë Á

¯ ˜ + -

-Ê Ë Á

¯ ˜ =

Ê Ë Á

¯ ˜

Definición (de producto de un número real por una matriz)

•••• Dada una matriz de orden m ¥ n , AA = ( )a i j , y un número a Œ RRRR, se define el producto a AA como la matriz de orden m ¥ n

dada por a a = AA ( . )a i j .

Así, por ejemplo: 2 3 2 1 22 1 3 0 6 4 2 44 2 6 0Ê Ë Á ¯ ˜ =

Ê Ë Á ¯ ˜

– 74 –




Definición (de producto de matrices)

•••• Dadas una matriz AA A A, de orden m ¥ n y otra matriz BBBB, de orden n ¥ p (el número de columnas de AA A A ha de coincidir con el defi las de BBBB), se define la matriz producto CC AA BB= ¥ como la matriz de orden m ¥ p cuyo elemento c i j viene dado por:

c a b a b a b a b a bi j i j i j i j i n n j i k k jk

n

= + + + º + = =Â1 1 2 2 3 31

Es decir, para obtener el elemento cc ii jj de la matriz CC AA BB= basta con multiplicar “uno a uno” los elementos de la fila iiii de A por

los de la columna jj j j de B (en negrita en el siguiente esquema) y sumar todos esos productos.

a a aa a a

a a a

b b b

b b bn

n

m m mn

p

p

11 12 1

21 22 2

1 2

11 12 1

21 22 2

L L L

L L L

L L L L L L

L L

L L L L L L

L L L

L L

L L

L L L L L L

L L L L L

L

aa aa aa aa

bb

bb

bbii11 ii22 iikk iinn

11jj

22jj

kkjj

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

¥

LL L L L L

L L

L L

L L

L L L L L L

L L

L L L L L L

L Lb b b

c c c c

c c c c

c c c

c c c cn n np

p

p

i i i p

m m m mp1 2

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2bb

cc

nn jj

ii

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

j

j

j

jj ˜ ˜ ˜

Así, por ejemplo:

1 2 3 23 1 4 2

2 3 03 0 11 2 25 1 1

3 11 109 19 11

Ê Ë Á ˆ

¯ ˜ -

-

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=Ê Ë Á ˆ

¯ ˜ ¥

Definición (de rango de una matriz)

Dada la matriz:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁ

Á

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

˜

a a a a a

a a a a a

a a a a a

j n

j n

m m m mj m n

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

L L

L L

L L L L L L L

L L

llamaremos rango de AA A A al máximo número de filas de A que, como vectores de (RRRR n , +, ....) , son linealmente independientes.

(O sea, que si el rango de AA A A es tres, por ejemplo, eso quiere decir que se pueden encontrar tres filas de AA A A linealmente independientes –lo cual no significa quetomados tres filas cualesquiera, hayan de ser linealmente independientes–, mientras que siempre que se tomen cuatro, cinco, etc., serán dependientes).

Ejemplo

En la matriz:

AA =- -Ê

Ë ÁÁ

¯ ˜ ˜

2 1 1 00 1 3 22 1 5 4

la tercera fila es combinación lineal de las dos primeras, pues: (2 1 5 4) = (2 –1 –1 0) + 2.(0 1 3 2). Las dos primeras filas, en

cambio, son linealmente independientes, luego el rango de AA A A es 2.

Consecuencias (transformaciones que no modifican el rango de una matriz)

Llegados a este punto, y con objeto de simplificar al máximo la tarea, admitiremos sin demostración que:

EEEEllll rrrraaaannnnggggoooo ddddeeee uuuunnnnaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz nnnnoooo sssseeee mmmmooooddddiiiiff f f iiiiccccaaaa ssssiiii::::

1111 Se cambia el orden de las filas

2222 Se prescinde de una fila que sea combinación lineal de las demás.

(En particular, no se modificará el rango de una matriz si, existiendo en ella una fila de ceros, se prescinde de ella).

3333 A una de sus filas se la multiplica por un número distinto de cero.

4444 A una fila se le suma una combinación lineal de las demás.

– 75 –




Rango de una matriz triangular

Para calcular el rango de una matriz por el llamado método de Gauss, que veremos enseguida, necesitamos preparar un poco elterreno. A tal efecto, sea AA A A una matriz triangular , esto es, una matriz de la forma:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

a a a a aa a a a

a a a

a a

r n

r n

r r

r r r n

11 12 13 1 1

22 23 2 2

33 3 3

0

0 0

0 0 0

L L

L L

L L

L L L L L L L

L L

en la que, además, todos los elementos de la forma a i i son distintos de cero.

Si fuera: a a a1 11 12 1 1 2 22 2 20 0 0 0 0 0 0.( , , , , , ) .( , , , , , ) .( , , , , , ) ( , , , , , )a a a a a a a a ar n r n r rr r nL L L L L L L L L+ + + = habría

de ser a a a1 2 0= = = =L r . Las r filas de AA A A, en consecuencia, son linealmente independientes y el rango de AA A A es r.

Cálculo del rango por el método de Gauss

Este método, que explicaremos a continuación sirviéndonos de un ejemplo, consiste en aplicar de forma sistemática a la matrizcuyo rango se desee calcular, transformaciones lineales que, sin modificar su rango, transformen dicha matriz en otra de igual rango perotriangular.

Supongamos dada, por ejemplo, la matriz:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

2 3 1 2 03 1 0 4 27 7 2 8 22 1 3 0 1

El rango de AA A A no se modificará si:

① Multiplicamos la segunda fila por 2 y le restamos la primera multiplicada por 3.② Multiplicamos la tercera fila por 2 y le restamos la primera multiplicada por 7.➂ Restamos a la cuarta fila la primera.

2 3 1 2 03 1 0 4 27 7 2 8 22 1 3 0 1

2 3 1 2 00 7 3 2 40 7 3 2 40 2 2 2 1

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

æ Æ ææ - -- -- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

igualrango

➃ Quitamos la tercera fila:

2 3 1 2 00 7 3 2 40 7 3 2 4

0 2 2 2 1

2 3 1 2 00 7 3 2 4

0 2 2 2 1

- -- -- -

Ê

Ë

ÁÁ

Á

ˆ

¯

˜ ˜

˜

æ Æ ææ - -

- -

Ê

Ë

ÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜

igualrango

➄ Si, por último, multiplicamos por –7 la tercera fila y le restamos la segunda multiplicada por –2:

2 3 1 2 00 7 3 2 40 2 2 2 1

2 3 1 2 00 7 3 2 40 0 20 18 1

- -- -

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æ Æ ææ - -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

igualrango

Y, en consecuencia, visto el resultado anterior, rango AA A A = 3.

Observación

La aplicación de este método, que toma como “pivote” el elemento a

11de la matriz, exige que éste sea distinto de cero. De no

ser así, habría que hacer un cambio en el orden de las filas. Ello no modificaría el rango y nos permitiría aplicar el procedimiento.

– 76 –




Dos definiciones (matriz unidad y matriz inversa)•••• En el conjunto MMMM(n) de las matrices cuadradas de orden n existe una matriz, la:

II n =

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

1 0 0 00 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0 0 1

L L

L L

L L L L L L

L L

L L L L L L

a la que se llama matriz unidad de orden n, tal que, cualquiera que sea la matriz cuadrada AA A A de orden n:

AA II II AA AA¥ ¥= =n n

•••• Así mismo, dada una matriz AA A A, cuadrada de orden n, se puede demostrar que si se cumple determinada condición (concreta-

mente, que su rango sea n), existe otra matriz AA-1, tal que

AA AA AA AA II-

¥ ¥-= =1 1

n

De AA-1, cuando existe, se dice que es la matriz inversa de A.

Cálculo de la matriz inversa

El llamado método de Gauss permite calcular de forma sencilla la inversa de una matriz cuadrada de orden n (siempre que exista).Explicamos cómo se aplica en el siguiente ejemplo.

Supongamos que se desea calcular la inversa de la matriz:

AA =Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

2 1 23 0 11 1 2

Escribiremos una nueva matriz, adosando a la derecha de AA A A la matriz unidad de orden 3:

2 1 2 1 0 03 0 1 0 1 01 1 2 0 0 1

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

A continuación, aplicaremos a esta nueva matriz las transformaciones que vimos antes al usar el método de Gauss, hasta que en lacaja de la izquierda aparezca la matriz IIII 3333. Cuando el lo suceda, la matriz que aparezca en la caja derecha será la inversa de AA A A, AA A A -1.(Designaremos cada paso por un número; su significado se explica al final).

2 1 2 1 0 03 0 1 0 1 01 1 2 0 0 1

2 1 2 1 0 00 3 4 3 2 00 1 2 1 0 2

2 1 2 1 0 00 3 4 3 2 00 0 2 6 2 6

2 1 2 1 0 0

0 3 0 15 6 120 0 2 6

1 2 3Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æ Æ æ - - -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æÆ æ - - -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æÆ æ

- -- 22 6

2 1 0 7 2 6

0 3 0 15 6 120 0 2 6 2 6

6 0 0 6 0 6

0 3 0 15 6 120 0 2 6 2 6

4 5 6Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æ Æ æ

- -

- --

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æÆ æ

-

- --

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ æ Æ æ

1 0 0 1 0 10 1 0 5 2 40 0 1 3 1 3

1 0 15 2 43 1 3

-- -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ =

-- -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ La matriz inversa de A es: -1 AA

(1) A la segunda fila multiplicada por 2 se le resta la primera multipli-cada por 3 y a la tercera fila multiplicada por 2 se le resta la primera.

(2) A la tercera fila multiplicada por 3 se le suma la segunda

(3) A la segunda fila se le suma la tercera multiplicada por 2 (4) A la primera fila se le resta la tercera

(5) A la primera fila, multiplicada por 3, se le suma la segunda (6) Se divide la primera fila por 6, la segunda por –3 y la tercera

por 2

– 77 –




3. DETERMINANTESUn instrumento muy útil en próximos temas son los determinantes. No nos preocuparemos mucho por las demostraciones de sus

propiedades –bastante artificiosas, en honor a la verdad– e intentaremos, sobre todo, adquirir cierta destreza en su manejo.

Definiciones previas➀ Llamaremos permutación principal de los n primeros números naturales a la ordenación:

1111 2222 3333 4444 ............ nnnn

➁ Formada otra permutación de esos mismos números:

iiii 1111 iiii 2222 iiii 3333 iiii 4444 ............ iiii nnnn

diremos que entre dos de sus elementos se presenta una inversión si el orden relativo en el que tales elementos aparecen es distinto delque les corresponde en la permutación principal.

Ejemplo

Considerada la ordenación 3333 1111 4444 2222 , formada con los cuatro primeros números naturales, podemos observar que el 3333 está eninversión con el 1111 y el 2222, y el 4444 con el 2222. No hay más inversiones. El número total de ellas en esa permutación es, pues, tres.

Definición (de determinante)

☞ Llamaremos determinante de una matriz cuadrada de orden n, AA = ( )a i j , y lo representaremos por AA al número que se

obtiene sumando todos los productos que se puedan formar con n elementos de la matriz, tomando un elemento de cada fila y de cadacolumna, y adjudicando a cada producto el signo + ó – según que siendo a a a ai i i nin1 2 31 2 3

º uno de ellos (con sus factores ordenados res-

pecto al primer subíndice), el número de inversiones de la permutación i i i in1 2 3 º sea par o impar.

En consecuencia, siendo s el número de inversiones de cada permutación i i i in1 2 3 º , como (–1) s será igual a +1 si s es par, e

igual a –1 si s es impar, se tendrá:

AA = - ºÂ( )1 1 2 31 2 3

si i i nia a a a

n

La suma anterior consta de tantos sumandos como permutaciones pueden hacerse con los n primeros números naturales, es decir,

nn !!, número que, a poco grande que sea n, corresponderá a tantas permutaciones como para que calcular el valor del determinante apli-cando la definición sea inviable en la práctica. Más adelante veremos cómo se subsana este inconveniente.

Consecuencias (determinantes de órdenes 2 y 3)

Como consecuencia de la definición anterior, resulta que:

① ➠

a a

a a a a a a11 12

21 2 211 2 2 12 21= -

O sea, que para calcular un determinante de orden dos basta con seguir el esquema:

Productocon signo –

Productocon signo +

➁ ➠

a a a

a a a

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a11 12 13

21 2 2 23

31 3 2 33

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32= + + - - -

Desarrollo que puede memorizarse fácilmente haciendo uso del siguiente esquema, conocido como regla de Sarrus :

– 78 –




Productos consigno +

Productos consigno -

OOOObbbbsssseeeerrrrvvvvaaaacccciiiióóóónnnn

Como hemos dicho, mal asunto sería que, para conocer el valor de un determinante de orden n, tuviéramos que calcular los n! sumandos necesarios. El cálculode un determinante de orden 4 exigiría calcular 24 productos; el de uno de orden 5, 120... Para calcular un determinante de orden 10 necesitaríamos calcular la friolerade 3.628.800 productos, cada uno de ellos de 10 factores... Afortunadamente, dos nuevas definiciones nos conducirán a un procedimiento que evitará tales dificultades.

Definiciones (de menor complementario y adjunto)

1111 )))) Llamaremos menor complementario del elemento a i j de una matr iz AA A A, cuadrada de orden n, y lo representaremos por

a i j , al determinante de la matriz cuadrada de orden nnnn –– – – 1111 que resulta de prescindir en AA A A de la fila iiii y de la columna jj j j.

2222 )))) Llamaremos adjunto del elemento a i j de AA A A, y lo representaremos por A i j, a:

A i j

i ji j= - +( )1 a

Ejemplos

Es fácil comprobar que para la matriz AA =

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

2 1 0 21 0 3 10 2 1 24 1 0 3

se tiene: a a11 23 34 4413 0 6 13= - = = - = - A A .

Consecuencia (desarrollo de un determinante por los elementos de una línea)

Una propiedad fundamental para el cálculo de determinantes de orden superior a 3 es la siguiente, cuya demostración, bastante

artificiosa, no efectuaremos.

EEEEllll vvvvaaaalllloooorrrr ddddeeee uuuunnnn ddddeeeetttteeeerrrrmmmmiiiinnnnaaaannnntttteeee eeeessss iiiigggguuuuaaaallll aaaa llllaaaa ssssuuuummmmaaaa ddddeeee lllloooossss pppprrrroooodddduuuuccccttttoooossss ddddeeee lllloooosssseeeelllleeeemmmmeeeennnnttttoooossss ddddeeee uuuunnnnaaaa llllíí í í nnnneeeeaaaa ((((ff f f iiiillllaaaa oooo ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) ppppoooorrrr ssssuuuussss aaaadddd jj j juuuunnnnttttoooossss rrrreeeessssppppeeeeccccttttiiiivvvvoooossss....

O sea :

AA = = + + º + = +

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a A a A a A a A a A

j n

j n

i i i i j i n

n n n n j n n

i i i i in in j j j

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 1 1 2 2

L L

L L

L L L L L L L

L L

L L L L L L LL L

j j n j n ja A+ º +

Ejemplo

Supongamos que se deseara calcular el valor de:

AA = --

-

1 0 3 22 3 1 03 1 2 02 5 3 1

Como en la cuarta columna aparecen dos ceros, eligiremos dicha línea para efectuar el desarrollo y tendremos:

AA = - -

-

-

+ -

-

= - + - = -22 3 13 1 2

2 5 3

11 0 32 3 1

3 1 2

2 0 1 28 28( )

– 79 –




Observación

Aunque el desarrollo de un determinante por los elementos de una línea permite un cálculo más rápido de éste, si en dicha líneano aparecieran varios ceros, aún resultaría tarea excesivamente prolija. El problema se resolverá, definitivamente, con lo que sigue.

Teorema (transformaciones en un determinante)

☞ Dada una matriz cuadrada AA = ( )a i j , se verifican las siguientes proposiciones, sobre cuyas demostraciones te ofrecemos

algunas sugerencias:

① EEEEllll vvvvaaaalllloooorrrr ddddeeee |||| AA A A|||| nnnnoooo vvvvaaaarrrríí í í aaaa ssssiiii sssseeee iiiinnnntttteeeerrrrccccaaaammmmbbbbiiiiaaaannnn ff f f iiiillllaaaassss ppppoooorrrr ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaassss....

Es difícil de demostrar, pues habría que ver que los productos cuya suma es igual a |AA A A| aparecen con el mismo signo, sinque sobre ni falte ninguno, en el desarrollo del nuevo determinante. Puede comprobrarse para un determinante de orden 3.

② SSSSiiii ttttooooddddoooossss lllloooossss eeeelllleeeemmmmeeeennnnttttoooossss ddddeeee uuuunnnnaaaa ff f f iiiillllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) ddddeeee AA A A ssssoooonnnn nnnnuuuulllloooossss,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss |||| AA A A|||| ==== 0000....

Todos los sumandos de |AA A A| (que, a su vez, son productos) contendrán un elemento de tal fila, luego serán nulos.

➂ SSSSiiii eeeennnn AA A A sssseeee iiiinnnntttteeeerrrrccccaaaammmmbbbbiiiiaaaannnn ddddoooossss ff f f iiiillllaaaassss ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaassss)))),,,, oooobbbbtttteeeennnniiiiéééénnnnddddoooosssseeee llllaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz BBBB,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss ||||BBBB||||==== –– – – |||| AA A A|||| ....

Es muy liosa de demostrar. Compruébala, si acaso, para un determinante de orden 3.

➃ SSSSiiii eeeennnn AA A A eeeexxxxiiiisssstttteeeennnn ddddoooossss ff f f iiiillllaaaassss ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaassss)))) iiiigggguuuuaaaalllleeeessss,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss |||| AA A A|||| ==== 0000....

Según la propiedad anterior, al intercambiarse tales filas (columnas) se obtendrá otra matriz, BBBB, tal que |BBBB|= –|AA A A|, perocomo BBBB = AA A A, se tendrá |AA A A|= 0.

➄ SSSSiiii sssseeee mmmmuuuullllttttiiiipppplllliiiiccccaaaannnn ttttooooddddoooossss lllloooossss eeeelllleeeemmmmeeeennnnttttoooossss ddddeeee uuuunnnnaaaa ff f f iiii llllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) ddddeeee AA A A ppppoooorrrr uuuunnnn mmmmiiiissssmmmmoooo nnnnúúúúmmmmeeeerrrroooo kkkk,,,, oooobbbb tttteeeennnn iiii éééénnnn----ddddoooosssseeee llllaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz BBBB,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss ||||BBBB||||==== kkkk |||| AA A A||||....

Si, por ejemplo, hubiéramos multiplicado la segunda fila de AA A A por k, obtendiendo la matriz BBBB, sería:

BB AA= - º = - º =Â Â( ) ( ) ( ) .1 11 2 1 21 2 1 2

si i n i

si i n ia ka a k a a a k

n n

➅ SSSSiiii eeeennnn AA A A eeeexxxxiiiisssstttteeeennnn ddddoooossss ff f f iiiillllaaaassss ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaassss)))) pppprrrrooooppppoooorrrrcccciiiioooonnnnaaaalllleeeessss,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss |||| AA A A|||| ==== 0000....Utilizando las propiedades 4ª y 5ª es fácil. Así, por ejemplo:

a k aa k a

ka aa a

11 11

21 21

11 11

21 21

0

= =

➆ EEEEllll vvvvaaaalllloooorrrr ddddeeee |||| AA A A|||| nnnnoooo sssseeee mmmmooooddddiiii ff f f iiiiccccaaaa ssssiiii aaaa uuuunnnnaaaa ff f f iiiillllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) sssseeee lllleeee ssssuuuummmmaaaa oooottttrrrraaaa ff f f iiiillllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) mmmmuuuullllttttiiiipppplllliiiiccccaaaaddddaaaappppoooorrrr uuuunnnn nnnnúúúúmmmmeeeerrrroooo....

Si, efectuada esa suma, se desarrolla el determinante por los adjuntos de la nueva línea, tal determinante puede des-componerse en suma de otros dos: uno que coincide con el inicial y otro que, al tener dos líneas paralelas iguales, será nulo.

➇ SSSSiiii eeeennnn AA A A eeeexxxxiiiisssstttteeee uuuunnnnaaaa ff f f iiiillllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) ccccoooommmmbbbbiiiinnnnaaaacccciiiióóóónnnn lllliiiinnnneeeeaaaallll ddddeeee oooottttrrrraaaassss,,,, eeeennnnttttoooonnnncccceeeessss |||| AA A A|||| ==== 0000....

Por ejemplo:

a b a bc d c de f e f

a bc de f

a ba ba b

a b

+++

=Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ =restando a la tercera columna la primera

multiplicada por y la segunda por=

000

0

⑨ LLLLaaaa ssssuuuummmmaaaa ddddeeee lllloooossss pppprrrroooodddduuuuccccttttoooossss ddddeeee lllloooossss eeeelllleeeemmmmeeeennnnttttoooossss ddddeeee uuuunnnnaaaa ff f f iiiillllaaaa ((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) ddddeeee AA A A ppppoooorrrr lllloooossss aaaadddd jj j juuuunnnnttttoooossss ddddeeee oooottttrrrraaaa ff f f iiiillllaaaa((((ccccoooolllluuuummmmnnnnaaaa)))) eeeessss iiiigggguuuuaaaallll aaaa cccceeeerrrroooo....

En efecto: La suma en cuestión coincidiría con el desarrollo por adjuntos de un determinante con dos líneas paralelasiguales, que sería nulo por la propiedad 4ª.

Ejemplo

Ahora se trata de ver cómo se aplican las propiedades anteriores al cálculo de determinantes, especialmente para lograr cuantosmás ceros mejor en una línea, lo cual permitirá un cómodo desarrollo del determinante por los adjuntos de tal línea.

– 80 –




Supongamos, por ejemplo, que deseáramos calcular:

1 3 2 52 1 3 45 2 7 63 8 9 2

Aplicando reiteradamente la propiedad 7ª anterior, a la segunda fila le podemos restar la primera multiplicada por 2; a la tercera,

la primera multiplicada por 5; y, a la última, la primera multiplicada por 3. Llegados aquí, la primera columna tendría todos sus elementos,salvo uno, nulos, y bastaría con desarrollar por ella para calcular el determinante:

1 3 2 52 1 3 45 2 7 63 8 9 2

1 3 2 50 5 1 60 13 3 190 1 3 13

15 1 6

13 3 191 3 13

78= - - -- - -

- -

= - - -

- - -- -

= -

Un error fácil de cometer consiste en pensar que para conseguir un cero en el lugar (2, 2), por ejemplo, se puede multiplicar por 3 la segunda fila y restarle laprimera. Efectivamente, obtendríamos un cero en dicho lugar, pero el valor del determinante, de acuerdo con la propiedad 5ª, ya no sería el mismo.

Ejemplo

Comprueba que el siguiente determinante, caso particular del llamado determinante de Vandermonde , tiene el valor indicado:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a b c da b c da b c d

a b a c a d b c b d c d= - - - - - -( )( )( )( )( )( )

Ejemplo (de otra cosa)

Observa la matriz:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

2 5 4 6 74 1 90 4 25 3 7 1 7

22 88 88 11

En ella se han señalado los elementos comunes a las filas segunda y tercera con las columnas segunda y cuarta. Pues bien, el

determinante 2 81 2 es un ejemplo de lo que llamaremos menor de la matriz AA A A. Menor de orden dos, en este caso.

Definición (de menor de orden r en una matriz)

Si en una matr iz AA = ( )a i j , de orden m ¥ n , se eligen las rrrr filas i i i r1 2, , ,L (en el orden natural) y las r columnas j j j r1 2, , ,L

(en igual orden), el menor de orden r correspondiente a tales filas y columnas es el siguiente determinante:

a a a a

a a a a

a a a a

i j i j i j i j

i j i j i j i j

i j i j i j i j

r

r

r r r r r

1 1 1 2 1 3 1

2 1 2 2 2 3 2

1 2 3

L

L

L L L L LL

Teorema

Las filas de una matriz AA = ( )a i j con las que pueda formarse un menor no nulo son linealmente independientes.

En efecto: Supongamos que siendo, por ejemplo:

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁ

ÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

˜ ˜

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

1 1 1 2 1 3 1 4 1 5

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5

– 81 –




se tuviera:

D = 0

a a a

a a a

a a a

1 1 1 2 1 3

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

{

Entonces, si las correspondientes filas de AA A A (las tres primeras, en este caso) no fueran linealmente independientes, serían lineal-mente dependientes y una al menos de ellas, la primera, por ejemplo, sería combinación lineal de las otras dos:

a a a a a a a a a a a a a a a1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5( ) = ( ) + ( ) Œa b a b, RR

Pero, entonces, también sería:

a a a a a a a a a1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3( ) = ( ) + ( )a b

y el menor D no podría ser distinto de cero, pues su primera fila sería combinación lineal de las otras dos.

Cálculo del rango de una matriz usando menores

Supongamos que, dada la matriz

AA =

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

11 1 2 1 3 1 4 1 5

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5

3 1 3 2 3 3 3 4 3 5

4 1 4 2 4 3 4 4 4 5

el menor D = {

aa aaaa aa

11 11 11 22

22 11 22 22

0 , mientras que cualquier otro menor de A, de orden superior a 2 , es nulo. Vamos a demostrar que,

entonces, rango de AA A A = 2.

① ➠ Veamos, en primer lugar, que la tercera fila de AA A A es combinación lineal de las dos primeras.

Se puede asegurar que:

aa aaaa aa

aa aaaa aa

aa aa

aa aa

aa aa

aa aa

11 11 11 22

22 11 22 22

11 11 11 22

22 11 22 22

11 11 11 22

22 11 22 22

11 11 11 22

22 11 22 22

aa

a a a

aa

a a a

a

a

a a a

a

a

a

11

21

31 32 31

1

12

22

31 32 32

2

13

23

31 32 33

3

14

24

0 0

0

= =

=

( ) ( )

( )

,

,

331 32 34

4

15

25

31 32 35

5

0 0

a a

a

a

a a a

= =

( ) ( )

,

aa aa

aa aa11 11 11 22

22 11 22 22

En los casos (1) y (2), por ser determinantes en los que hay dos columnas iguales; en los casos (3), (4) y (5), por ser de menores de AA A A, de orden superior a 2.

Desarrollando los 5 determinantes anteriores por la última columna, y siendo:

A

a aa a

Aa aa a

A121 22

31 322

11 12

31 323 0= = - = = {, , ;

aa aaaa aa

11 11 11 22

22 11 22 22

D

Se tendrá:

a A a A a

a A a A a

a A a A a

a A a A a

a A a A a

11 1 21 2 31

12 1 22 2 32

13 1 23 2 33

14 1 24 2 34

15 1 25 2 35

0

0

0

0

0

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

+ + =

¸

¿

ÔÔÔ

À

ÔÔÔ

D

D

D

D

D

Es decir:

– 82 –




a a a

a a a

a a a

A A

A A

A A

3 1 11 2 1

3 2 12 2 2

35 15 25

1 2

1 2

1 2

= +

= +

= +

- -

- -

- -

D D

D D

D D

M M M M M

, o sea:

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A A

3 1

3 2

35

11

12

15

2 1

2 2

25

1 2

M M M

È

Î

ÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼

=

È

Î

ÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼

+

È

Î

ÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼

- -

D D

luego, efectivamente, la tercera fi la de AA A A es combinación lineal de las dos primeras.

➁ ➠ Análogamente, podríamos demostrar que la cuarta fila de AA A A es combinación lineal de las dos primeras.

➂ ➠ Como consecuencia de ➀ y ➁, podremos prescindir de las fi las tercera y cuarta de AA A A sin que su rango varíe. Es decir:

rango = rango AA

a a a a a

a a a a a11 12 13 14 15

21 2 2 23 2 4 25

Ê

Ë Á

¯ ˜

ccccuuuuyyyyoooo vvvvaaaalllloooorrrr eeeessss 2222, pues al ser D = {

aa aa

aa aa11 11 11 22

22 11 22 22 0, las dos filas de la última matriz son linealmente independientes.

➠ Observemos, por tanto, que dado un menor no nulo de AA A A, de orden r, para ver si otra fila de AA A A es combinación linealde aquéllas con parte de cuyos elementos se ha formado tal menor, basta con calcular todos los menores de orden (r+1)que se puedan escribir completando el inicial con los elementos de esa nueva fila. (Se dice que tales menores se hanobtenido orlando el menor inicial con tal fila). Si hubiera alguno no nulo, el rango de AA A A sería como mínimo (r+1) ypartiríamos de él para formar, ahora, menores de orden (r+2). Si, por el contrario, todos los menores de orden (r+1)obtenidos orlando el inicial con dicha f ila fueran nulos, eso nos permitiría prescindir de el la sin que el rango de AA A A semodificara, pues la fila en cuestión sería combinación lineal de las que intervienen en el menor de orden r.

Observación

La demostración anterior, aunque referida a un caso particular para facilitar su comprensión, es conceptualmente idéntica a la quehabría de efectuarse en el caso general. Ello nos permite concluir, pues, que:

EEEEllll rrrraaaannnnggggoooo ddddeeee uuuunnnnaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz ccccooooiiiinnnncccciiiiddddeeee ccccoooonnnn eeeellll oooorrrrddddeeeennnn ddddeeeellll mmmmeeeennnnoooorrrr oooo lllloooossssmmmmeeeennnnoooorrrreeeessss ddddeeee ddddiiiicccchhhhaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz ddddeeee mmmmaaaayyyyoooorrrr oooorrrrddddeeeennnn nnnnoooo nnnnuuuulllloooossss....

Ejemplo

Supongamos que se deseara calcular el rango de la matriz:

AA =

--

- --

Ê

Ë

ÁÁ

Á

ˆ

¯

˜ ˜

˜

2 1 2 1 41 0 1 2 06 2 2 2 81 1 3 4 2

Como 2 11 0 0{ , las dos primeras fi las de AA A A son linealmente independientes y el rango de AA A A, como mínimo, será 2. Orlando el

menor anterior con la tercera fila, se tiene:

2 1 21 0 16 2 2

02 1 11 0 26 2 2

02 1 41 0 06 2 8

0-

-= -

-= =, ,

luego dicha fila es combinación lineal de las dos primeras y, en consecuencia, puede prescindirse de ella sin que el rango de AA A A varíe. Esdecir:

rango rango AA =-

--

Ê

Ë

ÁÁ

¯

˜ ˜

2 1 2 1 41 0 1 2 01 1 3 4 2

– 83 –




Partiendo, de nuevo, de que 2 11 0 0{ , si orlamos dicho menor con la tercera fila de la nueva matriz, se tiene:

2 1 21 0 11 1 3

02 1 11 0 21 1 4

0-

-= - {,

y sin necesidad de considerar el tercer menor que se podría formar (pues ya hemos hallado uno no nulo) concluiríamos que rango AA A A = 3.

Advertencia importante

Si hubiéramos definido el rango AA A A como el máximo número de columnas, y no filas, de AA A A linealmente independientes, habríamosvisto que también en ese caso el rango AA A A coincidiría con el orden del menor de AA A A de mayor orden no nulo, luego:

Es indiferente definir el rango de una matriz como el máximo número de filas linealmente independientes ocomo el máximo número de columnas linealmente independientes, pues ambos valores coinciden.

Y al igual que vimos transformaciones entre filas de AA A A que no modificaban el rango, también podríamos haber demostrado que:

EEEEllll rrrraaaannnnggggoooo ddddeeee uuuunnnnaaaa mmmmaaaattttrrrriiiizzzz nnnnoooo sssseeee mmmmooooddddiiiiff f f iiiiccccaaaa ssssiiii::::

1111 Se prescinde de una columna combinación lineal de otras.

2222 Se multiplica una columna por un número distinto de cero.

3333 Se suma a una columna una combinación lineal de otras.

Cálculo de la matriz inversa mediante adjuntos

Líneas atrás vimos cómo podía calcularse la inversa de una matriz cuadrada, AA = ( )a i j , siempre que fuera rango AA A A = n. A conti-

nuación vamos a explicar otro método, que hace uso de los adjuntos.

Sea, por ejemplo, la matriz: AA =Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

4 2 13 2 21 0 3

.

En primer lugar comprobamos que AA { 0 (que es la condición equivalente a que rango AA A A = 3). Efectivamente, AA = {8 0.A

continuación escribimos la matriz “adjunta” de AA A A, aaaadddd jj j j(((( AA A A)))), en la que el elemento de lugar (i, j) es el adjunto del elemento a i j de AA A A:

aaddjj AA( ) ( )= =- -

--

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ A i j

6 7 26 11 22 5 2

Escribimos ahora la traspuesta de la anterior, que es la matriz cuyas filas son las columnas de matriz de arriba:

TT aaddjj AA( )[ ] = -- --

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ 6 6 27 11 5

2 2 2Pues bien, finalmente:

AA 11 TT aaddjj AA

AA- =

[ ]=

-

- -

-

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

( )

34

34

1

78

118

58

14

14

14

OOOObbbbsssseeeerrrrvvvvaaaacccciiiióóóónnnn::::

Ciertamente, este método del cálculo de la matriz inversa, como el que ya habíamos visto, puede parecer un tanto artificioso ycarente de justificación. Son razones de eficacia y economía del escaso tiempo disponible en el curso las que nos han aconsejado incluirlosaquí. Al final del próximo tema, sin embargo, justificaremos lo que hemos hecho ahora.

– 84 –




4. EJERCICIOS1111 .... ---- Obtén el valor de x, sabiendo que el vector (8, 7, x, 6) se puede expresar como combinación lineal de (1, 2, 3, 0) y (2, 1, 1, 2).

2222 .... ---- El vector (x, y, –23, –5) es una combinación lineal de (1, 2, –5, 3) y (2, –1, 4, 7). Halla x, y.

3333.... ---- Averigua cuáles de las siguientes familias de vectores de (RRRR 3333 , +, ....) son libres:

AA A A = { (0, 0, 0), (1, 1, 1) } BBBB = { (1, 2, 3), (3, 2, 1) } CCCC = { (2, 3, 1) }

DDDD = { (0, 2, –4), (1, –2, 1), (1, -4, 3) } EEEE = { (1, –2, 3), (3, –6, 9) } FFFF = { (1, -1, 1), (2, 3, 1), (–1, 4, 0), (1, 1, 0) }

4444 .... ---- Demuestra que si aaaa, bbbb, cccc son vectores linealmente independientes, entonces también son linealmente independientes los vectoresaaaa + bbbb, aaaa + cccc, bbbb + cccc. ¿Se deduce de lo anterior que si aaaa + bbbb, aaaa + cccc, bbbb + cccc son linealmente dependientes, entonces aaaa, bbbb, cccc tambiénlo son?

5555 .... ---- Los vectores (3, –2, –1, 3), (1, 0, 2, 4), (7, –4, x, y) son linealmente dependientes. Halla x, y.

6666 .... ---- Demuestra que los vectores (2, 0, 1), (2, 0, 2), (0, 4, 0) forman una base de (RRRR 3333 , +, ....). Halla las coordenadas en esa base del

vector (4, –3, 6).

7777 .... ---- Las coordenadas de un vector vvvv de RRRR 3333 respecto de la base BBBB = {(1, 2, 0), (0, 2, 4), (1, 0, 4)} son (2, 2, 3). Halla las

coordenadas de vvvv en la base BBBB’’’’ = { (2, 2, 0), (1, 0, 1), (3, 2, 0)}.

8888 .... ---- Calcula (AA A A + BBBB) .... CCCC y ( 2.AA A A – 3.BBBB ) .... CCCC, siendo:

AA BB CC=Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ =

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ =

--

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

1 2 13 0 2

2 1 20 1 3

1 0 2 11 2 5 40 1 0 2

9999 .... ---- Calcula AA BB CC2 + ¥ siendo:

AA BB CC=

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

1 0 1 22 1 0 13 1 1 30 1 0 1

2 1 20 1 34 1 00 3 1

0 3 2 11 0 1 02 1 5 1

1111 0000 .... ---- Siendo AA =Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

cos -sensen cos

a aa a

00

0 0 1, calcula AA A A2 , AA A A3 , ... , AA A An.

1111 1111 .... ---- Dada una matriz AA A A, de orden mxn, sea AA t su traspuesta (matriz de orden nxm cuyas filas son las columnas de AA A A) y llamemostraza de AA A A a la suma de todos los elementos de la forma a ii . Sabido lo anterior, hal la una matriz AA A A, cuadrada de orden 2, tal

que la traza de AA AA¥t sea cero.

1111 2222 .... ---- Obtén las matrices AA A A y BBBB para las que se cumple: 3 2 8 3

5 4 2 3 1 21 6 AA BB AA BB+ = =

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ - - -

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ ;

1111 3333 .... ---- Halla la matriz XXXX2 + YYYY2 sabiendo que XXXX e YYYY verifican: 5 3 2 0

4 15 3 2 1 12 9XX YY XX YY=+ -

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ + = -

-Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ ;

1111 4444 .... ---- Determina qué relaciones han de existir entre a, b, c y d para que se cumpla que AA A AMMMM = MMMM AA A A, siendo AA A A y MMMM las matrices:

AA MM= -Ê

Ë Á

ˆ ¯ ˜ =

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ 0 1

1 1a bc d

1111 5555 .... ---- Sean AA BB=Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ =

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ a b

a ba b ca b c' ' ; ' ' ' , con rango AA A A { rango BBBB. ¿Cuál es el valor de rango BBBB – rango AA A A?

1111 6666 .... ---- Una matriz cuadrada de orden 3 tiene de rango 3. ¿Cómo puede variar el rango si quitamos una columna? Si suprimimos una fila

y una columna, ¿podemos asegurar que el rango de la matriz resultante será 2?

– 85 –




1111 7777 .... ---- Sean AA A A una matriz que tiene tres filas y BBBB la matriz que resulta de sustituir en AA A A la primera fila por la suma de las otras dos. ¿Quédebe ocurrir entre las filas de AA A A para que AA A A y BBBB tengan el mismo rango?

1111 8888 .... ---- Halla el rango de las siguientes matrices, por el método de Gauss:

1 2 02 4 36 5 8

2 3 1 2 54 2 1 5 36 3 0 3 4

2 0 31 3 03 2 18 2 24 3 14 6 2

4 5 1 3 22 4 1 1 00 2 2 4 62 5 2 1 31 3 0 2 18 13 1 5 2

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ -

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

--

-

-

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

-- -

-- -

- - -

Ê Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

1111 9999 .... ---- Analiza si los vectores de (RRRR4, +, .) : (6, 3, –3, 9), (0, 4, 2, 8), (3, 1, 0, –2), (5, 4, 0, 5) son linealmente independientes.

2222 0000 .... ---- Si rango a b cd e f

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ = 2, ¿puede ser rango

a b cd a e b f c

d e f - + +

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ = 2?

2222 1111 .... ---- Dada las matrices AA BB= -Ê Ë Á ˆ ¯ ˜ =

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ 2 14 3

2 2 0

3 3 10 3 5

; , halla sus inversas y comprueba que las soluciones son correctas.

2222 2222 .... ---- Calcula los siguientes determinantes:

1 2 1 32 3 2 13 2 1 45 4 3 2

2 3 1 52 0 3 14 5 6 25 1 2 4

1 1 111

11

1 0 00 1 0 01 0 1 00 1 0 1

2 3

2 3

2 3

2 3

--

--

+ + +; ; ; ;b c c a a bbc ac ab

x x xy y y

z z zw w w

a

2222 3333 .... ---- Resuelve las ecuaciones siguientes:

1 2 32 3 43 4 5

0

1 1 1 1

111

02 32 4 6

3 6 9

- - -- - -- - -

= =x x xx x xx x x

x x xx x xx x x

;

2222 4444 .... ---- Expresa en forma de producto los determinantes siguientes:

a a a a aa b b b ba b c c ca b c d da b c d e

a b ca b c

b c a c a b

a b c a ab b c a bc c c b a

aa

aa

; ; ;

2 2 2 2 22 22 2

1 1 11 1 11 1 11 1 1+ + +

- -- -

- -

2222 5555 .... ---- Calcula el valor de los determinantes de orden n siguientes:

1 1 1 11 1 11 1 1

11 1 1

1 1 12 1 11 3 1

1 1

12

3

L

L

L

L L L L

L

L

L

L

L L L L L

L

L

L

L

L L L L L

L

-- -

- - -

aa

a

nnn

n n

n n nn n nn n n

n n n n

; ;

2222 6666 .... ---- Si el determinante de AA A A, matriz cuadrada de orden 5, vale 1, ¿qué valor tomará el determinante de la matriz 3.AA A A?

2222 7777 .... ---- Demuestra que si una matriz tiene inversa, ésta es única.

2222 8888 .... ---- Demuestra que si una matriz cuadrada de orden n, AA A A, verifica AA A A2 + 3.AA A A – 3....IIIIn = ((((0)))), donde ((((0)))) es la matriz cuadrada de ordenn todos cuyos términos son nulos, entonces dicha matriz tiene inversa.

2222 9999 .... ---- Sea AA A A una matriz cuadrada de orden n y sea IIIIn la matriz unidad. Demuestra que si AA A A2 + 5.AA A A = IIIIn, entonces AA A A posee inversa.

– 86 –




3333 0000 .... ---- Averigua para qué valores del parámetro t la matriz AA =-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

1 0 40 t 41 3 t

no tiene inversa. Después, halla la inversa de AA A A para t = 1

y compara el valor de los determinantes de ambas matrices.

3333 1111 .... ---- Averigua para qué valores del parámetro t la matriz AA = Ê

Ë

ÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜

1 1 120 1 0

2t t no tiene inversa. Después, halla la inversa de AA A A para t = 3.

3333 2222 .... ---- Sean AA A A y BBBB dos matrices cuadradas de igual orden. Se sabe que las matrices MMMM = AA A A + BBBB y NNNN = AA A A – BBBB tienen inversa. Analiza si AA A A y BBBB han de tenerla también. (Si la respuesta es afirmativa, justifícala; en caso contrario, da un contraejemplo que lo confirme).

3333 3333 .... ---- Comprueba si se verifica que AA BB BB AA¥ ¥= , siendo AA A A y BBBB las siguientes matrices:

AA BB= --

Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜ = -

-

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 3 0 22 2 1 4

1 02 10 31 1

3333 4444 .... ---- Calcula el rango de las siguientes matrices, utilizando menores:

AA BB=

---

- - -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=

--

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 2 1 0 14 3 2 1 43 1 3 1 32 4 2 0 2

1 2 1 0 41 1 1 1 12 3 0 1 32 3 1 1 3

3333 5555 .... ---- Halla el valor de x, sabiendo que las dos matrices siguientes tienen igual rango:

AA BB=Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ =

- - -

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

2 3 43 4 25 2

3 5 3 1 52 6 4 4 32 2 2 6 4x

3333 6666 .... ---- Determina los valores de t para los que cada una de las siguientes matrices no admite inversa y halla, para tales valores de t, loscorrespondientes rangos de las matrices.

AA BB=

-

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 0 3 01 1 1

1 1 10 1 2 1

0 1 00 1 1

1 0 01 0

tt

tt

tt t

3333 7777 .... ---- Determina el rango máximo y el mínimo que puede tener una matriz de la forma: AA = -Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

a aa

00 1 00 1 1

3333 8888 .... ---- Los vectores de (RRRR3, +, .): (2, 1, –3), (1, 3, 2), (5, x, –4) son linealmente dependientes. Halla el valor de x.

3333 9999 .... ---- Anal iza si para cualquier valor de x, los vectores de (RRRR4, +, .): (1, 2, 3, 0), (x, 1, 0, 2), (2, 1, 1, 2), (4, 4, 5, 4) son linealmentedependientes.

4444 0000 .... ---- Estudia si más de cuatro vectores de (RRRR4, +, .) pueden ser linealmente independientes.

4444 1111 .... ---- Estudia, según los valores de los parámetros, los rangos de las matrices:

AA BB CC

DD EE

=Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ =

-

-

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ = +

+

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

= - +

+ -

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ = - + +

+ - +

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

aa

aa

aa

a

m m

m m

m m m

m m m

1 11 11 1

2 1 11 13 1

1 1 11 1 11 1 1

1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

2 2 2 2( ) ( ) FFFF =Ê

Ë

Á

Á

ˆ

¯

˜

˜

a babb a

11 11

– 87 –



Tema 6

Sistemas de ecuaciones lineales




1. INTRODUCCIÓNLlega el momento de empezar a dar utilidad a lo visto en el tema anterior. En éste vamos a estudiar cómo hay que proceder ante

un sistema ecuaciones lineales para saber si tiene o no solución(es) y, en caso afirmativo, obtenerla(s). Ciertamente, para resolver un

sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, por ejemplo, no hacen falta grandes conocimientos teóricos y nos bastaría con las

herramientas ya conocidas desde hace tiempo. Pero analizar y resolver sistemas de centenares e incluso miles de incógnitas, como hoy endía se hace en ciencias como la Astronáutica o la Economía, si los ordenadores que se encargan de ello no fueran programados de forma

adecuada, sería tarea imposible. Aquí explicaremos el par de métodos en los que se basan tales programas. Como tenemos por norma,

procuraremos simplificar al máximo todo lo que hagamos.

2. DEFINICIONES Y CLASIFICACIÓN

Definiciones (vocabulario)

☞ Llamaremos sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a un conjunto de m expresiones algebraicas de primer grado:

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

S

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

21 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =

+ + + =

+ + + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

L

L

L L L L L

L

[ ]

donde aaaa iiii jj j j ,,,, bbbb iiii son números reales fijos, llamados coeficientes y términos independientes , respect ivamente, y xxxx jj j j números reales sin

determinar, llamados incógnitas . En el caso particular en que b 1 = b 2 = ... = b m = 0, el sistema se llama homogéneo .

☞ Con el símbolo EEEE iiii representaremos la ecuación: a x a x a x bi i in n i1 1 2 2+ + + =L

☞ Si a Œ RRRR, con la notación a .... EEEE iiii nos referiremos a: ( ) ( ) ( ) ( )a a a aa x a x a x bi i in n i1 1 2 2+ + + =L

☞ De las matrices:

AA AA=

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

Áa a a a

a a a a

a a a a

a a a a b

a a a a b

a a a a b

n

n

m m m mn

n

n

m m m mn m

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

L

L

L L L L L

L

L

L

L L L L L L

L

*ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

diremos que son la matriz de los coeficientes del sistema y la matriz ampliada con los términos independientes, respectivamente.

☞ Observa, por último, que escritas las matrices: XX BB=

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

x

x

x

b

b

bn m

1

2

1

2

M M

el sistema [S] puede expresarse en forma matricial:

AA XX BB¥ =

Otras definiciones (más vocabulario)

➫ Diremos que n números reales ( , , , , )a a a a1 2 3 L n constituyen una solución del sistema [ S] si al sustituir x j por a j

en los primeros miembros de todas las ecuaciones, cada uno de ellos toma como valor el del correspondiente término independiente

➫ Discutir un sistema consiste en averiguar si posee alguna solución y, en caso afirmativo, cuántas.

➫ Diremos que un sistema es compatible si tiene alguna solución. Como veremos, un sistema compat ible en RRRR o bien admite

una solución única (diremos que es compatible determinado) o bien infinitas (se dice, en expresión no muy atinada, que es compatible

indeterminado). Si un sistema no tiene solución, diremos que es incompatible.

➫ Resolver un sistema compatible es, como te puedes suponer, encontrar todas sus soluciones.

– 89 –




Definición (de sistemas equivalentes)

☞ De dos sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de incógnitas (aunque no tengan el mismo número de

ecuaciones) se dice que son equivalentes si tienen las mismas soluciones; es decir, si toda solución del primero es solución del segundo y

viceversa.

Teorema

☞ Si

( , , , , )a a a a1 2 3 L n es una solución del sistema [ S] , también lo es de cualquier ecuación que sea "combinación

lineal" de las que forman dicho sistema.

La demostración es muy sencilla: Supongamos formada la siguiente ecuación, combinación lineal de las de [ S] ):

l l l l l l1 11 1 1 2 21 1 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ;a x a x a x a x a x a x b bn n n n m m mn n m m i+ º + + + º + + º + + º + = + º + ŒRR

Al sustituir x j por a j el primer paréntesis anterior tomará el valor b 1 ; el segundo, b 2 , ... y, el último, b m. Por consiguiente, ambos

miembros de la igualdad coincidirán.

Teorema (paso de un sistema a otro equivalente)• Se obtiene un sistema de ecuaciones equivalente a otro dado si:

1111 SSSSe altera el orden de las ecuaciones.

2222 SSSSe prescinde de una ecuación que sea combinación lineal de ot ras.

3333 SSSSe sustituye una ecuación por la que resulta de multiplicarla por un número distnto de cero.

4444 SSSSe sustituye una ecuación por la que resulta de sumarle una combinación lineal de otras.

Las demostraciones son fáciles y las dejamos como ejercicio para quien desee efectuarlas.

3. REGLA DE CRAMERDefinición (de sistemas de Cramer)

•••• Llamaremos sistema de Cramer a todo sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

n n

n n

n n n n n n

1 1 1 12 2 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

L

L

L L L L L

en el que la mat riz de los coeficientes, AAAA, tenga determinante no nulo: | AAAA| { 0 .

Teorema (de Cramer)

Enunciado:

El sistema de Cramer anterior es compatible determinado y su única solución es:

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

1 2 3, , , ,º

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

n

donde AAAA jj j j representa la matriz obtenida al sustituir la columna j de la matriz de

los coeficientes del sistema, AAAA, por la formada por los términos independientes.

– 90 –




Demostración:

Con el objeto de simplificar la notación, vamos a efectuar la demostración para un sistema de Cramer de tres ecuaciones con tres

incógnitas. El razonamiento en el caso general es conceptualmente idéntico al que nosot ros seguiremos.

Sea pues el sistema:

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

S

11 1 1 2 2 13 3 1

2 1 1 2 2 2 13 3 2

3 1 1 3 2 2 3 3 3 3

+ + =+ + =+ + =

¸¿Ô

ÀÔ

[ ]

con

AA = {a a a

a a a

a a a

11 1 2 13

2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

0

PPPPrrrr iiiimmmmeeeerrrr ppppaaaassssoooo ::::

① En primer lugar, vamos a ob tener unas ecuaciones, combinaciones lineales de las de [ S] , de las que hallaremos las soluciones.

A tal efecto, multiplicando la primera ecuación de [S] por el adjunto del elemento a 11 de la mat riz AAAA, A 11 ; la segunda por A 2 1 , y latercera por A 3 1 , y sumando posteriormente, se obt iene la ecuación EEEE'''' 1111 :

A a x a x a x A a x a x a x A a x a x a x

b A b A b A

1 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 2 1 2 1 1 2 2 2 2 3 3 3 1 3 1 1 3 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 1 3 3 1

+ +( ) + + +( ) + + +( ) =

= + +

Es decir:

A a A a A a x A a A a A a x A a A a A a x

b A b A b A

1 1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 1 11 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2 2 11 1 3 2 1 2 3 3 1 3 3 3

1 11 2 2 1 3 3 1

+ +( ) + + +( ) + + +( ) =

= + +

En la ecuación anterior , el primer paréntesis es el desarro llo por la primera columna del determinante de AAAA, mientras que el

segundo y tercer paréntesis contienen la suma de los productos de los elementos de una columna de AAAA por los adjuntos de otra columna,

sumas nulas en virtud de la propiedad 9 ª de los determinantes. En cuanto al segundo miembro, sería el desarrollo por la primera columna

de la matriz, AA 1 , obt enida sust ituyendo la pr imera columna de AAAA por la formada por los términos independientes del sistema.

Resulta, pues, la ecuación:

EE '' AA AA1 1 2 3 10 0: . . .x x x+ + =

Observemos que cualquier solución ( , , )a a a1 2 3 de EEEE'''' 1111 ha de verificar: a 1

1=

AA

AA, cualesquiera que sean a a 2 3, .

② Si en lugar de multiplicar las ecuaciones del sistema [ S] por los adjuntos de los elementos de la primera columna de AAAA lo

hubiéramos hecho por los adjuntos de los elementos de la segunda columna de AAAA, habríamos llegado a la ecuación:

EE '' AA AA2 1 2 3 20 0: . . .x x x+ + =(en la que AA 2 es la matr iz obtenida sust ituyendo la segunda columna de AAAA por la formada por los términos independientes). Toda

solución ( , , )a a a1 2 3 de esa ecuación habría de verificar: a 2

2=

AA

AA, cualesquiera que fueran a a1 3, .

➂ Multiplicando finalmente las ecuaciones de[ S] p or los adjuntos de los elementos de la ter cera columna de AAAA y sumando,

llegaríamos a la ecuación:

EE '' AA AA3 1 2 3 30 0: . . .x x x+ + =

(no necesi tamos explicar qué es AA 3) de la que toda solución ( , , )a a a1 2 3 habría de verificar: a 3

3=

AA

AA, cualesquiera que

fueran a a1 2, .

– 91 –




SSSSeeeegggguuuunnnnddddoooo ppppaaaassssoooo:

Como consecuencia de todo lo anterior y de que toda solución de [ S], si es que existe, ha de serlo de EEEE'''' 1111 , EEEE'''' 2222 , EEEE'''' 3333 (pues son

combinación lineal de las que forman [S]), resulta que la única solución que, en todo caso, podrá tener [S] es:

( , , ) , ,a a a1 2 31 2 3

=

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜ AA

AA

AA

AA

AA

AA

pues ésta es la única “ terna” ( , , )a a a1 2 3 que cumple las condiciones requeridas.

TTTTeeeerrrr cccceeeerrrr ppppaaaassssoooo ::::

Así pues, si [ S] posee solución, es única y sólo puede ser la anterior. Pero, ¿cómo confirmar que, efectivamente, es solución de

[S]? Pues comprobando que al sustituir en las tres ecuaciones x j porAA

AA

jlos dos miembros de cada ecuación toman el mismo valor.

Sustituyendo, pues, en cada ecuación EEEE iiii cada x j por

AA

AA

j

, o sea, por

b Ah h jh =Â

1

3

AA , resulta:

a a a a b A a b A a b A

b a A a A a A b a A a A a A

i i i i h h i h hh

i h hhh

i i i i i i

1 1 2 2 3 3 1 1 2 21

3

3 31

3

1

3

1 1 11 2 12 3 13 2 1 2 1 2 2 2 3 2

1

1

a a a+ + = + +È

ÎÍ

»

½¼ =

= + +( ) + + +

= ==Â ÂÂ

AA

AA33 3 1 3 1 2 3 2 3 3 3( ) + + +( )[ ]b a A a A a Ai i i

Observemos los paréntesis que aparecen en la igualdad anterior:

Si i = 1, el primero de ellos es AA y los demás son cero; el valor del segundo miembro de la igualdad sería1

1 1

AA

AAb b=

Si i = 2, el segundo de ellos es AA y los demás son cero; el valor del segundo miembro de la igualdad sería1

2 2AA

AAb b=

Si i = 3, el tercero de ellos es AA y los demás son cero; el valor del segundo miembro de la igualdad sería1

3 3AA

AAb b=

En resumen: que, efectivamente, para i = 1, 2 ó 3, se tendría: a a a bi i i i1 1 2 2 3 3a a a+ + =

EEEEnnnn ccccoooonnnncccclllluuuussssiiiióóóónnnn: ( , , ) , ,a a a1 2 31 2 3=

Ê

Ë ÁÁ

ˆ

¯ ˜ ˜

AA

AA

AA

AA

AA

AAes la única solución del sistema [S].

Ejemplo

Supongamos que se desea resolver el sistema:

2 3 5

3 5 20

5 6 2

x y z

x y z

x y z

+ + =- + =+ - =

¸¿Ô

ÀÔ

Como AA = --

= {2 3 1

3 1 5

5 1 6

139 0 , se tratará de un sistema de Cramer, luego:

xx yy zz=

--

= =

-

= - =

-

=

5 3 1

20 1 5

2 1 6

13 9 3

2 5 1

3 20 5

5 2 6

13 9 1

2 3 5

3 1 20

5 1 2

13 9 2

– 92 –




OOOObbbb sssseeeerrrr vvvvaaaacccciiiióóóó nnnn

En general, nada obliga a que un sistema de ecuaciones lineales haya de tener necesariamente igual número de ecuaciones que

de incógnitas; o, incluso, aunque así ocurra, la matriz de los coeficientes puede tener determinante nulo y la regla de Cramer será, al

menos en principio, inaplicable. A estudiar cómo proceder en tales casos es a lo que dedicaremos el siguiente apartado.

4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

Enunciado:

Dado el sistema:

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

S

n n

n n

m m mn n m

11 1 12 2 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

L

L

L L L L L

L

[ ]

y consideradas las matrices AAAA, de los coeficientes, y AAAA* , ampliada con los términos independientes, se verifica:

11)) AA AA

22 )) AA AA

[

[

[

S] es compatible rango = r ango *

rango = rango *< n S] es compatible indet erminado

= n S] es compatible determinado

¤

ÏÌÔ

ÓÔ

Demostración:

PPPPrrrr iiiimmmmeeeerrrr aaaa ppppaaaarrrr tttt eeee::::

Supongamos que el sistema [S] fuera compat ib le. Eso significa que exist ir ían números reales ( , , , )a a a1 2 L n tales que:

a a a1

11

21

1

2

12

22

2

1

2

1

2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

b

b

bm m

n

n

n

mn m

M ML

M M

È

Î

ÍÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼¼

+

È

Î

ÍÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼¼

+ +

È

Î

ÍÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼¼

=

È

Î

ÍÍÍÍÍ

»

½

¼¼¼¼¼

luego la úl tima columna de AAAA* sería combinación lineal de las restantes y aunque se prescindiera de ella, quedándonos entonces la

matriz AAAA, el rango no se mod ificaría; es decir , rango AAAA* = rango AAAA.

SSSSeeeegggguuuunnnnddddaaaa ppppaaaarrrr tttteeee:

Supongamos ahora que rango AAAA = rango AAAA* = r. Eso significa que en AAAA existe al menos un menor de orden r no nulo y que no

hay ninguno de orden super ior a r n i en AAAA ni en AAAA* que sea distinto de cero. Además, podemos suponer que uno de tales menores de

orden r no nulos es el formado por los elementos comunes a las r primeras filas y r primeras columnas de A, pues si no fuera así, un

cambio en el orden de las ecuaciones y/o en el de las incógnitas, permitiría suponerlo:

a a a a

a a a a

a a a a

r

r

r r r r r

11 12 13 1

2 1 2 2 23 2

1 2 3

0

L

L

L L L L L

L

{

Entonces, el sistema [S] será equivalente al:

– 93 –




a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

S

n n

n n

r r r n n r

11 1 1 2 2 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2

1 1 2 2

+ + + =+ + + =

+ + + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

L

L

L L L L L

L

[ ']

obtenido suprimiendo, si es que existían, las (m–r) últimas ecuaciones de [ S] , ya que al ser las (m–r) últimas filas de AAAA* combinación

lineal de las r primeras, dichas últimas ecuaciones también lo serán de las r primeras de [S].

Considerado, pues, ese nuevo sistema [ S’] , pueden presentarse dos posibilidades:

1111 QQQQuuuueeee rrrr ==== nnnn . Entonces, [S’] es de Cramer y tendrá solución única. [ S] , equivalente a [S’], será compatible determinado.

2222 QQQQuuuueeee rrrr <<<< nnnn. Dejando, entonces, en los primeros miembros de [ S’] las r primeras incógnitas (principales) y pasando a los

segundos miembros las (n–r) restantes (auxiliares), el sistema quedaría así:

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x a x

a x a x a x b a x

r r r r n n

r r r r n n

r r r r r r r r

11 1 12 2 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2

1 1 2 2 1

+ + + = - - -+ + + = - - -

+ + + = -

+ +

+ +

+

L L

L L

L L L L L

L

,

,

, rr r n na x

S

+ - -

¸

¿

ÔÔ

ÀÔÔ

1 L

[ ']

Este sistema, cualesquiera que fueran los valo res que d iéramos a x x xr r n+ +1 2, , ,L , sería en un sistema de Cramer, luego

podr íamos obt ener los cor respondient es valores para x x x r1 2, , ,L que, junto a los dados a x x xr r n+ +1 2, , ,L , constituirían una

solución de [ S] . Como a las incógnitas auxiliares les podemos dar tant os valores como queramos, y en cada caso obtendr íamos los

correspondientes valores de las incógnitas principales, el sistema tendrá infinitas soluciones. Será compatible indeterminado.

Ejemplos

1 Supongamos que se desea discutir y, en su caso, resolver, el sistema:

2 43 2 7

5 2 2 1

3 7 1

x y zx y z

x y z

x y z

+ - =+ + =- + =- - =

¸¿ÔÔ

ÀÔÔ

En primer lugar, procederemos a calcular los rangos de las matrices:

AA AA=-

-- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=-

-- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

2 1 13 2 15 2 23 1 7

2 1 1 43 2 1 75 2 2 13 1 7 1

*

Como2 13 2

0{ , si or lamos ese menor de orden dos de la matriz AAAA con la tercera fila, nos encontramos con que el menor de

orden tres correspondient e a las tres primeras filas de AAAA es distinto de cero:2 1 13 2 15 2 2

27 0-

-= { , luego rango A = 3.

Par tiendo en AAAA* del menor anterior de orden 3 no nulo, para ver si el r ango de AAAA* es 3 ó 4, consideramos el único menor que se

puede formar orlando el anterior con la cuarta fila y vemos que:

2 1 1 43 2 1 75 2 2 13 1 7 1

0

-

-- -

= ,

En consecuencia, la cuar ta fila d e AAAA* es combinación lineal de las tres primeras y, si en el sistema prescindimos de la última

ecuación, el nuevo sistema:

– 94 –




2 4

3 2 7

5 2 2 1

x y z

x y z

x y z

+ - =+ + =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

en el que la matriz de los coeficientes y la ampliada tienen rango igual a 3, sería equivalente al inicial y, ambos, compatibles determi-

nados. Bastaría aplicar la regla de Cramer para obtener su única solución: x = 1; y = 2; z = 0.

2 Supongamos dado el sistema:

2 3 5 7

3 2 9

4 5 9 11

x y z

x y z

x y z

+ - =- + =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

Como2 3

3 111 0

2 3 5

3 1 2

4 5 9

0-

= - {-

--

=; el rango de AAAA es 2.

Para calcular el rango de AAAA* , y dado que el primer menor que se obtendría orlando

2 3

3 1- ya hemos visto que es nulo, nosfijamos en el único que podría hacer, si fuera no nulo, que el rango de AAAA* fuese 3. Pero como sucede que:

2 3 7

3 1 9

4 5 11

0--

=

la t ercera fila de AAAA* será combinación lineal de las dos primeras (así como la tercera ecuación lo será de las otras dos) y se tendrá que

rango AAAA= rango AAAA* = 2. El sistema, compatible indeterminado en virtud del teorema de Rouché-Fröbenius, será equivalente a este otro :

2 3 5 7

3 2 9

x y z

x y z

+ - =- + =

¸¿À

Para resolverlo, ya que2 3

3 10

-{ , tomaremos como incógnitas principales x, y, considerando la z como auxiliar. Escribiendo:

2 3 7 5

3 9 2

x y z

x y z

+ = +- = -

¸¿À

y aplicando la regla de Cramer, se tendría:

x

z

z zy

z

z z=

+- -

-=

-=

+-

-=

+7 5 3

9 2 1

11

34

11

2 7 5

3 9 2

11

3 19

11;

En resumen, las infinitas soluciones del sistema formarían el conjunto:

34

11

3 19

11

- +Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ Œ

ÏÌÓ

¸¿À

z zz z, , / RR

3 Por último, el sistema:

2 3 2

3 2 4

9 10 1

x y z

x y z

x y z

+ - =+ + =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

es incompatible, pues:

rango rango

2 3 -1

3 1 2

1 -9 10

rango rango

2 3 -1

3 1 2

1 -9 10

AA== == AA

Ê

Ë

ÁÁ

Á

ˆ

¯

˜ ˜

˜

=

Ê

Ë

ÁÁ

Á

ˆ

¯

˜ ˜

˜

=2

2

4

1

3; *

– 95 –




Sistemas homogéneos

Como un sist ema homogéneo tiene todos los términos independient es nulos, la últ ima columna de AAAA* estará formada exclu-

sivamente por ceros y, en consecuencia, r ango AAAA = rango AAAA* . La única duda, pues, en un sistema homogéneo es la referente a si tendrá

solución única o infinitas soluciones.

Si rango AAAA = rango AAAA* = n (número de incógnitas), la única solución será la trivial , es decir, x x x n1 2 0= = = =L .

Si r ango AAAA = rango AAAA* < n, se procederá como hemos visto en el segundo ejemplo anterior, expresando las r incógnitas principa-

les en función de las (n–r) restantes.

Ejemplos

1 Dado el sistema homogéneo:

2 0

3 2 0

3 3 0

x y z

x y z

x y z

+ - =- + =+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

se verifica: AA =

-

- {

2 1 1

3 1 2

1 3 3

0

luego rango A = 3 ( número de incógnitas) y, en consecuencia, la única solución será la trivial: x = 0, y = 0, z = 0.

2 El sistema:

2 5 0

3 5 6 0

2 4 5 0

3 10 0

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ - + =- - - =+ - + =

- + - + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

t iene in fini tas soluciones, que forman el conjunto: 2 3z t z t z t z t+ -( ) Œ{ }, , , / , RR

5. MÉTODO DE GAUSS

Observación

La regla de Cramer puede ser útil para resolver sistemas en los que el número de ecuaciones y/o incógnitas sea dos, tres o, a lo

sumo, cuatro. Pero para valores superiores su aplicación es poco recomendable, por la cantidad de determinantes de orden elevado que

hay que calcular. Buena parte de esos inconveninetes se obvian con el llamado método de Gauss, o de los pivotes, que tiene entre otras

ventajas, como habíamos anunciado, la de ser fácilmente programable para que un ordenador lo aplique. Dicho método, como ya sabes

desde el curso pasado, consiste en la aplicación reiterada al sistema que se trate de resolver de transformaciones “lineales”, hasta que se

llega a otro sistema equivalente, “ triangular” , pero lo más sencillo posible; por otra parte, como lo que realmente caracteriza a un sistema

son sus coeficientes y términos independientes, y no las letras con las que representemos las incógnitas, se trabaja directamente con la

matriz ampliada. El método de Gauss, en resumen, consiste en transformar la matriz del sistema inicial en otra que tenga nulos todos loselementos situados por debajo de la diagonal principal, es decir, todos los elementos a i j en los que i > j. Se trata de algo semejante a lo

que hacíamos para calcular el rango de una matriz.

Entenderás mejor cómo se aplica tal metodo estudiando los siguientes ejemplos, correspondientes a los tres casos posibles.

Primer ejemplo

Discutir y resolver el sistema:

2 7

2 2 1

3 2 3 0

5 4 8

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

+ + + =- + + =+ - - =- + + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

El esquema de la discusión-resolución es:

– 96 –




2 1 1 1 7

1 2 1 2 1

3 2 3 1 0

5 1 1 4 8

2 1 1 1 7

0 5 1 3 5

0 1 9 5 21

0 7 3 3 19

2 1 1 1 7

0 5 1 3 5

0 0 44 22 110

0 0 22 6 60

1 2

3

-- -

-

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

Æ

- -- - -

- - -

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

æ Æ æ - -

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

æ æ Æ æ - -

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

æ Æ æ - -

-

Ê

Ë

ÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜

2 1 1 1 7

0 5 1 3 5

0 0 22 11 55

0 0 11 3 30

2 1 1 1 7

0 5 1 3 5

0 0 22 11 55

0 0 0 55 55

4

(1) A la segunda fila multiplicada por 2 se le resta la primera, a la tercera mul-

tiplicada por 2 se le resta la primera multiplicada por 3 y a la cuarta fila

multiplicada por 2 se le resta la primera multiplicada por 5.

(2) A la tercera fila multiplicada por –5 le restamos la segunda y a la

cuarta fila, multiplicada por –5, le restamos la segunda multiplicada

por –7.

( 3) Dividimos la tercera y la cuarta fila entre 2 . ( 4) Multiplicamos la cuarta fila por 22 y le restamos la tercera multipli-

cada por 11 .

Por lo tanto, el sistema dado es equivalente al:

2 7

5 3 5

22 11 55

55 55

x y z t

y z t

z t

t

+ + + =- + + = -

+ =- =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

que se resuelve empezando por la última ecuación, de la que se obtiene: t = – 1; llevando después ese valor a la tercera: z = 3; llevan-

do ambos valores a la segunda: y = 1; finalmente, sustituyendo en la primera: x = 2. El sistema, por tanto, es compatible determinado.

Segundo ejemplo

Discutir y resolver el sistema: 2 3 172 3 2

4 5 13

x y zx y z

x y z

+ - =- + = -- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

El esquema de la discusión-resolución es:

2 3 1 17

1 2 3 2

4 1 5 13

2 3 1 17

0 7 7 21

0 14 14 42

2 3 1 17

0 7 7 21

0 0 0 0

2 3 1 17

0 1 1 3

-- --

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Æ-

- --

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Æ-

- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Æ-

- -

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜

(En el último paso se ha simplificado la segunda fila, dividiendo entre –7, y se ha prescindido de la tercera fila, por corresponder a

la ecuación 0 x + 0 y + 0 z = 0, que, además de ser combinación lineal de las anteriores, se verifica para cualquier valor de las incóg-

nitas.)

Por tanto, el sistema inicial es equivalente al:

2 3 17

3

x y z

y z

+ - =- + = -

¸¿À

cuyas soluciones, y = 3 + z, x = 4 – z, forman el conjunto: { ( 4 – z, 3 + z, z) / z Œ RRRR } .

(En otras palabras, que si, por ejemplo, hacemos z = 2, los valores x = 2, y = 5, z = 2 son una solución; si tomamos z = 1, los

valores x = 3, y = 4, z = 1 también son solución, y así tantas veces como queramos.)

El sistema, al tener infinitas soluciones, es compatible indeterminado.

– 97 –




Tercer ejemplo

Discutir y resolver el sistema:

2 3 8

3 4 11

4 3 5 3

3 2 5

x y z

x y z

x y z

x y z

+ + =- + =- + =

+ + =

¸

¿ÔÔ

À

Ô

ÔEl esquema es:

2 1 3 8

3 1 4 1 1

4 3 5 3

1 3 2 5

2 1 3 8

0 5 1 2

0 10 2 26

0 5 1 2

2 1 3 8

0 5 1 2

0 5 1 13

0 5 1 2

2 1 3 8

0 5 1 2

0 0 0 11

--

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

Æ- - -

- - -- - -

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

Æ

Ê

Ë

ÁÁÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜ ˜ ˜

Æ

Ê

Ë Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Por tanto, el sistema dado es incompatible, pues es equivalente al siguiente, cuya última ecuación carece de solución:

2 3 8

0 5 20 0 0 11

x y z

x y z x y z

+ + =

+ + =+ + =

¸

¿

Ô

ÀÔ

– 98 –




6. EJERCICIOS1111 .... ---- Discute, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius y, en su caso, resuelve por la regla de Cramer, los sistemas:

3 2 0

2 24 3 5

1

52 3 5

3 2 0

2 24 3 2

x y z

x y zx y z

x y z

x y zx y z

x y z

x y zx y z

+ + =

- + =+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

- + =

+ + =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

+ + =

- + =+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z w

x y z w

x y w

x z

x y z

x z

x z w

x y z w

+ - =+ + =+ - =- - =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

- - + = -+ + - =+ + =

+ =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

+ - =- =+ - =

+ - - =

¸

¿ÔÔ

À

1

2 2

2 3

3 2 5

2 2

2 3

9

3

3 0

0

2 0

3 3 2 0ÔÔÔ

2 0 5

1 1 2

1 1 1

3

1

2

4

1

1

6 9 3

5 3 3

3 0 2

4

0

1

--

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

-Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

-

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ + = =

x

y

z

x

y

z ˜ ˜

2222 .... ---- Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos: A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gramos, el B

30 calorías por cada 100 gr y el C 40 calorias por cada 100 gr. La dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida

a exactamente 800 calorías y la cantidad que debe ingerirse de alimento A ha de ser doble que la de C. Halla en función de G las

cantidades que deben ingerirse de cada uno de los alimentos y calcula después los valores entre los que ha de estar comprendido

G para que las condiciones exigidas a la dieta puedan cumplirse.

3333 .... ---- La tabla adjunta muestra el número de unidades/gramo de vitaminas A, B y C que posee por unidad de peso cada uno de los

productos P, Q, R y S:

AAAA BBBB CCCC

PPPP 1 2 0

QQQQ 1 0 2RRRR 2 1 0

SSSS 1 1 1

aaaa)))) Analíza si se pueden elaborar dietas en las que entren todos los productos y que contengan 20 unidades de vitamina A, 25 de

vitamina B y 6 de vitamina C. ¿Cuántas hay?

bbbb)))) En función de la cantidad del producto Q que entra en la dieta, obtén las cantidades de los otros productos. ¿Entre qué valores

habría de estar la cantidad de producto Q?

4444 .... ---- ¿Puede ser compatible indeterminado un sistema de dos ecuaciones lineales con cuatro incógnitas? Pon algún ejemplo.

5555 .... ---- En un sistema de cuatro ecuaciones con tres incógnitas la matriz del sistema tiene un menor de orden 2 distinto de cero y todos

los menores de orden 3 nulos, mientras que la matriz ampliada tiene un menor de orden 3 distinto de cero. Halla el determinante

de la matriz ampliada. ¿Cuál es el rango de ambas matrices? ¿Tiene solución el sistema?

6666 .... ---- La matriz ampliada de cierto sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas tiene de rango 3. ¿Puede asegurarse que el

sistema es compatible?

7777 .... ---- Dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas sólo se distinguen en los términos independientes. Si el primero es compatible

indeterminado, ¿puede ser el segundo compatible determinado?

8888 .... Se consideran un sistema SSSS, compat ible det erminado, de m ecuaciones lineales con n incógnitas y SSSS’’’’ , sistema que resulta de

prescind ir en SSSS de la últ ima ecuación. aaaa)))) ¿Puede ser incompatible el sistema SSSS’’’’ ? bbbb)))) ¿Es compatible el sistema SSSS’? cccc)))) ¿Ha de ser

compat ible indeterminado el sistema SSSS’’’’ ?

– 99 –




9999 .... ---- Halla los valores de m que hacen compatibles cada uno de los siguientes sistemas y resuélvelos en esos casos :

4 2

0

3 0

2 3 5

4 5 6 7

3 4 3 9

5 3 7

1

2

x m y z m

mx y z

x y z

x y z

x y z

x y z

m x y z

m x y z

x m y z m

x y mz m

+ + = ++ - =

+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

+ - =- + = -- + = -

+ - =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

+ + =+ + =

+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

4 2

2 1

4

1 1 1

1 1 1

1

1 1

5 3

3

1

2

2 2x m y z m

x y mz m

x y z m

m x m y m

m x m y m

mx

y

+ + = ++ + = - ++ + =

¸

¿Ô

ÀÔ- - + = ++ + - = +

¸¿Ô

ÀÔ-

-

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ + -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¥( )( ) ( )

( ) ( )¯ ¯

˜ ˜ ˜

=

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

z

3

0

6

1111 0000 .... ---- Discute, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius, los siguientes sistemas:

x y z a

x y az a

x ay z

x y z

x y z m

x y mz

x y z m

x y z

x y z

+ + = -+ + =+ + =

¸

¿Ô

ÀÔ

+ - = -- + =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

- + =- + =+ - = -

¸

¿Ô

ÀÔ

1

2

1

2 1

2 2

3 4

3 2

5 8 9 3

2 3 1

m x yx m y m

x y

x y z ax my z b

x y m z c

a x by zx aby z b

x by az

+ =+ =- = -

¸¿Ô

ÀÔ

+ - =+ + =+ - =

¸¿Ô

ÀÔ

+ + =+ + =+ + =

¸¿Ô

ÀÔ

2 22

1

2

3

1

1

1111 1111 .... ---- Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones, en el que las incógnitas son x, y, z:

ay bx c

cx ay b

bz cy a

+ =+ =+ =

¸

¿Ô

ÀÔ

Halla la solución sabiendo que es única.

1111 2222 .... ---- Se consideran el siguiente sistema de ecuaciones y el siguiente determinante: SS DD|+ =+ =

+ =

Ï

ÌÔ

ÓÔ

|a x b y c

a x b y c

a x b y c

a a a

b b b

c c c

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

aaaa)))) Si SSSS es compatible, ¿se verifica entonces que D = 0?

bbbb)))) Si D = 0, ¿se verifica entonces que S es compatible?

1111 3333 .... ---- Sean AA = ( )a i j una matr iz cuadrada de orden 3 y XX = ( )x i j su inversa que , como sabemos, si existe, es única. Habrá de verifi-

carse: AA XX II¥ = 3 , igualdad que da lugar a tres sistemas de ecuaciones lineales, cada una de ellas con tres incógnitas. Pues bien,

determina una condición necesaria y suficiente para que dichos sistemas sean compatibles determinados y r esuélvelos. Comprueba

que la matriz obtenida coincide con la que se conocía desde el tema anterior.

1111 4444 .... ---- Se considera el s istema: AAAA....XXXX = BBBB, donde: AA XX BB=Ê

Ë

ÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ =

Ê

Ë

ÁÁÁ ¯

˜ ˜ ˜

= -Ê

Ë

ÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜

1 2 02 1 3

3 3 1

14

1

1

2

3

x

x

x

. Halla la mat riz inversa de AAAA, AAAA – 1 , y después

resuelve el sistema observando que: AA XX BB AA AA XX AA BB AA AA XX AA BB II XX AA BB XX AA BB¥ - ¥ ¥( ) - ¥ ¥( ) ¥ - ¥ ¥ - ¥ - ¥= = = = =-1 1 13

1 11

1111 5555 .... ---- Estudia y resuelve en caso de compatibilidad, por el método de Gauss, los sistemas:

2 0

2 9 8 1

6 2 5

1

3 2 1

5 3 4 2

2 5 6

2 3 5 4

5 2 1

3 5 5

5 4 2

8

y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x

+ =+ + =

- + + = -

¸¿Ô

ÀÔ

+ - =+ + =+ + =

- - + =

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

- - =- + = -+ + = -+ + =+ 55 13 0

3 4 8 2

4 3 11

2 5 4 3

2 5 5

4 13 16 5 23

4 6 2 10

2 5 4 3

y z

x y z

x y z

x y z v w

x y z v w

x y z v w

x y z v w

x y z v w

+ =+ + = -

- - =

¸

¿

ÔÔÔÔ

À

ÔÔÔ

Ô

- + + - = -- + - + =- + + + =- + + + =- + + - =

¸

¿

ÔÔ

À

ÔÔ

– 100 –



Tema 7

El espacio afín



El espacio afín

1. INTRODUCCIÓN

En cursos anteriores hemos estudiado geometría del plano. Los elementos con los que trabajábamos, recuerda, eran puntos yrectas. Este año vamos a dar un pequeño avance: nos moveremos en el espacio, y en él manejaremos no sólo puntos y rectas, sinopuntos, rectas... y planos. El método que seguiremos no diferirá mucho del que ya conoces de primero de bachillerato, pues allí establecimos las bases teóricas que nos van a permitir, ahora, progresar en nuestro estudio.

Iniciaremos este capítulo hablando de vectores fijos y libres; veremos después distintas ecuaciones de la recta y el plano yterminaremos estudiando los que se han dado en llamar problemas de incidencia, o sea, problemas de paralelismo, intersecciones... En elcapítulo próximo, con el producto escalar, trataremos las cuestiones métricas, es decir, aquellas relativas a perpendicularidad, medida deángulos y distancias, y daremos unas definiciones que nos permitirán multiplicar vectores, además de escalarmente, de otras formas;formas útiles para trabajar no sólo en matemáticas, sino también y especialmente en física.

Recuerda lo que decía Platón -¿era él?- respecto al ingreso en su Academia: "¡Que no entre aquí nadie que no sepa Geometría!".Podríamos parafrasearle, diciendo: ¡Que no salga nadie de aquí sin saber Geometría!

2. VECTORES EN EL ESPACIO

Cuestión previa

Piensa en un punto en el espacio... en una recta... en un plano... ¿Has sido capaz de imaginarlos? Podemos suponer, pues, que losconceptos de punto, recta, plano y espacio son intuitivos y, por consiguiente, los utilizaremos en lo que sigue sin necesidad de definirlospreviamente.

Definición (de vector fijo)

Llamaremos vector fijo a un par ordenado (A,B) de puntos del espacio ordinario, E, noexcluyendo la posibilidad de que ambos sean coincidentes, caso en el que hablaremos de vector

nulo. Con el símbolo AA A ABBBB designaremos el vector definido por los puntos A y B, en ese orden, y

diremos que el vector AA A ABBBB tiene por origen A y extremo B. A

B

Observa que el vector AA A ABBBB está definido exclusivamente por los puntos A y B. Dibujar la flecha obedece a la necesidad de indicar, en la figura, un orden.

Definición (relación de equipolencia)

Con objeto de establecer una relación entre vectores fijos, consideremos los siguientes casos:

AB

CD A

A

B

C

D

B C D

FE

Primer caso Tercer casoSegundo caso

En los tres casos aparecen los vectores AA A ABBBB y CCCCDDDD. En el último, aparece además un tercer vector, el EEEEFFFF.

➠ En el primer caso, los vectores AA A ABBBB y CCCCDDDD son nulos, es decir, A = B y C = D.

➠ En el segundo caso, en el que los puntos A, B, C y D no están alineados, la figura ABDC (¡Atención al orden de los vértices!) es

un paralelogramo.

– 102 –



El espacio afín

➠ En el tercer caso, en el que los puntos A, B, C y D están alineados, existe otro vector EEEEFFFF tal que las figuras ABFE, CDFE sonparalelogramos.

☞ Pues bien, cuando ocurra uno cualquiera de los tres casos anteriores, diremos que los vectores fijos AA A ABBBB y CCCCDDDD sonequipolentes y escribiremos AA A ABBBB ª CCCCDDDD.

Definiciones (de vector libre y V3)

Aunque sea en el "plano" de un papel, dibuja un vector f ijo AA A ABBBB... Ahora, dibuja cuatro vectores equipolentes a él... ¿Hay más?¿Cuántos? Al conjunto formado por todos ellos le vamos a llamar vector libre. Es decir:

☞ Dado un vector fijo AA A ABBBB, llamaremos vector libre [AA A ABBBB] al conjunto de todos los vectores fijos equipolentes a él:

[AA A ABBBB] = { XXXXYYYY/ XXXXYYYY ª AA A ABBBB }

Cuando no haya posib ilidad de error, escribiremos AA A ABBBB en lugar de [AA A ABBBB] y util izaremos los símbolos aaaa , bbbb , cccc ... para designarvectores libres cualesquiera. En particular, designaremos por 0000 el vector libre nulo, es decir, el formado por todos los vectores fijos nulos.Para mostrar en las figuras un vector libre dibujaremos uno cualquiera de sus representantes o vectores fijos equipolentes que lo formen.

☞ Con el símbolo V3 designaremos el conjunto de todos los vectores libres del espacio, conjunto de gran importancia enmatemáticas y en física. En él se dio origen al concepto de espacio vectorial y debido a ello los elementos de cualquier conjunto que estédotado de esa estructura reciben el nombre de vectores, sean dichos elementos polinomios, funciones o lo que sea, siempre que elconjunto tenga estructura de espacio vectorial.

3. EL ESPACIO VECTORIAL V3

Establecidos los vectores libres, definiremos algunas operaciones entre ellos. Antes, necesitamos un sencillo teorema.

Teorema

➠ Fijado un punto O del espacio, es posible encontrar para todo vector libre [AA A ABBBB] un único representante de origen O.

La demostración es sencilla. Fijado el punto O, la situación de los puntos A y B puede ser una de las siguientes:

A

A

BB


O

AB

O

O

Entonces, el único representante de [AA A ABBBB] con origen en O sería en cada caso el que se indica a continuación:

A

BB


OX

AB X

O

X

O A

– 103 –



El espacio afín

Definición (de suma de vectores libres)

Estamos ahora en condiciones de definir una operación entre vectores libres a la que, convencionalmente, llamaremos suma. A talfin, sean aaaa y bbbb dos vectores libres del espacio. Como se ve en la figura siguiente, tomado un punto cualquiera, O, existirá un único punto Atal que OOOO AA A A sea representante del vector libre aaaa y, considerado este punto A, otro único punto B tal que AA A ABBBB sea representante de bbbb. Sedefine entonces la suma aaaa+bbbb como el vector libre del cual OOOOBBBB es un representante:

b

a

a b+

O A

B

(Convendría que demostraras que la suma aaaa + bbbb no depende de los representantes de aaaa y bbbb elegidos.)

Propiedades de la suma de vectores libres

La suma de vectores libres cumple las propiedades propias de la ley interna de un espacio vectorial.

Otras definiciones (módulo, dirección y sentido)

➀ Según definimos la relación de equipolencia, si AA A ABBBB y CCCCDDDD son dos representantes cualesquiera de un mismo vector libre aaaa,entonces la longitud de AB es igual a la de CD. A dicha longitud, común a todos los representantes de aaaa, la representaremos por |aaaa| y lallamaremos módulo de aaaa.

➁ Diremos que dos vectores l ibres aaaa y bbbb tienen igual dirección, y escribiremos aaaa // bbbb, cuando considerados representantes suyoscon el mismo origen, OOOO AA A A y OOOOBBBB, respectivamente, los puntos O, A y B estén alineados (O sea, que dos vectores libres aaaa y bbbb tienen la misma dirección

cuando... son "paralelos".)

➂ Dados dos vectores l ibres no nulos aaaa y bbbb de igual dirección, diremos que tienen el mismo sentido cuando elegidosrepresentantes suyos con el mismo origen, OOOO AA A A y OOOOBBBB, respectivamente, los extremos A y B estén en la misma semirrecta de origen O. Encaso contrario, se dirá que aaaa y bbbb tienen distinto sentido.

Ejemplos

Los vectores aaaa y cccc de la f igura siguiente tienen igual dirección y sentido. Los vectores bbbb y dddd tienen igual dirección, pero sentidosopuestos. En cambio, no hay en la figura ningún vector que tenga igual dirección que el eeee.

be

dc

Consecuencia➠ De lo anterior se deduce que dos vectores libres no nulos son iguales si y sólo si tienen igual módulo, dirección y sentido

Definición (de producto de un número real por un vector libre)

☞ Sea aaaa un vector libre no nulo y sea l Œ RRRR , l { 0. Se define l.... aaaa como el vector libre de igual dirección que aaaa , de módulo| l| .| aaaa| y cuyo sentido es el de aaaa si l> 0 y el opuesto si l< 0. Si l = 0 ó aaaa = 0000, se define l.... aaaa = 0000 .

Consecuencia ( (V3, +, . ) es espacio vectorial)

La operación anterior cumple las cuatro propiedades exigidas a la ley de composición externa de un espacio vectorial. Como lasuma de vectores libres también cumplía las oportunas propiedades, concluiremos que (V3, +, .) es un espacio vectorial.

– 104 –



El espacio afín

Teorema (dependencia lineal de dos vectores libres)

Sean aaaa y bbbb dos vectores libres no nulos. Entonces, las proposiciones siguientes son equivalentes:

1 aaaa y bbbb son linealmente dependientes

2 aaaa y bbbb están contenidos en una misma recta

(Cuando decimos que los vectores libres están en una misma recta queremos decir que existen representantes suyos contenidos en ella).

① En efecto, si se verifica 1) , uno de los dos vectores (el primero, por ejemplo) será combinación lineal del otro, luego existirá unnúmero l tal que aaaa = l.bbbb . Por consiguiente, aaaa y bbbb , de igual dirección, tendrán representantes en una misma recta.

② Si se verif ica 2) , aaaa y bbbb diferirán, a lo sumo, en módulo y sentido, luego tomando l =aa

bb , será aaaa = l.bbbb ó aaaa = – l.bbbb; en

ambos casos, aaaa y bbbb serán linealmente dependientes.

Mira la figura:

b

Teorema (dependencia lineal de tres vectores libres)

Sean aaaa , bbbb y cccc tres vectores libres no nulos. Entonces, las proposiciones siguientes son equivalentes:

1 aaaa , bbbb y cccc son linealmente dependientes

2 aaaa , bbbb y cccc están contenidos en un mismo plano

(Cuando decimos que los vectores libres están en un mismo plano queremos decir que existen representantes suyos contenidos en él)

En efecto:

① Supongamos en primer lugar que aaaa, bbbb y cccc son linealmente dependientes: Al menos uno de ellos será combinación lineal de losotros dos, por ejemplo: cccc = l.aaaa + m.bbbb , y tomando representantes con el mismo origen O, podremos escribir:

OOOOCCCC = l.OOOO AA A A + m.OOOOBBBB

luego OOOOCCCC está en el mismo plano que OOOO AA A A y OOOOBBBB .

O

C

a A A'

B B'

b c

② Supongamos ahora que OOOO AA A A, OOOOBBBB y OOOOCCCC, representantes de aaaa, bbbb y cccc con igual origen, están en el mismo plano. Se tendrá:OOOOCCCC ==== OOOO AA A A'''' + OOOOBBBB''''

y como existen números l , m tales que:OOOO AA A A'''' = l.OOOO AA A A, OOOOBBBB'''' = m.OOOOBBBB

se concluirá:OOOOCCCC = l.OOOO AA A A + m.OOOOBBBB, o sea: cccc = l.aaaa + m.bbbb

luego aaaa, bbbb, cccc son linealmente dependientes.

– 105 –



El espacio afín

Definición (de bases en V 3 y de coordenadas de un vector)

Supongamos que eeee 1 , eeee 2 , eeee 3 son tres vectores libres que, como los de la figura, al no estar en un mismo plano, son linealmente

independientes. Veamos que, entonces, cualquier vector de V3 puede expresarse como combinación lineal de ellos:

x

E 1

e3

e2e1

E2

E3

X 1

O

X3

X 2

X

A tal fin, sean:

➠ xxxx un vector cualquiera de V3, cuyo representante con origen O es OOOOXXXX.

➠ OOOOEEEE 1 , OOOOEEEE 2 y OOOOEEEE 3 los representantes con origen O de eeee 1 , eeee 2 , eeee 3.

Entonces, siendo x i (i = 1, 2, 3) los números reales que cumplen: OOOOXXXX i = x i . OOOOEEEE i , podremos escribir:

xxxx = OOOOXXXX = OOOOXXXX 1 + OOOOXXXX 2 + OOOOXXXX 3 = x 1.OOOOEEEE 1 + x 2.OOOOEEEE 2 + x 3.OOOOEEEE 3 = x 1.eeee 1 + x 2.eeee 2 + x 3.eeee 3 ,

luego xxxx es combinación lineal de los vectores eeee 1 , eeee 2 , eeee 3 que, por tanto, forman una base de V3 (pues cumplen las dos condiciones

requeridas para ello).

☞ Como es normal, de (x1, x2, x3) se dirá que son las coordenadas del vector xxxx en la base {eeee1, eeee2, eeee3}

y, cuando no haya dudas sobre la base utilizada, se escribirá simplemente: xxxx = (x1, x2, x3).

CCCCoooonnnnsssseeeeccccuuuueeeennnncccc iiiiaaaa

Más adelante nos será útil tener en cuenta que si se conocen las coordenadas de dos vectores libres:

xxxx = (x 1 , x 2 , x 3) , yyyy = (y 1 , y 2 , y 3),entonces:

xxxx + yyyy = ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ) l .... xxxx = ( lx 1 , l x 2 , l x 3 ), lŒ RRRR ,

como se puede comprobar sin más que expresar xxxx e yyyy en función de la correspondiente base y aplicar las propiedades de la suma devectores libres y de la multiplicación de un número por un vector.

4. EL ESPACIO AFÍN E3

Hasta ahora, y a partir de los puntos del espacio, hemos definido unos entes a los que hemos llamado vectores libres; pero, ¿quéutilidad tienen los vectores libres para el estudio de rectas y planos? ¿Qué relación existe entre el espacio vectorial V 3 y el conjunto depuntos del espacio, E, del que las rectas y planos son subconjuntos? ¿Cómo podremos establecer una correspondencia entre vectores ypuntos, de tal forma que las operaciones que conocemos entre aquéllos las podamos trasladar a éstos? A responder estas preguntasdedicaremos las siguientes líneas.

– 106 –



El espacio afín

Definiciones (de vector de posición de un punto y espacio afín)

Siendo O un punto fijo del espacio E, consideremos la aplicación: E VÆ 3 que a cada punto X le hace corresponder como ima-gen el vector libre OOOOXXXX. Tal aplicación en biyectiva; es decir, a cada punto X le corresponde un único vector libre xxxx = OOOOXXXX y, recíprocamente,a cada vector libre xxxx, como sólo hay un representante de él con origen en O, OOOOXXXX, le corresponde un único punto X. En esas condiciones:

☞ Del vector libre OOOOXXXX diremos que es el vector de posición del punto X.

☞ Hablaremos de espacio afín , al que representaremos por E3, para referirnos al conjunto de puntos, E, una vez establecida laaplicación anterior.

Definiciones (de sistema de referencia afín y coordenadas de un punto)

Llamaremos sistema de referencia afín en el espacio a cualquier conjunto S={O, eeee1111,eeee2222,eeee3333},

donde O es un punto fijo del espacio y {eeee1111,eeee2222,eeee3333} una base de V3. Al punto O se le llama origen del sistema de referencia y a las rectas que pasan por el ori-

gen y contienen los representantes de los vectores de la base, ejes del sistema de referencia o ejes

de coordenadas.

O e2

e3

1

❏ La importancia de establecer un sistema de referencia, S, estriba en que a cada punto X del espacio se le puede hacercorresponder una única terna de números reales, y recíprocamente. ¿Cuál? la formada por las coordenadas, en la base que forma partede S, del vector de posición del punto. El esquema del proceso es éste:

Punto Vector de posición Terna de números

X = x x x x x x1 2 3 1 2 3

´ ´+ + ( )OOXX ee ee ee11 22 33 , ,

❏ De ( x 1 , x 2 , x 3 ) se dice que son las coordenadas del punto X en el sistema de referencia S.

Consecuencia

☞ Es inmediato que las coordenadas del origen son (0, 0, 0) y las de los puntos situados en los ejes, (x 1 , 0 , 0), (0 , x2 , 0) y(0 , 0 , x3), respectivamente.

Coordenadas de un vector definido por dos puntos

Con frecuencia es necesario, dados dos puntos A y B de coordenadas ( a 1 , a 2 , a 3 ) y ( b 1 , b 2 , b 3 ), respecto de un sistema dereferencia S = { O, eeee 1 , eeee 2 , eeee 3 }, conocer las coordenadas respecto de la base {eeee 1 , eeee 2 , eeee 3} del vector libre AA A ABBBB. Basta con observar que:

OOOO AA A A + AA A ABBBB = OOOOBBBB ,

para concluir que las coordenadas de AA A ABBBB serán ( b 1 – a 1 , b 2 – a 2 , b 3 – a 3 ).

Coordenadas del punto medio de un segmentoOtras veces se necesita conocer las coordenadas del punto medio, M, del segmento AB:

A M B

Como AA A AMMMM = MMMMBBBB , llamando ( m 1 , m 2 , m 3 ) a las coordenadas de M, se tendrá:

( m 1 - a 1 , m 2 - a 2 , m 3 - a 3 ) = ( b 1 - m 1 , b 2 - m 2 , b 3 - m 3 ),de donde:

m

a b

2m

a b

2m

a b

211 1

22 2

33 3=

+=

+=

+

– 107 –



El espacio afín

5. LA RECTA EN EL ESPACIOLlegados a este punto, parece obligado decir que de rectas y planos los antiguos griegos sabían mucho, pese a que no conocían los

vectores. Euclides, por ejemplo, no los necesitó para escribir en el siglo III a. de C. sus Elementos , obra cumbre en la historia de lasmatemáticas. Ello significa, pues, que se podría estudiar la recta sin utilizar vectores: a base exclusivamente de figuras y representaciones.

Pero el trabajo se ve extraordinariamente simplificado si se utilizan ecuaciones; las cuales se obtienen fácil y rápidamente mediante unenfoque vectorial. Y eso haremos aquí: expresar en términos de vectores lo esencial de rectas y planos; comprobaremos que el que trespuntos estén alineados se corresponderá con que haya dos vectores linealmente dependientes, y el que cuatro puntos sean coplanarios,con que tres vectores sean linealmente dependientes... A partir de ahí saldrá todo lo demás.

Definición (de vector de dirección de una recta)

Sea rrrr una recta en el espacio. De un vector libre, vvvv, no nulo, que tenga un representantecontenido en la recta diremos que es un vector de dirección de la misma. En consecuencia:

Dos vectores, v y ww son vectores de

dirección de una misma recta ¤

Existe un número real, l, tal que

w = lv

Dos preguntas: ¿Cuántos vectores de dirección tiene una recta? ¿Cuáles son las coordenadas de los más sencillos vectores dedirección de los ejes de coordenadas?

Ecuaciones de una recta

Como sabes, una ecuación de una recta, de un plano o de cualquier otra curva o superficie es una ecuación que es satisfecha portodos los puntos que la forman (o por sus coordenadas, que es lo mismo) y sólo por ellos.

Supongamos inic ialmente que la recta rrrr, cuya ecuación deseamos obte-ner, es la que pasa por un punto A, conocido, y tiene a vvvv, no nulo, tambiénconocido, por vector de dirección.

Un punto X pertenecerá a la recta si y sólo si los vectores AA A AXXXX y vvvv tienenigual dirección, es decir:

X Œ rrrr ¤ AX = l.vvvv , para algún lŒ RRRR

v

r

X

A

O

e1

e3

e2

Ecuación vectorial de una recta

Fijado un punto O de E3, se cumplirá: OOOO AA A A + AA A AXXXX = OOOOXXXX, luego tendremos que un punto X pertenecerá a la recta rrrr si y sólo si:

OX = OA A + l . v Ecuación vectorial de

la recta r

Ecuaciones paramétricas de una recta

Fijado ahora un sistema de referencia S ={O, eeee 1 , eeee 2 , eeee 3}, sean ( a 1 , a 2 , a 3 ) las coordenadas del punto A respecto de dichosistema y ( v1, v2 , v3) las del vector vvvv respecto de la base {eeee 1 , eeee 2 , eeee 3}.

Si llamamos ( x 1 , x 2 , x 3 ) a las coordenadas del punto genérico XXXX, la ecuación vectorial anterior se transforma en:x 1 eeee 1 + x 2 eeee 2 + x 3 eeee 3 = a 1 eeee 1 + a 2 eeee 2 + a 3 eeee 3 + l.( v 1 eeee 1 + v 2 eeee 2 + v 3 eeee 3 )

o también:

– 108 –



El espacio afín

x a v

x a v

x a v

1 1 1

2 2 2

3 3 3

= += += +

lll

Ecuacionesparamétricasde la recta

Ecuación continua de una rectaEn el supuesto de que todas las coordenadas v i sean distintas de cero, eliminando el parámetro l de las tres ecuaciones

anteriores se llega a:

x1- a1

v1=

x2 - a2

v2=

x3 - a3

v3

Ecuación continuade la recta

Ejemplo

Sea la recta que pasa por los puntos A(2, 0, 1) y B(4, 5, 4). Como el vector AA A ABBBB, cuyas coordenadas son (2, 5, 3), es un vector dedirección de ella, se tendrá:

x ,x ,x 2,5,31 2 3( ) = ( ) + ( )2 0 1, , l

x = 2 + 2

x = 5

x = 1 + 3

1

2

3

ll

l

x 2

2

x

5

x 1

31 2 3-

= =-

Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuación continua

Posición relativa de dos rectas en el espacio

Dos rectas, en el plano, o se cortan en un punto o son paralelas o coincidentes. Ahora, en el espacio, la intuición nos indica que

existe una cuarta posibilidad: que se crucen sin cortarse. Veamos si algebraicamente se llega a la misma conclusión.

A tal efecto, supongamos que tenemos dos rectas en el espacio, rrrr y ssss. (En la figura se ha supuesto que tienen un punto en común, pero su

posición relativa podría ser cualquier otra). La recta rrrr queda determinada, como ves, por el punto A y el vector vvvv ; la recta ssss, por el punto B y el

vector wwww.

A

B

P

v

ww X

Y

r

s

O

Las ecuaciones vectoriales de rrrr y ssss, respectivamente, serán:

OOOOXXXX = OOOO AA A A + l vvvv , OOOOYYYY = OOOOBBBB + m wwww

¿En qué consiste el estudio de la posición relativa de ellas? Pues en determinar si tienen o no puntos en común; y de cuántos seanéstos, en el primer caso, y de por qué no los tienen, en el segundo. ¿Que son infinitos los puntos en común? Las rectas son coincidentes.¿Que sólo tienen un punto en común? Se cortan. ¿Ninguno? O se cruzan o son paralelas.

En términos de vectores, habrá algún punto común cuando algún OOOOXXXX, vector de posición de los puntos de rrrr, coincida con algún OOOOYYYY,vector de posición de los puntos de ssss. Y en términos de ecuaciones, habrá algún punto común cuando existan valores de los parámetrosl, m tales que:

OOOOXXXX = OOOO AA A A + l vvvv = OOOOBBBB + m wwww

– 109 –



El espacio afín

Es decir, cuando tenga solución el sistema de tres ecuaciones lineales en las incógnitas l, m:

v w b a

v w b a

v w b a

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

l ml ml m

- = -- = -- = -

Pero, aplicando el teorema de Rouché, y considerando la matriz de los coeficientes y la ampliada con los términos independientes:

A

v w

v w

v w

A

v w b a

v w b a

v w b a

=---

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

=- -- -- -

Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 1

2 2

3 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

*

se tendrá:

rang A* = 3 rang A* = 2 rang A* = 1

rang A = 1

Caso imposible, pues si rang A = 1,las dos primeras columnas de A*

serán proporcionales y su rango nopodrá ser 3.

El sistema es incompatible y lasrectas no tienen ningún punto

común. Además, al ser rang A = 1,los vectores vvvv y wwww son de igualdirección. Las rectas son paralelas.

rs

vw A

B

El sistema es compatibleindeterminado, con infinitas

soluciones. Las dos rectas tieneninfinitos puntos en común y soncoincidentes.

AB

vw

r=s

rang A = 2

El sistema es incompatible y lasrectas no tienen ningún punto

común. Además, al ser rang A = 2,

los vectores vvvv y wwww son de distintadirección. Las rectas se cruzan.

Av

r

B sw

El sistema es compatibledeterminado con solución única. Lasrectas se cortan en un punto cuyas

coordenadas podremos obtenerresolviendo el sistema.

A

B

P

v

wr

s

Caso imposible, pues el rang A nopuede ser mayor que el de A*.

Ejemplo

Supongamos que se desea conocer la posición relativa de las rectas, rrrr y ssss, de ecuaciones paramétricas:

rr ss: :

x t

y t

z t

x p

y p

z p

= += += +

Ï

ÌÔ

ÓÔ

= += -= +

Ï

ÌÔ

ÓÔ

2

3 2

1

1 3

4

5 2

Tales rectas tendrán algún punto común si y sólo si existen valores de t , p tales que:

2 1 3

3 2 4

1 5 2

+ = ++ = -+ = +

t p

t p

t p

El sistema anterior es incompatible, luego las dos rectas no tienen ningún punto común. Como no son paralelas, pues los vectores

(1, 2, 1), (3, –1, 2), de coordenadas no proporcionales, son de distinta dirección, se concluye que rrrr y ssss se cruzan.

– 110 –



El espacio afín

6. EL PLANO EN EL ESPACIO

Hay varias formas de determinar un plano, empezando por la que consiste en dar tres puntos no alineados (¿Por qué, si no, losfotógrafos utilizan trípode?). Sin embargo, por razones didácticas, consideraremos inicialmente el plano p determinado por un punto A,

perteneciente a él, y dos vectores libres no nulos, vvvv y wwww, de distinta dirección, contenidos en él. (Recuerda lo que quería decir que unvector libre esté contenido en un plano).

A

C X

v

w

B

Ecuación vectorial de un plano

Sea pppp el plano de la figura anterior, definido por el punto A y los vectores vvvv, wwww. Un punto X pertenecerá a pppp si y sólo si existennúmeros reales l, m tales que:

AAXX vv ww= + l m

Si fijamos un punto O de E3, al cumplirse que OOOO AA A A + AA A AXXXX = OOOOXXXX , se tendrá que X pertenecerá al plano p si y sólo si:

OOXX 00AA vv ww= + + l m ➟ Ecuación vectorial del plano p

Ecuaciones paramétricas de un plano

Fijado un sistema de referencia S = {O, eeee 1 , eeee 2 , eeee 3} sean ( a 1 , a 2 , a 3 ) las coordenadas del punto A respecto de S y ( v 1, v 2, v 3 ),( w 1, w 2, w 3 ) las de los vectores vvvv, wwww, respecto de la base {eeee 1 , eeee 2 , eeee 3}. Si llamamos ( x 1, x 2, x 3 ) a las coordenadas del punto genéricoX, la ecuación vectorial anterior equivale a:

x a v w

x a v w

x a v w

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

= + += + += + +

l ml ml m

➟

Ecuaciones paramétricas

del plano p

Ecuación general o cartesiana de un plano

Un punto de coordenadas( x 1 , x 2 , x 3 ) pertenecerá al plano si y sólo si existen valores de l y m para los que:

x a v w

x a v w

x a v w

1 1 1 12 2 2 2

3 3 3 3

- = +- = +- = +

l ml ml m

es decir, si y sólo si el sistema anterior de tres ecuaciones en las incógnitas l y m es compatible. Pero como el rango de la matriz de loscoeficientes es 2, ello sucederá si y sólo si el rango de la matriz ampliada es también 2, es decir, si y sólo si su determinante es nulo:

v w x a

v w x a

v w x a

x a x a x a

v v v

w w w

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 3 3

0 0

---

=- - -

=, o lo que es equivalente:

✍ Observa que la ecuación anterior constituye ya una ecuación del plano.

– 111 –



El espacio afín

Desarrollando el último determinante por los elementos de la primera fila y llamando A1, A2, A3 a los adjuntos:

A

v v

w w A

v v

w w A

v v

w w12 3

2 32

1 3

1 33

1 2

1 2= = - =; ;

resulta:

A x a A x a A x a1 1 1 2 2 2 3 3 3 0( ) ( ) ( )- + - + - =o, también:

A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4 0+ + + = ➟ Ecuación general o cartesiana del plano p

(No merece la pena memorizar los valores de los coeficientes y del término independiente de la ecuación anterior; ya verás en unpróximo ejemplo cómo proceder en la práctica.)

Recíprocamente, ¿formarán un plano todos los puntos cuyas coordenadas verifiquen una ecuación como la anterior? Supongamosque A1 { 0. Entonces, A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4 0+ + + = equivale a:

x

A

A

A

A x

A

A x1

4

1

2

1 2

3

1 3= - - -que también se puede escribir:

x A A

A A

A A

x

x

14

1

2

1

3

1

2

3

0 0

0 0

= - - -

= + += + +

Ï

Ì

ÔÔ

Ó

ÔÔ

l m

lm

lo que significa que tales puntos forman el plano definido por el punto -Ê Ë Á

ˆ ¯ ˜

A A

4

10 0, , y los vectores

-

Ê

Ë Á

¯ ˜

A A

2

11 0, , -

Ê

Ë Á

¯ ˜

A A

3

10 1, , .

EEEE jj j j eeeemmmmpppp lllloooo

El plano definido por el punto A(2, 3, 1) y los vectores vvvv (2, 0, 3), wwww (1, 4, 5) tendrá las siguientes ecuaciones:

Vectorial: ➟ (x, y, z) = (2, 3, 1) + l (2, 0, 3) + m (1, 4, 5)

Paramétricas: ➟

x

y

z

= + += += + +

Ï

ÌÔ

ÓÔ

2 2

3 4

1 3 5

l mm

l m

General: ➟

x y z- - -=

2 3 1

2 0 3

1 4 5

0, es decir: 12 x + 7 y – 8 z – 37 = 0

Plano definido por tres puntos

Como dijimos, un plano pppp también queda determinado por trespuntos no alineados, A, B y C. Para obtener su ecuación vectorial bastará conpensar que pppp es el plano definido, por ejemplo, por el punto A y los vectores AA A ABBBB y AA A ACCCC:

A v B

w

C

Un caso interesante es aquél en que los tres puntos anteriores son los puntos A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c) en que el plano corta alos ejes coordenados. Puedes comprobar que la ecuación del plano puede escribirse así:

x

a

y

b

z

c+ + = 1

– 112 –



El espacio afín

Observación

Existen muchas otras formas de determinar un plano. Así, por ejemplo, aunque más adelante volveremos sobre ello, para obtenerla ecuación del plano determinado por contener una recta rrrr y un punto A que no pertenece a rrrr, podríamos obtener dos puntos de larecta. Esos dos puntos, junto con el punto A, permitirán aplicar lo visto antes.

Posición relativa de dos planos

Para estudiar las posiciones relativas de dos planos haremos un estudio similar, utilizando el teorema de Rouché, al que hicimos enel caso de dos rectas, pues el que dos planos p, p', de ecuaciones: A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4 0+ + + = , A x A x A x A' ' ' '1 1 2 2 3 3 4 0+ + + = ,respectivamente, tengan una u otra posición relativa dependerá de que ambos posean o no puntos en común; y, en el primer caso, decuántos sean éstos. Lo cual se analiza estudiando el sistema:

A x A x A x A

A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4

0

0

+ + + =+ + + =

ÏÌÓ ' ' ' '

En consecuencia, siendo: A

A A A

A A A A A A A A

A A A A=Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ =Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ 1 2 3

1 2 3

1 2 3 4

1 2 3 4' ' ' ; * ' ' ' '

los casos posibles son:

1.- Rango de A* = 2

1.1 Rango de A = 1

El sistema es incompatible y los planos son paralelos , no tienen ningúnpunto en común. Los coeficientes de las x i en las dos ecuaciones sonproporcionales, pero esa proporcionalidad no se da entre los términosindependientes.

'

1.2 Rango de A = 2

El sistema es compatible indeterminado. Los planos tienen infinitospuntos en común y son planos distintos. Se cortan en una recta.

'

2.- Rango de A* = 1

2.1 Rango de A = 1

El sistema es compatible indeterminado, pero, a diferencia del caso anterior, ambas ecuaciones (cuyos coeficientes y términosindependientes son proporcionales) son equivalentes. Los planos, formados por los mismos puntos, son coincidentes.

Observaciones

El caso en el que los dos planos se cortan en una recta tiene un interés especial , ya que una nueva forma de dar una recta rrrrconsistirá en escribir las ecuaciones de dos planos que se corten en ella. En ese supuesto se pueden plantear dos preguntas:

➀ ¿Cómo obtener una ecuación continua de rr r r ?

➁ ¿De qué forma será la ecuación de cualquier otro plano que contenga a rr r r ?

– 113 –



El espacio afín

Ecuación continua de una recta dada como intersección de dos planos

Supongamos que una recta rrrr viniera dada como intersección de dos planos:

rr::

p

p

:

': ' ' ' '

A x A x A x A

A x A x A x A

1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4

0

0

+ + + =

+ + + =

ÏÌÓ

Como algún menor de orden 2 de la matriz de los coeficientes del sistema ha de ser no nulo (pues el rango de tal matriz es 2),podremos asegurar que, por ejemplo:

D = {

A A

A A

1 2

1 2

0' '

Resolviendo el sistema se llega a que sus soluciones están constituidas por todos los puntos (x1, x2, x3) tales que:

x a

A A

A A

x a

A A

A A

x

A A

A A

1 1

2 3

2 3

2 2

1 3

1 3

3

1 2

1 2

-= -

-=

' ' ' ' ' '

donde a

A A

A Aa

A A

A A1

2 4

2 42

1 4

1 4= =-

' ';

' '

D D, respectivamente.

O sea, que las soluciones del sistema (los puntos comunes a los dos planos) forman una recta, como sabíamos, de la cual tendre-mos una ecuación continua.

✍ Te recomendamos que en la práctica, para hallar una ecuación continua de rrrr, en lugar de memorizar las formulas anteriores,obtengas un punto arbitrario de la recta —basta con dar un valor cualquiera a una de las x i en las ecuaciones de p y p' y obtener elvalor de las otras dos— y utilices, de lo que hemos hecho, las coordenadas de un vector de dirección. Mira el siguiente ejemplo.

Ejemplos➀ Para hallar una ecuación continua de la recta:

rr :

2 2 0

3 8 0

x y z

x y z

+ - - =+ + - =

ÏÌÓ

bastará con obtener un punto de ella, ya que el vector:

1 1

3 1

2 1

1 1

2 1

1 34 3 5

--

-Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ = -, , ( , , )

es uno de sus vectores de dirección.

Pero dado que en la recta rrrr se hallan todos los puntos cuyas coordenadas (x, y, z) son solución del sistema:2 2 0

3 8 0

x y z

x y z

+ - - =+ + - =

¸¿À

si damos a x un valor arbitrario, x = 2, por ejemplo, obtendremos y = 1, z = 3, lo cual indica que el punto (2, 1, 3) pertenecerá a rrrr.

En consecuencia, una ecuación continua de rrrr será la siguiente:

x y z-=

--

=-2

41

33

5

AA A Addddvvvveeeerrrrtttteeeennnncccciiiiaaaa:::: Si el menor correspondiente a las incógnitas y, z del sistema hubiera sido nulo, no habríamos podido obtener losvalores de y, z a partir de un valor arbitrario de x. Para hallar, en ta l caso, un punto de rrrr, tendríamos que haber partido de un valor

cualquiera de y o de z.

– 114 –



El espacio afín

➁ El problema recíproco del anterior, es decir, la obtención de las ecuaciones de dos planos que se corten en una recta de la quese conozca una ecuación continua, es muy fácil de resolver. Así, supongamos que se desea hallar dos planos cuya intersección sea la rectade ecuación continua:

x y z-=

+=

-32

13

65

Bastará con escribir las igualdades precedentes así:

x y

x z

-=

+

-=

-

Ï

ÌÔÔ

ÓÔÔ

32

13

32

65

es decir, en la forma:

3 2 11 0

5 2 3 0

x y

x z

- - =- - =

ÏÌÓ

para tener resuelta la cuestión.

Haz de planos

Habíamos planteado, líneas atrás, otra cuestión: Cuál sería la ecuación de cualquier otro plano pppp'''''''' que, como el de la figura,contuviera a una recta rrrr, dada como intersección de dos planos pppp y pppp''''.

rrrr

pppp

pppp''''

pppp'''''''' rr::

pp

:

: ' ' '

A x A x A x A

A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4

0

0

+ + + =+ + + =

ÏÌÓ ' '

Observa que pppp’’’’’’’’ habrá de poseer una ecuación que, añadida a las del sistemaprecedente, dé lugar a un sistema con las mismas soluciones; es decir, una ecua-ción que sea combinación lineal de las de pppp y pppp’’’’. Por consiguiente, todo planoque contenga a r tendrá una ecuación de la forma:

a b + + +( ) + + + +( ) = A x A x A x A A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4 0' ' ' 'Naturalmente, al variar a y b se obtienen los infinitos planos que contienen a rrrr. Elconjunto de todos ellos es el haz de planos definido por la recta rrrr.

Ejemplo

➀ Para hallar la ecuación del plano que contiene a la recta

rrrr:2 2 0

3 8 0

x y z

x y z

+ - - =+ + - =

¸¿À

y pasa por el punto A(2, 0,1), bastará con pensar que tal plano, por pertenecer al haz definido por los dos anteriores, tendrá unaecuación de la forma:

a.(2x + y – z – 2) + b.(x + 3y + z – 8) = 0,

habiendo de tomar a, b valores para los que la correspondiente ecuación sea satisfecha por las coordenadas, (2, 0,1), del punto A.Habrá de ser, por tanto, a – 5b = 0. Todos los a, b que cumplan a = 5b proporcionarán la ecuación buscada. Haciendo b = 1, porejemplo, será a = 5, y sustituyendo tales valores en la ecuación anterior, se tendrá que el plano buscado es el:

11x + 8y – 4z – 18 = 0.

➁ Comprueba que la ecuación del plano que contiene al eje OX y al punto (3, 1, 2) es 2y – z = 0.

– 115 –



El espacio afín

Posiciones relativas de una recta y un plano

Para estudiar las posiciones relativas de una recta rrrr y un plano pppp , supuesta dada r en la forma:

rr:: A x A x A x A

A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4

0

0

+ + + =

+ + + =

ÏÌ

Ó' ' ' '

y siendo el plano: p : A x A x A x A'' '' '' ''1 1 2 2 3 3 4 0+ + + =

bastará con estudiar el sistema formado por las tres ecuaciones anteriores. Pero consideradas las matrices:

A

A A A

A A A

A A A

=Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 2 3

1 2 3

1 2 3

' ' '

'' '' ''

, A

A A A A

A A A A

A A A A

* ' ' ' '

'' '' '' ''

=Ê

Ë

ÁÁÁ

ˆ

¯

˜ ˜ ˜

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

y no poder ser igual a 1 ni el rango de A* ni el de A (¿por qué?), los casos posibles son:

1.- Rango de A* = 3

1.1 Rango de A = 2

El sistema es incompatible y la recta y el plano, que no tienen ningúnpunto en común, son paralelos .

r

1.2 Rango de A = 3

El sistema es compatible determinado. La recta y el plano se cortan en

un punto, cuyas coordenadas pueden obtenerse resolviendo el sistema. r

2.- Rango de A* = 2

2.1 Rango de A = 2

El sistema es compatible indeterminado y la recta y el plano tieneninfinitos puntos comunes: la recta está contenida en el plano..

EjemploCuando la recta venga dada en la forma paramétrica la discusión se simplifica bastante. Así, por ejemplo, si se desea conocer la

posición relativa de la recta rrrr: x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 + 2t y el plano: pppp : 2x + y – z – 4 = 0, la cuestión se reducirá aaveriguar si existe algún valor del parámetro t para el que los valores de x, y, z de la ecuación de r, verifiquen la de p. Esto es, tal que:

2(1 + 2t) + (2 + t) – (3 + 2t) – 4 = 0

ecuación que se cumple para t = 1, y sólo para ese valor. La recta y el plano se cortarán en el punto de coordenadas (3, 3, 5).

(Si la última ecuación no hubiera tenido solución, la recta y el plano habrían sido paralelos; si hubiera tenido infinitas, la rectahabría estado contenida en el plano).

– 116 –



El espacio afín

7. EJERCICIOS

1111 .... ---- En el espacio afín E3 se considera un sistema de referencia S = { O, OOOO AA A A, OOOOBBBB, OOOOCCCC }. Obtén las coordenadas de los vectores AA A ABBBB, AA A ACCCCy BBBBCCCC en la base que forma parte de S.

2222 .... ---- Siendo A, B, C y D cuatro puntos no coplanarios, se considera el sistema de referencia S = { A, AA A ABBBB, AA A ACCCC, AA A ADDDD } y el punto M decoordenadas (x, y, z) en S. Obtén las coordenadas de M respecto del sistema S ' = { B, BBBB AA A A, BBBBCCCC, BBBBDDDD }.

3333 .... ---- De un paralelogramo ABCD se conocen los vértices A(3, 5, 2), B(4, 2, 0) y C(7, 6, 5). Halla las coordenadas del cuarto vértice.

4444 .... ---- Halla los vértices C y D de un paralelogramo del que A(1, -1, 2), B(2, 3, -4) son dos vértices consecutivos y M(3, 1, 0) el centro.

5555 .... ---- Halla las coordenadas de los puntos que dividen un segmento AB en 3 partes iguales.

6666 .... ---- Demuestra que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero cualquiera determinan un paralelogramo.

7777 .... ---- Sabiendo que el centro de gravedad de un triángulo coincide con el baricentro, o punto donde se cortan las medianas, expresa suscoordenadas en función de las coordenadas de los vértices del triángulo.

8888 .... ---- Los puntos A(2, -1, -1), B(-1, 3, 2) y C(x, y, 3) están alineados. Calcula x e y.

9999 .... ---- Escribe unas ecuaciones paramétricas y continua de la recta que contiene los tres puntos del ejercicio anterior.

1111 0000 .... ---- Se considera el sistema de referencia S = {O, eeee1, eeee2, eeee3}, donde O es el vértice de un cubo de arista unidad y los vectores eeee1, eeee2,eeee3 los determinados por las aristas del cubo concurrentes en O. Halla unas ecuaciones paramétricas de:

a) Las diagonales del cubo.

b) Las rectas determinadas por O y los puntos medios de las aristas que concurren en el vértice opuesto a O.

c) Las rectas determinadas por el vértice opuesto a O y los puntos medios de las aristas que concurren en O.

d) Las rectas determinadas por O y los centros de las caras que pasan por O.1111 1111 .... ---- Halla el punto simétrico del A(4, -2, 6) respecto del M(2, 3, 5).

1111 2222 .... ---- Estudia la posición relativa de las rectas de ecuaciones: rrrr:::: x y z-

=+

=1

23

4 5ss:

x t

y t

z t

= -= +=

Ï

ÌÔ

ÓÔ

2 3

1

3

1111 3333 .... ---- Las rectas : ; :x y

az x

by z

2 41 4

37

2= =

+=

+=

-ss son paralelas. Halla a y b.

1111 4444 .... ---- Los puntos A(1, 2, 0), B(5, 3, 0), C(2, 6, 0) y D(3, 4, 3) son los vértices de un tetraedro. Comprueba que los puntos medios de

los segmentos AB, BD, DC y CA forman un paralelogramo.1111 5555 .... ---- Halla el valor que debe tomar k para que se corten las rectas de ecuaciones:

x y k z x y z-=

-=

-+

-=

-=

-22 3 1

21

12

33

;

y, posteriormente, halla la ecuación del plano definido por ambas.

1111 6666 .... ---- Halla unas ecuaciones cartesianas de los siguientes planos:

1º) El que pasando por el punto A(2, 5, 1) contiene a la recta rrrr del ejercicio 12.

2º) El que contiene a la recta x = 2t ; y = 7 - t ; z = 3 y es paralelo al eje OY.

– 117 –



El espacio afín

1111 7777 .... ---- Obtén una ecuación continua de la recta determinada por los planos de ecuaciones: x + 2y – z + 7 = 0 ; 4x – y + 2z – 5 = 0.

1111 8888 .... ---- La recta que pasa por el punto P(2, 1, 0) con vector de dirección vvvv (–3, 1, 2), tiene un segmento comprendido entre los planosde ecuaciones x + 2 y – z – 2 = 0, x + 2 y – z – 6 = 0. Halla los extremos de dicho segmento.

1111 9999 .... ---- Escribe unas ecuaciones cartesianas de los siguientes planos:

1º) El determinado por la recta x = y = z y el punto A(0, 2, 3).

2º) El paralelo a las rectas rrrr : x = y = z; ssss : x – 6 = 6y = 2z por el punto P(1, 1, 3).

3º) El que contiene los puntos A(2, 3, 2), B(–1, 3, –4) y es paralelo a la recta de ecuación: x = 3 + 2t ; y = 5 – 6t ; z = 1 + t.

22220000 .- Obtén una ecuación del plano simétrico del p: x + y + z = 0 respecto del punto P(1, 1, 1)

2222 1111 .... ---- Halla una ecuación continua de la recta que siendo paralela a la definida por los planos 4x + y + 6z = 7 , x - 3z = 4 , pasa porel punto (3, 2, 6).

2222 2222 .... ---- Siendo a ŒRR, se considera la recta que pasa por el punto P(1, 2, 3) y de la que el vector vvvv = (a –1, 2a+4, 3a –6) es un vectorde dirección. Escribe, en primer lugar, las ecuaciones de las correspondientes rectas para los valores

a=0,

a=1. Demuestra,

después, que todas las rectas así obtenidas están en un mismo plano y halla una ecuación de éste.

2222 3333 .... ---- Estudia la posición relativa de:

1º) La recta rrrr :

x y z-=

+=

-23

15

41

y el plano p : 2x + y – 5z = 0

2º) El plano p y la recta ssss : x = 3 - 2t ; y = 1 – t ; z = 2 + t .

3º) Las rectas rrrr y ssss.

2222 4444 .... ---- ¿Existe algún valor de a para el cual la recta definida por los planos p : –x + y – 2z = 1, p': –2x – y + 5z = 1 sea paralela alplano p'': ax + y – z = 2?

2222 5555 .... ---- ¿Existen valores de a y b tales que la recta definida por los planos: x = a y ; y + z = 1 esté contenida en el plano 2x – 3y + z = b?

2222 6666 .... ---- Estudia la posición relativa, según los valores de a y b, del plano pppp: 2x – 5y + az = –2 y la recta rr :3 2 1

4

x y z

x y z b

- + =+ + =

ÏÌÓ

2222 7777 .... ---- Determina las condiciones que han de cumplir a y b para que los planos de ecuaciones x – 2z = 0, y – z = 1, ax + by + z = 1se corten en un punto. Halla también el lugar geométrico de los puntos de corte (es decir, el conjunto formado por tales puntos).

2222 8888 .... ---- Se consideran la recta rr:x y z

x y z

- - =+ - =

ÏÌÓ

2 2 1

5 0y el plano p: 2x + y + mz + n = 0. Hay que calcular los valores de m y n a fin de que:

1º) La recta corte al plano en un punto.

2º) La recta sea paralela al plano

3º) La recta esté contenida en el plano.

2222 9999 .... ---- Dibuja la recta que pasa por los puntos A y B de coordenadas (5, 6, 5) y (2, 0, 2), respecto del sistema del ejercicio 10, y lasrectas proyecciones de ella sobre los planos coordenados. Obtén una ecuación de cada una de las cuatro rectas dibujadas.

3333 0000 .... ---- Obtén una ecuación de la recta que pasa por el punto A(1, –1, 0) y se apoya (corta) en las rectas:

rr ss: ; :

x y z x y z

x y z

-= =

- + + =- + =

ÏÌÓ

23 2

12

2 3 0

3 2 0

3333 1111 .... ---- Obtén una ecuación de la recta que cortando al eje OX y a la recta rrrr de ecuaciones paramétricas x t y t z t= + = = +2 6 3 2; ; ,

pasa por el punto A(2, –3, 1).

– 118 –



El espacio afín

3333 2222 .... ---- Obtén unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el origen de coordenadas y corta a las rectas:

rrrr: x = 2y = z – 1; ssss: 3x = 2y – 2 = 6z.

3333 3333 .... ---- Sean A, B y C los puntos de la recta rr : xy z

- =+

=-

126

2

6

3que están en los planos coordenados. Determina razonada-

mente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos.

3333 4444 .... ---- Considera las dos rectas siguientes: rr ss: :x y z x y z-

=+

=-

=-

-=

-1

2

2

2

5

3 3

2

5

2

1. Calcula a continuación el determinante

cuyas filas son las coordenadas de unos vectores de dirección de rrrr y ssss y de cualquier vector que se obtenga uniendo un punto A der con otro B de ssss. Decide si las rectas anteriores son o no coplanarias según cual sea el valor de dicho determinante.

3333 5555 .... ---- Determina una condición para que las siguientes rectas sean coplanarias:

rr ss: :

x az

y z

x z

y z b

= += +

ÏÌÓ

= += - +

ÏÌÓ

2

3

2 1

3333 6666 .... ---- Determina la posición relativa de los siguientes grupos de 3 planos:

2 1

3 2 3

2 2 4

2 2 1

2 0

3

2 5

3 2 3

4 5 2 1

x y z

x y z

x y z

x y z

x y z

x

x y

x y z

x y z

- + =+ - =- + =

¸

¿Ô

ÀÔ

+ - =- + =

=

¸

¿Ô

ÀÔ

- =+ - =+ - =

¸

¿Ô

ÀÔ

3333 7777 .... ---- Averigua si los siguientes planos forman un tetraedro:

- + + =- + =+ - =+ + = -

¸

¿ÔÔ

ÀÔÔ

x y z

x y z

x y z

x y z

1

1

1

1

3333 8888 .... ---- Halla el valor que han de tomar a y b para que los planos de ecuaciones: x by z x ay z b x y z a+ + = + - = - + =1 2 contengan

una misma recta. Determina, así mismo, otro plano que contenga esa recta y el punto A = (1, 0, 1).

3333 9999 .... ---- Demuestra que todos los planos de ecuación: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1 3 2 1 0+ + - + + + - =k x k y k z k , k ŒRR , pasan por una misma recta.

4444 0000 .... ---- Determina la posición relativa de los siguientes planos, según el valor del parámetro a:

3 2 1

2 5 3 1

3 1 0

x ay z a

x y z

x y a z

- + = +- + =+ - - =( )

4444 1111 .... ---- Se consideran las rectas:

rr ss: :xy

z

xy

z

= += -=

ÏÌÔ

ÓÔ

= -= -= +

ÏÌÔ

ÓÔ

1 22

31 2

3

ll

l

mmm

aaaa)))) Si P es un punto genérico de la recta rrrr, halla, en función de l, las coordenadas del punto Q de ssss tal que la recta PQ seaparalela al plano x + y + z = 3.

bbbb)))) Halla el lugar geométrico que describe el punto medio del segmento PQ.

4444 2222 .... ---- Dadas las rectas: rr:x z

y

+ ==

ÏÌÓ

3 3

0, ssss : x = y = z, halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos que

tienen un extremo en la primera y otro en la segunda. ¿Qué relación hay entre este lugar geométrico y las rectas dadas?

– 119 –



Tema 8

El espacio euclídeo




1. INTRODUCCIÓNComo decíamos al comienzo del capítulo anterior, en éste vamos a estudiar problemas de los llamados métricos, es decir,

problemas relativos a la medición de ángulos entre rectas y planos, distancias entre puntos y rectas, etc. Empezaremos definiendo laherramienta que nos permitirá resolver tales cuestiones: el producto escalar. Ocurre a menudo en matemáticas que, enfrentados a la

necesidad de definir algo nuevo, las posibilidades a priori son múltiples; y sólo cuando se quiere llegar a resultados concretos aparecencondiciones que obligan a definir los conceptos de una forma determinada; eso sucede con el producto escalar en el espacio, que no serásino una generalización del que ya conoces en el plano. Terminaremos el tema definiendo los productos vectorial y mixto y viendoalgunas de sus aplicaciones para el cálculo de áreas y volúmenes..

2. PRODUCTO ESCALAR

Definición (de ángulo de dos vectores)

☞ Se define el ángulo formado por dos vectores libres no nulos aaaa y bbbb, al que designaremos por (aaaa , bbbb), como el ángulo queforman dos representantes OOOO AA A A y OOOOBBBB de dichos vectores tomados con un mismo origen.

O A

B

a

(aa,bb)

Es importante hacer constar que el ángulo (aaaa, bbbb) no se modifica al cambiar de representantes.

Definición (de producto escalar)

☞ Dados dos vectores libres no nulos, aaaa y bbbb , de V3, se def ine el producto escalar de aaaa y bbbb, que representaremos mediante aaaa .... bbbb,como el número que resulta de multiplicar el módulo de aaaa por el módulo de bbbb por el coseno del ángulo que forman aaaa y bbbb. O sea:

aa bb == aa bb aa bb . . ( , )cos

☞ Si aaaa ó bbbb son nulos, se define aaaa .... bbbb = 0

PPPPrrrrooooppppiiiieeeeddddaaaaddddeeeessss ddddeeeellll pppprrrroooodddduuuuccccttttoooo eeeessssccccaaaallllaaaarrrr

Cualesquiera que sean los vectores libres aaaa, bbbb de V3 y el número real l, se verifican las siguientes igualdades:

1 aa bb bb aa = Propiedad conmutativa

2 aa bb cc aa bb aa cc + = + ( ) Propiedad distributiva

3 l l l = = ( ) ( ) ( )aa bb aa bb aa bb Propiedad pseudoasociativa

4 aa aa u 0

Para demostrar la propiedad distributiva, única un poco complicada, observa la siguiente figura, que corresponde al caso más gen-ral, en el que ninguno de los vectores aaaa , bbbb , cccc , bbbb + cccc es nulo. Se tendrá:

aa bb cc aa bb cc aa OODD aa OOBB'' BBCC'' aa OOBB'' aa BBCC'' aa bb aa cc aa bb aa cc + = + = = + = + = + = + ( ) . .cos . .( ) . . . .cos . .cosa b g

– 121 –




O B' D A

C'

C

B

a

b

c

b + c

g

ab

Consecuencia

Interesa destacar que de la definición de producto escalar y de la cuarta propiedad anterior se deduce que el módulo de un vectores la raíz cuadrada del producto escalar de dicho vector por sí mismo:

aa aa aa=

Definición (de vectores ortogonales)

☞ Diremos que dos vectores no nulos aaaa y bbbb son ortogonales o perpendiculares, y escribiremos aaaa ^̂̂̂ bbbb , si el ángulo que formanes de 90° ó de 270°. Es decir:

aa bb aa bb^ ¤ = 0

Definición (de base ortonormal)

Los vectores se dan habitualmente a través de sus coordenadas respecto de una base, de modo que de poco serviría el productoescalar si no pudiéramos calcularlo a partir de ellas. A tal f in, supongamos dados una base B = { eeee 1 , eeee 2 , eeee 3 } y dos vectores aaaa y bbbb decoordenadas ( a 1 , a 2 , a 3 ) y ( b 1 , b 2 , b 3 ), respectivamente. En virtud de las propiedades del producto escalar, podremos escribir:

aa bb ee ee ee ee ee ee

ee ee ee ee ee ee ee

= (a + a + a ) . (b + b + b ) =

= a b . +( a b + a b ).( ) +( a b + a b ).( ) +( a b + a b ).( ) + a

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 12

1 2 2 1 1 2 1 3 3 1 1 3 2 3 3 2 2 3

22 2 22

3 3 32b . + a b .ee ee

Llegados aquí, los cálculos se facilitarían bastante si a la hora de elegir la base los vectores eeee 1 , eeee 2 , eeee 3 fuera ortogonales dos a

dos y unitarios (de módulo 1), pues en tal caso los productos ee eei j (i{ j) serían nulos y los eei2 iguales a la unidad.

A tal tipo de base la llamaremos ortonormal , y utilizaremos habitualmente los símbolos uu uu uu1 2 3, , para designar sus vectores.

Expresión analítica del producto escalar Si la base utilizada es ortonormal, sustituyendo en la expresión anterior del producto escalar aaaa .... bbbb cada ee i

2 por 1 y cada ee eei j(i{ j) por 0, resulta:

aa bb = a b +a b + a b1 1 2 2 3 3

Cómo calcular un vector perpendicular a otro

Con frecuencia interesa obtener un vector perpendicular a otro previamente dado. Teniendo en cuenta la expresión anterior y elhecho de que para que dos vectores sean ortogonales basta con que su producto escalar sea cero, el problema puede resolverse fácil-mente: Si queremos hallar un vector bbbb perpendicular al aaaa = (3, 2, 5), pongamos por caso, basta con que escribamos una de las coorde-nadas de bbbb, la primera por ejemplo, nula. Después, con cambiar el orden de las coordenadas segunda y tercera de aaaa, cambiar una de

ellas de signo y adjudicárselas a bbbb, tendremos el asunto resuelto. El vector (0, –5, 2) es perpendicular al (3, 2, 5).

– 122 –




Cálculo del módulo de un vector

Si aaaa es un vector de coordenadas ( a 1 , a 2 , a 3 ) respecto de una base ortonormal se tendrá: aa aa. = + +a a a12

22

32 , de donde:

aa = + +a a a1

222

32

Cálculo del ángulo de dos vectores

Si, ahora, quisiéramos calcular el ángulo formado por dos vectores aaaa y bbbb , de coordenadas ( a 1 , a 2 , a 3 ) y ( b 1 , b 2 , b 3 ) respectode una base ortonormal, bastaría con observar que:

cos ( , )| | . | |

cos ( , ).

aa bbaa bb

aa bbaa bb=

=

+ + + +

a b +a b + a b1 1 2 2 3 3

a a a b b b12

22

32

12

22

32

Observación

Disponer de una base ortonormal facilita, pues, extraordinariamente los cálculos. La única cuestión que quedaría por resolver seríasi dada una base cualquiera se podrá construir a partir de ella otra ortonormal. Nos limitaremos a decirte que la respuesta es afirmativa yque de ahora en adelante, salvo aviso en contra, utilizaremos siempre bases ortonormales.

3. EL ESPACIO EUCLÍDEO

En el tema anterior partimos de un conjunto de puntos, el espacio E, y mediante una sencilla definición construimos el conjunto devectores V3; establecimos una correspondencia entre puntos y vectores y a la estructura así creada la llamamos espacio afín E 3. Ahorahablaremos del espacio euclídeo E3, refiriéndonos con tal expresión al mismo espacio de siempre, pero indicando, con ella, que podre-mos utilizar el producto escalar.

Definición (de sistema de referencia métrico)

Llamaremos sistema de referencia métrico o simplemente sistema métrico, a todo sistemade referencia S={O, uuuu1111,uuuu2222,uuuu3333}, en el que la base sea ortonormal.

Así, el sistema representado a la derecha es un sistema métrico, supuesto que los vectoresperpendiculares dos a dos que en ella aparecen son unitarios.

Ou

2

u3

u1

Distancia entre dos puntos

Es el más sencillo de los problemas métricos. Si se desea calcular la distancia entre dos puntos A ( a 1 , a 2 , a 3 ) y B ( b 1 , b 2 , b 3 ),como esa distancia coincide con el módulo del vector AA A ABBBB, cuyas coordenadas son ( b 1 – a 1 , b 2 – a 2 , b 3 – a 3 ), se tendrá:

d A B( , ) = -( ) + -( ) + -( )a b a b a b1 1 2 2 3 3

2 2 2

Ángulo de dos rectas

Al contrario de lo que sucede en el plano, en el espacio dosrectas no paralelas pueden no tener ningún punto común; sin embargo,aun así se habla del ángulo que forman: el menor de los ángulos queforman dos paralelas a dichas rectas por un punto cualquiera. Siobservas la figura, verás que si vvvv y wwww son vectores de dirección de rrrr yssss, entonces o bien a = (vvvv, wwww) o bien a = 180° – (vvvv, wwww). Tanto en un

caso como en otro se tendrá:

rv

s

w

v

wa

– 123 –




cosv w +v w + v w1 1 2 2 3 3a = =

+ + + +cos ,

.vv ww

v v v w w w12

22

32

12

22

32

supuesto que v i, w i (i = 1, 2, 3) son las coordenadas de vvvv y wwww, respectivamente.

Cosenos directoresSean a 1 , a 2 , a 3 los ángulos que forma un vector de dirección de una recta rrrr con los vectores del sistema de referencia. Si

partiendo de una ecuación continua de rrrr:

x av

x av

x av

1 1

1

2 2

2

3 3

3

-=

-=

-

dividimos todos los denominadores por |vvvv|, y tenemos en cuenta que cosa iiv

=| |vv

, se llega a:

x a x a x a1 1

1

2 2

2

3 3

3

-=

-=

-cos cos cosa a a

nueva ecuación continua a cuyos denominadores se les llama cosenos directores de la recta.

Vector característico de un plano

Dado un punto A ( a 1 , a 2 , a 3 ) y un vector vvvv ( v 1 , v 2 , v 3 ), consideremos el conjunto de todos los puntos X ( x 1 , x 2 , x 3 ) tales que AA A AXXXX y vvvv son ortogonales. Tales puntos verificarán:

AAXX vv = 0, o sea: v (x - a )+ v (x - a )+ v (x - a )= 01 1 1 2 2 2 3 3 3

relación que constituye la ecuación de un plano pppp. Diremos que vvvv es un vectornormal , perpendicular o característico de dicho plano.

Pero, recíprocamente, ¿podrán obtenerse las coordenadas de un vector

perpendicular a un plano pppp a partir de una ecuación general de éste?

AX

X

v

Supongamos que la ecuación de pppp es: A x + A x + A x + A = 01 1 2 2 3 3 4 y que A ( a 1 , a 2 , a 3 ), B ( b 1 , b 2 , b 3 ) son dos puntoscualesquiera de él. Se tendrá:

A a + A a + A a + A = 0 ; A b + A b + A b + A = 01 1 2 2 3 3 4 1 1 2 2 3 3 4

de donde, restando ambas igualdades:

A (b - a )+A (b - a )+A (b - a )= 01 1 1 2 2 2 3 3 3

lo cual indica que el vector vvvv ( A 1 , A 2 , A 3 ) es perpendicular al AA A ABBBB y, por tanto, al plano pppp.

Ejemplo

La ecuación del plano que contiene el punto A (2,–3, 1) y es perpendicular al vector vvvv (4, 5, 6) será:

4 (x – 2) + 5 (y + 3) + 6 (z – 1) = 0es decir:

4x + 5y + 6z + 1 = 0.

Un par de consecuencias

1111 Para hallar la ecuación de la recta rrrr que pasando por un punto es perpendicular a un plano, bastará con tomar como vectordirector de la recta cualquier vector perpendicular al plano. Así, por ejemplo, si éste tiene por ecuación A x + A x + A x + A = 01 1 2 2 3 3 4 y elpunto es el A ( a 1 , a 2 , a 3 ), unas ecuaciones paramétricas de la recta rrrr serán:

x = a + A , x = a + A , x = a + A1 1 1 2 2 2 3 3 3l l l .

– 124 –




2222 También es fácil entender que una recta de dirección vvvv ( v 1 , v 2 , v 3 ) y un plano de vector normal wwww( A 1 , A 2 , A 3 ) serán per-pendiculares si y sólo si vvvv y wwww tienen la misma dirección, son proporcionales, linealmente dependientes... O sea, si y sólo si:

Av

Av

Av

1

1

2

2

3

30= = {( )vi

Ángulo de dos planos☞ Se entiende por ángulo a formado por dos planos el que forman vectores normales a ellos, vvvv y wwww, o el suplementario de éste

si fuese (v, w) > 90°.

'

a

a

El hecho de que, tanto en un caso como en otro, se tenga cos a = Ácos ( vvvv, wwww ) Á, nos permitirá concluir que si los planostienen por ecuaciones:

pp

:

': ' ' ' '

A x A x A x A

A x A x A x A1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3 4

0

0

+ + + =+ + + =

entonces:

cos' ' '

' ' '

a =+ +

+ + + +

A A A A A A

A A A A A A

1 1 2 2 3 3

12

22

32

1

2

2

2

3

2

☞ De lo anterior se desprende que una condición necesaria y suficiente para que los dos planos sean perpendiculares es:

A A A A A A1 1 2 2 3 3 0' ' '+ + = .

Ángulo de recta y plano

☞ El ángulo a formado por una recta rrrr y un plano pppp es el que forma dicha recta con su proyección rrrr'''' sobre el plano:

p

a

r

w v

r ’

Si vvvv es un vector director de la recta y wwww un vector normal del plano, entonces a = 90°– (vvvv, wwww) ó a = (vvvv, wwww) – 90°. Tanto en

un caso como en otro, se tendrá sen = cos( , )a vv ww , por lo que si vvvv = ( v 1 , v 2 , v 3 ) y wwww = ( A 1 , A 2 , A 3 ), será:

senv A v A v A

v v v A A Aa =

+ +

+ + + +

1 1 2 2 3 3

12

22

32

12

22

32

ObservaciónNo merece la pena memorizar las fórmulas anteriores. Es preferible manejar con soltura los vectores, pues ello bastará normal-

mente para resolver las cuestiones que puedan surgir.

– 125 –




Distancia de un punto a un plano

La distancia desde un punto P a un plano pppp es la distancia existente entre elpunto P y el pie de la perpendicular, A, trazada desde P a pppp. Para calcularla, siendo( p 1 , p 2 , p 3 ) las coordenadas de P y A x + A x + A x + A = 01 1 2 2 3 3 4 la ecuación de

pppp, llamemos ( a 1 , a

2 , a 3 ) a las coordenadas desconocidas del punto A. Se tendrá:

d P d P A a p a p a p( , ) ( , ) ( ) ( ) ( )p = = - + - + -1 12

2 22

3 32

P

A

como el vector PPPP AA A A tendrá igual dirección que el ( A 1 , A 2 , A 3 ), vector característico del plano, se tendrá:

a p A a p A a p A1 1 1 2 2 2 3 3 3- = , - = , - = , para algúnl l l l ŒRRcon lo cual:

d P A A A A( , ) *= + + [ ]l 1

222

32

Pero al ser A es un punto de pppp sus coordenadas cumplirán: A p A A p A A p A A1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 0( + )+ ( + )+ ( + )+ =l l l y de ahí,despejando el valor de

ly llevándolo a [*], resulta:

d P A p A p A p A

A A A( , )p =

+ + +

+ +

1 1 2 2 3 3 4

12

22

32

(Las barras de valor absoluto evitan obtener distancias negativas , lo que estaría en contradicción con la idea física que se tiene dedistancia; sin embargo el signo del numerador anterior, sin las barras, permite saber en cuál de los dos semiespacios en los que el planop divide el espacio E se encuentra el punto P considerado.)

Distancia de un punto a una recta

Entendiendo por distancia entre un punto P y una recta rrrr la menor de todas las que resulten de unir P con puntos de rrrr, existenvarios procedimientos para calcularla. Explicaremos por el momento dos, dejando un tercer método para más adelante.

➀ El primer procedimiento consiste en obtener el punto Q, intersección de la recta rrrr conel plano p que pasa por P y es perpendicular a ella, resolviendo el sistema formado por lasecuaciones de rrrr y pppp. La distancia buscada será la que haya entre P y Q.

➁ El segundo procedimiento consiste en partir de unas ecuaciones paramétricas de rrrr:

x = a + v , x = a + v , x = a + v1 1 1 2 2 2 3 3 3l l l

y fijarse en que el valor de l correspondiente al punto Q es el único para el que los vectores PPPPQQQQy vvvv ( v 1 , v 2 , v 3 ) vector de dirección de rrrr, son ortogonales; o sea, el único tal que PPPPQQQQ .... vvvv = 0.Obtenido el valor de

ly sustituido en las ecuaciones paramétricas de rrrr, se tendrán las

coordenadas de Q. La distancia buscada será, como antes, la existente entre P y Q.

rQ

P

Ejemplo

Para hallar la distancia del punto P (7, 9, –4) a la recta rrrr x y z= + , = + , =3 2 1 3l l l - ,obtendremos el único punto Q de rrrr tal que PPPPQQQQ es ortogonal a vvvv (2, 1, –3), vector director de rrrr.Dado que QŒrrrr, se tendrá Q=(3+2l, 1+l,–3l), y, por tanto, PQ=(2l –4, l –8, –3l+4). De

PPQQ vv^ , se obtiene PPPPQQQQ . v = 2 (2l –4) + 1 (l –8) – 3 (–3l+4) = 0, es decir, l = 2. Porconsiguiente, el punto Q es el (7, 3, –6) y la distancia buscada será:

d P d P Q( , ) ( , )rr = = 2 10

P

Q

Q'

Q"r

– 126 –




Distancia entre dos rectas

La distancia entre dos rectas rrrr y ssss se define como la longitud del menor de los segmentos que tienen un extremo en una de ellasy el otro en la otra. O, en otras palabras: como la longitud del único segmento que corta perpendicularmente a las dos.

s

wQp

r v

P

① Una primera forma de calcular dicha distancia consiste en hallar la ecuación del plano pppp que conteniendo una de las rectas, ssss,por ejemplo, es paralelo a la otra, rrrr. Obtenida tal ecuación todo se reduce a calcular la distancia desde cualquier punto de rrrr a pppp.

② Otro procedimiento se basa en hallar los únicos puntos puntos P, de rrrr, y Q, de ssss, para los que PPPPQQQQ es perpendicular tanto a rrrr

como a ssss. Para ello, basta con expresar las coordenadas de tales puntos mediante las igualdades:

p a v p a v p a v

q b w q b w q b w1 1 1 2 2 2 3 3 3

1 1 1 2 2 2 3 3 3

= + = + = += + = + = +

l l lm m m

, ,

, ,

obtenidas de las ecuaciones paramétricas de rrrr y ssss, e imponer las condiciones: PPPPQQQQ .... vvvv =v0, PPPPQQQQ .... wwww = 0. De ellas se obtendrán losvalores de l y m correspondientes a los puntos P y Q, quedando así resuelto el problema.

Ejemplo

Para calcular la distancia existente entre las rectas: rr ss: ; : ( ; ; )x y z

x y z-

= = = + = = -2

1 2 15 5 1 7b b basta con hallar los

valores de a y b tales que los puntos P(2+a, 2a, a), de rrrr, y Q(5+5 b, 1, 7– b), de ssss, dan lugar a un vector PPPPQQQQ ortogonal tanto a vvvv rrrr,

vector de dirección de rrrr, como a vvvv ssss, vector de direcc ión de ssss. Imponiendo, pues, las condiciones: PPPPQQQQ ....vvvv rrrr = 0, PPPPQQQQ ....vvvv ssss = 0, se obtienea = 2, b = 0, luego:

P = (4, 4, 2), Q = (5, 1, 7) y d(rrrr, ssss) = d(P, Q) = 35

4. PRODUCTOS VECTORIAL Y MIXTOSi bien es cierto que el producto escalar es suficiente para resolver un buen número de problemas métricos, también lo es que

algunos de tales problemas se simplifican si se establecen otro tipo de operaciones entre vectores, entre las cuales la más importante esel producto vectorial. Pero dado que una definición rigurosa del mismo tendría más dificultad que la que nos podemos permitir, haremosun pequeño arreglo que será más que suficiente para satisfacer nuestras necesidades.

Definición (de producto vectorial)

Supongamos fijado en E3 un sistema de referencia métrico S={O, uuuu1111,uuuu2222,uuuu3333}. Si dados dos vectores libres no nulos, de distintadirección, aaaa ( a 1 , a 2 , a 3 ) , bbbb ( b 1 , b 2 , b 3 ), quisiéramos calcular las coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3 ) de otro vector xxxx que fuera ortogonal tantoa aaaa como a bbbb, tendríamos que resolver el sistema:

a x a x a x

b x b x b x1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

0

0

+ + =+ + =

¸¿À

Pero este sistema homogéneo es compatible indeterminado (¿por qué?) y resolviéndolo, se llegaría a que xxxx habría de sernecesariamente un vector de la forma:

a a. , , ,

a a

b b

a a

b b

a a

b b

2 3

2 3

1 3

1 3

1 2

1 2-

Ê

Ë Á

ˆ

¯ ˜ ŒRR

– 127 –




En particular, para a = 1 se obtiene el vector:

a a

b b

a a

b b

a a

b b2 3

2 3

1 3

1 3

1 2

1 2, ,-

Ê

Ë Áˆ

¯ ˜

al que llamaremos producto vectorial de aaaa por bbbb y representaremos por aaaa Ÿ bbbb .

Consecuencias (módulo, dirección y sentido de aŸŸŸŸb)

➀ A partir de las coordenadas de aaaa Ÿ bbbb podemos expresar su módulo en función de los módulos de aaaa y bbbb y del ángulo (aaaa, bbbb).En efecto, por una parte:

( . ) . .cos ( , ) ( )aa bb aa bb aa bb2 2 2 2

1 1 2 2 3 32= = + +a b a b a b

y, por otra:

aa bbŸ = + +2 2 3

2 3

21 3

1 3

21 2

1 2

2a a

b b

a a

b b

a a

b b

de donde sumando ambas igualdades y efectuando algunos cálculos, se obtiene:

aa bb aa bb aa bb aa bbŸ + =

2 2 2 2 2 2. .cos ( , ) .

o sea:

aa bb aa bb aa bb aa bb aa bbŸ = -[ ] =

2 2 2 2 2 2 21. . cos ( , ) . . ( , )sen

es decir:

aa bb aa bb aa bbŸ = . . ( , )sen

➁ En cuanto a la dirección de aaaa Ÿ bbbb , poco nuevo hay que decir: del procedimiento que hemos seguido para definir el productovectorial se desprende que el vector aaaa Ÿ bbbb es perpendicular tanto a aaaa como a bbbb .

➂ Finalmente, en lo que se refiere al sentido del vector aaaa Ÿ bbbb , veamos qué ocurriría al calcular uu uu1 2Ÿ , siendo uu 1 1 0 0= ( , , )

uu 2 0 1 0= ( , , ) los dos primeros vectores de la base ortonormal {uuuu1111,uuuu2222,uuuu3333}, orientados como en la figura.

Según la definición:

uu uu uu1 2 3

0 0

1 0

1 0

0 0

1 0

0 10 0 1Ÿ = -

Ê

Ë Áˆ

¯ ˜ = ( ) =, , , ,

Por lo tanto, en general, el producto vectorial aa bbŸ da lugar a otro vector perpendicular a ambos

vectores y tal que cuando aaaa coincidiera con uuuu1111 y bbbb con uuuu2222, su sentido habría de ser el mismo que el de uuuu3333.u

2

u3

u1

Algunas aplicaciones del producto vectorial

➀ La primera aplicación es consecuencia de que el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ambos: Comovector característico de un plano puede tomarse el producto vectorial de dos vectores contenidos en él.

➁ Análogamente, como vector de dirección de una recta perpendicular a otras dos rrrr y ssss, de vectores de dirección vvvv r y vvvv s, podráser tomado el vector vvvv r Ÿ vvvv s.

➂ Designemos por S el área de un triángulo de vértices A, B, C. Se tendrá:

S h= = = Ÿ

1

2

1

2

1

2 AABB AABB AACC AABB AACCsena

A B

C

ha

– 128 –




➃ Por último para calcular la distancia de un punto P a una recta rrrr, tomados dos puntos cualesquiera, A y B, de la recta rrrr, será:

AABB AAPP AABB AAPP AABBŸ = = sena d

y, por tanto:

d =

Ÿ AABB AAPP

AABB

A

B

P

d

ra

Definición (de producto mixto de tres vectores)

Veamos una última definición, que combina los productos escalar y vectorial, y que permitirá calcular volúmenes.

☞ Dados tres vectores l ibres aaaa, bbbb y cccc, se llama producto mixto de ellos, en el orden dado, y se representa por [aaaa , bbbb , cccc] al pro-ducto escalar de aaaa por el vector (bbbb ŸŸŸŸ cccc); esto es:

[aaaa , bbbb , cccc] = aaaa .... (bbbb ŸŸŸŸ cccc)

Consecuencia (cálculo del producto mixto)

Si las coordenadas de los vectores aaaa , bbbb , y cccc son ( a 1 , a

2 , a 3 ), ( b

1 , b 2 , b

3 ) y ( c 1 , c

2 , c 3 ), respectivamente, se tendrá:

[ , , ]aa bb cc = - + =ab b

c ca

b b

c ca

b b

c c

a a a

b b b

c c c1

2 3

2 32

1 3

1 33

1 2

1 2

1 2 3

1 2 3

1 2 3

expresión analítica que nos permitirá calcular fácilmente el producto mixto.

Volumen del tetraedro

La principal aplicación, para nosotros, del producto mixto, es que permite calcular volúmenes de cuerpos poliédricos de formasencilla: Considera el tetraedro de la f igura.

A

B

C

h

a

b

c

h

D

f

aŸ b

Si llamamos S al área de su base y h a su altura, se tendrá:

V S h= = Ÿ = Ÿ1

313

12

16

aa bb cc cc aa bbcos ( )f

o también, tomando el volumen en valor absoluto:

V =

1

6[ , , ]aa bb cc

Si las coordenadas de los vértices del tetraedro son: A( a 1 , a 2 , a 3 ), B( b 1 , b 2 , b 3 ), C( c 1 , c 2 , c 3 ), D( d 1 , d 2 , d 3 ), tendremos,finalmente:

V

b a b a b a

c a c a c a

d a d a d a

a a a

b b b

c c c

d d d

=- - -- - -- - -

=1

6

1

6

1

1

1

1

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

– 129 –




5. EJERCICIOS

1111 .... ---- Sean aaaa, bbbb, cccc tres vectores libres del espacio. Demuestra que:

1º) Si aaaa y bbbb tienen el mismo módulo, entonces aaaa + bbbb y aaaa – bbbb son perpendiculares.

2º) Si aaaa, bbbb, cccc son perpendiculares dos a dos, entonces (aaaa + bbbb) .... (bbbb + cccc) u 0.

2222 .... ---- Averigua si existen valores de x, y tales que el vector (2–x– y, 1+x– y, 1– y) sea ortogonal a los vectores (2, 1, –1) y (1, 0, 2).

3333 .... ---- Demuestra que las alturas de un triángulo son concurrentes, es decir, se cortan en un mismo punto.

4444 .... ---- En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según las diagonales de las tres caras que pasan por dicho vértice. Losmódulos de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Halla el módulo de la fuerza resultante.

5555 .... ---- Halla los ángulos que la rectax y z-

=-

=-1

22

33

6forma con los ejes coordenados.

6666 .... ---- Calcula los ángulos que la recta de ecuación x = y = z forma con:

1º) Los ejes coordenados. 2º) La recta de ecuación x + 7 = 3 y + 5 = 3 z – 4 .

7777 .... ---- Obtén los planos bisectores de los planos: 3x – 4 y – 5 = 0, 2 x – y + 2 z – 5 = 0. (Plano bisector de otros dos: que formaiguales ángulos con ellos).

8888 .... ---- Halla la longitud de la proyección del segmento de extremos P(2, 0, 3) y Q(0, 1, 5) sobre el plano de ecuaciones:

xyz

= += += -

ÏÌÔ

ÓÔ

l mmm

21

9999 .... ---- Calcula las ecuaciones de los siguientes planos:

1º) El que pasa por el punto A(2, 3, 4) y tiene como vector característico el (5, 0, 1).

2º) El perpendicular al segmento de extremos P(2, 5, 3) y Q(4, 1, –1), en su punto medio.

3º) El perpendicular a la recta en la que se cortan los planos de ecuaciones: 2x + y = 5, x – z = 2 y pasa por el punto P anterior.

4º) El perpendicular a la recta x = 2 ; y = 3 + t ; z = 4t por el origen.

1111 0000 .... ---- Demuestra que los tres planos perpendiculares a los lados de un triángulo ABC, en sus puntos medios, pertenecen a un mismohaz. Determina la ecuación de este haz si A(1, 3, –5), B(–2, 2, 0), C(–1, –3, –2).

1111 1111 .... ---- Halla el punto P equidistante de A(1, 3, 3), B(2, -1, 2), C(5, 0, 6) y D(4, 3, 2).

1111 2222 .... ---- Halla los puntos simétricos del P(1, 2, 3) respecto a:

1º) El plano que pasa por los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C(0, 0, 3)

2º) La recta x = 2 y = z – 3 .

1111 3333 .... ---- De entre todos los puntos pertenecientes a cierto plano p, el más próximo al origen de coordenadas es el P(1, 2, 5). Halla unaecuación general de p

1111 4444 .... ---- Determina qué puntos de la rectax y z

x y

- + =+ - =

ÏÌÓ

0

3 1 0son equidistantes de los planos OYZ y OXZ.

1111 5555 .... ---- Obtén la ecuación de una cualquiera de las infinitas rectas que estando contenidas en el plano OXY son perpendiculares a la rectax = y = z.

– 130 –




1111 6666 .... ---- Se consideran los planos de ecuaciones a x + 9 y – 3 z = 8, x + a y – z = 0. Determina los valores de a para los que:

1º) Los dos planos son paralelos.

2º) Los dos planos son perpendiculares.

3º) La recta determinada por ambos corta al plano OXY en un punto cuya distancia al origen de coordenadas es 2 .

1111 7777 .... ---- Halla la distancia del punto P(3, 2, 4) a la recta2 3

3 2

x y

x y

- =+ =

ÏÌÓ

1111 8888 .... ---- Calcula unas ecuaciones paramétricas del plano que contiene a la recta: x = 2 + 3t , y = –4 + 5t , z = t ; y es perpendicular alplano 2x + y – 7z = 3.

1111 9999 .... ---- La rectax y

a

z

b5

1

1=

-+

= y el plano x + 2 y – z = 4 son perpendiculares. Halla a y b.

2222 0000 .... ---- Obtén una ecuación de la recta que resulta de proyectar ortogonalmente la recta de ecuaciónx y z+

=+

=+1

22

31

5sobre el plano

x + y – z = 1.

2222 1111 .... ---- Halla la ecuación de la recta que pasando por el punto P(2, 2, 4) y estando contenida en el plano x + y – z = 0 tiene máximapendiente respecto del plano z = 0.

2222 2222 .... ---- Tomados en el espacio el eje OZ vertical ascendente y el plano OXY horizontal, se considera la varilla vertical cuyos extremos sonlos puntos A(–1, 2, 9) y A’(–1, 2, 0). En dos momentos determinados de un mismo día, las sombras que proyecta A sobre elplano OXY son los puntos S1(4,–3,0) y S2(1,6,0). Se pide:

a) La recta que describe la sombra de A a lo largo del día.

b) La sombra S0 de A en el momento en que la sombra de AA’ es más corta.

c) La sombra S3 de A en el otro momento del día en que la sombra de AA’ tiene la misma longitud que la sombra S1 A’.

22223333....---- Dadas las rectas rr ss: ; :x y z x y z1

12 2

12 3

= + = - = = y el punto A(2, 1, 0), se pide:

1º) Distancia entre A y r. 2º) Distancia entre r y s.

3º) Plano paralelo a r y s pasando por el origen. 4º) Recta que corta perpendicularmente a r y s.

5º) Recta perpendicular a r y s pasando por A. 6º) Plano que pasa por A, es paralelo a r y perpendicular al plano OYZ.

2222 4444 .... ---- Halla una ecuación de la recta que pasa por el punto A(3, 4, 2) y corta perpendicularmente al eje OX.

2222 5555 .... ---- Tomados en el espacio el eje OZ vertical ascendente y el plano OXY horizontal se consideran las rectas:

rr ss: :

x y

z

x y z

y z

+ =

=

Ï

ÌÓ

- - =

+ + =

Ï

ÌÓ

1

4

3 2

2 3 0Una conducción de agua ocupa la posición de rrrr. En un punto P de esta conducción se produce una fuga de agua; el correspon-diente goteo cae sobre un punto Q de ssss. Halla los puntos P y Q.

2222 6666 .... ---- Dada la recta rr:x yy z

+ =+ =

ÏÌÓ

00

y el plano p : 2 x – y + 2 z + 1 = 0, determina:

1º) Los puntos de rrrr que distan 13

de p.

2º) Los puntos de p que distan 13

de los hallados en el apartado anterior.

2222 7777 .... ---- Halla el punto de la recta de ecuaciónx y z-

-= =

-42 2

21

que junto con el origen de coordenadas y el punto A(2, 3, 1) forma un

triángulo rectángulo en A. Halla la longitud de la altura sobre la hipotenusa de dicho triángulo.

– 131 –




2222 8888 .... ---- Obtén los puntos de la recta rr:x y zx y z

- + =+ + = -

ÏÌÓ

32 2 4

que equidistan de los planos OXY y p: 2 x – 6 y + 3 z = 10.

2222 9999 .... ---- Halla la distancia existente entre las siguientes rectas:

rr ss: :

z y

z

x z

y

+ =

=

Ï

ÌÓ

- =

=

Ï

ÌÓ

5

4

2 3

0

3333 0000 .... ---- Halla la distancia existente entre las rectas:

rr ss: ; :

x y z x yy z

-=

-= - + =

- - =ÏÌÓ

23

12 3

2 1 03 2 3 0

3333 1111 .... ---- Halla una ecuación de la recta que corta perpendicularmente a las rectas:

rr ss: ; :x

y z x yx y z

- =-

=-

-+ - =

- + + =ÏÌÓ

85

33

213 0

3 10

3333 2222 .... ---- Halla el área de un paralelogramo ABCD en el que A(1, 2, 4), B(3, 0, –2), C(1, 5, 5).

3333 3333 .... ---- Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos en los que los ejes coordenados cortan al plano de ecuación:

x y z2 3 5

1+ + = .

3333 4444 .... ---- El plano perpendicular al segmento de extremos P(0, 3, 8) y Q(2, 1, 6) en su punto medio corta a los ejes coordenados en lospuntos A, B y C. Halla el área del triángulo ABC.

3333 5555 .... ---- Las rectas x = y = z ;xy

==

ÏÌÓ

23

son aristas opuestas de un tetraedro. La recta que une los puntos medios de las mismas es

perpendicular a ambas, y la distancia entre esos dos puntos es igual a la longitud de ambas aristas. Halla los vértices del tetraedroy su volumen.

3333 6666 .... ---- Obtén las ecuaciones de los planos que pasando por los puntos A(1, 0, 0) y B(0, 1, 0), cortan al eje OZ en puntos C tales que elárea de los triángulos ABC es de 10 unidades.

3333 7777 .... ---- Obtén el lugar geométrico de las rectas que cortando al eje OZ y a la recta x = y - 1 = z, se mantienen paralelas al plano z = 0.

3333 8888 .... ---- Sean aaaa, bbbb y cccc tres vectores linealmente independientes. Indica cuál o cuáles de los siguientes productos mixtos vale cero:

aa cc,, aa cc,, aa bb cc aa cc,, bb,, aa bb aa cc,, bb cc,, cc aa+ - + + + + - - -[ ] [ ] [ ]

3333 9999 .... ---- Calcula el volumen del tetraedro de vértices O(0, 0, 0), A(0, 2, 0), B(1, 0, 0) y C(0, 0, 3). Después, calcula la altura correspon-diente a la cara ABC, la distancia entre las aristas AB y OC y el ángulo que forman las aristas AB y OA.

4444 0000 .... ---- Halla el volumen del tetraedro de vértices A(2, 1, 0), B(4, 5, 0), C(5, 5, 0), D(3, 3, 4). Calcula, después, los angulos formados porsus caras.

4444 1111 .... ---- Halla el volumen del prisma de vértices A(2, 1, 0), B(4, 5, 0), C(5, 5, 0), D(2, 2, 4), E(4, 6, 4), F(5, 6, 4). Si ese prisma se cortapor el plano de ecuación z = 2, se forma un triángulo. Halla su área.

4444 2222 .... ---- Existen infinitos planos tangentes a la esfera de centro el origen de coordenadas y radio unidad, pero sólo dos son paralelos al deecuación 2 x + y = 3. ¿Cuáles son?

4444 3333 .... ---- Halla los dos planos paralelos al de ecuación 2x + y – 2z = 0 que cortan a la esfera de centro C(1, 5, 3) y radio 5 en una circun-ferencia de radio 4.

4444 4444 .... ---- La ecuación: x y z-( ) + -( ) + -( ) =2 1 4 252 2 2

corresponde a una esfera de centro el punto C(2, 1, 4) y radio 5. ¿Es cortada

dicha esfera por el plano x + 2y + z – 14 = 0? En caso afirmativo halla la longitud de la correspondiente circunferencia.

– 132 –